guia matematicas 2014

ORIENTACIONES

PEDAGÓGICAS PARA EL

DESARROLLO DEL

PENSAMIENTO

MATEMÁTICO

Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático

El curso taller Orientaciones Pedagógicas para Desarrollar el Pensamiento Matemático

fue diseñado por la Coordinación Estatal de Asesoría y Seguimiento para la Reforma

Curricular de la Educación Primaria–Hidalgo, Dirección de Educación Primaria, Dirección

General de la Educación Básica, Subsecretaría de Educación Básica y la Secretaría de

Educación Pública de Hidalgo.

D IRECTORIO

Lic. J. Francisco Olvera Ruiz GOBERNADOR CONSTITUCIONAL DEL ESTADO DE HIDALGO Profr. Joel Guerrero Juárez SECRETARIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE HIDALGO Profra. María Luisa Pérez Perusquia SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA Mtro. Fernando Cuatepotzo Costeira SUBSECRETARIO DE PLANEACIÓN Y EVALUACIÓN SECTORIAL DE POLÍTICAS EDUCATIVAS Profra. María Elena Núñez Soto DIRECTORA GENERAL DE EDUCACIÓN BÁSICA Profra. Flora Cervantes Reyes DIRECTORA DE EDUCACIÓN PRIMARIA Profr. Juan Lara Sánchez DIRECTOR DE EDUCACIÓN INDÍGENA Mtra. Gisela Escamilla Lorenzo COORDINADORA ESTATAL DE ASESORÍA Y SEGUIMIENTO EN PRIMARIA

ELABORACIÓN

Mtro. Andrés Dimas Ríos COORDINACIÓN ACADÉMICA

Mtro. Gabriel Espino Pallares L.E.P. Valente Sánchez Simón

L.E.M. Gabriel Espino Salinas Profra. Rosa María Segovia Bernal

Mtra. Jaqueline Peña Sánchez L.E.P. David Soria Garnica


ÍNDICE

CONTENIDO Pág.

PRESENTACIÓN .............................................................................................................. 5

TABLA DE CONTENIDOS .................................................................................................. 8

PROPÓSITO .................................................................................................................. 10

TEMA 1. MATEMÁTICAS Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

1. Matemáticas y Pensamiento Matemático............................................................ 11

2. Recuperando la experiencia del aprendizaje en matemáticas ............................ 12

3. Movilizando el pensamiento matemático ............................................................ 14

4. Revisando a los especialistas ............................................................................. 16

5. Revisando nuestros programas .......................................................................... 45

TEMA 2. MODELOS DE ENSEÑANZA EN LA MATEMÁTICA

1. Reflexionando el modelo didáctico del trabajo matemático................................. 50

2. El aprendizaje de las matemáticas. Modelos ...................................................... 51

TEMA 3. METODOLOGÍA Y ENFOQUE DE TRABAJO DE LA MATEMÁTICA EN EL PLAN Y

PROGRAMA 2011

1. ¿Qué del enfoque didáctico? ............................................................................. 64

2. La renovación de la práctica escolar y docente de la matemática ...................... 65

3. Analizando una experiencia de docencia en Matemáticas ................................. 75

4. El enfoque didáctico de las matemáticas en el Plan y Programas de Estudio .... 76

5. ¿Por qué la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas...... 80


TEMA 4. ANÁLISIS CURRICULAR. VISIÓN GLOBAL Y ESPECÍFICA DE LOS PROGRAMAS

DE MATEMÁTICAS.

1. ¿Qué conoce el docente de los Programas de Estudio 2011 ............................. 92

2. Reconociendo los propósitos de la asignatura de matemáticas ......................... 94

3. Reconociendo los Estándares de Educación Básica .......................................... 95

4. Reconociendo las competencias matemáticas ................................................. 106

5. El pensamiento matemático de la Educación Básica ........................................ 108

6. La aplicación de la geometría en la vida cotidiana ............................................ 112

7. La gradualidad y complejidad de los aprendizajes esperados en la Primaria ... 115

8. Nuestros conocimientos, experiencias y aportaciones cuentan ........................ 118

9. Situaciones Didácticas en el Aula ..................................................................... 121

TEMA 5. LO QUE DEBES SABER DE ENSEÑAR Y APRENDER MATEMÁTICAS

1. Matemática Básica ............................................................................................ 125

2. Lo que conozco de una Noción Matemática ..................................................... 127

3. Explorando las Nociones .................................................................................. 128

4. Las actividades permanentes ........................................................................... 135

5. Algunas ideas, actividades y problemas ........................................................... 136

6. Para compartir y cerrar ..................................................................................... 138

7. Otras actividades para el Diario ........................................................................ 147

8. Sugerencias de Organización del Aula de Clases ............................................ 148

TEMA 6. HERRAMIENTAS PARA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

1. ¿Qué contiene el saber matemático? .............................................................. 149

2. Un poco de historia en la formación docente .................................................... 150

3. Las Herramientas Digitales ............................................................................... 154

4. Consultando Bibliografía. ................................................................................. 176

5. Juegos de patio y mesa .................................................................................... 188

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 198


PRESENTACIÓN

“Lo que el proceso creativo de la Matemática implica es: andar a tientas, conjeturar, hacer hipótesis. A fin de comprender un concepto clave, a fin de formular una conjetura y de encontrar una demostración es preciso emplear imaginación, intuición, adivinación, percepción profunda, experimentación, asociación fortuita de ideas, suerte, trabajo duro y paciencia inmensa”

Morris Klein

En el contexto del tiempo histórico que nos ha tocado vivir, donde el fenómeno sociopolítico,

cultural y económico de la Globalización y de la llamada Sociedad del Conocimiento,

demanda ser actores de la trasformación positiva y cuidadosa del mundo que habitamos, se

hace necesario el desarrollo consciente y decidido de las competencias para la vida que le

permitan al sujeto hacer frente a los retos y problemas que la dinámica social día a día va

tejiendo.

Así, la Escuela afronta la necesidad de transitar del modelo de enseñanza tradicional; que si

bien no deja de tener vigencia y funcionalidad carece de muchos elementos, a uno que cubra

los requerimientos de desarrollar en el alumno un pensamiento complejo, critico, científico y

matemático hasta conformarse en lo que Zemelman designa como Pensamiento epistémico1

el cual no tiene como finalidad la reproducción del conocimiento sino la construcción de otro

nuevo, de pensar lo no pensado.

El presente curso taller denominado: Orientaciones Pedagógicas para desarrollar el

Pensamiento Matemático tiene como propósito principal abonar, en una parte, a la cimiente

de dicho pensamiento epistémico a través de generar, al interior de los colectivos escolares,

un espacio de análisis, reflexión e innovación de la práctica docente con respecto a la

enseñanza y aprendizaje de la Matemática.

La Coordinación Estatal de Asesoría y Seguimiento (CEAS) de la Reforma Integral para la

Educación Básica (RIEB), favorece como principio de innovación docente, la apertura de

espacios analíticos y reflexivos de la propia práctica y de la escolar principalmente; debido a

que la experiencia obtenida durante el periodo de la Reforma Integral nos ha permitido

reconocer que los esfuerzos conjuntos del colectivo escolar en la tarea de innovar su práctica

tienen mayores alcances e impacto que los que se realizan de forma individua, aislada o

1 Hugo Zemelman Merino. (2001). Pensar teórico y pensar epistémico. Los retos de las ciencias sociales Latinoamericanas. Conferencia Magistral, Universidad de la Ciudad de México. 10 de noviembre de 2001. “… es precisamente el de construir el conocimiento de aquello que no se conoce, no de aquello que se conoce. Este es el fundamento de la principal función del pensamiento epistémico: este funciona con categorías sin contenidos precisos y, en el quehacer concreto de la persona, se traduce en la capacidad de plantearse problemas…”


esporádica. Cuestionarnos de forma crítica ¿Qué tipo de Matemáticas enseñamos en la

escuela? ¿Cómo enseñamos la matemática? ¿Qué y cómo aprenden matemáticas nuestros

alumnos? Requiere de un esfuerzo profesional serio y sistemático, por lo que recomendamos

el trabajo del presente curso taller a nivel del Consejo Técnico Escolar en condiciones

espacio-temporales exprofeso para dicha tarea.

Convencidos de que el desarrollo del Pensamiento Matemático va más allá de reproducir el

contenido matemático, el enfoque del presente curso busca conducir al colectivo escolar a

reflexionar y analizar a profundidad en torno a las intenciones de los planteamientos

curriculares, mismas que permitan al colectivo escolar dar mejor sentido y argumento a la

generación de situaciones didácticas para el aprendizaje de las matemáticas en la escuela

primaria.

El curso se presenta para su desarrollo en cinco sesiones en las que se desarrollarán 6

temas. La primera sesión aborda a profundidad la distinción y caracterización de dos

conceptos muy importantes como lo es Matemáticas y Pensamiento Matemático con la

intención de reconocer los elementos que los integran y con ello, orientar las acciones

didácticas cotidianas del trabajo docente, que, si bien son dos elementos íntimamente

relacionados tienen distintos aspectos en los que el docente debe tener claridad en su

tratamiento. Se complementa esta sesión con el tema dos, referido a los modelos de

enseñanza y aprendizaje de la matemática, con la intención de provocar un espacio de

autorreflexión y al interior del colectivo escolar que permita reconocer ¿Qué y cómo se

enseña Matemáticas en mi escuela? ¿Hacia dónde tenemos que transitar en dicha tarea?

La sesión 2 hace referencia a un conjunto de actividades que tienen la intención de

profundizar en el conocimiento del Enfoque Didáctico que marca el Plan y Programas para el

abordaje de la asignatura de Matemáticas. Que si bien es conocido de la mayoría de los

docentes nos parece necesario seguir reflexionando en torno a ¿Por qué “el problema”

orienta la construcción del conocimiento matemático y su didáctica? En dicha sesión también

se hace un llamado al colectivo docente a repensar la práctica docente con respecto a la

enseñanza de la matemática y focalizamos la atención en el concepto de “innovación”; pues

la CEAS tiene claro que los cambios y mejoras de la educación tiene que partir del interior de

las escuelas.

En la sesión 3 se trabaja un interesante ejercicio de Análisis Curricular, cuyas actividades

ofrecen algunas herramientas para fortalecer los elementos que integran la planificación

didáctica de esta asignatura; se hace una revisión minuciosa de las competencias, los

aprendizajes esperados, las lecciones del libro del alumno y los materiales que se requieren,

todo ello con la intención de tener un panorama global y especifico de los elementos

conceptuales y metodológicos que propone el currículo.

Dos de los componentes esenciales del desarrollo del Pensamiento y la construcción del

conocimiento matemático como son las nociones y habilidades matemáticas se plantean en

las actividades de la sesión 4 con el tema 5. Este espacio del taller, que se desarrolla

mayormente de forma práctica, orienta su intención a dimensionar la importancia y forma de

fortalecerlas o desarrollarlas a través de actividades permanentes.


Por último, la sesión 5 presenta, a lo largo de sus actividades, un conjunto importante de

estrategias y materiales didácticos que recuperan otro de los principios fundamentales que

dan sentido al presente curso taller, el cual refiere a la recuperación del saber didáctico que

se ha venido construyendo desde la reforma de 1993, pues reconocemos que existen

materiales muy valiosos que siguen teniendo vigencia en la generación de situaciones

didácticas, en el tratamiento de los contenidos matemáticos y en el desarrollo de muchos

aprendizajes esperados. En esta parte existe una riqueza importante, mucha de la cual

ponemos a su disposición bajo la premisa de que el docente y el colectivo escolar sabrán

adaptar, adecuar o modificar con la intención de diversificar e innovar la práctica docente y

escolar de la asignatura de matemáticas.

El trabajo de este curso taller se ha pensado en sesiones y tareas que pueden ser

autoadministrables a nivel escolar, así mismo, si bien los contenidos de las temáticas tienen

una lógica de presentación es posible que dichas sesiones puedan trabajarse de forma

independiente; sin embargo, si son complementarias.

La Coordinación de Asesoría y Seguimiento de la Reforma Integral de la Educación Básica-

Primaria realmente espera que este curso taller constituya una herramienta teórico-

metodológica que apoye la innovación de la práctica docente y escolar de la didáctica de la

matemática para el beneficio del alumnado hidalguense.


TABLA DE CONTENIDOS

SESIÓN TEMAS TIEMPOS ACTIVIDADES

1 1. Matemáticas y pensamiento matemático

5 H

OR

AS

Matemáticas y Pensamiento

Matemático

Recuperando la experiencia del

aprendizaje en matemáticas

Movilizando el pensamiento

matemático

Revisando a los especialistas

Revisando nuestros programas

2. Modelos de enseñanza en la matemática

Reflexionando el modelo didáctico del

trabajo matemático.

El aprendizaje de las matemáticas.

Modelos

2 3. Metodología y Enfoque de trabajo de la matemática en el Plan y Programa 2011

5 H

OR

AS

¿Qué del enfoque didáctico?

La renovación de la práctica escolar y

docente de la matemática.

Analizando una experiencia de

docencia en Matemáticas.

El enfoque didáctico de las

matemáticas en el Plan y Programas

de Estudio.

¿Por qué la resolución de problemas

en el aprendizaje de las matemáticas?

3 4. Análisis Curricular. Visión global y específica de los programas de Matemáticas

5 H

OR

AS

¿Qué conoce el docente de los

Programas de Estudio 2011?

Reconociendo los propósitos de la

asignatura de matemáticas

Reconociendo los Estándares de

Educación Básica.

Reconociendo las competencias

matemáticas.

El pensamiento matemático de la

Educación Básica.

La aplicación de la geometría en la vida

cotidiana.

La gradualidad y complejidad de los

aprendizajes esperado en la Primaria.

Nuestros conocimientos, experiencias y

aportaciones cuentan.

Situaciones Didácticas en el Aula.


SESIÓN TEMAS TIEMPOS ACTIVIDADES

4 5. Lo que debes saber de enseñar y aprender Matemáticas

5 H

OR

AS

Matemática Básica

Lo que conozco de una Noción

Matemática.

Explorando las Nociones.

Las actividades permanentes

Algunas ideas, actividades y problemas

Para compartir y cerrar

Otras actividades para el Diario.

Sugerencias de organización del Aula

de Clases.

5 6. Herramientas para el aprendizaje de las Matemáticas

5 H

OR

AS

¿Qué contiene el saber matemático?

Un poco de historia en la formación

docente.

Las Herramientas Digitales.

Consultando Bibliografía.

Juegos de patio y mesa.


PROPÓSITO :

GENERAR UN ESPACIO DE ANÁLISIS, REFLEXIÓN E INNOVACIÓN

DE LA PRÁCTICA DOCENTE Y ESCOLAR EN TORNO A LOS

ELEMENTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS DE LA DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA EN EL MARCO DEL PLAN Y PROGRAMAS 2011.


11

TEMA 1: Matemáticas y pensamiento matemático

El ejercicio de repensar los conceptos relacionados con las áreas o disciplinas del

conocimiento qué, como docentes, hemos construido a lo largo de nuestra formación

académica y profesional constituye una tarea permanente en el desarrollo de nuestro

quehacer educativo, por lo que implica generar espacios de análisis y reflexión a

nivel personal y escolar. Este es el propósito de la presente sesión que orienta sus

actividades primordialmente a la reflexión y la problematización del propio marco

conceptual con respecto al saber y a la didáctica de la matemática.

ACTIVIDAD 1 Matemáticas y Pensamiento Matemático

De manera individual dé respuesta a las siguientes preguntas:

Con base en la experiencia personal para Ud.

¿QUÉ ES MATEMÁTICAS? ¿QUÉ ES PENSAMIENTO MATEMÁTICO?

Con apoyo del coordinador expresen en plenaria sus respuestas a manera de

recuperar las diferencias o semejanzas de los conceptos del colectivo escolar:

CONCENTRADO COLECTIVO DE LOS CONCEPTOS DE:

30 Min.


12

¿QUÉ ES MATEMÁTICAS? ¿QUÉ ES PENSAMIENTO MATEMÁTICO?

En plenaria comenten brevemente a qué se deben esas diferencias o

semejanzas de conceptos y cómo inciden en el trabajo escolar y áulico con

respecto a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, escriba sus

notas con respecto a este análisis.

Recupere la experiencia personal y describa brevemente cómo fueron los

procesos de aprendizaje y enseñanza que tuvo en su formación académica en

el área de matemáticas a través de los distintos niveles educativos.

Mi experiencia de aprendizaje y cómo me enseñaron las matemáticas en:

ACTIVIDAD 2. Recuperando la experiencia del aprendizaje en

Matemáticas. 30 Min.


13

ACCIÓN PRIMARIA SECUNDARIA BACHILLERATO O

EQUIVALENTE SUPERIOR U

OTROS ESTUDIOS

YO COMO

ALUMNO

PAPEL DEL

MAESTRO

MATERIALES

QUE

UTILIZABA

CÓMO SE

EVALUABA

En plenaria intercambien 3 ó 4 experiencias, las que dé oportunidad de

presentar, bajo la idea de recuperar si existe una cultura o tradición de

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas a nivel escolar o institucional y,

derivado de ello enuncien las acciones o los motivos que inciden en el rechazo

o gusto por esta asignatura.

ACCIÓN O MOTIVO QUE IMPLICAN RECHAZO

POR LA MATEMÁTICA ACCIONES O MOTIVOS QUE IMPLICAN GUSTO

POR LA MATEMÁTICA.


14

ACCIÓN O MOTIVO QUE IMPLICAN RECHAZO

POR LA MATEMÁTICA ACCIONES O MOTIVOS QUE IMPLICAN GUSTO

POR LA MATEMÁTICA.

En plenaria, concluyan cómo han sido los modelos de enseñanza y

aprendizaje de la matemática en las pasadas 2 ó 3 décadas.

En binas resuelvan el siguiente reto matemático y vayan haciendo

anotaciones sobre los procesos, estrategias y elementos que ponen en juego

para poderlo resolver.

ACTIVIDAD 3: Movilizando el pensamiento matemático.

40 Min.


15

En plenaria compartan las notas que se generaron al resolver el reto

matemático.

¿Qué procesos mentales se pusieron en juego?

¿Qué estrategias utilizaron?

¿Cuáles fueron los conocimientos matemáticos que puso en juego?

¿Qué sentimientos o emociones surgieron en Ud.?


16

Con base en el análisis anterior enuncie alguna diferencia entre Matemáticas y

Pensamiento Matemático.

En plenaria organicen 4 equipos y cada equipo lea uno de los textos

incorporados que se presentan a continuación y elaboren algún instrumento

de procesamiento de la información para recuperar las ideas o conceptos

principales para compartir.

COURANT, Richard y HERBERT Robbins. (1979).

Introducción en ¿Qué es la Matemática?. Una

exposición elemental de sus ideas y métodos. Trad.

De Luis Bravo Gala. México: FCE, 2002

ACTIVIDAD 4. Revisando a los especialistas

70 Min.


17

INTRODUCCIÓN

¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA?

La matemática, como una expresión de la mente humana, refleja la voluntad activa,

la razón contemplativa y el deseo de perfección estética. Sus elementos básicos son:

lógica e intuición, análisis y construcción, generalidad y particularidad. Aunque diversas

tradiciones han destacado aspectos diferentes, es únicamente el juego de estas fuerzas

opuestas y la lucha por su síntesis lo que constituye la vida, la utilidad y el supremo valor

de la ciencia matemática.

Sin duda, todo el desarrollo matemático ha tenido sus raíces psicológicas en

necesidades más o menos prácticas. Pero una vez en marcha, bajo la presión de las

aplicaciones necesarias, dicho desarrollo gana impulso en sí mismo y trasciende los

confines de una utilidad inmediata. Esta tendencia de la ciencia aplicada hacia la teórica

aparece tanto en la historia antigua como en muchas de las contribuciones a la

matemática moderna debida a ingenieros y físicos.

La historia de las matemáticas comienza en Oriente, donde, hacia el año 2000 a. de

J.C., los babilonios poseían ya una gran cantidad de material que podría ser clasificado

hoy como perteneciente al álgebra elemental. Pero como ciencia, en el sentido moderno,

la matemática aparece más tarde, en Grecia, entre los siglos V y IV antes de J.C. El

contacto creciente entre el Oriente y los griegos, que comienza en los tiempos del

imperio persa y culmina en el período que sigue a las expediciones de Alejandro, puso a

los griegos al corriente de los conocimientos de los babilonios en matemática y

astronomía. La matemática fue sometida entonces a las discusiones filosóficas que

florecieron en las ciudades griegas. Los pensadores griegos se dieron pronto cuenta de

las grandes dificultades inherentes a los conceptos matemáticos de continuidad,

movimiento e infinitud, así como al problema de medir magnitudes arbitrarias con

unidades prefijadas. Entonces fue llevado a cabo un admirable esfuerzo para vencerlas

y el resultado, la teoría de Eudoxio del continuo geométrico, fue tal la perfección, que

para encontrar algo que pueda comparársele es necesario que, dos milenios más tarde,

aparezca la teoría moderna de los números irracionales. La tendencia axiomático-

deductiva en matemáticas tuvo su origen en tiempos de Eudoxio y cristalizó en los

Elementos de Euclides.

Sin embargo, aunque la tendencia teórica y axiomática de la matemática griega es

una de sus más importantes características y ha ejercido una influencia enorme, nunca

se insistirá demasiado en que las aplicaciones y conexiones con la realidad física

desempeñaron un papel importante como parte de la matemática de la antigüedad, y

que en muchas ocasiones fue preferido un modo de exposición menos rígido que el de

Euclides.

Es muy posible que el descubrimiento de las dificultades relacionadas con las

cantidades inconmensurables desviara a los griegos del desarrollo del cálculo numérico,

alcanzado con anterioridad en Oriente. En su lugar, se abrieron camino a través de


18

la geometría axiomática pura. Y así comenzó un extraño rodeo en la historia de la

ciencia, y quizá se perdió una gran oportunidad. Durante casi dos mil años, el peso de la

tradición geométrica griega retrasó la inevitable evolución del concepto de número y el

desarrollo del cálculo algebraico, que más tarde habían de ser la base de la ciencia

moderna.

Después de un período de preparación lenta, la revolución en la matemática y en la

ciencia comenzó su fase vigorosa en el siglo XVII, con la geometría analítica y el cálculo

diferencial e integral. Mientras la geometría analítica y el cálculo diferencial e integral, la

geometría griega conserva aún un lugar destacado, el ideal griego de cristalización

axiomática y de deducción sistemática desaparece durante los siglos XVII y XVIII.

Razonamientos lógicos y rigurosos, a partir de definiciones claras y no contradictorias,

axiomas evidentes, fueron cuestiones sin importancia para los nuevos exploradores de

la ciencia matemática. En una verdadera orgía de conjeturas intuitivas, de

razonamientos convincentes entrelazados con un misticismo sin sentido, con una

confianza ciega en el poder sobrehumano de los procesos formales, conquistaron un

mundo matemático de inmensas riquezas. Luego, gradualmente, la exaltación del

progreso dejó el paso a un espíritu de autocrítica. En el siglo XIX la necesidad

inmanente de consolidar, y el deseo de una mayor seguridad en la extensión de la

enseñanza superior, que había impulsado la Revolución francesa, condujo

inevitablemente a una revisión de los fundamentos de la nueva matemática, en particular

del cálculo diferencial e integral, así como del concepto fundamental de límite. Así, el

siglo XIX constituyó no sólo un período de nuevos avances, sino además puede

caracterizarse por un afortunado retorno al ideal clásico de precisión y demostraciones

rigurosas. Y en este sentido llegó a superar al modelo de ciencia griega. Una vez más el

péndulo se inclinó del lado de la pureza lógica y de la abstracción. Actualmente vivimos

aún en este período, aunque es de esperar que la desafortunada separación entre la

matemática pura y las aplicaciones a la vida, quizá inevitable en tiempos de revisión

crítica, venga seguida de una era de íntima unidad.

La renovación solidez interna, y sobre todo la simplificación enorme alcanzada sobre

la base de una comprensión más clara, hacen posible hoy poder dominar la teoría

matemática sin perder de vista las aplicaciones. Establecer de nuevo una unión orgánica

entre ciencia pura y aplicada y un equilibrio estable entre la generalidad abstracta y la

individual concreta puede ser muy bien la tarea universal de la matemática en el futuro

inmediato.

No es éste el lugar para un análisis filosófico o psicológico detallado de la

matemática. Únicamente podemos destacar algunos puntos. Parece existir un grave

peligro en el excesivo predominio de carácter axiomático-deductivo de las matemáticas.

Ciertamente, el elemento de intervención constructiva, de intuición directora, escapa a

una simple formulación filosófica; sin embargo, continúa siendo el núcleo de todo

resultado matemático, aun en los campos más abstractos. Si la forma deductiva

cristalizada es la meta, la intuición y la construcción son, cuando menos, las fuerzas

directrices. Una amenaza sería para la verdadera vida de la ciencia aparece contenida

en la afirmación de que la matemática no es más que un sistema de conclusiones


19

derivadas de definiciones y postulados que deben ser compatibles, pero que, por lo

demás, pueden ser creación de la libre voluntad del matemático. Si esta descripción

fuera exacta, las matemáticas no podrían interesar a ninguna persona inteligente. Sería

un juego con definiciones, reglas y silogismos, sin meta ni motivo alguno. La noción de

que el intelecto puede crear sistemas de postulados plenos de significado de modo

arbitrario en una verdad –a medias- decepcionante. Únicamente bajo una disciplina de

responsabilidad frente a un todo orgánico, guiada sólo por necesidades intrínsecas,

puede la mente libre obtener resultados de valor científico.

Aunque la tendencia pasiva del análisis lógico no puede representar toda la

matemática, ha conducido, sin embargo, a una comprensión más profunda de los

hechos matemáticos y de su interdependencia, y también a una mayor penetración en la

esencia de los conceptos matemáticos. A partir de ella se ha desarrollado un punto de

vista moderno en las matemáticas que es característico de una actitud científica

universal.

Cualquiera que sea el punto de vista filosófico, para todos los propósitos de

observación científica, un objeto agota en sí la totalidad de relaciones posibles respecto

del observador o del instrumento. Naturalmente, la simple percepción no constituye

conocimiento; debe ser coordinada e interpretada con referencia a alguna entidad

subyacente, una «cosa en sí», que no es un objeto de la observación física directa, sino

que pertenece a la metafísica. Sin embargo, en el proceso científico es importante

descartar los elementos de carácter metafísico y considerar los hechos observables

como la última fuente de nociones y construcciones. Renunciar a la meta de comprender

la «cosa en sí», de conocer la «realidad última», de desentrañar la esencia más íntima

del mundo, puede ser psicológicamente penoso para entusiastas ingenuos, pero de

hecho es uno de los sacrificios de consecuencias más fecundas en el pensamiento

moderno.

Algunos de los mayores avances en la física han sido el premio a una adhesión

decidida al principio de eliminar la metafísica. Cuando Einstein consiguió reducir la

noción de «sucesos simultáneos que ocurren en lugares distintos» a fenómenos

observables; cuando señaló como prejuicio metafísico la creencia de que este concepto

debe tener un significado científico en sí mismo, encontró la clave de su teoría de la

relatividad. Cuando Niels Bohr y sus discípulos analizaron el hecho de que toda

observación física va acompañada de un efecto del instrumento observador en el objeto

observado, se hizo claro que el intento de fijar simultáneamente la posición y la

velocidad de una partícula no es posible en el sentido de la física. Las consecuencias

trascendentes de este descubrimiento, contenidas en la teoría moderna de la mecánica

cuántica, son hoy familiares a todo físico. En el siglo pasado prevaleció la idea de que

las fuerzas mecánicas y los movimientos de partículas en el espacio eran cosas en sí

mismas, mientras que electricidad, luz y magnetismo debían ser reducidos o explicados

como fenómenos mecánicos, de la misma manera que se hacía con el calor. El éter fue

inventado como medio hipotético capaz de los movimientos mecánicos no explicados

satisfactoriamente y que aparecían bajo las formas de luz y electricidad. Poco a poco se

comprendió que el éter era necesariamente inobservable; por consiguiente, no


20

pertenecía a la física, sino a la metafísica. Con pena por algunos y con satisfacción por

otros, las explicaciones mecánicas de la luz y la electricidad, y con ellas el éter, debieron

ser finamente abandonadas.

Una situación análoga, quizá más acentuada, existe en la matemática. A través de

los tiempos, los matemáticos consideraron sus objetos, tales como números, puntos,

etc., como cosas sustanciales en sí. Pero en vista de que estos entes desafiaban

siempre los intentos para una descripción adecuada, los matemáticos del siglo pasado

llegaron paulatinamente a la convicción de que el problema de la significación de dichos

objetos como cosas sustanciales no tenía, en modo alguno, sentido dentro de las

matemáticas.

Las únicas proposiciones relativas a ellos que pueden importar no se refieren a su

realidad sustancial; representan únicamente las relaciones mutuas entre <objetos

indefinidos> y las reglas que rigen las operaciones con ellos. Lo que <realmente> son

los puntos, las rectas y los números ni se puede ni es necesario discutirlo en la ciencia

matemática. Lo que interesa y lo que corresponde a hechos comprobables en su

estructura y relación: que dos puntos determinan una recta, que los números se

combinan según ciertas reglas para formar números, etc. La percepción clara de la

necesidad de una desustanciación de los conceptos elementales matemáticos ha sido

uno de los resultados más importantes y fecundos del desarrollo axiomático moderno.

Por suerte, las mentes creadoras olvidan las ciencias filosóficas dogmáticas cuando

la persistencia entre ellas podría impedir resultados constructivos. Tanto para

entendidos como para profanos no es la filosofía, y únicamente la experiencia activa en

matemáticas, la que puede responder a la pregunta: ¿Qué es la matemática?


21

DEVLIN, Keith (1998). PROLOGO, en El lenguaje de las

Matemáticas. Un fascinante y clarificador viaje por la historia

y el sentido actual de las matemáticas. Barcelona, Ed.

Manontroppo. Pp. 11-24

Prólogo

…¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS?

No sólo números

¿Qué son las matemáticas? Si hacemos esta pregunta a un grupo de personas

elegidas de forma aleatoria, es muy probable que recibamos la respuesta “Las

matemáticas son el estudio de los números”. Pero no conseguiremos ir más allá. Y con

ello habremos obtenido una descripción de las matemáticas que dejó de ser exacta hará

2,500 años.

Ante tan tremendo error conceptual, apenas hay razón para sorprenderse de que las

personas así elegidas tengan dificultad para percatarse de que la investigación

matemática es una actividad próspera y de amplitud mundial, o de que acepten la idea

de que las matemáticas impregnan, con frecuencia en una proporción considerable, la

mayor parte de las formas de vida de la sociedad actual.

De hecho, la respuesta a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” ha cambiado

varias veces en el curso de la historia.

Hasta las proximidades del 500 a.C., las matemáticas consistían realmente en el

estudio de los números. Fue en el período de los matemáticos egipcios y babilonios. En

esas civilizaciones, las matemáticas radicaban casi de manera exclusiva en la aritmética.

Era principalmente utilitaria, y en gran medida tenía naturaleza de una especie de “libro

de cocina” (“Haced tal cosa y tal otra con un número y se obtendrá la respuesta”).

El período que va aproximadamente del año 500 a.C. hasta el 300 d.C. fue la era de las

matemáticas griegas. Los matemáticos de la antigua Grecia se ocuparon

preferentemente de la geometría. En realidad, contemplaron los números al estilo

geométrico, como medidas de longitud, y cuando descubrieron que había longitudes

para las cuales sus números no tenían correspondencia (las longitudes irracionales), su

estudio de los números se paralizó casi del todo. Para los griegos las matemáticas

consistieron en el estudio de los números y de la forma.

De hecho, las matemáticas se convirtieron por vez primera con los griegos en un área

de estudio, y dejaron de ser un conjunto de técnicas para medir, contar, y llevar la

contabilidad. El interés de los griegos por las matemáticas no era meramente utilitario:


22

las consideraban una ocupación intelectual que poseía elementos a un tiempo estéticos y

religiosos. Tales de Mileto introdujo la idea de que las afirmaciones matemáticas

expresadas de forma precisa podían ser demostradas lógicamente mediante una

argumentación formal. Esta innovación señaló el nacimiento del teorema, ahora el

fundamento de las matemáticas. Para los griegos, este enfoque culminó con la

publicación de Los Elementos de Euclides, reputado como el libro de mayor circulación

de todos los tiempos después de la Biblia.

Matemáticas en movimiento

No hubo ningún cambio de importancia capital en el carácter global de las

matemáticas, ni ningún avance significativo en su contenido, hasta mediado el siglo

XVII, cuando Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania inventaron

independientemente el cálculo. El cálculo es en esencia el estudio del movimiento y del

cambio. Las matemáticas precedentes habían estado en gran parte restringidas a las

cuestiones estáticas de contar, medir y describir la forma. Con la introducción de

técnicas para tratar el movimiento y el cambio, los matemáticos fueron capaces de

estudiar el movimiento de los planetas y la caída de los cuerpos sobre la Tierra, los

trabajos de las máquinas, el fluir de los líquidos, la expansión de los gases, las fuerzas

físicas como el magnetismo y la electricidad, el vuelo, el crecimiento de las plantas y de

los animales, la difusión de las epidemias, la fluctuación de los beneficios económicos, y

tantos otros fenómenos. Después de Newton y Leibniz, las matemáticas se convirtieron

en el estudio del número, de la forma, del movimiento, del cambio y del espacio.

La mayor parte del trabajo inicial relacionado con el cálculo se dirigió hacia el estudio

de la física; de hecho, muchos de los grandes matemáticos de la época son considerados

también físicos. Pero a partir de mediados del siglo XVIII aproximadamente, surgió un

interés creciente por las matemáticas en sí mismas, y no sólo por sus aplicaciones, a

medida que los matemáticos deseaban comprender lo que permanecía detrás de la

enorme potencia que el cálculo proporcionaba a la humanidad. Aquí la antigua tradición

griega de la demostración final cobró prevalencia, a medida que se desarrolló gran parte

de las matemáticas puras del presente. A finales del siglo XIX. Las matemáticas se

habían convertido en el estudio del número, la forma, el movimiento, el cambio y el

espacio, y de las herramientas matemáticas empleadas en su estudio.

La explosión de la actividad matemática que tuvo lugar en el siglo XX fue sensacional.

En el año 1900, todo el conocimiento del mundo matemático hubiera cabido en unos

ochenta libros. Hoy se necesitarían posiblemente unos cien mil volúmenes para contener

todas las matemáticas conocidas. Este extraordinario crecimiento no ha consistido

solamente en una continuación de las matemáticas previas; han nacido muchas ramas

del todo nuevas. En 1900 se podía considerar razonablemente que las matemáticas

constaban de unos doce temas distintos: aritmética, geometría, cálculo, etc.

Actualmente, un número apropiado estaría entre sesenta y setenta categorías diferentes.


23

Algunos temas, como el álgebra y la topología, se han escindido en varios campos; en

otros casos, como sucede con los de la teoría de la complejidad o de la de los sistemas

dinámicos, se trata por completo de nuevas áreas de estudio.

La ciencia de las estructuras

Dado este crecimiento tremendo en la actividad matemática, pareció durante un

tiempo que la única respuesta sencilla a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” fuera

decir de modo algo fatuo “Es lo que hacen los matemáticos para ganarse la vida”. Un

determinado estudio se clasificaba como matemático no tanto por lo que se estudiaba

sino por el modo como se estudiaba, es decir, por la metodología utilizada. Hasta los

últimos treinta años más o menos, no emergió la definición con la que la mayoría de los

matemáticos está de acuerdo con la actualidad: las matemáticas son la ciencia de las

estructuras. Lo que hace el matemático es examinar “estructuras” abstractas –

estructuras numéricas, estructuras de formas, de movimiento, de comportamiento, del

modo según el cual se llevan a cabo las votaciones por parte de una población, las

estructuras con las que se repiten los sucesos aleatorios, etc.-. Tales estructuras pueden

ser reales o imaginarias, visuales o mentales, estáticas o dinámicas, cualitativas o

cuantitativas, puramente utilitarias o de algo más que un interés recreativo. Pueden

tener su origen en el mundo que nos rodea, o en las profundidades del espacio y del

tiempo, o provenir de la actividad mental de la mente humana. Distintos tipos de

estructuras dan lugar a ramas distintas de las matemáticas. Tenemos por ejemplo que:

1. La aritmética y la teoría de números estudian las estructuras de los números y del

proceso de contar.

2. La geometría estudia las estructuras de las formas.

3. El cálculo nos permite tratar las estructuras del movimiento.

4. La lógica estudia las estructuras del razonamiento.

5. La teoría de la probabilidad trata de las estructuras del azar.

6. La topología estudia las estructuras de la proximidad y de la posición.

Para dar a conocer algo de esta concepción moderna de las matemáticas, este libro

examina ocho temas generales, que cubren las estructuras de contar las del

razonamiento y la comunicación, las estructuras del movimiento y del cambio, las de la

forma, la simetría y la regularidad, las de la posición, las del azar y las estructuras

fundamentales del Universo. A pesar de que esta selección omite varias áreas principales

de las matemáticas, debería proporcionar una buena percepción de la naturaleza de las

matemáticas contemporáneas.

Un aspecto de las matemáticas modernas resulta obvio incluso para el observador


24

ocasional es el uso de la notación abstracta: expresiones algebraicas, fórmulas de

aspecto complicado, y diagramas geométricos. La confianza de los matemáticos en la

notación abstracta es un reflejo de la igualmente abstracta naturaleza de las estructuras

que estudian.

Distintos aspectos de la realidad requieren modos diferentes de descripción. Así por

ejemplo, el método más apropiado para estudiar la extensión de un terreno o para

indicar a alguien cómo encontrar el camino en una ciudad que no le es familiar, consiste

en dibujar un mapa; el texto es menos adecuado. Análogamente, el trazado de líneas a

modo de anteproyecto es el modo más conveniente de especificar la construcción de un

edificio. Y la notación musical es el sistema más adecuado de comunicar la música,

aparte quizá el de tocar realmente la pieza.

Es el caso de varios tipos de estructuras y de patrones “formales” abstractos, los

modos más apropiados para su descripción y su análisis son los matemáticos, empleando

la notación, los conceptos y los procedimientos de esta disciplina. La notación simbólica

del álgebra, por ejemplo, es el modo más adecuado de describir y analizar las

propiedades del comportamiento general de la adición y de la multiplicación. La ley

conmutativa de la adición, por ejemplo, podría escribirse de esta forma:

Cuando se suman dos números, no importa su orden.

Usualmente, sin embargo, se escribe del modo simbólico:

m + n = n + m

Tales son la complejidad y el grado de abstracción de la mayoría de las estructuras

matemáticas que el uso de otra cosa que no sea la notación simbólica sería

prohibitivamente engorroso. Es por ello por lo que el desarrollo de las matemáticas ha

implicado un incesante crecimiento del uso de la notación abstracta.

Símbolos de progreso

El primer uso sistemático de una notación algebraica reconocible parece haber sido

efectuado por Diofanto, que vivió en Alejandría alrededor del año 250 d.C. Su tratado

Aritmética (véase la figura 0.1) del cual se conservan solamente seis de los trece

volúmenes originales, es tenido generalmente como el primer “libro de texto del

álgebra”. En particular, Diofanto utilizó símbolos especiales para denotar las incógnitas y

empleó símbolos para la sustracción y para la igualdad.

