flujos de potencia

SOLUCION DE FLUJOS DE CARGA EN SISTEMAS ELCTRICOS DE POTENCIA

Septiembre 2003

OBJETIVO

El presente curso esta enfocado hacia los profesionistas que tienen una relacin directa con el manejo de Redes Elctricas, y que en forma cotidiana se ven enrolados en el anlisis de stas a travs de la aplicacin de los conceptos relacionados con la solucin de flujos de carga.

Al concluir el curso el capacitando tendr la habilidad de obtener la solucin de Flujos de Carga para cualquier Red Elctrica, mediante la aplicacin de la Teora para la solucin de Sistemas de Ecuaciones No-Lineales en Sistemas Elctricos de Potencia. Mediante la aplicacin de dicha teora el capacitando tendr la habilidad de desarrollar los mtodos de Gauss-Seidel y Newton-Raphson para obtener la solucin de los flujos de carga para la red bajo anlisis.

1. METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES

Al finalizar este tema el capacitando podr manejar con soltura la teora necesaria para la solucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales, con la finalidad de que la pueda aplicar en la solucin de Flujos de Carga en Sistemas Elctricos de Potencia. El capacitando adquirir los conocimientos suficientes para obtener la solucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales mediante los siguientes mtodos:

Mtodo de Investigacin

Mtodo de falsa posicin

Mtodo de Newton_Raphson

Mtodo de Gauss-Seidel

Mtodo de Newton-Raphson

1.1 INTRODUCCION

Para la realizaci6n de varios estudios en sistemas elctricos de potencia la so1ucin de ecuaciones no 1ineal es muy comn. En este tipo de temas 1a velocidad y eficiencia con que se obtiene la solucin de las ecuaciones da la pauta a que su ap1icaci6n sea o no uti1 en la solucin de problemas reales.

La forma de resolver las ecuaciones lineales depende del nmero de ecuaciones a tratar y del nmero de respuestas que se esperan. As para el caso de una sola ecuacin no lineal esta puede ser po1inomia1 o trascendental dependiendo si tiene "n" soluciones o un numero indeterminado de soluciones.

En el caso de ecuaciones mu1tip1es no lineales se espera en el caso general n-conjuntos de soluciones dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones invo1ucradas.

1.2 METODOS DE SOLUCION PARA EL CASO DE UNA ECUACION NO LINEAL.1.2.1 METODO DE INVESTIGACION

El diagrama de f1ujo de este mtodo se muestra en 1a Fig. 1 y el proceso de solucin se puede resumir en los siguientes pasos:

1.- Sea la funci6n f(x) = 0 a resolver.

2.- La funci6n f(x) es evaluada en intervalos iguales de "x" hasta que dos valores sucesivos de la funcin f [Xn] y f [Xn+1] son de signo opuesto. Un cambio en el signo significa la existencia de una raiz. El punto medio se calcula mediante la siguiente ecuacin:

Determinando a continuaci6n el valor de la funci6n f [Xm].

3.- Si el signo de f [Xm] es igual que el de f [Xn] este ltimo es reemplazado por el primero si no, reemplaza a f [Xn+1]. El intervalo de incertidumbre en el cual esta la raz se reduce.

4.- Si f [Xm] es lo suficientemente pequeo, el procedimiento termina, de lo contrario se repite el numero dos. En la figura se ilustra este mtodo.

Diagrama de flujo para el mtodo de investigacin binaria.

Grafica del mtodo de investigacin binaria.

Este mtodo como se puede observar no es eficiente computacionalmente,

ya que proporciona una mejor aproximacin solo si se incrementa considerablemente el numero de interacciones.

1.2.2 METODO DE FALSA POSICION

Este mtodo esta basado en una interpolacin lineal entre dos valores de una funcin que tiene signos opuestos. Este mtodo converge ms rpido que el mtodo anterior y su mtodo de solucin conociste:

1.- Sea la funcin f (X) = 0 resolver

2.- Evaluar la funcin en intervalos iguales de la variable X para encontrar el cambio de signo entre f (Xn) y f (Xn+1).

3.- Tomando como referencia estos dos puntos se traza un lnea recta para encontrar posteriormente el intercepto por el eje X utilizando la ecuacin.

4.- Este valor se utiliza para encontrar un nuevo valor de funcin f (X) el cual se compara con f (Xn) y f (Xn+1) y se remplaza por el del signo similar. Si f (X) no esta dentro de la tolerancia especificada el proceso se repite hasta obtener la aproximacin deseada, este mtodo se ilustra en la siguiente figura.

Grafica para el mtodo de falsa posicin

Diagrama de flujo para el mtodo de falsa posicin.

1.2.3 METODO DE NEWTON-RAPHSON

En tcnicas iterativas este mtodo es usado muy ampliamente, ya que a diferencia de los mtodos anteriores no requiere de la eva1uacin de 1a funcin en dos valores para determinar cuando la funcin cambia de signo. El mtodo de Newton-Raphson utiliza un esquema de interpolacin basado en dos valores de la funcin. La extrapolacin se basa en una lnea que es tangente a la curva en un punto. Considrese que se tiene la siguiente funcin:

F(X) = 0

El mtodo se desarrolla en la expansin de la serie de Taylor para un incremento en la funcin en un valor de h. As tenemos:

EMBED Equation.3 Tomando en cuenta los dos primeros trminos de la serie:

siendo:

Xn+1 = Xn + X Se considera que durante el paso de Xn , a Xn+1 se mueve el valor de la funcin hacia la raz, tal que f (Xn + h) = 0. As:

(1)

El valor de Xn+1 es el valor donde la tangente a la curva en el punto Xn cruza al eje X. Como la funcin f (X) no necesariamente es una 1inea recta el valor de la funci6n f (Xn) no es exactamente cero, por esta razn, el proceso se repite usando e1 va1or Xn+1 como nuevo punto de referencia. Cuando el valor de f(Xn+1) es 1o suficientemente pequeo el proceso termina. En la figura 1 se ilustra el mtodo grficamente, y en el diagrama 1, se muestra el diagrama de flujo correspondiente.

