PROPUESTA DE DISEÑO DE UNA PRÁCTICA:

Una pequeña incursión en el ámbito de las funciones de dos variables:

optimización usando argumentos gráficos

Jesús Ríos

Paco Monserrat

Nivel de los alumnos a los que va dirigida: 20 BACHILLERATO

Conocimientos previos:

Concepto de función y gráfica de una función (1 variable)

Familiaridad con problemas de optimización de funcionesde una variable

Familiaridad con “lugares geométricos” definidos por ecuaciones implícitas (recta, plano, circunferencia, etc.)

Objetivos que se pretenden:

Mostrar cómo la Matemática ya conocida por el alumno puede aplicarse a aspectos inmediatamente identificables como “útiles” y “próximos”

Reforzar los conceptos de “función”, “gráfica” y “lugar geométrico”

Desarrollar la visión espacial

Introducir al alumno en problemas de optimización de funciones de dos variables, sin necesidad de más herramientas que una “pequeña” extensión de ciertos conocimientos previos

PROBLEMA

Cálculo de las dimensiones de un envase en forma de “brick”, de 1 litro de volumen, realizado con la mínima cantidad de cartón posible.

Primer enunciado del problema, expresado en términos matemáticos:

problema de optimización

Cálculo de las dimensiones de un ortoedro de 1 litro de volumen y con

superficie mínima.

Función superficie:

a(x,y,z)=2(xy+xz+yz)

Condición: volumen=1

z=1/(xy)

Función objetivo:

f(x,y)=a(x,y,1/(xy))

La solución parece ser:

x=1 dm y=1 dm z=1 dm

Con lo cual la superficie mínima será 6 dm2

Otra manera de constatar gráficamente el resultado es mediante la utilización de curvas de nivel:

Las curvas de nivel correspondientes a la gráfica de una función f(x,y) se obtienen representando en el plano XY las curvas dadas por funciones implícitas de la forma:

f(x,y)=k

Siendo k un valor del recorrido de la función f.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA: CUBO

1 dm

1 dm

1 dm

PROBLEMAS RELACIONADOS

1. Resolver el mismo problema con diferentes volúmenes e intuir cual será la solución para un volumen arbitrario v.

2. Determinar las dimensiones de un ortoedro de 6 dm2 de superficie y con volumen máximo. Fijar distintos valores para la superficie y enunciar un resultado general.

Segundo enunciado del problema, en términos más “realistas”:

Teniendo en cuenta la forma en la que realmente seconstruye un envase en forma de “brick”: medianteplegado de un rectángulo.

x 2y

2x+0.08

z

x2y

Anchura pestañas: 0.08 dm

Condición: volumen=1dm3 (2x+0.08) ·2y · z=1

y

y

z=1/(4 xy+0.16 y)

Función superficie: a(x,y,z)=(2y+z+2·0.08)·(4x+4y+3·0.08)

Función objetivo: f(x,y)=a(x,y, 1/(4 xy+0.16 y) )

2x+0.08

z

2y

Solución aproximada:

x=0.55 dm y=0.3 dm f(0.55, 0.3)=7.9076 dm2

z=1.4124 dm

1.18 dm

1.4124 dm

0.6 dm

Rectángulo áureo

Razón áurea=(1+51/2)/2=1.61803...

Tercer enunciado del problema:

Cálculo de las dimensiones de un “brick” de 1 litro de volumende manera que una de sus caras es un rectángulo áureo y la superficie del rectángulo obtenido al “desplegarlo” sea mínima.

Propuesta:

Resolverlo utilizando como herramienta el programa Derive.

¿Se aproximan los “bricks” más estándar a la solución obtenida?

Solución aproximada:

x=0.4577 dm y=0.3118 dm g(0.498)=7.9452 dm2

z=1.6107 dm

0.995 dm

1.611 dm

0.624 dm