La Didaacutectica de las Matemaacuteticas una visioacuten general

D Juan Antonio Garciacutea Cruz Introduccioacuten Didaacutectica de cualquier materia significa en palabras de Freudenthal (1991 p 45) la organizacioacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje relevantes para tal materia Los didactas son organizadores desarrolladores de educacioacuten autores de libros de texto profesores de toda clase incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal Para Brousseau (Kieran 1998 p596) la didaacutectica es la ciencia que se interesa por la produccioacuten y comunicacioacuten del conocimiento Saber que es lo que se estaacute produciendo en una situacioacuten de ensentildeanza es el objetivo de la didaacutectica Debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situacioacuten de ensentildeanza y aprendizaje Schoenfeld (1987) postula una hipoacutetesis baacutesica consistente en que a pesar de la complejidad las estructuras mentales de los alumnos pueden ser comprendidas y que tal comprensioacuten ayudaraacute a conocer mejor los modos en que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar El centro de intereacutes es por lo tanto explicar queacute es lo que produce el pensamiento productivo e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la didaacutectica de las matemaacuteticas produce dos reacciones extremas En la primera estaacuten los que afirman que la didaacutectica de la matemaacutetica no puede llegar a ser un campo con fundamentacioacuten cientiacutefica y por lo tanto la ensentildeanza de la matemaacutetica es esencialmente un arte En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didaacutectica como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando soacutelo un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma Steiner considera que la didaacutectica de la matemaacutetica debe tender hacia lo que Piaget denominoacute transdisciplinariedad lo que situariacutea a las investigaciones e innovaciones en didaacutectica dentro de las interacciones entre las muacuteltiples disciplinas (Psicologiacutea Pedagogiacutea Sociologiacutea entre otras sin olvidar a la propia Matemaacutetica como disciplina cientiacutefica) que permiten avanzar en el conocimiento de los problemas planteados La didaacutectica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro uacuteltimas deacutecadas de este siglo Sin embargo no ha acabado la lucha entre el idealista que se inclina por potenciar la comprensioacuten mediante una visioacuten amplia de la matemaacutetica y el praacutectico que clama por el restablecimiento de las teacutecnicas baacutesicas en intereacutes de la eficiencia y economiacutea en el aprendizaje Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos de investigadores innovadores y profesores de matemaacuteticas de los diferentes niveles educativos Para una visioacuten histoacuterica del desarrollo de la didaacutectica remitimos al lector interesado a una reciente publicacioacuten (Kilpatrick Rico y Sierra 1992) donde el primer autor muestra una amplia panoraacutemica desde una perspectiva internacional y los otros dos autores se centran maacutes en el desarrollo de la misma en Espantildea durante el siglo XX

1 La tendencia curricular conocida como matemaacutetica moderna A finales de los antildeos cincuenta y comienzo de la deacutecada de los sesenta se produce un cambio curricular importante en la ensentildeanza de las matemaacuteticas escolares conocida como la nueva matemaacutetica o matemaacutetica moderna Las bases filosoacuteficas de este movimiento se establecieron durante el seminario de Royamount celebrado en 1959 En el transcurso del mismo el famoso matemaacutetico franceacutes Jean Diudonneacute lanzoacute el grito de abajo Euclides y propuso ofrecer a los estudiantes una ensentildeanza basada en el caraacutecter deductivo de la matemaacutetica y que partiera de unos axiomas baacutesicos en contraposicioacuten a la ensentildeanza falsamente axiomaacutetica de la geometriacutea imperante en aquellos momentos En ese mismo seminario la intervencioacuten de otro matemaacutetico franceacutes G Choquet va en el mismo sentido disponemos de un excelente ejemplo el conjunto de los nuacutemeros enteros donde estudiar los principales conceptos del aacutelgebra como son la relacioacuten de orden la estructura de grupo la de anillo Estas dos intervenciones se pueden considerar como paradigmaacuteticas del movimiento que se inicia pues la primera dibuja el enfoque que ha de caracterizar la ensentildeanza de la matemaacutetica y la otra cuaacutel es el contenido maacutes apropiado La idea en principio pareciacutea bastante loacutegica y coherente Por un lado se pretendiacutea transmitir a los alumnos el caraacutecter loacutegico-deductivo de la matemaacutetica y al mismo tiempo unificar los contenidos por medio de la teoriacutea de conjuntos las estructuras algebraicas y los conceptos de relacioacuten y funcioacuten de la matemaacutetica superior A finales de los sesenta y principios de los setenta parece claro que la nueva matemaacutetica ha sido un fracaso Surgen entonces algunas voces en contra del enfoque adoptado como es el caso de R Thom (Modern Mathematics does it exist (1973) Ellos los bourbakistas abandonaron un campo ideal para el aprendizaje de la investigacioacuten La geometriacutea eucliacutedea mina inagotable de ejercicios y la sustituyeron por las generalidades de los conjuntos y la loacutegica materiales tan pobres vaciacuteos y frustrantes para la ensentildeanza como los que maacutes El eacutenfasis puesto por los estructuralistas en la axiomaacutetica no es soacutelo una aberracioacuten pedagoacutegica sino tambieacuten matemaacutetica El fracaso del movimiento conocido como la matemaacutetica moderna pues no se aprenden los conceptos ni las estructuras superiores y ademaacutes los alumnos siguen sin dominar las rutinas baacutesicas del caacutelculo produce nuevos movimientos renovadores Entre estos movimientos en lo que sigue nos referiremos a los conocidos como retorno a lo baacutesico la resolucioacuten de problemas y la matemaacutetica como actividad humana El retorno a lo baacutesico (Back to Basic) supuso para las matemaacuteticas escolares retomar la praacutectica de los algoritmos y procedimientos baacutesicos de caacutelculo Despueacutes de un tiempo se hizo evidente que tal retorno a lo baacutesico no era la solucioacuten razonable a la ensentildeanza de las matemaacuteticas Los alumnos en el mejor de los casos aprendiacutean de memoria los procedimientos sin comprenderlos A finales de los setenta empezoacute a cuestionarse el eslogan retorno a lo baacutesico iquestQueacute es lo baacutesico Ya que no pareciacutea posible ensentildear matemaacuteticas modernas iquesthabriacutea que ensentildear matemaacuteticas baacutesicas Esta uacuteltima pregunta nos lleva a otra de forma natural iquestqueacute son matemaacuteticas baacutesicas iquestla geometriacutea elemental iquestla aritmeacutetica Habiacutea demasiadas opiniones sobre queacute es lo baacutesico Esta pregunta impregnoacute el III Congreso Internacional de Educacioacuten Matemaacutetica (ICME) celebrado en Berkeley en el verano de 1980 iquestPodriacutea ser la resolucioacuten de problemas el foco de atencioacuten y respuesta a esa pregunta Casi como una bienvenida a todos los profesores que asisten al ICME el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) edita su famosa Agenda in Action para toda la deacutecada de los ochenta Asiacute la resolucioacuten de problemas the problem solving

approach se pretende que sea algo maacutes que otro eslogan y se convierta en toda una tarea a desarrollar a interpretar y a llevar a cabo En el congreso de Berkeley hay un invitado de honor especial H Freudenthal que interviene en una ponencia bajo el tiacutetulo Major Problems of Mathematics Education (Grandes problemas de la educacioacuten matemaacutetica) Asiacute comenzoacute H Freudenthal su intervencioacuten Perdonadme no fui yo quieacuten eligioacute este tema aunque cuando se me propuso experimente un gran reto Un reto de verdad pero para ser sinceros no como para emular a D Hilbert quieacuten anuncioacute sus famosos 23 problemas de matemaacuteticas en el congreso internacional de matemaacuteticas celebrado en Pariacutes en 1900 que tanto influyeron el desarrollo y curso de las investigaciones matemaacuteticas a lo largo de este siglo Para a continuacioacuten rechazar el camino seguido por Hilbert y considerar como su centro de intereacutes los problemas que surgen en la educacioacuten matemaacutetica como una actividad social y no soacutelo como campo de investigacioacuten educativa Creo que es importante y clarificadora esta toma de postura de Freudenthal pues a continuacioacuten entra de lleno en el problema que considera no maacutes importante pero siacute maacutes urgente Lo que es un problema es coacutemo formularlo correctamente y sin errores Why can Johnny not do arithmetic parodiando el tiacutetulo de un famoso libro de M Kline que aquiacute fue traducido como El Fracaso de la Matemaacutetica Moderna para preguntarse si suena sexista tal cuestioacuten y si no sonaraacute maacutes sexista auacuten si la formula como Why can Mary not do arithmetic pues esta uacuteltima formulacioacuten sugeririacutea que las nintildeas son mucho peores que los nintildeos en aritmeacutetica Por uacuteltimo Freudenthal reformula la pregunta de forma maacutes concreta Why can Jennifer not do arithmetic Jennnifer no es un ser abstracto es una alumna que a los ocho antildeos teniacutea graves fallos en aritmeacutetica y que habiacutean desaparecido a la edad de once antildeos despueacutes de una atencioacuten particularizada En contra del planteamiento general que encierra la pregunta Why can Johnny not do arithmetic Freudenthal opta por un enfoque particular asiacute la pregunta Why can Jennifer not do arithmetic tiende a plantear un problema particular individual que permita abordar el problema personal que Jennifer tiene con la aritmeacutetica y sobre todo a profundizar en queacute aspectos del aprendizaje de Jennifer la han conducido al fracaso Tanto Polya (que no pudo asistir pero que envioacute una nota de excusa en la que planteaba queacute puede hacer el profesor para mejorar la mente de sus alumnos) como Freudenthal situacutean en centro de atencioacuten sobre el aprendizaje el primero solicitando de los profesores un compromiso con el aprendizaje de sus alumnos hacia la adquisicioacuten y mejora de las capacidades intelectuales el segundo en concretar particularizar los problemas derivados de la ensentildeanza y en investigar los aprendizajes individuales para dar posibles soluciones a los aparentes fracasos y obtener ejemplos paradigmaacuteticos de diagnosis y prescripcioacuten de los mismos Freudenthal hace una llamada a la conciencia de todos los profesores e investigadores para que estos ejemplos se registren y se transmitan de tal forma que unos puedan aprender de los otros y se gestione de forma efectiva el conocimiento en educacioacuten matemaacutetica 2 Estilos de ensentildeanza La matemaacutetica como actividad posee una caracteriacutestica fundamental La Matematizacioacuten Matematizar es organizar y estructurar la informacioacuten que aparece en un problema identificar los aspectos matemaacuteticos relevantes descubrir regularidades relaciones y estructuras Treffer en su tesis (1978) distingue dos formas de matematizacioacuten la matematizacioacuten horizontal y la matematizacioacuten vertical