Figura 1. Mtodo de Newton-Raphson

De la figura 1 se puede observar:

1.- Dependiendo de la localizacin del punto inicial, este tendr influencia en la velocidad de convergencia.

2.- Si el rea bajo la curva f(X) llega a ser cero durante el proceso iterativo, el mtodo tendr dificultades de convergencia.

3.- Si existe la condicin de que f (X) = 0 y f(X) = 0 el mtodo de Newton no converge para este caso.

Diagrama 1.Diagrama de flujo para el mtodo de Newton-Raphson.

Ejemplo 1. Para la siguiente funcin, aplicar el Mtodo de Newton-Raphson.

f(X) = X2 - 5X + 4

Con un valor inicial de:

X0 = 0

la primer derivada de la funcin es

f(X) = 2X - 5

1 Iteracin

Se evala la funcin y la primer derivada para el valor inicial de X :

f (O) = 4

f'(O) = - 5

Utilizando la ec. (1) se encuentra el valor de Xm+1 ;

X(1)= 0 += 0.8

2 iteracin

Se evalan la funcin y su primer derivada para el nuevo valor de X calculado:

f(0.8) = 0.64

f(0.8) = -3.4

Nuevamente se utiliza la ec.(1) para encontrar el nuevo valor de x :

X(2) = 0.8 - = 0.98823

3 Iteracin

Evaluando la funcin y su primer derivada con el nuevo valor de X.

f (0.98823) = 0.035432

f (0.98823) = -3.023529

se calcula de nuevo el valor de X usando ec. (1):

X(3) = 0.988 = 0.999954

Kf (K+1)f (K+1)X(K+1) (K+1)

04-50.80.8

10.64-3.40.98823520.1882352

20.0354325-3.0235290.99995420.011719

31.3733x10-4-3.0000910.99999990.0000457

42.1x10-9-310.00000001

Tabla N 1: valores para cada interaccin del ejemplo 1.

Actividad para ejercitar lo aprendido: Aplicar el Mtodo de Newton a la siguiente funcin:

f(X) = X2 - 3X + 2

1.3 SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES Los sistemas de ecuaciones no pueden resolverse por mtodos directos, como es el caso de los sistemas lineales, por lo que para la solucin de estos se usan procedimientos iterativos. La forma mas general de representar un sistema de ecuaciones es de la siguiente forma:

F1 (X1, X2, X3, .Xn) = 0

F2 (X1, X2, X3, .Xn) = 0

F3 (X1, X2, X3, .Xn) = 0 (2)

. . .

. . .

Fn (X1, X2, X3, .Xn) = 0

Los mtodos numricos para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones se basan en el siguiente esquema:

1.- Se selecciona un conjunto de valores iniciales o de arranque:

X1(0)

X2(0)

X3(0)

.

.

Xn(0)

2.- Este tipo de valores se sustituye en el sistema de ecuaciones (2) para calcular un segundo conjunto de valores mejorados.

3.- Estos nuevos valores se utilizan para encontrar un tercer conjunto

de valores estimados, y as sucesivamente.

4.- El proceso termina cuando el valor de mayor valor registrado es menor o igual a un valor de tolerancia especificado. Esto es:

(3 )

Este proceso repetitivo se conoce como mtodo iterativo, y los diferentes mtodos existentes generalmente varan sus esquemas de cmo evaluar los nuevos valores mejorados.

1.3.1 METODO DE GAUSS-SEIDEL

Este mtodo utiliza la tcnica de sustituir el valor calculado de una variable, inmediatamente en la misma iteracin, es decir el ltimo valor de las incgnitas se sustituye en forma inmediata en los valores existentes, sin esperar a que se complete la iteracin. Aplicando el mtodo de Gauss-Seidel al conjunto de ecuaciones ( 2), stas se expresan de la siguiente forma:

(4)

El mtodo de Gauss-Seidel converge ms rpido si se aplica un factor de aceleracin ( ), el cual consiste en calcular el valor de la variable en la iteracin ( k+1 ) de la siguiente forma: sea el error registrado de la variable entre las relaciones ( k ) y ( k+1 ). Esto es:

(5)

As se tiene que el nuevo valor de la variable en ( k+1 ) se calcula mediante:

(6)

donde es un nmero emprico que puede tomar el valor entre 1 y 2.

Ejemplo 1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el mtodo de Gauss-Seidel y utilizando un factor de aceleracin ( ) de 1.05.

1 Iteracin

Para la primera iteracin se obtienen los valores de:

2 Iteracin

Para la segunda iteracin se obtienen los valores de:

3 Iteracin

Para la tercera iteracin se obtienen los valores:

En la tabla N 2, se resumen los valores para cada iteracin as como el error mximo obtenido:

k

1-0.750.63125-0.73750.61281250.387187

2-0.90611520.542727-0.91454590.53922270.1770459

3-0.92730970.536026-0.92794780.53586620.0134019

4-0.92821180.5358874-0.9282250.53588850.0002777

5-0.92820580.5358975-0.92820490.53589790.0000201

6-0.92820330.5358983-0.92820320.53589830.0000016

Tabla N 3.- Solucin iterativa del ejemplo 1 utilizando el mtodo de Gauss-Seidel con = 1.05.

Actividad para ejercitar lo aprendido: Resuelva por el mtodo de Gauss- Seidel

1.3.2 METODO DE NEWTON-RAPHSON PARA UN SISTEMA DE

ECUACIONES NO LINEAL Para ilustrar la aplicacin de este mtodo en la solucin de sistemas de ecuaciones no lineales considrese que se tiene el siguiente sistema:

(7)

Como se explic anteriormente, para resolver el sistema se parte de un conjunto de valores iniciales, de manera que si a estos valores se le suman sus correspondientes incrementos para encontrar los nuevos valores mejorados el sistema ( 7) se puede expresar como sigue:

(8)

Expandiendo estas funciones mediante la serie de Taylor y considerando los trminos hasta la primera derivada se tiene:

(9)

Despejando las derivadas parciales y expresando en forma matricial:

(10)

En forma compacta:

(11)

En esta expresin representa la matriz Jacobiana y la cual se evala con las derivadas de las funciones y las condiciones iniciales o valores mejorados.

