APLICACIN DE LOS METODOS NUMERICOS (METODO DE NEWTON-RAPHSON) PARA DETERMINAR EL FLUJO DE POTENCIA DE UN SISTEMA

INTRODUCCIN

Los estudios de flujo de potencia son de gran importancia en la planeacin y diseo de la expansin futura de los sistemas elctricos de potencia, as como tambin en la determinacin de las mejores condiciones de operacin de los sistemas existentes. La planeacin apropiada, la operacin y el control de estos sistemas a gran escala, requieren tcnicas computacionales avanzadas, como la programacin de mtodos numricos. El ingeniero que planea la transmisin puede descubrir debilidades en el sistema, como el caso de los voltajes bajos, sobrecargas en lneas o condiciones de carga que juzgue excesivas. Estas debilidades pueden ser removidas al hacer estudio de diseo que incluyan los cambios y/o adiciones al sistema.OBJETIVO GENERAL.Aplicacin del programa MATLAB para determinar los voltajes en una red elctrica y el flujo de potencia en lneas de transmisin ante cualquier condicin de demanda de energa.

OBJETIVO DE LOS ESTUDIOS DE FLUJO DE POTENCIA. El propsito del anlisis de flujo de potencia es calcular con precisin la magnitud y ngulo de fase de los voltajes de estado estacionario en todas las barras de una red y a partir de ese clculo, los flujos de potencia activa y reactiva en cada una de las barras, lneas de transmisin y transformadores, bajo la suposicin de generacin y carga conocidas. Las magnitudes y ngulos de fase de los voltajes de barra que no se especifican en los datos de entrada, se llaman variables de estado, ya que describen el estado del sistema de potencia; tambin se les llama variables dependientes, porque sus valores dependen de las cantidades especificadas en cada una de las barras. Entonces, el problema de flujo de potencia consiste en determinar los valores de todas las variables de estado, resolviendo un igual nmero de ecuaciones de flujo de potencia simultneas, basadas en los datos especificados. El estado completo del sistema de potencia se conoce hasta cundo se han calculado las variables de estado; despus de esto, pueden determinarse todas las dems cantidades que dependen de las variables de estado, como es el caso de la potencia activa y reactiva para la barra de compensacin y la potencia reactiva para las barras de voltaje controlado. Para el clculo de las variables de estado, se emplean mtodos iterativos como el mtodo de Gauss-Seidel o el mtodo de Newton-Raphson.

CONCEPTOS BSICOS.Para comprender la forma en que interactan los diferentes elementos de un Sistema Elctrico de Potencia (SEP), es necesario analizar el comportamiento de cada uno de ellos en forma independiente, cada uno de ellos presenta un comportamiento caracterstico que lo distingue de los dems. Para analizar la respuesta de cada componente del sistema elctrico ante diferentes condiciones de operacin, es necesario contar con modelos matemticos adecuados que nos representen en forma aceptable su comportamiento.POTENCIA ELCTRICA, ACTIVA Y REACTIVA.La definicin de potencia en trminos de energa es la cantidad de energa consumida o generada por unidad de tiempo. Para el caso particular de potencia elctrica, se establece la definicin: la potencia elctrica generada o absorbida por un elemento es el producto del voltaje en sus terminales y la corriente a travs de l, algebraicamente est dada por:(1.1)Una vez que se ha definido la potencia elctrica, es interesante analizar cmo es consumida por los elementos pasivos. Por ejemplo para el caso de una resistencia a la cual se le aplica una seal del tipo alterna, es decir, v = Vmsen(wt) por lo que la respuesta de este elemento ante una seal alterna es i = Imsen(wt), por lo tanto sustituyendo en (1.1) se tiene:(1.2)Se observa que la potencia elctrica consumida por una resistencia es positiva, aunque tenga una variacin en el tiempo como lo muestra la expresin (1.2). En la Figura 1.1 se tiene grficamente la variacin de la potencia elctrica consumida porla resistencia al aplicarle una seal de corriente alterna.