La matematizacioacuten horizontal no lleva del mundo real al mundo de los siacutembolos y posibilita tratar matemaacuteticamente un conjunto de problemas En esta actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos IDENTIFICAR las matemaacuteticas en contextos generales ESQUEMATIZAR FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras DESCUBRIR relaciones y regularidades RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas TRANSFERIR un problema real a uno matemaacutetico TRANSFERIR un problema real a un modelo matemaacutetico conocido La MATEMATIZACIOacuteN VERTICAL consiste en el tratamiento especiacuteficamente matemaacutetico de las situaciones y en tal actividad son caracteriacutesticos los siguientes procesos REPRESENTAR una relacioacuten mediante una foacutermula UTILIZAR diferentes modelos REFINAR y AJUSTAR modelos COMBINAR e INTEGRAR modelos PROBAR regularidades FORMULAR un concepto matemaacutetico nuevo GENERALIZAR Estos dos componentes de la matematizacioacuten pueden ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la ensentildeanza de la matemaacutetica Estructuralismo Para el estructuralismo la matemaacutetica es una ciencia loacutegico deductiva y ese caraacutecter es el que debe informar la ensentildeanza de la misma El estilo estructuralista hunde sus raiacuteces histoacutericas en la ensentildeanza de la geometriacutea eucliacutedea y en la concepcioacuten de la matemaacutetica como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado Es por lo que a los ojos de los estructuralistas a los alumnos se les debe ensentildear la matemaacutetica como un sistema bien estructurado siendo ademaacutes la estructura del sistema la guiacutea del proceso de aprendizaje Ese fue y sigue siendo el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de Matemaacutetica Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros diacuteas El estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la componente vertical Mecanicismo El estilo mecanicista se caracteriza por la consideracioacuten de la matemaacutetica como un conjunto de reglas A los alumnos se les ensentildea las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos Raramente se parte de problemas reales o cercanos al alumno maacutes auacuten se presta poca atencioacuten a las aplicaciones como geacutenesis de los conceptos y procedimientos y mucha a la memorizacioacuten y automatizacioacuten de algoritmos de

uso restringido El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematizacioacuten El ataque maacutes demoledor a esta planteamiento de ensentildeanza proviene de HFreudenthal (1991) De acuerdo con la filosofiacutea mecanicista el hombre es como una computadora de tal forma que su actuacioacuten puede ser programada por medio de la praacutectica En el nivel maacutes bajo es la praacutectica en las operaciones aritmeacuteticas y algebraicas (incluso geomeacutetricas) y la solucioacuten de problemas que se distinguen por pautas faacutecilmente reconocibles y procesables Es en este el maacutes bajo nivel dentro de la jerarquiacutea de los maacutes potentes ordenadores donde se situacutea al hombre Freudenthal termina su alegato con la siguiente pregunta dirigida a sus propagadores iquestPor queacute ensentildear a los alumnos a ejecutar tareas al nivel en el que los ordenadores son mucho maacutes raacutepidos econoacutemicos y seguros Empirismo Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno lo concreto La ensentildeanza es baacutesicamente utilitaria los alumnos adquieren experiencias y contenidos uacutetiles pero carece de profundizacioacuten y sistematizacioacuten en el aprendizaje El empirismo estaacute enraizado profundamente en la educacioacuten utilitaria inglesa Realista El estilo realista parte asiacute mismo de la realidad requiere de matematizacioacuten horizontal pero al contrario que en el empiricista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes poniendo la atencioacuten en el desarrollo de modelos esquemas siacutembolos etc El principio didaacutectico es la reconstruccioacuten o invencioacuten de la matemaacutetica por el alumno asiacute las construcciones de los alumnos son fundamentales Es una ensentildeanza orientada baacutesicamente a los procesos Este estilo surgioacute en los Paiacuteses Bajos partiendo de las ideas de Freudenthal y ha sido desarrollado por los actuales miembros del Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht ( wwwfiuunl ) Los estilos empiricista y realista desarrollan bastante la componente horizontal pero soacutelo el uacuteltimo presta atencioacuten a la componente vertical que es casi inexistente en el primero 3 La resolucioacuten de problemas La heuriacutestica o ars inveniendi teniacutea por objeto el estudio de las reglas y de los meacutetodos de descubrimiento y de la invencioacuten La heuriacutestica moderna inaugurada por Polya con la publicacioacuten de su obra How to solve it (Polya 1945) trata de comprender el meacutetodo que conduce a la solucioacuten de problemas en particular las operaciones tiacutepicamente uacutetiles en este proceso 31 iquestQueacute es un problema Polya no definioacute lo que entendiacutea por problema cuando escribioacute su libro en 1945 Sin embargo en su libro Mathematical Discovery (Polya 1961) se vio obligado a proporcionar una definicioacuten Pero no para empezar su disertacioacuten sino en el capiacutetulo 5 y despueacutes de una amplia exposicioacuten praacutectica sobre algunos procesos que intervienen en la resolucioacuten de

problemas Tener un problema significa buscar de forma consciente una accioacuten apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata Otra definicioacuten parecida a la de Polya es la de Krulik y Rudnik Un problema es una situacioacuten cuantitativa o de otra clase a la que se enfrenta un individuo o un grupo que requiere solucioacuten y para la cuaacutel no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik 1980) De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes 1) Aceptacioacuten El individuo o grupo debe aceptar el problema debe existir un compromiso formal que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas 2) Bloqueo Los intentos iniciales no dan fruto las teacutecnicas habituales de abordar el problema no funcionan 3) Exploracioacuten El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploracioacuten de nuevos meacutetodos para atacar el problema Tambieacuten ha existido cierta poleacutemica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio o un auteacutentico problema Lo que para algunos es un problema por falta de conocimientos especiacuteficos sobre el dominio de meacutetodos o algoritmos de solucioacuten para los que siacute los tienen es un ejercicio Esta cuestioacuten aunque ha sido planteada en varias ocasiones no parece un buen camino para profundizar sobre la resolucioacuten de problemas R Borasi (1986) en uno de los primeros intentos en clarificar la nocioacuten de problema originada por su intereacutes en mejorar la ensentildeanza de la resolucioacuten de problemas utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipologiacutea de problemas El contexto del problema la situacioacuten en la cuaacutel se enmarca el problema mismo La formulacioacuten del problema definicioacuten expliacutecita de la tarea a realizar El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema El meacutetodo de aproximacioacuten que podriacutea usarse para alcanzar la solucioacuten Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificacioacuten Tipo Contexto Formulacioacuten Soluciones Meacutetodo ejercicio inexistente Uacutenica y expliacutecita Uacutenica y exacta Combinacioacuten de

algoritmos conocidos

Problema con texto

Expliacutecito en el texto

Uacutenica y expliacutecita Uacutenica y exacta Combinacioacuten de algoritmos conocidos

Puzzle Expliacutecito en el texto

Uacutenica y expliacutecita Uacutenica y exacta Elaboracioacuten de un nuevo algoritmo Acto de ingenio

Prueba de una conjetura

En el texto y soacutelo de forma parcial

Uacutenica y expliacutecita Por lo general uacutenica pero no necesariamente

Exploracioacuten del contexto reformulacioacuten elaboracioacuten de nuevos algoritmos

Problemas de la Soacutelo de forma Parcialmente Muchas posibles Exploracioacuten del

vida real parcial en el texto

dada Algunas alternativas posibles

de forma aproximada

contexto reformulacioacuten creacioacuten de un modelo

Situacioacuten problemaacutetica

Soacutelo parcial en el texto

Impliacutecita se sugieren varias problemaacutetica

Varias Puede darse una expliacutecita

Exploracioacuten del contexto reformulacioacuten plantear el problema

Situacioacuten Soacutelo parcial en el texto

Inexistente ni siquiera impliacutecita

Creacioacuten del problema

Formulacioacuten del problema

Ejemplos Problema con texto) Mariacutea ha merendado una hamburguesa y una coca-cola y para pagar su consumicioacuten entrega al camarero una moneda de 500 pts La hamburguesa cuesta 250 pts y la coca-cola 125 iquestCuaacutento le devolveraacute Ejercicio) Calcular 4times 2+6times 3 Puzzle) A partir de seis cerillas construir cuatro triaacutengulos equilaacuteteros Prueba de una conjetura) Demostrar que si a b y c son enteros impares entonces las raiacuteces de la ecuacioacuten ax2+bx+c no son racionales Problemas de la vida real) Queremos enmoquetar una habitacioacuten cuya forma es irregular Deseamos estimar la cantidad de metros cuadrados de moqueta que debemos adquirir Situacioacuten problemaacutetica) Un teorema fundamental establece que la descomposicioacuten de un nuacutemero natural en producto de nuacutemeros primos es uacutenica iquestQueacute ocurre si cambiamos en dicho enunciado la palabra producto por la palabra suma Situacioacuten) Considere las siguientes parejas de nuacutemeros primos gemelos (35) (57) (1113) (1719) (2931) (4143) (7173) A partir de tal estudio Borasi considera que para ser un buen resolutor de problemas un alumno deberiacutea intentar resolver no soacutelo muchos problemas sino una gran variedad de los mismos Ademaacutes tan importante como resolver problemas es acostumbrarse a plantear problemas a partir de situaciones que requieren una formulacioacuten precisa de los mismos 32 El proceso de resolucioacuten de un problema Para George Polya (1945) la resolucioacuten de un problema consiste a grandes rasgos en cuatro fases bien definidas Comprender el problema iquestCuaacutel es la incoacutegnita iquestCuaacuteles son los datos Concebir un plan iquestSe ha encontrado con un problema semejante iquestConoce un problema relacionado con este iquestPodriacutea enunciar el problema de otra forma iquestHa empleado todos los datos Ejecutar el plan iquestSon correctos los pasos dados Examinar la solucioacuten obtenida

iquestPuede verificar el resultado iquestPuede verificar el razonamiento Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal competente Cada fase se acompantildea de una serie de preguntas al puro estilo socraacutetico cuya intencioacuten clara es actuar como guiacutea para la accioacuten Los trabajos de Polya se pueden considerar por lo tanto como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal Una pregunta iquestPor queacute es tan difiacutecil entonces para la mayoriacutea de los humanos la resolucioacuten de problemas en matemaacuteticas Los trabajos de Schoenfeld (1985) son por otro lado la buacutesqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el anaacutelisis de la complejidad del comportamiento en la resolucioacuten de problemas Recursos congnitivos conjunto de hechos y procedimientos a disposicioacuten del resolutor Heuriacutesticas reglas para progresar en situaciones dificultosas Control Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles Sistema de creencias Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemaacutetica y como trabajar en ella Cada uno de tales componentes explica las carencias y por lo tanto el poco eacutexito en la resolucioacuten de problemas de los resolutores reales Asiacute cuando a pesar de conocer las heuriacutesticas no se sabe cuaacutel utilizar o coacutemo utilizarla se sentildeala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles Pero las heuriacutesticas y un buen control no son suficientes pues puede que el resolutor no conozca un hecho algoritmo o procedimiento especiacutefico del dominio matemaacutetico del problema en cuestioacuten En este caso se sentildeala la carencia de recursos cognitivos como explicacioacuten al intento fallido en la resolucioacuten Por otro lado puede que todo lo anterior esteacute presente en la mente del resolutor pero sus creencias de lo que es resolver problemas en matemaacuteticas o de la propia concepcioacuten sobre la matemaacutetica haga que no progrese en la resolucioacuten La explicacioacuten para este fallo la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco teoacuterico las creencias Por uacuteltimo estaacuten las heuriacutesticas La mayor parte de las veces se carece de ellas Se dispone de conocimientos especiacuteficos del tema o dominio matemaacutetico del problema incluso de un buen control pero falla el conocimiento de reglas para superar las dificultades en la tarea de resolucioacuten Las heuriacutesticas son las operaciones mentales tiacutepicamente uacutetiles en la resolucioacuten de problemas son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el eacutexito en el proceso de resolucioacuten sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solucioacuten Existe una amplia posiblemente incompleta lista de heuriacutesticas Entre las maacutes importantes cabriacutea citar Buscar un problema relacionado Resolver un problema similar maacutes sencillo Dividir el problema en partes

