modelo de ecuaciones de flujos de potencia

5/11/2018 Modelo de Ecuaciones de Flujos de Potencia - slidepdf.com

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MODELO DE ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA REAL Y REACTIVA EN SISTEMAS DE

ENERGIA ELECTRICA

Ing. Luis Milia Lostaunau

d2700Z1 @unmsm,edu.pe

Facultadde Ingenieria Electronica de fa Universidad Nacional Mayor de

San Marcos de Lima - Peru

Resumen: EI prcsente trabajo prosenta un estudio para facilitar los calculos de los flujos

de potencia en las harms 0 nodes de un sistema elcctrico, estos calculos estan basados en

m etod os 0modelos como Gauss Seidel y Newton - Raphson,

Abstract: This article a study to facilitate the calculations of the flows of power in thebars or nodes of an electric system, these calculations arc based on methods or models

as Gauss Seidel and Newton - Raphson.

Palabras Claves: Barras, Modulos, Angulo del Voltaje, Flujo de Potencia, Potencia

Real, Potcncia Rcactiva.

I. INTRODUCCION

La n cc cs id ad d e podol' d et cr rn in ar cl fu nc io narn ic nro d e u n sistem a ele ctrico es m uy im pc rtan te es la o pcracio n d e u n

sistema, asf como para efectuar el plancamiento y disefio de extensiones futuras de la red.

Los estudios de flujos de potcncia se realizan para cicrtas condiciones de cargas predeterrninadas, segun un plan degcneracion y la conexion de la red de transmision.

Las cargas sc muestran como cl suministro de potencia real y reactive Iija, independiente del voltaje.

En to do s lo s g en crad ores sc m ue stra 0 1modu l o d e v olta je , q ue c orre sp on dc a lo s te rm in ale s de los m ism os, los que se

rnantienen constantes por accion de un rcgulador de voltaje. En u no lo s g cn era do res se deb e e sp ec if ic ar e l modu l o y

a ng ulo d el v oltaje te rm in al.

Pueden ostar asociadas adcmas las variables: modulo de voltaic, el angulo del voltaic, la potcncia real y rcactiva que

suministraran los gencradorcs y la poicncia sustrafda.

Llegar a un resultado consistc en calcular cl modulo y el argumento de los voltajes en todas las barras donde no so

conoccn. 1 0 q ue h aec o btcn er fiu jo s d e p otcn cia re al y r ca cti v a e n to da s las ramas de la red.

ELECTR()NICA .~UNMSMN" 6, Noviembre 20nO

mailto:@unmsm,edu.pe

mailto:@unmsm,edu.pe



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II. CALCULO DE LOS VOL TAJES Y FLUJOS DE POTENCIA REAL Y REACTIVA DE UN

SISTEMA DE ENERGIA ELECTRICA

EI funcionamiento d e u n sistem a e le ctric o en r egim en p errn an en tc e qu ilib ra do q ue da d efin id o s i s o. sa be n lo s v alo re s

de los voltajes en todos los barras 0 nodes de! sistema y los flujos de potencia real y reactiva en todos los elementos

de la red.

La determinacion del funcionamiento es de gran importancia para In opcracion, la planeacion y disefio de

amp li ac iones fut ur as ,

Los estudios so . realizan para una condicion de carga deterrninada, asf como para un plan de generacion y de

conexion de la red de transm ision. Las cargas so represcntan com o una extraccion de potencia real y r ea ct iv a f ij a,

i nd cp endi en te d el v o lt aje .

P ara tod os los generadores, m enos u no, se plantea un m odulo de voltaje d eterm inad o, que p ertenece a! voltaje en los

te rm in ate s d e! g en era do r, e l c ua l s e m an tie ne c on sta nte POf a cc io n d el re gu la do r d e v olta je y g en er ac io n d e pot en cia

d el p ro grama d e g en era cio n propuesto, d on de s e e sp ec ific an u nic am en te m o du lo y angulo d el v ol ta je te rm in al .

En cada barra 0bus del sistema puedcn v incul ar se cuatro cantidades: el modulo del voltaje, el ungula del voltaje y la

p al en cia r ea l y r eac ti va p roduci da pOI' l as gencradores 0 s us tr af da s p o r la s c ar ga s.

