Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria III

Propósito general: Apoyar al personal docente de secundaria en

el desarrollo de las competencias profesionales que lo hagan más eficaz para propiciar y conducir el proceso de aprendizaje de sus alumnos durante el estudio de los contenidos matemáticos del eje Manejo de la información.

Propósitos específicos:a) Ampliar conocimientos sobre los contextos y las

secuencias de situaciones problemáticas que dan significado a los contenidos matemáticos que se trabajan en la escuela secundaria en el desarrollo del eje Manejo de la Información, para que disponga de más elementos que le permitan el diseño y el tratamiento adecuado de las situaciones y problemas para el aula, mismas que coadyuven al desarrollo de la competencia relacionada con el planteamiento y resolución de problemas pertinentes al nivel.

b) Ampliar sus conocimientos sobre el enfoque didáctico de los nuevos materiales para la enseñanza de las matemáticas en la educación secundaria, profundizando en su estructura y su función, tanto en el aspecto de la organización disciplinar en este eje, así como en lo que respecta a la articulación de estos conocimientos con las habilidades y actitudes correspondientes.

c) Llevar a los profesores la experiencia de hacer matemáticas (Manejo de la Información) en el sentido que lo marca el enfoque curricular: Promover el desarrollo de habilidades propias del pensamiento estocástico (probabilístico y estadístico) a través de análisis de fuentes de información, análisis a priori, experimentación y asignación de probabilidades.

d) Explorar y reflexionar acerca del uso de las nuevas tecnologías como apoyo en la enseñanza y aprendizaje del contenido del eje Manejo de la Información. Especialmente mediante el uso de calculadora y software del área, a través de la interacción con estos recursos se pretende promover el análisis de la información, así como la elaboración de conjeturas respecto de la regularidad y/o estabilidad estadística que puede presentarse en algunas situaciones, así como la confirmación o reformulación de intuiciones o nociones que anteceden a la presentación formal de los conceptos tratados.

Estructura del curso: Los contenidos del curso se han organizado en

una serie de actividades integradas en un documento denominado Material del Participante, teniendo en cuenta que éstas pueden ser desarrolladas en cuatro sesiones de 10 horas cada una. A continuación se enlistan dichas actividades siguiendo la estructura del Material del Participante:

Sesiones 1 y 2. Análisis de situaciones no deterministas

• Actividad 1: El uso del juego para introducir ideas estocásticas básicas

• Actividad 2: La toma de decisiones en actividades cotidianas

• Actividad 3: La graduación de eventos aleatorios• Actividad 4: Situaciones aleatorias en el contexto de

juegos• Actividad 5: Experimentación en situaciones

aleatorias I• Actividad 6: Simulación de situaciones aleatorias• Actividad 7: Nuestros materiales de trabajo

Sesiones 3 y 4 . Asignación de probabilidades• Actividad 8: Entrega de reconocimientos• Actividad 9: Los juegos de azar • Actividad 10: Extracción de canicas de una

urna• Actividad 11: Evento deportivo• Actividad 12: Resultados bimestrales• Actividad 13: Estudiantes de concurso• Actividad 14: Experimentación en situaciones

aleatorias II• Actividad 15: Reflexiones sobre didáctica de

la Probabilidad

Sesiones 5 y 6. Interpretación y uso de la información• Actividad 16: El examen de admisión• Actividad 17: Calificaciones finales• Actividad 18: La carga académica de los profesores• Actividad 19: El gasto semana de los estudiantes• Actividad 20: Tiempo de realización de una

actividad • Actividad 21: Los resultados de los cursos de

matemáticas• Actividad 22: El sitio A de internet • Actividad 23: Las ventas de las sucursales• Actividad 24. El examen parcial• Actividad 25: Reflexiones sobre didáctica de la

Estadística

Sesiones 7 y 8. Análisis de resúmenes de datos• Actividad 26: La edad de las personas• Actividad 27: El peso de un mismo objeto• Actividad 28: Número de reactivos correctos.• Actividad 29: Resultados de una evaluación

de Matemáticas.• Actividad 30: El peso de los profesores• Actividad 31: La evaluación de matemáticas• Actividad 32: La vida útil de los focos• Actividad 33: El aprovechamiento de los

grupos

Calendarización

• Sesión 1 12 de Febrero de 2013• Sesión 2 19 de Febrero de 2013• Sesión 3 26 de Febrero de 2013• Sesión 4 5 de Marzo de 2013• Sesión 5 12 de Marzo de 2013• Sesión 6 19 de Marzo de 2013• Sesión 7 9 de Abril de 2013• Sesión 8 16 de Abril de 2013

Evaluación• Las soluciones dadas a las actividades propuestas en el Material del

Participante en cada sesión (en total deberán ser ocho sesiones). La entrega puede hacerse en archivo Electrónico, impresa o hojas de cuaderno

• Archivo electrónico que contenga la presentación en diapositivas de la Actividad Didáctica diseñada por equipos, que deberá presentarse al final del Curso.

• Características– Grado escolar al que está dirigido.– Competencias disciplinares que promueve.– Conceptos matemáticos que involucra.– Metodología propuesta para su instrumentación.– Materiales didácticos que requiere.– Elementos para su evaluación.

• Sesión 1

• Actividad 1: El uso del juego para introducir ideas estocásticas básicas

• Participan en el juego dos personas. Se enumeran cuatro casillas del 0 al 3, ver figura. Cada jugador escoge un color de ficha y alternadamente seleccionan una casilla y colocan una ficha en ella, de modo que las cuatro casillas queden cubiertas, dos para un jugador y las otras para el otro. Se lanzan tres monedas, se cuenta el número de águilas que resulten del lanzamiento y, enseguida, avanza una casilla la ficha del jugador que corresponda al número de águilas obtenidas. Gana el primero que alcance la meta con alguna de sus fichas.

1. Antes de iniciar el juego, responda a lo siguiente:– ¿Qué números seleccionará con preferencia? ¿Por qué? – ¿Qué números no seleccionaría? ¿Por qué?

Si tuviera que escoger entre el 0 y el 3, ¿Cuál seleccionaría? ___¿Por qué?Si tuviera que escoger entre el 1 y el 2, ¿Cuál seleccionaría? __ ¿Por qué? ¿Importa en el juego qué números se seleccionen? _______ ¿Por qué?Si se realizan 10 veces los lanzamientos de las tres monedas, ¿Cuántas casillas

cree que avanzará cada uno de los jugadores? ____________¿Por qué? Si se realizan 100 veces los lanzamientos de las tres monedas, ¿Cuántas casillas

cree que avanzará cada uno de los jugadores? ____________¿Por qué? 2. Al responder a las preguntas anteriores, de alguna manera ha formulado

argumentaciones, que intuye suceden, con respecto al desarrollo y resultados del juego. El análisis del juego nos llevará a la aceptación o rechazo de las hipótesis que se han seguido para la elección o elecciones realizadas. Para esto, es necesario jugar varias partidas y tomar datos, ¿Qué datos serán relevantes para el análisis del juego?

0 … M

1 … E

2 … T

3 … A

• También es indispensable decidir una forma de codificar la información de modo que sea fácil su organización y análisis posterior.

• Para el propósito de la actividad, es importante resaltar que lo que interesa es el análisis del juego y no quien gana, por lo que una cuestión de interés será determinar si hay alguna o algunas elecciones más convenientes que otras, por lo tanto los datos que interesa tomar son números seleccionados, número ganador, movimiento realizado y no quien ganó en cada partida (denominamos partida a cada una de las ocasiones que se lanzan las tres monedas. Resulta ganador de la partida el jugador cuya casilla coincide con el número de águilas obtenidas).

• Enseguida, forme una bina con alguno de sus compañeros y juegue las partidas necesarias hasta que alguno de los jugadores logre llegar a la meta.

0 M

1 E

2 T

3 A

3. Una vez realizado el experimento anterior, ¿Qué observaciones puede hacer con respecto a los resultados del juego? 4. ¿Coinciden con los resultados esperados al principio del juego?5. ¿Modificaría su elección si jugara de nuevo? _______ ¿Por qué?

6. Los resultados obtenidos de la simulación de 100 lanzamientos de tres monedas, en grupos de diez, se presentan enseguida:

1 0 1 2 0 1 0 3 2 21 1 2 2 3 0 3 2 1 31 2 1 2 1 2 2 3 2 22 0 2 1 1 2 2 2 2 22 2 2 1 0 1 1 2 1 21 3 2 2 2 1 3 0 1 12 1 2 0 2 1 1 2 2 22 2 3 3 2 3 3 0 2 20 2 3 2 0 2 0 3 2 11 3 0 2 1 1 2 1 1 3

Si el jugador A, seleccionó las casillas 0 y 2 y el jugador B las restantes, proponga una organización de los datos obtenidos en la simulación, de modo que se pueda observar el número de partidas jugadas y el número de veces que ha avanzado cada ficha:

7.. Al número de veces que se han obtenido un resultado en particular le llamamos frecuencia absoluta, mientras que al cociente entre el número de veces que se ha obtenido un resultado particular y el total de veces que se ha realizado el experimento (total de partidas) le llamamos frecuencia relativa. Complete su tabla incluyendo las frecuencias relativas y proponga una representación gráfica que refleje los resultados obtenidos en el juego.

