EL ANLISIS DIDCTICO COMO METODOLOGA DE INVESTIGACIN EN EDUCACIN MATEMTICA

Jess Gallardo Romero, Jos Luis Gonzlez Mar, Universidad de Mlaga

Resumen

En este trabajo se expone una visin actualizada del Anlisis Didctico como instrumento metodolgico especfico para la investigacin en Educacin Matemtica. La potencialidad prctica del mtodo se ilustra con la descripcin de su aplicacin en un estudio desarrollado recientemente sobre la comprensin del conocimiento matemtico (Gallardo, 2004). En base a esta experiencia se destacan adems las principales limitaciones e interrogantes metodolgicos generados por el Anlisis Didctico junto con algunas posibilidades de mejora futura.

Abstract

In this work a vision of Didactical Analysis is exposed as specific methodological instrument for research in Mathematics Education. The practical potentiality of the method is illustrated with the description of its application in a study developed recently on the understanding in mathematics (Gallardo, 2004). With this reference the main methodological limitations and questions generated by the Didactical Analysis are emphasized as well as some possibilities of future improvement.

INTRODUCCIN

La investigacin en Educacin Matemtica suele contemplarse como un proceso complejo que transcurre por diversas fases especficas en las que se realizan prcticas de distinta naturaleza y se emplean instrumentos metodolgicos con propsitos diferentes. En lo que respecta a sus inicios, la investigacin exige por lo general el desarrollo de un estudio de carcter terico para la determinacin del problema a investigar, lo que supone realizar, entre otras tareas, un trabajo previo de revisin de antecedentes y de exploracin del estado actual de la cuestin. Pero dicho trabajo previo va ms all, como veremos, de la mera revisin y anlisis usual de antecedentes, prctica comn a cualquier investigacin cientfica. Su necesidad no slo est justificada por tratarse de una de las prcticas centrales en las que resulta preciso la planificacin detallada y la aplicacin minuciosa de procedimientos eficaces de recopilacin de informacin as como de una labor de revisin y anlisis de esa informacin igualmente explcita y metdica, sino que se dan aqu circunstancias especficas del rea que aconsejan una atencin especial. Nos referimos, por un lado, a la naturaleza compleja de los fenmenos, incluidas la multi-/inter-disciplinariedad del campo y la situacin incipiente de numerosos conocimientos, y, por otro, a las caractersticas de la informacin y las fuentes disponibles, cuya dispersin y amplitud son notables y aconsejan un tratamiento meta-analtico que no se puede limitar a la mera revisin tradicional (Gonzlez, 1998a). Es evidente que los requerimientos caractersticos del trabajo cientfico disciplinado no siempre llegan a manifestarse con la suficiente evidencia en las investigaciones en Educacin Matemtica, lo que supone una limitacin metodolgica cada vez ms reconocida en el rea (Boaler, Ball y Even, 2003). En nuestra opinin, este hecho justifica la conveniencia de incrementar los esfuerzos destinados a especificar y evidenciar an ms el mtodo implcito en los instrumentos actuales empleados para el tratamiento de la informacin, con objeto de lograr un mayor alcance y profundidad en

los anlisis y garantizar un nivel ms elevado de sistematizacin y concrecin en los procedimientos.

Como contribucin en este sentido, se presenta en este trabajo un mtodo especfico, al que denominamos Anlisis Didctico, que proporciona referencias precisas, especficas y operativas para afrontar con eficacia la fase de seleccin y tratamiento de los antecedentes en la investigacin en Educacin Matemtica. Se trata de un procedimiento metodolgico consolidado cuyas bases fundamentales fueron definidas en la tesis doctoral de Gonzlez (1995) y que viene emplendose desde entonces con regularidad en las investigaciones desarrolladas en el rea de Didctica de la Matemtica de la Universidad de Mlaga.

La exposicin se inicia con una sntesis actualizada de las componentes y aspectos fundamentales caracterizadores del Anlisis Didctico como metodologa de investigacin especfica en Educacin Matemtica. A continuacin, se pone de manifiesto su carcter operativo y potencialidad prctica a travs de la descripcin genrica de su empleo en una investigacin especfica en torno a la comprensin del conocimiento matemtico en la que se incluye algunos resultados concretos obtenidos en la fase de revisin de antecedentes. La exposicin concluye con la enumeracin de algunas de las cuestiones abiertas y propuestas de mejora asociadas que delimitan en la actualidad las fronteras de la aplicacin del Anlisis Didctico en el contexto que aqu se presenta.

FUNDAMENTOS DEL ANLISIS DIDCTICO

En este apartado se describe de forma resumida la configuracin que el Anlisis Didctico presenta en la actualidad. El contenido expuesto sirve de actualizacin de la explicacin del mtodo desarrollada por Gonzlez (1998b) en el Primer Simposio de la SEIEM con motivo del seminario dedicado a la estructuracin de las tareas presentes en un campo conceptual, permitindonos de este modo contrastar su evolucin durante la ltima dcada.