Considerar un caso particular Hacer una tabla Buscar regularidades Empezar el problema desde atraacutes Variar las condiciones del problema Sin embargo como bien ha sentildealado Puig (1996) en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas que son por otro lado diferentes si las sometemos a un detenido anaacutelisis Buscar un problema relacionado es una sugerencia heuriacutestica pues se sentildeala una direccioacuten de trabajo y sobre todo se recurre a la memoria del resolutor y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema Considerar un caso siacute se refiere a un procedimiento en concreto que permite a partir del problema dado formular un problema relacionado con eacutel Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos independientes del contenido y que permiten transformar el problema dado en otro con el nombre de herramientas heuriacutesticas (Tal observacioacuten parte de una nota marginal de Polya (Polya 1962 vol 2 p84)) Por uacuteltimo hacer una tabla se podriacutea considerar como una destreza al no poseer el caraacutecter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heuriacutesticas La caracteriacutestica maacutes importante del proceso de resolucioacuten de un problema es que por lo general no es un proceso paso-a-paso sino maacutes bien un proceso titubeante En el proceso de resolucioacuten Schoenfeld ha sentildealado que tan importante como las heuriacutesticas es el control de tal proceso a traveacutes de decisiones ejecutivas Tales decisiones son acerca de queacute hacer en un problema La caracteriacutestica maacutes importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control es que tienen consecuencias globales para la evolucioacuten del proceso de resolucioacuten de un problema Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos en servicio para la resolucioacuten del problema Son decisiones ejecutivas - Hacer un plan - Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos - Buscar los recursos conceptuales y heuriacutesticos que parecen adecuados para el problema - Evaluar el proceso de resolucioacuten a medida que evoluciona - Revisar o abandonar planes cuando su evaluacioacuten indica que hay que hacerlo Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese teacutermino en Inteligencia Artificial son equivalentes a las decisiones de gestioacuten en el campo de los negocios o decisiones de taacutectica y estrategia en el campo militar El teacutermino metacognicioacuten se ha usado en la literatura psicoloacutegica en la discusioacuten de fenoacutemenos relacionados con el que aquiacute tratamos Son por tanto decisiones acerca de queacute caminos tomar pero tambieacuten acerca de queacute caminos no tomar Cuanto maacutes precisas sean las respuestas a las preguntas iquest Queacute estoy haciendo iquest Por queacute lo hago iquest Para queacute lo hago

iquest Coacutemo lo usareacute despueacutes mejor seraacute el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solucioacuten La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolucioacuten de un problema La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolucioacuten de un problema es debido a que la persona que afronta el problema no dispone de un plan de solucioacuten Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolucioacuten Entre ellas cabe destacar - Inflexibilidad para considerar alternativas Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay maacutes salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo - Rigidez en la ejecucioacuten de procedimientos Maacutes de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situacioacuten en la que no es aplicable Nuestra obstinacioacuten es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista o porque la situacioacuten aunque distinta se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz - Incapacidad de anticipar las consecuencias de una accioacuten Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una accioacuten pensada Cuando haya ejecutado lo que pienso iquestqueacute consecuencias tendraacute para la resolucioacuten del problema - El efecto tuacutenel Se produce cuando la ejecucioacuten de una tarea es tan absorbente que no hay energiacuteas disponibles para la evaluacioacuten de lo que se esta realizando Suele darse maacutes faacutecilmente cuanto maacutes embebido se estaacute en la ejecucioacuten de una accioacuten Miguel de Guzmaacuten partiendo de las ideas de Polya Mason et al (Mason Burton y Stacey 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupacioacuten con problemas donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las heuriacutesticas La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios meacutetodos de pensamiento de forma sistemaacutetica a fin de eliminar obstaacuteculos y de llegar a establecer haacutebitos mentales eficaces en otras palabras lo que Polya denominoacute como pensamiento productivo Un modelo para la ocupacioacuten con problema (Miguel de Guzmaacuten 1991 p80) Familiariacutezate con el problema Trata de entender a fondo la situacioacuten Con paz con tranquilidad a tu ritmo Juega con la situacioacuten enmaacutercala trata de determinar el aire del problema pieacuterdele el miedo Buacutesqueda de estrategias Empieza por lo faacutecil Experimenta Hazte un esquema una figura un diagrama Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada Busca un problema semejante Induccioacuten Supongamos el problema resuelto

Considerar un caso particular Hacer una tabla Buscar regularidades Empezar el problema desde atraacutes Variar las condiciones del problema Sin embargo como bien ha sentildealado Puig (1996) en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas que son por otro lado diferentes si las sometemos a un detenido anaacutelisis Buscar un problema relacionado es una sugerencia heuriacutestica pues se sentildeala una direccioacuten de trabajo y sobre todo se recurre a la memoria del resolutor y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema Considerar un caso siacute se refiere a un procedimiento en concreto que permite a partir del problema dado formular un problema relacionado con eacutel Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos independientes del contenido y que permiten transformar el problema dado en otro con el nombre de herramientas heuriacutesticas (Tal observacioacuten parte de una nota marginal de Polya (Polya 1962 vol 2 p84)) Por uacuteltimo hacer una tabla se podriacutea considerar como una destreza al no poseer el caraacutecter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heuriacutesticas La caracteriacutestica maacutes importante del proceso de resolucioacuten de un problema es que por lo general no es un proceso paso-a-paso sino maacutes bien un proceso titubeante En el proceso de resolucioacuten Schoenfeld ha sentildealado que tan importante como las heuriacutesticas es el control de tal proceso a traveacutes de decisiones ejecutivas Tales decisiones son acerca de queacute hacer en un problema La caracteriacutestica maacutes importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control es que tienen consecuencias globales para la evolucioacuten del proceso de resolucioacuten de un problema Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos en servicio para la resolucioacuten del problema Son decisiones ejecutivas - Hacer un plan - Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos - Buscar los recursos conceptuales y heuriacutesticos que parecen adecuados para el problema - Evaluar el proceso de resolucioacuten a medida que evoluciona - Revisar o abandonar planes cuando su evaluacioacuten indica que hay que hacerlo Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese teacutermino en Inteligencia Artificial son equivalentes a las decisiones de gestioacuten en el campo de los negocios o decisiones de taacutectica y estrategia en el campo militar El teacutermino metacognicioacuten se ha usado en la literatura psicoloacutegica en la discusioacuten de fenoacutemenos relacionados con el que aquiacute tratamos Son por tanto decisiones acerca de queacute caminos tomar pero tambieacuten acerca de queacute caminos no tomar Cuanto maacutes precisas sean las respuestas a las preguntas iquest Queacute estoy haciendo iquest Por queacute lo hago iquest Para queacute lo hago

iquest Coacutemo lo usareacute despueacutes mejor seraacute el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solucioacuten La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolucioacuten de un problema La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolucioacuten de un problema es debido a que la persona que afronta el problema no dispone de un plan de solucioacuten Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolucioacuten Entre ellas cabe destacar - Inflexibilidad para considerar alternativas Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay maacutes salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo - Rigidez en la ejecucioacuten de procedimientos Maacutes de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situacioacuten en la que no es aplicable Nuestra obstinacioacuten es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista o porque la situacioacuten aunque distinta se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz - Incapacidad de anticipar las consecuencias de una accioacuten Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una accioacuten pensada Cuando haya ejecutado lo que pienso iquestqueacute consecuencias tendraacute para la resolucioacuten del problema - El efecto tuacutenel Se produce cuando la ejecucioacuten de una tarea es tan absorbente que no hay energiacuteas disponibles para la evaluacioacuten de lo que se esta realizando Suele darse maacutes faacutecilmente cuanto maacutes embebido se estaacute en la ejecucioacuten de una accioacuten Miguel de Guzmaacuten partiendo de las ideas de Polya Mason et al (Mason Burton y Stacey 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupacioacuten con problemas donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las heuriacutesticas La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios meacutetodos de pensamiento de forma sistemaacutetica a fin de eliminar obstaacuteculos y de llegar a establecer haacutebitos mentales eficaces en otras palabras lo que Polya denominoacute como pensamiento productivo Un modelo para la ocupacioacuten con problema (Miguel de Guzmaacuten 1991 p80) Familiariacutezate con el problema Trata de entender a fondo la situacioacuten Con paz con tranquilidad a tu ritmo Juega con la situacioacuten enmaacutercala trata de determinar el aire del problema pieacuterdele el miedo Buacutesqueda de estrategias Empieza por lo faacutecil Experimenta Hazte un esquema una figura un diagrama Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada Busca un problema semejante Induccioacuten Supongamos el problema resuelto

iquest Coacutemo lo usareacute despueacutes mejor seraacute el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solucioacuten La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolucioacuten de un problema La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolucioacuten de un problema es debido a que la persona que afronta el problema no dispone de un plan de solucioacuten Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolucioacuten Entre ellas cabe destacar - Inflexibilidad para considerar alternativas Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay maacutes salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo - Rigidez en la ejecucioacuten de procedimientos Maacutes de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situacioacuten en la que no es aplicable Nuestra obstinacioacuten es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista o porque la situacioacuten aunque distinta se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz - Incapacidad de anticipar las consecuencias de una accioacuten Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una accioacuten pensada Cuando haya ejecutado lo que pienso iquestqueacute consecuencias tendraacute para la resolucioacuten del problema - El efecto tuacutenel Se produce cuando la ejecucioacuten de una tarea es tan absorbente que no hay energiacuteas disponibles para la evaluacioacuten de lo que se esta realizando Suele darse maacutes faacutecilmente cuanto maacutes embebido se estaacute en la ejecucioacuten de una accioacuten Miguel de Guzmaacuten partiendo de las ideas de Polya Mason et al (Mason Burton y Stacey 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupacioacuten con problemas donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las heuriacutesticas La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios meacutetodos de pensamiento de forma sistemaacutetica a fin de eliminar obstaacuteculos y de llegar a establecer haacutebitos mentales eficaces en otras palabras lo que Polya denominoacute como pensamiento productivo Un modelo para la ocupacioacuten con problema (Miguel de Guzmaacuten 1991 p80) Familiariacutezate con el problema Trata de entender a fondo la situacioacuten Con paz con tranquilidad a tu ritmo Juega con la situacioacuten enmaacutercala trata de determinar el aire del problema pieacuterdele el miedo Buacutesqueda de estrategias Empieza por lo faacutecil Experimenta Hazte un esquema una figura un diagrama Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada Busca un problema semejante Induccioacuten Supongamos el problema resuelto