En aquellos tiempos, los libros de matemáticas tendían a estar inundados de

símbolos, pero la notación matemática no son las matemáticas, del mismo modo que la

notación musical no es la música (véase figura 0.2). Una partitura musical impresa

representa una pieza de música; la música en sí misma es lo que se obtiene cuando las

notas de sus páginas se cantan o se interpretan con instrumentos musicales. La música

cobra vida en su interpretación y se convierte en parte de nuestra experiencia; la música


25

existe no en la partitura impresa, sino en nuestras mentes. Lo mismo es cierto para las

matemáticas los símbolos de una página son solamente una representación de las

matemáticas. Cuando son leídas por un intérprete competente (en este caso, alguien

formado en matemáticas), los símbolos de la página impresa cobran vida. Las

matemáticas viven y palpitan en la mente del lector al estilo de una sinfonía abstracta.

Dada la intensa semejanza entre las matemáticas y la música, ambas con sus propias

notaciones sumamente abstractas y gobernadas por sus propias reglas estructurales, no

resulta sorprendente que muchos matemáticos, la mayoría de ellos posiblemente,

posean también talento musical.

De hecho, durante la mayor parte de los dos milenios y medio de la civilización

occidental que comienza con los antiguos griegos, las matemáticas y la música fueron

consideradas como las dos caras de una misma moneda: de ambas se pensaba que

proporcionaban la comprensión del orden del Universo. Solamente con el auge del

método científico en el siglo XVII las dos disciplinas comenzaron a discurrir por caminos

separados.

Debido, sin embargo, a todas sus conexiones históricas hubo, hasta tiempos

recientes, una diferencia muy obvia entre las matemáticas y la música. Si bien alguien

instruido en música puede leer una partitura musical y escuchar la música en su cabeza,

si esa misma pieza de música se ejecuta por un músico competente, cualquiera capaz de

oír puede apreciar el resultado.

Figura 0.1. Portada de una traducción

latina del siglo XVII del cásico teto de la

Aritmética de Diofanto.


26

No se necesita formación musical para experimentar y gozar de la música cuando se

la escucha.

Durante la mayor parte de su historia, no obstante, el único modo de apreciar las

matemáticas fue aprender a “leer” sus símbolos. Aunque la estructura y los patrones de

las matemáticas reflejan la estructura de la mente humana y resuenan con ella, tanto

como lo hacen las estructuras y las pautas de la música, los seres humanos no han

desarrollado el equivalente matemático de lo que el oído representa para la música. Las

matemáticas solamente se pueden “ver” con los “ojos de la mente”. Es como si no

tuviéramos sentido del oído y que solamente alguien capaz de leer la notación musical

fuera capaz de apreciar las pautas musicales.

En los años recientes, sin embargo, el desarrollo del ordenador y de las técnicas del

video ha hecho accesibles, hasta cierto punto, las matemáticas al no formado en ellas.

En las manos de un usuario hábil, el ordenador se puede utilizar para “ejecutar”

matemáticas, y el resultado se puede presentar visualmente en la pantalla al alcance de

todos. Aunque tan sólo una parte relativamente pequeña de las matemáticas se prestan

por sí mismas a tal representación “visual”, ahora es posible comunicar al lego al menos

algo de la belleza y de la armonía que el matemático “ve” y experimenta cuando hace

matemáticas.

Cuando ver es descubrir

A veces el empleo de gráficos de ordenador puede resultar significativo para el

matemático, y también para proporcionar al lego una visión del mundo interior de las

matemáticas. El estudio de los sistemas dinámicos complejos, por ejemplo, fue iniciado

en 1920 por los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gastón Julia, pero hubo que

esperar hasta finales de la década de los setenta y comienzos de la de los ochenta para

que el rápido desarrollo de las técnicas de gráficos de ordenador permitiera a Benoit

Mandelbrot y a otros matemáticos visualizar algunas de las estructuras con las que

habían trabajado Fatou y Julia. Las figuras increíblemente bellas que surgieron de este

estudio se convirtieron desde entonces en una especie de forma de arte por derecho

Figura 0.2. Al

igual que las

matemáticas, la

música tiene una

notación abstracta,

utilizada para

representar

estructuras

abstractas.


27

propio. En honor de uno de los dos pioneros del tema, algunas de tales estructuras

reciben actualmente el nombre de conjuntos de Julia (véase figura0.3).

Otro ejemplo del uso de los gráficos de ordenador que condujo a un profundo

descubrimiento en matemáticas tuvo lugar en 1983, cuando los matemáticos David

Hoffman y William Meeks III descubrieron una superficie minimal de una clase nueva

(véase la ilustración 1), Unas superficie minimal es el equivalente matemático de una

película de jabón infinita. Las películas de jabón reales que se estiran a lo largo de una

trama forman siempre una superficie que ocupa la menor área posible. Los matemáticos

consideran análogos abstractos de las películas de jabón que se estiran hasta el infinito.

Tales superficies han sido estudiadas a lo largo de doscientos años pero, hasta que

Hoffman y Meeks hicieron su descubrimiento, solamente se conocían tres de tales

superficies. Hoy en día, como resultado de las técnicas de visualización por ordenador,

los matemáticos han descubierto muchas de tales superficies. Gran parte de lo que se

conoce acerca de las superficies minimales ha sido establecida mediante técnicas

matemáticas más tradicionales, que implican una suma considerable de álgebra y de

cálculo. Pero, tal como Hoffman y Meeks mostraron, los gráficos de ordenador pueden

proporcionar al matemático la intuición necesaria para hallar la correcta combinación de

esas técnicas tradicionales.

Sin sus símbolos algebraicos, gran parte de las matemáticas simplemente no existiría.

La cuestión es ciertamente profunda, y está relacionada con las capacidades cognitivas

humanas. El reconocimiento de conceptos abstractos y el desarrollo de un lenguaje

apropiado para representarlos son en realidad los dos lados de una misma moneda.

El uso de un símbolo tal como una letra, una palabra o un dibujo para denotar una

entidad abstracta va de la mano con el reconocimiento de esa entidad como tal. El uso

Figura 0.3. Un

conjunto de Julia.


28

del guarismo “7” para denotar al número 7 exige que el número 7 esté reconocido como

una entidad; el uso de la letra m para indicar un número entero arbitrario requiere que

el concepto de número entero sea reconocido. Disponer del símbolo hace posible pensar

y manipular el concepto.

Este aspecto lingüístico de las matemáticas se pasa frecuentemente por alto, en

especial en nuestra cultura moderna, con su énfasis en los aspectos de procedimiento y

computacional de las matemáticas. En realidad, uno escucha con frecuencia la queja de

que las matemáticas serían mucho más fáciles si no fuera por su notación tan abstracta,

lo cual es como decir que la obra de Shakespeare sería mucho más fácil entender si

estuviese escrita en un lenguaje más llano.

Desgraciadamente, el nivel de abstracción en las matemáticas, y la necesidad

consecuente de una notación que pueda manejar esa abstracción, significa que una gran

parte, casi su totalidad quizá, de las mismas permanecerá por siempre oculta a los que

no son matemáticos; e incluso las partes más accesibles –las descritas en libros como

éste- podrán ser como mucho apenas percibidas, con la mayor parte de su belleza

interna oculta de la vista. A pesar de ello, eso no es excusa para que aquellos de

nosotros que parece que hemos sido bendecidos con la capacidad para apreciar esa

belleza interna no intentemos comunicar a otros alguna percepción de lo que

experimentamos –cierta sensación de la sencillez, la precisión, la pureza y la elegancia

que otorga a los patrones matemáticos su valor estético.

La belleza oculta en los símbolos

En su libro de 1940, A Mathematicians Apology (Apología de un matemático), el

competente matemático inglés G. H. Hardy escribió:

Las estructuras del matemático, como las del pintor o las del poeta, deben ser

bellas: las ideas, como los colores o las palabras, deben acoplarse de forma

armoniosa. La belleza es la prueba primera: no hay lugar permanente en el

mundo para matemáticas feas… Sería muy difícil definir la belleza matemática,

pero eso es igualmente cierto para la belleza de cualquier tipo –podemos no

saber del todo lo que queremos significar al referirnos a un poema como bello,

pero eso no nos impide reconocer uno cuando lo leemos.

La belleza a la cual se refiere Hardy es en muchos casos sumamente abstracta, una

belleza interior, una belleza de una forma abstracta y de una estructura lógica, una

belleza que puede ser observada y apreciada tan sólo por aquellos suficientemente bien

formados en la disciplina. Es una belleza “fría y austera” según Bertrand Russell, famoso

matemático y filósofo inglés, que escribió en su libro Mysticism and Logic (Misticismo y

Lógica) de 1918.

Las matemáticas, consideradas correctamente, poseen no sólo verdad sino

belleza suprema, una belleza fría y austera, como la de una escultura,


29

apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin las trampas

primorosas de la pintura o de la música, aunque sublimemente pura y capaz de

una rigurosa perfección como sólo puede mostrar el arte más supremo.

Las matemáticas, ciencia de las estructuras, constituyen una forma de mirar al

mundo, tanto al físico como al biológico y al sociológico que habitamos, así como

también al mundo interior de nuestras mentes y pensamientos. Los mayores éxitos

matemáticos se han realizado sin duda en el área de lo físico, donde esa disciplina ha

sido calificada correctamente como la reina a la vez que el sirviente de las ciencias

naturales. Además, como creación enteramente nueva, el estudio de las matemáticas es

en definitiva el de la humanidad en sí misma. Puesto que ninguna de las entidades que

forman el sustrato de las matemáticas existe el mundo físico, los números, los puntos,

las líneas y los planos, las superficies, las figuras geométricas, las funciones y demás

entidades son puras abstracciones que existen solamente en la mente colectiva de la

humanidad. La certeza absoluta de una demostración matemática y la naturaleza de

indefinida permanencia de la verdad son reflejo del estatus profundo y fundamental de

las estructuras del matemático tanto en la mente humana como en el mundo físico.

En una época en la que el estudio de los cielos dominaba el pensamiento científico,

Galileo escribió:

El gran libro de la naturaleza puede ser leído solamente por aquellos que

conocen el lenguaje en el cual está escrito. Y ese lenguaje es el de las

matemáticas.

Acuñado una nota similar en una era posterior, cuando el estudio de los procesos

internos del átomo había ocupado las mentes de muchos científicos durante una

generación, el físico de Cambridge John Polkinhorne escribió en 1986:

Las matemáticas son la llave abstracta que abre la cerradura del mundo físico.

En la época actual, dominada por la información, la comunicación y el cómputo, las

matemáticas tratan de hallar nuevas cerraduras que abrir. Hay escasamente pocos

aspectos de nuestras vidas que no estén afectados en mayor o menor medida por las

matemáticas, puesto que las estructuras abstractas son la esencia primaria del

pensamiento, la comunicación, del cálculo, de la sociedad y de la propia vida.

Haciendo visible lo invisible

Hemos contestado a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” con el eslogan “Las

matemáticas son la ciencia de las estructuras”. Hay otra cuestión fundamental relativa a

las matemáticas que también puede responderse mediante una frase capciosa: “¿Qué es

lo que hacen las matemáticas?”, o en otras palabras, “¿Qué proporcionan exactamente

las matemáticas cuando se las aplica al estudio de un fenómeno?”. La respuesta es “Las

matemáticas convierten lo invisible en visible”.


30

Permítanme que ofrezca algunos ejemplos de lo que esta respuesta significa.

Sin matemáticas no hay modo de entender qué es lo que mantiene a un avión a

reacción de gran tamaño en el aire. Como todos sabemos muy bien, los objetos

metálicos de gran tamaño no se mantienen por encima del suelo sin algo que los

soporte. Pero cuando se mira a una aeronave a reacción volando sobre nuestras

cabezas, no se ve nada que la sostenga. Se necesitan las matemáticas para “ver” lo

invisible es una ecuación descubierta por el matemático Daniel Bernoulli a comienzos del

siglo XVIII.

Y ya que hablamos de volar, ¿cuál es la causa de que otros objetos, dejando aparte los

aviones, caigan al suelo cuando los soltamos? “La gravedad”, responderán ustedes. Pero

eso no es más que dar un nombre al fenómeno, y no nos ayuda a entenderlo. Se trata

de algo invisible, y hasta podríamos llamarlo “mágico”. Para comprender la gravedad,

hace falta “verla”. Eso es exactamente lo que hizo Newton en el siglo XVII con sus

ecuaciones del movimiento y de la mecánica. Las matemáticas de Newton nos permiten

“ver” las fuerzas invisibles que mantienen a la Tierra en su giro alrededor del Sol y que

provocan que una manzana se precipite al suelo desde el árbol.

Tanto las ecuaciones de Bernoulli como las de Newton utilizan el cálculo. El cálculo

opera haciendo visible lo infinitamente pequeño. Se trata de otro ejemplo de cómo lo

invisible se convierte en visible.

He aquí otro: dos mil años antes de que pudiéramos enviar naves al espacio exterior

para obtener imágenes de nuestro planeta, el matemático griego Eratóstenes se valió de

las matemáticas para demostrar que la Tierra era redonda. En realidad, calculó su

diámetro y por ende su curvatura con una precisión del 99%.

Actualmente, podríamos estar cerca de repetir la hazaña de Eratóstenes habiendo

descubierto que el Universo es curvo. Con el auxilio de las matemáticas y de potentes

telescopios podemos “ver” en las proximidades de los límites exteriores del Universo. De

acuerdo con algunos astrónomos, pronto veremos lo bastante lejos como para ser

capaces de detectar y de medir alguna muestra de curvatura del espacio.

Conociendo la curvatura del espacio, podemos utilizar las matemáticas para ver el futuro

hasta el día en que el Universo se acerque a su fin empleando las matemáticas, ya

hemos sido capaces de ver en el pasado distante, haciendo visibles los de otro modo

invisibles momentos de la creación del Universo, lo que llamamos el Big Bang.

Volviendo a la Tierra y al momento presente ¿cómo “vemos” lo que hace que las

imágenes y los sonidos de un partido de fútbol aparezcan milagrosamente en la pantalla

de un televisor distante? Una respuesta es que las imágenes y los sonidos se transmiten

mediante ondas de radio, un caso especial de lo que llamamos radiación

electromagnética. Pero, al igual que la gravedad, esta respuesta no hace más que dar un

nombre al fenómeno; no nos ayuda a “verlo”. Para “ver” las ondas de radio, hay que

recurrir a las matemáticas. Las ecuaciones de Maxwell, descubiertas en el siglo XIX, nos

hacen visibles las de otro modo invisibles ondas de radio.


31

He aquí algunas estructuras humanas que podemos “ver” mediante las matemáticas:

Aristóteles empleó las matemáticas para tratar de “ver” los patrones invisibles del

sonido que reconocemos como música.

Empleó también las matemáticas para intentar describir la estructura invisible de

una representación teatral.

En la década de 1950, el lingüista Noam Chomsky empleó la matemáticas para

“ver” y describir los patrones invisibles y abstractos de las palabras que

reconocemos como sentencias gramaticales. Convirtió la lingüística, que era una

rama bastante oscura de la antropología, en una próspera ciencia matemática.

Finalmente, mediante las matemáticas somos capaces de indagar el futuro.

La teoría de la probabilidad y la estadística matemática nos permite predecir los

resultados de unas elecciones, frecuentemente con una precisión notable.

Empleamos el cálculo para predecir el clima de mañana o de los próximos días.

El análisis del mercado de valores utiliza diversas teorías matemáticas para

intentar predecir el comportamiento del mismo.

Las compañías de seguros usan la estadística y la teoría de la probabilidad para

predecir la posibilidad de accidentes en el curso del próximo año, y establecer en

concordancia sus cuotas.

Cuando se trata de mirar al futuro, las matemáticas nos permiten hacer visible otro

aspecto invisible: lo que todavía no ha sucedido. En tal caso, nuestra visión matemática

no es perfecta, y nuestras predicciones son a veces erróneas. Pero sin las matemáticas

no podríamos indagar el futuro ni siquiera de modo deficiente.

El universo invisible

En la actualidad vivimos en una sociedad técnicamente desarrollada. Quedan cada

vez menos lugares sobre la faz de la Tierra en los que, al mirar alrededor hasta donde

alcanza el horizonte, no veamos productos de nuestra técnica: altos edificios, puentes,

líneas de potencia, cables telefónicos, automóviles rodando por las carreteras, aeronaves

en el cielo. En los casos en que la comunicación necesitaba en su día de la proximidad

física, está hoy mediatizada por las matemáticas, transmitida de forma digitalizada a lo

largo de cables o de fibras ópticas, o a través del éter. Los ordenadores –máquinas que

elaboran matemáticas- no se hallan solamente en las mesas de nuestros despachos, sino

en todas partes: desde los hornos de microondas hasta los automóviles y desde los

juguetes de los niños hasta los marcapasos de aquellos que sufren problemas de

corazón. Bajo la forma de estadísticas, las matemáticas se utilizan para decidir los

alimentos que comemos, los productos que vamos a comprar, los programas de

televisión que podremos ver, y los políticos a los que se nos permitirá votar. Así como la

sociedad quemó combustibles fósiles para propulsar las máquinas de la era industrial, en

nuestra era actual de la información el combustible principal que quemamos son las


32

matemáticas.

Y, sin embargo, a medida que el papel de las matemáticas crece más y más

significativamente en relación con el pasado, se oculta cada vez más de la vista,

formando un universo invisible que soporta gran parte de nuestras vidas. Así como

ocurre que cada uno de nuestros actos está gobernado por las fuerzas invisibles de la

naturaleza, como la gravedad, vivimos ahora en el universo invisible creado por las

matemáticas, sujeto a las leyes asimismo invisibles.

Este libro ofrece una travesía por ese universo invisible. Mostrará cómo podemos

utilizar las matemáticas para percibir algo de su oculta estructura. Algunas de las vistas

que encuentre en esa excursión le parecerán extrañas y poco familiares, como las de

una tierra muy lejana. Pero a pesar de su falta de familiaridad, no vamos a viajar a

través de un universo distante: se trata del mundo en que vivimos.

carlosyampufe.blogspot.com/2009/.../apuntes-acerca-

del-pensamiento.html

APUNTES ACERCA DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO

“Así como el atleta, además de su especialidad deportiva, estudia anatomía, o el piloto,

además de entrenarse en conducción conoce mecánica del automóvil, el profesor, además

del trabajo pedagógico, debería tener unas nociones sobre funciones intelectuales y rasgos

del pensamiento asociados a los hemisferios cerebrales

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWc

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fcarlosyampufe.blogspot.com%2F2009%2F05%2Fapuntes-acerca-del-pensamiento.html&ei=1-D3UpDRFafuyQHVpIGwBQ&usg=AFQjCNF-Nh6oSiEgQHXzsXUxTms3cT3c9A&bvm=bv.60983673,d.aWc


33

En los últimos años, los nuevos planteamientos de la educación matemática, han

originado cambios profundos en las concepciones acerca de esta. Ha sido importante en

este cambio de concepción, el reconocer que el conocimiento matemático, así como

todas las formas de conocimiento matemático, así como todas las formas del

conocimiento, representan las experiencias de personas que interactúan en entornos,

culturas y períodos históricos particulares y que, además, es en la escuela donde tiene

lugar gran parte de la formación matemática de las nuevas generaciones.

El pensamiento matemático es aquella capacidad que nos permite comprender las

relaciones que se dan en el mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlas y

formalizarlas para entenderlas mejor y poder comunicarlas. Consecuentemente, esta

forma de pensamiento se traduce en el uso y manejo de procesos cognitivos tales como:

razonar, demostrar, argumentar, interpretar, identificar, relacionar, graficar, calcular,

inferir, efectuar algoritmos y modelizar en general y, al igual que cualquier otra forma de

desarrollo de pensamiento, es susceptible de aprendizaje. Nadie nace, por ejemplo, con

la capacidad de razonar y demostrar, de comunicarse matemáticamente o de resolver

problemas. Todo eso se aprende. Sin embargo, este aprendizaje puede ser un proceso

fácil o difícil, en la medida del uso que se haga de ciertas herramientas cognitivas.

Es importante dejar establecido que el pensamiento matemático se construye

siguiendo rigurosamente las etapas determinadas para su desarrollo en forma histórica,

existiendo una correspondencia biunívoca entre el pensamiento sensorial, que en

matemática es de tipo INTUITIVO CONCRETO; el pensamiento racional que es

GRÁFICO REPRESENTATIVO en matemática y el pensamiento lógico, que es de

naturaleza CONCEPTUAL O SIMBÓLICA.

Así pues el desarrollo del pensamiento matemático ha dado un salto cualitativo de la

sociedad industrial a la sociedad del conocimiento: ha pasado de la recopilación de

información y contenido (aprendizaje conductista) manifestado en conductas

observables, medibles y cuantificables, al desarrollo de herramientas para aprender y

seguir aprendiendo (aprendizaje sociocognitivo); estas herramientas han de ser el dotar

a nuestros aprendices de:

Estrategias cognitivas

Estrategias metacognitivas

Modelos conceptuales

En consecuencia el pensamiento matemático, al igual que cualquier otra forma de

pensamiento, es susceptible de aprendizaje, aun cuando resulta más adecuado decir que

“el pensamiento matemático no solo se aprende, se hace”.

En la actualidad la acumulación del conocimiento (incluido el matemático) es tal, que

resultaría literalmente imposible aprenderlo todo, de la forma hasta hoy conocida.

DESARROLLO DE CAPACIDADES MATEMÁTICAS

El desarrollo de las capacidades en el pensamiento matemático responde a


34

preguntas: ¿para qué?, ¿cómo? y ¿por qué? del pensamiento matemático; estas se

responden:

¿PARA QUÉ APRENDEMOS MATEMÁTICA?

Para entender el mundo en el que nos desenvolvemos

Para comunicarnos con los demás

Para plantear y resolver problemas

Para desarrollar capacidades superiores

¿CÓMO SE PROMUEVE EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO?

Mediante los procesos del pensamiento como:

Redescubrir y reconstruir conocimientos matemáticos en diversos contextos

Aplicar conocimientos matemáticos al resolver problemas

¿POR QUÉ DESARROLLAR EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO?

Porque tiene un valor necesario es indispensable frente a los retos de la vida:

Valor Formativo: radica en la forma de razonamiento que tenemos y vamos

formando con la mediación del aprendizaje; se desarrolla mediante la capacidad de

área Razonamiento y Demostración.

Valor Social: que permite dar a conocer a los demás nuestra forma de

pensamiento ya que es un medio de comunicación, se desarrolla mediante la

capacidad de área Comunicación Matemática.

Valor Instrumental: por su ut i l idad para resolver s i tuaciones

problemáticas, se desarrolla mediante la capacidad de área.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La resolución de problemas forma parte de la actividad cotidiana, el ser humano tiene

que desarrollar estas capacidades desde temprana edad, para que de adulto le sea fácil

enfrentar y resolver múltiples situaciones problemáticas que le tocará enfrentar.

Desarrollar un pensamiento lógico, significa el desarrollo de actividades

secuenciadas y relacionadas hasta llegar a dar respuesta coherente a una situación

problemática planteada.

De esta forma, la matemática es un lenguaje que todos debemos aprender para

desenvolvernos y comunicarnos con el mundo, y que no se trata pues solo de resolver

operaciones aritméticas. Se trata de desarrollar el pensamiento lógico- matemático para

llevar a un nivel más alto de la actividad humana que llamamos razonar.


35

RESOLVIENDO PROBLEMAS UTILIZANDO LOS HEMISFERIOS IZQUIERDO Y

DERECHO

Pues bien, no todos resolvemos problemas de la misma forma, o planteamos la solución

de una manera rígida, algunos necesitamos saber los pasos pormenorizados y la

secuencia lógica que debemos seguir para resolver un problema, sin embargo otros

tratan de imaginarse y “Dibujan el problema” para poder entenderlo y darle solución

“intuitiva”; según la teoría de los hemisferios cerebrales nosotros tenemos la facultad de

poder pensar de manera analítica y de manera creativa, sin que estos se conviertan en

pensamientos antagónicos. La idea fundamental es que al momento de resolver

problemas, sepamos utilizar la creatividad y el “insigth” o el llamado “chispazo”,

“prendió el foco”, nuestra imaginación en la comprensión de los problemas

matemáticos, o sea el uso de nuestro hemisferio derecho; y el análisis, la racionalidad,

secuencialidad, lógica, uso de algoritmos que demuestren nuestra forma de resolver

problemas, o sea el uso de nuestro hemisferio izquierdo

Unidas estas dos formas de resolución de problemas fomentaremos en la

persona una fluidez de pensamiento y conectividad de los dos hemisferios que son

indispensables en nuestro proceso de aprendizaje. A continuación muestro algunos

problemas matemáticos que todo docente debe saber resolver, pero utilizando el

“Cerebro Total”:

lapaginadelprofe.cl/.../componentesdelpensamientologicomat.docx

Adaptado de: Natalia Castellón, Componentes del Pensamiento Lógico-Matemático,

http://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-logico.html Leído junio

2012.

COMPONENTES DEL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO.

Un proceso que se destaca en la construcción del conocimiento en

el niño es el Conocimiento Lógico-Matemático, que se desprende

de las relaciones entre los objetos y procede de la propia

elaboración del individuo, es decir, el niño construye el

conocimiento lógico matemático coordinando las relaciones

simples que previamente ha creado entre los objetos (Piaget,

1975).

Las diferencias o semejanzas entre los objetos sólo existen en las mentes de

aquellos que puedan crearlas. Por tanto, el conocimiento lógico-matemático presenta

tres características básicas:

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http://www.lapaginadelprofe.cl/UAconcagua/formacionprofesional/componentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rja





http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.lapaginadelprofe.cl%2FUAconcagua%2Fformacionprofesional%2Fcomponentesdelpensamientologicomat.docx&ei=H-P3UqukOMf4yAGMs4GIBg&usg=AFQjCNGKjBYSRW7Oh-LKeuZ_o6sQQMHxog&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rja


http://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-logico.html




36

a. no es directamente enseñable porque está construido a partir de las relaciones

que el propio sujeto ha creado entre los objetos, en donde cada relación sirve de

base para la siguiente relación;

b. se desarrolla en la medida en que el niño interactúa con el medio ambiente;

y

c. se construye una vez y nunca se olvida.

El conocimiento lógico-matemático está consolidado por distintas nociones que se

desprenden según el tipo de relación que se establece entre los objetos.

Estas nociones o componentes son:

Autorregulación,

Concepto de Número,

Comparación,

Asumiendo Roles,

Clasificación,

Secuencia y Patrón, y

Distinción de Símbolos.

Cada uno de estos componentes desarrollan en el niño determinadas funciones

cognitivas que van a derivar en la adquisición de conceptos básicos para la

escolarización.

1. AUTORREGULACIÓN.

La autorregulación se ha definido de múltiples y diferentes maneras:

como la habilidad de obedecer una petición;

de iniciar y cesar actividades de acuerdo con exigencias de la situación;

de modular la intensidad, la frecuencia y duración de actos verbales y

motores en escenarios sociales y educacionales;

de postergar el actuar con relación a un objeto o meta deseada; o bien de

generar comportamientos socialmente aprobados en la ausencia de monitores

externos

A pesar de estas diferencias de enfoque, existe acuerdo general en que la

autorregulación exige una consciencia de comportamiento socialmente aprobado.

Por ello representa un aspecto significativo de la socialización de los niños.

El proceso de desarrollo de la autorregulación va de lo simple a lo complejo. Parte del

control del propio cuerpo hasta el entendimiento, conocimiento y aplicación de las

normas o reglas, relacionándolas con sus experiencias pasadas y futuras para lograr

integrarse sin dificultades en las actividades.


37

El proceso de autorregulación es el siguiente:

1. La persona escucha y entiende instrucciones y reglas.

2. la persona sigue las normas.

3. La persona compara y diferencia normas.

4. La persona clasifica e incluye normas.

5. La persona conoce la consecuencia de una o varias normas.

6. La persona soluciona problemas.

El que la autorregulación exija una consciencia de comportamiento social en la

persona significa que están inmersos en este concepto los procesos cognitivos que van a

permitir que toda persona entienda y siga las normas, relacionándose en su convivencia

diaria con adultos y niños y con el mundo.

Las funciones cognitivas presentes son:

1. Escuchando y entendiendo instrucciones.

2. Relacionando experiencias pasadas con las futuras.

3. Estableciendo cantidad de reglas y normas.

4. Comparando normas.

5. Diferenciando normas.

6. Clasificando las reglas (incluyendo normas).

7. Consecuenciando una norma.

8. Solucionando un problema.

Estas funciones cognitivas permiten hacer que las personas comprendan,

concienticen y reflexionen sobre aquellos procesos necesarios para la autorregulación,

orientando su comportamiento hacia la adopción de reglas de conducta social, y por

tanto, desarrollando un sentido crítico y teniendo diferentes puntos de vista en el ámbito

cognoscitivo.

Como se puede apreciar, aunque no se trate de una función que aparezca

directamente relacionada con las matemáticas, es crucial que el estudiante haya

interiorizado la necesidad de obedecer las reglas, ya que en ellas hay numerosas reglas

que deben ser cumplidas para hacer matemáticas. Justamente una de las fuentes de

fracaso de muchos estudiantes es el no respeto de esas reglas.

2. NÚMERO

El concepto de número, indica que los objetos, personas y acontecimientos pueden

estar relacionados unos con otros de muchas maneras diferentes, lo cual puede implicar

números, relaciones ordinales y medidas.


38

Aquí se introduce el concepto de correspondencia, empezando con la

correspondencia “uno a uno”, donde contar no constituye en sí mismo un fin, sino una

estrategia.

Es importante distinguir los conceptos de comprender y estrategia.

Las estrategias son vías para llegar a hacer una cosa y deberían ser

eventualmente generadas y seleccionadas por las propias personas.

Comprender supone una reorganización fundamental del conocimiento que

llevará a la persona a un nuevo plano del desarrollo y le abrirá nuevas

posibilidades de ver su mundo con una lógica creciente y de manera organizada.

Por tanto, es esencial que las personas relacionen los conceptos y estrategias con

los acontecimientos de sus experiencias diarias.

Los procesos internos (funciones cognitivas) que se contemplan en este componente

son:

1. Nombrar los procesos “uno a uno”.

2. Utilizar una aproximación sistemática.

3. Contar siguiendo un orden.

4. Correspondiendo objetos.

5. Comprender el número cardinal.

6. Usar exactitud en el número.

7. Utilizar comparaciones.

8. Relacionar experiencias familiares.

9. Usar el contar como estrategia.

10. Utilizar los conceptos más y menos.

11. Ser preciso y exacto.

12. Comprender la conservación del número.

13. Comprender la constancia.

14. Seguir un orden.

3. ASUMIR ROLES.

La representación como operación cognitiva abarca dimensiones físicas, psicológicas

y sociales.

- En su dimensión física la percepción depende de la propia perspectiva del


39

- individuo, como por ejemplo: cuando se mira una flor se ven cosas diferentes

si se sitúa en lados opuestos.

- En su dimensión psicológica, la percepción depende de la actitud y de las

creencias, incluso el aprendizaje puede depender de los sentimientos

personales y de las experiencias anteriores.

- En su dimensión social, es necesario conocer especialmente las

perspectivas de otra persona y ponerse en su lugar.

Lo observado depende la posición de lo que se esté mirando, y por ello que las

personas tienen distintos puntos de vista o perspectivas; lo que se ve, se siente o se

piensa no necesariamente coincide con lo que las otras personas ven, piensan y sienten.

De allí que:

1. Es importante examinar situaciones y problemas desde diferentes puntos de

vista.

2. Considerar los sentimientos y puntos de vista de otras personas.

3. Ser capaces de ajustar su propia conducta para considerar diferentes puntos de

vista.

Las funciones cognitivas que se destacan aquí:

1. Comparar.

2. Mirar cuidadosamente con precisión y exactitud.

3. Conocer las referencias espaciales.

4. Tomar nuevas perspectivas.

5. Clasificar.

6. Comprender las referencias espaciales.

7. Explorar sistemáticamente.

8. Tomar decisiones.

9. Comprender el punto de vista de otras personas.

10. Tomar posiciones.

11. Hacer hipótesis.

12. Atender indicaciones relevantes.

4. CLASIFICACIÓN.

La noción de clasificación es una operación lógica-matemática que consiste en la


40

realización de englobamientos jerárquicos de clase, haciendo coincidir las características

cualitativas y cuantitativas de los elementos.

La noción de clasificación sirve de base fundamental para el desarrollo de los

conceptos lógico-matemáticos, ya que las nociones de clase tienen que ver con la

relación de pertenencia a un grupo.

A partir de estas relaciones se forman clases y éstas son fundamentales para

organizar el mundo.

Resultaría difícil imaginarse el pensamiento y el lenguaje si no hubiera clases.

Sin ellas se tendría que manejar cada elemento aisladamente, lo que resultaría

mucho menos rápido y eficaz.

De hecho, la información que se maneja está siempre categorizada en clases.

Desde el comienzo de su desarrollo, los niños van percibiendo semejanzas y

diferencia entre los objetos y estableciendo en función de ellas clases, que, al principio,

son muy amplias y que luego van discriminando en categorías cada vez más

específicas.

Ahora bien, dentro de la noción de clasificación se encuentran las operaciones lógicas

de composición, reversibilidad y asociación, que juegan un papel fundamental en la

adquisición de la noción de clasificación.

La composición está referida a la coordinación de dos esquemas mentales, los

cuales originan que dos o más clases distintas pueden agruparse en una sola

clase que las englobe.

Con relación a la reversibilidad, Piaget (1975) plantea que las operaciones

mentales son acciones reversibles cuyas estructuras tienen como base las

acciones físicas interiorizadas.

Las operaciones asociativas, por último, se refieren a la formación de

colecciones o conjuntos que los engloba, generalmente denominada propiedad

asociativa de englobamiento.

La noción de clasificación, radica en tres habilidades cognitivas:

- la agrupación,

- la comparación y

- la inclusión de clase.

Cada una de estas habilidades cognitivas está conformada por funciones cognitivas,

a saber:

La habilidad cognitiva agrupación incluye las siguientes funciones cognitivas:

a. la agrupación según un criterio,

b. la agrupación según dos criterios,


41

c. la agrupación según tres criterios o más criterios y

d. la asignación de nombres a cada grupo.

La habilidad cognitiva comparación incluye las siguientes funciones cognitivas:

a. verbalizando semejanzas,

b. verbalizando diferencias,

c. comparando dos objetos y

d. comparando tres objetos o más.

La habilidad cognitiva inclusión de clase incluye las siguientes funciones cognitivas:

a. nombrando al grupo al cual pertenece,

b. nombrando varios elementos que corresponden al mismo grupo, y

c. nombrando objetos de una categoría que pertenece a una categoría

mayor.

5. SECUENCIA Y PATRÓN.

El concepto de patrón se define como una serie ordenada de elementos que se

repiten conforme a la regla de alternar los mismos uno por uno, tomando turnos y

variando una de sus dimensiones (forma, color o tamaño).

El concepto de secuencia se refiere a ordenar un conjunto de objetos o eventos

que ocurren a través del tiempo en forma sucesiva o lineal, es decir, una cosa

viene después de la otra, siguiendo un orden estable y predecible.

Como se puede observar, tanto para el concepto de patrón como para el concepto de

secuencia es necesario el descubrimiento de las reglas que rigen el orden; estas

reglas juegan un papel importante, ya que le dan al individuo las pautas a seguir para

lograr el orden adecuado de los objetos o eventos.

Por tanto, para alcanzar el concepto de patrón, es importante el descubrimiento de

la regla que rige el orden, es decir, lo que indica la selección y colocación de los

elementos es la repetición de un modelo inicial de la serie ordenada; la regla que

rige el orden a seguir dentro de una secuencia dada está determinada por la progresión

de los elementos, bien sea por tamaño, color o cantidad, o, en el caso de series

temporales (como la rutina diaria) es la sucesión en el tiempo de un determinado evento

que viene seguido por otro.

Los conceptos de patrón y secuencia guardan una relación directa, de forma que

ambos aspectos son descritos por diversos autores de forma simultánea.

Los conceptos de patrón y secuencia guardan una estrecha relación con otros

conceptos propuestos por Piaget para el desarrollo del proceso lógico matemático,

ya que los ordenamientos que se requieren para realizar patrones y secuencias

fomentan en los niños: la habilidad de fijar su atención en los atributos de los elementos


42

para luego organizarlos en una forma secuencial (clasificación), la capacidad de tomar

en cuenta la posición que ocupa cada elemento dentro de la serie según sus

características (seriación), y la habilidad de reconocer que cada elemento debe seguir

un orden determinado y cómo ese patrón se repite en el momento de contar los

elementos de una serie (número). De este planteamiento se desprende la posición de

los patrones y las secuencias como conceptos esenciales para el adecuado

razonamiento numérico.

En cuanto a patrones:

1. Patrones de alternación simple: consisten en una serie ordenada de

elementos que se repiten conforme a la regla de alternar los mismos uno por

uno, tomando turnos y variando una de sus dimensiones (forma, color o

tamaño) (A-B-A-B).

2. Patrones de alternación doble: consiste en una serie ordenada de

elementos que se repiten conforme a la regla de alternar los mismos de dos en

dos, tomando turno y variando alguna de sus dimensiones (forma, color o

tamaño) (AA-BB-AA-BB).

3. Patrones de uno más: consisten en una serie ordenada de elementos que

se repiten conforme a la regla de añadir un elemento más dentro de la

progresión tomando turnos (A-AA-A-AA).

4. Patrones de uno menos: consiste en una serie ordenada de elementos que

se repiten conforme a la regla de eliminar un elemento menos dentro de la

progresión tomando turnos (AA-A-AA-A).

Cada uno de los tipos de patrón son desarrollados a través de las siguientes

actividades: actividades con patrones visuales, actividades con patrones auditivos

(rítmicos) y actividades con patrones táctiles.

En cuanto a la secuencia:

1. Secuencia de elementos: consiste en ordenar un conjunto de objetos en

forma sucesiva, creciendo o decreciendo en tamaño.

2. Secuencia de eventos: consiste en ordenar un conjunto de eventos en

forma sucesiva con una secuencia lógica.

Dentro de estos tipos de secuencia están las siguientes actividades:

secuencias con figuras,

secuencia con progresiones de elementos y

secuencias con eventos.

El enriquecimiento de la adquisición de los conceptos de patrón y secuencia

requiere:

1. Identificar.


43

2. Escuchar atentamente.

3. Utilizar referencias temporales.

4. Secuenciar.

5. Tomar información.

6. Comparar una secuencia.

7. Utilizar precisión y exactitud.

8. Establecer información completa y clara.

9. Utilizar una imagen mental.

10. Indagar sistemáticamente.

11. Descubrir una regla o patrón.

12. Utilizar la ordinalidad.

13. Utilizar una regla de alternación simple.

14. Utilizar alternación doble.

15. Categorizar información.

16. Relatar experiencias pasadas y futuras.

17. Coordinar tiempo y espacio.

6. DISTINCIÓN DE SÍMBOLOS.

Este componente del pensamiento lógico-matemático introduce la idea de la

identificación y clasificación de objetos y eventos de acuerdo a ciertas características

sobresalientes, requisito previo para el reconocimiento de las letras del alfabeto.