El procedimiento de solucin aplicado al mtodo de Newton-Raphson se puede resumir de la siguiente forma:

1) Se considera el vector de condiciones iniciales .

2) Se obtienen las derivadas de cada una de las ecuaciones del sistema original.

3) Se evala la matriz Jacobiana con el vector . Para la primera iteracin el vector a considerar es .

4) Se resuelve el sistema ( 11 ) para encontrar las correcciones en las variables y poder determinar los nuevos valores mejorados de la siguiente forma:

(12)

5) Si el valor mximo registrado es menor o igual que una tolerancia especificada el proceso termina, de lo contrario se repite el paso 3 con el nuevo conjunto de valores mejorados

Ejemplo 1.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no-lineales aplicando el mtodo de Newton-Raphson, considerando un error = 0.001.

Calculando las derivadas parciales:

El Jacobiano considerando el vector es:

Evaluando las funciones con los valores iniciales:

1 Iteracin

Resolviendo el sistema:

Se realizan las correcciones para encontrar los nuevos valores mejorados:

Y evaluando las dos funciones nuevamente se obtiene:

Los valores para la primera iteracin son:

2 Iteracin

Se calculan las derivadas con los nuevos valores:


Por lo tanto los nuevos valores y sus derivadas son:

Entonces para esta iteracin los valores nuevos de las variables son:

3 Iteracin

De forma similar a las iteraciones anteriores se obtiene:


Los valores para esta iteracin son:

En la Tabla N 4 se resumen los valores para cada una de las iteraciones:

k

10.5-10.5

20.5357142-0.92857140.0714285

30.5355301-0.92893960.0003681

40.5358983-0.92820320.0007363

Tabla N 4.- Solucin iterativa para el ejemplo 1 usando el mtodo de

Newton-Raphson.

Actividad para ejercitar lo aprendido: Resuelva por Newton-Raphson.

CONCLUSIONES:

Se desarroll la teora bsica de solucin de sistemas de ecuaciones no lineales para su aplicacin en la solucin del problema de Flujos de carga.

Se describieron los mtodos iterativos de Gauss-Seidel y de Newton-Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y se realizaron ejemplos numricos para cada mtodo.

Se pudo observar que el mtodo de Gauss-Seidel en la solucin de sistemas de ecuaciones converge en ms iteraciones que el mtodo de Newton-Raphson. Se presento el desarrollo de la matriz Jacobiana que ser la base en la aplicacin a redes elctricas para la solucin del problema de flujos de carga.

2. SOLUCION DE FLUJOS DE CARGA

Al finalizar este tema el capacitando podr resolver y analizar las diferentes condiciones operativas en Estado Estable de un Sistema de Potencia mediante la solucin de los Flujos de Carga.

El capacitando adquirir los conocimientos suficientes para obtener la solucin de los Flujos de Carga mediante los siguientes mtodos:

Mtodo de Gauss-Seidel

Mtodo de Newton-Raphson

Mtodo de Newton-Raphson Desacoplado

Mtodo de Newton-Raphson Desacoplado Rpido

2.1 INTRODUCCION

Los estudios de flujos de potencia son de gran importancia en la planeacin y diseo de la expansin futura de los sistemas de potencia, as como tambin en la determinacin de las mejores condiciones de operacin de los sistemas existentes.

La informacin principalmente que se obtiene de un estudio de Flujos de potencia es la magnitud y el ngulo de fase de cada uno de los Buses que conforman la topologa de la red, as como las potencias Real y Reactiva de cada una de las lneas que conforman al sistema.

Esta informacin es de gran importancia para el Analista del Sistema, pues le permite conocer los Buses de la Red que estn con Voltajes fuera de los valores establecidos, as como tambin las lneas de transmisin que presentan sobrecargas, para una condicin operativa preestablecida, de forma tal que pueda tomar acciones preventivas para evitarla.

2.2 METODO DE GAUSS-SEIDEL

Al finalizar el estudio del mtodo, el capacitando tendr la habilidad de obtener la solucin de los Flujos de Carga, para que a travs de sta pueda operar de una manera segura un sistema Elctrico de Potencia.

2.2.1 INTRODUCCION

El primer mtodo desarrollado para la solucin de los Flujos de Carga, fue el mtodo de Gauss-seidel. Este mtodo tiene la ventaja de que es muy sencillo de programar y de que los requerimientos de memoria de computadora necesarios son mnimos. La gran desventaja de este mtodo es que el nmero de iteraciones necesarias para obtener una solucin es muy grande y se incrementa a medida que el sistema procesado crece. Esto se debe a que el efecto de un ajuste en el voltaje de un bus durante una iteracin, se refleja nicamente en los buses adyacentes a ste, de tal manera que se requieran varias iteraciones para que los ajustes se propaguen a travs del sistema trayendo como consecuencia un mayor tiempo de cmputo. En la actualidad esto se reduce en gran medida debido a la rapidez de los, procesadores actuales.

El mtodo no funciona para sistemas donde la matriz Ybus no es diagonalmente dominante ( Sistemas Predominantemente Radiales ), ni en sistemas donde se manejan impedancias negativas ( Susceptancias Capacitivas ).

2.2.2 DESARROLLO

Para poder deducir el algoritmo correspondiente al mtodo de Gauss-Seidel utilizaremos la formulacin matricial que relaciona los voltajes y las corrientes nodales para una red de n nodos, siendo esta:

EMBED Equation.3 (1)

Desarrollando la expresin matricial ec.( 1 )

(2)

Desarrollando la ecuacin para el nodo P, se obtiene:

(3)

en forma compacta:

(4)

despejando en la ec.( 4 )

(5)

Para los nodos de carga, la corriente de consumo se calcula mediante la formula

(6)

Sustituyendo la ec.(6) en la ec.(5)

(7)

Para poder manejar de una manera ms eficiente la expresin anterior se definen las siguientes constantes:

(8)

(9)

Sustituyendo las constantes anteriores ec.(8), ec.(9) en la ec.(7) se obtiene:

(10)

Para poder representar esta ecuacin dentro de un proceso iterativo, puede representarse de la siguiente forma:

(11)

Donde es el nodo compensador. Como se conoce el voltaje y ngulo para este nodo, no se necesita su ecuacin para resolver el problema de flujos de carga.

