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Modelos de Crecimiento Endógeno

Javier Andrés, José E. Boscá, Rafael Doménech y Javier FerriUniversidad de Valencia

Tema 2

Macroeconomía Dinámica Crecimiento Endógeno Tema 2 1 / 40

Índice

1. Introducción

1.1 Otros hechos estilizados (crecimiento endógeno)1.2 ¿Cómo se genera progreso técnico endógeno?

1.2.1 Tecnología, rendimientos crecientes y externalidades.1.2.2 Capital humano1.2.2 Modelos de I+D

2. Crecimiento endógeno y rendimientos crecientes: el modelo AK

3. Crecimiento endógeno: un modelo de capital humano (Lucas, 1993)

3.1 Convergencia en el modelo con capital humano

4. Conclusiones


https://goo.gl/14UU6c

1. Introducción

El supuesto de una tasa de crecimiento exógena es una simplificación paratrabajar con un modelo sencillo, pero no es muy realista.Dos carencias fundamentales:

El crecimiento se ve afectado por las decisiones que toman los agenteseconómicos y por los recursos que destinan a acumular capital físico,tecnológico y humano. Sin embargo en el modelo de Solow, la tasa deahorro sólo tiene un efecto nivel:

∆(Y/L)∗

(Y/L)∗= g

∂g∂s= 0.

Pero podría tener un efecto sobre la tasa de crecimiento si

∆(Y/L)∗

(Y/L)∗= g(s),

∂g∂s> 0.

El principal factor del crecimiento, el progreso técnico A que crece a latasa g, no es verdaderamente exógeno. ¿Qué hay detrás de A? Este esel objetivo de los modelos de crecimiento endógeno: explicar losmotores del crecimiento.


1. Introducción


1.1 Otros hechos estilizados (crecimiento endógeno)

1 El crecimiento económico no muestra ninguna correlación con la renta inicialper cápita, aunque ha habido convergencia entre algunas regiones delmundo. Evidencia de ’milagros’y ’desastres’.

2 En el año 2000 existían todavía enormes diferencias en el PIB per cápita a lolargo del mundo: US ($32550), Mexico ($9000), China ($4000), India($2000) y Nigeria ($1000).

3 El crecimiento de los factores productivos, por sí solos, no explica elcrecimiento del output. Necesitamos un determinante adicional (Residuo deSolow).

4 En el corto y medio plazo hay fluctuaciones sustanciales en los ’grandesratios’y otras variables.

5 El capital humano es un determinante fundamental del nivel de renta y delcrecimiento.


1.1 Otros hechos estilizados (crecimiento endógeno)

6. El gasto en I+D está altamente correlacionado con los niveles de renta y elcrecimiento.

7. La importacia de las instituciones (Acemoglu y Robinson, 2012) ⇒ laspolíticas públicas sensatas y el desarrollo financiero promueven elcrecimiento económico.

8. El comercio internacional y el grado de apertura exterior potencian elcrecimiento.

9. Existe una correlación entre desigualdad y crecimiento, así como entredemocracia y crecimiento, aunque estas correlaciones no son lineales.

10. Más allá del estado inicial de desarrollo, unas elevadas tasas de fertilidadtienden a estar negativamente correlacionadas con la tasa de crecimiento(Mankiw, Romer y Weil, 1992).


http://whynationsfail.com/

https://goo.gl/RYfr7A

1.2 ¿Cómo se puede generar progreso técnico endógeno?

Para superar las limitaciones de los modelos de crecimiento exógenotenemos que modificar el modelo.

El elemento clave aquí es la tecnología, dado que los otros supuestos serefieren al ’vaciado de mercado’que es la característica que define ellargo plazo.Mantendremos el supuesto de rendimientos constantes a escala a nivelde empresa para evitar entrar en el terreno de los monopolios naturalesy abandonar el supuesto de competencia perfecta.

Hay diferentes formas en las que podemos introducir cambios en el modelo.Vamos a discutir primero algunos ejemplos básicos y luego abordaremos dosmodelos más elaborados, aunque sencillos, de crecimiento endógeno.