Establece las diferencias entre las letras y otras formas significantes, por medio de

sus características distintivas.

Las características distintivas o la distinción de símbolos son útiles en múltiples

aspectos, tales como:

la forma, y

los sonidos.

Este componente presenta principalmente cuatro funciones cognitivas que facilitan el

proceso de pensamiento en la persona para la distinción de símbolos, las cuales son:

1. Comparar. Se refiere a “...la capacidad que muestran algunos individuos para

organizar y planificar la información cuando se les presenta, bien en la vida

ordinaria o bien en el aprendizaje sistematizado” (Prieto, 1989).

2. Establecer una imagen mental. Es “la capacidad para establecer relaciones

entre sucesos y objetos situados en el espacio”, es decir, “la topografía corporal y


44

las relaciones de izquierda/derecha, arriba/abajo, delante/detrás y dentro/fuera”

(Prieto, 1989).

3. Memorizar visualmente. Se refiere a “...la capacidad de combinar elementos

de los campos visuales presentes y pasados en un solo campo de atención visual.

La memoria del niño no sólo hace que los fragmentos del pasado sean válidos,

sino que acaba convirtiéndose en un nuevo método de unir elementos de la

experiencia pasada con la presente” (Vygotsky, 1979).

4. Atender al contexto. Es la “capacidad para utilizar diferentes fuentes de

información a la vez. Esta función es la base para establecer relaciones entre

objetos y sucesos. (...) Este proceso cognitivo implica una selección cuidadosa y

esmerada de todos los datos que llevarán a la respuesta correcta” (Prieto, 1989).

7. TIEMPO.

Para Piaget e Inhelder (1968), el concepto de tiempo se desarrolla paralela y

conjuntamente con otras nociones del conocimiento lógico-matemático, tales como el

“movimiento, la velocidad y el espacio”. Estas nociones son literalmente consideradas

como construcciones que no se encuentran “a priori” en la mente de la persona, sino que

requieren de una construcción ontogénica, lenta y gradual.

La construcción del concepto de tiempo implica la elaboración de un sistema de

relaciones. La noción de secuencia constituye uno de sus puntos de origen, el cual se va

especializando y haciéndose cada vez más objetivo.

La noción de tiempo no suele estar explícitamente como fenómeno, pero si está

presente de manera implícita en todas específicamente en las funciones cognitivas, tales

como:

1. Conocer la secuencia de una o varias normas.

2. Relacionar experiencias pasadas con las futuras.

3. Consecuenciar una norma.

4. Relacionar experiencias cotidianas.

5. Seguir un orden.

6. Utilizar referencias temporales.

7. Secuenciar.


9. Coordinar tiempo y espacio.

8. ESPACIO.

Para Piaget (1975), la noción de espacio se comprende, en un principio, en función


45

Organicen equipos y revisen en cualquier programa de educación primaria en

el apartado de Guía para el Maestro, Campo de formación: Pensamiento

Matemático, en el subapartado: “Hacia una situación de aprendizaje” 4º grado,

pp. 342-347

de la construcción de los objetos: sólo el grado de objetivación que la persona atribuye a

las cosas permite ver el grado de exterioridad que puede conceder al espacio.

Es considerada manifestándose en las siguientes funciones cognitivas:

1. Seguir un orden.

2. Conocer las referencias espaciales.

3. Tomar nuevas perspectivas.

4. Comprender las referencias espaciales.

5. Tomar posiciones.


7. Coordinar tiempo y espacio

ACTIVIDAD 5. Revisando nuestros Programas

30 Min.


46

HACIA UNA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

Los procesos del pensamiento matemático se llevan a cabo en el curso de una

relación social, con la intención de producir aprendizajes, es decir, una relación que trata

de aquello que las y los profesores se proponen enseñar en matemáticas y que

efectivamente sus estudiantes son susceptibles de aprender en ambientes específicos.

Una situación de aprendizaje debe entenderse como el diseño didáctico intencional que

logre involucrar al estudiante en la construcción de conocimiento. No toda actividad

representa en sí, una situación de aprendizaje, lo será sólo en la medida que permita al

estudiante encarar un desafío con sus propios medios. El desafío habrá de ser para el

alumno una actividad que le permita movilizar sus conocimientos de base, previamente

adquiridos, así como construir un discurso para el intercambio que favorezca la acción.

El reto del diseño didáctico consiste en lograr que el estudiante enfrente el problema o el

desafío y pueda producir una solución, en la que confíe, pero –y esto es lo fino del

diseño– que su solución sea errónea. Sólo en ese momento, el niño y la niña estarán en

condiciones de aprender.

Cuando hablamos del pensamiento humano, del razonamiento, de la memoria, de la

abstracción o más ampliamente de los procesos mentales, dirigimos nuestra mirada

hacia la psicología y el estudio de las funciones mentales. Para los psicólogos las

preguntas: ¿cómo piensan las personas?, ¿cómo se desarrollan los procesos del

pensamiento?, o ¿en qué medida la acción humana adquiere habilidad en la resolución

de ciertas tareas?, constituyen la fuente de reflexión y experiencia cotidiana. De manera

que el pensamiento como una de las funciones mentales superiores, se estudia

sistemática y cotidianamente en diversos escenarios profesionales.

¿De qué podría tratar entonces el pensamiento matemático? Sabemos por ejemplo

que la psicología se ocupa de entender cómo aprende la gente, cómo realiza diversas

tareas o cómo se desempeña en sus diferentes actividades. De este modo, el término

pensamiento matemático se utiliza para referirse a las formas en que las personas

piensan a las matemáticas.

Los investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo se

piensa un contenido específico, en nuestro caso, las matemáticas. Se interesan por

caracterizar o modelar los procesos de comprensión de los conceptos y procesos

propiamente matemáticos.

Es, ante un fracaso controlado, que el alumno se plantea la pregunta ¿por

qué?, ¿qué falló? Esto significa que el diseño conducido por el docente

debe permitir al estudiante un proceso de “recorrido a la inversa”, un

proceso de reflexión sobre sus propias producciones. El pensamiento

humano opera de este modo cuando el estudiante aprende.


47

Dado que la actividad humana involucra procesos de razonamiento y factores de

experiencia cuando se desempeñan cualquier clase de funciones, resulta de interés que

al hablar de pensamiento matemático nos localicemos propiamente en el sentido de la

actividad matemática como una forma especial de actividad humana, dentro y fuera del

aula, esto es lo que propicia el desarrollo de competencias. De modo que debemos

interesarnos por entender las razones, los procedimientos, las explicaciones, las

escrituras o las formulaciones verbales que el alumno construye para responder a una

tarea matemática, del mismo modo que nos ocupamos por descifrar los mecanismos

mediante los cuales la cultura y el medio contribuyen en la formación de los

pensamientos matemáticos. Nos interesa entender, aun en el caso de que su respuesta

a una pregunta no corresponda con nuestro conocimiento, las razones por las que su

pensamiento matemático opera como lo hace. De este modo, habremos de explicar con

base en modelos mentales y didácticos, las razones por las que persistentemente los

alumnos consideran que, por ejemplo, 0.3 x 0.3 es erróneamente 0.9, aunque su

profesor insistentemente les diga que es 0.09.

Aunque esos hallazgos sobre el desarrollo del pensamiento matemático han jugado

un papel fundamental en el terreno de la investigación contemporánea, la currícula en

matemáticas y los métodos de enseñanza se han inspirado durante mucho tiempo sólo

por ideas que provienen de la estructura de las matemáticas formales organizadas en

contenidos escolares y por métodos didácticos fuertemente apoyados en la memoria y

en la algoritmia, donde con frecuencia el estudiante se encuentra imposibilitado para

percibir los vínculos que tienen los procedimientos con las aplicaciones más cercanas a

su vida cotidiana y se priva entonces de experimentar sus propios aprendizajes en otros

escenarios distintos a los que le provee su salón de clase.

Si quisiéramos describir el proceso de desarrollo del pensamiento matemático

tendríamos que considerar que éste suele interpretarse de distintas formas, por un lado

se le entiende como una reflexión espontánea que los matemáticos realizan sobre la

naturaleza de su conocimiento y sobre la naturaleza del proceso de descubrimiento e

invención en matemáticas. Por otro, se entiende al pensamiento matemático como parte

de un ambiente creativo en donde los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se

desarrollan en la resolución de tareas.

Finalmente, una tercera visión considera que el pensamiento matemático se

desarrolla en todos los seres humanos, en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas.

He aquí la idea de competencia que nos interesa desarrollar con estas orientaciones:

debemos mirar a la matemática un poco más allá de sus contenidos temáticos, explorar

el conocimiento mediante su uso en la vida diaria.

Desde esta última perspectiva, el pensamiento matemático no está enraizado ni en

los fundamentos de la matemática ni en la práctica exclusiva de los matemáticos, sino

que trata de todas las formas posibles de construir ideas matemáticas, incluidas aquellas

que provienen de la vida cotidiana. Por tanto, se asume que la construcción del

conocimiento matemático tiene muchos niveles y profundidades, por citar un ejemplo,

elijamos al concepto de volumen, el cual es formado por diferentes propiedades y

distintas relaciones con otros conceptos matemáticos; los niños de entre seis y siete


48

años suelen ocuparse de comparar recipientes, quitar y agregar líquido de dichos

recipientes y medir de algún modo el efecto de sus acciones sobre el volumen, aunque la

idea de volumen no esté plenamente construida en su pensamiento. En tanto que

algunas propiedades tridimensionales del volumen de los paralelepípedos rectos o los

prismas, como por ejemplo el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes son tratados en

la escuela cuando los niños y las niñas son mayores, de manera que el pensamiento

matemático sobre la noción de volumen se desarrolla a lo largo de la vida de los

individuos, por tanto, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela

debería de tomar en cuenta dicha evolución.

Desde esta perspectiva, nuestra forma de aprender matemáticas no puede ser

reducida a la mera copia del exterior, o digamos que a su duplicado, sino más bien es el

resultado de sucesivas construcciones cuyo objetivo es garantizar el éxito de nuestra

actuación ante una cierta situación. Una implicación educativa de este principio, consiste

en reconocer que todavía hay mucho que aprender al analizar los procesos de

aprendizaje de nuestros alumnos. Nos debe importar, por ejemplo, saber cómo los niños

y las niñas operan con los números, cómo entienden la noción de ángulo o de recta,

cómo construyen y comparten significados relativos a la noción de suma o resta o cómo

ellos se explican a sí mismos la noción espontánea de azar.

Esta visión rompe con el esquema clásico de enseñanza según el cual, el maestro

enseña y el alumno aprende. Estos métodos permiten explorar las formas naturales o

espontáneas en que los estudiantes piensan matemáticas, con miras a una enseñanza

renovada. El papel del profesor es, en esta perspectiva, mucho más activo, pues a

diferencia de lo que podría creerse, sobre él recae mucho más la responsabilidad del

diseño y coordinación de las situaciones de aprendizaje.

En esas actividades, los alumnos usan “teoremas” como herramientas, aunque no

sean conscientes de su empleo. Por ejemplo, ante la pregunta del maestro de cuánto es

11 por 11 un joven da una respuesta menor que 110. Otro alumno dice: esa respuesta no

puede ser correcta, pues 11 por 10 es 110 y él ha obtenido algo menor que 110. Este

argumento exhibe el uso del teorema si c>0 y a<b, entonces ac<bc. En este momento el

saber opera al nivel de herramienta, pues no se ha constituido como un resultado general

aceptado socialmente entre los estudiantes en su clase. En otro momento, ellos lograrán

escribir y organizar sus hallazgos y en esa medida reconocer resultados a un nivel más

general. En este sentido, la evolución de lo oral a lo escrito es un medio para la

construcción del significado y para el aprendizaje matemático.

Dado que para un profesor enseñar significa la creación de las

condiciones que producirá la apropiación del conocimiento por parte

de los estudiantes, para un estudiante aprender significa involucrarse

en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la

disponibilidad de un conocimiento.


49

En plenaria comparta con sus compañeros los elementos esenciales que

distinguen y caracterizan al Pensamiento Matemático y la Matemática.

PENSAMIENTO MATEMÁTICO MATEMÁTICAS

Esto presupone que la intervención del profesor, desde el diseño y la

planificación, hasta el momento en que se lleva a cabo la experiencia de

aula, se presenta para potenciar los aprendizajes que lograrán las y los

estudiantes, es decir, para tener control de la actividad didáctica y del

conocimiento que se construye (Alanís et,al,2008)

VIDEOS

Tema 1


50

TEMA 2: Modelos de enseñanza en la matemática

A lo largo del recorrido histórico que se ha construido con respecto a la didáctica de

la matemática han existido modelos didácticos que caracterizan de forma global la

forma de enseñar y aprender dicha disciplina, la transposición didáctica que enuncia

Brousseau se ve mediada por múltiples referentes de interdisciplinariedad como es la

Psicología educativa, la matemática, la epistemología, la didáctica, etc. y

consecuentemente la práctica docente.

El propósito de este apartado es poner en tela de juicio y análisis las formas de

¿Cómo se enseña y cómo se aprende matemáticas de forma cotidiana en el aula? A

la luz de un referente bibliográfico que permita autodiagnosticar el propio modelo de

enseñanza al que se adscribe, fortalecer o transitar al que tiene mejor argumento

epistemológico o didáctico.

En equipo comenten y recuperen los resultados de la actividad 2 y 3 del tema

anterior y; describan cuáles serían los elementos que integran un modelo de

enseñanza de la matemática con el que la mayoría de los integrantes aprendió

esta asignatura.

ELEMENTOS

DIDÁCTICOS EPISTEMOLÓGICOS MATEMÁTICOS

ACTIVIDAD 1. Reflexionando el modelo didáctico del trabajo

matemático 40 Min.


51

De manera individual describa honestamente cómo trabaja, de manera regular

la asignatura de Matemáticas con su grupo de alumnos.

Compare con los integrantes de su equipo que semejanzas o diferencias

metodológicas encuentran, argumenten el porqué de dichas diferencias,

registre sus conclusiones.

Organizados en equipos dividan la lectura del texto 3: “El aprendizaje de las

matemáticas. Modelos” de Ma. del Carmen Chamorro en dos partes. El

equipo 1 leen el apartado 3.1, y el equipo 2 el apartado 3.2, ubicando los

elementos esenciales del texto en la siguiente tabla:

ACTIVIDAD 2. El aprendizaje de las matemáticas. Modelos

60 Min.


52

CHAMORRO, Ma. del Carmen (2003). Aprendizaje y Matemáticas,

en Didáctica de las Matemáticas para Primaria. Madrid, Ed.

Pearson. Pp. 37-47

CAPÍTULO 2

APRENDIZAJE Y MATEMÁTICAS

3. El aprendizaje de las matemáticas. Modelos

La gran mayoría de los trabajos de investigación que se llevan a cabo en el área de

didáctica de las matemáticas versan sobre el aprendizaje matemático de los alumnos,

esto muestra su enorme relevancia para este dominio de conocimiento científico.

Los modelos teóricos que presentaremos no tienen más objeto que servirnos como un

conjunto de principios que explican el fenómeno del aprendizaje matemático, nos

ofrecerán marcos de referencia para interpretar los comportamientos de los alumnos, así

como las intervenciones y decisiones del profesor, permitiéndonos dar respuesta a la

pregunta básica: ¿Cómo ocurre el aprendizaje matemático?

Para facilitar el estudio de los aspectos relacionados con el aprendizaje de los alumnos,

se establece una relación de complementariedad entre la didáctica de las matemáticas y

el dominio de la psicología, ya que “la aproximación psicológica, es un instrumento

indispensable para esclarecer el modelo del funcionamiento cognitivo del sujeto en

relación con el saber y para poner así en entredicho las tesis empiristas que sustentan las

prácticas de los enseñantes” (Ricco2, 1995, p. 159).

Con el riesgo de simplificar los modelos teóricos de las diversas concepciones que

existen sobre el aprendizaje matemático de los alumnos, nos centraremos en las dos

modelizaciones más relevantes: empirismo y constructivismo.

3.1. Empirismo

Esta concepción de aprendizaje toma su fundamento en una concepción espontánea

que está presente en la mayoría del profesorado: “el alumno aprende lo que el profesor

explica en clase y no aprende nada de aquello que no explica”. Es una concepción que

apenas se hace explícita, pero que está muy extendida entre los profesores de

matemáticas y, en general, en toda la comunidad educativa. Piaget la denominó

2 RICCO, G. (1995): Psycologic cognitive et didactique des mathematiques. En NOIRFALISE, R. (Ed.)

Actes VIII Ecole d’ETE (pp. 159-174) DIDREM. París VII.


53

“empirista” 3, basándose en la concepción filosófica del mismo nombre que sostiene que

la experiencia es la única forma de conocimiento.

Bajo esta concepción, el discurso del maestro se registra en el alumno, a quien no se

considera capaz de crear conocimientos. Su aprendizaje es considerado como un

“transvase” de los saberes que le proporciona el maestro, se limita a recibir bien los

contenidos. Así, el saber matemático, enunciado y explicado por el profesor, se imprime

de un modo directo e inmediato en el alumno y, si existiese alguna intervención distinta

de la palabra del profesor, los objetos matemáticos los “verá” o los “tocará”. Como

consecuencia, bajo este modelo, existe un gran abuso de las presentaciones ostensivas

en la enseñanza. “La ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción

precoz de las nociones matemáticas” (Brousseau, 1994, p.112) 4. Así, por ejemplo, en la

Escuela Primaria, las figuras geométricas tales como el triángulo, el círculo, el cuadrado,

el rectángulo, etc., se suelen presentar a los alumnos en forma ostensiva.

En el ideal empirista, profesor y alumno no deben equivocarse: el error está

relacionado con el fracaso, le impide llegar al éxito en su tarea. Por ello, los errores

pueden crear malos hábitos en los alumnos, pueden ocupar el lugar de la buena

respuesta. Las causas del error las suelen plantear los maestros en términos de lagunas,

faltas, nociones parcialmente asimiladas. Conviene, pues, que el alumno tenga las

menores ocasiones de encontrarse con el error. “Se intenta hacer una especie de barrera

al error. Aceptar los errores para canalizarlos y posteriormente evacuarlos pondría en

duda, de forma profunda, el sistema de enseñanza” (Margolinas, 1993, p. 179)5.

3 “Llamamos empirismo epistemológico a la doctrina según la cual todo conocimiento proviene de la

experiencia externa o interna, experiencia concebida como una lectura o un registro de propiedades totalmente organizadas, bien sea en los objetos, bien en el sujeto.” (PIAGET, 1967, p. 37). Las dos corrientes filosóficas: empirismo y racionalismo y las teorías del aprendizaje (conductismo y cognitivismo) no coinciden exactamente; de cualquier forma, las teorías conductuales suelen ser en general empiristas, mientras que las teorías cognoscitivas incorporan posturas más racionalistas. 4 BROUSSEAU, G. (1994): La mémoire du systéme éducatif et la mémoire de l’enseignant. En Documents pour la formation des professeurs d’école en Didactique des Mathématiques, Tome III, (p. 101-115). COPILEREM. París VII. 5 MARGOLINAS, C. (1993) Ibidem.


54

Bajo esta hipótesis, la enseñanza ideal consistirá en un “curso” donde el maestro no

cometa ningún error, seguido de una prueba donde el alumno tenga la ocasión de

responder correctamente, ratificando, de este modo, que ha comprendido perfectamente.

Sin embargo, si aceptamos que para “hacer matemáticas”, el alumno debe resolver

problemas, debemos considerar normal que conviva con la Incertidumbre: el

desconcierto, la duda y los tanteos están en el corazón mismo del aprendizaje de las

matemáticas. Los alumnos deben superar muchas dificultades, pero sobre todo muchos

errores. El profesorado tiene que entenderlos como algo necesario, porque sólo

detectándolo y siendo consciente de su origen pondrá medios para superarlos.

“Quien practica la ciencia sabe bien que su fuerza no proviene de ninguna

infabilidad intrínseca, sino bien al contrario de su capacidad de autocorrección

incesante” (Levy, cit. Margolinas, 1993. p. 170)6.

3.2. Aprendizaje constructivista

Todos sabemos que muchos conocimientos pueden transmitirse de una

generación a otra sin mucho esfuerzo, sin apenas ser conscientes de su

6 MARGOLINAS, C. (1993) Ibídem.


55

adquisición, como si nos impregnáramos de ellos, por simple imitación,

mientras que para otros hemos necesitado una verdadera construcción y

una determinada y decidida intención de aprender. Considerar que el

aprendizaje de ciertos conocimientos supone una actividad propia del

sujeto es aproximarse a la corriente constructivista.

En los últimos años hemos estado en el desarrollo y aplicación de la

teoría constructivista. En todo su desarrollo existe una idea fundamental

que la preside: aprender matemáticas significa construir matemáticas.

Las hipótesis fundamentales sobre las que se apoya esta teoría, extraída

de la psicología genética y de la psicología social, las podemos resumir

como sigue:

1ª Hipótesis: El aprendizaje se apoya en la acción. Idea fundamental en la obra

de Piaget: es de la acción de la que procede el pensamiento en su mecanismo esencial,

constituido por el sistema de operaciones lógicas y matemáticas (Piaget, 1973, p. 26)7.

Conviene señalar que el término “acción” se utiliza con mucha frecuencia en dominios

pedagógicos y didácticos, asignándole el significado de “llevar a cabo manipulaciones”

sobre determinados materiales. Sin embargo, el término “acción” en matemáticas va más

allá, se trata de anticipar la acción concreta, es decir de construir una solución que nos

puede dispensar incluso de la manipulación de los objetos reales, bien sea porque los

objetos no están disponibles, bien porque son demasiado numerosos y sería costosísima

su manipulación. Las “acciones” a las que nos referimos en esta primera hipótesis, si bien

pueden tener su origen en manipulaciones reales previas, que podría evocar

mentalmente o incluso verbalmente el sujeto, no tienen necesidad de identificarse

siempre con manipulaciones reales efectivas. En cualquier caso, la solución matemática

(la acción matemática) se opone a la solución práctica (la acción sobre lo real): la acción

sobre los objetos reales conduce frecuentemente a llevar a cabo una constatación,

mientras que la acción matemática, incluso si no utiliza un procedimiento experto, se sitúa

al nivel de una anticipación.

En el ejemplo 2 figuran dos secuencias8 de enseñanza, proponemos leerlas

detenidamente, porque sobre ellas analizaremos el sentido que adquiere la noción de

anticipación en el aprendizaje de las matemáticas.

7 PIAGET, J. (1973): Introduction á l’épistemologie genetique. PUF: París. 8 Situación propuesta en BRIAND, J y CHEVALIER, M. C. (1995): Les enjeux didactiques dans l’enseignement des mathématiques. París: Hatier, (p.66). Original de H. Péanult. IUFM d’Angers


56

En la primera situación el profesor interviene muy rápidamente pidiendo a sus

alumnos que efectúen la división por 4 y que constaten cuál es el cociente y el resto. Por

el contrario, en la segunda secuencia, el profesor no habla nunca de división, son los

alumnos, a través del problema propuesto, quienes tienen necesidad de desarrollar

estrategias, desde la más costosa: escribir sucesivamente los números uno tras otro en la

tabla, hasta la más económica: dividir por 4 y observar el resto. Este “saber” no es

mencionado en ningún momento por el profesor. El alumno tiene bajo su propia

responsabilidad los conocimientos que él moviliza.

La elección por el profesor de los números para clasificar no es arbitraria, sino muy

premeditada y controlada, ya que permite que los alumnos pasen de una estrategia de

base: necesidad de ubicar efectivamente los números en la tabla para conocer su

posición, a una verdadera anticipación: sin necesidad de ubicarlos materialmente en la

tabla, buscar el conocimiento matemático necesario (dividir por 4 y observar el resto y,

1ª Secuencia de enseñanza: 2ª Secuencia de enseñanza:

1ª fase: Los alumnos se organizan en grupos de 4. Reciben un juego formado por 32 cartas numeradas de 0 a 31.

Consigna: Distribuir las cartas sin mezclarlas, una a una. Siempre en el mismo orden. Anoten en una tabla los números que cada miembro del grupo obtenga.

Material: Una hoja que contiene una tabla en la que pueden poner los nombres de cada uno del equipo.

María Carlos Antonio Lola

0 1 2 3

4 5 6 7

-

El maestro muestra cómo debe rellenar cada grupo sus tablas, va revisando y corrigiendo los errores eventuales que los alumnos pueden cometer en esta tarea. 2ª fase: Interiorización de las propiedades de la tabla. El profesor indica a los alumnos: <<Cada número de la tabla debes dividirlo en 4 y anotar el cociente obtenido en royo y el resto en verde, ¿qué relaciones observas?>>

Se hace una puesta en común entre todos los grupos y el profesor va remarcando las propiedades de la tabla.

3ª fase: Ejercicios de aplicación.

¿En qué línea y en qué columna deberíamos situar el número 123 si continuásemos la tabla?

¿Qué número escribiríamos en la fila 67 y en la 3ª columna?

1ª fase: El profesor comienza a escribir en el pizarrón los primeros números del siguiente modo

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 …

¿quién quiere continuar? Varios alumnos colaboran voluntarios, en la construcción de la tabla hasta que el profesor decide que se paren, por ejemplo en el 22, y formula algunas cuestiones del tipo:

¿En qué fila está el número 10?, ¿en qué columna está el número 17?

2ª fase: Resolución de problemas del tipo ¿dónde estará el número

El profesor anuncia que se va a seguir construyendo la tabla, pero antes quiere hacer algunas previsiones del tipo: <<¿En qué fila y en qué columna estará el número 35?, ¿y el 40?, ¿y el 47?...>>

Los alumnos deben, cada uno individualmente, aportar soluciones. Se pasa luego a un inventario colectivo de soluciones y a una discusión y validación de los resultados y de las estrategias de búsqueda de la solución.

El profesor sigue proponiendo diversos problemas de este tipo hasta que la discusión entre las diversas estrategias hace que emerja la más económica (<<dividir por 4 y observar el resto>>).

Se propone ahora encontrar el lugar de números tales como 473, 517…

El profesor anima a los alumnos a que validen y prueben los resultados obtenidos.

3ª fase: Ejercicios de aplicación.

Fase idéntica a la situación anterior

Ejemplo 2. La acción de los alumnos como anticipación


57

en función del resto, conocer la columna correcta y, por medio del cociente, saber la fila

idónea, para determinar correctamente su lugar).

“El conocimiento debe manifestarse como instrumento de decisión anticipada.”

(Brousseau, 2000, p.8)9

Cuando la estrategia de base se hace costosísima, los alumnos se ven obligados a

buscar otra, más económica, mejor adaptada a la situación propuesta. Esta estrategia

constituye el conocimiento matemático (objetivo de aprendizaje) de la situación de

enseñanza. Cuando el alumno pasa de la estrategia de base a la nueva decimos que ha

construido un nuevo conocimiento: ha llevado a cabo un aprendizaje.

Margolinas (1993)10 asegura que una de las funciones de las matemáticas es la de

permitir la anticipación de los resultados de una acción. El término anticipación comporta

un doble sentido: la predicción y la garantía de validez de esta predicción. Para que los

alumnos puedan anticipar con garantía de validez su predicción deben ser capaces de

establecer pruebas de tipo intelectual, es decir, aquellas en las que se excluye la acción

efectiva sobre los objetos.

El que entienda la acción en el sentido de una verdadera anticipación no quiere decir que,

en muchas ocasiones, las manipulaciones no tengan su lugar en el aprendizaje

matemático del alumno, todo lo contrario, le permiten, de entrada, apropiarse del

problema, comprender la naturaleza de la cuestión, hacerse una buena imagen de la

situación. La manipulación, la acción efectiva sobre los objetos reales de la situación,

facilita la construcción de representaciones que posteriormente en situaciones análogas,

podrán formularse o evocarse mentalmente y permitirán llevar a cabo “acciones” en el

sentido matemático del término: construcción de esquemas, cálculos, etc. Además, la

manipulación es un medio con el cual el sujeto puede validar sus soluciones, confirmar su

anticipación sobre una determinada acción, verificar la pertinencia de una respuesta

aunque con el tiempo, sus conocimientos matemáticos le facilitarán llegar a

constataciones que no precisará hacerlas efectivas sobre los objetos reales.

2ª Hipótesis: La adquisición, organización e integración de los conocimientos del

alumno pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los

cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda. Si este desequilibrio es superado,

esto implica que hay una reorganización de los conocimientos; los nuevos conocimientos

se van integrando con los anteriores, apoyados en los procesos de asimilación y

acomodación. Se trata de aplicar el modelo facilitado por la de la teoría de la equilibración

de Piaget.

“En el curso de acción sobre determinado medio, las contradicciones

aparecen en el sujeto como producto de los desequilibrios, y debe modificar

sus representaciones, se produce lo que Piaget ha denominado

9 BROUSSEAU, G. (2000): Les grandeurs dans l’escolarité obligatoire. Cour pour la XI Edición d’Eté.

Université Bordeaux 2.

10 MARGOLINAS, C. (1993) Ibídem.


58

acomodación, que supone, básicamente, una modificación en el sujeto

causada por el medio (perturbación). De manera recíproca, las

transformaciones realizadas por el sujeto para dar respuesta a las

perturbaciones modifican su organización del medio, produciéndose entonces

un proceso de asimilación. El doble juego acomodación/asimilación está en el

centro de los mecanismos de los procesos de equilibración.” (Chamorro,

1991, p. 58)11

El aprendizaje, pues, no se reduce a una simple memorización, a una yuxtaposición

de “saber hacer” o a un condicionamiento, aprendemos raramente de una sola vez:

aprender supone volver a empezar, extrañarse, repetir, pero repetir comprendiendo lo

que se hace y por qué se hace.

Veamos el siguiente ejemplo:

A partir de esta constatación surgen las preguntas, las incertidumbres, la formulación

de nuevas hipótesis, los debates entre los miembros de cada grupo, y va emergiendo el

conocimiento matemático. El error es, pues, necesario para producir desequilibrios, si no

hacemos emerger las estrategias de base erróneas y comprobamos su invalidez

funcionalmente, no las rechazaremos nunca y volverán a manifestarse sistemáticamente.

El aprendizaje, bajo esta hipótesis, es un proceso de reconstrucción de un equilibrio

11 CHAMORRO, C. (1991): El aprendizaje significativo. En el área de matemáticas. Madrid. Alhambra -

Logman 12 Situación propuesta por BROUSSEAU (1998, p. 237) para la construcción del factor de proporcionalidad

racional, dentro del bloque de situaciones didácticas para la enseñanza de los números racionales.


59

entre el sujeto y el medio (situación problema), por ello la didáctica de las matemáticas se

interesa en las perturbaciones provocadas deliberadamente en un determinado medio

con intención de suscitar un aprendizaje.

En el problema anterior, apenas se hubiesen producido errores entre los alumnos si la

consigna de ampliación del puzzle hubiera sido: “Debéis ampliar las piezas, de tal modo,

que el lado que mide 4 unidades se transforme en 8 unidades”. Los alumnos hubiesen

calculado el doble de la longitud de los lados de todas las piezas y el éxito estaría

asegurado. No habría existido el fuerte desequilibrio provocado por la transformación

“ampliar de 4 a 7 unidades” y los alumnos no hubiesen tenido la ocasión de poner en

funcionamiento la estrategia aditiva: “sumar 3 unidades a la longitud de todas las piezas”,

con lo cual no habrían constatado su invalidez y no habrían podido construir con sentido

la estrategia óptima:

Este cambio de estrategia, devuelve el equilibrio perdido al subsistema sujeto medio,

y es precisamente el conocimiento que se pretendía que los alumnos construyesen: factor

de proporcionalidad racional.

3ª Hipótesis: Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. Se trata de

una idea fundamental de la epistemología de Bachelard12 (1983) sobre el conocimiento

científico, tomada por Brousseau para explicar la formación de obstáculos en el

aprendizaje de las matemáticas: la utilización y la destrucción de los conocimientos

precedentes forman parte del acto de aprender (Brosseau, 1998, p. 120)14.

Los aprendizajes previos de los alumnos se deben tener en cuenta para construir

13 BACHELARD, G. (1983) La formación del espíritu científico. Siglo XXI: Buenos Aires.

14 BROSSEAU, G. (1998) Ibídem.

Actividad 4: Determina los posibles desequilibrios que los

alumnos pueden encontrar en la resolución del problema de

“construcción de la gran ciudad” (ejemplo 1ª – 2ª secuencia).

¿Qué respuestas obtienen del medio?


60

nuevos conocimientos, ya que éstos no se producen a partir de la nada, su elaboración

está sometida a adaptaciones, rupturas y a reestructuraciones, a veces radicales, de los

conocimientos anteriores. Aprendemos a partir de y también en contra de lo que ya

sabemos. Los nuevos conocimientos no pueden hacerse más que modificando los

precedentes y no por simple acumulación de los últimos sobre los ya existentes. Así, por

ejemplo, errores cometidos por los alumnos, tales como:

El siguiente de 1,78 es 1,79 porque 79 es el siguiente de 78

2,6 es menor 2,358 porque 6 < 358

0,2 x 0,3 = 0,6 porque 0 –x 0 = 0 y 2 x 3 = 6

Son consecuencia de sus conocimientos previos sobre los números naturales. Los

alumnos aplican al dominio de los números decimales propiedades válidas sólo en N.

Esto es debido a que consideran un número decimal como una pareja de números

naturales separados por una coma.

Dado que la noción de obstáculo es de suma importancia para el aprendizaje de las

matemáticas, dedicaremos más adelante, en este capítulo un apartado específico para su

estudio.

4ª Hipótesis: Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social

pueden facilitar la adquisición de conocimientos. Idea básica de la psicología social

apoyada en la obra de Vygotsky15,quien consideraba preciso tener en cuenta lo que un

individuo puede hacer con la ayuda de otros, ya que el aprendizaje se produce en un

medio social en el que abundan las interacciones, tanto horizontales (niño-niño) como

verticales (niño-adulto).

La eficacidad de los conflictos socio-cognitivos se justifica, según Blaye16 (1994),

puesto que:

a) Permiten al alumno tomar conciencia de otras respuestas diferentes a la suya, lo

que le obliga a descentrar su respuesta inicial.

b) La necesidad de llevar a cabo regulaciones sociales, para llegar a un consenso,

implica que el alumno sea más activo cognitivamente.

c) La respuesta diferente de los otros es portadora de información y llama la atención

del sujeto sobre aspectos de la tarea que no había considerado.

15 Zona de Desarrollo Próxima (ZDP) es la distancia entre el nivel de desarrollo actual, que podemos

determinar a través de la forma en que un niño resuelve sus problemas él solo, y el nivel de desarrollo potencial, tal como lo podemos determinar a través de la forma en la que un niño resuelve sus problemas cuando está asistido por un adulto o en colaboración con otros niños más avanzados (VYGOTSKY., 1978, p.

86; CIRADE, P. 153).

16 BLAYE, A. (1994) “Interacctions sociales et constructions cognitives”, En BERNANZ, N., GARNIER, C

Construction des saviors, (p. 183-195) Quebec: CIRADE


61

17 GUILLY, M. (1994): Á propos de la théorie du conflit socio-cognitif el des mecánisenes psycho-socieux, en

BERNANZ, N.,GARNIER, C. Construction des savoirs, (p.162-183) Quebec. CIRADE

Así, los conflictos socio-cognitivos provocan un doble desequilibrio: “desequilibrio

interindividual, debido a las diferentes respuestas de los sujetos; desequilibrio

intraindividual, debido a la toma de conciencia de respuestas diferentes, lo que invita al

sujeto a dudar de su propia respuesta” (Guilly, 1994)17.

Cabe señalar también la función de mediador que, en los conflictos socio-cognitivos,

lleva a cabo el maestro a través de las puestas en común entre los alumnos. Si la

situación propuesta en clase ha sido una situación abierta, de interacción con un medio,

se espera que los alumnos se comprometan en procedimientos muy variados, será el

momento de organizar el intercambio, el debate, la argumentación, la confrontación, la

validación, etc.

Esta fase es primordial para el aprendizaje matemático, “poner en común es hacer

público” y en ella el lenguaje, como medio de comunicación social, es primordial. El

lenguaje permitirá a los alumnos estructurar la acción, apropiarse de significaciones

nuevas, identificar nociones y requiere una expresión verbal (o escrita o, incluso,

representativa). El lenguaje jugará una función determinante para la elucidación de sus

conocimientos: es al tratar de responder a los “por qué” y a los “cómo” de los otros

alumnos y del maestro cómo cada uno es capaz de volver sobre sus propias

La situación de ampliación del puzzle (ejemplo 3) pone en evidencia un

conflicto socio-cognitivo. Cada alumno del grupo tiene que construir una

pieza diferente y, al final, cuando todos han concluido su tarea, las piezas

no encajan. Esto provoca que entre ellos emitan diferentes

interpretaciones de la “respuesta que han obtenido del medio”,

conduciéndoles a formular nuevas hipótesis, debatir entre ellos, probar,

rechazar, argumentar, etc.

Actividad 5: Dadas las siguientes proposiciones:

Si aumentamos cada uno de los lados de un triángulo doble, su área queda entonces multiplicada por:

2, 3, 4

Si el radio de un círculo aumenta el doble, su área queda multiplicada por:

2, 3, 4

Describa las posibles respuestas que podrían dar los alumnos. ¿Sobre qué argumentos las podrían validar? ¿La discusión de las respuestas aportadas podría provocar un conflicto socio-cognitivo entre los alumnos de una clase de la escuela primaria?


62

RASGOS CARACTERÍSTICOS

MODELO EMPIRISTA MODELO

CONSTRUCTIVISTA

CONCEPTO DE

APRENDIZAJE

PAPEL DEL DOCENTE

PAPEL DEL ALUMNO

CONCEPTO DE ERROR

TÉRMINOS

CARACTERÍSTICOS

acciones, a describirlas, a defenderlas, a tomar conciencia de su pertinencia y validez. Y,

recíprocamente, es al interrogar sobre las soluciones aportadas por los otros cómo cada

uno puede conocer un nuevo procedimiento, medir el grado de dominio adquirido,

reconocer lo que no logra hacer solo, en suma, ampliar su campo de conocimientos.

Actividad 6: El dueño de una cuadra de caballos compra un pura sangre por

6 000 euros, lo vende por 7 000 euros. Más tarde, compra de nuevo este caballo

por 8 000 euros y lo revende por 9 000 euros. ¿Cuánto ha ganado?

Entre las respuestas siguientes, determine la que crea correcta:

Ha perdido 1 000 euros.

Ha ganado 1 000 euros.

Ha ganado 2 000 euros.

Ni ha perdido, ni ha ganado.

¿La resolución de este ejercicio podría provocar un conflicto socio-cognitivo entre

los alumnos de la escuela Primaria? Describa y analice las posibles respuestas y

los argumentos que las justifican.


63

En plenaria compartan los elementos que recuperaron en el cuadro y

expongan sus comentarios.

De manera individual reflexione:

¿EN QUÉ MODELO DE ENSEÑANZA ESTOY

INSCRITO? ¿QUÉ TENGO QUE HACER

PARA MEJORAR?