8. A partir del trabajo realizado, es posible realizar alguna conjetura, en concreto, un juicio acerca del resultado que ha aparecido con mayor frecuencia y, en todo caso, si se desea ganar el juego, cual se seleccionaría. Estas conjeturas se realizan a partir del análisis de los datos, de la construcción de sus resúmenes y de la observación de las gráficas resultantes. ¿Modificaría las respuestas dadas en el punto 1, a partir del trabajo realizado en los puntos 6 y 7? ______ Establezca una conjetura acerca del resultado del juego y plantee una estrategia para la validación de su conjetura.

9. Finalmente, exponga cómo utilizaría lo estudiado si tuviera que participar de nuevo en el juego y que esperaría que sucediera una vez concluido el mismo.

Actividad 2: La toma de decisiones en actividades cotidianas

• En nuestro quehacer diario tomamos una gran cantidad de decisiones, muchas de ellas son para la organización de nuestras actividades inmediatas, en otras ocasiones nos ayudan a planear nuestra vida a mediano o largo plazo. Por ejemplo, cuando se trata de comprar un automóvil mediante algún plan de financiamiento, necesitamos tomar en cuenta una serie de factores que determinan la posibilidad de cumplir con el compromiso durante el periodo que corresponda, dependiendo del plan que tome. Una situación similar se presenta cuando se planea adquirir una vivienda mediante algún plan de financiamiento, aunque en este caso se trata de un compromiso a cumplir, comúnmente, en un periodo más largo de tiempo.

Situación 1• Planes de financiamiento: El agente de ventas de automóviles nuevos, le ofrece al

cliente potencial dos opciones para el pago de un auto:• Plan 1. En la primera opción de pago le propone hacer un pago inicial del 35% del

valor del auto y 36 pagos mensuales fijos de $3,850.00.• Plan 2. En la segunda opción de pago le propone hacer un pago inicial de 20% del

valor del auto y 36 pagos mensuales, el primer pago será de $3,100.00 y variará en función de la inflación mensual registrada por la Secretaría de Hacienda.

• ¿Puede determinar cuánto pagará mensualmente el cliente si escoge el plan 1? _______ ¿Por qué?

• Si el cliente acepta el primer plan, ¿Cuánto pagará en total por el automóvil?• Si el cliente acepta el plan 2, ¿Cuánto pagará en total por el automóvil?

_______¿Por qué?• Las situaciones planteadas en cada uno de los planes de pago, ¿Son deterministas

o aleatorias? ________________ ¿Por qué ha dado esa respuesta?• Si la compra se hiciera en este momento, ¿Cómo puede el cliente estimar lo que

tendría que pagar en total por el auto si seleccionara el segundo plan?

Situación 2

• Consideraciones en la planeación de un operativo vacacional:

• Durante los periodos vacacionales las autoridades municipales, estatales y federales, montan operativos para salvaguardar la seguridad de las personas que se trasladan de un lugar a otro.

• ¿Qué elementos tomaría usted en cuenta para ubicar los puntos conflictivos? • Antes de implementar el operativo, ¿Se puede determinar con certeza cuántos

agentes de seguridad ubicar en cada punto crítico?__________ ¿Por qué?• Determinar el número de agentes de seguridad que participarán en el operativo,

¿Es una situación determinista o aleatoria? _____________, ¿Por qué?• Antes de implementar el operativo, ¿Se puede saber con certeza si durante el

período vacacional ocurrirán accidentes y cuántos ocurrirán? Argumente• Determinar el número de accidentes que se presentarán en el próximo periodo

vacacional, ¿Es una situación determinista o aleatoria? ____________ ¿Por qué? • ¿Qué información tomaría usted en cuenta para hacer una estimación del número

de accidentes que se pueden presentar en el próximo período vacacional?

Actividad 3: La graduación de eventos aleatorios

• Situación futura del país: De acuerdo a las condiciones en las que se encuentra actualmente el país,

• ¿Cómo evaluaría la hipótesis de un medio de comunicación que menciona: “se podría presentar una crisis económica al iniciar el próximo año” ?

1) Poco posible2) Imposible3) Seguro 4) Posible 5) Muy posible6) Están dadas las condiciones7) No están dadas las condiciones• Agrega otras expresiones que permitan evaluar la situación antes descrita:• Plantee al menos cinco situaciones en las que de acuerdo a su experiencia se

utilicen expresiones, como las señaladas en el punto anterior, para valorar la posibilidad de ocurrencia de algún suceso.

Actividad 4: Situaciones aleatorias en el contexto de juegos• La utilización de monedas, dados o ruletas en diversos juegos hace que el resultado o desarrollo del

juego no dependa sólo del conocimiento del juego y las habilidades o destrezas desarrolladas por cada uno de los participantes. Digamos que estos dispositivos incorporan un factor de incertidumbre en los posibles resultados y con ello hacen interesante el juego. En estos ambientes los resultados que determinan al ganador no se pueden conocer sino hasta después de realizado el juego. El comportamiento impredecible de los resultados posibles en cada momento del juego brinda un contexto idóneo para poner en acción las ideas de azar, probabilidad y regularidad estadística, entre otras que son importantes desde la perspectiva escolar.

• Un caso sencillo viene a ser el juego de volados, en donde se trata de adivinar el resultado del lanzamiento de una moneda, una predicción antes del lanzamiento, que de verificarse con el resultado del lanzamiento una vez efectuado permite decidir si el jugador gana o pierde.

• Alrededor de esta situación caben algunas interrogantes que ayudan a definir lo que resulta

importante en este tipo de situaciones: ¿Cuál es la gama de posibles pronósticos que pueden efectuarse? ¿Cuál es el conjunto de posibles resultados? ¿Cuál es la probabilidad de ganar? ¿Cómo se puede calcular dicha probabilidad? ¿Bajo qué condiciones es válido el procedimiento empleado? ¿Qué significa la probabilidad obtenida?, etc. En cierto modo estas interrogantes orientan nuestra visión hacia un modelo probabilístico de la situación y al cálculo de probabilidades bajo dicho modelo y /o sus implicaciones.

• En esta actividad, presentamos una serie de situaciones con monedas, dados, ruletas en las que se plantean interrogantes encaminadas a esclarecer aspectos que guardan una intima relación con nociones probabilísticas, las cuales son contempladas en los estudios que se hacen en la escuela secundaria.

Situación 1• Juego con monedas• Al jugar volados con una o varias monedas nos podemos hacer una serie de

preguntas acerca del comportamiento del resultado obtenido, antes de realizar algún lanzamiento. Si en condiciones como las de este día despejamos, de mesas y sillas, un área del salón de clase y lanzamos una moneda de un peso hacia arriba:

• ¿Caerá la moneda al piso? ______________ • ¿Es posible asegurar que siempre pasará lo anterior?________ ¿Por qué? • Las preguntas anteriores, ¿Tratan de una situación determinista o aleatoria?

¿Por qué? • Si la moneda cae al piso, ¿Qué cara de la moneda quedará hacia arriba? ¿Por

qué? • La situación planteada , ¿Es determinista o aleatoria?______ ¿Por qué? • Si hacemos el lanzamiento de una moneda y registramos la cara que queda hacia

arriba, ¿Puedes decir qué ocurrirá en el próximo lanzamiento de esa moneda?________ ¿Por qué? ______________________________________

• Si lanzamos dos veces una moneda, ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden registrar?

• Si hacemos tres lanzamientos de una moneda y registramos las caras que quedan hacia arriba, ¿Puedes decir con certeza cuál es el resultado que se obtendrá en los próximos tres lanzamientos? _________ ¿Por qué?

Situación 2

Si se requiere hacer el registro de los puntos de las caras de los dados que quedan hacia arriba, ¿Cuáles son todos los resultados posibles?

¿Cuántos son los resultados posibles? _______________________________¿En cuántos resultados posibles el dado verde caerá 3?______. ¿Cuáles son?¿En cuántos resultados posibles la suma de los puntos es 8?, ______. ¿Cuáles son esos resultados? ¿En cuántos resultados posibles el dado azul tiene un número de puntos par?______, ¿Cuáles son? ¿En cuántos resultados posibles el número de puntos es igual en ambos dados?______, ¿Cuáles son? ¿Qué tiene más oportunidad de ocurrir, un cinco y un cinco o un cinco y un seis?_____________ ¿Por

qué? ¿Cuál de los siguientes resultados tiene más oportunidad de ocurrir, el verde 4 y el azul 3 o el verde

4 y el azul 4? _________________________ ¿Por qué?