Los pasos a seguir para resolver la ec.(11) aplicando el mtodo de Gauss-Seidel se presentan a continuacin:

Se considera un conjunto de valores iniciales de voltajes. Usualmente son voltajes planos para el caso de una red elctrica.

Esta serie de valores se utiliza para resolver el conjunto de ecuaciones (2), de manera tal que el nuevo valor calculado remplaza inmediatamente a y es usado en la evaluacin de las subsecuentes ecuaciones.

El proceso se repite hasta que las diferencias de todos los voltajes entre las iteraciones ( K+1 ) y ( K ) estn dentro de una tolerancia especificada.

La convergencia del mtodo puede ser mejorada, si los cambios de voltajes obtenidos en las diferentes iteraciones se multiplican por un factor de aceleracin emprico de la siguiente forma:

(12)

el valor aceptado en la mayora de los casos a resolver es de 1.4, valor deducido en base a la experiencia.

2.2.3 NODOS DE VOLTAJE CONTROLADO

En un sistema elctrico de potencia los voltajes de los nodos de generacin permanecen constantes ( Nodos P-V ), por lo que el procedimiento de solucin al problema de Flujos de Carga visto anteriormente debe modificarse. En los nodos de voltaje controlado normalmente se especifica la magnitud del voltaje y la Potencia Activa, as como los lmites de potencia Reactiva del generador. En el mtodo de Gauss-Seidel, la Potencia Reactiva en un nodo de voltaje controlado debe de calcularse antes de proceder a evaluar la ecuacin de voltaje respectivo.

La potencia Real y Reactiva nodal en cualquier red se calcula mediante la ecuacin:

(13)

tomando en cuenta las definiciones de voltaje y admitancia:

(14)

sustituyendo las expresiones anteriores en la ec.(13) y separando las expresiones de potencia Real y Reactiva se obtiene:

(15)

los valores de y en el nodo de voltaje controlado debe de satisfacer la siguiente igualdad:

(16)

Antes de calcular la potencia Reactiva , para un nodo ( P-V ) es necesario ajustar y que satisfaga la ec.(16). Por lo tanto:

(17)

Si al calcular la potencia reactiva , usando la ec.(15), se viola alguno de los lmites de generacin especificado, entonces se realiza la siguiente sustitucin:

(18)

segn el lmite que se viole, resolviendo la ec.(7).

Con la finalidad de aplicar los conceptos tericos previamente desarrollados, se presenta un ejemplo de una red elctrica bsica de 3 Nodos cuyos datos y caractersticas se definen a continuacin.

Ejemplo # 1.- Aplicando el Mtodo de Gauss_Seidel, resolver el problema de flujos de carga para el sistema que se muestra en la figura #1. En las tablas 1 y 2 se presenta toda la informacin relacionada con el sistema. Los lmites de potencia reactiva mnima y mxima de la unidad de generacin son 0 y 35 Mvars. Considere un factor de aceleracin de 1.4, un error mximo de 0.0001 y una potencia base de 100 MVA.

Figura # 1.- Red Elctrica de 3 Nodos para el ejemplo # 1.

Tabla # 1.- Impedancias y Admitancias capacitivas para el ejemplo 1.

Tabla # 2.- Voltajes Iniciales, Potencias de Generacin y de carga para el

Ejemplo # 1.

La matriz de admitancias nodal , para el ejemplo #1 se presenta a continuacin :

Los clculos de los elementos , y se realizan utilizando las ecuaciones (8) y (9).

Se debe tener presente que la constante KL para el nodo 2 no se calcula ya que es un nodo de voltaje controlado ( PV ). Las ecuaciones que se utilizan para la solucin del problema de flujos de carga son las siguientes:

(18)

(19)

Por otra parte la ecuacin del nodo 1 no se requiere, ya que es el nodo compensador y su voltaje y ngulo se conocen. La primera ecuacin a evaluar es la del nodo 2 que es un nodo generador, tomando un valor de para el ngulo en la primera iteracin, . Por lo tanto:

La potencia reactiva se calcula mediante la ec.(6)

Este valor de potencia reactiva ms la de la carga local se encuentra dentro del rango especificado, por lo que se utiliza para evaluar la constante KL.

A continuacin se evala la ecuacin del voltaje del nodo 2, para obtener una correccin del ngulo.

En valor que se requiere utilizar para este caso es una mejor aproximacin del ngulo, ya que el voltaje se debe de mantener en 1.03 P. U. por lo tanto:

Para el voltaje en el nodo 3, se usa la ec.(19), obteniendo:

Para obtener un valor mejorado, se utiliza la ec.(12). Por lo tanto:

Para esta iteracin los valores de voltaje son:

El problema converge en 7 iteraciones y la solucin digital se proporciona a continuacin:

Una vez que se conocen los voltajes nodales, se procede a calcular los flujos de potencia en las lneas de transmisin. Por ejemplo supngase que se desea calcular la inyeccin de potencia en la lnea conectada en los nodos 1 y 2 as como las prdidas. Aplicando las siguientes ecuacines tenemos:

(20)

similarmente la potencia inyectada por el nodo q es:

(21)

Para calcular las prdidas a travs de la lnea usamos la siguiente ecuacin:

(22)

De lo anterior y aplicando la ec.(20), se obtiene:

de igual forma aplicando la ec.(21), se obtiene:

Las prdidas se determinan aplicando la ec.(22), por lo tanto:

La potencia real y reactiva que suministra el generador conectado al nodo compensador se calcula sumando las potencias inyectadas en las lneas que inciden en dicho nodo. Para nuestro ejemplo se obtiene:

En la Tabla # 3 se proporcionan los flujos de potencia en cada una de las lneas. Si se suman las potencias en columna de la Tabla # 3, se obtendrn las prdidas totales de potencia activa y reactiva del sistema. Observando la Tabla # 3 :

Tabla # 3.- Flujos de Potencia en las Lneas y Perdidas Totales.