Referentes tericos

En el contexto de la investigacin en Educacin Matemtica identificamos el Anlisis Didctico con el procedimiento metodolgico no-emprico que analiza, relaciona e integra, a travs de un proceso secuenciado y de acuerdo con los criterios del meta-anlisis cualitativo, informacin procedente de diversas reas de investigacin interrelacionadas por su objeto de estudio (Gonzlez, 1998a, 1998c). El Anlisis Didctico es aplicable tanto a campos conceptuales y conocimientos matemticos concretos, como los nmeros naturales relativos (Gonzlez, 1998c), la secuencia numrica (Fernndez, 2001) o la integral de lnea (Padilla, 2003), como a aquellos otros fenmenos y nociones de naturaleza compleja cuyo estudio resulta de inters para el campo de la Educacin Matemtica, como es el caso de la induccin matemtica (Ortiz, 1997), la comprensin del conocimiento matemtico (Gallardo, 2004) o la atencin a la diversidad sordo-oyente (Larrubia, 2006). Cuando se emplea con un conocimiento matemtico, son cuatro las reas bsicas referenciales a considerar como fuentes de informacin cientfica: Historia y Epistemologa de la Matemtica, Aprendizaje y Cognicin, Fenomenologa y Enseanza y estudios curriculares en relacin con el conocimiento matemtico en estudio. En caso de realizarse sobre un fenmeno o nocin compleja, se identifican dos bloques bsicos de informacin: la proporcionada por los antecedentes relacionados, procedentes de reas de conocimiento afines a la Educacin Matemtica que comparten o tienen una incidencia especial sobre el objeto de estudio; y

la informacin propia del rea configurada por los antecedentes especficos. En ambos casos, la aplicacin del Anlisis Didctico proporciona una sntesis estructurada que permite detectar dificultades, potencialidades y relaciones en trabajos previos as como organizar y delimitar con precisin el desarrollo posterior de la investigacin propia (Gonzlez, 1999).

El proceso consta de dos fases fundamentales:

- una revisin primaria de la informacin en cada una de las reas de investigacin consideradas, que incluye la obtencin de datos, resultados y conclusiones relevantes organizados por cuestiones y contenidos relacionados con el rea problemtica y tratados de forma neutra. El dominio de las fuentes de informacin ms relevantes es contemplado en esta fase como un requisito inicial del mtodo.

- un anlisis de las relaciones existentes en la informacin ya recopilada. En esta fase de revisin secundaria se extraen nuevos resultados y conclusiones generales y se identifican cuestiones, conjeturas y prioridades para la investigacin, conformando de este modo la informacin elaborada caracterstica del Anlisis Didctico.

El procedimiento proporciona tres tipos de resultados genricos:

(a) Resultados Primarios (RP) o conclusiones del anlisis primario en trminos de proposiciones contrastadas o asumidas por grupos de autores relevantes. Estos datos pueden ser comunes a una serie de autores o lneas de estudio y tambin singulares, en la medida en que sean importantes y merezca la pena destacarlos. Se incluyen adems las informaciones que sintetizan los resultados de una serie de trabajos o posiciones y las lagunas o carencias detectadas, consideradas como informacin explcita por defecto.

(b) Resultados Secundarios (RS). Son conclusiones obtenidas de la reflexin realizada sobre los resultados primarios. No se trata de informacin directa presente en los trabajos revisados sino que se hace explcita a travs de los anlisis de las relaciones entre los resultados puntuales y primarios. Los resultados secundarios pueden ser, entre otros: opiniones, valoraciones y posiciones personales fundadas en datos objetivos (puntuales o primarios); conjeturas plausibles en virtud de la informacin que las sustenta; interpretaciones avaladas y/o slidas en base a argumentaciones coherentes y fundadas; lagunas o carencias implcitamente detectadas o requisitos y necesidades obligadas por las situaciones, contextos o la mera realidad, a tenor de las circunstancias que rodeen los estudios revisados.

(c) Consecuencias para la investigacin (C). De los propios resultados secundarios se pueden elaborar conclusiones que no estn exactamente entre ellos, sino que procedan del anlisis de los mismos. Estas consecuencias pueden ser, entre otras: conjeturas para la investigacin; recomendaciones para la realizacin de estudios tericos o empricos previos; componentes de modelos tericos a utilizar y contrastar en el estudio u orientaciones generales. Este tipo de conclusiones habr que entenderlas, en general, como supuestos iniciales e ideas emergentes, reconocidos pero tambin necesitados de un mayor desarrollo y vertebracin posterior para la consolidacin de posibles propuestas tericas ms consistentes.

La naturaleza matemtica del objeto considerado, las particularidades de las fuentes de informacin contempladas o los rasgos distintivos de los resultados obtenidos en la aplicacin del Anlisis Didctico son algunos de los aspectos que justifican su especificidad como mtodo para la revisin de antecedentes en el campo de la Educacin Matemtica. De hecho, tal especificidad justifica la posibilidad de

reconsiderar el trmino para hablar en realidad de un Anlisis Didctico-Matemtico para el tratamiento de la informacin en la investigacin en Educacin Matemtica.

Concreciones metodolgicas Para la aplicacin efectiva del Anlisis Didctico conviene tener presente, adems de los criterios que configuran el meta-anlisis cualitativo, ciertas especificaciones respecto al mtodo as como determinadas pautas metodolgicas operativas en cada una de las fases del proceso. A continuacin, subrayamos como referencia algunas de las puntualizaciones significativas que concretan el procedimiento cuyas principales componentes aparecen relacionadas en el esquema de la figura 1:

El dominio de las fuentes y tipos de informacin ms relevantes demanda una actualizacin permanente, no exenta de problemas, en lo referente a las vas de acceso y al formato de difusin del conocimiento actual. Los trabajos que vienen realizndose con regularidad en Educacin Matemtica con el propsito general de describir y caracterizar los principales recursos bibliogrficos existentes as como sus modos de acceso (Gutirrez y Maz, 2001; Ruiz, Castro y Godino, 2001; Gallardo, 2006) constituyen para el Anlisis Didctico un referente concreto de utilidad para garantizar, entre otros aspectos, el control sobre las principales fuentes documentales, la sistematizacin del proceso de bsqueda de informacin y la validez externa de los resultados obtenidos.