Juego con dadosLos juegos de dados son un buen contexto para trabajar algunas de las ideas básicas de las situaciones aleatorias. Si se hace el lanzamiento de dos dados, uno verde y uno azul y registramos el número de puntos que aparecen en la cara que queda hacia arriba de cada dado de la siguiente manera: primero el verde y después el azul.

Responde a cada uno de los siguientes planteamientos:1. De acuerdo a lo que se quiere registrar, ¿Es una situación determinista o aleatoria? ____________________, ¿Por qué?

Situación 3

• Juego con ruletas• Si se giran las ruletas que se muestran enseguida y se hace el

producto de los números que marque la flecha en cada ruleta:a) ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden presentar? b) ¿Cuál de ellos es más probable que salga?___________, ¿Por qué?c) ¿Cuál de ellos es menos probable que salga? _________, ¿Por quéd) Dejando una de las ruletas como está, ¿Cómo deberá quedar la otra

ruleta para que los valores de b y c sean igualmente probables?

• Material para la próxima sesión• Programa de Matemáticas Secundaria 2011

Sesión 2

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela

secundaria III

Actividad 5: Simulación de situaciones aleatorias• En las actividades anteriores las situaciones o

experimentos hacen referencia a objetos como monedas, dados y ruletas, entre otros, e inclusive, manipulándolos físicamente, hemos realizado tareas encaminadas a esclarecer nociones probabilísticas, algunas de las cuales realmente se muestran como comportamientos a la larga. En el ámbito probabilístico la expresión “comportamiento a la larga” la entenderemos como una característica que tiende a observarse tras muchas replicas de una situación o de un experimento, un patrón común en lo general, una regularidad o una tendencia límite.

• Podemos decir que la observación de comportamientos a la larga constituye un medio importante para la construcción de intuiciones que sustentan a las nociones probabilísticas, sin embargo esto no resulta fácil y más aún tomando en cuenta que realmente llevar a cabo muchas replicas de un experimento dado enfrenta limitaciones de diversa índole. Una alternativa ante tal problemática puede ser encontrada con apoyo de dispositivos proporcionados por la tecnología de la información y la comunicación, como lo son calculadoras y computadoras, en combinación con una estrategia matemática llamada simulación, que permite hacer muchas replicas de varios experimentos aleatorios, y también resolver problemas diversos.

• La simulación se basa en la obtención de números aleatorios y en una transformación adecuada de ellos. Los números aleatorios que proporciona un dispositivo tecnológico semejan los resultados de un sorteo y el tipo más básico de estos corresponde a sortear números mayores o iguales que cero y menores que uno. Dispositivos tecnológicos como los mencionados cuentan entre sus funciones o variantes de software con instrucciones que proporcionan números aleatorios del tipo señalado como básico (“Rnd#”, “rand()”,“aleatorio()”, etc.) o para obtener números aleatorios más sofisticados y, en algunos casos, también la posibilidad de automatizar la generación de series tanto de tales números como de algún tipo de transformación deseada.

Situación 1 La simulación y el experimento de lanzar una moneda

• Considerando el tipo más básico de números aleatorios, agregando que estos se encuentran distribuidos uniformemente en el intervalo [0,1), la convención de que obtener un número aleatorio menor que 0.5 significará sello y de que obtener uno mayor o igual que 0.5 significará águila bastará para poder simular el lanzamiento de una moneda con algún dispositivo que genere este tipo de números.

• Sin embargo ¿en qué forma y/o en qué medida podemos relacionar este proceso con el lanzamiento de una moneda?,

• ¿cómo nos proporciona información acerca del lanzamiento de una moneda?

• ¿Cómo extender este proceso a la simulación de lanzamientos de un dado, de hacer girar una ruleta, etc. o en la resolución de un problema bajo incertidumbre?

• 1. Simulación de lanzamientos de una moneda• a. En las líneas anteriores se ha sugerido cómo utilizar un dispositivo

tecnológico para dar lugar a un dispositivo virtual que asemeja el lanzamiento de una moneda. Realice y anote el resultado de simular cinco lanzamientos de una moneda:

RESULTADOS DE LOS LANZAMONETOS

1° 2° 3° 4° 5°

• Considerando la idea de cómo se ha simulado el lanzamiento de una moneda, usando un dispositivo virtual, ¿qué semejanzas encontramos entre este y el dispositivo físico constituido por una moneda real?

• b. Efectúe ochenta simulaciones del lanzamiento de una moneda y registra en la tabla que aparece abajo los resultados de cada lanzamiento como A (águila) o S (sello), formando grupos de cinco resultados. Luego, contabilizando el número de águilas acumuladas en los grupos sucesivos o frecuencias (f) regístralo en la columna correspondiente así como su acumulación o frecuencias acumuladas (fa) y los resultados de dividir estas últimas cantidades entre el número de lanzamientos acumulados o frecuencias acumuladas relativas (far).

Registro tabular: Simulación lanzamiento de una monedaLanz Resultados f fa far Lanz Resultados f fa far

5 45

10 50

15 55

20 60

25 65

30 70

35 75

40 80

• c. Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias acumuladas relativas, haz una gráfica de puntos unidos por segmentos de recta como resumen de esta simulación de lanzamientos de una moneda. Además agrega gráficos correspondientes a los datos obtenidos por al menos dos compañeros.

1

.90

.80

.70

.60

.50

.40

.30

.20

.10

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Situación 2• Simulación de lanzamientos de un dado • Para simular el lanzamiento de un dado:• - Obtener un número aleatorio [Rnd#]• - Multiplicarlo por 6 [Rnd#]*6• - Sumarle 1 [Rnd#]*6+1• -Tomar su parte entera { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }• a. Efectúa noventa simulaciones del lanzamiento de un dado y

registra en una tabla los resultados de cada lanzamiento, en el renglón y columna correspondiente, con una diagonal (/) por cada resultado, en el entendido de que esto está dispuesto en tres grupos de treinta simulaciones. Luego, contabilizando el total de resultados para cada valor de puntos, acumulando lo de los grupos sucesivos, anota las frecuencias en la columna correspondiente (f) y los resultados de dividir estas últimas cantidades entre el número de lanzamientos acumulados para obtener las frecuencias relativas que tienen una columna correspondiente (fr).

• Registro tabular: Simulación de lanzamientos de un dado

puntos Primeros 30

f30 fr30 siguientes 30

f60 fr60 Últimos 30

f90 fr90

1

2

3

4

5

6

• Utilizando los valores de puntos posibles y las frecuencias relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, distinguiéndolas de algún modo, haz tres gráficas de barras que resuman la evolución de esta simulación de lanzamientos de un dado.

1

.90

.80

.70

.60

.50

.40

.30

.20

.10

0

0 1 2 3 4 5 6

c. Compare su gráfica con la obtenida por al menos dos compañeros y enseguida describa lo más ampliamente posible el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas correspondiente a los lanzamientos simulados comparando lo aquí observado con lo que esperarías de realmente lanzar un dado.

Situación 3• Simulación de selección de bolas en una urna• Consideremos una urna conteniendo cinco canicas azules y tres blancas, de la

que planeamos hacer extracciones sin ver y asegurándonos de revolver las canicas cada vez. Un procedimiento alternativo a la realización física de dichas extracciones sería su simulación, que para el caso de que las extracciones sean con reemplazo y con el apoyo de una calculadora científica se esquematiza enseguida.

• Para simular extracciones de una urna con cinco canicas azules (A) y tres blancas (B):

• -Obtener un número aleatorio [Rnd#]• - Multiplicarlo por 8 [Rnd#]*8• -Tomar su parte entera { 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}• -Decisión 1: un número de 0 a 4 = A 2: un número de 5 a 8 = B• Realice noventa grupos de tres simulaciones, contabilice en cada uno de ellos

el número de bolas blancas y registre los números resultantes en la siguiente tabla.

• Registro tabular: Simulación extracciones con reemplazo

Canicas Blancas

Primeros 30 f30 fr30 siguientes 30 f60 fr60 Últimos 30 f90 fr90

0

1

2

3

a. ¿Qué puede decir acerca del número de veces que se obtuvieron cero canicas blancas?

b. ¿Y de dos canicas blancas?2. ¿Qué ajustes haría al esquema presentado para realizar

simulaciones de extracciones de una urna con 4 canicas azules y 6 blancas?