L as b arras p ue den clasifica rse en tres g ru po s (q ue se ran d esc rito s mas a delan to ) se gu n la s ca ntid ad es q ue se co no ce n

a t in ic ia r e l estudio y la s d cs cono cid as d eb en c alc ula rs e.

2. 1 Los T ipos de bar ras son:

Barras donde se conocen la potencia real y react iva substraldas, en este caso, debe calcularse el modulo y

argumento del voltaje.

Barras de generacion donde se conocen el modulo y dngulo del voltaie (general mente igual a cero), en este caso,

debe c alc ula rs e in p ote nc ia re al y I n r ca ct iv a p ro po rc io n ad a por e l g en er ad or .

Barra de generacion donde se conoce el m odulo y fa potencia real proporcionada por el generador, en estecase,

debe c alc ula rs e e l a ngu lo -d el v ol ta je y Ia p ote nc ia re ac tiv a p ro po rc io na da p or e l g en cra do r.

La solucion del flujo de potencia consiste en calcular, el modulo y el argumento de los voltajes de todas las barras, 10

que perrnitira calcular los flujos d e p otencia real y reactiva en todos las ramus de la red , las perdidas reales y

rea ctiv as e n la re d, la p oten cia rea l y re ac tiv a p ro du cid as p ar c l g en erad or, d on de se m en cio n6 so la men te e l m od ulo y

e l a rg urn en to d el v olta je y la p ote nc ia , re ac tiv a g en era da p or lo s alms generadores,

III. PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA

Gran parte de los mciodos para resolver e! problema de flujos de potencia se basa en las ecuaciones nodales de la

red.

La f orma g en er al de las ecuacioncs nodules de uu sistema de n+! nodes mayores uno de los cuales, el neurro, se

lome como referenda para los voltajes, cs la siguiente:

ELECTR6N[CA _.UNMSM W 6, Noviernbre 2000



45

Y 21V t +Y 22V 2 +.,,"+Y lk V k +.....+Y 2" V" = = ]2

Y k. 1V I+Y k2 V ~+ . .. .. + Y kk V k + . .. .. + Y kn V r , " ' " 1*

Y IV +Y ~V +.....+ y V + .....+ y V·=]! I JlL 2 11k k .. 1m Il if

L as fu en te s d e c orrie nte q ue se m ue stra n e n la s cc ua cio nes a nted o re s, q ue re pres en ta n lo s g en erad ore s y l as c ar ga s

p ue de n e xp re sa rs e e n fu nc io n d e la p oten cia re al y r ea ctiv e e n p ar u nid ad , in ye cta da s 0 su bstra fd as e n c ad a p un to d e

union.

Por ejemplo:

l;" oft!Q k =: f _ k : _ i J 2 ~ ,

v, v,

y fa ecuac lon queda ra :

~ . - - - - - - ; . P I ; - jQkYklV, + Y k 2 V 2 +.....+ Y k k V k + · ·· ·· yk ilV ~=-_._..-".

v : Ok .

(1)

E n la s barras d e carga do nde se co no cenla p otencia real y reactive, fa c cu a cio n pu ed e p la n te ar se d ir cc tamen te ,

En las barras de generacion, donde se especffica la potencia real gencrada y cl modulo del voltaje terminal del

g en era do r, c s c on ve nie nte e xp re sa r la p oie nc ia r ea ctiv e e n fu nc io n d e lo s v olta je s y la s a dm ita nc ias d e la re d.

E I p ro ble ma co nsis te e n d cterm in ar lo s v olta je s, e n m od ule s y a rg um en to e n to da s la s b arra s re so lv ie nd o e l siste ma

d e n ec ua cio nc s sim ultan ca s d e la fo rm a d e 1 3cc ua cid n (I),

E ste ' es u n sistem a d e ecu acio ncs no lineal, po r b q ue so recurre a m eto dos iterativo s p ara obtcner la so lu cion .

L o s d o s m e to do s runs u tiliz ad os s on e l G au ss - S eid el y el N ew to n - R ap hso n.

U na v ez con ocid as to dos lo s v oJtajcs d e los n odo s p ucd cn calcu larse los flu jos d e co rrien te en to das las ram as d e 1 3

r ed, cuyas admit anc ia s SOil conocidas y lo s flu jo s d e p otc nc ia re al Y r c ac tiv a.