De igual forma se aplica una seal de voltaje de corriente alterna a un inductor de la forma v = Vmsen(wt) , obtenindose como respuesta una corriente a travs de l del tipo i = -Imcos(wt) , recordando que la relacin entre voltaje y corriente es v = L di/dt , por lo tanto la potencia instantnea a travs del elemento se expresa mediante la ecuacin (1.3). La Figura 1.2 muestra grficamente las variables elctricas de un inductor ante una excitacin senoidal.(1.3)

Es interesante observar a partir de la Figura anterior que la potencia instantnea en un inductor varia en el tiempo con una frecuencia igual al doble de la frecuencia del voltaje aplicado. Adems, toma valores positivos y negativos con amplitudes mximas iguales lo que lleva a concluir que la onda de potencia instantnea tiene un valor promedio cero.Caso similar ocurre cuando se le aplica en terminales de un capacitor un voltaje v = Vmsen(wt), circulando a travs del elemento una corriente de la forma i = Imcos(wt), la potencia instantnea es el producto de estas dos seales, por lo que se llega a la expresin (1.4), la Figura 1.3 presenta en forma grfica las seales elctricas en un capacitor.

(1.4)

De las grficas anteriores se observa que la potencia suministrada a un elemento puramente inductivo o capacitivo es absorbida durante un cuarto de la onda de voltaje y devuelta a la fuente durante el siguiente cuarto de la onda. Se puede decir que la potencia en estos dos elementos tiene un comportamiento reactivo, por lo que puede decirse que es una potencia reactiva. A diferencia de la potencia en un elemento puramente resistivo en el cual siempre es positiva, por lo que puede considerarse como una potencia activa.Si ahora se analiza el comportamiento de la potencia elctrica instantnea en un circuito ms general, es decir, uno que contenga resistencia, inductancia y capacitancia como se muestra en la Figura 1.4, al cual se le energiza con una seal de voltaje alterna del tipo v = Vmsen(wt), obtenindose una respuesta tambin alterna de la forma i = Imsen(wt + )

La potencia elctrica en el circuito ser entonces:(1.5)Utilizando identidades trigonomtricas ymanipulando la ecuacin anterior puederescribirse como:(1.6)La potencia instantnea se descompone en dos trminos; recordando que los valores mximos pueden ser expresados como valores eficaces utilizando la relacin |v| = Vm / 2, por lo tanto se tiene:(1.7)

En (1.7) se observa que la potencia instantnea oscila alrededor de un valor promedio dado por el primer trmino de la expresin, con la particularidad de que nunca se hace negativa, mientras que el segundo trmino tiene un valor promedio cero. Definiendo entonces las siguientes cantidades:(1.8)Sustituyendo (1.8) en (1.7) se simplifica la expresin:(1.9)En la Figura 1.5 se tiene la variacin de la potencia instantnea con respecto al tiempo, as como las variables voltaje y corriente para el circuito de la Figura 1.4.

En la Figura 1.5 (a) y (b) se observa que la potencia instantnea toma valores negativos durante ciertos periodos de tiempo, indicando con esto que la energa fluye en esos momentos de la carga al generador. De las expresiones y grficas anteriores se puede concluir que la Potencia Activa se define como el valor promedio alrededor del cual oscila la potencia instantnea, por lo que representa la potencia til, aquella que es capaz de realizar un trabajo o que se disipa en forma de calor. Mientras que la Potencia Reactiva se define como el valor pico de una de las componentes de la potencia instantnea, cuyo valor promedio es cero y que por lo tanto no es capaz de realizar trabajo til, pero que se desplaza continuamente del generador a la carga y viceversa.POTENCIA COMPLEJA.Para facilitar el anlisis de comportamiento de redes elctricas en rgimen permanente, cuando estas son excitadas por seales de tipo alterno, se desarrolla una transformacin denominada fasorial, mediante la cual una funcin del tipo senoidal puede representarse por un nmero complejo denominado fasor.Considerando el circuito elctrico elemental mostrado en la siguiente figura:

El voltaje y la corriente del circuito se pueden expresar en forma fasorial como:(1.10)De acuerdo con la condicin original de potencia instantnea dada por p = vi, la potencia compleja se define como:(1.11)En la expresin anterior se introduce un concepto que se conoce como potencia aparente y se simboliza por la letra S. Adems, de la misma expresin, el ngulo (v i) es el ngulo de desfasamiento entre el voltaje y la corriente (), por lo que(1.11) se puede escribir como:(1.12)TRIANGULO DE POTENCIAS.La relacin que existe entre potencia aparente, reactiva y activa puede ser visto en forma grfica utilizando lo que se conoce como tringulo de potencia, el cual se muestra en la siguiente Figura:

Del tringulo de potencia se obtienen las expresiones:(1.13)En donde representa una medida de la cantidad de potencia til que est siendo consumida por el elemento, por lo que al cos se le conoce como factor de potencia, el cual al multiplicarlo por la potencia aparente, resulta en la potencia activa que el elemento consume.