3. Y si en lugar de modificar el número de canicas de cada color cambiamos a extracciones sin reemplazo?

• 4. ¿Cómo podría utilizar estos esquemas para estimar probabilidades, por ejemplo de que eligiendo al azar un par de dígitos, uno por uno, se obtenga dos números iguales?

• 5. Realizando las simulaciones que considere necesarias, estime la probabilidad de obtener dos canicas blancas si se realizan extracciones sin reemplazo de una urna que contiene 4 canicas azules y 6 blancas.

• 6. ¿Qué analogías, semejanzas o diferencias pudiéramos establecer entre la simulación de estas ideas de simulación y lo que ocurre en situaciones reales de incertidumbre?

• 7. Qué opinión tienes acerca del lugar o momento en que se trabajaron las ideas de simulación en así como de la importancia que se le debiera brindar a este tópico en la escuela secundaria.

Actividad 6: Experimentación en situaciones aleatorias I• Para la ruleta que se muestra enseguida: • ¿Qué probabilidad asignar a cada uno de los sectores en que queda

dividida de la ruleta? ¿En qué basa su respuesta?

• 1. Si se efectuará una vez el experimento de hacer girar la ruleta la ruleta, ¿qué color cree que resulte? ___________________________ ¿Por qué cree eso?

• 2. Si efectuara el experimento de hacer girar la ruleta 10 veces, ¿Cuántas veces cree que saldría cada color?

• Realice la simulación, anote su predicción y el resultado en la tabla siguiente:

color Predicción Simulación

GRIS

BLANCO

TOTAL 10 10

• 3. Si el experimento se efectuara 100 veces, ¿con qué frecuencia se espera que resulte cada color?___________________ ¿Por qué?

• 4. Realice el experimento, registre en la siguiente tabla y agregue la frecuencia relativa para cada color. Comente los resultados obtenidos.

color Predicción Simulación

GRIS

BLANCO

TOTAL 100 100

• 5. Retome la pregunta inicial y comente en términos de las características del experimento y el uso de la frecuencia relativa para estimar la probabilidad.

Sesión 3

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria III

Actividad 7: Nuestros materiales de trabajo• a. ¿Qué aspectos se busca promover en los niños y

jóvenes con el estudio de las matemáticas?• Propósitos (13) Que los niños y jóvenes• Desarrollen formas de pensar que les permitan

formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas, y elaborar explicaciones para ciertos hechos numéricos o geométricos.

• • Utilicen diferentes técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedimientos de resolución.

• • Muestren disposición para el estudio de la matemática y para el trabajo autónomo y colaborativo.

En Educación secundaria

• Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con números enteros, fraccionarios o decimales, para resolver problemas aditivos y multiplicativos.

• • Modelen y resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones hasta de segundo grado, de funciones lineales o de expresiones generales que definen patrones.

• • Justifiquen las propiedades de rectas, segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, círculo, prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera.

• • Utilicen el teorema de Pitágoras, los criterios de congruencia y semejanza, las razones trigonométricas y el teorema de Tales, al resolver problemas.

• • Justifiquen y usen las fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes de diferentes figuras y cuerpos, y expresen e interpreten medidas con distintos tipos de unidad.

• • Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos contenidos en tablas o gráficas de diferentes tipos, para comunicar información que responda a preguntas planteadas por ellos mismos u otros. Elijan la forma de organización y representación (tabular o gráfica) más adecuada para comunicar información matemática.

• • Identifiquen conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, y calculen valores faltantes y porcentajes utilizando números naturales y fraccionarios como factores de proporcionalidad.

• • Calculen la probabilidad de experimentos aleatorios simples, mutuamente excluyentes e independientes.

• 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico• 2. Forma, espacio y medida• 3. Manejo de la información• 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticasSu progresión debe entenderse como:• • Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para

explicar procedimientos y resultados.• • Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se

favorezca la comprensión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.

• • Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajoautónomo.

¿Cuál es la importancia de que exista los estándares curriculares?

• 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico• Este eje temático se subdivide en cuatro temas:• 1.1. Números y sistemas de numeración.• 1.2. Problemas aditivos.• 1.3. Problemas multiplicativos.• 1.4. Patrones y ecuaciones.• 1.1.1. Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios

a decimales y viceversa.• 1.1.2. Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común

múltiplo o el máximo común divisor.• 1.2.1. Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con

expresiones algebraicas.• 1.3.1. Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a

excepción de la división entre polinomios.• 1.4.1. Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla

general lineal o cuadrática de una sucesión.• 1.4.2. Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o

cuadráticas.

• 2. Forma, espacio y medida• Este eje temático se subdivide en dos temas:• 2.1. Figuras y cuerpos.• 2.2. Medida.• Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El

alumno:• 2.1.1. Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares

con base en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.

• 2.1.2. Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera.

• 2.1.3. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos.

• 2.2.1. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen.

• 2.2.2. Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia, superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares.

• 2.2.3. Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas.

• 3. Manejo de la información• Este eje temático se subdivide en los siguientes temas:• 3.1. Proporcionalidad y funciones.• 3.2. Nociones de probabilidad.• 3.3. Análisis y representación de datos.• Los Estándares Curriculares para este eje temático son los

siguientes. El alumno:• 3.1.1. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad

directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.

• 3.1.2. Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.

• 3.2.1. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

• 3.3.1. Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media

• 4. Actitudes hacia el estudio de las matemáticas• Al término de la Educación Básica, el alumno:• 4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como

usuario de las matemáticas, el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y los procesos matemáticos.

• 4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales, sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos procedimientos para resolver los problemas particulares.

• 4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones.

• 4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver problemas.

• Temas de Manejo de la Información en primer gradoa) Proporcionalidad y funcionesI Resolución de problemas de reparto proporcional.II Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en

diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.III Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de

proporcionalidad en situaciones dadas.IV Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.IV Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una

reproducción a escala.V Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.b) Nociones de probabilidadI Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de

estrategias en función del análisis de resultados posibles.III Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento

y su registro en una tabla de frecuencias.IV Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos

para verificar los resultados.c) Análisis y representación de datosIII Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y

relativaIV Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o

revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

• Temas de Manejo de la Información en Segundo gradoa) Proporcionalidad y funcionesI Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar

qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

I Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

II Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.III Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables

con las cantidades que intervienen en dicha relación.IV Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.IV Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las

que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

V Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.V Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.b) Nociones de probabilidadI Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es

menos probable que…”.II Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación

de ésta con la probabilidad teórica.IV Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.V Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.c) Análisis y representación de datosI Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.III Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de

frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.III Análisis de propiedades de la media y mediana.IV Resolución de situaciones de medias ponderadas.

• Temas de Manejo de la Información en Tercer gradoa) Proporcionalidad y funcionesI Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de

las que corresponden a una relación de proporcionalidad.I Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y

fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.III Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos.III Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento,

llenado de recipientes, etcétera.IV Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación

de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.V Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las

que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.

b) Nociones de probabilidadI Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos

mutuamente excluyentes e independientes.II Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de

la suma).III Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).V Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados

equiprobables y no equiprobables.

c) Análisis y representación de datosI Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir

el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.IV Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media

(desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión.

¿Qué opinión tiene de las dificultades que se presentan para implementar el enfoque que propone la reforma?

a) Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta la manera de resolverlos problemas que se les plantean

b) Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas.

c) Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de manera colaborativa.

d) Saber aprovechar el tiempo de la clase. e) Superar el temor a no entender cómo piensan

los alumnos.

¿En qué consiste cada una de las competencias matemáticas que

deberán promoverse?

• Resolver problemas de manera autónoma.

• Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente.

Actividad 8: Entrega de reconocimientos• Para estimular la productividad de sus trabajadores, una empresa ha iniciado un

programa de entrega de reconocimientos y estímulos económicos que consiste en:

• Otorgar un estímulo mensual idéntico a los trabajadores que hayan sobresalido en el cumplimiento de sus tareas (Estimulo mensual).

• Cada seis meses, otorgar un estímulo económico diferenciado a los trabajadores que hayan acumulado méritos suficientes en el cumplimiento de sus responsabilidades (Estímulo semestral).

• Con la finalidad de evitar posibles dificultades para la asignación del estímulo económico, se ha dispuesto una cláusula que establece cuantos serán reconocidos cada vez y condiciona la entrega del premio en caso de que resulten más candidatos que reconocimientos a entregar: “El premio se entregará mediante una selección aleatoria cuando el total de reconocimiento establecidos sea menor que el número de empleados merecedores del premio”.

1. Suponga que para la entrega del estímulo semestral hay cinco candidatos, denotados por A, B, C, D y E; y que sólo se entregarán dos estímulos, ¿Cuáles son las posibles alternativas para otorgar dicho estímulo?

2. ¿Cómo se modifica la respuesta al punto anterior, si se mantiene el total de candidatos y de reconocimientos, pero se tratara de la entrega del estímulo mensual?