ELECTRO NIC A - UNM SM N ° 6, N oviernbre 2 000



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3.1 Solucion de las ecuaciones de flujo de potencia por el metodo de Gauss - Seidel.

Dcspejando de la ecuacion (1) V k

(2)

donde m se k

El calculo puedc hacerse de la SigtltCtfre manera :

Partiendo de va l ores supuestos de los II voltajes se calcula el valor del voltajc en el punto de union 1, mediante la

ecuacion (2) para k = I

(3)

EJ valor corregido del voltajc de punto de union 1 se utiliza para calcular en forma similar el valor corrcgido del

voltaje de punta de union 2, El proccso se repite en cada barra, hasta incluir las n b ar ra s, 10 que completa la primers

itcracion, Con los valorcs de los n voltajcs obtcnidos en la primera iteracion, se repitc el proceso todas las veces qu e

sea neccsario, basta que la difcrencia entre los valores de los voltajes de cada barra calculados en dos itcraciones

su cesiv as sea m on os q ue u na to lcran cia p red eterrn in ad a.

En la s barras de generaci6n dondo se conoccn la palencia real y cl m odulo del voltaje, debe eaJcularse la potcncia

rcactiva mediante fa expresi6n que so deduce a continuacion:

D e la ccu acio n (1)

La parte im ag inaria de la exprcsion an terior can signo negativo corrcspond e a la potcncia reactiva,

(4)

El metodo iterative de Gauss - Seidel se calcula para las barras gcncradoras, [a potencia rcactiva Q k mediante In

ecuacion (3), pnrtiendo de los valores disponiblcs de los voltajcs y se sustituye en la ecuacion (2 ) para cncontrar una

n ue va a pr ox im a cio n del v oltaje V ~.

ELECTRO NICA - UNM SM W 6, Novicmbre 2000



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3.2 SO/UciOI l de las ecuaciones de jlujo de potencia por el metoda Newton-Raphson.

La potencia compleja generada a substrafda en una barra cualquicra k dc un sistema de n barras, puedc exprcsarse,

tomando como base la ecuacion (I) de la forma siguicnte:

- - -z I~ - -

r.-io,=Vk' LYk",V",m~1(5)

Los voltajes y las admitancias se pueden cxpresar, usando coordenadas rectangulares:

- -

V I I I = e; + is,

Y =G i: - } B:

Sustituyendo en la ccuacion (4)

La palencia real 0 react iva Pk es igual a la parte real de la cxpresion anterior y Ia potencia rcactiva Qk. Es igual a la

parte irnaginaria multiplieada por ~1.

(6 )

(7 )

De aqui resolveremos dos ccuacioncs simultancas no lineales para cada barra, de tal forma que si el sistema tiene n

barras resulta un sistema de 2n ccuaciones, Se tienen luego un total de 2n incognitas, 2 por barra, de la siguiente

manera:

a) en las barras de carga, donde sc scfiala la potencia real y reactiva substrafdas, las incognitas son el

modulo y cl argumcnto del voltaje de Ia barra;

h) en [a barras de generacion donde se sefiala la potencia real producida por el generador y el modulo del

voltaje dc la barra, las incognitas son la palencia rcactiva suministrada por el generador y cl angulo del

voltaje;

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4~

c) en una barra de generacion, en la que se especifica el modulo y el argumento del voltaje, las incognitas

son la potcncia real y potencia reacti va suministrada por el gcnerador.

A continuacion, supongamos que se tiene un sistema de tres ecuaciones algebraicas sirnultaneas no lineales:

Si se conocen los valores de y r ' Y 2 Y Y 3 Y se deben calcular los valores de X I' X2

Y X3 que satisfacen las

ecuaciones, Hacemos luego un calculo inicial de las incognitas, esos valores iniciales se representan con los

sfmbolos:

o 0

Esta pnmera aproxirnacion no satisface las ecuaciones. Entonces lIamamos A x " L l x 2

cantidades que hay que sumarle a los valores inicialmente supuestos de las variables para

ecuaciones se verifique. Por 1 0 tanto puede eseribirse:

oy L l x 3 a las

que el sistema de

Se sabe que cualquier funcion de x que tenga derivadas de todas [as ordenes en el punto X = XI ' puede expresarse

como una serie de Taylor, de la forma siguicntc:

Aplicando la expansion en una serie de Taylor al caso de Ires ecuacioncs simultaneas con funeiones de Ires variables,

tomando los dos primeros terrninos de [a serie y dcspreciando los 01r05. EI error sera mfnimo si la prirncra

estimacion cle las variables esta proxima a la solucion exacta, 0 sea si las L 1 x son pequeiias, se tiene las siguicntcs

ecuacioncs:

ELECTRONICA ~ UNMSM N° 6, Noviemhre 2000



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o 0 0

Las derivadas parciales se evahian para la primera aproxirnacion de las incognitas 0 sea para X l ' , X 2 y X 3respecti vamente

Utilizando la notacion matricial, las ecuaciones antes mostradas se pueden expresar:

(8)

a X I 0 a X 2 0 a X 3 0

a f 2 a f 2 a f 2

La matriz de las derivadas parciales se llama matriz lacobiana. Usando una notacion abreviada la ecuacion (7) puede

escribirse:

o 0 0

Rcsolviendo la ecuaci6n (7) para L l x l ' L l x 2 y L l x 3 se tiene la solucion del problema. Utilizando el metodo de

solucion matricial:

(9)

POI' habcrse heche algunas simplificaciones al desarrollar el procedimiento, no se tendra resultados cxactos.

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50

, 0 0 0En cl metodo Newton - Raphson los valores calculados de Llxl ' L i x 2 Y Llx.l se u tiliz an p ara calcu la r nu ev os

v alo re s d e:

y r ea liz ar u na n ue va iteracion. B l proc eso ite rativo se c ontin ua ha sta q ue dos v alo re s s uc es iv os d e L X t n d if ie ra e n

m enos de una cantldad especificada, H abra que evaluar en cada iteracion los elem ento s de la m atriz Jacobiena, Si

lo s A ~~ varian poco de u na iteration a otra, la evaluacion s e p uc dc h ac cr d es pu es d e v aria s lte ra cio ne s.L..l..A'1

Ap lic ando e l met oda Newton - Raphson a In solucion d e las e cu acio ues (5 ) y (6).

Suponemos, que can excepcion de la barra suelta, donde se define en form a cornpleta el voltaje en m odulo y

arg urnento en to das las dcm as barras so conoce la po tencia real y reac t iva inyec tada pOI' lo s generadores y sustrafda

p or la s c arg as y s o c al cu la ra la c ompon cn te real y l a imaginar ia del voltajc correspondientc (Jacinto Viqu ei ra 1 993 ).

Si 0 1 s is tema ti cn e !lbarras el m im ero de ecu aciones sim ultaneas es 2 (n ~!} , ya qu e para cada barra se establece des

e cu acio nc s d e In fo rm a d e:

y

p ero d eb e d esco nta rse la b arra su elta d on de se c on oc e e n fo rm a c om ple ta el v olta je .

En fonna ig ua l a la s e cu ac io ne s (7 ) p ue de n e sc rib irs c la s s ig uie nte s 2 (n -l) c cu ac io ne s:

ELEC TRO N lC A ~ U NM SM N ° 6, N ovicm bre 2 000



- I

df j,,-110

-d Q l l " ' !---, .... , " , _ " _ -

1

5 1

-

' d f l l - I o

~ ( L , _ I l A f ~ _ 1- I

djll-Ilo

-

(Jill-l 1 0

d Q , I

Usa nd o Ia n ota cio n m arr ic ia l a brc via da , la s e cu ac io ne s p ue de n e sc rib irs e,

-ApO

J ~ J ~=-

A Q O J O J O3 4

- -dQ I f J Q ,

,,, ... _', .._-----

(10)

Los terminos A p O y A Q O son la diferencia entre las potencies males y rcactivas cspecificadas en cada barra y

las calculadas (5) y (6) usando la estimacion inicial de los componentes real y reactiva de los voltajes.

A n

e

E LECTRC JN ICA _ ,If" N" 6, Noviernbre 2000



52

La matrtz Jacobiana se calcula a partir de las derivadas parciales de las ecuaciones (5) y (6), sustituyendo las

estimaciones iniciales de los cornponentes real y reactiva de los voltajes.