Actividad para ejercitar lo aprendido: Resolver el ejemplo anterior para una Carga de 90+j30. Compare sus resultados con el ejemplo anterior.

2.3. METODO DE NEWTON-RAPHSON POLAR


2.3.1 INTRODUCCION

El mtodo de Newton-Raphson es el mtodo ms ampliamente usado para la solucin del problema de flujos de carga, por su rpida convergencia para resolver las ecuaciones no-lineales que se originan al plantear el problema de flujos de carga.

A diferencia del mtodo de Gauss-Seidel, el nmero de iteraciones para la obtencin de la solucin del conjunto de ecuaciones que caracteriza a la red bajo estudio, es independiente del tamao de la red, convergiendo el mtodo para redes de gran tamao de 5 a 8 iteraciones.

2.3.2 DESARROLLO

Para poder deducir el algoritmo correspondiente al mtodo de Newton-Raphson utilizaremos la formulacin de la potencia aparente expresada en la ec.1.

(1)

La ecuacin matricial que relaciona los voltajes y las corrientes nodales para una red de n nodos, es:

EMBED Equation.3 (2)

Desarrollando la expresin matricial ec.( 2 )

(3)

Desarrollando la ec.( 3 ) para el nodo P, se obtiene:

(4)

en forma compacta:

(5)

Sustituyendo la ec. ( 5 ) en la ec. ( 1 )

(6)

Manejando la forma polar de la ec. ( 6 )

(7)

Sustituyendo la ec. ( 7 ) en la ec. ( 6 )

(8)

de donde se obtiene:

(9)

(10)

Separando la expresin anterior en parte real y parte imaginaria:

(11)

(12)

Las ecuaciones ( 11 ) y ( 12 ) representan las potencias Real y Reactiva en cada uno de los nodos que conforman a la red bajo estudio.

Los cambios de Potencia Activa (P) y Potencia Reactiva (Q) en el nodo P, se relacionan con cambios en los ngulos de potencia ( y en la magnitud de los voltajes respectivamente. Por lo que los cambios totales de potencia activa y reactiva se pueden expresar de la siguiente forma:

Aplicando la expansin en serie de Taylor a las ec.(11) y (12) y despreciando los trminos de orden superior, y para un sistema de 3 nodos se obtiene:

(13)

En la ec.( 13 ) se utilizo la siguiente relacin con la finalidad de mejorar la convergencia del mtodo:

(14)

La ec. (13), puede ponerse en la siguiente forma matricial:

(15)

La ec. (15) puede ser compactada de la siguiente forma:

(16)

y cada elemento de las submatrices puede ser determinado como sigue:

(17)

2.3.3 OBTENCIN DE LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ JACOBIANA

1.- Para obtener los elementos afuera de la diagonal principal de la submatriz se deriva la ecuacin ( 11 ) con respecto al ngulo de potencia de la siguiente forma: Lo anterior origina:

(18)

2.- Para obtener los elementos de la diagonal de la submatriz se deriva la ecuacin ( 11 ) con respecto al ngulo de potencia de la siguiente forma: Lo anterior origina:

(19)

comparando la ec. (19) con la ec.(12), se observa que el trmino de la sumatoria es igual a la ec.(12).

(20)

de una forma similar se calculan los elementos fuera de las submatrices y los cuales se proporcionan a continuacin:

3.- Para p q ; ( elementos fuera de la diagonal de cada submatriz )

(21)

4.- Para p = q ; ( elementos de la diagonal de cada submatriz )

(22)

2.3.4 SOLUCION DEL ALGORITMO

La solucin del problema de flujos de carga aplicando el mtodo de Newton-Raphson se reduce a los siguientes pasos:

a) El mtodo se inicia con la sustitucin de los voltajes iniciales ( Voltajes Planos 1(0 ) en las ecs ( 11 y 12 ) para calcular las potencias reales y reactivas.

b) Se evala la matriz Jacobiana con los valores de potencia calculados en el paso anterior.

c) Se obtienen las correcciones de potencia en cada nodo, mediante las ecuaciones:

(23)

d) Se resuelve el sistema de ecuaciones ( 16 ) para encontrar las correcciones de voltaje y ngulo.

e) Si los mximos valores de registrados en la iteracin k son menores e iguales que una tolerancia especificada ( (o ), el proceso iterativa termina, de lo contrario se regresa al paso b).

Debe recordarse que en ste mtodo el criterio de la convergencia son las correcciones de potencia, no siendo necesario utilizar un factor de aceleracin.

El mtodo de Newton-Raphson se caracteriza porque a diferencia del mtodo de Gauss-Seidel, el nmero de iteraciones que requiere para converger es independiente del tamao del sistema elctrico.

2.3.5 CARACTERISTICAS DEL METODO DE NEWTON-RAPHSON

a) Al aplicar las tcnicas de dispersidad, y resolver adecuadamente el sistema de ecuaciones que se origina, el mtodo de Newton-Raphson para resolver el problema de flujos de carga en grandes sistemas es muy rpido en comparacin de otros mtodos.

b) El nmero de iteraciones es independiente del tamao del sistema, debido a que su convergencia es cuadrtica. La mayora de los sistemas se resuelven entre 2 y 5 iteraciones y no se requiere de factores de aceleracin.

c) Una iteracin del mtodo de Newton-Raphson, es equivalente a 7 iteraciones aproximadamente del mtodo de Gauss-Seidel.

d) En este mtodo la localizacin del nodo Slack no es crtico.

e) Debido a la convergencia cuadrtica, en los voltajes nodales se obtiene una muy buena exactitud con pocas iteraciones. Esta caracterstica es muy importante cuando el estudio de flujos de carga se aplica a los estudios de Corto-Circuito y Estabilidad.