Supongamos que no Lleva adelante tu estrategia Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior Actuacutea con flexibilidad No te arrugues faacutecilmente No te emperres en una idea Si las cosas se complican demasiado hay otra viacutea iquestSalioacute iquestSeguro Mira a fondo tu solucioacuten Revisa el proceso y saca consecuencias de eacutel Examina a fondo el camino que has seguido iquestCoacutemo has llegado a la solucioacuten O bien iquestpor queacute no llegaste Trata de entender no soacutelo que la cosa funciona sino por queacute funciona Mira si encuentras un camino maacutes simple Mira hasta doacutende llega el meacutetodo Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro 33 La resolucioacuten de problemas como propuesta didaacutectica El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) propuso para la deacutecada de los pasados ochenta la resolucioacuten de problemas como eslogan educativo de la matemaacutetica escolar En la ensentildeanza de las matemaacuteticas escolares se debe poner el enfoque en la resolucioacuten de problemas iquestQueacute significa poner el enfoque en la resolucioacuten de problemas Cabe al menos tres interpretaciones Ensentildear para resolver problemas Proponer a los alumnos maacutes problemas Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias No proponer soacutelo ejercicios sino tambieacuten problemas genuinos que promuevan la buacutesqueda la investigacioacuten por los alumnos Ejemplos de esta uacuteltima interpretacioacuten se pueden hallar en Callejo (1994) Mason et al (1988) y Guzmaacuten (1991) Bagaz goitia et al (1997) Ensentildear sobre la resolucioacuten de problemas Ensentildeanza de la heuriacutestica El objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar estrategias para la resolucioacuten de problemas Dentro de esta tendencia hay ejemplos en los mismos trabajos citados anteriormente Sin embargo parece ser que las destrezas heuriacutesticas son las maacutes apropiadas para tal fin Ensentildear viacutea la resolucioacuten de problemas Ensentildear la matemaacutetica a traveacutes de problemas En un seminario celebrado en La Laguna en 1982 e impartido por el profesor Gaulin (M Fernaacutendez 1982) al ser preguntados por objetivos de la resolucioacuten de problemas los profesores asistentes enumeran los siguientes Desarrollo de la capacidad de razonamiento Aplicacioacuten de la teoriacutea previamente expuesta Resolucioacuten de cuestiones que la vida diaria plantea La primera propuesta aunque durante mucho tiempo fue un argumento aceptado generalmente sobre las virtudes de la educacioacuten matemaacutetica con el paso del tiempo se ha convertido en un mito Las dos uacuteltimas caen dentro de la primera interpretacioacuten anterior En el mismo artiacuteculo el autor M Fernaacutendez que actuoacute como informador del seminario

concluye con la siguiente redaccioacuten Al final parecieacutendome que el profesor buscaba algo maacutes me aventureacute a indicar lo que creo suele olvidarse la propuesta de problemas con el fin de elaborar una teoriacutea esto es para explorar y aprender nuevos conceptos En efecto comentoacute pese a ser eminentemente formativa no es frecuente que se tenga en cuenta por el profesorado Esta es claramente la interpretacioacuten tercera de las enumeradas maacutes arriba Sin embargo el comentario del Profesor Gaulin deja las cosas de nuevo en su sitio iquestPor queacute no se tiene en cuenta por el profesorado iquestExiste alguacuten patroacuten que caracterice la praacutectica educativa A falta de estudios serios en nuestro paiacutes me he visto obligado a consultar la literatura cientiacutefica internacional que existe al respecto En las lecciones grabadas en viacutedeo durante el TIMSS para el 78 de los temas tratados en 8ordm (USA) los procedimientos y las ideas soacutelo fueron mostradas no explicadas ni desarrolladas El 96 del tiempo empleado por los estudiantes trabajando en las aulas se dedicoacute a practicar procedimientos que se les habiacutea mostrado como hacerlo (Stigler y Hiebert 1997) Lo maacutes caracteriacutestico es el eacutenfasis en ensentildear procedimientos en especial procedimientos de caacutelculo Se presta poca atencioacuten a ayudar a los alumnos a desarrollar ideas conceptuales o incluso a conectar los procedimientos que estaacuten aprendiendo con los conceptos que muestran por queacute aquellos funcionan El curriculum de matemaacuteticas en USA suministra pocas oportunidades a los alumnos de resolver problemas retadores y de participar en el razonamiento la comunicacioacuten la conjetura la justificacioacuten y la demostracioacuten (Hiebert 1999) Podemos concluir con Dossey (Dossey et al 1988) que la instruccioacuten matemaacutetica en las aulas de secundaria puede caracterizarse con ligeras variaciones como la actividad que consiste en la explicacioacuten del contenido por el profesor trabajo individual de los alumnos sobre las tareas propuestas y correccioacuten de las mismas dirigidas al gran grupo en la pizarra La mayoriacutea de las veces y debido a la dificultad del contenido o al tiempo disponible la explicacioacuten se dirige hacia un nivel medio de la clase cuando no al maacutes alto y hacia el aprendizaje directo de determinados algoritmos o definiciones Los informes preliminares del TIMSS sugieren incluso un enfoque mucho maacutes formalista para nuestro paiacutes (Beaton et al 1996 paacutegina 155) El resultado de tal praacutectica es por lo general una prevalencia de aprendizajes rutinarios carentes de significado y la construccioacuten de esquemas conceptuales deacutebiles por los alumnos que se manifiestan en una pobre actuacioacuten sobre contenidos supuestamente aprendidos despueacutes de un cierto tiempo Los maestros y los profesores ensentildean de la misma forma en que fueron ensentildeados en la escuela Lo expuesto creo que explica en parte por queacute no se ensentildea matemaacuteticas a traveacutes de la resolucioacuten de problemas 34 La propuesta didaacutectica Nuestras creencias sobre queacute es matemaacutetica influye en la forma en que la ensentildeamos Ademaacutes nuestras creencias pueden ser un obstaacuteculo Un obstaacuteculo insalvable Los profesores que ven su tarea como la transmisioacuten de un conocimiento acabado y abstracto tienden a adoptar un estilo expositivo Su ensentildeanza estaacute plagada de definiciones en abstracto y de procedimientos algoriacutetmicos Solo al final en contados casos aparece un

problema contextualizado como aplicacioacuten de lo que supuestamente se ha aprendido en clase La resolucioacuten de problemas se queda para el Taller de Matemaacuteticas en clase hacemos cosas maacutes serias las auteacutenticas matemaacuteticas Esta forma de entender la ensentildeanza tiene nombre se conoce como mecanicismo De acuerdo con la filosofiacutea mecanicista el hombre es un instrumento parecido al ordenador cuya actuacioacuten al maacutes bajo nivel puede ser programada por medio de la praacutectica repetitiva sobre todo en aritmeacutetica y en aacutelgebra incluso en geometriacutea para resolver problemas distinguibles por medio de patrones reconocibles que son procesados por la continua repeticioacuten Es en este nivel maacutes bajo dentro de la jerarquiacutea de los maacutes haacutebiles ordenadores donde se situacutea al hombre (Freudenthal 1991 p134) En Psicologiacutea esta tendencia se conoce como Conductismo Si por el contrario consideramos que el conocimiento matemaacutetico no es algo totalmente acabado sino en plena creacioacuten que maacutes que conceptos que se aprenden existen estructuras conceptuales que se ampliacutean y enriquecen a lo largo de toda la vida entonces ya no bastaraacute con la exposicioacuten Habraacute que hacer partiacutecipe a los alumnos del propio aprendizaje Y soacutelo hay una forma de hacer partiacutecipe a los alumnos dar significado a todo lo que se ensentildea Para desarrollar los haacutebitos de pensar soacutelo hay un camino pensar uno mismo Permitir que los alumnos participen en la construccioacuten del conocimiento es tan importante a maacutes que exponerlo Hay que convencer a los estudiantes que la matemaacutetica es interesante y no soacutelo un juego para los maacutes aventajados Por lo tanto los problemas y la teoriacutea deben mostrarse a los estudiantes como relevante y llena de significado Tales creencias son posiblemente la causa de que una propuesta que se formuloacute hace maacutes de 50 antildeos y que ha merecido la atencioacuten de ilustres personas todaviacutea sea hoy tema de debate y clarificacioacuten Si aceptamos cualquiera de las tres formas de enfoque en resolucioacuten de problemas la primera pregunta que nos viene a la cabeza es queacute estamos ensentildeando Una pregunta relacionada iquestqueacute aprenden los alumnos Propongo que formulemos la pregunta de otra forma iquestCoacutemo ensentildeamos iquestCoacutemo aprenden los alumnos Todas las propuestas que se han hecho establecen queacute ensentildear Ninguna coacutemo ensentildear Si queremos que nuestros alumnos aprendan a resolver problemas entendiendo el teacutermino bajo las tres acepciones anteriores hemos de disentildear y desarrollar nuestra ensentildeanza seguacuten tales teacuterminos Yo estoy convencido que es posible articular un curriacuteculo cuya metodologiacutea sea la resolucioacuten de problemas y que con tal curriacuteculo se pueden cubrir aspectos profundos de los conceptos matemaacuteticas Pero a costa de eliminar muchos procedimientos de tipo algoriacutetmico cuya presencia en los libros de texto y en los curriacuteculos constituyen hoy un puro anacronismo Terminareacute completando la cita de Polya con la que comenceacute esta conferencia Por ello un profesor de matemaacuteticas tiene una gran oportunidad Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias mataraacute en ellos el intereacutes impediraacute su desarrollo intelectual y acabaraacute desaprovechando su oportunidad Pero si por el contrario pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteaacutendoles problemas adecuados a sus conocimientos y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes podraacute despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello

(George Polya prefacio a la primera edicioacuten en ingleacutes de How to solve it Princeton University Press 1945) 4 Disciplinas que han influido en la Didaacutectica de las matemaacuteticas Una premisa baacutesica que subyace a todo trabajo en didaacutectica de las matemaacuteticas y en concreto desde la perspectiva de la ciencia cognitiva es que las estructuras mentales y los procesos cognitivos son extremadamente ricos y complejos pero pueden ser entendidas y que tal comprensioacuten produciraacute importantes avances en nuestro conocimiento sobre las diversas formas en que tienen lugar el aprendizaje Durante la mayor parte de este siglo la investigacioacuten en didaacutectica de las matemaacuteticas ha estado influida por una corriente conocida como asociacionismo (ver apartado) cuya recomendacioacuten pedagoacutegica maacutes simple era la praacutectica educativa de ejercicios bien secuenciados No se prestoacute ninguacuten intereacutes en explorar las estructuras cognitivas del individuo En el caso maacutes extremo Skinner llegoacute a afirmar que quedaba fuera de lugar en su teoriacutea por poco uacutetil cualquier atencioacuten a las estructuras mentales 41 Una metodologiacutea de investigacioacuten el paradigma agriacutecola Las metodologiacuteas de investigacioacuten imperantes desde la deacutecada de los cincuenta hasta bien entrada la de los setenta se puede resumir en el paradigma agriacutecola Se confioacute en los meacutetodos estadiacutesticos a gran escala y en el anaacutelisis de datos (Schoenfeld 1987 p 7) Tales anaacutelisis proveniacutean de la asuncioacuten de que los patrones obtenidos a partir de datos de un gran nuacutemero de personas aportaban una informacioacuten maacutes fiable que los obtenidos a partir de individuos particulares El problema fundamental era el control de variables La cantidad de pesticida agua y la acidez del suelo entre otras eran maacutes faacutecilmente controlables en un experimento agriacutecola que en un experimento educativo Otra distincioacuten importante era la de grupo experimental y grupo de control El primero recibiacutea todas las atenciones necesarias contempladas como variables que mejorariacutean el rendimiento de los alumnos mientras que el segundo seguiriacutean una ensentildeanza normal De esta forma cualquier mejora en los alumnos del primer grupo el experimental se atribuiriacutea a las recomendaciones pedagoacutegicas metodologiacutea o materiales empleados Un problema fundamental aquiacute es que no se controlaban las diferencias individuales de los alumnos o no se utilizaban en el anaacutelisis de los datos obtenidos Asiacute si se queriacutea establecer alguna relacioacuten entre habilidades visuales espaciales y el sexo de los alumnos se sometiacutea una amplia muestra de alumnos a un test y mediante el anaacutelisis estadiacutestico se estableciacutea determinada correlacioacuten Un ejemplo de esto uacuteltimo es el hallazgo de que los alumnos varones poseen mejores habilidades visuales que las alumnas Otro ejemplo es que la habilidad verbal es un aspecto importante de la resolucioacuten de problemas Ademaacutes el propio test caracterizaba tales habilidades de forma que poseerlas implicaba obtener determinada puntuacioacuten en los test correspondientes Durante los sesenta y los setenta muchas de tales investigaciones proporcionaron un gran nuacutemero de estudios ambiguos o contradictorios de tal forma que no se disponiacutea de hallazgos importantes que arrojaran luz sobre la educacioacuten Lo cual muestra la dificultad de aplicar tal paradigma a la educacioacuten Por desgracia para los investigadores los alumnos han demostrado ser mucho maacutes complejos que los campos de cultivo Algunos investigadores entre ellos Kilpatrick propusieron aparcar por un tiempo las investigaciones estadiacutesticas hasta que se dispusiera de un mejor conocimiento de los procesos mentales que se queriacutean medir