Calculados L l p O Y ~ Q O la matriz Jacobiana l I o J de la estimacion inicial de voltajcs, los terminos ~ ; o y

L l f 0 q ue re pre se ntan e l incremento 0decremento a la componente real y reactive, se calculan invirtiendo la matriz

Jacobiana, en forma igual que (8):

A partir de los terminos Ae0y Af()e calculan nuevos valores de los componentes real y reactiva de los

voltajes de las barras,

3.3 Solucion aproximada de losflujos de Potencia

Segiinla ecuacion

Exp re sand o l os v ol ta je s y admitancias e n c oo rd en ad as p ola re s

V- = v - -j8mIn m e

ELEC TRO N fC A ~ U NM SM N" 6, Noviembre 2000



v v

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kill kill eje km

Sustituycndo estos valores en la ecuacion (5), se tiene:

(11)

Teniendo en cuenta que.

e -j(O k-0",+ ekln),,:::c os(8 -0 +8 )-;. sen( k -o +e )k In kill ii III km

La potencia real () reactiva y la potencia reactiva puedcn exprcsarse como la parte real y la parte imaginaria

respecti vamcnte (I I):

p , ~~l, V . Y km } o s t J , - O m +8, . )

Q , ~~ r . V m r.,} e n t J , - O m +8.J

(12)

(13)

Ecuacioncs que relacionan cambios de potencia real y rcactiva en funci6n de cambios de voltaje se escriben en forma

abreviada:

~p(14)

~Q

donde ~8 y ~ V son incrementos y decremcntos de los angulos y de los modules de voltajcs de barras.

Los elementos de la matriz Jacobiana sc calc ulan obtcnicndo las dcrivadas parciales de las ecuaciones (12) y (13)

para la submatriz JJ :

ELECTRONIC A - UNMSM W 6, Noviernbre 2000



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_ ~ _ f _ k ~ ( V - V - iy- J s e n ( s : - s : +8 ) donde m " * k& J k III I kill o, U'" kill

III

s » " [ ' - - 1 - ' J ).- - - - - - - - - - - - s e n - +si. -~ v. V"{.,,, . (0 , 0 , , , e " "

-Para la subrnatriz J " 2 :

» » [ - -J ( f 5 )____k - cos - +

a - - V.Y.", • 0 ", e " ,V I I I

-Para la submatriz J 3 :

-» o ( - - - J= COS - + m 1: kO d " , V , V '" Y ' ' ' ' , (0 . 0 " , e.J

ELECTRONICA - UNMSM N" 6. Novicmbre 2000



55

Para la submatriz J4

Las variacioncs de la potencia real sc dcbcn principal mente a las variaciones del angulo de voltaje y las variaciones

de la potcncia rcactiva se deben a las variaciones en el modulo del voltaje. Para cambios pequefios de magnitud y cl

angulo de los voltajes, las submatrices sc pueden considerar cero y la ecuacion matricial (7) se reduce a:

o(15)

o

Lo que significa que puede calcularse separadarnente los flujos de potencia real y reactiva:

[ M } [ J ] [ M ]

[ ~ Q } [ J . ] [ ~ v JEsta simplificacion sc llama de los flujos dcsacoplados,

Referencia General: (Vcr tcxto Viqucira J.- Ed. Alfa - Omega 1993 y Donald Richardson y Arthur Caisse Maquinas

Rotativas y Transforrnadores Ed. Prentice Hall 1997).

Los datos de placa de los difercntcs aparatos del sistema son los siguicntcs:

Gcncrador G I

120MVA

22 KY

Gener-ador G2

50MVA

l2KY

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Transformadores T!'-y"!?'

142/22 KY

60MYA

Zce = 8.20%

Transformadorcs 1\ y T4

132/12 KY

45MYA

Z,c = 7.25%

Los datos de placas anteriores indican potencias tri rrisicas y voltajes entre lfneas.

Las caracterfsticas electric as de las Imeas de transmision son las siguicntes:

Linea L\

R::; 29.9 Q

X I = i 107.5 Q

Xc = - j 1325 Q

Linea Lz,

R=49.5 Q

X I ==j 177.7Q

Xc = =- j 1325 Q

Linea LJR=19.6Q

X I =j 70.2 Q

Xc::; - j 2025 Q

Linea L4

R = l.5 Q

x, = j 3.3 Q

Xc::;""

Las cargas constituyen cxtracciones de potencia real y reactiva de las siguicntcs magnitudes:

Carga C1

Sc i = 15 +j 8 MYACarga CEo

Sc 2 =61 + j 19 MY A

En el circuito equivalente en por unidad (fig. N° 1) los distintos elementos se representaran como sigue:

Los gcncrados como fuentes de voItaje constantc concctadas de fase a neutro, de magnitud igual a su voltaje terminal

al neutro, expresado en por unidad.