En plenaria comenten: ¿Qué les hizo reflexionar la revisión de los modelos de

aprendizaje y enseñanza de la matemática? ¿Cuáles serían los cambios o

ajustes que estarían realizando a su práctica docente y escolar para mejorar la

enseñanza y el aprendizaje de la Matemática? Realicen sus anotaciones.


64

TEMA 3: Metodología y Enfoque de trabajo de la matemática en el Plan y Programa 2011

En el proceso de repensar cómo estamos desarrollando nuestro trabajo, los

referentes establecidos en el plan y programas de estudio 2011, son aspectos

importantes en los cuales de manera permanente debemos estar reflexionando, el

enfoque, es un elemento que debe estar dando dirección a nuestras actividades, así

como el diseño y la elaboración de propuestas innovadoras, desde una perspectiva

crítica de cambio, que generen el desarrollo de una práctica creativa.

De manera individual reflexione sobre los siguientes cuestionamientos,

relacionados con la aplicación del enfoque de las matemáticas, en el

desarrollo de su práctica docente. En plenaria comparta sus reflexiones.

¿Cómo aplica en su práctica, el enfoque de la asignatura de las Matemáticas?

¿Qué fortalezas y debilidades ubica en torno a la aplicación del enfoque de las matemáticas?

¿Conoce cuál es la idea central de lo que pretende el enfoque de la asignatura de

las Matemáticas?

¿La metodología didáctica que utilizas en la enseñanza de las Matemáticas permite enfrentar con éxito, los problemas de la vida cotidiana de los alumnos? Si, No, ¿Por qué?

ACTIVIDAD 1. ¿Qué del enfoque didáctico? 30 Min.


65

De manera individual realicen la lectura del texto “La Investigación e

Innovación Educativa” de María Guadalupe Moreno Bayardo y en equipos

socializar las siguientes preguntas.

ACTIVIDAD 2. La Innovación de la Práctica Escolar y Docente

INVESTIGACIÓN E INNOVACIÓN EDUCATIVA.

MARÍA GUADALUPE MORENO BAYARDO*

* Miembro del Sistema Nacional de Investigadores y

coordinadora de la Maestría en Investigación Educativa del Centro de Investigaciones Pedagógicas y Sociales (CIPS).

La investigación y la innovación educativas constituyen quizá las alternativas de

mayor consistencia para la sustentación de las tareas propias de un sistema educativo y

de las transformaciones mediante las cuales, dicho sistema pretende alcanzar, de mejor

manera, los objetivos que se ha propuesto.

Ambas pueden contribuir a favorecer el desarrollo del sistema educativo y la calidad

de la educación que éste ofrece, sin embargo, no puede afirmarse que lo hagan

exactamente de la misma manera, de allí que en este trabajo se pretendan establecer

vínculos y diferencias entre una y otra.

a). CONCEPTOS FUNDAMENTALES: INNOVACIÓN, CAMBIO, MEJORA

Hablar de innovación supone, en primer lugar, la necesidad de establecer con

claridad los diversos significados que se dan al término y su relación con conceptos

como el de cambio y el de mejora que, en muchas ocasiones se utilizan como

sinónimos, pero que no son tales, aunque su significado pueda estar estrechamente

vinculado con la innovación.

Con base en la etimología del término, se puede hablar de innovación en el

sentido de la mera introducción de algo nuevo y diferente; sin embargo, esto deja

abierta la posibilidad de que ese "algo nuevo" sea o no, motivo de una mejora; tan

nuevo sería un método que facilita un aumento de la comprensión lectora, como

uno que la inhibe.

Algunas veces, el término innovación es utilizado para designar una mejora con

100 Min.


66

relación a métodos, materiales, formas de trabajo, etc., utilizados con anterioridad, pero

la mejora por sí sola puede, o no, ser innovación; por ejemplo, un método puede mejorar

porque se aplica con más conocimiento de causa o con más experiencia, y en este caso

no hay una innovación, mientras que si el método mejora por la introducción de

elementos nuevos, la mejoría puede ser asociada entonces a una innovación.

Así, un primer acercamiento al concepto de innovación puede ser el de

"introducción de algo nuevo que produce mejora".

Un análisis más tiene que realizarse para examinar la relación entre innovación y

cambio. Si se establece que la innovación significa la introducción de algo nuevo que

produce mejora, el hecho de pasar de lo que se tenía antes, a un estado de mejoría,

supone la presencia de un cambio. Sin embargo, no puede afirmarse que todo cambio

sea una innovación, un cambio puede ocurrir incluso de manera no deliberada como

consecuencia de la intervención de múltiples factores en una situación determinada.

Así, puede establecerse que la innovación es algo más planeado, más

deliberado, más sistematizado y más obra de nuestro deseo que el cambio, el cual

es generalmente más espontáneo.

Aun coincidiendo en que el término innovación esté asociado al significado de la

introducción de algo nuevo que produce mejora, y que por lo tanto trae consigo un

cambio, surge luego la discusión de qué será entendido por "nuevo". En un sentido

estricto, lo nuevo es asociado a lo que nunca antes había sido inventado, conocido o

realizado, que se genera, se instituye o se presenta por primera vez; utilizando este

significado de lo nuevo, las innovaciones serían realmente escasas, no es común que

surja algo nuevo en el sentido antes mencionado.

La reflexión anterior conduce al planteamiento de lo nuevo en otra dimensión,

asociado sobre todo a formas o maneras nuevas de hacer o utilizar algo. En este

sentido, se admite como nuevo algo que ya ha sido conocido o utilizado en otros tiempos

o situaciones, pero que ahora se utiliza en nuevas circunstancias, con diferentes

finalidades, en diversas combinaciones o formas de organización, etc.

Los planteamientos anteriores permiten una plena coincidencia con la definición

que Richland da de innovación: "la innovación es la selección, organización y

utilización creativas de recursos humanos y materiales de maneras nuevas y

propias que den como resultado la conquista de un nivel más alto con respecto a

las metas y objetivos previamente marcados".

El hecho de que en la definición de innovación que acaba de mencionarse se hable

de la conquista de un nivel más alto con respecto a ciertos objetivos, alude a una

característica que, en la innovación educativa, resulta fundamental: las innovaciones

tienen que ser evaluadas y sólo pueden valorarse en relación con las metas y objetivos

de un determinado sistema educativo, no son transferibles, sin más, de un sistema a

otro.

Por otra parte, una innovación para ser considerada como tal, necesita ser duradera,

tener un alto índice de utilización y estar relacionada con mejoras sustanciales, esto


67

establecerá la diferencia entre simples novedades (cambios superficiales) y la auténtica

innovación.

b). LA INNOVACIÓN COMO PROCESO

Una característica más de la innovación resulta fundamental; la innovación no es un

acto que produce de manera directa determinadas consecuencias, la innovación es un

proceso, y como tal, supone la conjunción de hechos, personas, situaciones e

instituciones, actuando en un período de tiempo en el que se suceden diversas acciones,

no necesariamente en un orden determinado, para hacer posible el logro de la finalidad

propuesta.

La innovación como proceso:

Está asociada a hechos que se dan en el tiempo, si bien son hechos que ocurren

orientados por una planeación y un proceso de reflexión previos, incluso con

sustento en algunas teorías, la innovación no se identifica usualmente con lo que

ocurre en el nivel de las ideas, de la reflexión o de la teoría, sino que se refleja en

acciones que producen cambios en las prácticas de las que estas acciones forman

parte. Así por ejemplo, será de esperar que una innovación en educación se

refleje en alguna práctica educativa: la docencia, la administración, la

supervisión escolar, etc., aunque la dimensión de la innovación involucre

solamente algún aspecto de dichas prácticas.

Involucra a persona e instituciones en diversos planos: como creadores, como

tomadores de decisiones, como realizadores, como usuarios, como evaluadores,

pudiendo recaer en las mismas personas o instituciones una función múltiple; por

ejemplo la de creadores, realizadores y evaluadores de determinada innovación.

Las personas e instituciones que se involucran en un proceso de innovación

pueden encontrarse vinculados por intereses y actividades comunes desde antes

de iniciar el proceso de innovación, o constituirse como grupo temporal a propósito

de la misma; lo fundamental es que, tanto las personas como las instituciones

involucradas en cualquiera de los planos mencionados, realmente compartan, de

manera sustancial, el interés por la innovación y el convencimiento de que puede

dar lugar a una transformación importante. La innovación más valiosa podrá no

ser efectiva si, por ejemplo, los usuarios de la misma, no desarrollan

actitudes positivas hacia ella por haberla recibido como una imposición por

parte de las autoridades de una institución.

Implica transformaciones en las prácticas, mismas que habrán de manifestarse

(hacerse reconocibles) en diversos ámbitos: los materiales de trabajo, los hábitos,

las actitudes, la efectividad de las acciones, la dinámica institucional, etc. Como

se estableció inicialmente, la innovación que realmente es tal, genera cambios de

importancia.

Está referida a solución de problemas, ya sea que el problema se entienda en

términos de necesidades que demandan una solución, o de intención de tener

acceso a mejores niveles de desarrollo propiciando un acercamiento cada vez


68

mayor a los objetivos propuestos.

En conjunto constituye un sistema en el que se integran diversos elementos para

originar una dinámica que haga operativo y eficaz el proceso de generación,

introducción, seguimiento y evaluación de la innovación.

Ciertamente, a medida que se reflexiona más profundamente sobre el proceso de

innovación y sus características, se va descubriendo que la innovación no es algo

fácil, ni instantáneo, que no puede ocurrir al azar o por decreto, y que si así ocurre,

sus resultados, en lugar de constituir una mejora, producen reacciones de

rechazo, que perjudican más que favorecen el logro de los objetivos propuestos.

c). LA INNOVACIÓN EDUCATIVA

En educación, el proceso de innovación se caracteriza además por la complejidad

que supone introducir cambios sustanciales en los sistemas educativos, dado que la

mayoría de dichos cambios involucra también nuevas formas de comportamiento y un

acercamiento diferente a los estudiantes. Aun cuando la innovación estuviera

referida a materiales, como por ejemplo un nuevo tipo de libro de texto, ésta tiene

que ir acompañada de una actitud favorable por parte de los docentes que se

encargarán de manera directa de su utilización, de la comprensión de los

supuestos teóricos y metodológicos que orientaron su elaboración, de la

disposición a sustituirlos por otros que ya les eran ampliamente conocidos, etc.

Así, las innovaciones en educación tienen ante sí, como principal reto, los procesos

de adopción por parte de las personas, los grupos y las instituciones; las cosas

materiales y la información son desde luego más fáciles de manejar y de introducir, que

los cambios en actitudes, prácticas y valores humanos.

Según Wesley, en la innovación educativa se dan tres procesos que son, de alguna

manera, fuentes de la misma:

En primer lugar, las innovaciones ocurren generalmente mediante la

acumulación de una variedad de cambios: algunos muy pequeños, como la

introducción de un nuevo tipo de material didáctico, otros de mayor amplitud,

como la transformación de los sistemas de formación de docentes; los diversos

cambios se van desarrollando lentamente, pero por lo general, el efecto total es

una mejora continua del sistema educativo en su conjunto.

En segundo lugar, existen los cambios que se desarrollan desde la base, esto

es, la generación constante de nuevas ideas por parte de los involucrados en el

sistema educativo, algunas de esas ideas, especialmente las que el sistema está

preparado para asimilar, son transformadas e incorporadas en consonancia con

sus propias normas y prácticas.

En tercer lugar, los cambios ocurren a través de decisiones emanadas de una

política adoptada: una autoridad del gobierno central, regional o local, decide

adoptar una idea nueva y dicta los reglamentos e instrucciones necesarias para

llevarlas a efecto.


69

Cabe en este momento analizar que los planteamientos de Wesley necesitan

relativizarse con base en las características de la innovación, establecidas en párrafos

anteriores.

Cuando se presenta la innovación como acumulación de una variedad de

cambios, cuyo efecto total es una mejora del sistema educativo en su conjunto,

habrá que considerar que, la mera acumulación de cambios, difícilmente traerá

como consecuencia una innovación; se requeriría en todo caso, que cada uno de

los cambios introduzca elementos nuevos que produzcan mejoras, y además, que

los diversos cambios que están ocurriendo, apunten hacia objetivos comunes o

complementarios.

Cuando se explica que la innovación puede ocurrir como asimilación de las nuevas

ideas que van surgiendo "desde la base", se corre el riesgo de asumir que no es

necesario un proceso de sistematización, formalización, seguimiento y evaluación de lo

que ocurre cuando dichas ideas se convierten en el sustento de determinadas acciones

dentro del sistema, o de creer que las innovaciones se asimilan prácticamente de

manera espontánea y natural.

Finalmente, cuando se identifican como fuente de innovación decisiones emanadas

de la política educativa, la experiencia ha mostrado que la historia de la educación hace

referencia a múltiples ejemplos de cambios que jamás impactaron favorablemente a los

sistemas educativos, por haberse introducido unilateralmente, como decisión de

autoridades en turno, sin un profundo análisis de las condiciones y necesidades del

sistema para el que fueron propuestos.

La innovación es “un proceso que se construye a partir de las iniciativas y de

la actitud de los profesores en su misma docencia” que les lleva a tener mejores

condiciones para desarrollar procesos de construcción y reconstrucción del

conocimiento en el aula, para generar nuevas prácticas de acción docente y/o para

revitalizar la actividad de gestión en la escuela.

Así, resulta difícil establecer que la innovación pueda presentarse, de manera

segura, por alguna de las vías señaladas, aunque cualquiera de ellas podría favorecerla,

siempre y cuando se den condiciones que eviten los riesgos que acaban de

mencionarse.

d). MODELOS DE PROCESOS PARA GENERAR LA INNOVACIÓN EDUCATIVA

Partiendo de que la innovación es generalmente un proceso intencional y sistemático,

como se ha venido afirmando a lo largo de este trabajo, pero que puede ocurrir de

diversas maneras, los teóricos de la innovación han realizado cuidadosos análisis de

experiencias de innovación ya ocurridas, identificando, a partir de estas, tres modelos de

proceso que Havelock presenta de la siguiente manera:

1. Modelo de investigación y desarrollo

2. Modelo de interacción social

3. Modelo de resolución de problemas


70

El modelo de investigación y desarrollo ve el proceso como una secuencia racional

de fases, por la cual una invención se descubre, se desarrolla, se produce y se disemina

entre el usuario o consumidor. La innovación no se analiza desde el punto de vista del

usuario, quien se supone que es pasivo; ni tampoco la investigación comienza como un

conjunto de respuestas exactas a problemas humanos específicos, sino como un

conjunto de datos y teorías que son luego transformados en ideas para productos y

servicios útiles en la fase de desarrollo. El conocimiento se produce, por último,

masivamente, y se procura por todos los medios difundirlo entre aquellos a los que

pueda ser de utilidad.

El proceso se concreta así, en etapas que van del conocimiento científico básico, a

su transformación en investigación aplicada y desarrollo, que a su vez es transformada

en conocimiento práctico y que finalmente se transforma en las aplicaciones que le da el

usuario.

Este modelo presenta pues, un enfoque lógico y racional de la innovación; como tal

está sustentado en diversos supuestos, algunos de los cuales son cuestionables, dado

que:

- Muchas innovaciones no ocurren como producto final de un cuidadoso proceso

de planificación que conduzca de la teoría a la práctica.

- La innovación no siempre es generada por expertos que saben lo que hay que

hacer para "recetarlo" a quienes ejercen las diferentes prácticas educativas.

Sin embargo, sí ha ocurrido que algunas innovaciones valiosas hayan surgido por

una vía como la propuesta en este modelo.

En el modelo de interacción social, se hace hincapié en el aspecto de difusión de la

innovación, en el movimiento de mensajes de individuo a individuo y de sistema a

sistema; se subraya la importancia de las redes interpersonales de información, de

liderazgo, de opinión, de contacto personal y de integración social. La idea general

es la de que cada miembro del sistema recorra el ciclo o tome conciencia mediante

un proceso de comunicación social con sus compañeros. En algunos sistemas, la

forma que adopta esta estrategia consiste, por ejemplo, en convencer a un

profesor, directivo o administrador respetados, de la utilidad de las nuevas

prácticas o procedimientos, y en facilitar el proceso mediante el cual otros

profesores puedan ponerse en contacto con aquella persona que ya esté

utilizando la innovación.

En este modelo, la unidad de análisis es el receptor individual, se centra la atención

en la percepción por parte del receptor del conocimiento exterior, y en su respuesta al

mismo. Los estudios realizados en esta área concreta han revelado que el medio más

eficaz para la difusión de una innovación es la interacción entre miembros del grupo

adoptante. En general, los investigadores concentran sus esfuerzos en una innovación

presentada bajo forma concreta y difundible (un libro de texto, un material didáctico, un

procedimiento para facilitar el aprendizaje, etc.) y siguen su pista a través del grupo

social de los adoptadores; en particular, realizan un estudio de los efectos de la


71

estructura social y de las relaciones sociales, sobre las innovaciones y su desarrollo.

Los investigadores de este modelo han identificado con precisión la forma en que la

mayoría de los individuos pasa por un proceso de adopción de la innovación:

La toma de conciencia, en la que el individuo se ve expuesto a la innovación,

pero carece de información completa sobre ella.

El interés, fase en la que el individuo busca información sobre la innovación, pero

todavía no ha juzgado su utilidad con respecto a su propia situación.

La evaluación, en la que el individuo hace un examen mental de lo que supondrá

en su momento y en el futuro la aplicación de la innovación y decide si la va a

experimentar o no.

El ensayo, en el que el individuo, si su examen mental resultó favorable, aplica la

innovación a escala limitada para descubrir si, en su situación, tiene una utilidad

real.

La adopción, en esta fase, los resultados del ensayo de la innovación, o incluso

alguna modificación de la misma, analizados con detenimiento, servirán para

determinar si finalmente se toma la decisión de adoptar o rechazar la innovación.

Como se habrá notado, el énfasis en este modelo no está en la fuente de donde

surgió la innovación, sino en el proceso de difusión de la misma.

La principal crítica que se hace al modelo de interacción social es la de que

fácilmente puede convertirse en un modelo manipulador al perder de vista, en el afán de

difundir la innovación eficazmente, las necesidades o circunstancias reales del usuario, o

la posibilidad de que la innovación misma carezca de sentido o pueda resultar perjudicial.

El modelo de resolución de problemas tiene como centro al usuario de la innovación.

Parte del supuesto de que éste tiene una necesidad definida y de que la innovación va a

satisfacerla. En consecuencia, el proceso va desde el problema al diagnóstico, luego a

una prueba y finalmente a la adopción. Con frecuencia es necesaria la intervención de un

agente externo de cambio que aconseje a los individuos sobre posibles soluciones y

sobre estrategias de puesta en vigor, pero lo que se considera principal es la

colaboración centrada en el usuario de la innovación y no en la manipulación desde

fuera. Es pues un enfoque participativo.

Las características básicas del enfoque o método de resolución de problemas pueden

sintetizarse en los cinco puntos siguientes:

1. El usuario constituye el punto de partida.

2. El diagnóstico precede a la identificación de soluciones.

3. La ayuda del exterior no asume un papel de dirección, sino de asesoría y

orientación.

4. Se reconoce la importancia de los recursos internos para la solución de los

problemas.

5. Se asume que el cambio más sólido es el que inicia e interioriza el propio usuario.


72

Quizá la principal bondad del modelo de resolución de problemas sea precisamente

su enfoque participativo y su interés en que las innovaciones respondan a las

necesidades reales de los usuarios y sean generadas por éstos.

e). EL CONCEPTO DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVA

Con la intención de identificar cómo se vinculan, y a su vez, cómo se diferencian (si

es que lo hacen) la investigación y la innovación educativas, conviene analizar algunas

formas de conceptualizar la investigación educativa.

La definición contenida en el diagnóstico de la investigación educativa

realizado por la Secretaría de Educación Pública en 1989, establece que:

investigación educativa es el conjunto de acciones sistemáticas con objetivos

propios, que, apoyados en un marco teórico o en uno de referencia, en un

esquema de trabajo apropiado y con un horizonte definido, describen, interpretan

o actúan sobre la realidad educativa, organizando nuevos conocimientos, teorías,

métodos, medios, sistemas, modelos, patrones de conducta y/o procedimientos

educativos o modificando los existentes.

Por su parte, Jean Pierre Vielle (1989) explicita el concepto afirmando que: la

investigación se entiende como todo proceso de búsqueda sistemática de algo

nuevo; se trata de actividades intencionales y sistemáticas de búsqueda que llevan

al descubrimiento y a la invención de algo nuevo. Este "algo" producto de la

investigación, no es solamente del orden de las ideas y del conocimiento, la investigación

educativa genera resultados diversos y muy diferentes; nuevas ideas, conceptos, teorías;

nuevos diseños, modelos, prototipos; nuevos valores, comportamientos y actitudes;

nuevos productos, artefactos o máquinas, etcétera.

Pablo Latapí (1981), se refiere a la investigación educativa describiéndola como: el

conjunto de acciones sistemáticas y deliberadas que llevan a la formación, diseño

y producción de nuevos valores, teorías, modelos, sistemas, medios,

evaluaciones... se considera investigación educativa no cualquier esfuerzo de

búsqueda de conocimientos o reflexión acerca de los hechos o problemas

educativos, sino sólo las actitudes que persiguen la innovación educativa

intencionadamente y en forma sistemática.

Sin duda que estas tres formas de definir la investigación educativa no agotan las

posibilidades de conceptualización de la misma, ni pueden ser consideradas como de

aceptación universal; incluso podrían ser objeto de debate entre quienes conciben de

manera diferente la investigación educativa, sin embargo, para efectos del análisis a

realizar, se han considerado como un buen punto de partida.

El análisis de dichas definiciones permite detectar algunos elementos en las

que todas insisten:

- La presencia de acciones intencionales y sistemáticas.

- Realizadas con apoyo en un marco teórico o uno de referencia.


73

- Que conducen al descubrimiento de algo nuevo.

- Que pueden ser de diversa naturaleza: conocimientos, teorías, ideas, conceptos,

modelos, productos, artefactos, máquinas, medios, pero también valores,

comportamientos y actitudes.

Llama la atención especialmente, que en la definición de Pablo Latapí se

precise que se considera investigación educativa no cualquier esfuerzo de

búsqueda de conocimientos o reflexión acerca de los hechos o problemas

educativos, sino sólo las actitudes que persiguen la innovación educativa

intencionalmente y en forma sistemática.

Con base en esta definición y la coincidencia de las tres analizadas en referirse a la

investigación educativa insistiendo en la producción de algo nuevo, pareciera posible

afirmar prácticamente que la innovación es condición esencial que caracteriza a la

investigación educativa, lo cual conduce necesariamente al análisis que es centro de

interés en este trabajo.

f). INVESTIGACIÓN E INNOVACIÓN EDUCATIVAS ¿UNA SOLA TAREA?

En el intento de generar una respuesta para esta pregunta, puede procederse a

retomar algunas de las características con las que se describió, por una parte a la

innovación, y por otra a la investigación, el análisis de dichas características permitirá

puntualizar sus diferencias, sus coincidencias o su complementariedad.

De la innovación se estableció que se sustenta en la teoría, en la reflexión, que se

introduce desde un trabajo de planeación, pero fundamentalmente se refleja en

acciones que producen cambios en las prácticas, implica pues, transformación de las

prácticas educativas.

En la investigación educativa, según se conceptualizó en el apartado anterior, se

puede llegar, o no, hasta la transformación de la práctica, su finalidad es la generación

de conocimiento, pero esto puede ocurrir en diferentes modalidades; en la investigación

denominada básica o pura, se genera conocimiento entendido como aportación a la

teoría, independientemente de la preocupación por su aplicación inmediata; mientras

que en la investigación-acción, por ejemplo, se genera conocimiento entendido como el

análisis sistemático de los diversos factores que inciden en una práctica o en una

situación para modificarla favorablemente a través de dichas acciones.

Se estableció también que la innovación está referida a solución de problemas, en

este sentido se encuentra plena coincidencia con la investigación, en tanto que ésta,

parte precisamente del planteamiento de un problema para el que se pretende generar

una respuesta. Sin embargo, el ámbito en que una y otra aportan a la solución de

problemas puede ser de naturaleza diversa.

Estos elementos posibilitan que la práctica docente se convierta en objeto de

reflexión, análisis, conocimiento y comprensión, reconociendo que dicha práctica

está condicionada histórica, social e institucionalmente y que es compleja,

dinámica, conflictiva, impredecible y singular; en donde los principales actores


74

están involucrados en el proceso y como tal participan activamente en las

acciones propositivas e innovadoras que superen prácticas y hábitos obsoletos.

Al ser un proceso de construcción, la innovación se construye mediante un ir y

venir entre lo construido y lo por construir para ampliar, profundizar, confirmar o

consolidar lo ya construido. Cada momento o fase se construye por

“aproximaciones sucesivas con acciones, datos y reflexiones que nos hacen tener

una primera aproximación, después avanzamos, pero seguimos madurando las

ideas anteriores… es un proceso integrado, organizado, con un plan dinámico que

relaciona los momentos entre sí”

En la innovación se responde a problemas entendidos como necesidades de

transformación de las prácticas para un mejor logro de los objetivos de las mismas; en

tanto que en la investigación, la respuesta al problema implica la generación de

conocimientos, la cual puede concretarse en multiplicidad de productos: teorías,

modelos, ideas, materiales, transformación en las prácticas, etc.

Los planteamientos anteriores parecen ubicar los procesos de innovación en

educación como una de las múltiples formas en que la investigación educativa puede

realizarse, de tal manera que la investigación aparece como la forma natural y

deseable de llegar a la innovación. Así, puede afirmarse que la innovación es un

proceso que se sustenta en la investigación; pero que no todo proceso de investigación

culmina necesariamente en una innovación educativa.

Se antoja difícil concebir un proceso de innovación educativa relevante que surja de la

mera intuición y que en su aplicación no tenga un cuidadoso procedimiento de

evaluación y seguimiento. De allí la gran importancia de la vinculación de la innovación

con la investigación educativa; la investigación será pues la mediación por excelencia

para el surgimiento, aplicación y validación de las innovaciones en educación.

Queda por considerar la afirmación de Pablo Latapí en la que establece que,

sólo las actitudes que persigan la innovación educativa intencionalmente y en

forma sistemática, podrán considerarse como investigación educativa; esto

pareciera invertir la relación antes establecida, quedando la innovación como

condición para que exista la investigación educativa, y no la investigación

educativa como sustento de la innovación.

Ciertamente, se trata de una afirmación que requiere de análisis, éste permite

considerar que, desde un punto de vista, el investigador en educación está siempre

interesado por que las prácticas educativas ocurran cada vez de mejor manera; si las

analiza, si las describe, si las explica, si las representa a través de modelos, en el fondo

tiene la intención de que un mayor conocimiento acerca de ellas conduzca, tarde o

temprano, a una transformación positiva en las mismas; esto pudiera ser el sentido de lo

que Latapí denomina como actitud de innovación educativa, una especie de fin último

con el cual se realiza la investigación en educación, aunque no cada investigación

realizada culmine de manera inmediata en una innovación.

Si la investigación se convierte realmente en el sustento natural de las innovaciones

en educación, nuestro sistema educativo encontrará en la vinculación investigación-

innovación, una de las fuerzas transformadoras que tanto necesita.


75

PREGUNTAS:

En plenaria observen y analicen el video “Aprendiendo juntos Matemáticas”

que contiene una experiencia de trabajo en Matemáticas del Japón.

De manera individual, en su cuaderno tomar notas sobre los siguientes

aspectos:

ACTIVIDAD 3. Una experiencia de docencia en Matemáticas

- La preparación de una clase de matemáticas para compartir con los

compañeros docentes.

- El análisis y evaluación colectiva de los trabajos realizados en clase.

- El intercambio de clases entre maestros más allá de los límites escolares.

- La planificación del contenido a abordar en la clase.

- Los resultados de la aplicación de la planificación abordando el contenido

que se presentó (Situación didáctica y tipo de problema)

- ¿Qué sugerencias propondría hacer en el caso de su escuela o en su

práctica docente?

¿En qué consiste la Innovación y la Investigación Educativa?

¿Qué implica la Innovación y la Investigación Educativa?

¿En dónde se debe ver reflejada la Innovación Educativa?

¿Qué nos dice la lectura sobre el modelo de Interacción Social?

90 Min.

Aprendiendo Juntos...

Tema 3/video_esp.wmv

Tema 3/video_esp2.wvx


76

Organizar 2 equipos (1 y 2). Los integrantes del equipo 1, lean el texto

“Enfoque didáctico de la enseñanza de las matemáticas”, y los integrantes

del equipo 2, el texto: “Enfoque del campo de formación”. Recuperen las

notas con las ideas principales respecto a las características, conceptos o

componentes esenciales del enfoque didáctico de las matemáticas.

En plenaria esquematicen dichos elementos para su análisis y reflexión.

ACTIVIDAD 4. El Enfoque Didáctico de las Matemáticas en el Plan y

Programas de Estudio.

ENFOQUE DIDÁCTICO DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

La formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los problemas

de la vida cotidiana depende, en gran parte, de los conocimientos adquiridos y de las

habilidades y actitudes desarrolladas durante la educación básica. La experiencia que

vivan los niños y adolescentes al estudiar matemáticas en la escuela, puede traer como

consecuencias: el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad

para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los

resultados o la supeditación de éstos al criterio del maestro.

El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el

estudio de las matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones problemáticas

que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes

formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados. Al

mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán implicar justamente los conocimientos

y habilidades que se quieren desarrollar.

Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos años

dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio, entendido como la

situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las

herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así como los procesos que siguen

los alumnos para construir nuevos conocimientos y superar las dificultades que surgen

en el proceso de aprendizaje. Toda situación problemática presenta obstáculos, sin

embargo, la solución no puede ser tan sencilla que quede fija de antemano, ni tan difícil

que parezca imposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe ser

construida, en el entendido de que existen diversas estrategias posibles y hay que usar

al menos una. Para resolver la situación, el alumno debe usar sus conocimientos

previos, mismos que le permiten entrar en la situación, pero el desafío se encuentra en

reestructurar algo que ya sabe, sea para modificarlo, para ampliarlo, para rechazarlo o

para volver a aplicarlo en una nueva situación.

90 Min.


77

El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la

medida en que los alumnos lo puedan usar, hábilmente, para solucionar problemas y que

los puedan reconstruir en caso de olvido. De ahí que su construcción amerite procesos

de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en

relación con el lenguaje, como con las representaciones y procedimientos. La actividad

intelectual fundamental en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la

memorización. Sin embargo, esto no significa que los ejercicios de práctica o el uso de la

memoria para guardar ciertos datos como la transformación de fracciones a su expresión

decimal o los productos y cocientes de dos números enteros no se recomienden, al

contrario, estas fases de los procesos de estudio son necesarias para que los alumnos

puedan invertir en problemas más complejos.

A partir de esta propuesta, tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos

retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas

diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el maestro

busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga

problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo

que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces.

Posiblemente el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas con

base en actividades de estudio basadas en situaciones problemáticas cuidadosamente

seleccionadas resultará extraño para muchos maestros compenetrados con la idea de

que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin embargo, vale la

pena intentarlo, pues abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente

del salón de clases, se notará que los alumnos piensan, comentan, discuten con interés

y aprenden, mientras que el maestro revalora su trabajo como docente. Este escenario

no se halla exento de contrariedades y para llegar a él hay que estar dispuesto a superar

grandes desafíos como los siguientes:

a. Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta la manera de

resolver los problemas que se les plantean, mientras el maestro observa y

cuestiona localmente en los equipos de trabajo, tanto para conocer los

procedimientos y argumentos que se ponen en juego, como para aclarar ciertas

dudas, destrabar procesos y lograr que los alumnos puedan avanzar. Aunque

habrá desconcierto al principio, tanto de los alumnos como del maestro, vale la

pena insistir en que sean los estudiantes quienes encuentren las soluciones.

Pronto se empezará a notar un ambiente distinto en el salón de clases, esto es, los

alumnos compartirán sus ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se expresarán con

libertad y no habrá duda de que reflexionan en torno al problema que tratan de

resolver.

b. Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas. Leer sin

entender es una deficiencia muy común cuya solución no corresponde únicamente

a la comprensión lectora de la asignatura de español. Muchas veces los alumnos

resultados diferentes que no por ello son incorrectos, sino que corresponden a una

interpretación distinta del problema, de manera que es necesario averiguar cómo

interpretan los alumnos la información que reciben de manera oral o escrita.


78

c. Lograr que los alumnos aprendan a trabajar en equipo. El trabajo en equipo es

importante porque ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y de

enriquecerlas con las opiniones de los demás, porque desarrollan la actitud de

colaboración y la habilidad para argumentar; además, de esta manera se facilita la

puesta en común de los procedimientos que encuentran. Sin embargo, la actitud

para trabajar en equipo debe ser fomentada por el maestro, quien debe insistir en

que cada integrante asuma la responsabilidad de la tarea que se trata de resolver,

no de manera individual sino colectiva. Por ejemplo, si la tarea consiste en resolver

un problema, cualquier miembro del equipo debe estar en posibilidad de explicar el

procedimiento que se utilizó.

d. Saber aprovechar el tiempo de la clase. Se suele pensar que si se pone en práctica

el enfoque didáctico que consiste en plantear problemas a los alumnos para que

los resuelvan con sus propios medios, discutan y analicen sus procedimientos y

resultados, no alcanza el tiempo para concluir el programa. Por lo tanto se decide

continuar con el esquema tradicional en el que el maestro “da la clase” mientras los

alumnos escuchan aunque no comprendan. La experiencia muestra que esta

decisión conduce a tener que repetir, en cada grado, mucho de lo que

aparentemente se había aprendido. De manera que es más provechoso dedicar el

tiempo necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado y

desarrollen habilidades que les permitan resolver diversos problemas y seguir

aprendiendo.

e. Superar el temor a no entender cómo piensan los alumnos. Cuando el maestro

explica cómo se resuelven los problemas y los alumnos tratan de reproducir las

explicaciones al resolver algunos ejercicios, se puede decir que la situación está

bajo control. Difícilmente surgirá en la clase algo distinto a lo que el maestro ha

explicado, incluso, hay que decirlo, muchas veces los alumnos manifiestan cierto

temor de hacer algo diferente a lo que hizo el maestro. Sin embargo, cuando el

maestro plantea un problema y lo deja en manos de los alumnos, sin explicación

previa de cómo se resuelve, usualmente surgen procedimientos y resultados

diferentes, que son producto de cómo piensan los alumnos y de lo que saben

hacer. Ante esto, el verdadero desafío para los profesores consiste en ayudarlos a

analizar y socializar lo que ellos mismos produjeron.

Este rol del maestro es la esencia del trabajo docente como profesional de la educación

en la enseñanza de las matemáticas. Ciertamente reclama un conocimiento profundo de

la didáctica de la asignatura que “se hace al andar”, poco a poco, pero es lo que puede

convertir a la clase en un espacio social de construcción de conocimiento.

Con el enfoque didáctico que se sugiere se logra que los alumnos construyan

conocimientos y habilidades con sentido y significado, tales como saber calcular el

enfoque didáctico que se sugiere se logra que los alumnos construyan conocimientos y

habilidades con sentido y significado, tales como saber calcular el volumen de cilindros o

resolver problemas que implican el uso de ecuaciones; pero además, un ambiente de

trabajo que brinda a los alumnos, por ejemplo, la oportunidad de aprender a enfrentar

diferentes tipos de problemas, a formular argumentos, a usar diferentes técnicas en


79

función del problema que se trata de resolver, a usar el lenguaje matemático para

comunicar o interpretar ideas

Estos aprendizajes adicionales no se dan de manera espontánea, independientemente

de cómo se estudia y se aprende la matemática. Por ejemplo, no se puede esperar que

los alumnos aprendan a formular argumentos si no se delega en ellos la responsabilidad

de averiguar si los procedimientos o resultados, propios y de otros, son correctos o

incorrectos. Dada su relevancia para la formación de los alumnos y siendo coherentes

con la definición de competencia que se plantea en el Plan de estudios, en los

programas de Matemáticas se utiliza el concepto de competencia matemática para

designar cada uno de los aspectos; en tanto que al formular argumentos, por ejemplo, se

hace uso de conocimientos y habilidades, pero también entran en juego las actitudes y

los valores, como aprenderá escuchar a los demás y respetar sus ideas.

ENFOQUE DEL CAMPO DE FORMACIÓN

El tratamiento escolar de las matemáticas en los Planes y Programas de Estudio 2011,

se ubica en el campo de formación pensamiento matemático, con la consigna de

desarrollar el pensamiento basado en el uso intencionado del conocimiento,

favoreciendo la diversidad de enfoques, el apoyo de los contextos sociales, culturales y

lingüísticos, en el abordaje de situaciones de aprendizaje para encarar y plantear retos

adecuados al desarrollo y de fomentar el interés y gusto por la matemática en un sentido

amplio a lo largo de la vida de los ciudadanos. En esta dirección buscamos que las

orientaciones pedagógicas y didácticas que ahora presentamos destaquen estas formas

de pensamiento matemático en estrecha relación con el desarrollo de competencias, el

cumplimiento de estándares y la adopción del enfoque didáctico propuesto. Las y los

profesores podrán, con base en su experiencia mejorar y enriquecer las orientaciones

propuestas.

Como se viene haciendo desde hace unos años en el nivel de educación secundaria y

en aras de articular los distintos niveles, se ha introducido en la educación primaria la

organización de la asignatura de matemáticas a través de tres ejes: sentido numérico y

pensamiento algebraico; forma, espacio y medida, y manejo de la información, los cuales

se caracterizan por los temas, enfoques y expectativas a desarrollar. Dada la naturaleza

transversal del saber matemático, resulta significativo destacar que, debido a ello, habrá

nociones y procesos matemáticos que se presenten en varios ejes y en distintas

temáticas. Las diferencias de tratamiento se podrán reconocer a través del uso que se

hace de ellas mediante las representaciones y contextos de aplicación.

Otro punto a señalar, relacionado con el manejo de temas y contenidos, es que aún

dentro de un mismo eje es posible reconocer el tipo de pensamiento matemático que

demanda la actividad a tratar, ya que de esto dependerá el significado que adquieran las

herramientas matemáticas construidas. Por ejemplo, el eje de manejo de la información


80

¿En qué consiste la consigna de desarrollar el pensamiento matemático, basado en el

uso intencionado del conocimiento, favoreciendo la diversidad de enfoques?

¿Cómo aprender a problematizar la realidad?

Ante el reto de solucionar problemas en equipos analizar la lectura “EL

ENFOQUE PROBLEMATIZADOR, UNA METODOLOGÍA GLOBALIZADORA”, respondan a

las preguntas y reflexiones que atañen tanto a los problemas presentados así

como aprender a problematizar la realidad. Compartan sus conclusiones al

grupo de trabajo.

incluye temas y contenidos relacionados con la organización de la información en

gráficas, el registro de frecuencias de aparición de los eventos estudiados, situaciones

cuyo estudio se asocia al desarrollo del pensamiento variacional y estocástico.

Estas dos ideas respecto a la matemática escolar (su naturaleza como herramienta

situada) y sus consecuentes efectos en el aprendizaje (el tipo de pensamiento

matemático que demanda) serán parámetros a considerar en la planeación, en la

organización del ambiente de aprendizaje, en las consideraciones didácticas y en la

evaluación. (Cantoral y Farfán 2003).