(George Polya prefacio a la primera edicioacuten en ingleacutes de How to solve it Princeton University Press 1945) 4 Disciplinas que han influido en la Didaacutectica de las matemaacuteticas Una premisa baacutesica que subyace a todo trabajo en didaacutectica de las matemaacuteticas y en concreto desde la perspectiva de la ciencia cognitiva es que las estructuras mentales y los procesos cognitivos son extremadamente ricos y complejos pero pueden ser entendidas y que tal comprensioacuten produciraacute importantes avances en nuestro conocimiento sobre las diversas formas en que tienen lugar el aprendizaje Durante la mayor parte de este siglo la investigacioacuten en didaacutectica de las matemaacuteticas ha estado influida por una corriente conocida como asociacionismo (ver apartado) cuya recomendacioacuten pedagoacutegica maacutes simple era la praacutectica educativa de ejercicios bien secuenciados No se prestoacute ninguacuten intereacutes en explorar las estructuras cognitivas del individuo En el caso maacutes extremo Skinner llegoacute a afirmar que quedaba fuera de lugar en su teoriacutea por poco uacutetil cualquier atencioacuten a las estructuras mentales 41 Una metodologiacutea de investigacioacuten el paradigma agriacutecola Las metodologiacuteas de investigacioacuten imperantes desde la deacutecada de los cincuenta hasta bien entrada la de los setenta se puede resumir en el paradigma agriacutecola Se confioacute en los meacutetodos estadiacutesticos a gran escala y en el anaacutelisis de datos (Schoenfeld 1987 p 7) Tales anaacutelisis proveniacutean de la asuncioacuten de que los patrones obtenidos a partir de datos de un gran nuacutemero de personas aportaban una informacioacuten maacutes fiable que los obtenidos a partir de individuos particulares El problema fundamental era el control de variables La cantidad de pesticida agua y la acidez del suelo entre otras eran maacutes faacutecilmente controlables en un experimento agriacutecola que en un experimento educativo Otra distincioacuten importante era la de grupo experimental y grupo de control El primero recibiacutea todas las atenciones necesarias contempladas como variables que mejorariacutean el rendimiento de los alumnos mientras que el segundo seguiriacutean una ensentildeanza normal De esta forma cualquier mejora en los alumnos del primer grupo el experimental se atribuiriacutea a las recomendaciones pedagoacutegicas metodologiacutea o materiales empleados Un problema fundamental aquiacute es que no se controlaban las diferencias individuales de los alumnos o no se utilizaban en el anaacutelisis de los datos obtenidos Asiacute si se queriacutea establecer alguna relacioacuten entre habilidades visuales espaciales y el sexo de los alumnos se sometiacutea una amplia muestra de alumnos a un test y mediante el anaacutelisis estadiacutestico se estableciacutea determinada correlacioacuten Un ejemplo de esto uacuteltimo es el hallazgo de que los alumnos varones poseen mejores habilidades visuales que las alumnas Otro ejemplo es que la habilidad verbal es un aspecto importante de la resolucioacuten de problemas Ademaacutes el propio test caracterizaba tales habilidades de forma que poseerlas implicaba obtener determinada puntuacioacuten en los test correspondientes Durante los sesenta y los setenta muchas de tales investigaciones proporcionaron un gran nuacutemero de estudios ambiguos o contradictorios de tal forma que no se disponiacutea de hallazgos importantes que arrojaran luz sobre la educacioacuten Lo cual muestra la dificultad de aplicar tal paradigma a la educacioacuten Por desgracia para los investigadores los alumnos han demostrado ser mucho maacutes complejos que los campos de cultivo Algunos investigadores entre ellos Kilpatrick propusieron aparcar por un tiempo las investigaciones estadiacutesticas hasta que se dispusiera de un mejor conocimiento de los procesos mentales que se queriacutean medir

Proceso versus producto Ciencia cognitiva Desde la Psicologiacutea Educativa ha habido dos contribuciones claras a la didaacutectica de las matemaacuteticas Una conforma lo que se ha dado en llamar la corriente conductista o neoconductista y la otra la corriente cognitiva Brevemente exponemos ambas contribuciones 42 Aportacioacuten del conductismo y neoconductismo a la didaacutectica de las matemaacuteticas El asociacionismo de Thorndike A comienzos de siglo EL Thorndike inicioacute una serie de investigaciones en educacioacuten que caracterizariacutean con el paso del tiempo a lo que se ha denominado como corriente conductista en educacioacuten matemaacutetica Thorndike se interesoacute en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de respuestas satisfactorias Ideoacute un tipo de entrenamiento en el que los viacutenculos establecidos entre los estiacutemulos y las respuestas quedariacutean reforzados mediante ejercicios en los que se recompensaba el eacutexito obtenido El propio Thorndike denominoacute conexionismo (asociacionismo) a este tipo de psicologiacutea El aprendizaje es el producto de un funcionamiento cognitivo que supone ciertas conexiones o asociaciones de estiacutemulo y respuesta en la mente de los individuos Por tanto los programas para ensentildear matemaacuteticas podriacutean elaborarse sobre la base de estiacutemulos y respuestas sucesivos de tal forma que los resultados de este proceso se podriacutean objetivar en cambios observables de la conducta de los alumnos En 1922 publicoacute su libro The Psychology of Arithmetic En eacutel presentaba el principio central de su teoriacutea del aprendizaje todo el conocimiento incluso el maacutes complejo esta formado por relaciones sencillas viacutenculos entre estiacutemulos y respuestas Asiacute la conducta humana tanto de pensamiento como de obra se podriacutea analizar en teacuterminos de dos sencillos elementos Si se reduciacutea la conducta a sus componentes maacutes elementales se descubriacutea que consistiacutea en estiacutemulos (sucesos exteriores a la persona) y repuestas (reaccioacuten a los sucesos externos) Si se premiaba una respuesta dada a un estiacutemulo propuesto se estableciacutea un viacutenculo fuerte entre estiacutemulo y respuesta Cuaacutento maacutes se recompensaba la respuesta maacutes fuerte se haciacutea el viacutenculo y por lo tanto se sugeriacutea que uno de los medios maacutes importantes del aprendizaje humano era la praacutectica seguida de recompensas (ley del efecto) Thorndike sugirioacute coacutemo aplicar sus ideas a la ensentildeanza de la aritmeacutetica afirmando que lo que se necesitaba era descubrir y formular el conjunto determinado de viacutenculos que conformaban la disciplina a ensentildear (lo hizo para la aritmeacutetica) Una vez formulados todos los viacutenculos la praacutectica sujeta a recompensas seriacutea el medio para poner en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los resultados de los alumnos La teoriacutea de Thorndike significoacute un gran paso hacia la aplicacioacuten de la psicologiacutea a la ensentildeanza de las matemaacuteticas siendo su mayor contribucioacuten el centrar la atencioacuten sobre el contenido del aprendizaje y en un contexto determinado como es la aritmeacutetica El aprendizaje acumulativo de Gagneacute Una teoriacutea psicoloacutegica que quisiera dominar la ensentildeanza deberiacutea explicar por queacute el aprendizaje sencillo facilitaba el maacutes complejo La lista de viacutenculos se estableciacutea desde las tareas maacutes faacuteciles a las maacutes difiacuteciles sin embargo no existiacutea una teoriacutea que explicase la dificultad psicoloacutegica de las diferentes tareas y por lo tanto que explicase por queacute si se

aprendiacutean primero los problemas maacutes faacuteciles se facilitaba el aprendizaje de los maacutes difiacuteciles El problema central aquiacute es la transferencia desde un aprendizaje a otro Thorndike sugirioacute que tal transferencia podriacutea ocurrir siempre que ambas tareas contuviesen elementos comunes (teoriacutea de los elementos ideacutenticos) Sin embargo la mayor parte de las investigaciones en la transferencia se realizaron en experimentos de laboratorio donde se analizaban en detalle una o maacutes tareas Otra empresa mucho maacutes compleja era aplicar la teoriacutea al curriculum escolar Robert Gagneacute con su teoriacutea del aprendizaje acumulativo dio este paso En su teoriacutea las tareas maacutes sencillas funcionan como elementos de las maacutes complejas Asiacute al estar las tareas maacutes complejas formadas por elementos identificables se posibilita la transferencia de lo sencillo a lo complejo Gagneacute propuso analizar las habilidades disgregaacutendolas en subhabilidades ordenadas llamadas jerarquiacuteas del aprendizaje De esta manera para una determinada habilidad matemaacutetica por ejemplo la suma de nuacutemeros enteros el trabajo del psicoacutelogo consiste en un anaacutelisis de las tareas que permite identificar los objetivos o habilidades elementales que constituyen otro maacutes complejo creando de este modo una jerarquiacutea Tal jerarquiacutea del aprendizaje permite plantear objetivos perfectamente secuenciados desde una loacutegica disciplinar Sin embargo una de estas jerarquiacuteas no es maacutes que una hipoacutetesis de partida sobre la manera en que se relacionan entre siacute ciertas habilidades matemaacuteticas y nos lleva a una pregunta importante iquestcoacutemo podemos estar seguros de que tal jerarquiacutea de habilidades es una jerarquiacutea de transferencia que resultaraacute uacutetil para la ensentildeanza y el aprendizaje Ademaacutes las secuencias de aprendizaje bajo tales jerarquiacuteas se manifiestan riacutegidas y no tienen en cuenta las diferencias individuales entre los alumnos La praacutectica educativa se centra por lo tanto en la ejecucioacuten y repeticioacuten de determinados ejercicios secuenciados en pequentildeos pasos que deben ser realizados individualmente y que maacutes tarde se combinan con otros formando grandes unidades de competencia para el desarrollo de cierta habilidad matemaacutetica No se presta importancia al significado durante la ejecucioacuten sino que se espera que sea al final de la secuencia cuando el aprendiz adquiera la estructura que conforma la habilidad matemaacutetica Se presta importancia principal al producto respuesta de los alumnos y no al proceso coacutemo y por queacute se ha dado la respuesta En definitiva existe poco o nulo intereacutes en explorar las estructuras y los procesos cognitivos La ensentildeanza programada las fichas y las secuencias largas de objetivos y sub - objetivos caracterizan la corriente maacutes radical dentro del conductismo Entre las criacuteticas maacutes recientes al disentildeo de instruccioacuten (instructional design) pues con este teacutermino se conoce a la tecnologiacutea educativa derivada de los trabajos de Gagne la maacutes clara es la expuesta por A Arcavi (1995) que pasamos a exponer El disentildeo de instruccioacuten centra su intereacutes en una descomposicioacuten loacutegica de los contenidos y por tanto el disentildeo puede hacerse a priori por expertos y sin contacto alguno con alumnos Ademaacutes pone el eacutenfasis en los aspectos maacutes conductistas de lo que significa ser competente en matemaacuteticas definiendo objetivos de conducta Se presupone que tal disentildeo deberiacutea estar en manos exclusivamente de expertos quienes son los indicados para establecer los contenidos los problemas y las secuencias No parece que de cabida a concepciones alternativas de la actividad matemaacutetica y parece implicar que el disentildeo curricular riguroso al tener en cuenta la textura loacutegica de los contenidos garantiza una trayectoria satisfactoria del aprendizaje

