l03-guia laboratorio 3

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA SECCION INGENIERIA MECANICA

AREA DE MECATRONICA

GUIA DE LABORATORIO DE CONTROL AUTOMATICO

ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL

DOMINIO DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

Lima, 2012

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU SECCION INGENIERIA MECANICA

LABORATORIO DE CONTROL AUTOMATICO 2

Respuesta en el Dominio del Tiempo

1 Objetivos

• Determinar y Analizar la respuesta en el dominio del tiempo de los sistemas de

orden primero y segundo a entradas de tipo impulso, escalón y rampa.

• Determinar y Analizar el Error en Estado Estacionario de un sistema de control con

realimentación unitaria.

2 Introducción

En la práctica, la señal de entrada para un sistema de control no se conoce con

anticipación, pero es de naturaleza aleatoria, y la entrada instantánea no puede

expresarse de forma analítica. Solo en algunos casos especiales se conoce con

anticipación la señal de entrada y se puede expresar de forma analítica o mediante

curvas.

En el análisis y diseño de sistemas de control, se debe tener una base de

comparación del comportamiento de diversos sistemas de control. Esta base se

configura especificando las señales de entrada de prueba particulares y comparando

las respuestas de varios sistemas a las señales de entrada.

El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y

la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales.

2.1 Señales de Prueba Típicas

Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón,

rampa, parábola, impulso, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar

con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, ya

que las señales son funciones del tiempo muy simples.

La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor

frecuencia en una operación normal determina cual de las señales de entrada

típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas de

un sistema son funciones del tiempo que cambian de forma gradual, una función rampa seria una buena señal de prueba. Así mismo, si un sistema esta sujeto a

entradas de choque, una función impulso será la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general el

comportamiento del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de tales señales de prueba permite comparar el comportamiento de todos los

sistemas sobre la misma base.

2.2 Respuesta Transitoria y Respuesta en estado Estacionario

La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la

respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario. La respuesta transitoria

se refiere a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado

estacionario se entiende la manera como se comporta la salida del sistema

conforme t tiende a infinito. Por tanto, la respuesta del sistema c(t) se puede

escribir como:



)()( tcctc sstr +=

donde el primer termino del miembro derecho de la ecuación es la respuesta

transitoria y el segundo termino es la respuesta en el estado estacionario.

2.3 Error en Estado Estacionario

Los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores. Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables durante los

periodos transitorios y también pueden producir errores en estado estacionario. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como la fricción

estática, juego o bamboleo y la deriva del amplificador, al igual que el envejecimiento o el deterioro, provocan errores en el estado uniforme.

3 Sistemas de Primer Orden

Un sistema de primer orden se puede representar de la siguiente manera:

La relación entrada-salida se obtiene mediante:

1

1

)(

)(

+=

TssR

sC

3.1 Respuesta al Escalón Unitario

Si la entrada es de tipo escalón unitario, al aplicarle la transformada de Laplace

tendremos R(s) = 1/s, entonces la salida del sistema se describe como:

sTs

sC1

1

1)(

+=

Aplicando transformada inversa de Laplace se tiene:

Tt

etc−

−= 1)( , para t ≥ 0

MATLAB



T = 1;

t = 0:0.1:6;

num = [1];

den = [T 1];

step(num,den,t);

grid;

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

3.2 Respuesta a la Rampa Unitaria

Para el caso de tener como entrada una rampa unitaria, al aplicarle la transformada

de Laplace, la salida seria:

{

)(

2

1

1

1)(

sR

sTssC

+=

Separando en fracciones parciales y aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene la expresión en el tiempo:

Tt

TeTttc−

+−=)( , para t ≥ 0

MATLAB

T = 1;

t = 0:0.1:6;

num = [1];

den = [T 1];

r = t;

c = lsim(num,den,r,t);

plot(t,r,'-',t,c,'o');

grid;

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

PREGUNTAS:



3.3 Respuesta al Impulso Unitario

Para una entrada impulso unitario R(s) = 1, la salida se puede obtener como

11

1)( ⋅

+=

TssC

Aplicando transformada inversa de Laplace se tiene la expresión en el tiempo de la

salida

Tt

eT

tc−

=1

)( , para t ≥ 0

MATLAB

T = 1;

num = [1];

den = [T 1];

impulse(num,den,6);

grid;

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

4 Sistemas de Segundo Orden

El diagrama de bloques de un sistema de Segundo Orden Estándar es como el que se

muestra a continuación.