La consideracin de informacin no especfica proveniente de otras reas de conocimiento consolidadas y de mayor tradicin est justificada en el Anlisis Didctico, en parte, por la necesidad de controlar la complejidad asociada al fenmeno estudiado y de eliminar posibles inconsistencias derivadas de una falta de precisin en la terminologa empleada, siendo ste un propsito compartido con otros mtodos como el Anlisis Conceptual (Rico, 2001). Pero adems de ello, esta informacin resulta til para situar y relacionar entre s los antecedentes especficos, que se suelen apoyar, a veces de forma implcita, en ideas y supuestos genricos procedentes de dichos campos. Asimismo, se trata de antecedentes que proporcionan solidez y coherencia a la revisin global y favorecen el carcter integrador pretendido por el Anlisis Didctico1.

La primera fase del Anlisis Didctico exige la configuracin y el empleo de procedimientos sistemticos de revisin de la informacin recopilada previamente, no slo para aportar consistencia a la estructura resultante de conocimientos primarios sino tambin para posibilitar un desarrollo productivo en la segunda fase de anlisis de relaciones. Uno de los esquemas bsicos de revisin de documentos admitidos por el Anlisis Didctico, que tiene en cuenta recomendaciones como la sugerida por Hitt (1999) en relacin con los tipos de documentacin existente y las posibles formas de analizar la informacin que contienen y que ha dado muestras de ser efectivo, es el constituido por las dos partes diferenciadas siguientes:

- Resumen neutro del contenido del documento. En l se destacan, entre otros aspectos y segn sea el caso, las principales ideas relativas a los supuestos tericos adoptados, la metodologa de investigacin empleada, los resultados y conclusiones obtenidos o las propuestas didcticas y recomendaciones curriculares sugeridas. Es decir, se destaca lo ms relevante de cada tipo de documento segn su contenido.

- Anlisis crtico de la informacin revisada en cada referencia, centrado principalmente en las caractersticas de los resultados obtenidos, en las potencialidades y limitaciones manifestadas, en las analogas y divergencias surgidas con los planteamientos particulares del estudio y en las cuestiones relevantes para los propsitos de la investigacin.

Figura 1. Componentes fundamentales del Anlisis Didctico

Algunos de los resultados obtenidos tras la revisin suelen venir enunciados en forma de proposiciones complejas o combinadas que son de difcil categorizacin cuando se adoptan los tipos proporcionados por el Anlisis Didctico. Esta dificultad, no obstante, puede salvarse en parte optando por situar cada uno de dichos resultados en la categora a la que corresponde la proposicin que creemos de mayor peso dentro del enunciado o, en su defecto, a la que corresponden la mayora de las proposiciones que contiene.

La estructura organizativa de la informacin obtenida en cada una de las fases influye notablemente en la integracin del conocimiento revisado y en la coherencia final del estudio de antecedentes. En este sentido, el Anlisis Didctico contempla para su primera fase la organizacin de los resultados primarios por los temas tratados y en funcin de su especificidad, fecha de publicacin o repercusin sobre el problema de investigacin, entre otros aspectos. Asimismo, la estructura correspondiente a la segunda fase refleja la conexin entre resultados primarios, secundarios y consecuencias as como la concrecin hacia el problema de investigacin del anlisis desarrollado. Todo ello hace que tales estructuras puedan considerarse en s mismas como resultados secundarios del Anlisis Didctico.

El Anlisis Didctico manifiesta un carcter doblemente cclico producto de su naturaleza dialctica. De una parte, su aplicacin incluye una fase inicial, caracterizada por su extensin y profundidad, en la que se obtiene gran parte de la informacin empleada en la investigacin. Esta base de referencias suele completarse posteriormente con sucesivas bsquedas puntuales llevadas a cabo con regularidad a lo largo de la investigacin. De otra parte, el Anlisis Didctico contempla la posibilidad de que los resultados secundarios y consecuencias obtenidos de su aplicacin en un estudio especfico pasen a ser considerados resultados primarios en posteriores investigaciones relacionadas, reconocindose tambin una relatividad en los resultados derivada de la aplicacin recursiva del mtodo.

APORTES DEL ANLISIS DIDCTICO EN LA INVESTIGACIN SOBRE COMPRENSIN DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO

Una vez expuestos los referentes tericos y metodolgicos caracterizadores del Anlisis Didctico como instrumento para el tratamiento de la informacin, en el presente apartado se muestra su operatividad a travs de la descripcin de su empleo en una investigacin reciente realizada en la Universidad de Mlaga en torno a la comprensin del conocimiento matemtico (Gallardo, 2004). Con objeto de concretar en lo posible los pormenores de dicha aplicacin presentamos inicialmente como referencia un resumen de este estudio.

La investigacin

Se trata de un trabajo centrado en el estudio de la comprensin del conocimiento matemtico a travs de su diagnstico y evaluacin. Encuentra su justificacin en las cuestiones abiertas generadas por la comprensin, como fenmeno cognitivo y como objeto de estudio y en los problemas didcticos y cognitivos existentes en el campo del Clculo Aritmtico Elemental. El marco general en el que se sita el problema de investigacin se articula en torno al diagnstico y la evaluacin de la comprensin del conocimiento matemtico (Gonzlez y Ortiz, 2000; Gonzlez, 2001) y a las bases conceptuales adoptadas por el grupo de investigacin Pensamiento Numrico (Castro, Rico y Romero, 1997). El propsito central del estudio consiste en sentar las bases

tericas y metodolgicas de una aproximacin integradora y operativa al fenmeno de la comprensin del conocimiento matemtico fundada en el diagnstico y la evaluacin de los comportamientos observables en los sujetos. La potencialidad prctica de dicha propuesta se pone de manifiesto con su aplicacin al caso concreto del algoritmo estndar escrito para la multiplicacin de nmeros naturales.