Un aspecto importante de tales investigaciones es que no se interesaban en queacute ocurriacutea durante la realizacioacuten de determinados problemas las secuencias de aprendizaje o las cuestiones presentadas en los tests Si algo miden tales metodologiacuteas es el producto o resultado del proceso de tales tratamientos Nunca los procesos de pensamiento involucrados en tales productos La distincioacuten entre proceso y producto caracteriza de forma radical la diferencia entre una metodologiacutea conductista o neoconductista y una metodologiacutea de tipo cognitivo (Para ejemplos sobre jerarquiacutea de habilidades matemaacuteticas y ampliacioacuten sobre el contenido de este apartado remitimos a la obra La ensentildeanza de las matemaacuteticas y sus fundamentos psicoloacutegicos LB Resnick y WWFord Paidos Ministerio de Educacioacuten y Ciencia 1990) 43 La ciencia cognitiva La cognicioacuten no comienza con los conceptos sino todo lo contrario los conceptos son el resultado del proceso cognitivo (Freudenthal 1991 p18) Las matemaacuteticas maacutes que ninguacuten otro dominio cientiacutefico permiten dar definiciones expliacutecitas desde muy pronto Por ejemplo los nuacutemeros pares e impares pueden definirse a partir de los nuacutemeros naturales Pero la dificultad radica en coacutemo definir los nuacutemeros naturales Tales nuacutemeros se generan a partir del proceso de contar en vez de a partir de una definicioacuten De esta manera pasan a formar parte del sentido comuacuten El problema central de la ciencia cognitiva es la construccioacuten de los conceptos por los individuos Queacute procesos mentales se activan y coacutemo tales procesos dan forma al concepto son preguntas claves en tal metodologiacutea de investigacioacuten Lo que le interesa principalmente al investigador cognitivo es construir un modelo del proceso de comprensioacuten de los alumnos En tal modelo se debe especificar queacute conocimiento particular es accesible a los alumnos las estrategias de las que se sirven y la naturaleza de la interaccioacuten entre el conocimiento y las estrategias desarrolladas Un teacutermino importante en ciencia cognitiva es el de esquema cognitivo o el de esquema conceptual siendo el primero maacutes general y amplio que el segundo Para tales teacuterminos no existen definiciones precisas tal y como se entienden en matemaacuteticas Para hacernos una idea de tal teacutermino pensemos en un ejemplo de la matemaacutetica elemental La inclusioacuten en los curriculum de secundaria del concepto de funcioacuten real de variable real es uno de los logros maacutes importantes de la corriente conocida como matemaacutetica moderna Tal concepto se introdujo a partir de las relaciones entre conjuntos hasta concluir en el par ordenado como definicioacuten formal del concepto de funcioacuten Asiacute por ejemplo la funcioacuten f(x)=x2 se define como (xy)isin RxR y = x2 Sin embargo pocos profesores experimentados utilizariacutean tal definicioacuten como introduccioacuten a las funciones reales A pesar de ser un ejemplo sencillo en siacute es un ejemplo abstracto Pareceriacutea maacutes oportuno comenzar con la construccioacuten de una tabla de valores y a continuacioacuten realizar una graacutefica de la funcioacuten Tal secuencia presente en muchos libros de la eacutepoca e incluso hoy diacutea sentildeala tres aspectos del concepto de funcioacuten la foacutermula la tabla de valores y la graacutefica Es decir tenemos tres aspectos de tres dominios diferentes el algebraico el aritmeacutetico y el geomeacutetrico Con ambos pretendemos que la relacioacuten abstracta entre las variables x e y que caracteriza el concepto de funcioacuten real quede clara Sin embargo investigaciones recientes como la llevada a cabo en el Shell Centre de la Universidad de Nottigham (Reino Unido) han puesto en evidencia las dificultades del concepto de funcioacuten Entre los hallazgos maacutes importantes encontramos las dificultades que presentan los alumnos para coordinar la informacioacuten relativa a las dos variables y los dos ejes presentando los alumnos dificultades a la hora de

Un aspecto importante de tales investigaciones es que no se interesaban en queacute ocurriacutea durante la realizacioacuten de determinados problemas las secuencias de aprendizaje o las cuestiones presentadas en los tests Si algo miden tales metodologiacuteas es el producto o resultado del proceso de tales tratamientos Nunca los procesos de pensamiento involucrados en tales productos La distincioacuten entre proceso y producto caracteriza de forma radical la diferencia entre una metodologiacutea conductista o neoconductista y una metodologiacutea de tipo cognitivo (Para ejemplos sobre jerarquiacutea de habilidades matemaacuteticas y ampliacioacuten sobre el contenido de este apartado remitimos a la obra La ensentildeanza de las matemaacuteticas y sus fundamentos psicoloacutegicos LB Resnick y WWFord Paidos Ministerio de Educacioacuten y Ciencia 1990) 43 La ciencia cognitiva La cognicioacuten no comienza con los conceptos sino todo lo contrario los conceptos son el resultado del proceso cognitivo (Freudenthal 1991 p18) Las matemaacuteticas maacutes que ninguacuten otro dominio cientiacutefico permiten dar definiciones expliacutecitas desde muy pronto Por ejemplo los nuacutemeros pares e impares pueden definirse a partir de los nuacutemeros naturales Pero la dificultad radica en coacutemo definir los nuacutemeros naturales Tales nuacutemeros se generan a partir del proceso de contar en vez de a partir de una definicioacuten De esta manera pasan a formar parte del sentido comuacuten El problema central de la ciencia cognitiva es la construccioacuten de los conceptos por los individuos Queacute procesos mentales se activan y coacutemo tales procesos dan forma al concepto son preguntas claves en tal metodologiacutea de investigacioacuten Lo que le interesa principalmente al investigador cognitivo es construir un modelo del proceso de comprensioacuten de los alumnos En tal modelo se debe especificar queacute conocimiento particular es accesible a los alumnos las estrategias de las que se sirven y la naturaleza de la interaccioacuten entre el conocimiento y las estrategias desarrolladas Un teacutermino importante en ciencia cognitiva es el de esquema cognitivo o el de esquema conceptual siendo el primero maacutes general y amplio que el segundo Para tales teacuterminos no existen definiciones precisas tal y como se entienden en matemaacuteticas Para hacernos una idea de tal teacutermino pensemos en un ejemplo de la matemaacutetica elemental La inclusioacuten en los curriculum de secundaria del concepto de funcioacuten real de variable real es uno de los logros maacutes importantes de la corriente conocida como matemaacutetica moderna Tal concepto se introdujo a partir de las relaciones entre conjuntos hasta concluir en el par ordenado como definicioacuten formal del concepto de funcioacuten Asiacute por ejemplo la funcioacuten f(x)=x2 se define como (xy)isin RxR y = x2 Sin embargo pocos profesores experimentados utilizariacutean tal definicioacuten como introduccioacuten a las funciones reales A pesar de ser un ejemplo sencillo en siacute es un ejemplo abstracto Pareceriacutea maacutes oportuno comenzar con la construccioacuten de una tabla de valores y a continuacioacuten realizar una graacutefica de la funcioacuten Tal secuencia presente en muchos libros de la eacutepoca e incluso hoy diacutea sentildeala tres aspectos del concepto de funcioacuten la foacutermula la tabla de valores y la graacutefica Es decir tenemos tres aspectos de tres dominios diferentes el algebraico el aritmeacutetico y el geomeacutetrico Con ambos pretendemos que la relacioacuten abstracta entre las variables x e y que caracteriza el concepto de funcioacuten real quede clara Sin embargo investigaciones recientes como la llevada a cabo en el Shell Centre de la Universidad de Nottigham (Reino Unido) han puesto en evidencia las dificultades del concepto de funcioacuten Entre los hallazgos maacutes importantes encontramos las dificultades que presentan los alumnos para coordinar la informacioacuten relativa a las dos variables y los dos ejes presentando los alumnos dificultades a la hora de

calcular incrementos de ordenada correspondientes a incrementos de abscisa dada o viceversa (Shell Centre 1990) La teoriacutea desarrollada por Jean Piaget Piaget denominoacute epistemologiacutea geneacutetica a su teoriacutea sobre la construccioacuten del conocimiento por los individuos (Piaget 1987 Garciacutea 1997) Su centro de intereacutes es la descripcioacuten del desarrollo de los esquemas cognitivos de los individuos a lo largo del tiempo y de acuerdo con ciertas reglas generales El principio central de la teoriacutea de Piaget sobre la construccioacuten del conocimiento es la equilibracioacuten (Piaget 1990 Garciacutea 1997) Tal equilibracioacuten se lleva a cabo mediante dos procesos iacutentimamente relacionados y dependientes que son la asimilacioacuten y la acomodacioacuten Cuando un individuo se enfrenta a una situacioacuten en particular a un problema matemaacutetico intenta asimilar dicha situacioacuten a esquemas cognitivos existentes Es decir intentar resolver tal problema mediante los conocimientos que ya posee y que se situacutean en esquemas conceptuales existentes Como resultado de la asimilacioacuten el esquema cognitivo existente se reconstruye o expande para acomodar la situacioacuten La asimilacioacuten y la acomodacioacuten se muestran en la teoriacutea piagetiana como las herramientas cognitivas uacutetiles y fundamentales en el restablecimiento del equilibrio cognitivo en el individuo El binomio asimilacioacuten-acomodacioacuten produce en los individuos una reestructuracioacuten y reconstruccioacuten de los esquemas cognitivos existentes Si los individuos construyen su propio conocimiento la equilibracioacuten expresa el proceso mediante el cual se produce tal construccioacuten sentildealaacutendose asiacute el caraacutecter dinaacutemico en la construccioacuten del conocimiento por los individuos como hipoacutetesis de partida para una teoriacutea del anaacutelisis de los procesos cognitivos (Garciacutea 1997 p 41) La abstraccioacuten reflexiva o reflectora es un teacutermino definido por Piaget y central en su teoriacutea de la construccioacuten del conocimiento Piaget llama asiacute a la abstraccioacuten que parte de las acciones u operaciones y no meramente de los objetos (Beth y Piaget 1980 p 212) La abstraccioacuten reflexiva conlleva dos momentos indisolubles (Piaget 1990 p 40) un proceso de reflexioacuten lsquoreflejamientorsquo o proyeccioacuten que hace pasar lo que es abstraiacutedo de un plano inferior a otro superior (por ejemplo de la accioacuten fiacutesica a la representacioacuten mental) y un producto de la reflexioacuten una lsquoreflexioacutenrsquo en el sentido mental que permite una reorganizacioacuten o reconstruccioacuten cognitiva sobre el nuevo plano de la que ha sido extraiacutedo del plano precedente En el plano inferior las acciones y operaciones se realizan sobre objetos concretos fiacutesicos o imaginados mientras que en el plano superior las acciones y operaciones interiorizadas actuacutean sobre objetos abstractos y las coordina para formar nuevas acciones que dan lugar a nuevos objetos Siendo asiacute que el sujeto reconstruye lo asiacute abstraiacutedo en un plano superior nuevo cuyo funcionamiento es distinto y que tal reconstruccioacuten conduce a un esquema cognitivo maacutes general (Beth y Piaget 1980 p 229) Piaget sentildealoacute su caraacutecter constructivo por lo tanto no de descubrimiento pues la abstraccioacuten reflexiva consiste en traducir una sucesioacuten de actos materiales en un sistema de operaciones interiorizadas cuyas leyes o estructura se comprenden en un acto simultaacuteneo La abstraccioacuten reflexiva se refiere por tanto a las acciones y operaciones del sujeto y a los esquemas que le conduce a construir (Piaget y Garciacutea 1982 p 247) y es por lo tanto puramente interna al sujeto Destaquemos aquiacute que lo que constituye la geacutenesis del conocimiento y que aporta su cualidad constructiva son las acciones y no la mera observacioacuten Pues por medio de las acciones se desencadena el proceso de abstraccioacuten