1.2.1 Tecnología, rendimientos crecientes y externalidades.

Supongamos que la tecnología es de la siguiente forma (en la literatura seconoce como el modelo AK):

Yt = Ak1−αt Kα

t Lt1−α

yt ≡Yt

ALt= Akt

en donde ahora A es constante (g = 0), pero existen externalidades entreempresas, que dependen del stock de capital agregado por trabajador.Como veremos más adelante, a pesar de que g = 0, la presencia derendimientos crecientes permite que el output en unidades de trabajoeficiente crezca endógenamente:

∆kt = kt+1 − kt = syt − (n+ δ)kt

∆yt

yt= f ′

∆kt

yt= f ′

[s− (n+ δ)

kt

yt

]limt→∞

∆yt

yt= As− (n+ δ) 6= 0


1.2.1 Tecnología, rendimientos crecientes y externalidades.

En consecuencia, la tasa de crecimiento de la renta en unidades de eficienciaa largo plazo depende de parámetros como la tasa de ahorro.

Muchos modelos de crecimiento endógeno (por ejemplo, Rebelo, 1991, oRomer, 1986) basados, por ejemplo, en la existencia de rendimientosconstantes a nivel de empresa pero crecientes a nivel agregado(consecuencia de la existencia de externalidades) o en el "aprendizaje basadoen la experiencia" (lo que se llama learning-by-doing) se pueden reescribircomo un modelo AK.


https://goo.gl/8EFPgq

https://core.ac.uk/download/pdf/6519252.pdf

1.2.2 Capital humano

En el modelo de Solow el crecimiento del PIB per cápita es independiente delas decisiones de los agentes, pero en la práctica no es así. Cuando losindividuos deciden cuanto tiempo dedican a acumular capital humano tienenen cuenta todos los costes de oportunidad, incluyendo la producción que sepierde.

Uzawa, 1965 o Lucas (1988, 1993): A es una función del capital humano(H) y del tiempo dedicado a su acumulación (u):

A = A(H, u)

Una mayor cantidad de recursos dedicados a acumular capital humano(mayor u) induce un crecimiento más rápido.


http://kisi.deu.edu.tr/yesim.kustepeli/uzawa1965.pdf

https://goo.gl/pSWQP6

https://goo.gl/14UU6c

1.2.3 Modelos de I+D

Romer (1990), Grossman y Helpman (1991) y Jones (1995): la utilización demás y mejores recursos en actividades de I+D permite la diferenciación deproducto y el poder de mercado. De nuevo, esto promueve el crecimiento.

En estos modelos:g = g(A, Ki, Li)

donde Ki y Li son, respectivamente, el stock de capital y el empleo enactividades de I+D


https://goo.gl/Va6rq4

https://goo.gl/fwLPMc

http://www-leland.stanford.edu/~chadj/JonesQJE1995.pdf

2. Crecimiento endógeno y rendimientos crecientes: elmodelo AK

Consideremos una economía en la que existe un número infinito de empresasindexadas por j. Cada empresa produce de acuerdo con la siguiente funciónde producción:

Yjt = AtKαjt(AjLjt

)1−α (1)

Este supuesto implica que, a nivel de empresa, la demanda de trabajo ycapital está bien definida de la forma habitual:

FL(Kjt, Ljt) = (1− α)At

(Kjt

AjLjt

)α

=Wt

Pjt(2)

FK(Kjt, Ljt) = αAt

(Kjt

AjLjt

)(α−1)

= rt (3)



Introduzcamos ahora el siguiente supuesto clave: la productividad total delos factores viene determinada por la relación capital-trabajo a nivelagregado, al existir externalidades positivas entre empresas:

At = A(

Kt

ALt

)φ

(4)

en donde A ahora es constante (g = 0), por lo que las tasas de crecimientodel output y capital en unidades eficientes y en términos per cápita sonahora iguales.

La interpretación de esta expresión es que el progreso técnico no es exógeno,sino que es el resultado de la exposición de los trabajadores al capitalproductivo (learning-by-doing). Nótese que es la ratio agregada y no a nivelde empresa lo que condiciona el preceso de aprendizaje.