En la primera parte de la investigacin se extrae la base de resultados y consecuencias necesaria para justificar y sustentar la Aproximacin pretendida, que puede entenderse como un estudio terico fundamental en el que se configura un marco que permite organizar, integrar y ampliar con interpretaciones plausibles los modelos y planteamientos sobre comprensin identificados en Educacin Matemtica as como un procedimiento metodolgico con el que afrontar el problema del diagnstico y la evaluacin de la comprensin del conocimiento matemtico desde lo observable. El mtodo reconoce la especificidad del conocimiento matemtico en estudio; exige la realizacin previa de un anlisis fenmeno-epistemolgico de este conocimiento, a fin de organizar el conjunto situacional que le da sentido; se realiza en trminos de capacidad de enfrentar con xito situaciones pertenecientes a las distintas categoras surgidas del cruce de las estructuras epistemolgica y fenomenolgica resultantes de los anlisis previos y requiere la identificacin de aquellos elementos fenmeno-epistemolgicos influyentes a nivel cognitivo, que son los responsables, entre otros aspectos, de la caracterizacin de los sujetos en trminos de comprensin.

A partir de aqu, la investigacin se dirige a la aplicacin del marco metodolgico establecido al caso concreto del algoritmo estndar escrito para la multiplicacin de nmeros naturales. La primera etapa de aplicacin consiste en el estudio fenmeno-epistemolgico del algoritmo, de donde se constituyen las estructuras que permiten establecer una ordenacin situacional terica depurada con tres categoras epistemolgicas (Tcnica, Analtica y Formal) y dos fenomenolgicas (situaciones Exclusivas y No-Exclusivas) y una batera inicial de posibles situaciones idneas para ser empleadas en tareas de diagnstico y evaluacin de la comprensin.

Esta fase es completada con dos estudios empricos exploratorios, uno cuantitativo y otro cualitativo, dirigidos a contrastar la extensin a nivel cognitivo de la organizacin situacional establecida. De ellos se obtienen las referencias precisas, en cuanto a instrumentos, respuestas y comportamientos tipo e interpretaciones en trminos de comprensin, para el desarrollo de un nuevo estudio emprico cualitativo, en el que utilizando la entrevista semiestructurada sobre cuestionario escrito, se llega a: caracterizar, de forma detallada, los estados y perfiles de comprensin del algoritmo asociados a la muestra participante de 24 alumnos; aportar nueva informacin sobre las particularidades de la comprensin del algoritmo a partir de los matices y relaciones identificados y extraer conclusiones genricas referentes a la comprensin del conocimiento matemtico en general.

Con la investigacin se pone de manifiesto, entre otros aspectos, cmo los anlisis epistemolgicos y fenomenolgicos asociados a un conocimiento matemtico especfico proporcionan criterios objetivos para la organizacin de su conjunto situacional y para la seleccin de tareas y situaciones con las que valorar la comprensin en los sujetos. As sucede en el caso del algoritmo estndar escrito para la multiplicacin de nmeros naturales, donde se llegan a identificar distintas facetas de comprensin, de origen epistemolgico (tcnica, analtica y formal) y fenomenolgico (fundamental y extendida), que permiten la descripcin de diferentes estados y perfiles de comprensin entre los sujetos. Finalmente, el estudio realizado constituye un ejemplo de cmo abordar los problemas relativos a los distintos aspectos vinculados con la comprensin de conocimientos matemticos especficos, incluso los de naturaleza interna, mediante

la elaboracin y aplicacin de aproximaciones, como la presentada, de carcter terico-metodolgico centradas en el estudio de lo observable.

La investigacin se desarrolla segn el esquema de la figura 2, en el que se muestran los estudios realizados en cada etapa del trabajo, las relaciones entre ellos, los principales resultados obtenidos en cada caso y las cuestiones pendientes para las siguientes fases.

Aplicacin del Anlisis Didctico En la investigacin contemplada hemos adoptado el Anlisis Didctico como referente metodolgico para la seleccin y el tratamiento de los antecedentes (figura 2).

Fase 1: revisin primaria En lo referente a la estructura, organizacin y exposicin de la informacin, se ha seguido un proceso de concrecin acorde con la delimitacin del rea problemtica en el que la informacin tratada llega a organizarse en dos bloques temticos. El primero de ellos se centra en:

(a) la comprensin en general (antecedentes relacionados). Se lleva a cabo una revisin y anlisis de referencias no exhaustivo de la informacin en torno al fenmeno de la comprensin en los campos de la Filosofa, Sociologa, Epistemologa y Psicologa. La informacin revisada proviene, en su mayora, de obras de primer nivel, complementada con algunas referencias de segundo nivel. En este caso, las aportaciones presentadas no son exhaustivas ni definitivas sino que constituyen una primera aproximacin parcial al conocimiento existente. No obstante, los anlisis realizados en este mbito, aunque limitados, manifiestan un alcance suficiente para los propsitos de la investigacin.

(b) la comprensin del conocimiento matemtico, su diagnstico y evaluacin (antecedentes especficos). Se expone una revisin lo suficientemente representativa como para configurar un panorama preciso del estado actual en el que se encuentra la investigacin en este mbito. La exposicin se inicia con unos preliminares sobre la importancia de la comprensin en Educacin Matemtica, la evolucin de los trabajos realizados en los ltimos aos y una clasificacin genrica de los tipos de estudios existentes. A continuacin se realiza una exposicin detallada de las aproximaciones ms relevantes y se incluyen algunas aportaciones centradas en las relaciones de la comprensin del conocimiento matemtico con otras nociones vinculadas de similar complejidad. Las cuestiones referentes a la valoracin de la comprensin aparecen de forma recurrente en la mayora de los estudios revisados de forma que en este bloque tambin se dedica una especial atencin al anlisis de los procesos de diagnstico y evaluacin de la comprensin del conocimiento matemtico, cuyo desarrollo efectivo constituye el ncleo y, a la vez, el principal reto de la investigacin realizada.