reflexiva en el individuo y su conclusioacuten seraacute la construccioacuten mental de un nuevo ente abstracto objeto o concepto maacutes general La importancia del papel jugado por la abstraccioacuten reflexiva en la construccioacuten de los conceptos matemaacuteticos ha dado lugar recientemente a dos marcos teoacutericos extensiones de la teoriacutea desarrollada por Jean Piaget La generalizacioacuten operativa (Doumlrfler 1991) y el marco teoacuterico accioacuten-proceso-objeto (Dubinsky 1991 y 1997) Tales marcos teoacutericos que no expondremos aquiacute pueden ser consultados por los interesados en las citas bibliograacuteficas sentildealadas Procesamiento de la informacioacuten Frente a la teoriacutea de Piaget sobre la forma en que las personas comprenden los conceptos y a partir de ciertos estudios realizados en el campo de la computacioacuten sobre habilidades linguumliacutesticas de los humanos surge en la deacutecada de los setenta la teoriacutea denominada procesamiento de la informacioacuten La conducta humana se concibe como resultado del proceso por el cual la mente actuacutea (procesan) sobre los datos que proceden del entorno interno o externo (informacioacuten) Toda la informacioacuten es procesada por una serie de memorias que procesan y almacenan de forma distinta y que ademaacutes estaacuten sujetas a determinadas limitaciones en su funcioacuten La combinacioacuten de tales memorias constituyen el sistema de procesamiento de la informacioacuten La informacioacuten entra en el sistema a traveacutes de un registro de entrada sensorial llamado a veces memoria icoacutenica o buffer sensorial Esta primera memoria es capaz de recibir informacioacuten visual auditiva o taacutectil directamente del entorno y puede recibir mucha informacioacuten al mismo tiempo pero solo puede almacenarla durante una fraccioacuten muy pequentildea del mismo despueacutes del cual se pierde La memoria que se encarga de recoger la informacioacuten situada en el primer componente la memoria icoacutenica es la memoria de trabajo o a corto plazo La memoria de trabajo es aquella en la que se almacena temporalmente la informacioacuten codificada para su uso inmediato y es donde se produce el procesamiento activo de la informacioacuten es decir donde se realiza el proceso de pensar Por uacuteltimo se encuentra la memoria a largo plazo o semaacutentica En este componente del sistema es donde se almacena todo el conocimiento lo que sabe el individuo de forma permanente Coacutemo se almacena y coacutemo se utiliza la memoria semaacutentica por el individuo es una cuestioacuten clave en este modelo de construccioacuten del conocimiento por los individuos Por ejemplo coacutemo utiliza el individuo la memoria semaacutentica para desarrollar y poner en praacutectica determinadas habilidades como lo es comprender deducir generalizar entre otras La forma maacutes simple que se ha dado es en una lista larga estructurada y organizada Los objetos piezas de informacioacuten de tal lista estaacuten conectados mediante viacutenculos o asociaciones significativas denominadas redes Existen varios modelos dentro de esta teoriacutea sobre la memoria semaacutentica y las redes para explicar las habilidades propias del conocimiento en los individuos y todos describen el conocimiento humano como estructurado y organizado Los modelos maacutes recientes se parecen mucho a las concepciones asociacionistas siendo asiacute que se ha considerado recientemente al procesamiento de la informacioacuten aunque dentro de la ciencia cognitiva como un heredero del asociacionismo

5 Grupos de Investigacioacuten Sociedad Espantildeola de Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica (SEIEM) Se constituye en 1996 por iniciativa de profesores del aacutembito universitario proacuteximo a los departamentos de didaacutectica de las matemaacuteticas aunque entre sus miembros hay profesores de secundaria y primaria interesados por la investigacioacuten Su objetivo principal es constituir un espacio abierto de reflexioacuten y debate sobre la investigacioacuten en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas Otro objetivo importante es consolidar la comunidad de investigacioacuten en educacioacuten matemaacutetica en Espantildea Para tal fin se han creado diferentes grupos de trabajo que agrupan a investigadores interesados en un campo de investigacioacuten concreto Grupos de trabajo constituidos coordinadores y direccioacuten electroacutenica didaacutectica del anaacutelisis Carmen Azcaacuterate cazcarateccuabesaprendizaje de la geometriacutea Angel Gutieacuterrez ANGELGUTIERREZUVESdidaacutectica de la estadiacutestica y probabilidad Antonio Estepa aestepapiturdaujaenespensamiento numeacuterico y algebraico Bernardo Goacutemez gomezbpostuvesconocimiento y desarrollo profesional del profesor Salvador Llinares llinarescicaeseducacioacuten infantil Carmen Corral ccorralpinonccuuniovieshistoria de la educacioacuten matemaacutetica Joseacute Mordf Nuacutentildeez Espallargas La sociedad se reuacutene al menos una vez al antildeo en sesioacuten conjunta y eventualmente se llevan a cabo reuniones de los diferentes grupos de trabajo La sociedad publica un boletiacuten informativo que distribuye entre sus asociados Para maacutes informacioacuten consultar la direccioacuten en internet wwwuvaesseiem El grupo internacional Psychology of Mathematic Education (PME) Fundado en 1976 por HFreudenthal y E Fischbein (Israel) durante el Tercer Congreso Internacional de Educacioacuten Matemaacutetica (ICME) celebrado en Karlsruhe (Alemania) PME tiene como metas principales Promover los contactos internacionales e intercambiar informacioacuten cientiacutefica en el campo de la psicologiacutea de la educacioacuten matemaacutetica Promover y estimular la investigacioacuten interdisciplinar en el aacuterea sentildealada anteriormente con la cooperacioacuten de psicoacutelogos matemaacuteticos y educadores matemaacuteticos Avanzar y profundizar en la comprensioacuten de los aspectos psicoloacutegicos del aprendizaje y de la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute como en las implicaciones que se derivan El grupo estaacute abierto a cualquier investigador en activo que asuma las metas anteriores o interesado profesionalmente en los resultados de tales investigaciones El grupo se reuacutene anualmente cada antildeo en un paiacutes diferente La uacuteltima reunioacuten ha tenido lugar en Sud Africa (1998) y la proacutexima tendraacute lugar en Israel (1999) En total desde su fundacioacuten ha celebrado 22 encuentros internacionales Durante los cinco diacuteas que dura la reunioacuten tienen lugar sesiones plenarias comunicaciones de investigaciones en curso y reuniones de grupos de trabajo

Los siguientes grupos de trabajo (proyectos) han sido aprobados en la uacuteltima reunioacuten por el Comiteacute Internacional para PME23 (Haifa Israel 1999) Algebra epistemologiacutea cognicioacuten y nuevas tecnologiacuteas Coordinador Jean-Philippe Drouhard (drouhardunicefr) Investigacioacuten en el aula Coordinador Simon Goodchild (staffslibmarionacuk) Aspectos culturales en el aprendizaje de las matemaacuteticas Coordinador Norman Presmeg (npresmeggarnetacnsfsuedu) Psicologiacutea de la formacioacuten del profesor de matemaacuteticas Coordinador Andrea Peter-Koop (apetermathuni-muensterde) Aprendizaje y ensentildeanza de la estocaacutestica Coordinador John Truran (jtruranartsadelaideeduau) Maacutes informacioacuten en la direccioacuten de internet httpmemberstripodcom~IGPME 6 Calidad de los informes de investigacioacuten Una de las mayores preocupaciones de la comunidad de investigadores en educacioacuten matemaacutetica ha sido la calidad de las investigaciones Tal preocupacioacuten ha llevado a plantear unos estaacutendares para juzgar la calidad de los informes de investigacioacuten Presentamos a continuacioacuten los estaacutedares elaborados por el Panel Editor de una de las revistas maacutes importantes en el campo de la educacioacuten matemaacutetica (Journal for Research in Mathematics Education) Concordancia entre las cuestiones a investigar procedimientos para la recogida de datos y las teacutecnicas de anaacutelisis de los uacuteltimos Tambieacuten iquestresponde el informe a la cuestioacuten planteada Competencia investigadora El informe de la investigacioacuten deberiacutea demostrar un uso efectivo y apropiado de las teacutecnicas de anaacutelisis y recogida de datos La investigacioacuten deberiacutea situarse adecuadamente en la literatura de investigacioacuten existente sobre las cuestiones planteadas Reconocimiento expliacutecito de las asunciones personales Deberiacutean quedar claras las propias asunciones subjetivas del investigador sobre las cuestiones a investigar Validez general iquestMerecioacute la pena la investigacioacuten En alguacuten tipo de investigaciones podriacutea ser importante examinar en queacute grado la investigacioacuten informa sobre la praacutectica iquestSe han cuidado los aspectos eacuteticos durante la investigacioacuten Cualidad general tanto teacutecnica como teoacuterica y equilibrio entre la cualidad teacutecnica por un lado y la validez general y los aspectos eacuteticos por el otro Independencia del informe de investigacioacuten respecto de la plausibilidad superficial o de la elocuencia del investigador Abierto al escrutinio de todos los miembros de la comunidad cientiacutefica El informe deberiacutea suministrar al lector evidencia de coacutemo se han recogido los datos asiacute como queacute datos se utilizaron para realizar las interpretaciones Adherencia a los principios empleados por las disciplinas de las que se han tomado los meacutetodos de investigacioacuten 7 Normas de la American Psychological Association (APA) para la redaccioacuten de un artiacuteculo cientiacutefico en educacioacuten matemaacutetica Direccioacuten en internet wwwapaorg