Agregando la función de producción de todas las empresas obtenemos:

Yt = AtKαt (ALt)

1−α

donde

At = A(

Kt

ALt

)φ

Transformando a unidades de eficiencia obtenemos:

yt = Akφ+αt

Calculando ahora la productividad marginal del capital obtenemos:

f ′ =∂yt

∂kt= A (φ+ α) k(φ+α−1)

t

Obsérvese que

limk→∞

f ′ = A (φ+ α) 6= 0; iff (φ+ α) = 1 → limk→∞

f ′i = A



Por analogía con el modelo de Solow, en este caso la ecuación fundamentaldel crecimiento es:

∆kt = sAkφ+αt − (n+ δ)kt (5)

Dado que:∆yt = f ′∆kt

se deduce que:

∆yt

yt= f ′

∆kt

yt= f ′

[s

Akφ+αtyt

− (n+ δ)kt

yt

]Por tanto,

∆yt

yt= f ′

∆kt

yt= f ′

[s− (n+ δ)

kt

yt

]y

∆yt

yt= A(φ+ α)k(φ+α−1)

t

[s− (n+ δ)

kt

Ak(φ+α)t

](6)



Bajo el supuesto de que (φ+ α) = 1 obsérvese que:

limt→∞

∆yt

yt= lim

t→∞

∆kt

kt= As− (n+ δ) 6= 0

Bajo el supuesto de que (φ+ α) = 1 este modelo tiene muchas de laspropiedades de los modelos de crecimiento exógeno, es decir, es consistentecon los hechos estilizados y, además, da lugar un estado estacionario en elque el output en unidades de trabajo eficiente crece.

Proposición 1: A lo largo de la senda de crecimiento sostenido (estadoestacionario) y no es constante sino que crece a una tasa constanteAs− (n+ δ). En este caso la ecuación (6) se simplifica a:

∆y∗ty∗t

= As− (n+ δ) (7)



Crecimiento endógeno: y crece a la tasa constante As− (n+ δ)

K/AL

n+δ

k 0

Asy

y∆ k

k∆

= >0



Comparación entre el modelo AK y el de SolowAK : φ = 1− α, g = 0 Solow: φ = 0, g > 0

PIB Yt = A(

KtALt

)1−αKα

t (ALt)1−α Yt = Kαt (AtLt)1−α

y ≡ Y/AL yt = Akt yt = kαt

Crecimiento de y∗ ∆y∗ty∗t= As− (n+ δ)

∆y∗ty∗t= 0

Crecimiento de YL∗ ∆(Yt/Lt)

∗

(Yt/Lt)= As− (n+ δ) ∆(Yt/Lt)

∗

(Yt/Lt)= g > 0

Rendimientos:1. Empresa constantes constantes2. Agregados crecientes constantes



Proposición 2: A lo largo de la senda de crecimiento sostenido, el output yel capital crecen a la misma tasa, que es igual a la tasa de ahorro menos latasa de depreciación. Como

∆y∗

y∗=

∆k∗

k∗= As− (n+ δ)

entonces:γ∗Y = γ∗K = As− δ (8)



Proposición 3: A lo largo de la senda de crecimiento sostenido el outputper cápita crece a la tasa As− n− δ

γ∗(Y/L) =∆(Y/L)∗

(Y/L)∗=

∆y∗

y∗+

∆AA= As− n− δ (9)

Proposición 4: A lo largo de la senda de crecimiento sostenido hay plenoempleo de trabajo y capital.

Proposition 5: La tasa de crecimiento de la renta per cápita en la senda decrecimiento sostenido es una función de s y n :

∂γ∗(Y/L)

∂s> 0;

∂γ∗(Y/L)

∂n< 0 (10)



K/AL

n+δ

k 0

As

yy

∆ kk

∆= >0

As

1

0

Aumentar s incrementa la tasa decrecimiento de la renta en la sendade crecimiento sostenido.

K/AL

n+δ

k 0

yy

∆ kk

∆= >0

As

1

0

n+δ

Reducir n incrementa la tasa decrecimiento de la renta en la sendade crecimiento sostenido.



La evidencia empírica es favorable al modelo AK utilizando datos de cortetransversal para una muestra de 105 países.


3. Crecimiento endógeno y capital humano: Lucas, 1993

Consideremos la función de producción estándar del tema anterior

Y = Kα(AL)1−α, 0 < α < 1 (11)

pero supongamos la siguiente interpretación para A,

A = Aeh (12)

donde h representa un índice de capital humano per cápita, e es laproporción en la dotación de tiempo dedicada a trabajar, y (1− e) laproporción de tiempo dedicada a acumular más capital humano de acuerdocon la siguiente expresión:

∆h = (1− e)ψh (13)

ψ representa la eficiencia en el proceso de acumulación de capital humano(¿relación con el sistema educativo?).