ACTIVIDAD 5. ¿Por qué la resolución de problemas en el aprendizaje

de las matemáticas? 90 Min.


81

Probemos con algunos planteamientos que nos permitan focalizar el análisis en la

resolución de problemas. Busque la solución a los siguientes problemas, en la forma

y estrategia que usted diseñe, sin necesariamente esforzarse por alguna de orden

formal o convencional.

PROBLEMA 1. Tres cuartas partes de hombre18

“A un capataz le preguntaron cuántos hombres tenía su cuadrilla. El respondió de un

modo bastante confuso: -Los hombres no son muchos: tres cuartos de los que

somos más tres cuartos de hombre, esa es toda nuestra gente” ¿Podría usted decir

cuántos hombres había en esta cuadrilla?

PROBLEMA 2. Geometría19.

•“El área lateral de un cilindro de altura 5 cm es 188.4 cm2, calcule su radio y

volumen”.

PROBLEMA 3. La deuda de un joyero20.

“…-¿Cuál es finalmente el origen de la duda? preguntó Beremiz.

El viejo Salim contestó:

18 UPN: Problemario UPN. “Conjunto de problemas seleccionados”, en: Matemáticas I. Sistema de

Educación a Distancia, México, UPN, SEP, 1987, pp. 21-40.

19 SEP. Curso Estatal “El desarrollo del pensamiento matemático en los alumnos de 1er. Grado”.

México, 2009, sesión 8, p. 100.

20 MALBA TAHAM, Julio César de Melo e Souza. Capítulo V en “El hombre que calculaba”

EL ENFOQUE PROBLEMATIZADOR, UNA METODOLOGÍA GLOBALIZADORA

El trabajo de las Matemáticas ha adoptado por tradición y naturaleza la resolución de

problemas como fuente de construcción de pensamiento y saber matemático así como

estrategia de enseñanza y aprendizaje de dicho conocimiento.

Observar los problemas como un apartado que habrá que estudiar a profundidad en

sus características y cualidades para apropiarse del enfoque que plantea el Plan y los

Programas 2011, es una tarea prioritaria para el docente en este proceso de

actualización.


82

-Ese hombre –y señaló al joyero- vino de Siria para vender joyas en Bagdad. Me

prometió que pagaría por el hospedaje 20 dinares si vendía todas las joyas por 100

dinares, y 35 dinares si las vendía por 200.

Al cabo de varios días, tras andar de acá para allá, acabó vendiéndolas todas por

140 dinares. ¿Cuánto debe pagar de acuerdo con nuestro trato por el hospedaje?

• ¡Veinticuatro dinares y medio! ¡Es lógico!, replicó el sirio. Si vendiéndolas en 200

tenía que pagar 35, al venderlas en 140 he de pagar 24 y medio… y quiero

demostrártelo:

• Si al venderlas en 200 dinares debía pagarte 35, de haberlas vendido en 20, -diez

veces menos- lógico es que solo te hubiera pagado 3 dinares y medio.

• Mas, como bien sabes, las he vendido por 140 dinares. Veamos cuántas veces 140

contiene a 20. Creo que, si es cierto mi cálculo. Luego, si vendiendo las joyas en 20

debía pagarte tres dinares y medio, al haberlas vendido en 140, he de pagarte un

importe equivalente a siete veces tres dinares y medio, o sea, 24 dinares y medio.

• Proporción establecida por el joyero:

200 : 35 : : 140 : x 35 x 140 x = ------------ = 24 ‘5 200

- Estás equivocado, le contradijo irritado el viejo Salim; según mis cuentas son

veintiocho. Fíjate: si por 100 tenía que recibir 20, por 140 he de recibir 28.

¡Está muy claro! Y te lo demostraré.

Y el viejo Salim razonó del siguiente modo:

- Si por 100 iba a recibir 20, por 10 –que es la décima parte de 100- me

correspondería la décima parte de 20. ¿Cuál es la décima parte de 20? La

décima parte de 20 es 2. Luego, por 10 tendría que recibir 2. ¿Cuántos 10

contiene 140? el 140 contiene 14 veces 10.

Luego para 140 debo recibir 14 veces 2, que es igual a 28 como ya dije

anteriormente.

Proporción establecida por el viejo Salim

100 : 20 : : 140 : x 20 x 140 x = ------------ = 28 100

Y el viejo Salim, después de todos aquellos cálculos exclamó enérgico:

- ¡He de recibir 28! ¡Esta es la cuenta correcta!

¿Cuál es la cantidad correcta, 24.5, 28 u otra?


83

Con respecto a los problemas anteriores:

Integrados en equipos lean el siguiente texto que corresponde al apartado de

MATEMÁTICAS de la Caja de Herramientas de 3º y 4º grados que se generó en

el ciclo escolar 2011-2012 y den respuesta a las siguientes preguntas y en

plenaria socialicen sus respuestas o comentarios.

ALGUNOS REFERENTES TEÓRICOS DEL ENFOQUE PROBLEMATIZADOR

Esquematizando de una forma muy sencilla algunos de los elementos que intervienen

en los proceso de Aprendizaje y Enseñanza, sin pretender ser exhaustivos en la

enunciación y sólo con la intención de observar los elementos sustanciales para

contextualizar la idea.

Como podemos apreciar, una parte muy importante se encuentra en la forma de

apropiarse del objeto de conocimiento para el alumno y de la forma de mediar para el

docente; es decir, cómo se abordan, al interior del grupo las tareas de enseñanza y

aprendizaje. De ello habrá que puntualizar que cada asignatura, debido a la naturaleza

de su campo de conocimiento, considera algunas particularidades didácticas,

¿Qué implicaciones conceptuales y/o procedimentales requirió para comprender

el problema y luego para resolverlo?

¿De qué forma se movilizaron mis saberes y cómo le hice para adquirir los que

no tenía para resolver?

En cuanto a la parte emocional, ¿Cómo se desencadenan los estados de ánimo

para enfrentar o no el problema?

¿Soy consciente de lo que pasa en mi persona al enfrentar el problema? ¿Cuál

fue la aportación del trabajo de resolución de problemas para el desarrollo de

las competencias matemáticas?

¿Por qué el problema como estrategia de enseñanza y aprendizaje en la

Matemática?

¿Qué tipo de problemas se deben de abordar en la Escuela Primaria?

¿Cuáles son las consideraciones que el docente debe tener presente en el

trabajo de la Matemática bajo el enfoque problematizador?

¿Cómo integrar el problema a los proyectos educativos escolares?

¿De dónde surgen los problemas matemáticos que se utilizan en la escuela?


84

específicas a la asignatura. Y que en términos generales el programa plantea

estrategias globalizadoras de enseñanza-aprendizaje.

EL ENFOQUE PROBLEMATIZADOR EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

DE LA MATEMÁTICA.

¿QUÉ ES UN PROBLEMA?

Considerar un problema como una actividad donde intervienen tareas múltiples,

conduce a pensar que esta actividad requiere una carga de trabajo mucho más

elevada que en general el maestro no sospecha… (ERMEL del INRP).

El problema no es una estrategia privativa del enfoque didáctico de las Matemáticas,

constituye una de las fuentes de la construcción de conocimiento en general y bajo la

cual se desencadenan múltiples competencias como las siguientes:

Aprender a capturar la realidad y la esencia de los objetos y/o fenómenos que la

integran.

Ello implica el desarrollo de un espíritu científico (Bachelar) y del desarrollo de

competencias investigadoras.

Transitar de un pensamiento de sentido común a uno sistemático y de

autorregulación en el deseo de aprender a aprender a nivel de lo individual y lo

colectivo.

ALGUNOS RECURSOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

“… algoritmo, consiste en una prescripción efectuada paso a paso para alcanzar un

objetivo particular. Un algoritmo, por definición, garantiza la consecución de aquello

que se trata de conseguir. Un heurístico, en cambio, constituye sólo –una buena

apuesta-, un procedimiento que creemos que nos ofrece una probabilidad razonable de

solución, o al menos, de acercarnos a una solución” Raymond Nickerson.

“ En)… Los métodos heurísticos se ubican las estrategias generales que pueden ser

útiles para avanzar en la resolución de un problema… por ejemplo, en la resolución de

un problema un individuo puede explotar analogías, introducir elementos auxiliares en

el problema o trabajar problemas auxiliares, descomponer o combinar algunos

elementos del problema, dibujar figuras, variar el problema o trabajar con casos

específicos.” Luz Manuel Santos Trigo

“… cuando la explicitación de los heurísticos (estrategia directiva) surge de una toma

de conciencia derivada de una auto-reflexión acerca del proceso de cognición o de

solución del problema, entonces se está ante lo que algunos autores llaman

“metacognición”… Los componentes esenciales de la ésta, son una habilidad para

comprender y pensar acerca de las propias experiencias cognitivas y ser conscientes


85

de las circunstancias (acontecimientos sociales, tareas y personas) para invocarlas y

desplegarlas”. Raymond Nickerson

APRENDER A PROBLEMATIZAR LA REALIDAD

Trascender a trabajar más allá de los problemas clásicos escolares, de fórmulas y

procedimientos fijos implica el desencadenar un conjunto importante de competencias

tanto para el maestro como para el alumno, tomar como objeto de conocimiento las

situaciones de la vida diaria u objetos de interés personal y colectivo. A menudo es

necesario comenzar por la problemática: clarificar la esencia del objeto o fenómeno,

buscar información, organizarla, tratarla son objetivos indisociables de la resolución de

problemas.

La incesante búsqueda de conocimiento de los objetos y los fenómenos sociales y

naturales constituyen la materia prima para la construcción de conocimiento

matemático que le permita al alumno desarrollar un pensamiento crítico y propositivo

con respecto de su entorno y su propio papel.

“El pensamiento productivo se caracteriza por la capacidad del hombre para

apropiarse de lo nuevo, de lo desconocido, por lo tanto, desarrollar este tipo de

pensamiento implica lograr un aprendizaje basado en la búsqueda, en la

resolución de problemas…” “La capacidad para plantear y resolver problemas

es la característica más clara del pensamiento creador”

Asela de los Santos Tamayo.


86

MOMENTOS CLAVE DE LA PROBLEMATIZACIÓN DE LA REALIDAD

TAREAS DEL DOCENTE TAREAS DEL ALUMNO

MOTIVOS DE LA INVESTIGACIÓN: El

maestro indaga en los intereses del alumno,

sugiere con base en referentes curriculares,

retoma del contexto inmediato o informativo

temas u objetos de orden Natural o Social

que impliquen un reto de conocimiento para el

grupo, incluido el maestro.

Cultiva el espíritu de búsqueda, de

asombro y de necesidad de aprender.

Observa con atención y sentido indagador

los objetos y fenómenos de la Naturaleza y

Sociedad. Participa en la definición de los

motivos de la investigación.

PROBLEMATIZACIÓN: Se da a la tarea de

investigar y leer con respecto al tema elegido

que le permita orientar la sesión de

preguntas. Abre un espacio de intercambio

entre el grupo acerca de lo que se sabe y se

ignora e impulsa a ser exhaustivo en el

cuestionamiento.

Registra de forma sistemática el panorama de

indagación en la mayoría de sus elementos.

Aporta al grupo los saberes que tiene con

respecto del tema y sobre todo realiza el

ejercicio de la pregunta. Primer

acercamiento a oralizar y escribir de forma

concreta y sustancial inquietudes de

investigación.

BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN: Coordina

con el grupo estrategias de investigación,

sugiere fuentes de consulta (bibliográfica,

hemerográfica, televisiva, especialistas, etc.).

Busca y procura las condiciones de acceso a

las fuentes. Orienta y sugiere sobre las

formas de recuperar la información (Cuadros,

mapas, gráficas, textos, grabaciones,

antologías, tablas de datos, etc.)

Se da a la tarea de buscar y recuperar

información, ello implica el diseñar y

ejecutar estrategias que orienten las

acciones de investigación, el intercambio y

socialización de los hallazgos. La

autorreflexión sobre el desempeño y logros

investigativos.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: Con

base en todos los elementos recuperados

hasta este momento, apoyar al alumno a

formular distintos planteamientos

problemáticos que orienten a conocer,

ampliar, o profundizar en el objeto o

fenómeno. Aquí, la tarea fundamental es

organizar el pensamiento en estructuras

lingüísticas y simbólicas (lenguaje

matemático) que expresen la esencia y el

motivo de conocimiento de los objetos.

Distinguir entre Causa- Problema-

Consecuencia

Sistematizar los esfuerzos de concretar en

expresiones lingüísticas y simbólicas que

expresen objetos concretos a resolver e

investigar; plantear problemas que

involucren la diversidad de referentes

recuperados en el proceso de búsqueda y

que generen mayor conocimiento.

Ejercicio exhaustivo de manejo en las

distintas variables que involucra el

problema.


87

TAREAS DEL DOCENTE TAREAS DEL ALUMNO

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Acompañar al alumno y al grupo en: Discriminar y seleccionar datos e información necesarios para la resolución del problema, planteamiento y uso de estrategias, cuidar los procesos resolución, impulsar a utilizar múltiples recursos. Abrir espacios de intercambio, comunicación y comparación de resultados y procesos.

Diseñar y ejecutar estrategias de resolución, utilizando los distintos instrumentos y herramientas matemáticas (heurísticos, algoritmos, nociones, habilidades de estimación y cálculo mental, diseño de modelos y gráficos que objetiven las cualidades, condiciones o características del objeto). Objetivar los procesos de pensamiento a través de la expresión oral y la escritura. Poner en juego la metacognición con respecto a los procesos y resultados obtenidos. Verificar la factibilidad y certeza de los resultados, buscar formas de comprobación.

COMUNICACIÓN DE RESULTADOS: Abrir un espacio de intercambio y comunicación de resultados que se puede focalizar en dos sentidos: en cuanto a los procesos y su eficacia, y, en cuanto a los resultados y el conocimiento que permitió adquirir. El espacio en un primer término es a nivel grupal y se puede proyectar a nivel escolar en el periódico escolar o, breves culturales o informativas, gaceta escolar.

Desarrollar la actitud de Intercambio, escucha y cuestionamiento para mejorar.

Dar muestra de los procesos realizados y de sistematicidad.

Mostrar los resultados contextualizados en el marco de la problematización y de la adquisición de conocimiento con respecto al objeto o fenómeno estudiado.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE QUE AYUDAN A LOS ESTUDIANTES A

DESARROLLAR SU DISPOSICIÓN HACIA EL ESTUDIO DE LAS

MATEMÁTICAS

Los alumnos pueden transferir el conocimiento y las habilidades adquiridos de una

disciplina a otra, y también a una gran variedad de contextos fuera del ámbito escolar,

siempre y cuando la enseñanza establezca las condiciones necesarias para que se

produzca la transferencia.

“Aprendizaje centrado en un problema”. Con esta técnica los alumnos adquieren un

cuerpo de conocimientos trabajando en un problema en el que requieren de

conocimientos que no tienen de antemano y que deban buscar a medida que los

necesitan. Esta técnica permite aplicar posteriormente el conocimiento de una manera

más flexible e imaginativa. El secreto es delimitar, ya que los estudiantes adquirieron el

conocimiento en el marco de las tareas relativas a la resolución de problemas, dicho

conocimiento estará mejor organizado en sus mentes y, por lo tanto los habilita para

resolver futuros problemas.


88

Buscando proponer algún objeto de estudio que desencadene la construcción, el uso y

la aplicación del conocimiento matemático, así como la integración de las asignaturas

podríamos sugerir el tratamiento de LA OBESIDAD como problema de salud pública

en general e infantil en particular y pudiera desencadenar el tratamiento siguiente, sólo

para bosquejarlo

ASIGNATURA TRATAMIENTO

MATEMÁTICAS

Búsqueda de información sobre el problema a nivel local, estatal y nacional, elaboración de tablas de pesos y medidas en grupo, grado, escuela. Planteamiento de problemas matemáticos con respecto a los distintos datos de Índice de Masa Corporal IMC, etc.

ESPAÑOL

Investigación lectura y escritura de distintos textos que desarrollen la temática, como artículos de difusión científica, noticias, planteamientos políticos, documentales, etc. Abrir espacios de diálogo, análisis y reflexión para abordar el problema.

CIENCIAS NATURALES

Estudio de los sistemas y órganos que intervienen en la asimilación de alimentos. Los alimentos y los hábitos de comer. Prevención de enfermedades que tienen relación con la Obesidad o el sentido inverso. Como mantener la salud.

GEOGRAFÍA

Diseño de mapas de distribución de la obesidad en lo local, estatal o nacional. Análisis de la diversidad de factores geográficos que implican la producción de alimentos diversos y sus nutrientes, reflexión sobre las costumbres alimenticias por tradición y contextual. Geografía social de la enfermedad de la obesidad, etc.

FORMACIÓN CÍVICA Y

ÉTICA

Tomando como eje de trabajo la competencia conocimiento y cuidado de sí mismo. Desarrollar espacios que lleven a la reflexión de los hábitos y costumbres que se adoptan a nivel de familia y personal con respecto al cuidado de la salud y de las enfermedades como lo es la obesidad.

EDUCACIÓN FÍSICA

Como resultado de todos los trabajos de estudio en las demás asignaturas y darle sentido al cuidado de la salud y combatir la Obesidad a través del movimiento y la mejora en las formas de alimentación. En el desarrollo de las 3 competencias y promoviendo a nivel de grupo y escuela transformar los malos


89

hábitos alimenticios de productos chatarra a alimentos nutritivos y de los hábitos sedentarios a la actividad física organizada a través del JUEGO.

Habrá que hacer notar que si bien el trabajo de un objeto de estudio, en este caso la

obesidad, no sigue en estricto la secuencialidad de los programas, pues la naturaleza de

los requerimientos de estudio nos llevan a trabajar contenidos de los distintos bloques,

hay que hacer relevante que en este caso se privilegia la visión holística del objeto de

estudio y que lleva claras intenciones con respecto a trabajar un problema real, cercano

y de índole social y personal.

Así, en cada una de las secuencias que el docente plantee, se hacen manifiestos

problemas y cálculos matemáticos que tendrán como referente las competencias

matemáticas, los aprendizajes esperados y los conocimientos y habilidades. Ello implica

el conocimiento amplio del docente de los programas para adaptar la gradualidad o

profundidad de los apartados a considerar.

Recuperar las verdaderas intenciones del conocimiento matemático y su naturaleza es

llevarlas a la construcción de un conocimiento real de la Naturaleza, la sociedad y el

papel del propio individuo en su crecimiento. Que el conocimiento y aprendizaje sean

fuentes de construcción de pensamiento matemático y, a la vez, éste sea fuente de

aprendizaje y conocimiento, no sólo en un sentido utilitario sino también estético y de

profundo análisis crítico.

Derivado de la primera propuesta del estudio de la Obesidad, el nivel de estudio no sólo

quedaría en el reconocimiento del problema sino en la intervención y propuesta de

solución como se mencionó anteriormente y se propondría un proyecto que contribuya

el ejercicio físico y movimiento de los alumnos, buscar otras formas de emplear el ocio

más allá de fomentar el sedentarismo por lo que una de las alternativas puede ser EL

JUEGO EN LA ESCUELA, pues dentro de esta problemática de la Obesidad qué puede

hacer la escuela para apoyar a la solución? Bosquejamos:


90

ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL PROYECTO DE “EL JUEGO”

1. RECUPERACIÓN DE LOS

JUEGOS QUE JUEGAN LOS

ALUMNOS EN EL PRESENTE

2. INVESTIGACIÓN Y

CLASIFICACIÓN DE JUEGOS 3. ENTREVISTA A PERSONAS

MAYORES SOBRE LOS JUEGOS

DE SU INFANCIA.

Investigación en la colonia y localidad: Elaboración de encuesta

Selección de la muestra

Aplicación de la encuesta

Procesamiento de los datos obtenidos

Representación de los datos a través de tablas y gráficas.

Análisis de la información, debate colectivo.

Elaboración y presentación de informe.

Búsqueda de criterios para la clasificación:

Temporal: antiguos, recientes, modernos

Geográficos: locales, por región, por cultura-país

Por lugar de ejecución: de patio, de mesa.

Por número de integrantes: individuales, de equipo, colectivos

Uso de material: con juguete- sin juguete

Organización de la información

Representación de los datos a través de tablas y gráficas.

Elaboración y presentación de informe

Elaboración del plan de entrevista:

Propósito

Diseño de actividades:

Diseño del guión de entrevista

Selección de personas a entrevistar

Diseño del oficio de invitación y hacerlo llegar al destinatario

Realización de la entrevista

Elaboración y presentación del informe


91

ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL PROYECTO DE “EL JUEGO”

4. TALLER DE

ELABORACIÓN DE

JUGUETES

5. JORNADAS DE JUEGO Y

TORNEOS 6. MUSEO DEL JUGUETE

Selección de 4 o 5 modelos de juguete Organización del taller:

Invitación de algún tallerista: Padre de familia, experto

Organización del grupo en equipos

Programación de sesiones

Preparación de materiales

Jornadas de trabajo, elaboración del juguete

Presentación de los productos realizados a la comunidad escolar.

Organización de un torneo de juegos.

• Organización de torneo. Características y condiciones.

• Publicación de convocatoria de participación

• Inscripción y registro. Tabulación de frecuencia y representación en gráficas

• Clasificación de participantes por categoría, juego y grado o ciclo escolar. Organización de jornadas de juego, calendarización y publicación de roll.

• Desarrollo de las jornadas de juego. Establecimiento de jurado, convocatoria a asistentes para presenciar los juegos. Eliminatorias

• Registro de eventos realizados en el torneo y escritura de crónicas deportivas.

• Presentación de jugadores y equipos finalistas a la comunidad. Ceremonia de premiación. Clausura del torneo

Planeación y creación de un museo del juego y juguete.

• Planeación: Investigación de las características de un museo. Elaboración de un proyecto de museo que será presentado a la autoridad inmediata superior. Director, supervisor, etc.

• Gestión de espacios y mobiliario.

• Elaboración de convocatoria para recabar, construir o adquirir juguetes en la comunidad escolar. Adquisición, restauración o construcción de juguetes.

• Elaboración de fichas descriptivas de juguetes y juegos.

• Montaje del museo.

• Calendarización de exposiciones y visitas por grado o grupos, al público en general.

• Recuperación de testimonios de todo el proceso, elaboración de álbum testimonial e informe de trabajo

¿Y cómo se trabajan las matemáticas en cada una de las actividades?, ¿Se usan las

matemáticas en el juego?, ¿Qué habilidades, destrezas, nociones, conceptos matemáticos

desarrolla el juego en el individuo?


92

TEMA 4: Análisis curricular. Visión global y específica de los programas de Matemáticas

Una de las herramientas esenciales para que el docente mejore de forma sustancial

la planificación didáctica de la asignatura de matemáticas es, sin lugar a dudas, el

análisis curricular. El desarrollo de este tema. tiene el propósito de construir una

mirada global y a la vez especifica del conjunto de elementos curriculares que

integran los programas educativos, pudiendo dar cuenta de la gradualidad y

complejidad de aprendizajes esperados y estándares curriculares, que, a la vez

contribuya a ser un elemento de diagnóstico para ubicar los avances o

requerimientos de los alumnos que atiende.

Con el propósito de que el docente de Educación Primaria reconozca e

identifique los apartados de la estructura del programa de estudios y libro de

texto 2011 de la asignatura de matemáticas y en un recuento de sus saberes a

cerca de la conformación de éste, de manera individual enliste los apartados

y elementos del programa que usted conoce.

PROGRAMA 2011 LIBRO DE TEXTO

ACTIVIDAD 1. ¿Qué conoce el docente de los Programas de

Estudio 2011? 20 Min.


93

¿Qué importancia tiene que el docente conozca e

identifique la estructura de programa de estudios y libro

de texto de los alumnos?

En plenaria organicen equipos de trabajo, por grado o por ciclo, revisen e

identifiquen los apartados de la estructura del programa de estudio y libro de

texto de la asignatura de matemáticas y elaboren un esquema de los

elementos y apartados que los constituyen.

PROGRAMA 2011 LIBRO DE TEXTO

De manera individual, compare los registros de sus dos esquemas y reflexione

a cerca de los apartados y elementos que le faltaron por incluir en el primero y

anótelos. (Anexo 1: “Análisis Curricular 2011”, “Plan y Programas 2011”)

Los propósitos de estudio de las matemáticas para la Educación Básica y los

ACTIVIDAD 2 Reconociendo los propósitos de la asignatura de

matemáticas. 20 Min.

Tema%204/ANEXO%201.%20ANALISIS%20CURR-PLAN%20Y%20PROGR%20ACT/ANEXO%201.%20ANALISIS%20CURRIC.PROG..pptx

Tema%204/ANEXO%201.%20ANALISIS%20CURR-PLAN%20Y%20PROGR%20ACT/PLAN%20Y%20PROG%20ACT


94

PROPÓSITOS DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS PARA LA EDUCACIÓN BÁSICA

Mediante el estudio de las matemáticas en la educación básica se pretende que los

niños y adolescentes:

Desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos

para resolver problemas, así como elaborar explicaciones para ciertos hechos

numéricos o geométricos.

Utilicen diferentes técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedimientos

de resolución.

Muestren disposición hacia el estudio de la matemática, así como al trabajo

autónomo y colaborativo.

PROPÓSITOS DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA

Conozcan y usen las propiedades del sistema decimal de numeración para

interpretar o comunicar cantidades en distintas formas. Expliquen las similitudes y

diferencias entre las propiedades del sistema decimal de numeración y las de otros

sistemas, tanto posicionales como no posicionales.

Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con

números naturales, así como la suma y resta con números fraccionarios y decimales

para resolver problemas aditivos y multiplicativos.

Conozcan y usen las propiedades básicas de ángulos y diferentes tipos de rectas,

así como del círculo, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares,

prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera al realizar algunas construcciones y

calcular medidas.

Usen e interpreten diversos códigos para orientarse en el espacio y ubicar objetos o

lugares.

Expresen e interpreten medidas con distintos tipos de unidad, para calcular

perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares e irregulares.

Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos

contenidos en imágenes, textos, tablas, gráficas de barras y otros portadores para

comunicar información o responder preguntas planteadas por sí mismos u otros.

Representen información mediante tablas y gráficas de barras.

propósitos de estudio de las matemáticas en educación primaria que se

plantean a continuación, son extraídos del Programa de Estudio 2011. Léalos

de manera individual con la intención de identificar los alcances que se

pretenden en la asignatura al término de la educación básica.


95

Identifiquen conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, calculen

valores faltantes y porcentajes, y apliquen el factor constante de proporcionalidad

(con números naturales) en casos sencillos.

De manera individual en su cuaderno de notas, dé respuesta al siguiente

cuestionamiento.

En plenaria, argumente la respuesta al siguiente cuestionamiento con base a

su experiencia y conocimiento.

Estos conocimientos y habilidades que poseen los alumnos que egresan de

preescolar, ¿tienen congruencia y utilidad con los contenidos establecidos para el

primer ciclo de primaria?, ¿Por qué?

En equipo revisen los Estándares Curriculares de la asignatura de

matemáticas. Primer periodo escolar, (al concluir el tercer grado de preescolar,

entre 5 y 6 años de edad.), mismos que podrán consultar en el programa de

estudios de preescolar 2011. Con base en la revisión y con la finalidad de

enriquecer el diagnóstico individual y grupal de los alumnos para el caso del

primer ciclo; identifique en términos generales los conocimientos y habilidades

ACTIVIDAD 3 Reconociendo los Estándares de Educación Básica

¿Cuál es la importancia y relación que guardan ambos para el

cumplimiento del currículo y desarrollo del pensamiento matemático al

término del cuarto periodo?

Los alumnos que egresan de preescolar, ¿qué saben con relación a los

conocimientos y las habilidades matemáticas’

60 Min.


96

ESTÁNDARES DE MATEMÁTICAS

Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población que

sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes

que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos

niveles de alfabetización matemática.

Se organizan en:

1. Sentido numérico y pensamiento algebraico.

2. Forma, espacio y medida.

3. Manejo de la información.

4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas.

Su progresión debe entenderse como:

Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar procedimientos y resultados.

Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la comprensión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.

Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo autónomo.

En este periodo los Estándares Curriculares se organizan en dos aspectos: número, y

Forma, espacio y medida.

En relación con los conocimientos y las habilidades matemáticas, al término de este

periodo (tercero de preescolar), los estudiantes saben utilizar números naturales hasta

de dos cifras para interpretar o comunicar cantidades; resuelven problemas aditivos

simples, mediante representaciones gráficas o el cálculo mental; identifican las

características generales de figuras y cuerpos, y saben ubicarlos en el espacio.

Con base en la metodología didáctica que se propone para el desarrollo de las

actividades, se espera que los alumnos desarrollen, además de los conocimientos y

habilidades matemáticos, actitudes y valores que les permitan transitar hacia la

construcción de la competencia matemática.

1. NÚMERO

1.1. Conteo y uso de números.

1.2. Solución de problemas numéricos.

matemáticas en los aspectos de Número y Forma, Espacio y Medida;

concentrándolos en el esquema que se presenta al final del texto de manera

que analice y sistematice en términos generales la progresión cognitiva que

establece.


97

1.3. Representación de información numérica.

1.4. Patrones y relaciones numéricas.

Los Estándares Curriculares para este rubro son los siguientes. EL NIÑO:

1.1. Conteo y uso de números

1.1.1. Comprende relaciones de igualdad y desigualdad; esto es: más que, menos

que, y la misma cantidad que.

1.1.2. Comprende los principios del conteo.

1.1.3. Observa que los números se utilizan para diversos propósitos.

1.1.4. Reconoce los números que ve a su alrededor y forma numerales.

1.1.5. Usa estrategias para contar; por ejemplo, organiza una fila de personas o añade

objetos.

1.2. Solución de problemas numéricos

1.2.1. Forma conjuntos de objetos.

1.2.2. Resuelve problemas numéricos elementales en situaciones cotidianas.

1.2.3. Comprende problemas numéricos elementales y estima resultados.

1.2.4. Explica su proceder para resolver un problema numérico.

1.3. Representación de información numérica

1.3.1. Agrupa conjuntos de objetos de acuerdo con diferentes criterios y compara el

tamaño de los conjuntos.

1.3.2. Reúne información de situaciones familiares y las representa por medio de

objetos, dibujos, números o cuadros sencillos y tablas.

1.3.3. Agrupa objetos según sus atributos cualitativos y cuantitativos; por ejemplo,

forma, color, textura, utilidad, cantidad y tamaño.

1.3.4. Recopila datos del ambiente y los expresa en una tabla de frecuencias.

1.4. Patrones y relaciones numéricas

1.4.1. Enuncia una serie elemental de números en orden ascendente y descendente.

1.4.2. Identifica el lugar que ocupa un objeto dentro de una serie ordenada (primero,

tercero, etcétera).

1.4.3. Identifica algunos usos de los números en la vida cotidiana; por ejemplo, la

identificación de casas, números telefónicos o las tallas de la ropa.


98

1.4.4. Identifica cómo se utilizan los números en una variedad de textos, como

revistas, cuentos, recetas de cocina, publicidad y otros.

1.4.5. Anticipa lo que sigue en un patrón e identifica elementos faltantes.

1.4.6. Identifica patrones en una serie usando criterios de repetición e incremento.

2. FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Este rubro puede ser visto como cuatro conjuntos de ideas que se superponen:

2.1. Nombres y propiedades de las figuras.

2.2. Ubicación.

2.3. Comparación y unidades no convencionales.

2.4. Uso de instrumentos de medición.


2.1. Nombres y propiedades de las figuras

2.1.1. Identifica los nombres y las propiedades de algunos objetos bidimensionales

comunes; por ejemplo, un cuadrado.

2.1.2. Usa algunos términos elementales para describir y comparar características

medibles de algunos objetos comunes; por ejemplo, grande, largo, pequeño, frío,

caliente, alto, lleno y vacío.


2.1. Nombres y propiedades de las figuras

2.1.1. Identifica los nombres y las propiedades de algunos objetos bidimensionales

comunes; por ejemplo, un cuadrado.

2.1.2. Usa algunos términos elementales para describir y comparar características

medibles de algunos objetos comunes; por ejemplo, grande, largo, pequeño, frío,

caliente, alto, lleno y vacío.

2.2. Ubicación

2.2.1. Identifica y usa expresiones elementales que denotan desplazamientos y

posiciones.

2.2.2. Identifica algunas figuras comunes en el medio ambiente y describe sus

propiedades.

Identifica y utiliza expresiones elementales que se relacionan con propiedades de dos

y tres dimensiones.


99

2.2.3. Reconoce y describe figuras geométricas elementales y cuerpos desde distintas

perspectivas.

2.3. Comparación y unidades no convencionales

2.3.1. Identifica y usa expresiones elementales para referirse a medidas.

2.3.2. Identifica y usa expresiones elementales para denotar comparación.

2.3.3. Identifica y usa expresiones elementales para indicar secuencia temporal.

2.3.4. Categoriza objetos según su tamaño, masa y capacidad.

2.3.5. Identifica y usa expresiones elementales para denotar objetos no

convencionales y sus características.

2.4. Uso de instrumentos de medición

2.4.1. Identifica los nombres y uso particular de algunos instrumentos de medición

comunes.

2.4.2. Verifica sus estimaciones de longitud, capacidad y peso, mediante un

intermediario.

3. ACTITUDES HACIA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS

3.1. Expresa curiosidad por las propiedades matemáticas de los seres vivos, así como

de los entornos naturales y humanos en diversos contextos.

3.2. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como ser humano matemático; el

deseo y la tendencia para comprender y usar la notación matemática, y desarrolla

gusto e interés en entender y aplicar vocabularios y procedimientos matemáticos.

3.3. Aplica el razonamiento matemático para resolver problemas sociales y naturales,

y acepta el principio de que los problemas particulares tienen soluciones alternativas.

3.4. Aplica el razonamiento matemático a su estilo de vida personal y a las decisiones

de su vida, incluyendo las relacionadas con la salud.

3.5. Tiene una actitud favorable hacia la conservación del ambiente y su

sustentabilidad, usando notaciones y métodos científicos y matemáticos.

3.6. Desarrolla hábitos de pensamiento racional y utiliza evidencias de naturaleza

matemática.

3.7. Comparte e intercambia ideas sobre aplicaciones matemáticas teóricas y prácticas

en el mundo.


100

NÚMERO FORMA, ESPACIO Y

MEDIDA ACTITUD HACIA EL ESTUDIO DE

LAS MATEMÁTICAS

En plenaria compartan sus producciones y construyan respuestas a los

siguientes cuestionamientos:

Respecto a los conocimientos, habilidades, actitudes y valores para el estudio

de las matemáticas:

ESTÁNDARES CURRICULARES. SEGUNDO Y TERCER PERIODO DE EDUCACIÓN BÁSICA.

Organizados en binas, Identifiquen los estándares curriculares que a

continuación se presentan, comprenden el segundo periodo (1º a 3º ) y tercer

1. ¿Qué deberían aprender los alumnos según los estándares del primer período

de Educación Básica?

2. ¿Qué elementos toma en cuenta usted para identificar y valorar lo que saben

los alumnos en la asignatura de matemáticas al iniciar el segundo periodo de

educación básica?

3. ¿Qué conocimientos resultan necesarios como parte de sus competencias

profesionales para valorar a los alumnos de primer grado respecto a sus

saberes en matemáticas?


101

Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población que

sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes

que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos

niveles de alfabetización matemática.

Se organizan en:

1. Sentido numérico y pensamiento algebraico

2. Forma, espacio y medida

3. Manejo de la información

4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas


Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar

procedimientos y resultados.

Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la

comprensión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.

Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo

autónomo.

SEGUNDO PERIODO ESCOLAR: AL CONCLUIR EL TERCER GRADO DE PRIMARIA,

ENTRE 8 Y 9 AÑOS DE EDAD.

Los Estándares Curriculares de este periodo corresponden a dos ejes temáticos:

Sentido numérico y pensamiento algebraico, y Forma, espacio y medida.

Al término del segundo periodo (tercero de primaria), los estudiantes saben resolver

problemas aditivos con diferente estructura, utilizan los algoritmos convencionales, así

como problemas multiplicativos simples. Saben calcular e interpretar medidas de longitud

y tiempo, e identifican características particulares de figuras geométricas; asimismo, leen

información en pictogramas, gráficas de barras y otros portadores.

Además de los conocimientos y habilidades matemáticas descritos anteriormente, los

estudiantes desarrollarán, con base en la metodología didáctica que se sugiere para el

estudio, un conjunto de actitudes y valores que son esenciales en la construcción de la

competencia matemática.

periodo (4º a 6º grados ) de educación básica en los programas 2011,

complementen los esquemas que al término se presentan, compare la relación

que presentan los ejes temáticos en ambos periodos.


102

1. SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Durante este periodo el eje incluye los siguientes temas:

1.1. Números y sistemas de numeración.

1.2. Problemas aditivos.

1.3. Problemas multiplicativos.

Los Estándares Curriculares para este eje son los siguientes. El alumno:

1.1.1. Lee, escribe y compara números naturales de hasta cuatro cifras.

1.1.2. Resuelve problemas de reparto en los que el resultado es una fracción de

la forma m/2n.

1.2.1. Resuelve problemas que impliquen sumar o restar números naturales,

utilizando los algoritmos convencionales.

1.3.1. Resuelve problemas que impliquen multiplicar o dividir números naturales

utilizando procedimientos informales.



2.1. Figuras y cuerpos geométricos.

2.2. Medida.

El Estándar Curricular para este eje es el siguiente. EL ALUMNO:

2.2.1. Mide y compara longitudes utilizando unidades no convencionales y

algunas convencionales comunes (m, cm).


3.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas,

el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y

los procesos matemáticos.

3.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales,

sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos

procedimientos para resolver los problemas particulares.

3.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate

matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones.

3.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver

problemas matemáticos.

Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población

que sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de

aprendizajes que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para

conducirlos a altos niveles de alfabetización matemática.


103

Se organizan en:

1. Sentido numérico y pensamiento algebraico

2. Forma, espacio y medida

3. Manejo de la información

4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas


• Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar

procedimientos y resultados.

• Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la

comprensión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.

• Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo

autónomo.

TERCER PERIODO ESCOLAR: AL CONCLUIR EL SEXTO GRADO DE PRIMARIA,

ENTRE 11 Y 12 AÑOS DE EDAD.

En este periodo los Estándares Curriculares corresponden a tres ejes temáticos:

Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la

información.

Al cabo del tercer periodo, los estudiantes saben comunicar e interpretar cantidades

con números naturales, fraccionarios o decimales, así como resolver problemas aditivos

y multiplicativos mediante los algoritmos convencionales. Calculan perímetros y áreas y

saben describir, y construir figuras y cuerpos geométricos. Utilizan sistemas de

referencia para ubicar puntos en el plano o para interpretar mapas. Asimismo, llevan a

cabo procesos de recopilación, organización, análisis y presentación de datos.

Con base en la metodología didáctica propuesta para su estudio en esta asignatura,

se espera que los alumnos, además de adquirir conocimientos y habilidades

matemáticas, desarrollen actitudes y valores que son esenciales en la construcción de

la competencia matemática.

1. SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO


1.1. Números y sistemas de numeración.

1.2. Problemas aditivos.

1.3. Problemas multiplicativos.



104

1.1.1. Lee, escribe y compara números naturales, fraccionarios y decimales.

1.2.1. Resuelve problemas aditivos con números fraccionarios o decimales,

empleando los algoritmos convencionales.