Como segundo bloque temtico, al dirigirse la atencin hacia un conocimiento matemtico especfico como es el algoritmo estndar escrito para la multiplicacin de nmeros naturales, la revisin contempla tambin algunos problemas de inters propios del campo del clculo aritmtico elemental, establecindose una segunda delimitacin para el rea de estudio. A diferencia de lo realizado en el primer bloque, esta revisin se extiende lo preciso para garantizar un primer acercamiento a la naturaleza de los algoritmos y procedimientos algortmicos, una descripcin de la problemtica vigente en Educacin Matemtica acerca de la enseanza de los algoritmos estndar escritos para las cuatro operaciones aritmticas elementales as como del clculo aritmtico elemental en sus distintas manifestaciones y un examen de las diferentes posiciones y lneas de actuacin propuestas para la enseanza de la aritmtica elemental. Igualmente, se tratan diversos temas relacionados con el aprendizaje y la comprensin de los algoritmos y el clculo aritmtico. En concreto, se rene, se organiza y sintetiza parte de

la informacin existente sobre razonamiento y pensamiento algortmico, sobre aportaciones recientes al clculo aritmtico desde la perspectiva del estudio de errores, sobre aritmtica cognitiva, tareas y situaciones matemticas y sobre los factores y condicionantes que intervienen en el aprendizaje del clculo aritmtico elemental, entre otros aspectos.

Interrogantes y cuestiones abiertas sobrecomprensin del conocimiento matemticoy su diagnstico y evaluacin.

Revisin Primaria de Antecedentes (I) Revisin Primaria de Antecedentes (II)

-Logros parciales; objetivos especficos no-comunes; discrepancias importantes; limitaciones en las propuestas para la valoracin; cuestiones abiertas en comprensin del clculo aritmtico elemental. - Conveniencia de desarrollar aproximaciones a la comprensin integradoras y operativas. (*)-(**)

Anlisis de Relaciones

Interrogantes y cuestiones abiertas sobreenseanza y aprendizaje de los algoritmosy el clculo aritmtico elementales.

Aproximacin a la comprensin del conocimiento matemtico

Aplicacin de la Aproximacin Estudios exploratorios

- Anlisis fenmeno-epistemolgico; ordenacin del campo situacional; categoras provisionales. Pendiente: contrastacin emprica de las categoras y situaciones. (***)

- Inters interdisciplinar por el fenmeno de lacomprensin. - Distintas aproximaciones en Educacin Matemtica.-Situacin atomista con estudios centrados enaspectos concretos de la comprensin. - Dificultades y limitaciones en la valoracin de lacomprensin. (*)

Segunda experiencia emprica

Aplicacin del Anlisis Didctico en el tratamiento de la informacin.

- Polmicas en las propuestas deenseanza. - Diversidad en los supuestos deaprendizaje. -Limitaciones en las tareas y situaciones. (*)

- Bases conceptuales y referencias tericas. Propuesta para el diagnstico y la evaluacin de la comprensin del conocimiento matemtico. Pendiente: Aplicacin de la propuesta sobre el algoritmo estndar escrito del producto. (**)

- Ajuste de categoras y anlisis de situaciones. - respuestas tipo provisionales y primeras interpretaciones. Pendiente: Extensin al plano cognitivo. Uso de estas referencias en el diagnstico y evaluacin de la comprensin. (***)

- Identificacin de estados y perfiles de comprensin. - Informacin sobre aspectos especficos de la comprensin del conocimiento matemtico en estudio.- Consecuencias generales sobre el fenmeno de la comprensin. (***)

(*) Justificacin; (**) Desarrollo; (***) Aplicacin

Figura 2. Esquema-resumen del proceso seguido en la investigacin

PRIMERA FASE

Antecedentes Relacionados Antecedentes Especficos

COMPRENSIN DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO COMPRENSIN

5.Consideraciones preliminares 1.Comprensin en Filosofa ySociologa del conocimiento

La comprensin como objetivofundamental en Ed. Matemtica;evolucin histrica de losestudios sobre comprensin;tipos de investigaciones

Dimensiones metodolgica ehistrico-ontolgica; aportaciones de Wittgenstein

2.Perspectiva epistemolgica

3.Perspectiva psicolgica

4.Otros enfoques y aportaciones

6.Aproximaciones al fenmeno dela comprensin del conocimientomatemtico

7.Nociones vinculadas a lacomprensin en Ed. Matemtica

OTRAS REAS DE CONOCIMIENTO [Filosofa, Sociologa,

Epistemologa, Psicologa] DIAGNSTICO Y EVALUACIN DE LA

COMPRENSIN DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO

8.Modos y trminos en los quevalorar la comprensin

9.Mtodos, tcnicas e instrumentos

10.Dificultades y limitaciones Diagnstico y evaluacin de la comprensin del

algoritmo estndar escritopara la multiplicacin de

nmeros naturales

Naturaleza relativa de laevaluacin; el problema de lainterpretacin; complejidad yotras limitaciones

ALGORITMOS Y CLCULO ARITMTICO ELEMENTALES

1.Algoritmos y procesos algortmicos

2.Enseanza de los algoritmos y el clculo aritmtico elementales

Polmicas curriculares; enseanza de algoritmos estndar; enfoques deenseanza no tradicionales (algoritmos escritos alternativos, invencinde algoritmos propios); aproximaciones integradoras