SISTEMA EN POR UNIDAD.Una vez que se dispone de los modelos de los elementos que componen el SEP, este debe representarse interconectado de alguna manera los modelos correspondientes.Los fabricantes de equipo elctrico especifican normalmente las caractersticas del mismo en forma porcentual o por unidad con respecto a valores nominales, esto es, valores en condiciones de carga u operacin normal de diseo. Debido a la gran diversidad de equipo, surge la necesidad de establecer bases comunes con respecto a las cuales se refieran los parmetros de los circuitos equivalentes, para estar en posibilidad de interconectar los modelos. Esta convencin introduce algunas simplificaciones en la representacin de los elementos y en la solucin computacional.Un sistema por unidad se especifica expresando la tensin, la corriente, la potencia y la impedancia de un circuito con referencia a un valor base que se elige para cadauna de tales magnitudes. El valor por unidad de una magnitud cualquiera se define como la razn de su valor al valor base:(1.14)El valor base siempre tiene las mismas unidades que el valor real, forzando al valor unitario a ser adimensional. El valor en por ciento es igual a cien veces el valor por unidad. Los mtodos de clculo que utilizan los valores por unidad o por ciento son mucho ms sencillos que aquellos que emplean los valores reales en Volts, Ohms, KVA, etc.Las tensiones, corrientes, potencias e impedancias estn relacionadas entre s, de tal forma que seleccionando dos cantidades base, de entre las cantidades de inters, se pueden encontrar las otras dos. Es comn seleccionar el voltaje y la potencia como valores base.EL DIAGRAMA UNIFILAR O DE UNA LNEA.En un circuito trifsico balanceado siempre se resuelve como un circuito equivalente monofsico, o por fase, este diagrama se simplifica al omitir el neutro e indicar las partes que lo componen mediante smbolos estndar en lugar de sus circuitos equivalentes. A este diagrama simplificado de un sistema elctrico se le llama diagrama unifilar o de una lnea.El propsito de un diagrama unifilar es el de suministrar en forma concisa informacin significativa acerca del sistema. La importancia de las diferentes piezas de un sistema vara con el problema bajo consideracin, y la cantidad de informacin que se incluye en el diagrama depende del propsito para el que se realiza. El Instituto Nacional de Normas Americanas (ANSI por sus siglas en ingls) y el Instituto de Ingenieros Elctricos y Electrnicos (IEEE por sus siglas en ingls) han publicado un conjunto de smbolos estndar para los diagramas elctricos.En la figura 1.8 se muestran algunos smbolos usados comnmente.

La figura 1.9 se muestra el diagrama unifilar de un sistema de potencia sencillo. Dos generadores, uno aterrizado a travs de una reactancia y el otro a travs de una resistencia es tan conectaba a una barra y por medio del transformador de elevacin de tensin, a una lnea de transmisin. El otro generador aterrizado a travs de una reactancia se conecta a una barra y por medio de un transformador, al extremo opuesto de la lnea de transmisin. Una carga est conectada en cada barra. Es comn dar informacin sobre el diagrama que est relacionada con las cargas, los valores nominales de los generadores y transformadores y con las reactancias de los diferentes componentes del circuito