Un protocolo seguido por la mayoriacutea de las revistas especializadas en investigacioacuten en educacioacuten matemaacutetica es el disentildeado por la Asociacioacuten Americana de Psicologiacutea y que pasamos a exponer de forma abreviada Se consideran tres tipos diferentes de artiacuteculos Investigacioacuten original Revisioacuten criacutetica de material publicado anteriormente Construccioacuten de teoriacuteas fundamentadas en la literatura existente Para cada modalidad existe una forma particular de presentacioacuten Formato para la presentacioacuten de una investigacioacuten original Consta de cinco apartados bien diferenciados Planteamiento del problema a estudiar y objetivos de la investigacioacuten El objetivo de este apartado es proporcionar una visioacuten amplia del contexto teoacuterico en el que se inserta el problema concluyendo en el enunciado de una o varias hipoacutetesis Meacutetodos empleados Este apartado incluye varias subdivisiones Poblacioacuten o muestra Donde se describen los sujetos que han participado en el experimento Materiales utilizados Procedimiento empleado Es importante describir el disentildeo utilizado y cada uno de los pasos dados en la ejecucioacuten del experimento Resultados obtenidos En este apartado es importante tambieacuten en los anteriores la claridad y resumen de los resultados obtenidos Estos deberaacuten presentarse de forma clara y concisa Discusioacuten Se valoran e interpretan los resultados del experimento a la luz de las teoriacuteas manejadas en el primer apartado Se presentaraacute tambieacuten un resumen del estado actual del problema a la luz de los datos aportados por el experimento Referencias bibliograacuteficas Se citaran de forma que sean claramente identificables todas las referencias bibliograacuteficas sentildealadas en el artiacuteculo La finalidad es ayudar a otros investigadores a hacerse una idea maacutes exacta de las principales fuentes y trabajos experimentales utilizados en la realizacioacuten del experimento Las citas deben hacerse seguacuten el siguiente formato Libros Resnick LB y Ford WW (1990) La ensentildeanza de las matemaacuteticas y sus fundamentos psicoloacutegicos Paidos Ministerio de Educacioacuten y Ciencia Capiacutetulos en libros Doumlrfler W (1991) lsquoForms and means of generalization in mathematicsrsquo en A Bishop et all (eds) Mathematical Knowledge Its Growth Through Teaching Kluwer Academic Publishers 63-85 Artiacuteculos en revistas especializadas Dubinsky E (1996) Aplicacioacuten de la perspectiva piagetiana a la educacioacuten matemaacutetica universitaria Educacioacuten Matemaacutetica Vol 8-No3 pp24-41 Los otros dos tipos de artiacuteculos revisioacuten criacutetica y construccioacuten teoacuterica tienen un formato similar al siguiente Definicioacuten de un problema estado actual de la investigacioacuten Anaacutelisis criacutetico de los documentos ya publicados

Propuesta de direccioacuten futura de la investigacioacuten sobre el problema y en el caso de construccioacuten teoacuterica presentacioacuten de una nueva siacutentesis y avance del modelo teoacuterico tratado Tan importante como el contenido es el estilo en que se escribe El manual de APA considera cuatro aspectos que definen el estilo Presentacioacuten metoacutedica de las ideas Se refiere a la continuidad en el uso de palabras conceptos y desarrollo temaacutetico desde el principio hasta el final del artiacuteculo Fluidez en la expresioacuten Presentacioacuten concatenada y con ilacioacuten de ideas dentro de un discurso en el que no debe haber omisiones irrelevancias ni contradicciones Coherencia de los tiempos verbales y seleccioacuten cuidadosa de sinoacutenimos No se acepta el empleo de recursos utilizados en la literatura creativa como por ejemplo crear ambiguumledad insertar algo inesperado cambiar bruscamente de toacutepico tiempo verbal o de persona Economiacutea en la expresioacuten Empleo justo de la cantidad de vocabulario para decir soacutelo lo que es necesario Precisioacuten y claridad Expresar soacutelo lo que se quiere significar Referencias A Castantildeeda F Fernaacutendez S Peral JC (1997) La resolucioacuten de problemas en las matemaacuteticas del bachillerato (Libro del profesor y Libro del alumno) Servicio Editorial Universidad del Paiacutes Vasco Beaton AE Mullis IVS Martin MO Gonzaacutelez EJ Kelly DL Smith TA (1996) Mathematics Achievement in the Middle School Years IEArsquos Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) TIMSS International Study Center Boston USA Beth EW y Piaget J (1980) Epistemologiacutea Matemaacutetica y Psicologiacutea relaciones entre la loacutegica formal y el pensamiento real Editorial Criacutetica Grijalbo Barcelona Borasi R (1986) On the nature of problems Educational Studies of Mathematics 17pp 125-141 Doumlrfler W (1991) lsquoForms and means of generalization in mathematicsrsquo en A Bishop et all (eds) Mathematical Knowledge Its Growth Through Teaching Kluwer Academic Publishers pp 63-85 Dubinsky E (1991) lsquoReflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinkingrsquo en D Tall (editor) Advanced Mathematical Thinking Kluwer Academic Publishers pp 95-123 Dubinsky E (1996) lsquoAplicacioacuten de la perspectiva piagetiana a la educacioacuten matemaacutetica universitariarsquo Educacioacuten Matemaacutetica Vol 8-No3 pp 24-41 Callejo M(1994) Un club matemaacutetico para la diversidad Narcea Curriacuteculo Bachillerato (1994a) Materias Especiacuteficas de la Modalidad Ciencias de la Naturaleza y de la Salud Consejeriacutea de Educacioacuten Cultura y Deportes Gobierno de Canarias Curriacuteculo Bachillerato (1994b) Materias Especiacuteficas de la Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales Consejeriacutea de Educacioacuten Cultura y Deportes Gobierno de Canarias Curriacuteculo Educacioacuten Secundaria Obligatoria (1996) Consejeriacutea de Educacioacuten Cultura y Deportes Gobierno de Canarias De Guzmaacuten M (1991) Para pensar mejor Labor

Propuesta de direccioacuten futura de la investigacioacuten sobre el problema y en el caso de construccioacuten teoacuterica presentacioacuten de una nueva siacutentesis y avance del modelo teoacuterico tratado Tan importante como el contenido es el estilo en que se escribe El manual de APA considera cuatro aspectos que definen el estilo Presentacioacuten metoacutedica de las ideas Se refiere a la continuidad en el uso de palabras conceptos y desarrollo temaacutetico desde el principio hasta el final del artiacuteculo Fluidez en la expresioacuten Presentacioacuten concatenada y con ilacioacuten de ideas dentro de un discurso en el que no debe haber omisiones irrelevancias ni contradicciones Coherencia de los tiempos verbales y seleccioacuten cuidadosa de sinoacutenimos No se acepta el empleo de recursos utilizados en la literatura creativa como por ejemplo crear ambiguumledad insertar algo inesperado cambiar bruscamente de toacutepico tiempo verbal o de persona Economiacutea en la expresioacuten Empleo justo de la cantidad de vocabulario para decir soacutelo lo que es necesario Precisioacuten y claridad Expresar soacutelo lo que se quiere significar Referencias A Castantildeeda F Fernaacutendez S Peral JC (1997) La resolucioacuten de problemas en las matemaacuteticas del bachillerato (Libro del profesor y Libro del alumno) Servicio Editorial Universidad del Paiacutes Vasco Beaton AE Mullis IVS Martin MO Gonzaacutelez EJ Kelly DL Smith TA (1996) Mathematics Achievement in the Middle School Years IEArsquos Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) TIMSS International Study Center Boston USA Beth EW y Piaget J (1980) Epistemologiacutea Matemaacutetica y Psicologiacutea relaciones entre la loacutegica formal y el pensamiento real Editorial Criacutetica Grijalbo Barcelona Borasi R (1986) On the nature of problems Educational Studies of Mathematics 17pp 125-141 Doumlrfler W (1991) lsquoForms and means of generalization in mathematicsrsquo en A Bishop et all (eds) Mathematical Knowledge Its Growth Through Teaching Kluwer Academic Publishers pp 63-85 Dubinsky E (1991) lsquoReflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinkingrsquo en D Tall (editor) Advanced Mathematical Thinking Kluwer Academic Publishers pp 95-123 Dubinsky E (1996) lsquoAplicacioacuten de la perspectiva piagetiana a la educacioacuten matemaacutetica universitariarsquo Educacioacuten Matemaacutetica Vol 8-No3 pp 24-41 Callejo M(1994) Un club matemaacutetico para la diversidad Narcea Curriacuteculo Bachillerato (1994a) Materias Especiacuteficas de la Modalidad Ciencias de la Naturaleza y de la Salud Consejeriacutea de Educacioacuten Cultura y Deportes Gobierno de Canarias Curriacuteculo Bachillerato (1994b) Materias Especiacuteficas de la Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales Consejeriacutea de Educacioacuten Cultura y Deportes Gobierno de Canarias Curriacuteculo Educacioacuten Secundaria Obligatoria (1996) Consejeriacutea de Educacioacuten Cultura y Deportes Gobierno de Canarias De Guzmaacuten M (1991) Para pensar mejor Labor

Dossey J Mullis I Lindquist M y Chambers D (1988) The mathematics report card are we measuring up Trends and achievement based on the 1986 National Assessment Princeton NJ Educational Testing Service Fernaacutendez Reyes M (1982) Resolucioacuten de problemas en la EGB Informe del Seminario dirigido por el profesor C Gaulin de la Universidad Laval de Canada Nuacutemeros 4 pp 73-77 Freudenthal H(1991) Revisiting Mathematics Education Kluwer Academic Publishers Gaulin C (1986) Tendencias actuales en la ensentildeanza de las matemaacuteticas a nivel internacional (1) Nuacutemeros 14 pp 11-18 Garciacutea R (1997) La Epistemologiacutea Geneacutetica y la Ciencia Contemporaacutenea Homenaje a Jean Piaget en su centenario Editorial Gedisa Barcelona Gutieacuterrez A (Editor) (1991) Aacuterea de Conocimiento Didaacutectica de la Matemaacutetica Coleccioacuten cultura y aprendizaje Editorial Siacutentesis Hiebert J (1999) Relationships between research and the NCTM Standars Journal for Research in Mathematics Education 30 pp 3-19 Kieran C (1998) Complexity and Insight Journal for Research in Mathematics Education vol 29 5 pp 595-601 Kilpatrick J Rico L y Sierra M (Editores) (1994) Educacioacuten Matemaacutetica e Investigacioacuten Coleccioacuten Educacioacuten Matemaacutetica en Secundaria Editorial Siacutentesis Krulik S y J Rudnik (1980) Problem Solving a handbook for teachers Allyn amp Bacon Inc Mason J Burton L y Stacey K (1988) Pensar matemaacuteticamente MEC - Labor [Versioacuten en espantildeol de la obra Thinking Mathematically publicada por Addison-Wesley originariamente en 1982 y revisada en 1985] Piaget J y Garciacutea R (1982) Psicogeacutenesis e Historia de la Ciencia Siglo XXI Editores Meacutexico Piaget J (1990) La equilibracioacuten de las estructuras cognitivas Problema central del desarrollo (Traduccioacuten de Eduardo Bustos) Siglo XXI de Espantildea Editores SA Madrid Resnick LB y Ford WW (1990) La ensentildeanza de las matemaacuteticas y sus fundamentos psicoloacutegicos Paidos Ministerio de Educacioacuten y Ciencia Polya G (1965) Coacutemo plantear y resolver problemas Trillas Mexico [Versioacuten en espantildeol de la obra How to solve it publicada por Princeton University Prees en1945] Polya G (1966) Matemaacuteticas y Razonamiento Plausible Tecnos Madrid [Versioacuten en espantildeol de Mathematics and Plausible Reasoning publicada por Princeton University Press en 1954] Polya G (1962) Mathematical Discovery (2 vol) John Wiley amp Sons New York Puig L (1996) Elementos de resolucioacuten de problemas Coleccioacuten Mathema Editorial Comares Granada Treffers A (1987) Three Dimensions A Model of Goal and Theory Description in Mathematics Education The Wiskobas Project Dordrecht Kluwer Academic Publishers Schoenfeld A (1985) Mathematical Problem Solving Academic Press New York Schoenfeld A (1987) Cognitive Science and Mathematics Education Lawrence Erlbaum Associated Shell Centre (1990) El Lenguaje de funciones y graacuteficas (Traduccioacuten de Feacutelix Alayo) Ministerio de Educacioacuten y Ciencia Servicio Editorial Universidad del Pais Vasco Steiner HG (1987) Theory of Mathematics Education an introduction For the learning of mathematics 5 (2) pp 11-17

Stigler JW y Hiebert J (1997) Understanding and improving classroom mathematics instruction An overview of the TIMSS video study Phi Delta Kappan 79(1) pp 14-21

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