3.Aprendizaje y comprensin de los algoritmos y el clculo aritmticoelementales

Razonamiento y pensamiento algortmico; errores en clculo aritmtico;aritmtica cognitiva; tareas y situaciones matemticas, factores ycondicionantes

SEGUNDA FASE

A.Complejidad y especificidad

B. Estudios y modelos

Naturaleza; clasificacin;discusin y crtica

I. COMPRENSIN DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO

II. DIAGNSTICO Y EVALUACIN DE LA COMPRENSIN DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO

C. Observacin y recogida de datos

D. Estudios y modelos

Manifestaciones externas; complementariedad actuar-expresar

E. Interpretacin y valoracin deacciones

Limitaciones; relatividad de lavaloracin; valoracin yrepresentacin; valoracin ydesarrollo

F. Fundamentacin del diagnstico

Eleccin de situaciones; necesidad deuna fundamentacin fenmeno-epistemolgica

I. Comprensin del conocimientomatemtico

II. Diagnstico y evaluacin dela comprensin del conocimientomatemtico

III. Diagnstico y evaluacinde la comprensin del algoritmoestndar escrito para lamultiplicacin de nmerosnaturales

AN

TE

CE

DE

NT

ES

(I)

IV. CONSECUENCIAS PARA LA INVESTIGACIN

III. COMPRENSIN Y CLCULO ARITMTICO ELEMENTAL

AN

TE

CE

DE

NT

ES

(II

)

Figura 3. Estructura general de antecedentes

Los contenidos analizados se distribuyen segn la estructura esquemtica de la figura 3 (primera fase), que refleja, el proceso de concrecin seguido en el estudio. Tras esta fase se alcanza una sntesis estructurada y comentada de la informacin puntual recopilada en torno a los aspectos ms relevantes del rea problemtica.

Fase 2: anlisis de relaciones

A continuacin se procede con la revisin crtica de la informacin recopilada y el estudio de las relaciones ms destacadas entre los distintos campos revisados con objeto de extraer conclusiones operativas y prioridades para la investigacin. De este modo, se hacen explcitos los principales resultados obtenidos del cruce de planteamientos entre autores y de la propia reflexin crtica realizada sobre sus principales supuestos.

En consecuencia, la revisin primaria de informacin se emplea en esta segunda fase en funcin de su utilidad para la reflexin en torno a los temas centrales de la investigacin, como son los relacionados con la complejidad del fenmeno de la comprensin, las caractersticas de los enfoques, aproximaciones y modelos sobre comprensin en Educacin Matemtica, el diagnstico y evaluacin de la comprensin, la influencia determinante del conocimiento matemtico o la comprensin y su valoracin en el mbito especfico de los algoritmos y el clculo aritmtico elementales, entre otros (figura 3, segunda fase). El resto de la informacin recogida, sobre la que no se realiza una discusin abierta, resulta secundaria para los objetivos de la investigacin, si bien sirve para contextualizar y completar el mbito de estudio en el que nos situamos.

Por otra parte, en la investigacin se consider necesario realizar esfuerzos por establecer una base de conocimientos referencial y contrastada en torno a la comprensin del conocimiento matemtico con objeto de evitar cualquier posicin escptica en lo que concierne a la posibilidad de alcanzar algn entendimiento sobre dicho fenmeno. En esta cuestin en particular, el Anlisis Didctico dio muestras de resultar especialmente eficaz como mtodo para identificar aquellos nuevos conocimientos incorporables a esa base consensuada de conocimientos adems de para presentar y caracterizar nuevas cuestiones problemticas susceptibles de estudio.

A modo de ejemplo, presentamos algunos de los resultados de distinto tipo obtenidos tras la aplicacin del Anlisis Didctico en el contexto de la comprensin del conocimiento matemtico. Sus diferencias pueden apreciarse con facilidad por los trminos en los que se enuncian, quedando igualmente patente la articulacin existente entre ellos:

Resultado primario referente a los enfoques elaborados en Educacin Matemtica:

[RP] En Educacin Matemtica se identifican mltiples aproximaciones a la comprensin del conocimiento matemtico, como la posicin representacionalista (Hiebert y Carpenter, 1992; Davis, 1992; Castro et al., 1997; Romero, 2000), la aproximacin histrico-emprica de Sierpinska (1990, 1994), la teora del crecimiento de la comprensin matemtica de Pirie y Kieren (Pirie y Kieren, 1989, 1994; Kieren, Pirie y Gordon, 1999), los modelos de comprensin, de categoras y cognitivos (Nakahara, 1994; English y Halford, 1995; Ainley y Lowe, 1999) o los trabajos desarrollados con fines valorativos (Duffin y Simpson, 1997; Godino, 2000, 2002) o curriculares (Hiebert et al., 1997; Fennema y Romberg, 1999).

Resultado secundario derivado del anlisis de relaciones entre las distintas aproximaciones identificadas:

[RS] En la investigacin sobre comprensin del conocimiento matemtico se suelen adoptar perspectivas diferentes, abordar cuestiones parciales y plantear objetivos no comunes a corto plazo. Los trabajos ms recientes podran situarse en alguno de los siguientes enfoques genricos:

(a) Enfoque directo (principios de la comprensin), donde se contempla la comprensin del conocimiento matemtico desde una perspectiva amplia y profunda, centrndose el inters en el estudio de aspectos como su naturaleza, funcionamiento, evolucin o valoracin.

(b) Enfoque indirecto (consecuencias de la comprensin), en el que se sitan aquellos trabajos preocupados por el desarrollo de la comprensin matemtica y por la gestin externa de los efectos que produce.