3. Si se mantienen las condiciones anteriores y se cambia a tres el total de estímulos a entregar, ¿qué modificaciones haría a las respuestas dadas en los puntos 1 y 2?

4. ¿Qué es más probable para la entrega del estímulo mensual: – Que se seleccionen a los aspirantes B y C,

suponiendo que se entregan dos reconocimientos – Que se seleccionen a los aspirantes B, C y D,

suponiendo que se entregan tres reconocimientos

5. ¿Qué consideraciones realizó para dar respuesta en el punto 4?

Actividad 9: Los juegos de azar• La participación en sorteos, loterías, pronósticos, concursos, etcétera, se caracterizan por ser ambientes en

los cuales el azar “cobra vida” para los jugadores, en algunos casos al favorecerles la “suerte” y en otros al no correr con la “suerte” esperada. Para muchos, participar en un juego de azar puede ser, simplemente, un pasatiempo o bien puede representar la oportunidad de obtener un premio considerable. Enseguida analizaremos dos situaciones típicas a las que nos referimos.

• Situación 1• En la primera situación, vamos a considerar una modalidad conocida. Se tiene una tómbola conteniendo

diez esferas, cada una etiquetada con un dígito diferente. Se trata de adivinar cuáles serán los dígitos que se obtendrán en la extracción aleatoria, con reemplazamiento, de cinco esferas.

1. Enseguida se enlistan algunos resultados posibles (arreglos). Para cada caso, exprese, al menos una característica común :

• 12345, 23456, 34567• 34568, 21678, 90548• 45678, 57801, 89345 • 44567, 22983, 19018 • 33333, 44444, 55555 2. Si tuviera que escoger (para participar en un sorteo), algún arreglo de los anteriores (punto 1), ¿Qué tipo de

arreglo no seleccionaría? Argumente3. Describa todos los posibles resultados en este juego4. ¿Cuántos arreglos pueden formarse bajo las condiciones siguientes: a) sin repetición de dígitos? b) con repetición de dígitos?5. Plantee una estrategia para determinar todos los resultados posibles6. ¿Cuál es la probabilidad de que en una situación como la descrita resulte un arreglo con las características

del punto 3?

• Situación 2• Considera ahora que de una tómbola que contiene

10 esferas numeradas del 1 al 10, se hacen cuatro extracciones aleatorias, pero sin regresar la esfera a la tómbola después de cada extracción. En este caso, se trataría de adivinar cuáles esferas resultarán después de las cuatro extracciones.

1. ¿Cuántos casos son posibles en esta situación? Argumente su estrategia de conteo

2. ¿Cuál será la probabilidad de obtener:a) Todas las esferas etiquetadas con número par?b) Todas las esferas etiquetadas con números menores

que 7?

Actividad 10 Extracción de Canicas de una Urna • Actividad 3: Extracción de canicas de una urna• Consideremos una urna conteniendo cinco canicas azules y tres blancas, de la que planeamos

hacer extracciones sin ver y asegurándonos de revolver las canicas cada vez. Una pregunta sencilla podría ser: ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída sea blanca? Para la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda canica sea blanca?, casi inmediatamente surge la observación de que dicha probabilidad depende si las extracciones son o no con reemplazo. A continuación ésta y otras cuestiones ilustrativas de algunas nociones probabilistas

•Iniciemos con el caso en que las extracciones son con reemplazo. Al hacer una primera extracción, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? •Luego ¿cuál será la probabilidad de que resulte una canica blanca en la segunda extracción? _¿en una tercera? Y ¿cuál es la probabilidad de que resulte blanca en las tres primeras extracciones? •Ahora sin reemplazo, pero una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca una primera extracción?. Luego, ¿cuál será la probabilidad de que resulte una canica blanca en la segunda?¿Y en una tercera? . ¿Cuál es la probabilidad de que resulte blanca en las tres primeras extracciones?•Para revisar las respuestas anteriores proponemos elaborar un árbol de posibilidades y probabilidades para cada caso en el entendido de que sólo necesitamos observar tres extracciones. Para esto adoptemos como notación A para cuando resulta una canica azul y B para cuando resulte blanca, solicitándole completar ambos árboles así como una tabla que resuma la información contenida en dichos árboles.

Árbol de posibilidades y probabilidades para extracciones CON REEMPLAZO

Resultado ruta Probabilidad ruta

5/8 A

AA

B

B

3/8 B

Árbol de posibilidades y probabilidades para extracciones SIN REMPLAZO

Resultado ruta Probabilidad ruta

5/8 A

AA

B

B

3/8 B

Con Remplazo Sin Remplazo

N° de Canicas Blancas

N° de casos presentados

Probabilidad de cada

casoProbabilidad

subtotalProbabilidad

de cada caso

Probabilidad subtotal

0

1

2

3

Total Total

• Después de revisar los puntos anteriores e intercambiar opiniones con tus compañeros, resume las principales conclusiones a las que arribaron acerca de cómo calcular probabilidades tanto cuando se realizan extracciones con reemplazo como con sin él.

• ¿A qué se deben las coincidencias y/o diferencias encontradas?• En la extracción de tres canicas de la urna, determine las siguientes probabilidades:

Con remplazo

Sin Remplazo

P(“resulta sólo una blanca”)=

P(“no resultan azules”)=

P(“resultan dos blancas o dos azules)=

P(“a lo más dos de cada color”)=

P(“dos blancas y dos azules”)=

P(“ninguna azul o ninguna blanca”)=

P(“al menos una blanca y una azul”)=

Sesión 4

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria III

Actividad 11: Evento deportivo• En un evento deportivo escolar, inter-secundarias, se han organizado dos torneos, uno

de futbol y otro de beisbol. Los estudiantes tienen la opción de participar como deportistas o bien como árbitros, pero no pueden hacer ambas cosas, para participar de una o de otra forma deben inscribirse.

• De la escuela Federal No. 1 se inscribieron 37 estudiantes, 22 participarán en futbol, 18 participarán en beisbol y tres participarán como árbitro.

• ¿Cuántos estudiantes de la escuela Federal No. 1:• Participarán en futbol?• Participarán sólo en futbol?• Participarán en beisbol?• Participarán sólo en beisbol?• Participarán en futbol y beisbol?• No participarán en futbol?• No participarán en beisbol?• No participarán en futbol ni en beisbol?• Participarán sólo en un deporte?• Participarán en futbol o en beisbol?• Participará en futbol dado que ya se sabe que participará en beisbol?• Participará en beisbol dado que ya se sabe que participará en futbol?

Actividad 12: Resultados Bimestrales

• En una reunión de profesores en la que presentaron los resultados de las calificaciones de los estudiantes correspondientes al primer bimestre del ciclo escolar, un profesor que imparte las materias de Ciencias y Matemáticas al grupo de 1ro. “A” presentó la información del grupo en la siguiente tabla:

ASIGNATURA SITUACIÓN

MATEMATICAS TOTAL

APROBADOS REPROBADOS

CIENCIAS

APROBADOS 16 4 20

REPROBADOS 14 11 25

TOTAL 30 15 45

1. A partir de la información de la tabla responda:¿Qué porcentaje de estudiantes del grupo 1ro. “A”:a. Reprobaron matemáticas?b. Reprobaron matemáticas pero no Ciencias?c. Aprobaron Ciencias?d. Reprobaron sólo una de las dos materia?e. Aprobaron al menos una de las dos materias?f. Aprobaron las dos materias?g. Aprobaron matemáticas dado que se sabe que aprobaron Ciencias?h. Reprobaron Ciencias dado que se sabe que reprobaron Matemáticas?2. Represente la información de la tabla en un diagrama de Venn.

Actividad 13: Estudiantes de concursoEn una escuela secundaria hay un grupo de 65 estudiantes

que han participado en concursos de ciencias: Matemáticas (M), Física (F) y Química (Q). De acuerdo a los resultados del año pasado los estudiantes están clasificados de acuerdo al tipo de concurso en el que han ganado algún lugar, tal como se muestra en el siguiente diagrama.

9

10

57

12 86

F

M

Q

8

• La escuela ha gestionado una beca para ser asignada entre los estudiantes que han participado en dichos concursos. Los profesores deciden seleccionar, al azar, a un estudiante de los 65 que han participado en alguno de los concursos señalados para proponerlo para que le sea asignada la beca, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante que seleccionen sea alguien que haya ganado algún lugar:

• a. En el concurso de matemáticas?• b. En el concurso de física?• c. En el concurso de química?• d. Sólo en el concurso de matemáticas?• e. Sólo en el concurso de física?• f. Sólo en el concurso de química?