Representemos de nuevo la función de producción en unidades de trabajoeficiente:

YAL

=

(K

AL

)α

(eh)1−α , 0 < α < 1

que nos proporciona la siguiente estructura en relación con la tecnología y laacumulación de factores:

y = kα(eh)1−α, 0 < α < 1 (14)

∆k = sy− (n+ g+ δ)k (15)

∆h = (1− e)ψh

Consideraremos que la tasa de ahorro (s) y la proporción de tiempodedicada a acumular capital humano (1− e) son exógenas.



Diferenciando la función de producción obtenemos

∆yy=α

∆kk+ (1− α)

∆hh

o:∆yy= α

(s

yk− (n+ g+ δ)

)+ (1− α)(1− e)ψ (16)

Esta ecuación y las anteriores implican la siguiente condición para una tasade crecimiento constante (estado estacionario): y

k es constante, lo que

implica que: ∆y∗y∗ =

∆k∗k∗ . De aquí:

∆y∗

y∗= α

∆k∗

k∗+ (1− α)

∆hh=⇒

∆y∗

y∗=

∆hh

Por lo tanto:γ∗y = γ∗k = γ∗h (17)



Proposición 1: La tasa de crecimiento de todas las variables en unidades deeficiencia está determinada por la acumulación de capital humano:

γ∗y = γ = γ∗h = (1− e)ψ (18)

Los principales determinantes del crecimiento son la eficiencia del sistema deproducción de capital humano (ψ) y la proporción del tiempo dedicada aacumular capital humano (1− e).


3. Crecimiento endógeno: un modelo de capital humano(Lucas, 1993)

Dinámica del output en doseconomías: ψA > ψB y/o eA < eB

Dinámica del output en doseconomías: ψA = ψB y eA = eB



Proposición 2: La tasa de crecimiento de la renta per cápita vienedeterminada por:

γ∗(Y/L) = g+ γ∗y = g+ (1− e)ψ (19)

Los principales determinantes del crecimiento son g más la eficiencia y losrecursos dedicados a acumular capital humano.



Proposición 3. La acumulación de capital (físico) no reduce el rendimientomarginal del capital en la medida en que su acumulación se produzca almismo ritmo que la del capital humano. Por lo tanto, aunque laproductividad marginal del capital, manteniendo constante el capitalhumano, tiende a caer cuando k aumenta, el aumento permanente en hmantiene la productividad marginal constante, por lo que el crecimiento deesta variable determinina el crecimiento de estado estacionario.

Nótese que∂y∂k= αk(α−1)(eh)1−α = α

(ehk

)1−α

Por tanto,

[∂(

∂y∂k

)∂k

]∆hh =0

=((α− 1)αk(α−1)(eh)1−α

)< 0,[

∂(

∂y∂k

)∂k

]∆hh =

∆kk

= 0


3.1 Convergencia en el modelo de Lucas

Para entender el proceso de convergencia en este modelo pensemos en unmundo compuesto por dos economías 1 y 2. Estas economías tienen losmismos parámetros de largo plazo (α, ψ y e) pero tienen un nivel diferentede renta (en unidades de eficiencia) en el periodo t = t0.

Hay perfecta movilidad de capital físico entre las dos economias, pero elcapital humano no se traslada. El supuesto de perfecta movilidad de capitalimplica que la tasa de rendimiento del capital se iguala entre países i = I, II:

ri = α

(ehiki

)1−α

= r (20)



Definamos las siguientes magnitudes medias

kW ≡kI + kII

2, hW ≡

ehI + ehII2

(21)

así

ri = r⇒ kihi=

kWhW

(22)

Introduciendo este resultado en la función de producción:

yi =

(kiehi

)α

ehi =

(kWehW

)α

ehi

lo que implica que las diferencias en renta entre países se explicacompletamente a partir de las diferencias en capital humano:

yIIyI=

(YIILII

)(

YILI

) = hIIhI

(23)



Si las dos economías tuvieran los mismos parámetros estructurales creceríana la misma tasa ((1− e)ψ) pero las diferencias absolutas en el nivel derenta en unidades de trabajo eficiente (y por tanto también en términos percapita) persistirían.Proposición 4. El modelo no está dotado de un mecanismo para asegurarla convergencia. Sin supuestos adicionales predice que las diferenciasabsolutas en la renta per capita persitirán.