En trminos generales, podra afirmarse que el panorama actual sobre la comprensin en Didctica de la Matemtica muestra un carcter atomista, con un bajo nivel de cohesin entre los estudios del primer enfoque, un leve predominio de la aproximacin representacionalista sobre el resto de orientaciones y una limitada articulacin entre los estudios posicionados en los enfoques directo e indirecto.

Consecuencias con repercusiones directas para la investigacin propia:

[C1] Los procesos de comprensin se pueden estudiar desde puntos de vista diferentes, aunque las diferencias que surgen entre las distintas aproximaciones no implican necesariamente que algunas de ellas deban ser falsas. Los desacuerdos puntuales los entendemos ms bien como necesarios para ir progresando en la lnea de lograr un mayor entendimiento, el mayor posible, sobre el fenmeno de la comprensin.

Ahora bien, al mismo tiempo:

[C2] Somos partidarios de realizar esfuerzos en busca de teoras unificadoras que renan, vertebren y articulen los distintos planteamientos existentes en torno a la comprensin del conocimiento matemtico. De hecho, admitimos tal posibilidad, de modo que apostamos por aproximaciones integradoras a la comprensin en matemticas.

El Anlisis Didctico como mtodo para el estudio del conocimiento matemtico

El procedimiento metodolgico derivado de la Aproximacin a la comprensin desarrollada en el estudio tomado como ejemplo aborda el problema de la determinacin y seleccin de situaciones adecuadas para ser empleadas en labores de diagnstico y evaluacin de la comprensin de conocimientos matemticos particulares. Para llevar a cabo esta labor se ha contado de nuevo con el apoyo del Anlisis Didctico, orientado en esta ocasin al estudio de la epistemologa y fenomenologa del conocimiento matemtico:

- De una parte, interesa analizar aquellos conocimientos que lo conforman o sustentan dado que su comprensin depende en gran medida de ellos. Adems, conviene relacionar el conocimiento matemtico en estudio con aquellos otros ms prximos, en

cuanto a su epistemologa se refiere. En definitiva, como paso previo es necesario estudiar la naturaleza del conocimiento matemtico seleccionado.

- De otra, tambin resulta esencial considerar la relacin del conocimiento matemtico con los fenmenos y situaciones que lo hacen significativo. Para ello, es preciso analizar previamente cules son estas situaciones y fundamentar todos los estudios de esta clase en el anlisis fenomenolgico2 del conocimiento matemtico (Puig, 1997).

La aportacin del Anlisis Didctico en la configuracin del mtodo de valoracin propuesto se concreta del siguiente modo:

Primera fase Se procede con el anlisis de la informacin disponible en torno al conocimiento matemtico, para lo que se realiza una revisin de una muestra representativa de libros de texto de matemticas, una consulta especfica de antecedentes de investigacin centrada exclusivamente en aquellos aspectos fenmeno-epistemolgicos relacionados con el conocimiento matemtico en estudio y una revisin de obras de matemticas y de formacin didctica donde est presente dicho conocimiento.

De este primer acercamiento, se extrae como resultados primarios (a) una batera inicial de situaciones y (b) unos primeros elementos caracterizadores de la epistemologa y fenomenologa del conocimiento.

Segunda fase

A partir de la reflexin realizada sobre el material recopilado en la fase anterior se lleva a cabo un primer intento de ordenacin del conjunto situacional asociado al conocimiento, con una propuesta inicial de clasificacin que es puesta a prueba a travs de una consulta a expertos en Educacin Matemtica. De la consulta interesa considerar, sobre todo, las sugerencias de modificacin y las posibilidades de ampliacin tanto del campo de situaciones como de las propias categoras.

A partir de aqu, el mtodo prosigue con la caracterizacin de las estructuras epistemolgica y fenomenolgica asociadas al conocimiento matemtico a partir de los resultados obtenidos en las etapas previas desarrolladas con la mediacin del Anlisis Didctico. En Gallardo y Gonzlez (2006) puede encontrarse una caracterizacin detallada de cada una de las categoras situacionales establecidas as como algunos resultados sobre la comprensin del algoritmo expuestos a travs de ejemplos de situaciones resueltas por los alumnos.

FRONTERAS DEL ANLISIS DIDCTICO

En el transcurso de la aplicacin del Anlisis Didctico surgen diversas limitaciones y dificultades que generan cuestiones especficas y dejan abiertas posibles vas de continuacin y mejora del mtodo para futuros estudios. Resumimos a continuacin las que nos parecen ms significativas.

1. El control sobre las fuentes y tipos de informacin ms relevantes plantea problemas de distinta ndole. Como ejemplo, el acceso efectivo a la documentacin a texto completo o el carcter verstil de los formatos empleados en la difusin del conocimiento son algunas de las dificultades destacables que influyen directamente sobre los resultados proporcionados por el mtodo. Estas cuestiones, a las que no son ajenos otros procedimientos de revisin de antecedentes, fomentan la discusin en torno a cules son las posibilidades, y dnde habran de establecerse los lmites exigibles para

la investigacin, de adquisicin efectiva de informacin y de representatividad del material bibliogrfico recopilado.

2. En este orden de reflexin, la informacin primaria proporcionada por el Anlisis Didctico, al igual que por cualquier otro mtodo de revisin documental, debe considerarse necesariamente incompleta y provisional puesto que siempre cabe la posibilidad de una exploracin de mayor alcance que integre los trabajos ms recientes y contemple nueva informacin proveniente de otros campos diferentes a los considerados. Esta circunstancia genera cuestiones abiertas sobre la suficiencia de la revisin realizada y la justificacin de su extensin en base a los propsitos de la investigacin. No obstante, a pesar de tal limitacin, entendemos que la revisin primaria sugerida por el Anlisis Didctico, dado que favorece la saturacin3 en la informacin obtenida durante el proceso de recopilacin, garantiza que las aportaciones sean representativas del conocimiento existente o al menos manifiesten un alcance considerable apto para los objetivos de la investigacin a realizar.