9

10

57

12 8 6

F

M

Q

8

• g. En el concurso de matemáticas y física?• h. Sólo en el concurso de matemáticas y física?• i. Sólo en uno de los tres concursos?• j. Sólo en dos de los tres concursos?• k. En los tres concursos?• l. En al menos uno de los tres concursos?• m. En al menos dos de los tres concursos?• n. En ninguno de los tres concursos?

9

10

57

12 8 6

F

M

Q

8

Actividad 14: Experimentación en situaciones aleatorias II

• Como se puede observar, para la ruleta que se muestra enseguida, si se hace girar el señalador, los posibles resultados a obtener son los colores gris y blanco y los números 1 y 2, pero, ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada resultado posible? Ésta y otras preguntas buscamos responder en la presente actividad.

1. Identificaremos con B el evento “obtener blanco; con G“obtener gris”; con D “obtener dos”; con N “obtener uno”. En general, si tenemos dos eventos A y B, se pueden distinguir tres operaciones con ellos para obtener nuevos eventos: evento “salir A y B”, A∩B; “obtener A o B”, A B; ∪“obtener A y no B”, A-B.

EVENTO Conteo Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Probabilidad

B

G

D

N

G∩N

B∩D

N – G

TOTAL

Experimentalmente haga una estimación de la probabilidad, de los eventos:

• 2. A partir de los resultados obtenidos, ¿Puede establecer alguna relación entre las probabilidades obtenidas y las áreas de los sectores respectivos? ________. Comente con sus compañeros y redacte sus conclusiones

• 3. ¿Qué “probabilidad teórica” asociaría a los sectores de la ruleta 2?

• 4. ¿Qué probabilidad asignaría al evento “obtener un dos si se sabe que cayó en gris”?

• 5. ¿Qué probabilidad asignaría al evento “obtener un blanco si se sabe que cayó en uno”?

Actividad 15: Reflexiones sobre didáctica de la Probabilidad

• 1. Leer la Sección C: Conocimientos didácticos del Capítulo 2: Probabilidad del documento Estocástica y su didáctica para maestros. 2002.

• 2. Una vez realizada la lectura responde lo siguiente:• a. ¿Sabe usted desde que grado, de educación primaria, se contempla el estudio de

situaciones en las que se ponen en juego contenidos de probabilidad y estadística en nuestro país? Si su respuesta es afirmativa, señale el grado en el que aparece cada una de ellas.

• b. ¿Qué se plantea en la lectura sobre el desarrollo de intuiciones sobre el azar en niños pequeños?

• c. ¿Qué se dice acerca de cómo evolucionan las predicciones que hacen los niños respecto a situaciones no deterministas?

• d. ¿Qué tipo de situaciones favorecen, en niños y jóvenes, el desarrollo del pensamiento probabilístico?

• e. ¿Utiliza en sus cursos algunos de los recursos que se proponen en el documento? Si la respuesta es afirmativa, describa la orientación con la que los utiliza.

• f. En el ítem 6 se dice cual es la respuesta correcta, ¿Está usted de acuerdo en que esa es la respuesta correcta? Argumente.

• 3. Elabore sus conclusiones de la actividad.

Sesión 5

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria III

Actividad 16: El examen de admisión.

La siguiente gráfica muestra el número de reactivos correctos obtenidos por un grupo de aspirantes a ingresar al bachillerato en un examen de opción múltiple. A partir de la información representada en la gráfica, determine lo que se le pide a continuación:

1. Si el examen constó de nueve reactivos de falso y verdadero:• ¿Cuáles son todos los valores de la variable estadística involucrada en el problema? • ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen de admisión? _____• ¿Cuántos estudiantes obtuvieron el máximo de reactivos correctos? _____• ¿Cuántos estudiantes obtuvieron cuatro reactivos correctos? _____• ¿Cuántos estudiantes obtuvieron ocho reactivos correctos?_____• ¿Qué consideraciones realizó para dar respuesta a los incisos anteriores? _____• ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo dos o más reactivos correctos? _____• ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo a lo más cuatro reactivos correctos? _____• Proponga una representación tabular para la información presentada en la gráfica.

60

No. de reactivos correctos

No. de estudiantes

II. Si el examen constó de 70 reactivos y el mínimo de reactivos correctos fue 5 y el máximo de 65, considerando la misma representación gráfica:

• j. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen de admisión? _____

• k. De nuevo construye una representación tabular para la información representada en la gráfica.

• l. Explique las consideraciones que hizo para presentar la propuesta tabular solicitada en los incisos i y k.

60

No. de reactivos correctos

No. de estudiantes

Actividad 17: Calificaciones finales• Las tablas que aparecen a continuación contienen los datos de un estudio sobre el número de alumnos

reprobados, de los cursos de Matemáticas y Español, en una (zona escolar) escuela secundaria durante el ciclo escolar 2009-2010. El primer renglón registra el número de alumnos reprobados por grupo y el segundo, el número de grupos en los que ello ocurrió.

• 1) Cursos de Matemáticas I

No. deReprobados 0 1 2 3 4 5 6 7

No. deGrupos 3 6 8 7 5 2 2 1

2) Cursos de Matemáticas II

No. deReprobados 0 1 2 3 4 5 6

No. deGrupos 1 1 3 4 5 3 1

3) Cursos de Matemáticas III

No. deReprobados 1 2 3 4 5 6 7

No. deGrupos 2 2 6 8 10 6 2

4) Cursos de Español I

No. deReprobados 1 2 3 4 5 6 7

No. deGrupos 2 3 7 9 9 6 2

5) Cursos de Español II

No deReprobados 1 2 3 4 5 6 7

No. deGrupos 1 2 6 8 8 5 2

6) Cursos de Español III

No. deReprobados 0 1 2 3 4 5 6 7

No. deGrupos 3 3 4 7 8 6 3 1

• ¿Cuántos grupos de cursos de Matemáticas I se impartieron el ciclo escolar 2009-2010 en la escuela secundaria?, ¿Cuántos de Español II?, ¿Cuántos de Matemáticas III?No. de cursos de Matemáticas INo. de cursos de Español IINo. de cursos de Matemáticas III

•¿Cuántos estudiantes reprobaron cursos de Español I en el ciclo escolar 2009-2010 en la escuela secundaria? ¿Cuántos estudiantes reprobaron algún curso de Matemáticas?

No. de estudiantes que reprobaron cursos de Español INo. de estudiantes que reprobaron cursos de Matemáticas

• Analice y relacione cada uno de los cursos con las gráficas que a continuación se presentan. Utilice la tabla 1 para realizar el concentrado de las relaciones encontradas entre las tablas de frecuencia y las gráficas. En caso de que no exista gráfica para alguna de las tablas de frecuencia, modifique alguna o construya una, asignando en la segunda columna de la Tabla 1 la palabra ninguno. También existe la posibilidad de que un curso se pueda relacionar con más de una gráfica.

Nombre de los cursos Inciso de la gráfica correspondienteMatemáticas IMatemáticas IIMatemáticas IIIEspañol IEspañol IIEspañol III

No. de reprobados

No. de grupos

No de reprobados

No de grupos

No. de reprobados

No de grupos

No de grupos

No. de reprobados

No. de grupos

No. de reprobados

No. de grupos

•Explique los elementos que consideró para realizar la relación entre las tablas de frecuencia y las gráfica

• Actividad 18: La carga académica de los profesores• Para que el rendimiento de un profesor no se vea afectado por el exceso de trabajo en el aula, se recomienda que deba

atender a lo más 5 grupos diarios, con duración de una hora por grupo. Un estudio acerca del número de grupos que los profesores de estudiantes de nuevo ingreso en una escuela secundaria imparten, indica que todos ellos imparten cinco grupos o menos. Se tiene además, la siguiente información:

• 1. Profesores de Matemáticas.– Hay exactamente trece profesores de Matemáticas– Los profesores de Matemáticas atienden al menos dos grupos diariamente y cuando mucho cuatro.– Tres profesores son lo que imparten menos grupos diarios.– Los que imparten más grupos son cuatro profesores.– La mayoría de los maestros que imparten Matemáticas, tienen exactamente tres grupos diarios.

• 2. Profesores de Ciencias.– En estos profesores se dieron todas las posibilidades del número de grupos diarios impartidos.– Un solo profesor es el que menos grupos imparte diariamente.– Tres profesores imparten al día dos grupos.– El número de grupos diarios impartidos donde coinciden más profesores, es tres.– La gráfica que representa la información acerca del número de grupos impartidos por profesores de Ciencias es una figura simétrica

• 3. Profesores de Lenguas Extranjeras.– De los nueve profesores de Lenguas Extranjeras, todos tuvieron un número impar de grupos diarios impartidos.– Es igual el número de profesores, independientemente de cuál sea el número de grupos diarios que imparta.