Ejemplo # 1.- Aplicando el Mtodo de Newton-Raphson, resolver el problema de flujos de carga para el sistema que se muestra en la figura #1. En las tablas 1 y 2 se presenta toda la informacin relacionada con el sistema. Los lmites de potencia reactiva mnima y mxima de la unidad de generacin son 0 y 35 Mvars. Considere un error mximo de 0.0001 y una potencia base de 100 MVA.




Ejemplo # 1.


Usando la ec. ( 1 ) se evalan las potencias de los nodos 2, y 3 :

Se puede observar de los valores calculados anteriormente que el valor de , esta dentro de los lmites requeridos para la potencia reactiva, por lo tanto el nodo se trata como nodo ( P-V ).

Las potencias en el nodo 3 se determinan usando tambin la ec.( 1 ).

Los incrementos de potencia se calculan utilizando la ec. ( 23 );

Calculando los elementos del Jacobiano:

Para esta iteracin , y usando la ec. ( 22 ), se obtienen los elementos de la diagonal de cada submatriz:

Usando la ec.( 21 ) se obtienen los elementos fuera de la diagonal de cada submatriz, el valor de admitancia que se utiliza es y el ngulo ( = 251.56 = 4.3906 rad.

El sistema a resolver que se obtiene al aplicar la ec. ( 16 ), es el siguiente :

Resolviendo el sistema anterior de ecuaciones se obtiene:

Clculo de los nuevos valores de ngulos y magnitud de voltaje del nodo 3:

Para la primera iteracin los valores de voltajes nodales son:

Para la segunda iteracin k = 2:

Se recalculan las potencias nodales:

Haciendo uso nuevamente de la ec. ( 1 )

Se observa que el valor de , sigue estando dentro de el lmite de potencia establecido, por lo que se sigue manejando como nodo ( P-V ).

Las potencias en el nodo 3 se determinan usando tambin la ec.( 1 ).

Usando la ec. ( 23 ) se calculan las correcciones de potencias nodales:

Recalculando los elementos del jacobiano y aplicando la ec. ( 16 ), se obtiene el siguiente sistema a resolver:

la solucin a este sistema arroja los siguientes valores:

Se recalculan los nuevos valores de ngulos y la magnitud de :

Para sta iteracin los voltajes son:

Repitiendo este proceso, la solucin se obtiene en la tercera iteracin para un error de 0.001 y los valores de voltajes nodales finales son los siguientes:

En la Tabla # 3 se proporcionan los flujos de potencia en cada una de las lneas. Si se suman las potencias en columna de la Tabla # 3, se obtendrn las prdidas totales de potencia activa y reactiva del sistema. Observando la Tabla # 3 :

Tabla # 3.- Flujos de Potencia en las Lneas y Perdidas Totales.

2.4 MTODO DE NEWTON-RAPHSON DESACOPLADO


2.4.1 INTRODUCCION

El algoritmo se fundamenta en una propiedad muy importante de un sistema

elctrico y que se manifiesta durante su operacin en estado estable. Consiste bsicamente en que al variar el ngulo de Potencia se afecta en mayor proporcin a la potencia activa que a la potencia reactiva. Simi1armente al variar el voltaje en nodos se afecta preferentemente al flujo de potencia reactiva.

2.4.2 DESARROLLO

La ecuacin de Newton-Raphson ( 1 ) para resolver el problema de Flujos de Carga:

(1)

puede aproximarse de la siguiente forma:

(2)

Donde:

[N] = (3)

[J] = (4)

Desarrollando el producto de la ecuacin (2) se tiene :

(5)

(6)

Donde las correcciones de los ngulos de potencia y los mdulos de voltajes se calculan resolviendo las ecuaciones (5) y (6). Esto es

(7)

(8)

En general las ecuaciones (5) y (6) se pueden resolver de dos formas:

1.- Evaluar el sistema de ecuaciones (5) y (6) simultneamente en cada iteracin, esquema que se conoce como DESPLAZAMIENTOS SIMULTNEOS:

2.- Evaluar primeramente el sistema de ecuaciones (5), lo cual representa iteracin, y utilizar los valores actualizados de Angulo de potencia para

resolver el sistema de ecuaciones (6) en otra media iteracin. A este esquema se le conoce como DESPLAZAMIENTOS SUCESIVOS.

Computacionalmente, resulta ms conveniente el segundo esquema siempre y cuando los valores inicialmente estimados no se encuentren alejados de la solucin exacta.

El mtodo de Newton-Raphson Desacoplado tiene las siguientes ventajas en relacin al Newton Raphson Formal.

1.- El tiempo de clculo de cada iteracin se reduce considerablemente, ya que no es necesario evaluar las submatrices [N] y [J].

2.- Existe un ahorro de memoria al no tener que almacenar las submatrices [N] y [J].

El mtodo de Newton-Raphson desacoplado requiere de dos a tres iteraciones ms para alcanzar convergencia por las simplificaciones que se hacen al hacer cero 1as submatrices [N] y [J]. En 1a figura 1 se muestra el diagrama de f1ujo correspondiente a este mtodo.

Figura 1. Diagrama de flujo para el mtodo de Newton-Raphson desacoplado

Ejemplo # 1.- Aplicando el Mtodo de Newton-Raphson Desacoplado, resolver el problema de flujos de carga para el sistema que se muestra en la figura #1. En las tablas 1 y 2 se presenta toda la informacin relacionada con el sistema. Los lmites de potencia reactiva mnima y mxima de la unidad de generacin son 0 y 35 Mvars. Considere un error mximo de 0.0001 y una potencia base de 100 MVA.




Ejemplo # 1.


Primeramente se calculan las potencias activas en los nodos 2 y 3, utilizando la ecuacin de potencia (9).

(9)

P2 - jQ2 = (1.03 j0) { (-1.25 + j 3.75) (1.05 + j0) + (2.9166 j 8.75)

(1.03+ j0) + (-1.666 + j 5) (1 + j0) }

P2 - JQ2 = (-0.02575 J 0.07725) P.U.

De la misma forma para el nodo 3:

P3 JQ3 = (-0.3 + j 0.9) P.U.