)2(

2

n

n

ss ζω

ω

+

Del diagrama anterior se tiene la siguiente relación entra la entrada y la salida:

22

2

2)(

)(

nn

n

sssR

sC

ωζω

ω

++=



4.1 Respuesta al Escalón Unitario

El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden ante una entrada de

tipo escalón unitario se puede expresar en función de los parámetros ζ y ωn.

a) Caso Subamortiguado ( 10 << ζ ): Para este caso, los polos en lazo cerrado son

complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s.

Entonces la relación C(s)/R(s) se escribe así:

))(()(

)(2

dndn

n

jsjssR

sC

ωζωωζω

ω

−+++=

Donde 21 ζωω −= nd (Frecuencia Natural Amortiguada). Para una entrada escalón

unitario R(s) = 1/s se tendrá la siguiente respuesta en el tiempo:

−+

−−= −

−

ζ

ζω

ζ

ζω 2

1

2

1tan

11)( tsen

etc d

tn

, para t ≥ 0

MATLAB t = 0:.2:10;

zeta = 0.4;

wn = 1;

wd = wn*sqrt(1-zeta^2);

pa = -zeta*wn - wd*i;

pb = -zeta*wn + wd*i;

num = [0 0 1];

den = conv([1 -pa],[1 -pb]);

step(num,den,t); 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

b) Caso Críticamente Amortiguado ( 1=ζ ): Si los polos de C(s)/R(s) son casi

iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado. Para R(s) = 1/s, C(s) será de la forma:

( ) sssC

n

n 1)(

2

2

ω

ω

+=

Aplicando transformada inversa de Laplace se tiene la expresión:

)1(1)( tetc n

tn ωω +−= −

MATLAB



t = 0:.2:10;

zeta = 1;

wn = 1;




num = [0 0 1];

den = conv([1 -pa],[1 -pb]);

step(num,den,t);

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

c) Caso Sobreamortiguado ( 1>ζ ) Para este caso, los polos de C(s)/R(s) son

reales negativos y diferentes. Con R(s) = 1/s, C(s) tendrá la forma:

ssssC

nnnn

n 1

)1)(1()(

22

2

⋅−−+−++

=ζωζωζωζω

ω

Aplicando transformada inversa de Laplace se tiene:

−−−

−+−+=

−−−−+−

n

t

n

t

nnn ee

tcωζζωζζζ

ω ωζζωζζ

)1()1(121)(

2

)1(

2

)1(

2

22

MATLAB t = 0:.2:10;

zeta = 1.2;

wn = 1;




num = [0 0 1];

den = conv([1 -pa],[1 -pb]);

step(num,den,t);

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

4.2 Especificaciones de Respuesta Transitoria

Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se

especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, puesto

que esta es fácil de generar y es suficientemente drástica.



La respuesta transitoria de un sistema para una entrada de tipo escalón unitario depende

de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema en

reposo al inicio. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad.

Curva de Respuesta al escalón unitario con los parámetros td, tr, tp, Mp y ts

a) Tiempo de Retardo (td): Tiempo requerido para que la respuesta alcance el 50%

del valor final.

b) Tiempo de Subida (tr): Tiempo requerido para que la respuesta pase del 10% al

90%, del 5% al 95% o del 0% al 100% de su valor final.

MATLAB

num = [0 0 10];

den = [1 2 10];

t = 0:.01:6;

[y]=step(num,den,t); %datos

finalvalue=polyval(num,0)/polyval(den,0)

%Calculo de Tiempo de Subida

n=1;

while y(n)<0.1*finalvalue,n=n+1; end

m=1;

while y(m)<0.9*finalvalue,m=m+1; end

risetime=t(m)-t(n)



c) Tiempo Pico (tp): Tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de

sobreimpulso.