1.3.1. Resuelve problemas que impliquen multiplicar o dividir números naturales

empleando los algoritmos convencionales.

1.3.2. Resuelve problemas que impliquen multiplicar o dividir números

fraccionarios o decimales entre números naturales, utilizando los

algoritmos convencionales.



2.1. Figuras y cuerpos geométricos.

2.2. Ubicación espacial.

2.3. Medida.

Los Estándares Curriculares para este eje son los siguientes. EL ALUMNO:

2.1.1. Explica las características de diferentes tipos de rectas, ángulos,

polígonos y cuerpos geométricos.

2.2.1. Utiliza sistemas de referencia convencionales para ubicar puntos o

describir su ubicación en planos, mapas y en el primer cuadrante del

plano cartesiano.

2.3.1. Establece relaciones entre las unidades del Sistema Internacional de

Medidas, entre las unidades del Sistema Inglés, así como entre las

unidades de ambos sistemas.

2.3.2. Usa fórmulas para calcular perímetros y áreas de triángulos y

cuadriláteros.

2.3.3. Utiliza y relaciona unidades de tiempo (milenios, siglos, décadas, años,

meses, semanas, días, horas y minutos) para establecer la duración de

diversos sucesos.

3. MANEJO DE LA INFORMACIÓN


3.1. Proporcionalidad y funciones.

3.2. Análisis y representación de datos.


3.1.1. Calcula porcentajes y utiliza esta herramienta en la resolución de otros

problemas, como la comparación de razones.


105

3.2.1. Resuelve problemas utilizando la información representada en tablas,

pictogramas o gráficas de barras e identifica las medidas de tendencia

central de un conjunto de datos.


4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas,

el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y

los procesos matemáticos.

4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales,

sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos

procedimientos para resolver los problemas particulares.

4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate

matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones.

4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver

problemas.

SEGUNDO PERIODO.

EJES

TEMÁTICOS TEMAS

ESTÁNDARES CURRICULARES

PRIMERO SEGUNDO TERCERO


106

TERCER PERIODO.

EJES TEMÁTICOS

TEMAS ESTÁNDARES CURRICULARES

CUARTO QUINTO SEXTO

Después de la revisión y análisis de los estándares curriculares, distinga la

correspondencia en los ejes temáticos en ambos periodos.

En plenaria compartan sus productos, construyan sus opiniones y conclusiones. (Anexo 2: “Articulación de la Educación Básica”)

MANOS A LA OBRA…

Integrados en cuatro equipos, revisen las competencias matemáticas que se

presentan extraídas del programa 2011; (una por equipo) profundicen en su

contenido y a la vez ejemplifique con algún ejercicio en el que se manifieste el

desarrollo de dicha competencia.

ACTIVIDAD 4. Recordando las competencias matemáticas

45 Min.

Tema%204/ANEXO%202.%20ART.%20EDUC.%20BASICA.docx


107

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

RESOLVER PROBLEMAS DE MANERA AUTÓNOMA. Implica que los alumnos sepan

identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por ejemplo,

problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas

en los que sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que sean los alumnos

quienes planteen las preguntas. Se trata de que los alumnos sean capaces de resolver un

problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más

eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más

valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de

resolución.

COMUNICAR INFORMACIÓN MATEMÁTICA. Comprende la posibilidad de que los alumnos

expresen, representen e interpreten información matemática contenida en una situación o

en un fenómeno. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de

representar la información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación; se

establezcan relaciones entre estas representaciones; se expongan con claridad las ideas

matemáticas encontradas; se deduzca la información derivada de las representaciones, y

se infieran propiedades, características o tendencias de la situación o del fenómeno

representado.

VALIDAR PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS. Consiste en que los alumnos adquieran la

confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones

encontradas, mediante argumentos a su alcance que se orienten hacia el

razonamiento deductivo y la demostración formal.

MANEJAR TÉCNICAS EFICIENTEMENTE. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y

formas de representación que hacen los alumnos al efectuar cálculos, con o sin

apoyo de calculadora. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas

establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera óptima y

quienes alcanzan una solución incompleta o incorrecta. Esta competencia no se

limita a usar mecánicamente las operaciones aritméticas; apunta principalmente al

desarrollo del significado y uso de los números y las operaciones, que se

manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al

resolver un problema; en la utilización del cálculo mental y la estimación, en el

empleo de procedimientos abreviados o atajos a partir de las operaciones que se

requieren en un problema, y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para

lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los alumnos la sometan

a prueba en muchos problemas distintos. Así adquirirán confianza en ella y la

podrán adaptar a nuevos problemas.


108

En plenaria socialice sus ejercicios y elabore sus conclusiones con base en

las siguientes reflexiones.

De manera individual, revise la lectura de la información que se presenta en

relación al “pensamiento matemático” en educación básica, subraye las ideas

que le sean más relevantes y comparta su información al resto del grupo.

PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN PREESCOLAR

PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN PRIMARIA

PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN SECUNDARIA

Los niños cuando llegan al preescolar ya tienen conocimientos matemáticos y son capaces de resolver algunos problemas sencillos. Hacen correspondencia uno a uno, establecen comparaciones, cambian e involucran nociones de espacio y medida. Los aspectos referidos usualmente al pensamiento matemático considerados en el preescolar son: número, espacio, forma y medida,

Una forma de pensamiento que les permite interpretar y comunicar las matemáticas son las técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas de diferentes tipos, utilizando más de un procedimiento reconociendo cual o cuales son más eficaces. Es necesario que los alumnos adquieran la confianza para expresar sus procedimientos y defender sus aseveraciones como pruebas empíricas y

En este nivel los alumnos conocen diferentes técnicas para la resolución de un problema matemático y se convierten en estudiantes analíticos y expresivos. El nivel de secundaria trabaja con tres ejes temáticos que son: sentido numérico y pensamiento algebraico, forma, espacio y medida y manejo de la información. Dentro del pensamiento algebraico se estudia la aritmética y el álgebra donde

ACTIVIDAD 5 El pensamiento matemático en Educación Básica

¿Por qué es importante identificar la integralidad, desarrollo y fortalecimiento de

estas cuatro competencias matemáticas?

¿Cuál es la finalidad de que el alumno argumente de acuerdo a su alcance los

procesos de solución de problemas en el nivel primaria?

¿Qué implicaciones tiene para el docente reconocer estos procesos? y ¿Cómo

consolidarlos en el alumno?

40 Min.


109

dichos aspectos implican que los niños sepan para qué sirven los números, que tipo de problemas resuelven y como se representa, como usar en el conteo agrupamiento y desagrupamiento. Es importante que los niños identifiquen para que sirven algunos instrumentos de medición convencional como el reloj, calendario el metro etc. No olvides que el pensamiento matemático es el razonamiento lógico del alumno y es una herramienta básica en cálculo mental.

con argumentos a su alcance.

Manejar técnicas eficientemente se refiere a que el niño utilice procedimientos que él conoce de acuerdo al contexto en que se desarrolla, es importante que el docente retome los conocimientos previos del alumno y partir desde ese punto para llevar a cabo el proceso de enseñanza-aprendizaje.

los alumnos desarrollan su gran capacidad intelectual a través del razonamiento. En el espacio y medida se estudia la geometría y la medición. El manejo de la información se da cuando el alumno se siente capaz de formular preguntas y recabar información, organizar, interpretar y representar la información de un problema matemático.

En plenaria identifiquen las características del pensamiento matemático y la

gradualidad que se da en los tres niveles de educación básica. Plasme sus

conclusiones en el siguiente recuadro. (Anexo 3. “El Pensamiento

Matemático”).

En forma grupal, distinga en el apartado que se presenta “Organización de

los aprendizajes” del Programa de Estudio 2011, la estructura que se

establece y destaque los ámbitos de estudio para su tratamiento.

Conclusiones:

Tema%204/ANEXO%203.%20EL%20PENSAMIENTO%20MAT..docx

Tema%204/ANEXO%203.%20EL%20PENSAMIENTO%20MAT..docx


110

La asignatura de Matemáticas se organiza, para su estudio, en tres niveles de

desglose.

El primer nivel corresponde a los ejes, el segundo a los temas y el tercero a los

contenidos. Para primaria y secundaria se consideran tres ejes; éstos son: Sentido

numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la

información.

Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del

estudio de la aritmética y el álgebra:

• La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje aritmético.

• La exploración de propiedades aritméticas que en la secundaria podrán ser

generalizadas con el álgebra.

• La puesta en juego de diferentes formas de representar y efectuar cálculos.

Forma, espacio y medida integra los tres aspectos esenciales alrededor de los

cuales gira el estudio de la geometría y la medición en la educación primaria:

• La exploración de las características y propiedades de las figuras y cuerpos

geométricos.

• La generación de condiciones para el tránsito a un trabajo con características

deductivas.

• El conocimiento de los principios básicos de la ubicación espacial y el cálculo

geométrico.

Manejo de la información incluye aspectos relacionados con el análisis de la

información que proviene de distintas fuentes y su uso para la toma de decisiones

informadas, de manera que se orienta hacia:

• La búsqueda, organización y análisis de información para responder preguntas.

• El uso eficiente de la herramienta aritmética que se vincula de manera directa con

el manejo de la información.

• La vinculación con el estudio de otras asignaturas.

En este eje se incluye la proporcionalidad porque provee de nociones y técnicas que

constituyen herramientas útiles para interpretar y comunicar información, como el

porcentaje y la razón.

¿Por qué ejes y no ámbitos en el caso de Matemáticas? Porque un eje se refiere,

entre otras cosas, a la dirección o rumbo de una acción. Al decir sentido numérico y

pensamiento algebraico, por ejemplo, se quiere destacar que lo que dirige el estudio de

aritmética y álgebra (que son ámbitos de la matemática) es el desarrollo del sentido

numérico y del pensamiento algebraico, lo cual implica que los alumnos sepan utilizar los


111

números y las operaciones en distintos contextos, así como tener la posibilidad de

modelizar situaciones y resolverlas, es decir, de expresarlas en lenguaje matemático,

efectuar los cálculos necesarios y obtener un resultado que cumpla con las condiciones

establecidas

De cada uno de los ejes se desprenden varios temas, y para cada uno de éstos hay

una secuencia de contenidos que van de menor a mayor dificultad.

Los temas son grandes ideas matemáticas cuyo estudio requiere un desglose más

fino (los contenidos), y varios grados o incluso niveles de escolaridad. En el caso de la

educación primaria se consideran ocho temas, con la salvedad de que no todos inician en

primer grado y la mayoría continúa en el nivel de secundaria. Dichos temas son:

Números y sistemas de numeración, Problemas aditivos, Problemas multiplicativos,

Figuras y cuerpos, Ubicación espacial, Medida, Proporcionalidad y funciones, y Análisis y

representación de datos.

Los contenidos son aspectos muy concretos que se desprenden de los temas, cuyo

estudio requiere entre dos y cinco sesiones de clase. El tiempo de estudio hace

referencia a la fase de reflexión, análisis, aplicación y construcción del conocimiento en

cuestión, pero hay un tiempo más largo en el que dicho conocimiento se usa, se

relaciona con otros conocimientos, y se consolida para constituirse en saber o saber

hacer.

Además de los ejes, temas y contenidos, un elemento más que forma parte de la

estructura de los programas son los aprendizajes esperados, que se enuncian en la

primera columna de cada bloque temático. Estos enunciados señalan de manera sintética

los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como

resultados del estudio de varios contenidos, incluidos o no en el bloque en cuestión.

Podrá notarse que los aprendizajes esperados no corresponden uno a uno con los

contenidos del bloque, debido a que éstos constituyen procesos de estudio que en

algunos casos trascienden el bloque e incluso el grado, mientras que los aprendizajes

esperados son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio

mencionados. Ejemplos claros de esta explicación son los aprendizajes esperados que

se refieren al uso de los algoritmos convencionales de las operaciones, que tienen como

sustrato el estudio de varios contenidos que no se reflejan como aprendizajes esperados.

Aunque no todos los contenidos se reflejan como aprendizajes esperados, es muy

importante estudiarlos todos para garantizar que los alumnos vayan encontrando sentido

a lo que aprenden y puedan emplear diferentes recursos; de lo contrario se corre el

riesgo de que lleguen a utilizar técnicas sin saber por qué o para qué sirven.

A lo largo de los cinco bloques que comprende cada programa, los contenidos se

organizaron de tal manera que los alumnos vayan accediendo a ideas y recursos

matemáticos cada vez más complejos, a la vez que puedan relacionar lo que ya saben

con lo que están por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criterios para

establecer la secuenciación; por lo tanto, no se trata de un orden rígido.

Como se observa a continuación, en algunos bloques se incluyen contenidos de los

tres ejes. Esto tiene dos finalidades importantes; la primera, que los temas se estudien


112

simultáneamente a lo largo del curso, evitando así que algunos temas sólo aparezcan al

final del programa, con alta probabilidad de que no se estudien. La segunda es que

pueda vincularse el estudio de temas que corresponden a diferentes ejes, para lograr que

los alumnos tengan una visión global de la matemática.

¿Cuál es el conocimiento y experiencia que tiene usted, respecto al tratamiento

didáctico en los ámbitos de la aritmética, el álgebra, la geometría y la medición

que se da actualmente en la escuela primaria? (Anexo. 4 “Ejes Temáticos”)

De manera individual, escriba en su cuaderno ejemplos de figuras o relaciones

geométricas que están en su entorno. Piense en algún oficio o profesión que

haga uso de la Geometría, escriba cómo usan la Geometría quienes se

dedican a ese oficio o profesión.

Responda por escrito, lo más ampliamente posible, las siguientes preguntas:

ACTIVIDAD 6. La aplicación de la geometría en la vida cotidiana

¿Qué ideas le vienen a la mente cuando escucha la palabra Geometría?

¿Cuáles son los objetos de estudio de la Geometría?

45 Min.

Tema%204/ANEXO%204.%20EJES%20TEMATICOS.docx


113

Iniciar un viaje a través del mundo de la Geometría representa una interesante

aventura alrededor de la ciencia que modela el espacio que percibimos: cuadrados,

rectángulos, círculos, paralelas y perpendiculares son modelos teóricos de objetos y

relaciones que encontramos en nuestro entorno.

El propósito es invitar al docente a reflexionar acerca de toda la riqueza que gira

alrededor de la enseñanza de la Geometría, a que tome conciencia de que su tratamiento

en el aula no consiste sólo en la transmisión de los contenidos geométricos sino en

adentrar al alumno en todo un mundo de experiencias en el conocimiento del espacio que

percibe y en formas de pensamiento propias de la Geometría.

Las personas construyen de manera intuitiva algunas relaciones y conceptos

geométricos, producto de su interacción con el espacio; la enseñanza de la Geometría

debe permitir avanzar en el desarrollo del conocimiento de ese espacio, de tal manera

que en un momento dado pueda prescindir de él y manejar mentalmente imágenes de

figuras y relaciones geométricas, es decir, hacer uso de su capacidad de abstracción.

De manera individual, en el siguiente espacio describa una situación didáctica

en la que muestre ¿cómo ha trabajado con sus alumnos una tarea de

conceptualización geométrica?

Comparta al resto del grupo su experiencia y la manera en que abordo la

actividad.

Socialice el siguiente texto que nos permite reflexionar sobre la importancia y

razones para llevar acabo la enseñanza de la Geometría. (La enseñanza de la

Geometría. Colección: Materiales para apoyar la práctica educativa. Pp. 16 a

21 y 33 a 36 Silvia García Peña, Olga Leticia López Escudero.)

¿Qué destaca de la actividad como relevante en la conceptualización del tema

tratado?

¿Cuáles fueron las evidencias o resultados que constataron la apropiación del

conocimiento en dicha actividad?


114

El estudio de la Geometría permite al alumno estar en interacción con relaciones que

ya no son el espacio físico sino un espacio conceptualizado y, por lo tanto, en

determinado momento, la validez de las conjeturas que haga sobre las figuras

geométricas ya no se comprobarán empíricamente sino que tendrán que apoyarse en

razonamientos que obedecen a las reglas de argumentación en Matemáticas, en

particular, la deducción de nuevas propiedades a partir de las que ya conocen.

Considérese, por ejemplo, que un maestro, para enseñar lo que es un triángulo

isósceles, lo haga solamente dibujando a sus alumnos la siguiente figura:

Es muy importante tener claro que la figura anterior es sólo una representación de un

concepto: el triángulo isósceles. No se está viendo el concepto de triángulo isósceles sino

un representante (y sólo uno) de un conjunto de figuras que comparten una

característica: dos lados iguales. Si la imagen conceptual de un triángulo isósceles fuera

sólo la anterior, se tendría una idea muy limitada de este concepto (posición, material,

color, tamaño). Para enriquecer la imagen conceptual de cualquier figura es necesario

trabajarla y explorarla de diferentes maneras conservando sus características esenciales

y por medio de diferentes situaciones que funcionalicen el concepto.

De manera individual y con base en sus conocimientos y saberes, represente

otras formas de triángulos isósceles.

Describa las causas de los errores que cometen los alumnos al tener imágenes

conceptuales pobres.


115

¿Cómo promover en el aula una cultura geométrica, con conocimientos

geométricos que modelicen, creen o resuelvan problemas reales y usen

diferentes lenguajes y representaciones?

¿Qué tipo de entorno influye a temprana edad en los alumnos para favorecer el

desarrollo del pensamiento matemático? (Anexo 5. “La Geometría y su

Aplicación”)

Organizados en seis equipos y por grado escolar, revisen los aprendizajes

esperados correspondientes a cada bloque de estudio en la asignatura de

matemáticas (programa 2011), regístrenlos en el siguiente recuadro.

Posteriormente reflexionen en torno a los cuestionamientos que se proponen.

ACTIVIDAD 7. La gradualidad y complejidad de los aprendizajes

esperados en la Primaria

60 Min.

Tema%204/ANEXO%205.%20LA%20GEOMETRIA%20Y%20SU%20APLIC.docx

Tema%204/ANEXO%205.%20LA%20GEOMETRIA%20Y%20SU%20APLIC.docx


116

GRADO APRENDIZAJES ESPERADOS

BLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V

PRIMERO

SEGUNDO

TERCERO

PERÍODO:


117

GRADO APRENDIZAJES ESPERADOS

BLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V

CUARTO

QUINTO

SEXTO

Elijan al interior del equipo a un compañero que concentre la información en el

papel bond que se destinará en dicha actividad y de apoyo para identificar a

PERÍODO:


118

nivel grupal la organización de los aprendizajes del segundo y tercer periodo

de Educación Básica.

Visualicen en forma horizontal y vertical el concentrado y respondan:

Utilizando la actividad anterior, indique ¿Cuáles son los aportes que nos

brinda para mejorar la práctica docente respecto a la didáctica de la

matemática? (Anexo 6. “Concentrado A-E”; 6.1. Concentrado Gradual A-E)

Con la finalidad de fortalecer la práctica docente, poner en juego los

conocimientos y habilidades matemáticas; es necesario desarrollar actitudes y

valores esenciales en los procesos de construcción de las competencias.

Organizados en equipos, y con base en la conjugación de los aspectos ya

mencionados; a manera de ejercicio, planifiquen una situación didáctica.

Apóyese y haga uso de las herramientas adquiridas en el presente curso-

taller. Contribuya en el enriquecimiento de las actividades.

ACTIVIDAD 8. Nuestros conocimientos, experiencias y

aportaciones cuentan.

¿Qué gradualidad y secuenciación encuentra en los aprendizajes esperados

entre los bloques de cada grado de la asignatura?

¿En qué términos de complejidad se aprecia la gradualidad en los aprendizajes

esperados entre cada uno de los grados?

60 Min.

Tema%204/ANEXO%206.%20CONCENTRADO%20A-E-.docx

Tema%204/ANEXO%206.1%20CONC.GRADUAL%20A-E.docx


119

COMENCEMOS…

a) Definan el grado escolar para la actividad

b) Ubiquen el bloque elegido por el equipo

c) Seleccione el aprendizaje esperado y la (s) competencia (s) que se favorece (n).

d) Revise los ejes temáticos

e) Identifique el o los temas

f) Determinen el ámbito

g) Revise y seleccione los contenidos

h) Diseñen el formato y aspectos a considerar

i) Proponga actividades

j) Propuesta de evaluación

k) Revise materiales de la biblioteca escolar y de aula que apoyen la actividad

l) Incorpore herramientas que encontrará en los anexos del curso-taller

m) Defina el uso y utilidad del libro de texto en esta actividad

SITUACIÓN DIDÁCTICA

La teoría desarrollada por Guy Brousseau representa una referencia para el proceso

de aprendizaje de la matemática en la sala de clases, que envuelve al profesor, al

alumno y al conocimiento matemático, con el fin de realizar una educación matemática

más significativa para el alumno. Este significado consiste, básicamente en

proporcionar al alumno un conocimiento que esté realmente vinculado al proceso de su

promoción existencial. Este es el principio básico que debe conducir todo el análisis

didáctico. La búsqueda de ese significado nos lleva a reflexionar sobre la forma cómo

debemos concebir y presentar al alumno el contenido matemático escolar. Es sobre

todo en la especificidad del saber matemático donde reside el centro del desafío.

LA NOCIÓN DE SITUACIÓN DIDÁCTICA.

El significado del saber matemático del alumno está fuertemente influenciado por la

forma didáctica con que el contenido le es presentado. El desarrollo del alumno

dependerá de la estructuración de las diferentes actividades de aprendizaje a través de

una situación didáctica.

SEGÚN LA DEFINICIÓN DE BROUSSEAU (1986):

Una situación didáctica es un conjunto de relaciones establecidas explícitamente y/o

implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, en un cierto medio,

comprendiendo, eventualmente, instrumentos y objetos y, un sistema educativo (el

profesor) con la finalidad de posibilitar a estos alumnos un saber constituido o en vías

de constitución... el trabajo del alumno debería, al menos en parte, reproducir las


120

características del trabajo científico propiamente dicho, como garantía de una

construcción efectiva de conocimientos pertinente.

Al término de la actividad, socialice en plenaria sus producciones y realice sus

conclusiones bajo los siguientes ejes de análisis:

1. ¿Qué competencias docentes y del alumno se movilizaron en la

actividad?

2. ¿Qué dificultades enfrentó durante el desarrollo de la actividad?

3. ¿Cómo puede el docente verificar que los objetivos de aprendizaje se

cumplieron?

4. ¿En qué momentos el docente pudo hacer una evaluación? y ¿De qué

tipo?

5. ¿Qué reflexiones podría realizar sobre las formas de evaluar el

desempeño de los alumnos? ¿Qué instrumentos utilizaría? Y ¿Qué

evidencias recopilaría?

6. ¿Qué elementos considera indispensables tener presente en la

organización de las actividades de planificación?

En la idea de profundizar en la noción de situación didáctica, consulte la

información que se presenta en la carpeta de anexos. “La modelización de las

situaciones didácticas” por Guy Brousseau.

Conclusiones:


121

Para fortalecer su planificación didáctica en el aspecto de “Evaluación”,

incorpore algunas sugerencias, instrumentos o herramientas de evaluación

que apoyen a valorar el desempeño de los alumnos y de los aprendizajes

esperados. (Anexo 7. Evaluación)

En plenaria, revise y contraste la siguiente actividad con la actividad 8:

“Planificación Didáctica”

Formar 3 equipos para desarrollar la actividad planteada, y al término de la

misma, realice aportaciones o incorporaciones didácticas que considere

pertinentes.

1. Organincense en tres equipos para llevar a cabo

una campaña en la que el alumnado conozca las

ventajas y desventajas del consumo de productos

chatarra.

Distribúyanse las tareas como sigue:

Equipo 1:

En los libros de ciencias naturales, revisen el tema de

la nutricion. Elaboren dibujos que ilustren las ventajas y

desventajas de llevar una dieta basada en productos

chatarra y otra, balanceada.

Equipo 2:

Con los siguientes datos elaboren una gráfica para

mostrar los productos preferidos por los niños.

Equipo 3:

Comparen los datos de la siguiente tabla y expliquen por

escrito las ventajas de llevar una dieta balanceada.

ACTIVIDAD 9. Situaciones Didácticas en el Aula

60 Min.

Frituras de distintas marcas:

De cada 100 niños 90 las

consumen.

Refrescos: De cada 100 niños

85 los consumen.

Sopas precocidas: De cada 100

niños 95 las consumen.

Chicles: De cada 100 niños 50

los consumen.

Caramelos enchilados: De

cada 100 niños 60 los consumen.

DESDE EL COLECTIVO DOCENTE

DESDE EL COLECTIVO DOCENTE

Tema%204/ANEXO%207.%20LA%20EVALUACION%20EN%20EL%20AULA


122

COMPARACIÓN DE PRECIOS

ARTÍCULO PRECIO ARTÍCULO PRECIO

Bolsa de papas fritas $6.00 1 blanquillo $2.50

Refresco $7.00 1 L. de leche $11.50

1 paquete de galletas $8.00 ¼ K. de tortilla $3.50

TOTAL: $21.00 TOTAL: $17.50

2. En plenaria lean y analicen el párrafo que aparece a continuación y reflexionen

sobre las siguientes cuestiones: ¿Qué relación encuentran entre la información

de los libros de ciencias naturales sobre la nutrición y los dibujos que

elaboraron? ¿Cómo organizaron la gráfica? ¿Cómo interpretaron la tabla de

precios?

3. Listen las diferencias entre presentar al alumnado la información (como algo

dado) y darles la oportunidad de que la interpreten y expresen por medio de

distintos recursos.

4. Intercambien sus puntos de vista sobre lo siguiente: ¿qué habilidades

desarrollan niños y niñas cuando interpretan las ilustraciones de una lección?

¿Por qué es importante aprender los códigos que se utilizan en mapas, planos,

escalas, fórmulas, etcétera? ¿Qué papel juega la interpretación en estos

procesos?

5. Por último, compartan la experiencia en la realización de las actividades,

valoren la importancia y utilidad de las distintas formas de presentar la

información.

La interpretacion de la informacion se refiere a los procedimientos de

decodificacion, es decir, a la traduccion de la informacion a un nuevo formato

o código, por ejemplo, cuando se representa un problema con un algoritmo

matemático, se interpretan fotografías, planos y mapas, se representan datos en

gráficas, f´rmulas químicas, etc., se puede hablar de múltiples casos porque se

trata de procedimientos imprescindibles para la solución de problemas.

Pozo, Juan Ignacio, et al., La solución de problemas, México, Santillana, 1999


123

PROPÓSITO:

Que los alumnos y las alumnas interpreten información como parte de los

procedimientos en la solución de problemas y reconozcan que pueden registrarla y

conservarla de diferentes formas.

MATERIAL: Libros de ciencias naturales.

ACTIVIDADES:

1. Organice a los niños y las niñas en cuatro equipos para llevar a cabo una campaña

de información, encaminada a que todo el alumnado de la escuela se entere de las

ventajas y desventajas del consumo de productos chatarra.

Solicite a los equipos que realicen las siguientes actividades:

Equipo 1:

Realicen una encuesta a los compañeros del plantel sobre el orden de preferencia de

cinco productos chatarra. (Indique, según su criterio, a cuántos niños encuestar). Con la

información obtenida elaboren una gráfica de frecuencia.

Equipo 2:

Elaboren dibujos alusivos a una dieta balanceada; para ello pueden revisar en los libros de

ciencias naturales, el tema de la nutrición.

Equipo 3:

Realicen un registro en tabla de los diez productos chatarra màs anunciados en la

publicidad de distintos medios de comunicaciòn.

Equipo 4:

Elaboren un cartel invitando a sus compañeros a mejorar su dieta diaria.

2. Revise con el grupo los materiales elaborados y converse con los alumnos sobre lo

siguiente: ¿qué importancia y utilidad tienen las gráficas, los dibujos y los carteles

para lograr informar sobre una dieta balanceada? ¿Conocían ya esa información?

¿Encontraron algo nuevo?

3. Oriente las conclusiones de los niños con las siguientes preguntas: ¿qué tuvieron que

hacer para poder elaborar los materiales? ¿Qué ventajas tiene utilizar diversos

recursos para difundir la información? ¿Qué aprendieron?

4. En el grupo, decidan en qué lugares colocarán los materiales para su difusión.

DESDE EL AULA


124

RECUPERANDO LA EXPERIENCIA

¿Cómo se desarrolló la sesión?

¿Qué dificultades se presentaron para la elaboración de los materiales?

¿Qué sucedió en la actividad del colectivo docente?

¿Fue difícil centrarse en la interpretación de la información? ¿Por qué?


125

TEMA 5: Lo que debes saber de enseñar y aprender Matemáticas

En este apartado se plantean referentes teóricos y prácticos analizados en los

apartados anteriores que permiten orientar el trabajo en el aula, considerando la

importancia de diversificar las actividades y la puesta en práctica de las actividades

permanentes para propiciar en los alumnos el desarrollo de habilidades y nociones

Matemáticas; en donde el componente lúdico es fundamental, y la posibilidad de

aprovechar elementos que favorezcan el desarrollo de ambientes propicios de

aprendizaje.

Se plantea de forma inicial cuestionamientos y actividades prácticas que permitan al

docente diseñar estrategias de apoyo a la enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas.

De manera individual dé respuesta a la siguiente pregunta:

¿Qué es la Matemática Básica?

ACTIVIDAD 1. Matemática Básica

20 Min.


126

Preguntas, respuestas y algo más…

¿Qué voy a enseñar? Campo matemático.

¿A quién le voy a enseñar? Campo psicológico.

¿En qué contexto lo voy a enseñar? Campo socio-cultural.

¿Para qué lo voy a enseñar? Campo filosófico.

¿Cómo lo voy a enseñar? Campo pedagógico-didáctico.

¿CÓMO LO VOY A ENSEÑAR?

La esencia del trabajo docente, la sugerencia es el uso de recursos didácticos básicos:

Actividades permanentes

El juego

La vida cotidiana del niño.

El uso de nuevas tecnologías.

La expresión y el manejo corporal.

La investigación bibliográfica.

El planteamiento y la resolución de problemas.

Otros recursos.

¿Qué se requiere para la Enseñanza de la Matemática Básica?

Para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática básica (preescolar, primaria, secundaria y educación especial), considera que para que un(a) docente tenga mayores probabilidades de éxito en sus clases, debe tener conocimientos, habilidades y competencias, en al menos 5 campos del conocimiento humano, mismos que se presentan por medio de preguntas:


127

En binas comenten y anoten lo que consideren que es una Noción Matemática

DESARROLLO DE LAS NOCIONES BÁSICAS EN LOS NIÑOS

La principal función de las nociones matemáticas básicas es desarrollar el pensamiento

lógico, interpretación, razonamiento y la comprensión del número, espacio, formas

geométricas y la medida.

Es importante que el niño construya por sí mismo los conceptos matemáticos básicos y

de acuerdo a sus posibilidades y tomando en cuenta sus conocimientos previos y que

llegue a utilizar los diversos conocimientos que ha adquirido a lo largo de su desarrollo.

El desarrollo de las nociones matemáticas básicas, es un proceso paulatino que

construye el niño a partir de las experiencias que le brinda la interacción con los

objetos físicos, su entorno y situaciones de su diario vivir. Esta interacción le permite

crear mentalmente relaciones, comparaciones estableciendo semejanzas y diferencias

de sus características para poder clasificarlos, seriarlos y compararlos.

Los aprendizajes iniciales de las nociones matemáticas son decisivos porque estimulan

al desarrollo cognitivo, además de que las habilidades mentales se enriquecen y sirven

como un fundamento para la vida, propias del nivel inicial.

NOCIÓN MATEMÁTICA

ACTIVIDAD 2. Lo que conozco de una NOCIÓN MATEMÁTICA

20 Min.


128

Por equipo analiza la información de las nociones matemáticas básicas y resuelve los

cuestionamientos que se plantean.

El número.

ACTIVIDAD 3. Explorando las Nociones

¿EN QUÉ CONSISTE LA NOCIÓN DE

NÚMERO?

Lo conocemos como un símbolo de

representación gráfica de una cantidad,

los niños llegan a conocer el número

incluso antes de ir al jardín debido a que

lo encuentran en el medio que los rodea,

además se encuentra en constante

contacto con él, en la monedas, las

casas, su edad, y cosas que forman

parte de su vida.

60 Min.


129

Ejemplo:

Imaginemos que, ante un conjunto de animales como el que se nos presenta en el

cuadro siguiente, se nos hiciera esta pregunta de cuantificación: «¿Qué hay más,

animales o perros?».

CLASIFICACIÓN

En el sentido teórico, clasificar se resume como la acción de reunir por

semejanzas y/o separar por diferencias, dicha acción es realizada de manera

concreta primero y abstracta despues, de manera mental estableciendo las

relaciones sin contar el material u objetos a clasificar formando

interiorizandamente conjuntos y subconjuntos. La clasificación se genera bajo un

criterio clasificatorio, pero a medida que se conoce el objeto mayores serán las

posibilidades de incluirlo en grupos o subgrupos clasificatorios utilizando esta

clasificación en nuestra vida diaria (Ropa, alimentos etc.). Pero además estos

actos clasificatorios se vinculan directamente con el desarrollo del proceso de

construccion del concepto de número en el niño. Al clasificar se consideran

además aspectos adjuntos a las semejanzas y las diferencias, la pertenencia e

inclusión. En donde la pertenencia se fundamenta en el principio de semejanza

y se define como la relación o relaciones establecidos entre el objeto y el conunto

del que forma parte. Y la inclusión se define como la relación existente entre una

subclase y la clase de la que forma parte permitiendole al clasificador detreminar

que conjunto es mayor.

La Clasificación y la Seriación son elementos esenciales en

esta construcción de noción de número


130

En el momento en que procesamos la información que tenemos ante nosotros

(cuadro y texto) sabemos que lo que tenemos que hacer es cuantificar, por

comparación (“qué hay más”), un conjunto de animales (de los cuáles algunos son

perros y otros son palomas), con una de sus partes (el subconjunto de los perros).

La acomodación más eficiente es realizada por la estructura de clasificación

(mediante la utilización de un esquema de inclusión (el conjunto de los perros está

incluido en el de los animales). La respuesta a la cuestión planteada al inicio es que

hay más animales que perros

Imaginemos ahora que ante este conjunto que sigue la pregunta es: «¿Qué hay más,

perros o palomas?».

En esta nueva situación lo que se pide es la comparación de las partes entre sí, por

lo que el proceso de cuantificación intensiva se torna inútil y sólo puede funcionar en

el caso de la comparación del todo con las partes.

La solución más eficiente al problema planteado es, sin lugar a dudas y dada la

disposición espacial de los elementos en nuestro ejemplo, el esquema de

correspondencia uno-a-uno: como hay algunos elementos del segundo conjunto

(palomas) que no tienen imagen en el primer conjunto (perros) podemos concluir que

hay más palomas que perros.

Imaginemos, finalmente, que nuestros perros y nuestras palomas se distribuyen de la

siguiente manera:


131

Si la pregunta vuelve a ser ahora, «¿qué hay más, perros o palomas?», al tener que

comparar las partes entre sí, debemos recurrir a un proceso de cuantificación, el

esquema de conteo es el más adecuado para darle solución al problema. Ahora

bien, el esquema de conteo supone, tanto la utilización de un esquema de

correspondencia biunívoca (objetos-numerales), como el establecimiento de un

orden estable en los numerales (primero el 1, luego el 2, luego el 3, etc.)

Realiza la siguiente consigna

En plenaria comenta.

¿Qué estrategia utilizaste para

resolver el problema?

¿Para qué ciclo escolar esta

propuesta?

¿Qué cambios realizarías para

implementarla en tercer ciclo?

LA SERIACIÓN

Se concibe como la relación existente entre elementos con alguna diferencia y

ordenarlos por esta. Al seriar se ordena un conjunto de elementos manteniendo

siempre el orden entre los elementos mayor que o menor que en donde la posición

de dichos elementos no puede intercambiarse debido a que las relaciones

comparativas se establecen bajo un sistema de referencia que determina el lugar

que debe ocupar la serie, tomando como base criterios cualitativos, espaciales o

temporales aparecen en una relación cuantitativa que permite ordenar dos o más

conjuntos en función de su cardinalidad.

Consigna No.1


132

Realiza la siguiente consigna.

NOCIÓN DE ESPACIO

Realiza la siguiente consigna:

Necesitamos: 5 equipos, 4 cajas de colores y objetos de diferente tamaño, color y

forma

En equipo:

- Desordena los siguientes objetos

- Coloca los objetos nuevamente conforme estaban colocados antes de iniciar

la actividad

- Algo de ayuda.

En plenaria comenta.

¿Qué estrategia utilizaste para

resolver el problema?

¿Para qué ciclo escolar esta

propuesta?

¿Qué cambios realizarías para

implementarla en tercer ciclo?

¿Cómo se define la Noción de Espacio?

Se define como el vacío que hay entre dos cuerpos, existe el espacio físico y el geométrico, el primero es en el que nos ubicamos, el que nos rodea, el que tocamos y percibimos, éste se convierte en geométrico cuando aplicamos en él una situación matemática; esta percepción de espacio los niños la conocen al

desplazarse, al comparar la ubicación de algunos objetos o de sus propios juguetes o

muebles que tenga en casa, el espacio en la escuela lo utilizan como una noción para la

ubicación o direccionalidad. Dichos movimientos están relacionados con él mismo, con

los objetos, personas y situaciones de su medio natural y social. Así como la ubicación

espacial: cerca, lejos, atrás, adelante, derecha, izquierda, (esquemas de acción), etc.

Consigna No.2

Consigna No.3


133

NOCIÓN DE MEDIDA

Realiza la siguiente consigna:

VERDE

AZUL

ROJO AMARILLO

¿Qué cosas van en la caja superior derecha?

______________________________________________________

¿Qué cosas van en la caja inferior izquierda?

______________________________________________________

¿Qué cosas van en la caja superior izquierda?

______________________________________________________

¿Qué cosas van en la caja superior izquierda?

______________________________________________________

¿Qué nociones puedes desarrollar con esta actividad?

______________________________________________________

Los niños construyen su conocimiento de

Medida al hacer comparaciones o ver las

diferencias entre distancias, tamaños, los niños

empieza a usar esta noción utilizando partes de

sus cuerpos para medir y después usan

objetos físicos convencionales o no

convencionales.

Consigna No.4


134

NOCIÓN DE FORMA

La última noción que los niños desarrollan en el jardín es la Forma, la

cual es definida como la figura que determina cómo son los objetos;

éstas figuras son conocidas como geométricas, en donde los niños

relacionan las cosas de su entorno con éstas figuras básicas, en el

jardín aprenden las formas básicas, analizan sus características

generales y luego empiezan a formar figuras con las mismas, así como

modificar su conceptualización, ejemplo al decir bolita por la palabra

círculo.

Realiza la siguiente consigna y comenten:

¿Tienen el mismo perímetro?

_______________________________________________________________________________

¿Tienen la misma área?

_______________________________________________________________________________

Si tu respuesta es negativa o afirmativa, argumenta el ¿por qué?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

¿Cuántos lados tiene la figura que construiste? _________________________________

¿Cuántos vértices? _________________________________

¿Cuántos puntos tiene en su contorno? __________________________________

¿Cómo se llama la figura que se formó? __________________________________

Consigna No.5


135

Considerando los temas anteriores contesta los siguientes cuestionamientos

¿Cuál es la estructura de los libros de Texto?