Con estos valores de potencia y aplicando la ecuacin (10) se obtienen los siguientes incrementos de potencia activa:

(10)

P2 = -0.3 - (0.02575) = -0.3257 P.U. P3 = -0.6 - (-0.3) = -0.3 P.U

Los elementos de la matriz [H] se calculan mediante las ecuaciones (11), (12) y son los siguientes:

(11)

(12)

H22 = 9.205625 H23 = -5.15

H33 = 20.9 H32 = -5.15

Aplicando la ecuacin (7) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones a resolver:

resolviendo el sistema de ecuaciones:

2 = -0.050358 rad 3 = -0.026762 rad

Los voltajes nodales quedan modificados de la siguiente forma:

V1 = 1.05 /0 P.U.

V2 = 1.03 /-0.050358 P.U.

V2 = 1.0 /-0.026762 P.U.

Con los nuevos valores de voltajes nodales se recalculan las potencias:

P2 JQ2 = (-0.297710 J0.192376) P.U.

P3 JQ3 = (-0.597603 + J0.792939) P.U.

Como la potencia reactiva del nodo 2 que se necesita inyectar esta dentro del limite de generacin de la unidad dos, solamente es necesario resolver una ecuacin. As tenemos, que usando las ecuaciones (13), y (14):

(13)

(14)

Q3 = -0.25 (-0.792939) = 0.542939 P.U.

L33 = 19.207060

Aplicando la ec. (8):

= (0.028267) (1) = 0.028267

= 1 + 0.028267 = 1.028267

para la primera iteracin los voltajes son:

1.05 /0

1.03 /-0.050358

1.028267 /-0.026762

(1.05 + j 0)

(1.028694 j 0.051847)

(1.027899 j 0.027516)

V(1) = =

Similarmente para la iteracin 2, utilizando los nuevos valores de voltaje y ngulo se tiene que las potencias nuevas recalculadas son:

P2 - JQ2 = (-0.349658 J0.047982) P.U

P3 - JQ3 = (-0.427071 + J 0.234018) P.U.

Y los incrementos en potencia activa usando la ecuacin (10), son los siguientes:

P2 = -0.3 (0.349658) = -0.049658 P.U.

P3 = -0.6 (-0..420717) = -0.179282 P.U.

Los elementos de la matriz [H] se calculan con las ecuaciones (11) y (12) y con los nuevos valores de incremento en potencia.

H22 = 9.234892

H33 = 21.380707

Los valores de ngulos y admitancia para calcular los elementos fuera de la diagonal son:

= 5.270462

1 = 23 2 + 3 = 4.390638 0.050358 + 0.026762 = 4.367043 rad

2 = 23 3 + 2 = 4.390638 0.026762 + 0.050358 = 4.414233 rad

H23 = (1.03) (1.028267) (5.270462) (sen 1) = -5.252458

H32 = (1.028267) (1.03) (5.270462) (sen 2) = -5.335750

Se obtiene el siguiente sistema a resover aplicando la ec. (7) para obtener los incrementos en los ngulos 2 , 3:

Se obtienen los valores siguientes de incrementos en la magnitud de los angulos

= -0.000708 rad

y los nuevos valores de los ngulos se calculan de la siguiente forma:

2 = -0.050335 + 0.000708 = -0.049649 rad

3 = -0.026762 0.008208 = -0.034971 rad

Entonces los valores mejorados de voltajes para la media iteracin son:

V1 = 1.05 /0 P.U.

V2 = 1.03 /-0.049649 P.U.

V3 = 1.028267 /0.034971 P.U. Utilizando los valores anteriores de voltaje se recalcula el incremento de potencia reactiva del nodo 3:

Q3 = -0.170791 P.U.

Q3 = -0.25 - (-0.170791) = -0.079208 P.U.

Similarmente a la primera iteracin el valor de potencia reactiva en el nodo dos est dentro de los lmites de generacin de la unidad, entonces solamente se resuelve una ecuacin. As tenemos, que aplicando las ecuaciones (8), y (14):

L33 = 20.975897

= (-0.0037776) (1.028267) = -0.003882

= 1.028267 0.003882 = 1.024384

Los valores de voltaje para la segunda iteracin son los siguientes:

1.05 /0

1.03 /-0.049649

1.024387 /0.034979

1.05 /0

1.03 /-0.049649

1.024387 /0.034979

V2 = = P.U.

La solucin digital se obtiene en 4 iteraciones y los valores de voltaje se resumen a continuacin en la tabla No 3.

kNODO 2NODO 3

01.03 + J01.0 + J0

11.028694 J0.0518471.027899 J0.027516

21.028730 J0.0511181.023758 J0.035816

31.028723 J0.0512531.024205 J0.034707

41.028724 J0.0512481.024156 J0.034828

Tabla No 3 Voltajes en las diferentes iteraciones del problema utilizando el mtodo de Newton-Raphson desacoplado.

2.5 MTODO DE NEWTON-RAPSON DESACOPLADO RAPIDO

( Para Sistemas No Sobre Cargados )


2.5.1 INTRODUCCION

En un sistema elctrico de potencia son validas las siguientes consideraciones:

1.- La relacin en las lneas de transmisin es alta, lo que significa

que las resistencias es significativamente mas pequea que la reactancia

. As tenemos:

(1)

2.- La diferencia de ngulos de fase en nodos adyacentes es pequea. Esto es

sen pq = sen (p - q) p - q

cos pq = cos (p - q) 1.0 (2)3.- Las simplificaciones anteriores conducen a que existan las siguientes relaciones:

Gpq senpq 0

El sistema de ecuaciones que se obtiene es el siguiente:0 0.120.03

0.030.0525

-0.316262

-0.3

= Resolviendo el sistema se obtienen los siguientes incrementos de los ngulos:

2 = -0.046991 rad.

3 = -0.025237 rad.

y los valores mejorados para los ngulos son los siguientes:

2 = 0 + (-0.046951) = -0.046951 rad.

3 = 0 + (-0.025237) = -0.025237 rad.

Se obtienen los siguientes voltajes a mitad de la iteracin que se utiliza para calcular Q3:

V2 = (1.028864 J 0.048342) P.U.