MATLAB num = [0 0 10];

den = [1 2 10];

t = 0:.01:6;


[Y,k]=max(y);

timetopeak=t(k)

d) Sobreimpulso (Mp): Máximo valor pico de la curva de respuesta, medido a partir

de la unidad. Si el valor final en estado estacionario de la respuesta es diferente de la

unidad, es frecuente utilizar el porcentaje de sobreimpulso máximo (PO%). El cual se define de la siguiente manera:

%100)(

)()(% ×

∞

∞−=

c

ctcPO

p


den = [1 2 10];

t = 0:.01:6;



%Calculo del SobreImpulso Porcentual (PO%)

[Y,k]=max(y);

percentovreshoot=100*(Y-finalvalue)/finalvalue

e) Tiempo de Establecimiento (ts): Tiempo requerido para que la respuesta

alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje

absoluto del valor final (por lo general, de 2% a 5%).


den = [1 2 10];

t = 0:.01:6;



step(num,den); %grafica

%Calculo Tiempo Establecimiento

l=length(t);

while(y(l)>0.98*finalvalue)&&(y(l)<1.02*finalvalue)

l=l-1;

end

settingtime = t(l)

MATLAB



num = [0 0 10];

den = [1 2 10];

t = 0:.01:6;

step(num,den,t);

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: sys

Rise Time (sec): 0.425

System: sys

Peak amplitude: 1.35

Overshoot (%): 35.1

At time (sec): 1.05

System: sys

Settling Time (sec): 3.54

System: sys

Final Value: 1

5 Error en Estado Estacionario

Considérese el siguiente sistema de control

La relación entre la entrada y la salida o función transferencia seria la siguiente

)(1

)(

)(

)(

sG

sG

sR

sC

+=

La función transferencia entre la señal de error e(t) y la señal de salida r(t) es:

)(1

1

)(

)(

sGsR

sE

+=

El error en estado estacionario será:

)(1

)(lim)(lim)(lim

00 sG

sRsssEtee

sstss

+===

→→∞→

RESOLVER



¿Cómo será la curva de error en estado estacionario para 166.5

16)(

2 ++=

sssG , al

aplicarle un escalón unitario?


16)(

2 ++=

sssG , al

aplicarle una rampa unitaria?


16)(

2 ++=

sssG , al

aplicarle una parábola unitaria?

ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Con el análisis en el dominio de la frecuencia, se estudia la respuesta en estado

estacionario de un sistema ante una entrada sinusoidal. En los métodos de respuesta en frecuencia variamos la frecuencia de la señal de entrada en un rango y se analizan la

respuesta resultante.

El objetivo principal del análisis de sistemas de control con retroalimentación es el poder determinar las siguientes características del sistema:

1. El grado o alcance de la estabilidad del sistema.

2. La respuesta en estado estable.

3. La respuesta en estado transitorio.

Existen cuatro métodos gráficos para el análisis de sistemas de control, los cuales son más

simples y directos que los métodos en el dominio del tiempo para modelos lineales

prácticos de sistemas de control con retroalimentación. Estos métodos son:

1. El método del lugar de las raíces.

2. Representaciones de diagramas de Bode.

3. Diagramas de Nyquist.

4. Diagramas polares.

Una ventaja del método de la respuesta en frecuencia es la simplicidad ya que se pueden desarrollar de forma precisa mediante el empleo de generadores de señales sinusoidales y

de equipos de medida confiables, así mismo, permite diseñar un sistema en el cual los efectos de los disturbios no deseados sean despreciables, y que el análisis y diseño se

puedan extender a algunos sistemas de control no lineales.

Las funciones de Matlab relacionadas con el análisis en el dominio de la frecuencia son: rlocus : Calcula y grafica el lugar de raíces de un sistema dado.



rlocfind : Encuentra la ganancia del lugar de raíces para un grupo de polos dados.

bode : Grafica las curvas de magnitud y fase de Bode para un sistema dado. margin : Muestra los márgenes de fase y ganancia en un diagrama de bode para un

sistema dado. nyquist : Grafica la respuesta en frecuencia de Nyquist para un sistema dado.

polar Muestra el diagrama polar de un sistema dado.

PROCEDIMIENTO

1. Diagramas de Bode.-

Esta función nos permite obtener la respuesta en frecuencia de Bode para un

sistema.