Estas nociones forman parte de los fundamentos del pensamiento matemático infantil, es importante apoyar en los procesos de desarrollo de las nociones numéricas, espaciales y temporales que les permita a los niños avanzar en la construcción de nociones matemáticas más complejas.

Es por eso que los docentes deben tener la habilidad y disposición al trabajar con las nociones matemáticas donde impliquen el juego y resolución de problemas para que los niños logren construir de manera gradual, el concepto y significado de dichas nociones.

Estas experiencias deben brindar a los niños la oportunidad de conocer, manipular, comparar materiales de diversos tipos, formas y dimensiones, la representación y reproducción de números, formas geométricas y el reconocimiento de sus propiedades.

ACTIVIDAD 4. Las actividades permanentes

¿Cuántos Ejes Temáticos tiene la asignatura de Matemáticas?___________________________________

¿Cuáles son? _______________________________________________ ______________________________________________________________________________________________

¿Cuántas competencias de Matemáticas se pretende desarrollar en Educación Básica? _______________________________________________

¿Cuáles son? _______________________________________________

30 Min.


136

¿Cuáles son los apartados de los programas de Estudio?

¿En el Plan, Programa o libro consideran las actividades permanentes para Matemáticas?

__________________________________________________________________________

¿Menciona 5 Actividades permanentes para matemáticas que hayas puesto en práctica en tu aula?

¿Cuál es la utilidad que tienen las actividades permanentes de matemáticas?

De manera individual, revise la lectura de la información que se presenta en

relación al “¿Qué son las Actividades Permanentes?” y las sugerencias de

actividades que se plantean, comenten las ventajas y desventajas de su

puesta en práctica en el aula en plenaria.

1.

2.

3.

4.

5.

ACTIVIDAD 5. Algunas ideas, actividades y problemas

20 Min.


137

¿QUÉ SON LAS ACTIVIDADES PERMANENTES?

Son actividades breves que buscan el desarrollo de habilidades y nociones matemáticas de

los estudiantes

Las actividades permanentes se desarrollan de manera continua a lo largo del ciclo escolar y

se realizan de forma regular; no obstante, pueden variar durante el ciclo, repetirse, o ser

objeto de reelaboración, en función de las necesidades del grupo.

Durante el desarrollo de las sesiones de clases, el docente debe diseñar actividades

permanentes que le permitan modelar, orientar, revisar y adecuar los procesos de ir

fomentando el desarrollo del pensamiento matemático, propiciando la adquisición de

elementos que le permitan la reflexión sobre las matemáticas y que pueda considerarse de

forma integral.

Las actividades permanentes se desarrollan antes, durante y después de los trabajos que se

realizan dentro del aula, ya que son elementos complementarios que el docente desarrolla

cuando así lo considere necesario, en función del conocimiento que tenga de las

necesidades y desarrollo particular del grupo.

El docente selecciona el momento más adecuado para implementarlas, de acuerdo con las

necesidades de sus alumnos y de la etapa en que se encuentren respecto de la apropiación

del sistema de escritura. El tiempo destinado a una actividad permanente es de 15 a 20

minutos

Contribuyen, dependiendo del grado, a:

Comprender el sistema de numeración.

Generar espacios de reflexión y argumentación de procedimientos.

Incrementar las habilidades y nociones de Matemáticas

Fomentar el gusto por la asignatura La propuesta de matemáticas está basado en la idea de que los niños construyan y

desarrollen nociones y habilidades como resultado de muchas experiencias de aprendizaje

significativo y conectada entre sí. Los niños aprenden mejor matemáticas a través de

actividades prácticas que se basan en sus intereses y están relacionados con sus

experiencias.

ACTIVIDADES PERMANENTES SUGERIDAS:

Calendario matemático: Planteamiento y resolución de problemas (Noticias, clima, deportes etc.)

Estimación y cálculo mental

El registro de asistencia (Habilidad para registrar información en una tabla)

La formación (habilidad para comparar longitudes y ubicación espacial)

Clasificación, comparación, igualación, seriación(figuras, numéricas)


138

Patrones

Lógica

Mandala (tapetes)

Tangram (construcción de figuras)

Cuadros mágicos

Juegos de mesa (Memorama, serpientes y escaleras etc.)

Adivina la figura (Descripción de características geométricas de figuras de forma oral)

El Diario de Clase (al final de las sesiones diarias)

.

Ventajas

Desventajas

En plenaria formen equipos de 6 integrantes, revisen y resuelvan las actividades permanentes que se plantean, socialicen sus resultados. Selecciona una y plantea una variante.

Calendario Matemático:

• Planteamiento y resolución de problemas (Noticias, clima, deportes etc.)

ACTIVIDAD 6. Para compartir y cerrar

120 Min.


139

La Recta Numérica día tras día:

• Planteamiento y resolución de problemas (Noticias, clima, deportes etc.)

El uso de la Recta numérica día tras día permite que los alumnos vayan familiarizándose con

elementos como el orden, mayor que, menor que igual, identificando que los números

pueden representarse como puntos de una recta graduada. Y que esta forma gráfica facilita

la comparación y la resolución de las operaciones. Por ejemplo, los mayores siempre están a

la derecha y, para restar, podemos desplazarnos hacia la izquierda sobre la recta.

Para conocer un poco más sobre el Uso de la Recta Numérica

Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:

- Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.

- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios

números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la

derecha del 1, etcétera.


140

- Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo:

ESTIMACIÓN Y CÁLCULO MENTAL. (¿Sumo, resto, multiplico o divido?)

¿Qué son el cálculo mental y la estimación?

Aunque ambos conceptos se meten a menudo en el

mismo saco, tienen algunas diferencias significativas.

Especialmente, el cálculo mental produce una

respuesta exacta, mientras que pueden existir muchas

estimaciones diferentes pero razonables para un

problema dado. Por ello, todo problema aritmético

puede ser estimado, pero sólo un subconjunto de

problemas cae dentro del campo de la capacidad de

muchos estudiantes para calcular mentalmente

Cálculo mental. El proceso de producir una

respuesta exacta sin ninguna ayuda

calculatoria externa.

Estimación. El proceso de producir una

respuesta suficientemente próxima como

para permitir tomar decisiones.


141

¿Qué podemos hacer?

Adquirir el compromiso de dedicar tiempo a estos dos temas cada semana.

Hacer una lista de las estrategias de cálculo mental que uno mismo use y decidir

cuáles son más apropiadas para sus estudiantes. Hacer lo mismo con técnicas de

estimación

Animar a la discusión y al intercambio de estrategias. Por ejemplo, ¿cómo estimar el

precio de un lapicero si una caja de 24 cuesta 869 pesos?

Se debe considerar planteamientos de cantidades y medidas entre otros:

MEDIDA:

¿Por qué? ¿Por qué incluir en nuestra enseñanza la estimación de medidas?

Es práctico. Todos los días usamos la estimación para responder a preguntas como estas:

• ¿Cuánto tardaré en acabar este trabajo que tengo que hacer para mañana?

• ¿Cuánta fruta necesitaré comprar para este fin de semana?

RECOMENDACIONES:

1. Emplear cortas sesiones (de cinco a diez minutos) de instrucción y práctica como una

actividad de calentamiento.

2. No deje de lado los resultados más "descabellados". Al contrario, discuta en clase

aquellos que sean menos aproximados y los procedimientos de cálculo mental y

estimación que hayan dado lugar a ellos.

3. Acepte un intervalo como respuesta a las estimaciones. Estimule a que los alumnos

mismos ofrezcan un intervalo en su respuesta; por ejemplo, "esto pesa entre 5 y 8

kilos", "la distancia está entre 300 y 350 kilómetros".

4. Haga una lista de las situaciones cotidianas que requieren una estimación. Si los

estudiantes ven que la estimación es una destreza práctica, reconocerán la

Ventajas:

- El cálculo mental puede propiciar la recuperación de los saberes previos del alumno y

la construcción de una buena aproximación al resultado de un problema.

- Una buena estimación del orden de magnitud del número o números que dan solución

a un problema, puede servir al alumno como un elemento guía que le ayude a juzgar

necesidad de hacerse mejores

estimadores.

5. Los juegos son excelentes ocasiones

para practicar el cálculo mental y la

estimación cuyo desarrollo y cuyo

desenlace dependen de las

capacidades de cálculo y estimación de

los jugadores.


142

sobre la pertinencia, plausibilidad o validez de los procedimientos o recursos utilizados

durante el proceso de solución del problema planteado.

- Porque es una actividad que agiliza la mente, que despierta los sentidos, que abre

posibilidades y caminos en otras situaciones problemáticas.

CUADROS MÁGICOS

El mundo de los cuadrados mágicos es muy interesante y apasiona a todos los que tenemos

cierta inclinación por lo números. Más allá de una curiosidad matemática, se presenta

también como un desafío para conseguir resolver esta especie de rompecabezas

matemático, obligándonos a pensar y a la vez nos ayuda a desarrollar nuestra capacidad de

razonamiento y abstracción.

El trabajo con cuadrados mágicos es muy adecuado para motivar al alumnado, ya que

proporciona actividades de tanteo, de cálculo mental y de operaciones básicas para resolver

de forma lúdica y divertida. Además, se presta al trabajo en equipo, permite el análisis de

regularidades y patrones, además de reforzar la autoestima de muchos alumnos y su

confianza en la capacidad de resolver problemas.

REGISTRO DE ASISTENCIA. (Habilidad para registrar información en una

tabla)

La lista de asistencia que manejan los

profesores es una herramienta para el reporte de

ausencias en el salón de clases, en Matemáticas

además de control, es de gran utilidad en la

elaboración de gráficas y tablas.

¿Qué es un Cuadrado Mágico?

Es una cuadrilla o cuadricula de forma cuadrada, y

como tal está dividida en celda cuadradas

menores, es decir es una grilla de n celdas

verticales por n celdas horizontales, en donde a n

se le llama Grado del Cuadrado. El cuadrado de

aquí abajo tiene grado 3 porque posee 3 celdas

verticales por 3 celdas horizontales.


143

Algunos Cuadrados Mágicos

Comprobar si un Cuadrado es o no Mágico.

Completar un Cuadrado Mágico.

Cuadrados Mágicos Multiplicativos.

Confeccionar Cuadrados Mágicos aplicando fórmulas.

JUEGOS (Memoramas, serpientes y escaleras etc.)

3 5 1 0 8


144

Regletas

Modelo

Triangular

Cubos

Mágicos


145

¿Qué Actividades sugieres para utilizar estos juegos?

SUGERENCIA DE ACTIVIDADES:

“EL TESORO ESCONDIDO”

Los alumnos podrán encontrar un cuerpo geométrico escondido, siguiendo las indicaciones

de un compañero.

¿Cómo se hace?: El docente selecciona cuerpos geométricos que sirvan para ser escondidos. Se elige a tres niños:

- Un niño sale del salón.

- Un segundo niño esconde el objeto en el salón.

- Un tercer niño indica verbalmente que cuerpo geométrico debe encontrar y el recorrido que permita encontrar el objeto escondido.

Se le pide al niño que salió que regrese y se le da la siguiente consigna: “X te indicará un

camino para encontrar el objeto escondido.”

Qué se favorece en los alumnos:

- Comunicación y reproducción de trayectorias.

- Apropiación de un lenguaje que les permita nombrar y comunicar posiciones.

- Localización de puntos de referencia.

“LAS FORMAS GEOMÉTRICAS”

Actividad: “Descubriendo Formas”

Propósito: Reconocimiento de las formas geométricas y exposición de características.

Regletas

o

Modelo Triangular

o

Cubos Mágicos

o

ADIVINA LA FIGURA

¿Qué los hace iguales? ¿Qué los hace diferentes?


146

Materiales: Formas geométricas, una bolsa, papel y lápices.

Desarrollo:

Se forman grupos de 5 alumnos.

Uno de los integrantes del grupo toma una forma de la bolsa y sin mostrarla expresa

sus características al resto de los grupos que deben adivinar cuál figura es y dibujarla

en un papel. El grupo que adivina gana un punto.

Pasan todos los grupos y gana quien obtuvo más puntos.

“ADIVINA QUIÉN SOY”

Propósito: Reconocer las características de las figuras de una manera divertida

Desarrollo: En el patio, dispersar a los alumnos por todo el espacio, un alumno describirá

una figura la cual los demás equipos formaran en el patio, Si algún niño queda fuera de una

figura el dará la característica de la siguiente figura.

“CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS”

Propósito: Utilización de las formas geométricas para crear y copiar figuras.

Materiales: formas geométricas e imágenes.

Desarrollo: Se entregan por mesa hojas de color. Se les pide a los niños que creen patrones para construir cuerpos geométricos.

“CÓRRELE QUE TE GANO”

Propósito: Reconocer características de figuras geométricas

Materiales: Formas Geométricas en color

Desarrollo:

- Organizar al grupo en equipos de 4 elementos

- Cada equipo dibujara una figura geométrica en color

- Un alumno leerá las características

- Los integrantes del equipo identificaran de qué figura se trata

- Y correrá a pegarla en el lugar que le corresponda

- El que pegue primero es el que obtiene un punto

- El que reúna la mayor cantidad de puntos es el equipo que gana

EL DIARIO DE CLASE (AL FINAL DE LAS SESIONES DIARIAS)

Propósito: Reflexionar sobre lo aprendido en la sesión de matemáticas se puede realizar a

través de un cuaderno individual o grupal, en donde los alumnos pueden ir anotando con

respuestas individuales lo que se trabajó en cada sesión; puede utilizarse también para las

otras asignaturas. El tiempo estimado es de: 10 minutos


147

Una guía de cuestionamientos que pueden utilizarse son:

¿Qué he aprendido en esta sesión?

¿Cómo lo he aprendido?

¿Para qué lo puedo utilizar lo que aprendí?

¿Qué ideas o aspectos aun no entiendo bien?

¿Qué me gusto de la sesión?

De manera individual, anota de manera breve en el recuadro una variante de

la actividad permanente que seleccionaste

En plenaria comenten la utilidad que pueden darle a las siguientes actividades.

1. El uso del tiempo en la escuela

2. Juegos tradicionales(Que les ayuden a contar o pensar matematicamente)

3. Recursos en el internet (Juegos y actividades de fortalecimiento)

4. A contar con números:

Contar cada dia de distinta forma y empezando desde un número distinto

Leer, escribir, comparar y representar números (nombres equivalentes para los

números, objetos manipulables, juegos, palabras o dibujos)

5. Operaciones Básicas:

Explorar la suma y la resta mediante la reflexion de su utilidad y a través de

actividades concretas

6. Representación de información

Recopilar, organizar, exhibir y analizar datos de la clase usando temas como;

tiempo, temperatura, encuestas, retoamando la descripcion de probabilidad de

eventos (seguro, imposible o poisble) o patrones y arreglos rectangulares.

ACTIVIDAD 7. Otras actividades para el diario

15 Min.


148

De manera individual lean las siguientes sugerencias y en plenaria comenten

su importancia para la enseñanza de las Matemáticas.

RINCONES DE TRABAJO

Permiten ser Espacios en el aula donde se cuenta con materiales y

recursos para realizar actividades creativas diversas. Entre los que se pueden

promover, se encuentran los siguientes

RINCÓN DE LA (MATEMÁTICA):

Concentrar regletas, geoplanos, material diverso para contar, para

agrupar, para seriar. Hacer una tiendita en la cual existan diversos artículos

con sus respectivos precios, los cuales se utilicen para vender y comprar y así de

esta manera realizar operaciones mentales, es decir, sumar y restar mediante la

compra de productos. También se pueden tener instrumentos de medición, figuras

geométricas, ábacos y otros materiales para el aprendizaje lúdico y reflexivo de las

matemáticas.

Hay muchas cosas sencillas que los maestros pueden hacer para promover el

desarrollo de las matemáticas en cada niño. El uso de estrategias, actividades y

juegos sencillos nos ofrece una gran oportunidad para que los maestros ayuden

a los niños a construir los conceptos matemáticos básicos. Un entorno

estimulante y un maestro dispuesto a ver la habilidad del niño para construir

conceptos matemáticos son de gran valor en la construcción de las matemáticas

en el niño.

ACTIVIDAD 8. Sugerencias de Organización del Aula de Clase

15 Min.

LA DISTRIBUCIÓN DEL AULA DE CLASE Y LA IMPORTANCIA DE SU AMBIENTACIÓN. La ambientación permite agradar el ambiente y motivar la enseñanza-aprendizaje de

los alumnos. el aula de clase debe ser uno de los espacios más a menos, grato y

cómodo para éstos; gran parte de la motivación y el éxito de un docente no se

representa mediante un discurso en clase, mediante un dictado o una lectura, puede

complementar todos esos elementos y muchos más; y plasmarlos en una buena

ambientación dentro de su aula.

El uso adecuado del espacio es uno de los elementos del mobiliario del aula, algunas

sugerencias de organización.


149

TEMA 6: Herramientas para el aprendizaje de las Matemáticas

El presente apartado tiene como propósito central: que los docentes identifiquen,

manipulen e incorporen a su práctica docente las herramientas que se tienen a

disposición para facilitar los aprendizajes, desarrollar habilidades y competencias de

sus alumnos.

Este apartado está conformado por las siguientes secciones:

¿Qué contiene el saber matemático?

Un poco de historia en la formación docente

Las herramientas digitales.

Consultando bibliografía.

Juegos de patio y mesa.

Los cuales identificaremos mediante actividades prácticas para diversificar nuestra

práctica docente.

El trabajo que se ha observado a raíz de la instrumentación de RIEB (Reforma

Integral de la Educación Básica) en particular en la asignatura de matemáticas es

aceptable, sin embargo requiere que se fortalezcan saberes en el ámbito de lo

conceptual, metodológico y didáctico en los docentes.

De manera individual, en su cuaderno de notas den respuesta a los siguientes

cuestionamientos

ACTIVIDAD 1. ¿Qué contiene el saber matemático

45 Min.

¿Identificas la totalidad de los aprendizajes esperados en la asignatura de matemáticas?

¿Qué haces cuando alguno de los aprendizajes esperados no te es familiar o no lo

conoces?

¿Los colegas te han preguntado en algún momento cuando no identifica específicamente

los aprendizajes esperados en la asignatura de matemáticas?

¿Cómo afrontan el problema en el no dominio de los aprendizajes esperados en tu

escuela?


150

En plenaria observen el video, “Amor matemático”, y disfrútalo. (Anexo 1,

sesión 6)

Analicen la letra y subrayen los términos matemáticos que en ella se utilizan y

escoge el que a tu criterio parezca poco común.

De manera individual lean el siguiente texto y en binas comenten su

contenido.

TÉRMINO:

__________________________________

Anota el concepto personal que tengas del

término que elegiste.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

_______________________________

Para concluir confirma o corrige tu concepto

indagando el significado en el glosario que

te proponemos en el anexo 2 de la sesión 6.

:___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

AMOR MATEMÁTICO

De la suma que tengo ante mi, Hago resta si me dices NO, Multiplico si me dices SI, Y divido si dudas mi amor.

Si en quebrados me brindas tus besos, sólo cero al cociente me da, y geométricamente te digo: Nuestras vidas serán paralelas.

El teorema se convierte en pena, y se eleva al cuadrado el dolor, más no olvides que la hipotenusa es la suma en catetos de amor.

Como ves, tengo ya el resultado que es un ciento por ciento el que te amo y sumando hasta los decimales, que me checan total para amarnos.

ACTIVIDAD 2. Un poco de historia en la formación docente

50 Min.

“Es así como la SEP establece un programa para elevar y mejorar la calidad de la

educación en México, ya no sólo haciendo reformas en los planes y programas de

estudio de las escuelas normales, sino también, con los maestros en servicio. Se

emprende en el año de 1995 la creación del Programa Nacional de Actualización

Permanente, (PRONAP), reconociendo que la actualización docente es un elemento

indispensable para mejorar la calidad de la educación, teniendo como componentes

centrales: programas de estudio, paquetes didácticos, centros de maestros, mecanismos

de evaluación y acreditación. Y se fijaron los propósitos que a continuación se

mencionan:

Tema%206/anexo%202,%20glosarios

Tema 6/anexo 1, amor matematico/SAM_1065.AVI


151

1. "El dominio de los conocimientos de las distintas disciplinas que son indispensables

para enseñar adecuadamente los contenidos de los planes y programas de estudio.

2. La comprensión de los enfoques y los contenidos de los Planes y programas de

estudio.

3. El dominio de los métodos de enseñanza y de los recursos educativos adecuados

al nivel escolar y los contenidos programáticos.

4. El trabajo colegiado para lograr la innovación y mejoramiento de la práctica

docente".[23]

Con estos puntos se puede notar que el PRONAP se encarga de proporcionar un servicio

de actualización para los profesores, atendiendo su formación continua mediante cursos

y talleres. Tiene como propósito central "atender con calidad, pertinencia y flexibilidad las

necesidades de actualización profesional de los docentes de educación preescolar,

primaria y secundaria y contribuir al mejoramiento de los resultados educativos de los

alumnos".[24] Es decir que en este programa se combinan la educación a distancia, el

aprendizaje en cursos, sesiones colectivas de estudio e intercambio de puntos de vista, y

además acciones individuales de los docentes en donde ponen en práctica las

estrategias aprendidas; funciona con dos modalidades:

1. Los Talleres Generales de Actualización (TGA) dirigidos a los maestros de

educación básica, se llevan a cabo durante todo el ciclo escolar y se sustenta en

guías que recibe cada profesor.

2. Los cursos nacionales de actualización, son una opción que tienen un carácter

voluntario, para que los maestros renueven sus conocimientos disciplinarios,

conozcan los enfoques en que están basados los contenidos, y transformen esos

enfoques en contenidos específicos en clase.

La creación del PRONAP como programa de actualización encuentra su sustento en la

elaboración del Plan Nacional de Desarrollo 1995-2000, siendo Presidente Ernesto

Zedillo Ponce de León, donde se establece que los maestros desarrollen sus

capacidades profesionales, se actualicen en los enfoques y contenidos de los nuevos

programas de estudios, como se establece en el PND, en el punto 3.3, titulado: “La

formación, actualización y superación de maestros y directivos”, en el que se señala:

"La actividad más amplia ha de concentrarse en la operación de un programa de

actualización destinado al personal en servicio de los tres niveles de educación

básica, la función inicial del programa será la de facilitar el conocimiento de los

contenidos y enfoques de los nuevos planes de estudio, así como de promover la

utilización de los nuevos métodos, formas y recursos didácticos congruentes con los

propósitos formativos del currículum." [27]

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos96/actualizacion-docente-mexico-marco-

historico/actualizacion-docente-mexico-marco-historico.shtml#ixzz2qafy0jUq

http://www.monografias.com/trabajos96/actualizacion-docente-mexico-marco-historico/actualizacion-docente-mexico-marco-historico.shtml#ixzz2qafy0jUq

http://www.monografias.com/trabajos96/actualizacion-docente-mexico-marco-historico/actualizacion-docente-mexico-marco-historico.shtml#ixzz2qafy0jUq


152

De los CURSOS NACIONALES iniciales que se ofertaron fueron dos específicos

para la asignatura:

EXPLOREMOS UN POCO… De los siguientes problemas elige uno y resuélvelo,

comenta: ¿Cómo lo hiciste?, ¿Qué estrategia utilizaste? y descríbelo

brevemente en el espacio de hipótesis.

HIPÓTESIS:

Enseñanza de las MATEMÁTICAS en la escuela primaria, parte 2 Pag. 20, SEP

Enseñanza de las MATEMÁTICAS en la escuela primaria, parte 2, Pag. 24, SEP

Tema 6/anexo 3, cursos nacionales/Matematicas1-Opt.pdf

Tema 6/anexo 3, cursos nacionales/Matematicas2-Opt.pdf

Tema 6/anexo 3, cursos nacionales/MatemáticasLecturas-Opt.pdf


153

En el anexo 3 de la sesión 6, encontrarás el folleto “PROBLEMAS MATEMÁTICOS” en el

cual se recuperan los 74 planteamientos que contienen ambos cursos, recuerda que cada

reto implica el desarrollo de las habilidades matemáticas, lo cual nunca perderán vigencia.

En el Curso Nacional se proponen temáticas que enriquecerán tu práctica docente y

mejoraran el tratamiento metodológico de los aprendizajes esperados que hoy en el Plan y

Programas se plantean.

En el apartado de anexos de la sección 6, encontrarás digitalizados los libros y la antología

de lecturas de estos dos Cursos Nacionales.

LOS FICHEROS DIDÁCTICOS

Otro de los materiales que es indispensable revisar para fortalecer la práctica docente

conservando la orientación didáctica del enfoque vigente, son los FICHEROS DIDÁCTICOS de la

asignatura de matemáticas, pues en ellos encontrarás actividades como la siguiente:

de cambio, La predicción y el azar.

Enseñanza de las MATEMÁTICAS en la escuela primaria, parte 2 Pag. 46 SEP

HIPÓTESIS:

Los ficheros están diseñados por grado y los ejes que se desarrollan son: Los números, sus relaciones y sus operaciones, medición, geometría, tratamiento de la información, procesos de cambio, la predicción y el azar.

Tema%206/anexo%203,%20cursos%20nacionales/PROBLEMAS%20MATEMÁTICOS.pptx


154

Estas fichas permitirán que con tu creatividad las incorpores de manera racional y fortalezcan

tu trabajo diario, sobre todo te permitirá diversificar las estrategias para el desarrollo de

habilidades y competencias matemáticas. (Anexo 4, Sesión 6).

Actualmente se cuenta con un sinfín de recursos, sobre todo de carácter electrónico

con los cuales los alumnos tienen contacto a diario, rebasando en mucho a los

docentes por lo cual se requiere que iniciemos con procesos de identificación y el

uso racional de las tecnologías, principalmente tener claridad que sólo son

herramientas que favorecen ciertas habilidades y que el trabajo “informado” de los

docentes en el aula y la interacción con los alumnos, enriquecerán los resultados.

De manera individual en tu cuaderno de notas, da respuesta a los siguientes

cuestionamientos:

Organizados en 7 equipos, realicen la siguiente lectura y comenten su

contenido.

ACTIVIDAD 3. Las Herramientas Digitales

70 Min.

¿Actualmente en qué aspectos de la vida diaria se utilizan las computadoras?

¿Cuál ha sido el impacto del uso de las tecnologías de la comunicación en

nuestra vida diaria?

¿Las calculadoras facilitan o dificultan el razonamiento matemático?

¿De qué manera se han incorporado las nuevas tecnologías en el aula?

LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y DE LA COMUNICACIÓN

Las nuevas Tecnologías de la Información y de la Comunicación han evolucionado

espectacularmente en los últimos años, debido especialmente a su capacidad de interconexión a través de la Red. Esta nueva fase de desarrollo va a tener gran impacto en la organización de la enseñanza y el proceso de aprendizaje. La acomodación del entorno educativo a este nuevo potencial y la adecuada utilización didáctica del mismo supone un reto sin precedentes. Se han de conocer los límites y los peligros que las nuevas tecnologías plantean a la educación y reflexionar sobre el nuevo modelo de

Tema%206/anexo%204,%20ficheros%20didácticos


155

sociedad que surge de esta tecnología y sus consecuencias.

1. LA REVOLUCIÓN DIGITAL

Nadie duda ya de que la llegada de las tecnologías de la información y comunicación

ha supuesto una revolución tan importante como la que provocó la invención de la

escritura o de la imprenta. Pero mientras que los grandes descubrimientos que han

marcado la evolución de las civilizaciones se espaciaron en el tiempo, la revolución actual

se ha producido en muy poco espacio de tiempo, ha invadido todos los sectores de la

vida social y está en vías de modificar las bases de la economía.

A la base de la revolución digital se encuentran tres grandes áreas: la electrónica, la

digitalización y las telecomunicaciones. La electrónica propició en una fase preliminar el

desarrollo de aplicaciones analógicas: teléfono, radio, televisión, registros magnéticos de

audio y video, fax, etc. La digitalización ha proporcionado un sistema más abstracto y

artificial de representación de la información, ya sea texto, imagen, audio o vídeo, que

mejora los sistemas de almacenamiento, manipulación y transmisión a la vez que facilita

el desarrollo de soportes lógicos para interactuar con las máquinas. Finalmente las

telecomunicaciones han dado a lo anterior la capacidad de interconexión.

El paradigma de las nuevas tecnologías son las redes informáticas. Los ordenadores,

aislados, nos ofrecen una gran cantidad de posibilidades, pero conectados incrementan

su funcionalidad en varios órdenes de magnitud. Formando redes, los ordenadores no

sólo sirven para procesar información almacenada en soportes físicos (disco duro,

disquetes, CD ROM, etc.) en cualquier formato digital, sino también como herramienta

para acceder a información, a recursos y servicios prestados por ordenadores remotos,

como sistema de publicación y difusión de la información y como medio de comunicación

entre seres humanos. Todo ello ha hecho de Internet un fenómeno con el que es preciso

contar a partir de ahora en todas las esferas de la actividad humana, incluida la

educación.

Las consecuencias de estos avances están provocando continuas transformaciones

en nuestras estructuras económicas, sociales y culturales. Su gran impacto en todos los

ámbitos de nuestra vida hace difícil que podamos actuar eficientemente prescindiendo de

ellas: el mundo laboral, la sanidad, la gestión económica o burocrática, el diseño industrial

o artístico, la comunicación interpersonal, la información, la calidad de vida o la

educación.

2. LA SOCIEDAD DEL CONOCIMIENTO

Las innovaciones tecnológicas han proporcionado a la humanidad canales nuevos de

comunicación e inmensas fuentes de información que difunden modelos de

comportamiento social, actitudes, valores, formas de organización, etc. Hemos pasado de una situación donde la información era un bien escaso a otra en donde la información es

tremendamente abundante, incluso excesiva. Vivimos inmersos en la llamada “sociedad

de la información”.

El nuevo orden informático se ha convertido en motor del cambio social. La economía

y la cultura se han globalizado. En la sociedad que emerge de la era digital el

conocimiento y la información adquieren un valor creciente. Los trabajadores del


156

conocimiento empiezan a dominar el mercado laboral. Los incrementos de productividad

de las organizaciones se basan en la mejora del saber, en la innovación permanente del

conocimiento aplicado utilizando tecnologías, cada vez más potentes. Así, el capital

intelectual se convierte en el nuevo activo para la riqueza de las organizaciones y la

gestión de ese conocimiento en una de sus actividades fundamentales.

Sin embargo no todos participan de los avances económicos y culturales. El acceso a

las tecnologías y a la información está creando una brecha digital entre quienes pueden

acceder y quienes quedan excluidos. El “Libro blanco sobre la educación y formación”

(Comisión Europea, 1995) afirma que la sociedad del futuro será una sociedad del

conocimiento y que, en dicha sociedad, la educación y formación serán, más que nunca,

los principales vectores de identificación, pertenencia y promoción social. A través de la

educación y la formación, adquiridas en el sistema educativo institucional, en la empresa,

o de una manera más informal, los individuos serán dueños de su destino y garantizará

su desarrollo. La cultura de los pueblos determinará su nivel económico.

Partiendo de esta realidad, la Comisión Europea ha elaborado una Estrategia de

Empleo que parte de una concepción de la economía basada en el conocimiento. Las

líneas fundamentales de actuación pretenden digitalizar Europa y desarrollar tecnologías

de futuro. Estos planes de diseño de la futura economía del conocimiento e se han

recogido en los programas e-Europa 2005 y e-Learning.

Las principales actuaciones de eLearning son: equipamiento de banda ancha en las

escuelas, creación de la red de investigación GEANT (mejora del proceso de aprendizaje,

difusión de materiales curriculares, acceso a recursos y servicios, identificación de

nuevos materiales), implantación de las escuelas del futuro mediante la red de escuelas

europeas y la difusión de recursos multimedia entre profesores y otros proyectos

específicos para las universidades como el Metacampus o el proyecto Ariadne. El

proyecto e-Europa tiene como principales elementos: Internet para investigadores y

estudiantes, empleo en la sociedad del conocimiento, alfabetización digital (capacitar,

mediante estos recursos, para el trabajo cooperativo, multidisciplinar, comunicación

intercultural, resolución de problemas), correo electrónico y contenidos europeos de redes

globales.

3. LA SOCIEDAD DEL CONOCIMIENTO Y LA EDUCACIÓN

El impacto de las nuevas tecnologías y las exigencias de la nueva sociedad se están

dejando sentir de manera creciente en el mundo de la educación. La educación está

pasando de ser un servicio secundario a constituirse en la fuerza directiva del desarrollo

económico y social.

La sociedad del conocimiento necesita nuevos trabajadores y ciudadanos. Estos han

de ser autónomos, emprendedores, trabajadores creativos, ciudadanos solidarios y

socialmente activos. Se impone un cambio radical en el mundo de la educación y

formación dado que se exige un mayor papel de los estudiantes individuales. El mercado

laboral necesita cada vez más trabajadores flexibles y autónomos. Todo lo cual está

promoviendo el concepto de “aprendizaje a lo largo de la vida” y la necesidad de

integración entre los sistemas educativos y formativos.


157

El aprendizaje a lo largo de la vida no solo trata de ofrecer más oportunidades de

formación sino también de generar una conciencia y motivación para aprender. Requiere

de un estudiante que tome parte activa en el aprendizaje, que sepa aprender en

multiplicidad de entornos, que sepa personalizar el aprendizaje y que construya con base

a las necesidades específicas. Educar ya no es empaquetar los contenidos del

aprendizaje y ponerlos al alcance de los alumnos sino capacitarles para la experiencia del

aprendizaje.

Por otro lado hay una tendencia creciente hacia la desinstitucionalización y

comercialización de la educación. La identificación del “e-learning” o aprendizaje a través

de Internet como un área propicia para el desarrollo del mercado está atrayendo nuevos

inversores. Cada vez más se considera el mercado educación-entretenimiento como un

sector prometedor. Nuevas iniciativas educativas dirigidas van apareciendo de la mano

de museos, biblioteca y otras instituciones no propiamente educativas. Finalmente el

mercado se llena de nuevos centros de enseñanza y portales educativos con iniciativas

de formación continuada. La educación está adquiriendo un puesto de gran importancia

en el desarrollo y consolidación de la nueva sociedad.

4. TIC Y EDUCACIÓN

El sistema educativo no puede quedar al margen de los nuevos cambios. Debe

atender a la formación de los nuevos ciudadanos y la incorporación de las nuevas

tecnologías ha de hacerse con la perspectiva de favorecer los aprendizajes y facilitar los

medios que sustenten el desarrollo de los conocimientos y de las competencias

necesarias para la inserción social y profesional de cualidad. Debe también evitar que la

brecha digital genere capas de marginación como resultado de la alfabetización digital.

El saber está omnipresente en la sociedad actual, sin embargo la educación no puede

sucumbir a este abuso. No debe confundirse saber e información. Las nuevas tecnologías

dan acceso a una gran cantidad de información, que no ha de confundirse con el saber.

Para que la información devenga en conocimientos el individuo debe apropiársela y

reconstruir sus conocimientos. Por esta razón lo primero que debe hacerse explícito es

que la incorporación de las nuevas tecnologías en la educación no ha de eludir la noción

de esfuerzo. Los nuevos recursos informáticos pueden contribuir al desarrollo de las

capacidades cognitivas de los ciudadanos, pero nunca en ausencia del esfuerzo

personal.

Las tecnologías constituyen un medio como jamás haya existido que ofrece un acceso

instantáneo a la información. A cada uno le toca enriquecer y construir su saber a partir

de esa información y a la educación proporcionar las bases para que esto se produzca.

Para que estas tecnologías estén verdaderamente al servicio de la enseñanza y del

aprendizaje y contribuyan a la formación de los ciudadanos y los trabajadores que

necesita esta sociedad, tal penetración tecnológica debe estar acompañada de una

evolución pedagógica. Las nuevas tecnologías exigen un cambio de rol en el profesor y

en el alumno. El profesor no puede seguir ejerciendo sus funciones tradicionales

discursivas a la hora de instruir al alumno.

Las tecnologías de la información y de la comunicación han sido incorporadas al

proceso educativo desde hace unos años. Aún no existen estudios concluyentes que


158

permitan afirmar que la utilización de los medios informáticos en la educación ha servido

para mejorar los resultados académicos, sin embargo a menudo se refieren a las

transformaciones obtenidas en el modo de hacer. Se ha observado que las tecnologías

de la información suscitan la colaboración en los alumnos, les ayuda a centrarse en los

aprendizajes, mejoran la motivación y el interés, favorecen el espíritu de búsqueda,

promueven la integración y estimulan el desarrollo de ciertas habilidades intelectuales

tales como el razonamiento, la resolución de problemas, la creatividad y la capacidad de

aprender a aprender. Para los profesores las tecnologías informáticas han servido hasta

ahora para facilitar la búsqueda de material didáctico, contribuir a la colaboración con

otros enseñantes e incitar a la planificación de las actividades de aprendizaje de acuerdo

con las características de la tecnología utilizada.

Estas transformaciones observadas en los procesos de enseñanza y aprendizaje se

sitúan en la línea de las teorías constructivistas que preconizan estrategias de

aprendizaje que hagan de los alumnos elementos activos y dinámicos en la construcción

del saber.

Las barreras del espacio y del tiempo en la relación profesor-alumno y alumno-

escuela también se están viendo afectadas. La omnipresencia de la información libera la

elección de los tiempos y espacios para el aprendizaje. Aunque una parte de la población

escolar no tiene las facultades necesarias para ejercer esta elección, sin embargo es una

característica que beneficia el desarrollo de formas de aprendizaje en la educación a

distancia, la educación de adultos y en las aulas hospitalarias o asistencia a enfermos.

5. USO DE LAS TIC EN EDUCACIÓN

Las nuevas tecnologías pueden emplearse en el sistema educativo de tres maneras

distintas: como objeto de aprendizaje, como medio para aprender y como apoyo al

aprendizaje.

En el estado actual de cosas es normal considerar las nuevas tecnologías como

objeto de aprendizaje en sí mismo. Permite que los alumnos se familiaricen con el

ordenador y adquieran las competencias necesarias para hacer del mismo un instrumento

útil a lo largo de los estudios, en el mundo del trabajo o en la formación continua cuando

sean adultos.

Se consideran que las tecnologías son utilizadas como un medio de aprendizaje

cuando es una herramienta al servicio de la formación a distancia, no presencial y del

autoaprendizaje o son ejercicios de repetición, cursos en línea a través de Internet, de

videoconferencia, cederoms, programas de simulación o de ejercicios, etc. Este

procedimiento se enmarca dentro de la enseñanza tradicional como complemento o

enriquecimiento de los contenidos presentados.

Pero donde las nuevas tecnologías encuentran su verdadero sitio en la enseñanza es

como apoyo al aprendizaje. Las tecnologías así entendidas se hayan pedagógicamente

integradas en el proceso de aprendizaje, tienen su sitio en el aula, responden a unas

necesidades de formación más proactivas y son empleadas de forma cotidiana. La

integración pedagógica de las tecnologías difiere de la formación en las tecnologías y se

enmarca en una perspectiva de formación continua y de evolución personal y profesional

como un “saber aprender”.