• 4. Profesores de Historia.– En este caso hubo cuatro posibilidades para el número de grupos diarios impartidos.– Ninguno de los profesores imparte el mínimo de grupos diarios.– El número de profesores que imparten menos cantidad de grupos diarios es igual al número de profesores que imparten mayor

cantidad y en ambos casos es de dos profesores.• 5. Profesores de Español.

– En el caso de estos profesores no se observaron casos extremos, en cuanto al número de curso diarios impartidos.– Entre estos profesores, sólo hay dos que imparten dos grupos.– Hay diez profesores que imparten más de dos grupos.

• 6. Profesores de Educación Física.– El profesor de deportes tiene a su cargo cinco grupos diarios.

• Relacione las gráficas que se presentan a continuación con las seis diferentes descripciones que presentaron anteriormente, utilizando la tabla 2 para el concentrado de las relaciones. En caso de que no exista gráfica para alguna de las tablas de frecuencia, modifique alguna o construya una, asignando en la segunda columna de la Tabla 2, la palabra ninguna.

Descripción de los profesores de: Inciso de la gráfica correspondienteMatemáticas CienciasLenguas ExtranjerasHistoriaEspañol Educación Física

• Describe los aspectos que consideró para dar respuesta al planteamiento hecho en el inciso (a.

Actividad 19: El gasto semanal de los estudiantes• El siguiente polígono de frecuencias representa la información sobre el gasto

semanal efectuado por un grupo de 300 estudiantes de una escuela secundaria.

0 11 22 33 44 55 66 77 880

20

40

60

80

100

120

Cantidad de dinero gastada (en pesos)

Núm

ero

de e

stud

iant

es

• Realice el histograma de frecuencias correspondiente.• Usando la información del polígono de frecuencias, describe el comportamiento de la cantidad de dinero gastada por los estudiantes semanalmente.• Realice a partir de la información proporcionada por el polígono de frecuencia una tabla de frecuencias relativas y una tabla de frecuencias absolutas.

Actividad 20: Tiempo de realización de una actividad• Con la intensión de estimar el tiempo (en minutos) que les llevará a los estudiantes

realizar una actividad de aprendizaje en el centro de cómputo, un profesor ha piloteado la actividad con un grupo de estudiantes. Los resultados obtenidos se encuentran representados en el siguiente diagrama de tallo y hoja. Tallo Hoja3 0 24 0 0 556 0 0 5 87 0 0 0 5 68 0 0 3 5 6 7 8 89 0

Con la información del diagrama de tallo y hoja, conteste lo siguiente:•¿Cuántos estudiantes realizaron la actividad? _____• ¿Cuántos estudiantes tardaron más de 40 minutos en realizar la actividad? __•¿Qué porcentaje de estudiantes tardaron menos de 40 minutos en realizar la actividad? •¿Qué proporción de estudiantes tardo una hora ó más en realizar la actividad?•¿Qué puede decir de la distribución de los tiempos representados en el diagrama de tallo y hoja? •¿Son simétricos ó asimétricos (sesgados)? ¿Dónde se observa agrupamiento de datos?•Si el profesor sólo puede utilizar una hora el centro de cómputo para realizar la actividad de aprendizaje y basado en el resultado obtenido, ¿Debe realizar ajustes en la actividad que permita a los estudiantes realizarla en una hora?

• En el siguiente diagrama de tallo y hoja se presentan los tiempos, en minutos, que utilizaron los alumnos de un grupo de estudiantes para realizar una evaluación de un curso de Matemáticas I.

Tallo Hoja

2 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 6 6 7 9 93 0 0 0 0 0 5 5 5 6 64 0 0 0 0 55 0 5 56 0 0

•¿Qué puede decir de la distribución de los tiempos representados en el diagrama de tallo y hoja? •¿Son simétricos ó asimétricos (sesgados)? •¿Hacia dónde se observa acumulación de datos?•¿Qué conclusiones viables pueden establecerse sobre el diseño del examen, con base en los resultados observados en el diagrama de tallo y hoja?

Sesión 6

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria III

Actividad 21: Los resultados de los cursos de matemáticas.• En una escuela secundaria se realizó un estudio para conocer los resultados obtenidos

en las asignaturas de matemáticas durante los años 2005-2010, con la intensión de evaluar el desempeño académico de los estudiantes en los cursos de Matemáticas. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente gráfica

2005 2006 2007 2008 2009 20100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Resultados histórico 2005-2010

Califi

cacio

nes p

rom

edio

s

•Realice un análisis de los resultados obtenidos por los estudiantes en los últimos tres años. A partir de la información proporcionada por la gráfica:

•Señale algún elemento que puede estar impactando en los resultados en los últimos tres años.

En la gráfica siguiente se muestran los resultados obtenidos en un estudio realizado por los directivos de una escuela secundaria, sobre el desempeño académico de los estudiantes del turno matutino y vespertino en los cursos de Matemáticas, durante los años 2004-2009.

• Realice un análisis comparativo de los resultados obtenidos en los turnos durante los años 2004-2005.

• Durante los años 2006-2009.

2004 2005 2006 2007 2008 20090

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Resultados históricos 2004-2009

Matutinovespertino

Califi

cació

n pr

omed

io

Actividad 22: El sitio A de internet• Los siguientes datos, representan edades (en años) de una muestra de

personas que han visitado el sitio A de internet durante un día determinado:• 10, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18, 20, 20, 21, 23, 24, 24, 24, 25, 25,25, 25, 26, 26,

27, 27, 27, 28, 29, 30,31, 32, 33, 33,34, 35, 35, 36, 38, 38, 38, 38, 38 45, 47, 50, 51, 54, 55, 56, 59, 63, 66, 80, 85.

• De qué tamaño es la muestra? _____• Encuentre los valores del primer, segundo y tercer cuartil.• Q1=_____; Q2=_____ y Q3=_____.

• Calcule el Rango intercuartílico. RI= Q3 – Q1=_____.• Calcule las barreras interiores• f1= Q1-1.5RI=_____ y f2= Q3+1.5RI=_____.

• Localice los valores adyacentes, a1=_____ y a2=_____.• ¿Existen datos atípicos? En caso de ser positiva su respuesta, diga cuales son

los valores. Construye el diagrama de caja para las edades de las personas que visitan el sitio A de internet.

• Escribe dos interpretaciones en relación a las edades de las personas que visitan el sitio A, con base en el diagrama de caja.

Actividad 23: Las ventas de las sucursales• En la siguiente figura se muestra las últimas 1000 ventas en miles de pesos, realizadas por

cada una de tres sucursales de ventas accesorios y productos de belleza para el cabello.

Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

• Con base en la información proporcionada, asigne en el paréntesis, el número de la sucursal que cumpla con cada una de las siguientes doce afirmaciones.

(1) Sucursal 1(2) Sucursal 2 (3) Sucursal 3 (4) Ninguna

• ( )El 50% de las ventas fueron superiores o iguales a $ 6,000.00• ( )Las ventas tienen una distribución sesgada a la derecha• ( ) El rango intercuartílico de las ventas es de $ 2,000.00• ( ) El 50% de las ventas fueron entre $ 3,000.00 y $ 7,000.00.• ( ) La máxima venta realizada fue de $ 10,000.00.• ( ) El 50% de las ventas fueron entre $ 3,000.00 y $ 6,000.00• ( ) La mediana de las ventas fue de $ 6,000.00.• ( ) El 25% de las ventas fueron menores o iguales a $ 5,000.00• ( ) El 25% de las ventas fueron entre $ 3,000.00 y $ 5,0000.• ( ) El 75% de las ventas fueron superiores o iguales a $ 1,000.00.• ( ) El 25% de las ventas fueron entre $ 4,000.00 y $ 6,000.00• ( ) El 75% de las ventas fueron inferiores o iguales a $ 6,000.00.• ( ) ¿Cuál es la sucursal que proporciona más beneficio económico? _____• Argumente la respuesta del inciso anterior.

Actividad 24: El examen parcial• En un examen parcial de un curso de Matemáticas la

máxima calificación obtenida fue de 90 puntos, la mínima fue de 20 puntos. Además el 25% de los estudiantes obtuvieron calificaciones menores o iguales a 50 puntos, el 50% sacó calificaciones menores o iguales a 70 puntos y el 75% de los estudiantes obtuvieron calificaciones menores o iguales a 75 puntos. Además no existieron calificaciones atípicas:

• Construye el diagrama de caja correspondiente. • Con base en los resultados obtenidos por los estudiantes,

¿Qué conclusiones puede establecer?• Para establecer las conclusiones del inciso anterior ¿Qué es

más útil, la descripción del enunciado o el diagrama de caja y brazos? Argumente su elección.