Sea el sistema representado por la siguiente función de transferencia

10257

40)(

23 +++=

ssssG

Programa en Matlab

num =[40];

den = [1 7 25 10];

sys = tf(num,den);

bode(num,den);

grid on

title(‘Diagrama de Bode’)



Podemos obtener directamente el margen de fase y ganancia cambiando el comando bode

por el de margin.

Programa en Matlab num =[40];

den = [1 7 25 10];

sys = tf(num,den);

margin(num,den);

Si se desea dibujar el diagrama de bode desde 0.01 rad/seg hasta 1000 rad/seg introduzca la siguiente orden:

ω = logspace(-2.3,100)

Este comando genera 100 puntos espaciados logarítmicamente por igual entre 0.01 rad/seg

y 100rad/seg.(Obsérvese que el vector ω especifica las frecuencias en radianes por

segundo en las cuales se calculara la respuesta en frecuencia).

Si se utiliza el comando

bode (sys, ω)



el rango de frecuencia será especificado por el usuario, mientras que el rango de la magnitud y el ángulo de fase se determinara automáticamente.

[mag,fase, ω]=bode(num, den, ω)

Programa en Matlab num =[40];

den = [1 7 25 10];

sys = tf(num,den);

ω = logspace(-2,3,100)

bode (sys, ω)

grid on

2. Diagramas de Nyquist:

Considere la siguiente función de transferencia en lazo abierto

18.1

1)(

2 ++=

sssG



Programa en Matlab

num =1;

den = [1 1.8 1];

sys=tf(num,den)

nyquist(sys)

grid on

Si se requiere dibujar un diagrama de Nyquist manualmente, los rangos deben de ser por

ejemplo desde –2 hasta 2 en el eje real y desde –2 hasta2 en el imaginario, introduzca la

siguiente orden al matlab.

v = [-2 2 –2 2];

axis(v);

Programa en Matlab num =1;

den = [1 1.8 1];

sys=tf(num,den)

nyquist(sys)

grid on

v = [-2 2 –2 2];

axis(v);



3. Lugar de Raíces.-

Considerando el sistema de control mostrado

La función de transferencia en lazo abierto es.

166.5

16)(

2 ++=

sssG

Programa en Matlab num =[1 0 1];

den = [1 2 0];

sys=tf(num,den)

rlocus(sys)

grid on



Para poder acomodar o aumentar la extensión de la gráfica.

Programa en Matlab

num =[1 0 1];

den = [1 2 0];

sys=tf(num,den)

rlocus(sys)

grid on

v=[-2 1 -2.5 2.5];

axis(v)

4. Ejemplos de aplicación.-

Esta sección se discutirá el diseño de sistemas en lazo cerrado basado en la aproximación

del diagrama de Bode. Esta aproximación para el diseño de control es particularmente por

las siguientes razones:

• En el diagrama de Bode, la asíntota de baja frecuencia de la curva de magnitud

indica una de las constantes de error estática. • Las especificaciones de la respuesta transitoria se pueden traducir a las de respuesta

en frecuencia en términos de margen de fase, margen de ganancia, ancho de banda

y así sucesivamente. Estas especificaciones se pueden manejar fácilmente en el

diagrama de Bode. En particular los márgenes de fase y de ganancia se pueden leer

directamente del diagrama de bode.

• El diseño de un compensador o controlador para satisfacer las especificaciones

dadas (en términos de margen de fase y de ganancia) se puede llevar a cabo en el

diagrama de bode de una manera simple y directa.

Considere el sistema de control mostrado a continuación. Determinar el valor de la

ganancia K para que el margen de fase sea de 60°

La función de transferencia de lazo en lazo abierto es:

sss

sK

ssx

s

sKsG

5.05.1

)110(10

5.0

1.0)(

232 ++

+=

++

+=



Primero dibujar el diagrama de bode G(s) cuando K=1, donde se puede observar que la

fase de 60° ocurre en la frecuencia ω=1.15 rad/seg. La magnitud de G(jω) a esta

frecuencia es de 14.4 dB. Por lo tanto la ganancia debe de satisfacer la siguiente ecuación:

20logK =-14.4dB.

K=0.1905

Programa en Matlab num =[10 1];

den = [1 1.5 0.5 0];

sys=tf(num,den)

margin(sys)

l03-guia laboratorio 3

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