V3 = (0.999681 J 0.025235) P.U.

Q3 = -0.798557 P.U.

Q3 = 0 0.25 (0.798557) = 0.548557

Se cumple que:

|Q3| > 0 Entonces se calcula el incremento de la magnitud de V3 para encontrar un nuevo valor de ste:

|V3| = 1 + 0.024685 = 1.024685 P.U.

Para la primera iteracin los voltajes nodales son:

(1.05 + J0)

(1.028864 J0.048342)

(1.024358 J0.025858)

1.05 + J0

1.028864 J0.0483422

1.024358 J0.0258581

V(1) = Para K = 2

Se sigue un procedimiento similar a la que uso en la primera interaccin, empezando a calcular las potencias real y reactiva de los nodos 2 y 3:P2 = -0.319645 P.U.

Q2 = 0.061590 P.U.

El valor de potencia reactiva del nodo 2 esta dentro de los lmites de generacin por lo que se mantiene como nodos de voltaje controlado. Para el nodo 3 se obtiene;

P3 = -0.429336 P.U. y para los incrementos de potencia real se obtiene:P2 = -0.3 (-0.319645) = 0.019452 P.U.

P3 = -0.6 (-0.429336) = -0.170663 P.U.

Los valores de incremento de potencia an estn dentro del margen de error que se pide y como el incremento en potencia mayor es el del nodo 3 este an cumple que:| P3| > 0

El sistema nuevo a resolver es:

0.120.03

0.030.0525

0.018885

-0.166551

-0.002730

-0.008177

= =

Los incrementos son:

2 = -0.002730 rad.

3 = -0.008171 rad.

Los valores mejorado para los ngulos: 2 = 1 2 + 2 = -0.045951 0.002730 = -0.049681 rad.

3 = 1 3 + 3 = -0.025237 - 0.008171 = -0.033415 rad.

Los voltajes de media iteracin son:

V2 = 1.03 /-0.049681 = 1.028729 J 0.051151 P.U. V3 = 1.024685 /-0.033415 = 1.024113 J 0.034233 P.U.

La potencia reactiva del nodo 3 recalculada es:

Q3 = -0.255505 P.U.

el incremento en potencia reactiva es:

Q3 = -0.25 (-0.255515) = 0.005505

Este valor an es mayor al permitido, entonces se calcula la magnitud de v3:

|V3| = 0.045 (0.00537) =0.000241

|V3| = 1.024685 + 0.000241 = 1.024926 P.U.

Siguiendo un proceso similar al utilizado en la interaccin 1 se encuentra que los voltajes nodales para k = 2 son:

(1.05 + J0)

(1.028729 J0.051151)

(1.024354 J0.034241)

V(2) P.U.

Para un error 0 =0.001 el problema converge en 3+1/2 interacciones, y los valores de voltaje nodales para cada interaccin se resume a continuacin en la tabla N 2:

INTERACIONNODO 2NODO 3

11.028864 J0.0483421.024358 J0.025858

21.028729 J0.0511511.024354 J0.034241

31.028724 - J0.0512431.024175 J0.034827

3 + 1/21.028724 J0.0512361.024176 J0.034814

Tabla N0 2. Valores de voltajes nodales para cada iteracin obtenidos para encontrar la solucin al problema de flujo de carga del EJEMPLO.ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

EMBED Equation.3

Evaluar la funcion en intervalos iguales de x hasta encontrar un cambio de signo entre::

f(Xn) y f(Xn+1)

Evaluar Xm y f(Xm)

Es f (Xm)

Igual de signo que

F(Xn) ?

Xn+1 = Xm

f (Xn+1) = f (Xm)

Xn = Xm

f (Xn) = f (Xmb)

Es f (Xm)

Suficientemente

Pequeo

?

Mostrar

resultados

Fin

Si

No

Si

No

X1

X2

X3

X4

X5

X

F (X)

X1

X2

X3

X4

f (X)

X

Evaluar la funcion en intervalos iguales de x hasta encontrar un cambio de signo entre::

f(Xn) y f(Xn+1)

EMBED Equation.3

Evaluar f (X)

Son f (Xn) y f (X) del

Mismo signo ?

X (n+1) = X

f (X (n+1)) = f (X)

X(n) = X

f (X(n)) = f (X)

Es f (X)

Suficientemente

Pequea

?

Mostrar

resultados

Fin

Si

No

No

Si

X

f (X)

X3

X1

X2

Seleccionar

Un valor de

Xn

CalcularX (n+1)

Y f (X (n+1))

Es

f (X (n+1))0

Xn = Xn+1

Mostrar

resultados

Fin

X(0) =

K= 0

KP = KQ = 1

Calcular P

KP = 1

K = K + EMBED Equation.3

A

K KMAX

No convergente

B

PMAX

KP = 0

Resolver la ecuacin

EMBED Equation.3

KQ = 1

K = K + EMBED Equation.3

Calcular Q

QMAX

Resolver la ecuacin

EMBED Equation.3

KP = 0

KP es = 0?

Fin

KQ es = 0?

Calcular flujos en lineas y pot. Slack

Calcular flujos de potencia

No

Si

Si

No

>

>

>

A

B

Fin

Fin

=

C

C

Fin

No

Si

Si

No

No

Si

No

Si

KQ=0?

Imprimir los resultados

Y K1 ; K2

KP=0

KP=0

KQ=0

K2=K2+1 ; KQ=1

Encontrar EMBED Equation.3

max. EMBED Equation.3

Determinar:


Calculando Q1:

I:1,2,..N

Calcular Q1:

I:1,2,N

KI=KI+1 ; KP=1

Encontrar


Calcular max. EMBED Equation.3

Calcular P1

I=1,2,N

N dif. De SLACK

Calcular: P1

I=1,2,..N

N,dif. De SLACK

Conteo de iter.

Para P : K1

Para Q: K2

P.U.

Calcular las dos matrices; [B];[B]

Lectura y entrada de datos: KP=1 ;

KQ=1

PAGE 1

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flujos de potencia

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