Actividad 25: Reflexiones sobre didáctica de la Estadística

• Leer la Sección ¿Cómo enseñar estadística? del artículo ¿Hacia dónde va la educación estadística? Este documento está disponible en http://www.ugr.es/~batanero/publicaciones%20index.htm

• Una vez realizada la lectura y tomando en cuenta las discusiones generadas en las sesiones de trabajo, Redacte su conclusión de la actividad en la que exponga el resultado de sus reflexiones.

• Vayamos diseñando, por equipo, una actividad didáctica, dirigida a sus alumnos, en la que deberá considerar los siguientes aspectos:– Grado escolar al que está dirigido.– Competencias disciplinares que promueve.– Conceptos matemáticos que involucra.– Metodología propuesta para su instrumentación.– Materiales didácticos que requiere.– Elementos para su evaluación.

Sesión 7

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria III

Actividad 26. La edad de las personas• A continuación se presentan las edades (años) de tres grupos de

personas que asistieron a un convivio de cumpleaños: • Grupo 1: 18, 19, 18, 18, 17, 19, 17, 19, 18,17.• Grupo 2: 10, 12, 11, 10, 11, 10, 10, 10, 10, 86.• Grupo 3; 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18.• Para cada grupo de personas responda lo siguiente:• ¿Cuántas personas asistieron al convivio de cumpleaños en cada

grupo?• Grupo1 _______; Grupo 2 ______; Grupo 3 _______• ¿Cuál es la media aritmética (promedio) de las edades de cada grupo?• Grupo1 _______; Grupo 2 ______; Grupo 3 _______• ¿Cuántas personas tienen en cada grupo una edad igual al valor de la

media aritmética?• Grupo1 _______; Grupo 2 ______; Grupo 3 _______• ¿En cuál de los tres grupos es la media aritmética el mejor

representante de las edades de las personas que asistieron al convivio de cumpleaños? Argumente su respuesta.

Actividad 27: El peso de un mismo objeto

• Un grupo de niños está aprendiendo a usar una balanza para pesar, cada uno pesa una misma caja de galletas obteniendo los siguientes pesos (en gramos):

• 595, 600.5, 597, 595, 600, 600, 600.3, 600.4 y 600

• ¿Cuál es la mejor estimación del peso real de la caja de galletas? _________________________________

• Explique su respuesta

Actividad 28: Número de reactivos correctos

1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

14

16

No de reactivos correctos

No

de e

stud

iant

es

La siguiente gráfica muestra el número de reactivos correctos obtenidos por un grupo de estudiantes en un examen de falso y verdadero.

• Considere la información proporcionada en la gráfica y conteste lo siguiente:

• Determine el valor de la media aritmética, la mediana y la moda.• ¿Cuántos estudiantes obtuvieron el número de reactivos correctos

correspondientes al valor de la media aritmética? _____• ¿Cuántos estudiantes obtuvieron el número de reactivos correctos

correspondientes al valor de la moda? _____• ¿Cuántos estudiantes obtuvieron el número de reactivos correctos

correspondientes al valor de la mediana? _____• ¿Cuál considera que es la mejor medida de tendencia central para

esta situación? __________• Justifique la respuesta al inciso anterior.

No de Reactivos Correctos

Media Aritmética

Mediana

Moda

Actividad 29: Resultados de una evaluación de MatemáticasLa tabla siguiente muestra el resultado obtenido por un grupo de

estudiantes de secundaria en un examen de Matemáticas I.Calificación No. de estudiantes

5 16 207 108 39 0

10 1

Calcule la media, la mediana y la moda Media aritmética Mediana Moda

•Decide cuál es el mejor representante de los resultados de los estudiantes; es decir la media aritmética, la moda o la mediana. Justifique su respuesta.

Actividad 30: El peso de los profesoresEn la siguiente tabla se presenta el peso de una muestra de

profesoresPeso en kilogramos No. de profesores

50 ≤ x < 58 558 ≤ x < 66 1566 ≤ x < 74 3074 ≤ x < 82 6082 ≤ x < 90 3090 ≤ x < 98 1598 ≤ x < 106 5

A partir de la información proporcionada por la tabla:•Calcule la media, la mediana y la moda.

Media aritmética Mediana Moda

•¿A qué atribuye el resultado?•Compare los valores calculados, ¿Cómo son entre ellos? __________

•¿Cuál considera que sea en esta situación el mejor representante del peso de los profesores? Argumente su respuesta.

Actividad 31: La evaluación de matemáticas

• En una escuela secundaria hay cuatro grupos de tercer grado. De cada grupo se escogen, por sorteo, cinco alumnos a los que se les aplica una evaluación de matemáticas. Pensemos que la recta numérica es una varilla sin peso, imaginemos que en los puntos asociados a cada calificación se colocan tantos ganchitos, de igual peso, como veces se presenta ésta. Cada imagen corresponderá a un grupo. La media aritmética está representada por el punto en el que la varilla queda suspendida en equilibrio, y el valor del rango por la distancia entre los ganchitos extremos.

• Imagen del Grupo 1 Imagen del Grupo 2

2 4 5 7 83 9 102 4 5 7 83 9 10

Imagen del Grupo 3 Imagen del Grupo 4

2 4 5 7 83 9 102 4 5 7 83 9 10

• los valores que representan las calificaciones en cada grupo y llene la siguiente tabla:

Rango Media aritméticaGrupo 1Grupo 2Grupo 3Grupo 4

• Compare los resultados entre los grupos y diga si es suficiente para diferenciar a los grupos en cuanto a su aprovechamiento (suponiendo que el aprovechamiento se mide en función de la calificación obtenida). Argumente su respuesta.•Ahora estime las desviaciones estándar (S) sólo observando las imágenes y elabore una propuesta respecto a qué grupo considera tiene una mayor desviación estándar, quien le sigue y así sucesivamente hasta terminar en el de menor desviación estándar.S del Grupo____ > S del Grupo____ > S del Grupo____ > S del Grupo____

• Ahora realice el cálculo de las desviaciones estándar para cada grupo y compare los resultados con los que usted propuso en el inciso anterior, en caso de no coincidir, reflexione sobre el concepto que usted tiene de las desviaciones estándar y si considera necesario lea más sobre este concepto y/o discuta con sus compañeros lo que ellos entienden por desviación estándar.

Desviación estándar

Grupo 1Grupo 2Grupo 3Grupo 4

•Con base en los resultados obtenidos, y utilizando tanto las medidas de tendencia central como las de dispersión, decide cuál fue el mejor grupo en cuanto a su aprovechamiento.

Actividad 32: La vida útil de los focosCon la intención de comparar la vida útil de dos marcas diferentes de focos, se toman muestras aleatorias independientes de ambas marcas obteniéndose la siguiente información.Vida útil (horas)

Número de focosMarca A Marca B

1250 3 101350 8 121450 15 151550 21 201650 50 301750 21 201850 15 151950 8 122050 3 10

•¿Cómo es la distribución de la vida útil de los focos de cada marca? Sugerencia: construya o visualice el diagrama de tallo y hoja para la vida útil de cada marca de focos.•¿De qué tamaño es la muestra de focos de la marca A?•¿De qué tamaño es la muestra de focos de la marca B? Calcule la media aritmética y la desviación estándar de la vida útil de cada marca de focos.

Media aritmética Desviación estándarMarca AMarca B

Con base en los elementos anteriores decida qué marca de focos es más conveniente comprar. Justifique su respuesta

Actividad 33: El aprovechamiento de los gruposA continuación se presentan las gráficas de las calificaciones obtenidas por dos grupos.

• Si la mínima calificación del grupo 1 fue de cero y la máxima calificación del grupo 2 fue de 100.• ¿Cómo es la distribución de las calificaciones de cada grupo?• Elije la respuesta que considere correcta con base en la información proporcionada en las gráficas.• ¿Cómo es el número de estudiantes (n1) del grupo 1, con relación al del grupo 2 (n2)?

• a) n1 > n2 b) n1 = n2 c) n1 < n2

• ¿Cómo es la desviación estándar (S1) de las calificaciones del grupo 1 con relación a la del grupo 2 (S2)?

• a) S1>S2 b) S1< S2 c) S1 = S2

• Justifique la respuesta al inciso anterior.• ¿Cómo es la media aritmética del grupo 1 en relación al grupo 2?• a)Ẋ1 = Ẋ2 b) Ẋ1 < Ẋ2 c) Ẋ1 > Ẋ2 • Decide qué grupo obtuvo mejor aprovechamiento, en términos de la media aritmética, la desviación

estándar, así como la distribución de las calificaciones en general. Argumente su respuesta.• Si la mínima calificación del grupo 1 fue 80 y la máxima calificación del grupo 2 fue de 100 ¿Cambia la

conclusión del inciso f? Explique su respuesta.

Grupo 1

Grupo 2

Calificaciones