Para explicar la convergencia entre algunas economías, el modelo podríaaumentarse con un mecanismo como el siguiente. Supongamos que aunqueel capital humano no se puede trasladar entre países, la acumulación decapital humano se aprovecha de los spillovers internacionales, de modo quela acumulación en cada país es una función del nivel mundial agregado decapital humano: difusión internacional de las ideas.

∆hi = (1− e)ψh(1−φ)i hφ

W (24)

donde 0 < φ < 1 capta el efecto spillover.

Nótese que esta expresión implica que la acumulación de capital humanocrecerá más rápidamente (lentamente) en el país que tenga su capitalhumano por por debajo (por encima) del capital humano medio (efecto catchup). Este concepto se puede racionalizar en términos de difusión de ideas,

∆hihi= (1− e)ψ

(hWhi

)φ



La difusión de ideas permite que, a lo largo del estado estacionario, todos lospaíses tengan el mismo nivel de capital humano:

limt→∞

hi = h∗W , ∀i = I, II

y la misma tasa de crecimiento:

∆h∗ih∗i

= (1− e)ψ , ∀i = I, II

Esta forma de catch up internacional en el capital humano incorpora unmecanismo de convergencia de la renta per capita entre los países: los paísescon capital humano más bajo crecerán más rápidamente que aquéllos con uncapital humano h mayor.



Este mecanismo de difusión implica la convergencia a largo plazo en capitalhumano, con independencia del punto de partida de cada país:

Una vez se alcanza el estado estacionario h∗i = h∗W. Por lo tanto,

∆y∗iy∗i

= α∆k∗ik∗i

+ (1− α)∆h∗ih∗i

=

= α∆k∗ik∗i

+ (1− α)(1− e)ψ(

h∗Wh∗W

)= α

∆k∗ik∗i

+ (1− α)(1− e)ψ

Como∆y∗iy∗i

=∆k∗ik∗i

∆yIyI

=∆yIIyII

=∆kIkI=

∆kIIkII

=∆hIhI

=∆hIIhII

=∆hWhW

= (1− e)ψ



Pero recuérdese que

yi =

(kiehi

)α

ehi

y además kiehies igual entre países (perfecta movilidad de capital), por lo que

y∗IIy∗I=

(YIILII

)(

YILI

) = 1



Proposición 5. En los modelos de crecimiento endógeno la convergenciapuede o no suceder, depende de los supestos sobre el modelo. En nuestrocaso, hemos presentado un modelo guiado por el crecimiento de h, i.e, por ey ψ, en el que los países pueden llegar a converger debido a la difusióninternacional del conocimiento y a la movilidad internacional del capital:

Libertad en la movilidad del capital asegura que:

kiehi=

kWhW

La difusión internacional de las ideas favorece que:

hi = hW

Ambos mecanismos implican la convergencia total en el nivel de renta percapita y en tasas de crecimiento.



Ausencia de movilidad del capital yde difusión internacional de lasideas ⇒ No convergencia.

Libertad en la movilidad del capitaly difusión internacional de las ideas⇒ Convergencia.


3.1 Convergencia en el modelo de Lucas: evidencia

Niveles relativos de escolarización en 1960 y 2010 (media OCDE=100). Fuente:de la Fuente y Doménech (2012)


4. Conclusiones

1 Los modelos de crecimiento endógeno son capaces de explicarrazonablemente bien muchos de los hechos estilizados del crecimientoeconómico.

2 Los modelos de crecimiento endógeno explican el crecimiento de la renta percápita a largo plazo como resultado de rendimientos crecientes (efectosexternos), inversión en I+D, la acumulación de capital humano, etc.

3 En los modelos de crecimiento endógeno se puede dar o no convergencia,dependiendo de los supuestos concretos del modelo ⇒ heterogeneidad entrepaíses.

4 Si el crecimiento es endógeno: las políticas económicas y la calidad de lasinstituciones puede mejorar las perspectivas de largo plazo de un país.


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