La búsqueda y el tratamiento de la información inherente a estos objetivos de formación

constituyen la piedra angular de tales estrategias y representan actualmente uno de los

componentes de base para una utilización eficaz y clara de Internet ya sea en el medio

escolar como en la vida privada. Para cada uno de estos elementos mencionados, las

nuevas tecnologías, sobre todos las situadas en red, constituyen una fuente que permite


159

Conservando los mismos equipos analicen las siguientes fichas y completen

los esquemas que se presentan, y si existe la posibilidad de que accedas a

internet, exploren los sitios propuestos y completen con la información de una

de ellas la siguiente ficha de análisis:

EQUIPO 1:

Podrán utilizarse las nuevas tecnologías, pero se seguirá inmerso en la pedagogía

tradicional si no se ha variado la postura de que el profesor tiene la respuesta y se pide al

alumno que la reproduzca. En una sociedad en la que la información ocupa un lugar tan

importante es preciso cambiar de pedagogía y considerar que el alumno inteligente es el

que sabe hacer preguntas y es capaz de decir cómo se responde a esas cuestiones. La

integración de las tecnologías así entendidas sabe pasar de estrategias de enseñanza a

estrategias de aprendizaje.

José Ramón Gómez, 2004


160

http://www.rinconmaestro.es/matematicas/actividades.html

http://www.juegos.com/juegos/matematicas/matematicas.html


161

DIRECCIÓN ELECTRÓNICA DEL SITIO: CONTENIDO GENERAL DE LA PÁGINA PRINCIPAL:

Información o contenidos específicos: Habilidad matemática o competencia que favorecería.

Grado escolar en que se utilizaría: Aprendizajes esperados que favorece.

¿De qué manera la incorporarías en el aula?

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCkQFjAA&url=http://math.cilenia.com/es&ei=5Bf3UvXxEoWCyQHyroDACA&usg=AFQjCNFTm_FTnkxfxhDY8dlP97SixvxHug&bvm=bv.60983673,d.aWc


162

EQUIPO 2

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fracciones.html

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCwQFjAB&url=http://blog.educastur.es/blogactdiver/matematicas/&ei=NRr3UtjjDoX4yAG-4YG4Cw&usg=AFQjCNHW8oHzW6W-Zpxv8EV6wwMuZXznsA&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rja


163

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&sqi=2&ved=0CCYQFjAA&url=http://www.educapeques.com/los-juegos-educativos/juegos-de-matematicas-numeros-multiplicacion-para-ninos/&ei=Mxv3UoTNFoi_rgHWg4H4Ag&usg=AFQjCNHPpTIaeDGz_HEDPLVrm1NHyrVzGQ&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rja

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/juegos/juego_espacio.php&ei=9xv3UqX5I4PAyAGZvoHABw&usg=AFQjCNHT1-p8QbgWK78XGcTq-RRJQ5ulvA&bvm=bv.60983673,d.aWc


164





EQUIPO 3:

http://www.elhuevodechocolate.com/mates.htm


165

http://www.pequejuegos.com/juegos-de-matematicas.html

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCYQFjAA&url=http://www.vedoque.com/juegos/juego.php?j=escondite&ei=Dh_3UsLpM-GEyAGG5oCgAw&usg=AFQjCNFrtIbLinq8QkvBiUbaVIqC3Ysm1Q&bvm=bv.60983673,d.aWc


166





http://www.portalplanetasedna.com.ar/jugar_matematicas1.htm


167

EQUIPO 4

http://www.usaelcoco.com/

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCYQFjAA&url=http://www.kidopo.com/es/juegos/juegos-de-matematicas/&ei=OSD3UuK9IKm4yQHwiYDYAw&usg=AFQjCNHTogxTkeXI00Y_0BZrFmEQYdC4GA&bvm=bv.60983673,d.aWc


168





http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http://www.cyberkidz.pe/cyberkidz/juego.php?spelUrl=library/rekenen/groep3/rekenen1/&spelNaam=Sumar+hasta+10&groep=3&vak=rekenen&ei=0CD3UqnVD8jXyAH5voDQDw&usg=AFQjCNF-ZyHLWllNkiQLgINV2CAV0H9jFQ&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rja


169

EQUIPO 5

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=10&cad=rja&ved=0CEsQFjAJ&url=http://divertilectura.com/acertijos-matematicos-para-ninos/&ei=FiL3UsD6PKGSyQGl4IG4Bg&usg=AFQjCNGZnmXq9Bza0fPaNOCsbNGWJ7Tgqg&bvm=bv.60983673,d.aWc

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=0CC4QFjAB&url=http://www.planetseed.com/es/sciencelanding/logica&ei=iyH3UoXPNsblyQHRoYCwCQ&usg=AFQjCNHTdr_oY7Nv8koqpsRPuU8kv6QLCQ&bvm=bv.60983673,d.aWc


170

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http://matematicasinfantiles.blogspot.com/p/para-imprimir.html&ei=miL3UqH2LsqyyAHwgYHADA&usg=AFQjCNGF8ZHrlzz0TDUXLVKyfXl5MOfoqg&bvm=bv.60983673,d.aWc

http://neoparaiso.com/imprimir/#sect1


171





EQUIPO 6

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=0CDMQFjAB&url=http://saraibayon.wordpress.com/2007/03/29/acertijos-matematicos/&ei=ziT3UtuDD6OdyQHUroCAAw&usg=AFQjCNEamq2S70VhzOdeeW7SuCYrfo5jdQ&bvm=bv.60983673,d.aWc


172

http://www.matematicasdivertidas.com

http://www.catedu.es/matematicas_mundo/ARTE/matematicos.htm‎


173






174

EQUIPO 7

http://www.catedu.es/matematicas_mundo/DEPORTES/deportes.htm‎

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http://conmiradamatematica.wikispaces.com/Navidad+matem%C3%A1tica&ei=aSr3UtOFAsbbyQHSmoGACA&usg=AFQjCNEc7m7Q5SG7sTbH-Mlr8Ii2-zzhIg&bvm=bv.60983673,d.aWc&cad=rja


175

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=0CDAQFjAB&url=http://www.gpdmatematica.org.ar/aula/la_cocina.pdf&ei=Lyv3Uu6VNuiayAGlwYCYBA&usg=AFQjCNEA7xxQIVQX-sTwmQ1no2eceokGCg&bvm=bv.60983673,d.aWc

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http://www.slideshare.net/Marce89/modelo-matematico-receta-de-cocina-1102902&ei=xSv3UqjcB4n7yAHwioG4BQ&usg=AFQjCNEJIsP6KuzuML8NmN_gbV_8xPR2lA&bvm=bv.60983673,d.aWc


176





En el anexo 5 de la sesión 6, encontrarás una presentación de Power Point, denominada

“Direcciones electrónicas y ejemplos”, otra más de “Herramientas Digitales” en PDF.

Actualmente se cuenta con un sinfín de recursos, sobre todo de carácter electrónico

¡AVISO!

En los sueños, todo es diferente al colegio o a la ciencia. Cuando

Robert y el diablo de los números hablan, se expresan a veces de

forma bastante extraña.

Tampoco esto es sorprendente, pues El diablo de los números es

precisamente una extraña historia.

ACTIVIDAD 4. Consultando Bibliografía

45 Min.

Tema%206/anexo%205,Herramientas%20%20digitales


177

¡Pero no creáis que todo el mundo entienda las palabras que ambos utilizan! Vuestro

profesor de Matemáticas, por ejemplo, o vuestros padres. Si les decís saltar o rábano, no

entenderán qué quiere decir. Entre los adultos se habla de otra forma: en vez de saltar se

dice elevar al cuadrado o elevar a la potencia y en lugar de rábano escriben raíz en la

pizarra. Los números de primera se llaman en la clase de Matemáticas números primos, y

vuestro profesor jamás dirá ¡Cinco pum!, porque para eso tiene una expresión extranjera que

es facultad de cinco.

En los sueños no existen estas expresiones especializadas. Nadie sueña con palabras

extranjeras. Así que cuando el diablo de los números habla en imágenes y hace saltar los

números en vez de elevarlos a potencias, no es sólo cosa de niños: en sueños, todos

hacemos lo que queremos.

Pero en la clase uno no se duerme, y raras veces sueña. Por eso vuestro profesor tiene

razón cuando se expresa como todos los matemáticos del mundo. Por favor, dejaos orientar

por él, porque de lo contrario podría haber enfados en el colegio.

¿Cuál es tu opinión?

INTRODUCCIÓN

A Robert no le gustan las Matemáticas, como sucede a muchas personas, porque no las

acaba de entender.

Pero una noche él sueña con un diablillo que pretende iniciarle en la ciencia de los

números. Naturalmente, Robert piensa que es otra de sus frecuentes pesadillas, pero en

realidad es el comienzo de un recorrido nuevo y apasionante a través del mundo de las

Matemáticas.

¿No es extraño hallar siempre secuencias numéricas por la simple multiplicación de los

unos?

1 x 1 = 1

11 x 11=121

111111 x 111111 = 12345654321

Y así en adelante.

Y esto es sólo la operación más sencilla. Durante doce noches, Robert sueña sistemas

numéricos cada vez más increíbles.

De pronto, los números cobran vida por sí mismos, una vida misteriosa que ni siquiera el

diablo puede explicar del todo. Nunca las Matemáticas habían sido algo tan fascinante.


178

Pronto, el diablo le hará abandonar los tópicos escolares y hará que acceda a niveles

superiores: ¡y aun así, los entiende!

Y el joven lector también. Los números, cada página que pasa, se van volviendo cada vez

más absorbentes. Es como magia, y Robert quiere saber más y más hasta que, al fin, el

diablo le hace comprender que algunos problemas y paradojas pertenecen a las altas

esferas de la ciencia.

CAPÍTULO 1

La primera noche

Hacía mucho que Robert estaba harto de soñar.

Se decía: Siempre me toca hacer el papel de tonto.

Por ejemplo, en sueños le ocurría a menudo ser tragado por un pez gigantesco y

desagradable, y cuando estaba a punto de ocurrir llegaba a su nariz un olor terrible.

O se deslizaba cada vez más hondo por un interminable tobogán. Ya podía gritar cuanto

quisiera ¡Alto! o ¡Socorro!, bajaba más y más rápido, hasta despertar bañado en sudor.

A Robert le jugaban otra mala pasada cuando ansiaba mucho algo, por ejemplo una bici

de carreras con por lo menos veintiocho marchas. Entonces soñaba que la bici, pintada

en color lila metálico, estaba esperándolo en el sótano. Era un sueño de increíble

exactitud. Ahí estaba la bici, a la izquierda del botellero, y él sabía incluso la combinación

del candado: 12345. ¡Recordarla era un juego de niños! En mitad de la noche Robert se

despertaba, cogía medio dormido la llave de su estante, bajaba, en pijama y

tambaleándose, los cuatro escalones y... ¿qué encontraba a la izquierda del botellero?

Un ratón muerto. ¡Era una estafa! Un truco de lo más miserable.

Con el tiempo, Robert descubrió cómo defenderse de tales maldades. En cuanto le venía

un mal sueño pensaba a toda prisa, sin despertar: Ahí está otra vez este viejo y

nauseabundo pescado. Sé muy bien qué va a pasar ahora. Quiere engullirme.

Pero está clarísimo que se trata de un pez soñado que, naturalmente, sólo puede

tragarme en sueños, nada más.


179

O pensaba: Ya vuelvo a escurrirme por el tobogán, no hay nada que hacer, no puedo

parar de ningún modo, pero no estoy bajando de verdad. Y en cuanto aparecía de nuevo

la maravillosa bici de carreras, o un juego para ordenador que quería tener a toda costa -

ahí estaba, bien visible, a su alcance, al lado del teléfono- , Robert sabía que otra vez era

puro engaño. No volvió a prestar atención a la bici.

Simplemente la dejaba allí. Pero, por mucha astucia que le echara, todo aquello seguía

siendo bastante molesto, y por eso no había quien le hablara de sus sueños.

Hasta que un día apareció el diablo de los números.

Robert vio a un señor bastante mayor, más o menos del tamaño de un saltamontes, que

se columpiaba en una hoja de acedera y le miraba con ojos relucientes.

Robert se alegró de no soñar esta vez con un pez hambriento, y de no deslizarse por un

interminable tobogán desde una torre muy alta y muy vacilante.

En su lugar, soñó con una pradera. Lo curioso es que la hierba era altísima, tan alta que a

Robert le llegaba al hombro y a veces hasta la cabeza.

Miró a su alrededor y vio, justo delante de él, a un señor bastante viejo, bastante bajito,

más o menos como un saltamontes, que se mecía sobre una hoja de acedera y le miraba

con ojos brillantes.

-¿Quién eres tú? -preguntó Robert.

El hombre le gritó, sorprendentemente alto: -¡Soy el diablo de los números! Pero Robert

no estaba de humor para aguantarle nada a semejante enano.


180

-En primer lugar -dijo-, no hay ningún diablo de los números.

-¿Ah, no? ¿Entonces por qué estás hablando conmigo, si ni siquiera existo? -Y en

segundo lugar, odio todo lo que tiene que ver con las matemáticas.

-¿Por qué? -«Si dos panaderos hacen 444 trenzas en seis horas, ¿cuánto tiempo

necesitarán cinco panaderos para hacer 88 trenzas?» Qué idiotez –siguió despotricando

Robert-. Una forma idiota de matar el tiempo. Así que ¡esfúmate!

¡Largo! El diablo de los números se bajó con un elegante salto de su hoja de acedera y se

sentó al lado de Robert, que en protesta se había sentado entre la hierba, alta como un

árbol.

-¿De dónde te has sacado esa historia de las trenzas? Seguro que del colegio.

-¡Y de dónde si no! -dijo Robert-. El señor Bockel, ese principiante que nos da

Matemáticas, siempre tiene hambre, a pesar de estar tan gordo.

Cuando cree que no le vemos porque estamos haciendo los deberes, saca una trenza de

su maletín y se la devora mientras nosotros hacemos cuentas.

-¡Vaya! -exclamó el diablo de los números, sonriendo con sorna-. No quiero decir nada en

contra de tu profesor, pero la verdad es que eso no tiene nada que ver con las

matemáticas. ¿Sabes una cosa? La mayoría de los verdaderos matemáticos no sabe

hacer cuentas. Además, les da pena perder el tiempo haciéndolas, para eso están las

calculadoras. ¿No tienes una? -Sí, pero en el colegio no nos dejan usarla.

-¡Ajá! -dijo el diablo de los números-. No importa.

No hay nada que objetar a un poco de práctica con las tablas. Puede ser muy útil si uno

se queda sin pilas. ¡Pero las Matemáticas, ratoncito, eso es muy diferente! -

Sólo quieres que cambie de idea -dijo Robert-.

No te creo. Si me agobias en sueños con deberes, gritaré. ¡Eso se llama malos tratos a

menores! -Si hubiera sabido que eres tan cobardita -dijo el diablo de los números-, no

habría venido. Al fin y al cabo, no quiero más que charlar contigo un poco. La mayoría de

las veces estoy libre por las noches, así que pensé: Pásate a ver a Robert, seguro que

está harto de bajar siempre el mismo tobogán.

-Cierto.

-¿Lo ves? -Pero no voy a dejar que me tomes el pelo -gritó Robert-. Que no se te olvide.

Pero entonces el diablo de los números se puso en pie de un salto, y de repente ya no

era tan bajito.

-¡Así no se le habla a un diablo! -gritó.

Pateó la hierba hasta que quedó aplastada en el suelo, y sus ojos echaban chispas.

-Perdón -murmuró Robert.


181

Todo aquello estaba empezando a resultarle un poco inquietante.

-Si es tan sencillo hablar de Matemáticas como de películas o de bicicletas, ¿para qué se

necesita un diablo? -Por eso mismo, querido -respondió el anciano-: Lo diabólico de los

números es lo sencillos que son. En el fondo ni siquiera necesitas una calculadora.

Para empezar, sólo necesitas una cosa: el uno. Con él puedes hacerlo casi todo. Por

ejemplo, si te dan miedo las cifras grandes, digamos...cinco millones setecientos

veintitrés mil ochocientos doce, empieza simplemente así: y sigue hasta que hayas

llegado a los cinco millones etcétera. ¡No dirás que es demasiado complicado para ti! Eso

puede entenderlo hasta el más idiota, ¿no?

-Sí -dijo Robert.

-Y eso aún no es todo -prosiguió el diablo de los números. Ahora tenía en la mano un

bastón de paseo con empuñadura de plata, y lo agitaba delante de las narices de Robert-.

Cuando hayas llegado a cinco millones etcétera, simplemente sigues contando. Verás

que sigues hasta el infinito.

Porque hay infinitos números.

Robert no sabía si creérselo.

-¿Cómo lo sabes? -preguntó-, ¿Has probado a hacerlo? -No, no lo he hecho. En primer

lugar llevaría demasiado tiempo, y en segundo lugar es superfluo.

Robert se quedó igual que estaba.

-O puedo contar hasta llegar allí, y entonces no es infinito -objetó-, o si es infinito no

puedo contar hasta allí.

-¡Mal! -gritó el diablo de los números. Su bigote temblaba, se puso rojo, su cabeza se

hinchó de rabia y se hizo más y más grande.

-¿Mal? ¿Por qué mal? -preguntó Robert.

-¡Necio! ¿Cuántos chicles crees que se han comido hoy en todo el mundo? -No lo sé.

-Más o menos.

-Muchísimos -respondió Robert-. Sólo con Albert, Bettina y Charlie, con los de mi clase,

con los que se han comido en la ciudad, en toda Alemania, en América... miles de

millones.

-Por lo menos -dijo el diablo de los números-.

Bien, supongamos que hemos llegado al último de los chicles. ¿Qué hago entonces?


182

Sacó otro del bolsillo, y ya tenemos el número de todos los consumidos más uno..., el

siguiente. ¿Comprendes? No hace falta contar los chicles. Simplemente saber cómo

seguir. No necesitas más.

Robert reflexionó un momento. Luego, tuvo que admitir que el diablo de los números

tenía razón.

-También se puede hacer al revés -añadió el anciano.

-¿Al revés? ¿Qué quieres decir con al revés? -Bueno, Robert -el anciano volvía a sonreír-

no sólo hay números infinitamente grandes, sino también infinitamente pequeños. Y

además, infinitos de ellos.

Al decir estas palabras, el tipo agitó su bastón ante el rostro de Robert como si de una

hélice se tratara.

Se marea uno, pensó Robert. Era la misma sensación que en el tobogán por el que con

tanta frecuencia se había deslizado.

-¡Basta! -gritó.

-¿Por qué te pones tan nervioso, Robert? Es algo enteramente inofensivo. Mira, sacaré

otro chicle.

Aquí está...

De hecho, sacó del bolsillo un auténtico chicle.

Sólo que era tan grande como la balda de una estantería, que tenía un aspecto

sospechosamente lila y que estaba duro como una piedra.

-¿Eso es un chicle? -Un chicle soñado -dijo el diablo de los números-.

Lo compartiré contigo. Presta atención. Hasta ahora está entero. Es mi chicle. Una

persona, un chicle.

Puso un trozo de tiza, de aspecto sospechosamente lila, en la punta de su bastón y

prosiguió: -Esto se escribe así:

Dibujó los dos unos directamente en el aire, como hacen los aviones-anuncio que

escriben mensajes en el cielo. La escritura lila flotó sobre el fondo de las nubes blancas, y

sólo poco a poco se fue fundiendo como un helado de mora.

Robert miró hacia lo alto.

-¡Alucinante! -dijo-. Un bastón así me haría falta.

-No es nada especial. Con esto escribo en todas partes: nubes, paredes, pantallas.

No necesito cuadernos ni maletín. ¡Pero no estamos hablando de eso! Mira el chicle.

Ahora lo parto, cada uno de nosotros tiene una mitad. Un chicle, dos personas. El chicle


183

va arriba y las personas abajo:

Y ahora, naturalmente, los otros de tu clase también querrán su parte.

-Albert y Bettina -dijo Robert.

-Me da lo mismo. Albert se dirige a ti y Bettina a mí, y ambos tenemos que repartir.

Cada uno recibe un cuarto:

Naturalmente, con esto falta mucho para que hayamos terminado. Cada vez viene más

gente que quiere algo. Primero los de tu clase, luego todo el colegio, toda la ciudad. Cada

uno de nosotros cuatro tiene que dar la mitad de su cuarta parte, y luego la mitad de la

mitad y la mitad de la mitad de la mitad, etcétera.

-Y así hasta el aburrimiento -dijo Robert.

-Hasta que los trozos de chicle se vuelven tan pequeños que ya no se pueden ver a

simple vista.

Pero eso no importa. Seguimos dividiéndolos hasta que cada una de las seis mil millones

de personas que hay en la Tierra tenga su parte. Y luego vienen los seiscientos mil

millones de ratones, que también quieren lo suyo. Te darás cuenta de que de ese modo

nunca llegaríamos al final.

El anciano había escrito en el cielo, con su bastón, cada vez más unos de color lila bajo

una raya lila infinitamente larga.

-¡Vas a pintarrajear el mundo entero! -exclamó Robert.

-¡Ah! -gritó el diablo de los números hinchándose cada vez más-. ¡Sólo lo hago por ti!

Eres tú el que tiene miedo a las matemáticas y quiere que todo sea lo más fácil posible

para no confundirse.

-Pero, a la larga, estar todo el tiempo utilizando unos es una verdadera lata. Además es

bastante trabajoso -se atrevió a objetar Robert.

-¿Ves? -dijo el anciano, borrando descuidadamente el cielo con la mano hasta que


184

desaparecieron todos los unos-. Naturalmente, sería mucho más práctico que se nos

ocurriera algo mejor que sólo 1 + 1 + 1 + 1... Por ese motivo inventé todos los demás

números.

-¿Tú? ¿Dices que tú has inventado los números? Perdona, pero eso sí que no me lo

creo.

-Bueno -dijo el anciano-, yo o algunos otros.

Da igual quién fue. ¿Por qué eres tan desconfiado? Si quieres, no me importa enseñarte

cómo se hacen todos los demás números a partir del uno.

-¿Y cómo es eso?

-Muy fácil. Lo hago así:

-El siguiente es:

-Probablemente para esto necesitarás tu calculadora.

-Tonterías -dijo Robert-:

-¿Ves? -dijo el diablo de los números-, ya has hecho un dos, sólo con unos. Y ahora por

favor dime cuánto es:

-Eso es demasiado -protestó Robert-. No puedo calcularlo de memoria.

-Entonces, coge tu calculadora.

-¿Y de dónde la saco? Uno no se trae la calculadora a los sueños.

-Entonces coge ésta -dijo el diablo de los números, y le puso una en la mano. Tenía un

tacto extrañamente blando, como si estuviera hecha de masa de pan. Era de color verde

cardenillo y pegajosa, pero funcionaba. Robert pulsó:

¿Y qué salió?


185

-¡Estupendo! -dijo Robert-. Ahora ya tenemos un tres.

-Bueno, pues ahora no tienes más que seguir haciendo lo mismo.

Robert tecleó y tecleó:

-¡Muy bien! -el diablo de los números le dio unas palmadas en la espalda a Robert-.

Esto tiene un truco especial. Seguro que ya te has dado cuenta.

Si sigues adelante no sólo te salen todos los números del dos al nueve, sino que además

puedes leer el resultado de delante atrás y de detrás adelante, igual que en palabras

como ANA, ORO o ALA.

Robert siguió intentándolo, pero al llegar a:

La calculadora entregó su espíritu. Hizo ¡Puf! y se convirtió en una pasta verde cardenillo

que se escurría lentamente.

-¡Maldición! -gritó Robert, quitándose la masa verde de los dedos con el pañuelo.

-Para eso necesitas una calculadora más grande.

Para un ordenador decente una cosa así es un juego de niños.

-¿Seguro? -¡Claro! -dijo el diablo de los números.

-¿Y siempre sigue así? -preguntó Robert-. ¿Hasta que te aburras? -Naturalmente.

-¿Has probado con...?

-No creo que resulte -dijo Robert.

El diablo de los números empezó a hacer la cuenta de memoria. Pero al hacerlo volvió a

hincharse amenazadoramente, primero la cabeza, hasta parecer un globo rojo; de furia,

pensó Robert, o por el esfuerzo.

-Espera -gruñó el anciano-. Sale una verdadera ensalada. ¡Maldición! Tienes razón, no

resulta.

¿Cómo lo has sabido? -No lo sabía -dijo Robert-. Simplemente lo adiviné.

No soy tan tonto como para hacer un cálculo así.

-¡Desvergonzado! En las Matemáticas no se adivina nada, ¿entendido? ¡En las


186

De manera individual, da respuesta al siguiente cuestionamiento.

A partir de lo que leíste, ¿qué opinión tienes de la MATEMÁTICA?

matemáticas se procede con exactitud! -Pero tú has dicho que eso era siempre así, hasta

el aburrimiento. ¿Acaso no es eso adivinar? -¿Qué estás diciendo? ¡Quién te has creído

que eres! ¡Un principiante, y nada más! ¿Pretendes enseñarme cuántos son dos y dos? A

cada palabra que decía, el diablo de los números se volvía más grande y más gordo.

Jadeó para coger aire. Robert empezaba a tenerle miedo.

-¡Enano de los números! ¡Cabeza hueca! ¡Montón de mocos! -gritó el anciano, y apenas

había dicho la última frase cuando explotó de rabia, con un fuerte estallido.

Robert se despertó. Se había caído de la cama.

Estaba un poquito mareado, pero aun así no pudo por menos que reírse al pensar cómo

había arrinconado al diablo de los números.

El diablo de los números”, trata diversos temas en cada

una de sus noches, presentados con gran amenidad, de

forma que puedan llegar a los estudiantes, haciéndoles

pasar un rato agradable, aprendiendo Matemáticas y,

sobre todo, desarrollando su interés por esta disciplina.


187

Para profundizar en la comprensión del texto te proponemos los siguientes

cuestionamientos:

1.- ¿Cuándo se encontró Robert con el diablo?

a. En clase de Matemáticas.

b. Mientras dormía.

c. En el infierno.

d. En el cine.

2.- El autor trata de explicarnos la famosa serie de números descrita por un

matemático llamado Bonatschi. ¿Qué animales utiliza para su ilustración?

a) Liebres.

b) Animales imaginarios que no existen en la realidad.

c) No utiliza animales.

d) Gnomos.

3.- El diablo, para explicar los números triangulares, se subió a una palmera pero,

¿qué tiraba al suelo en su demostración?

a) Dátiles

b) Cocos

c) Palmitos

d) Almendras

4.- ¿Por qué está preocupada la madre de Robert?

a) Porque enfermó de viruela.

b) Está todo el día metido en su cuarto cantando “La Traviata”.

c) Está todo el día encerrado en su cuarto pintando liebres y murmurando

números.

d) Porque no quiere comer.

Y DE MANERA ESPECÍFICA EN LA PRIMERA NOCHE:

EL DIABLO DE LOS NÚMEROS, NOCHE A NOCHE

La primera noche:

Se trata una propuesta de trabajo cuyos objetivos son animar a la lectura

desde el área de Matemáticas, conocer parte de la Historia de las

matemáticas y a sus protagonistas, fomentar la utilización de las nuevas

tecnologías en la búsqueda de información, mejorar la actitud del alumno

hacia las Matemáticas, haciéndole descubrir la magia que hay en ellas e

impulsar la actitud investigadora del alumnado a través de la lectura del libro.


188

Para continuar retando tus habilidades matemáticas, te invitamos a que leas

el libro y acompañes tus reflexiones con el resto de los cuestionarios que se

proponen en el anexo 6 de la sección 6. En este anexo hallarás algunos

textos digitalizados para enriquecer tus saberes matemáticos.

Los juegos de piso son un excelente medio que permite la socialización, el

acatamiento de reglas, la adopción de conductas y roles, pero sobre todo es el

escenario donde inicialmente el alumno aprende en actos divertidos.

El juego por sí solo, despierta el interés de los participantes pero, este al ser

aprovechado de manera didáctica se transforma en una excelente herramienta de

aprendizaje y que al ser incorporado al trabajo de los docentes, lo enriquece y

favorece los resultados.

Los juegos tradicionales de piso como: stop (declaro la guerra en contra de...), los

quemados, el avión, la botella, el bote pateado, las escondidillas, las corres, los

encantados, estatuas de marfil, el calabaceado, la roña, el salto de cuerda, el trompo,

el yoyo, el balero, las canicas, los volados, la matatena, los gallitos, ponerle la cola al

burro, el burro castigado, carreras de costales, entre otros.

Para su ejecución requieren de habilidades físicas, conocimientos o nociones

matemáticas, actitudes que paulatinamente van dándole forma a los aprendizajes

formales.

Por otra parte los juegos considerados de mesa como: Serpientes y escaleras,

domino, cartas, damas chinas, damas inglesas, ajedrez, el coyote, tangram, parrilla

de cien, la rueda matemática y otros más, aportan elementos y forman nociones de

orden conceptual y actitudinal que debemos aprovechar y fomentar su incorporación

didáctica para responder a los preceptos del Plan y Programas de Estudio vigentes.

1. ¿Por qué hay infinitos números?

2. ¿Por qué se pueden escribir números tan pequeños como se desee?

3. ¿Cómo construirías los números 2, 3, …a partir del uno

4. ¿Qué ocurre cuando haces la operación:

11111111111X11111111111 ?

ACTIVIDAD 5. Juegos de patio y mesa

90 Min.

Tema%206/anexo%206,%20bibliografia


189

A continuación te proponemos tres juegos no muy comunes, esperando

motivar tu curiosidad y habilidades de búsqueda para enriquecer tu práctica.

En el anexo 7 de esta sesión, encontrarás algunas propuestas interesantes.

1.1 Centrar la atención en los estudiantes

y en sus procesos de aprendizaje

El centro y el referente fundamental del aprendizaje es el estudiante, porque

desde etapas tempranas se requiere generar su disposición y capacidad de

continuar aprendiendo a lo largo de su vida, desarrollar habilidades superiores del

pensamiento para solucionar problemas, pensar críticamente, comprender y

explicar situaciones desde diversas áreas del saber, manejar información, innovar

y crear en distintos órdenes de la vida.

Los alumnos cuentan con conocimientos, creencias y suposiciones sobre lo que

se espera que aprendan, acerca del mundo que les rodea, las relaciones entre las

personas y las expectativas sobre su comportamiento. En este sentido, es

necesario reconocer la diversidad social, cultural, lingüística, de capacidades,

estilos y ritmos de aprendizaje que tienen; es decir, desde la particularidad de

situaciones y contextos.

Plan y Programas de Estudio 2011. Principios Pedagógicos

PARRILLA DE CIEN Breve descripción:

La parrilla de cien es un casillero en el que, de forma ordenada, aparecen los

números del 1 al 100. En algunos sistemas educativos (por ejemplo, el británico) es

frecuentemente empleada para introducir a los niños en el mundo de las matemáticas

de forma amena. En este caso se le ha dado la connotación de pasatiempo con la

finalidad de estimular algunas capacidades cognitivas, así como de ofrecer una forma

de entretenimiento.

Reglas:

Se deben colorear o marcar determinadas casillas según se indique en el enunciado

de cada parrilla. Las consignas pueden indicar la realización de un diseño, el

seguimiento de una secuencia lógica o la resolución de determinadas operaciones

para obtener un diseño o una respuesta final. Una opción que ofrece este tipo de

actividad es diseñar cada uno sus propios enunciados y consignas, por lo que se

ofrecen (pág. 65-66) algunas parrillas sueltas que pueden fotocopiarse libremente

para crear tantas actividades como se desee.

Habilidades ejercitadas: Atención y concentración. Capacidad visuoperceptiva. Cálculo. Flexibilidad cognitiva.

Tema%206/anexo%207,%20%20juegos%20matemáticos


190

Ejemplo:

Coloree las casillas que crea necesarias para representar una cara sonriente (ojos y boca).

Ver el ejemplo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Propuesta 1: Con las siguientes indicaciones, ¿qué aparece? Coloree las casillas

correspondientes a los siguientes números:

El 46

Resultado de 3 + 10

El número que es 8 veces 10 y le suma 3

El que es 10 menos que 83

El resultado de 25 - 2

El que es 10 más que 53 El que da 10 más que el número del resultado anterior

El que es 1 menos que 54

El que es 2 más que 43

El 43

El que es 7 x 10, más 7 El que va entre 43 y 45

El que va después del 84

El 84

El 27

Es que es 84 + 2

El 57 El que es 3 veces 10, más 7

El de la casilla de encima del 26

El resultado de 70 menos 3

El resultado de 22 - 7

El número que suma 10 + 4

Propuesta 2: ¿Con qué casillas aparecerá la letra A? Puede haber más de una posibilidad.


191

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Propuesta 3: Prosiga la serie iniciada. Las casillas rellenadas siguen un orden

lógico, Trate de dar con la norma y continúe hasta llegar al final.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


Lógico. Trate de dar con la norma y continúe hasta llegar al final, anotando en la

casilla exterior el último número, siempre que sea mayor que 100.


192

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


lógico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Propuesta 6: Trate de dar con la norma y continúe hasta llegar al final, anotando en

la casilla exterior el último número, siempre que sea mayor que 100. Con las

siguientes indicaciones, ¿qué aparece?, Coloree las casillas correspondientes a los

siguientes números:

La mitad del 110 7 x 2

La cifra compuesta por los dos

números siguientes al 3

25 – 9

Cuatro veces 10, más 6

6 + 7 7 x 3, más 2

17 + 16

Tengo 10 años más que

cuando me jubilé (a los 65) 10 más que 17

20 más que el número del

resultado anterior 29 + 8

10 + 5…o la niña bonita 33 x 2, menos 1

5 antes de llegar a 100 6 x 2, más 8, menos 3


193

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

¿Cuándo acabará esta ficha? Para descubrirlo, coloree las casillas correspondientes a los siguientes números:

Desde este número empezamos a contar

Le faltan 30 para llegar a 100

Por si da mala suerte, diremos 12 + 1

6 x 3, menos 1

Ahora, súmele 10

2 y 2 son 4, 4 y 2 son 6, 6 y dos son 8, y 8… Y 10 más

La mitad de 30

5 veces 10, más 8

11 x 3, más 4

La mitad del número del resultado anterior, más 6 2 docenas más 3

El doble de 18

A la de una, a la de dos y a la de…

Casi 100…menos 1

Dos docenas menos 1

20 x 3

80 – 12

Su doble es 50

Al número del resultado anterior le sumamos 21

90 - 11

Las campanadas de Fin de Año son…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


194

siendo un recurso muy utilizado en distintas disciplinas como el diseño, la Psicología o la

pedagogía, especialmente en la enseñanza de las Matemáticas por su utilidad en la

adquisición de conceptos de geometría plana y por la promoción del desarrollo de destrezas

psicomotrices e intelectuales, ya que permite integrar el aspecto lúdico con la formación de

ideas abstractas a partir de un material concreto.

El tangram consiste en un cuadrado formado por siete piezas con las que pueden construirse

figuras geométricas y siluetas de personas, animales y cosas. Las figuras chinas originales

eran unos centenares, pero en la actualidad se estima que existen miles de figuras distintas.

Si tuviera interés en diseñar su propio tangram, aquí se muestra cómo hacerlo. Hay que

realizar un cuadrado perfecto sobre cartón u otro material de cierta resistencia, que deberá

luego dividirse en una cuadrícula exacta de 16 casillas. A continuación hay que dibujar las

marcas que darán forma a las distintas piezas del tangram y por donde deberá recortarse

para su obtención.

REGLAS:

El tangram original consiste en formar determinadas siluetas empleando todas las piezas del

rompecabezas. En la mayor parte de casos puede resultar complejo, especialmente si no se

tiene experiencia previa. Por ello, aquí se propone una forma progresiva de familiarizarse con

esta actividad.

En primer lugar, se sugiere familiarizarse con las piezas y las posibilidades que ofrece la

combinación entre ellas. Para ello, tome las piezas del tangram y realice los diseños que a

continuación se presentan y comentan.

Podremos observar y practicar cómo con dos triángulos podemos formar un cuadrado, un

triángulo mayor o un paralelogramo:

TANGRAM

BREVE DESCRIPCIÓN:

El tangram es un juego chino muy antiguo.

Existen distintas teorías acerca de su nombre,

apostando unas porque fue creado durante la

dinastía

Tang, regente en China entre los años 618 y

907, y otras porque fue un inglés quien bautizó

así al juego al unir dos vocablos, el cantonés

tang, que significa ‘chino’, y el latín gram, que

significa ‘escrito’ o ‘gráfico’. Sea como fuere,

este milenario juego que ha sobrepasado sus

dimensiones lúdicas y de entretenimiento,


195

También pueden formarse triángulos de mayor tamaño mediante la combinación de otras piezas, como se muestra a continuación:

También existen varias maneras de formar un cuadrado:

distintos modos de formar un rectángulo:

Por último, también hay que, tener en cuenta que una misma figura o parte de una figura puede lograrse con una combinación de distintas piezas, como se observa en este ejemplo:

Para seguir familiarizándose con las piezas y sus posibles combinaciones, propóngase

generar figuras nuevas (con o sin sentido) sin necesidad de emplear todas las piezas cada

vez.

Otra opción es realizar las figuras tomando como modelo directamente las soluciones.

Aunque pueda parecerle banal, le ayudará a comprender las posibilidades de este juego y a

familiarizarse con sus construcciones.

HABILIDADES EJERCITADAS:

Atención y concentración.

Capacidad visuoperceptiva.


196

Orientación visuoespacial.

Capacidad de abstracción.

Flexibilidad cognitiva.

Creatividad.

Destreza manipulativa.

Siluetas a reproducir usando TODAS las piezas cada vez:

RUEDA MATEMÁTICA BREVE DESCRIPCIÓN:

Esta actividad se basa en unas piezas de cartón que, por su ensamblaje y forma, recuerdan

a una rueda. La superficie inferior de la rueda es fija y en ella aparecen una serie de

operaciones matemáticas. La cubierta superior, que es rotatoria, contiene unas muescas que

permiten mostrar cifras que representan posibles resultados de las operaciones

matemáticas. En función de la rueda de base, las operaciones pueden ser sumas o restas de

unidades o decenas, mientras que la cubierta superior puede tener de 2 a 5 muescas.

En las páginas finales de este cuaderno, se adjunta el material para montarlo. Todas las

ruedas base (las que contienen las operaciones) pueden combinarse con cualquiera de las


197

plantillas de muescas. El reto será más o menos difícil en función de la cantidad de muescas

que escoja.

REGLAS:

El objetivo es situar las muescas de la cubierta superior mostrando el resultado correcto de

las operaciones con que se confrontan. Si la cubierta tiene dos muescas, ambas deberán

quedar mostrando soluciones correctas a las dos operaciones matemáticas ante las que se

coloquen; si tiene tres muescas, debe buscarse el resultado correcto simultáneo a tres

operaciones…, y así sucesivamente.

HABILIDADES EJERCITADAS:

Atención y Concentración.

Cálculo mental.

Flexibilidad cognitiva.

Coordinación visuomotora.

En los anexos localiza un texto

denominado “EL JUEGO Y LA

ESCUELA” donde se soporta

teóricamente la importancia del juego en

el desarrollo personal de los alumnos y el

por qué deberán ser incorporados a las

actividades cotidianas de la escuela.


198

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

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