3. El Anlisis Didctico aspira a alcanzar una articulacin slida entre resultados primarios, resultados secundarios y consecuencias, lo que ha de entenderse, en lo que a especificacin se refiere, como uno de los avances ms significativos respecto a otros mtodos de anlisis de antecedentes. Pero al mismo tiempo ha de reconocerse que la red de relaciones entre tipos de resultados puede llegar a ser compleja y difcil de establecer si el campo de estudio es extenso y la profundidad pretendida en el anlisis es elevada. Ante tal dificultad consideramos que son los propios propsitos de la investigacin los que proporcionan en este caso las referencias precisas para delimitar las fronteras de la reflexin caracterstica de la segunda fase del Anlisis Didctico.

4. Respecto al uso del mtodo como procedimiento para la identificacin y ordenacin de situaciones vinculadas a conocimientos matemticos concretos, debemos aceptar, por una parte, el hecho de que es imposible mostrar la totalidad de situaciones en las que tiene sentido el empleo de un conocimiento matemtico debido a su complejidad. Por otra parte, aunque admitamos como Puig (1998) que no es deseable en la investigacin elaborar caracterizaciones exhaustivas y minuciosas para los conjuntos situacionales, s recomendamos, con vistas a identificar en la prctica los lmites de la aplicabilidad de los anlisis fenmeno-epistemolgicos, futuras reflexiones dirigidas a establecer unas pautas procedimentales precisas con las que poder desarrollar anlisis certeros de forma sistemtica con independencia de la complejidad del conocimiento matemtico considerado.

5. El Anlisis Didctico viene siendo empleado en el seno de la SEIEM en contextos distintos y con sentidos y propsitos diferentes. Como ejemplo, cabe destacar su uso en el mbito de la formacin de profesores como instrumento conceptual y metodolgico para la planificacin curricular y la organizacin a nivel local de la enseanza de las matemticas escolares (Gmez, 2002, 2006) y tambin bajo el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica en el terreno del anlisis de tareas matemticas particulares y de las actividades generadas en torno a ellas durante su resolucin (Godino et al., 2003). En el empleo del Anlisis Didctico en estas perspectivas, al igual que en la variante descrita en este trabajo para el estudio del conocimiento matemtico, puede reconocerse con facilidad un inters comn por profundizar en la complejidad del conocimiento matemtico y por establecer dimensiones, categoras o componentes con las que controlar dicha complejidad de forma efectiva y operativa. Al mismo tiempo, son evidentes tambin las diferencias entre las distintas configuraciones reseadas, mostrndose en aspectos tan concretos como las dimensiones o componentes constitutivos del mtodo en cada caso, los fines perseguidos en su aplicacin o el agente propuesto para su ejecucin efectiva. En nuestra opinin, esta situacin reclama el

desarrollo de nuevas reflexiones y actuaciones integradoras orientadas fundamentalmente a delimitar con mayor precisin las divergencias actuales y vincular en lo posible las distintas perspectivas existentes.

COMENTARIOS FINALES

La metodologa de investigacin en Educacin Matemtica es considerada uno de los temas prioritarios de discusin actual ms determinantes para el desarrollo del rea en las prximas dcadas (English, 2002). Como contribucin a esta lnea de reflexin, en el presente trabajo se han expuesto los aspectos generales que configuran al Anlisis Didctico como procedimiento metodolgico para la investigacin en Educacin Matemtica, ilustrndose su operatividad mediante su aplicacin en un estudio concreto desarrollado en el mbito de la comprensin del conocimiento matemtico.

A nuestro entender, la potencialidad del mtodo radica esencialmente en su capacidad para garantizar un nivel elevado de especificacin y concrecin para la fase de revisin de antecedentes, manifestando al mismo tiempo una alta disponibilidad para ser empleado en una amplia variedad de investigaciones. De igual forma, por su configuracin entendemos que el Anlisis Didctico proporciona concreciones precisas que pueden resultar de inters en mbitos tan relevantes como los relacionados con la calidad de la investigacin (Simon, 2004) o la formacin de investigadores en Educacin Matemtica.

NOTAS

1. En general, la aproximacin a estas otras reas con instrumentos metodolgicos como el Anlisis Didctico nos permite apreciar de una mejor forma la contribucin que el conocimiento generado en ellas realiza sobre los problemas de investigacin especficos tratados en Educacin Matemtica. Tanto es as que parte de los resultados proporcionados por el Anlisis Didctico podran contemplarse como indicadores de la influencia que otros campos de investigacin ejerce sobre las cuestiones particulares estudiadas en Educacin Matemtica.

2. Empleado aqu con un propsito diferente al de Freudenthal (1983) o Assude (1996); el objetivo principal no es la organizacin de la enseanza de las matemticas, sino el diagnstico y la evaluacin de la comprensin de un conocimiento matemtico.

3. Nos referimos al fenmeno que acontece cuando la fase de revisin primaria est avanzada y la incorporacin de nuevas referencias y contenidos no resulta significativa para el conjunto de conocimientos previamente recopilados y estructurados, bien porque aportan informacin marginal o porque ya aparecen reflejados en l. Esta saturacin puede contemplarse como un indicador de primer orden para constatar la amplitud y profundidad de la revisin realizada.

REFERENCIAS

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