FORMACIN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIASPara el anlisis de sistemas elctricos es necesario disponer de todos los datos para llevar a cabo una gran cantidad de estudios que permiten determinar sus condiciones de operacin tanto en estado estacionario como en estado transitorio. Para ello es importante conocer la matriz de admitancias de la red, debido a que as es posible, mediante estudios de flujos de potencia calcular los voltajes de cada nodo de la red, as como la potencia real y reactiva que circula a travs de los sistemas de transmisin. Se presentan diferentes formas de calcular la matriz de admitancias de una red elctrica.FORMACIN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS .Tambin llamada YBARRA o YNODO, y los elementos de yijsern: i y j la fila y la columna correspondientes de la matriz. La matriz de admitancias puede formarse de diferentes maneras, entre las cuales se encuentran las siguientes:1. Aplicacin de la ley de corrientes de Kirchhoff.2. Por inspeccin de la red.3. Por la aplicacin de matrices de transformaciones singulares.4. Aplicacin de un algoritmo de formacin de la matriz de admitancias.FORMACIN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS APLICACIN DE LA LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF. La ley de corrientes establece que: la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo en un nodo es igual a cero y se expresa matemticamente por medio de la siguiente ecuacin:(1.15)Que tambin puede expresarse como: la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo nodo. La ecuacin es:(1.16)

En forma compacta se acostumbra a escribir la ecuacin anterior en forma:(1.17)

FORMACIN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS POR INSPECCIN DE LA RED.Los sistemas elctricos reales normalmente estn formados por un considerable nmero de nodos, por lo que no es cmodo establecer para cada uno la ley de corrientes de Kirchhoff y encontrar una relacin semejante a ecuaciones en forma matricial, en su lugar se acostumbra a tener la informacin de la red como se muestra en la tabla 1.1.Tabla 1.1 Informacion de la interconexion de la red

En la tabla 2.1, se muestra toda la informacin necesaria de la red para la formacin sistemtica de la matriz de admitancias, la cual es aplicable independientemente del tamao del sistema. El mtodo de formacin de la matriz de admitancias se denomina as, debido a que nicamente es necesario observar detenidamente la red o los datos para determinar el valor de los elementos de [Y] de la siguiente ecuacin matricial. (1.18)La forma sistemtica y rpida para encontrar la matriz de admitancias por inspeccin a partir de los datos de la tabla 2.1 es:Para los elementos de la diagonal principal, la admitancia propia es igual a: (1.19)En palabras, la admitancia propia de cada nodo i de matriz [Y], es igual a la suma de los inversos de las impedancias de los elementos conectados a ese nodoLas admitancias colocadas fuera de la diagonal principal de la matriz de admitancias se obtienen a partir de la relacin siguiente.

(1.20)

EJEMPLO.Analizar la tabla 1.1 sin considerar el nodo de referencia (0) y usando el mtodo de inspeccin de la red, encontrar la matriz de admitancias.SOLUCION:El nodo uno est formado por los elementos 1, 2 y 3 de tal manera que:

De igual manera para el nodo dos, la admitancia y22 est formada por los elementos 2, 4 y 5, y es igual a:

Finalmente para el nodo tres, su admitancia est formada por los elementos 3, 5 y 6, que es igual a:

Los elementos yijde la matriz de admitancias se obtienen de la observacin de las columnas P y Q sin considerar el elemento cuando Q=0.Para los elementos dos y cuatro en que P=1 y Q=2 se tiene:

Para los elementos tres y siete se tiene P=1 y Q=3, por lo tanto:

Para los elementos seis y ocho se tiene P=2 y Q=3, por lo tanto:

El signo negativo en las admitancias es debido a que la corriente entre el nodo i y el nodo j , queda determinada por la diferencia de voltaje del nodo i y el nodo j donde aparece el trmino -Vj/Zij . La matriz de admitancias pertenece a la red bilateral lineal en donde se cumple que y12=y21, y23=y32, y13=y31. La matriz deadmitancias as formada es igual a:

FORMACIN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS POR LA APLICACIN DE MATRICES DE TRANSFORMACIONES SINGULARES.Este mtodo es una alternativa. Esta matriz tiene la particularidad de no tener inversa, de donde proviene el nombre del mtodo. Para formar esta matriz de transformacin, nicamente se hace uso de la interconexin de la red asignando una referencia al nodo de envi y al nodo de recepcin, mismos que son designado de manera convencional por quien utiliza el mtodo.Para formar la matriz de admitancias por transformaciones singulares, se requiere formar la matriz A, y la matriz de admitancias primitiva, mismas que se utilizan en la ecuacin:(1.21)