Los transformadorcs por reactancias en serie en par unidad considerando dcsprcciablcs las rcsistcncias y de valor

infinito las impedaneias de circuito abierto.

Las lfneas de transrnision mediante circuitos equivalcntcs IT.

Las cargas por impcdancias constantcs en por unidad, conectadas entre fasc y ncutro,

6J ,ECTRONICA ~ UNMSM N° 6, Novicmhrc 2000



57

0.1716+ jO.7752

If

Figura 1. Circuito equivalente en por unidad del ejemplo

Sea el sistema electrico trifasico del ejernplo N° 1. Si se desprecia la capacitancia de las lmeas (0 sea se considera

infinita la reactancia capacitiva) y las cargas se representan como substracciones de potencia real y reactiva, el

circuito equivalente en por unidad qucda como se indica en la figura J , en el que se muestra la impedancia en porunidad de cada rarna,

En la tabla 1 se resume la informacion sobre las impedancias de la red, identificando cada rama mediante los

mimeros asignados a los nod os .

Impedancia de fa Red de numeros asignados a los nodos

TABLA 1

Rama - -

R X

1-2 0.2841 j 1.l7811-3 0.1716 jO.7752

2-3 0.1125 j O A 0 2 9

2-5 1.0417 j2.4528

3-4 0.0 iO.1611

En la tabla 2 se da [a informacion referente a las barras que tienen conectadas generadores 0cargas. En las barras 2 y

5, que tienen conectadas cargas, se conoccn las potencias reales y reactivas suministradas a las cargas y hay que

caJcular el modulo y el argumento del voltajc,

En la barra 4 que tiene conectado un generador, se espccffica para cste la potencia real que surninistra y el modulo

del voJtaje en sus terminales.

En la barra 1 que tiene conecrado 011'0 generador y que se lorna como la barra suc1ta, se especffica la magnitud y el

angulo del voltajc.

ELECTRONIC A - UNMSM

N° 6, Noviembre 2000



Barras conectadas a generadores 0 cargas

TABLA 2

.~~ - - .~ - 8vBarra Pc; Q c ; Pc Qc V

1 1.110 0 °

3 ~0.61 -jO.19

4 035 0.990

5 -0.15 -jO .O 18

Para ap licar el m etodo para cl calculo de los voltajcs de los nod os y los flujos de potcncia real y reactiv a en las rarnas

de la red, basado en las ccuaciones nodales, es necesario partir de las adrnitancias de las ramus de la red para calcular

la s a dm ita nc ia s p ro pia s y m utuas de la m atriz de adm itancias de barra,

Particndo de las im pedancias de las ram as, se pucdcn calcular las adm itancias correspondientes m ediante la siguiente

exprcsion:

y = 1~ _.~ R~~_~ j - = _ _ _ _ -=G- j BR + J X R 2 +X2 R 2 +X 2

dondc G e s l a c on du ct an ci a y B cs la suceptancia, am bas en por unidad .

En Ia tabla 3 se prcscntan los resu ltados del calculo de las adrnitancias de las rarnas.

Conductancias y suceptancias asignadas a los nodos

TABLA 3- --

Rama G B

1-2 0.1934 ~jO.8022

1- 3 0 . 2722 -j 1. 2297

2 -3 0.642 9 -j2 .302 5

2 -5 0_1467 -0.3454

3-4 0. 0 - j6_2073

Partiendo de los datos de la tab la 3 sc calculan las a dm ita nc ia s p ro pia s y mutuas. PO I' cjernplo:

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Y II "" (0.1934 - )0.8022) + (0.2722 - )1.2297):::; 0.4656 - )2.03119

Y I 1 := (0.1934 - )0.8022) :::::00.1934 + )0.8022

Y i3 ::;: (0.2722 - .11.2297) = = -0.2722 + jI.2297

Y 1 4 : ::: : 0 -- jO puesto que no hay conexion entre las barras J .v 4

y 15 = = 0-)0 puesto que no hay conexion entre las barras IyS

La matriz de adrnitancias de barra resultante cs como sigue:

2 3 4 5

I

2

[Yl 3

= 45

0.4656 - i2 .03 19 -0.1934 +10.8022 -0.2722 +i1.2297 O+jO 0+ .o_ : S U 93 4 + jO-S022 0.9830 - j 3 . 4 5 0 1 -0.6429 + j 2.3025 O+iO -(t 1467 +j0.3454

·0.2722 + iL2297 -0.6429 + j}.45() I O.915l -j9.7395 0+ j 6.2073 O+jO

Q _ _ ! j 0 0+ io o +i 6.2073 0+ j 6.2073 0+10

o +j 0 -0.1467 +lQ.3454 O+j{} 0+ j 0 O.!467 - J . 0.3454

Una vcz cstablecida 1<1matriz de adrnitancias de barra se precede al calculo de los voltajes en todas las barras,

aplicando alguno de los metodos itcrativos antes descritos, .

A continuacion so ilustrara cl usa del metodo d e Gauss-Seidel.Como ya se dijo, la barra J so eligio como barra suclta, en la que se especifica la magnitud y el angulo del voltaic:

V I = 1.11+ jO

EI metoda iterative sc inicia en la harm 2, aplicando In ecuacicn (2) a esta barra:

v = _ ! _ . P_2~iQ z

2 *

5 =::

!.Y 2m V 1 1 1

m=1

m;f.2

Como la barra 2 no tiene carga conectada

Se supone, como primcra aproximacirin, que los voltajcs de las barras 2,3 y 5 son iguales a I + . i o .

1 { 0 - j O [ o.sozz)=-.~- .. -..... .... -----.-. (- 0.1934+ ,0.8022 l.I1+2 0.9830 - )3.450 I (1 + jOf .

ELECTRONICA - UNMSM N° 6, Novicmbrc :2000



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+ (-0.6429 + )2.3025)1 +(- o . 1467+ j0.3454) l - }V 2 = 1.0043 - j3.5383 = 1.0253 /- O._O?~ 1.0253 - ;0.0009

0.9830 - j3.4501 .

Se continua ahora con la barra 3:

m .. 3

La barra 3 tiene una carga conectada P 3 ± j Q 3 de - (0.61 + jO.19). EI signo menos indica que la potencia real yreactiva salen de la barra 3.

Se utiliza el valor calculado del voltaje de la barra 2

V 2 = 1.0253/-0.05°= 1.0253- jOJ )OO9

EI voltaje de la barra 3 se supone igual a 1 + jO y el de la barra 4, donde se especific6 el modulo del voltaic, seconsidera que:

V 4 = 0.99 + jO

Se pasa ahora a la barra 4:

m=1

Substituyendo esos valores en la ecuaci6n correspondicntc a la barra 3:

ELECTRONICA - UNMSM N° 6, Noviernbre 2000



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I.J [ +(-0.6429 + j2.302S)(U1253!'- 1'0.(09) + (0+ j6.2073)O.99j-}

V 3 ~ 0.3492-j9.6816;;:O.9903/~3.Y=={),98&7_jO.05700.9151- j9.7395

La barra 4 es una barra de generacion, EI generador inyecta una potencia real de 0.35. Para poder aplicar la

ecuacion del volraje de Ia barra es necesario, primero, calcular la potencia reaetiva del generador, aplicando la

ecuacion (4) a esta barra:

m= l

Se utilizanin los v alo re s c alc ula do s d e lo s v olta je s q ue s e tie ne n y a d is po nib le s d el p ro ee so d e 1 11 .r im er s ite ra cio n:

V3= 0.9887 - jO.0570

En la barra 4 se especific6 el m6dulo del Vdt~je y se descoaoce el anguJo del mismo, Como una primera

a pr ox im ac io n s e toma :

V4=O.99+ jO

Con estos valores de los voltajes se hare una prinitra aproximaci6n del valor de la potencia reactiva:

Q 4 = = -ilm {O.99[(O+j6.2(13)(O.9887 - jO.0570) +(0- j6.2073)(O.99+ jO)]}

Q 4 =jO.OO8

La potencia compleja inyectadapor el generador t; ala barra 4 es:2

ELEC TR6NICA - UNM SM



62

P 4 + jQ 4 ~035+ )0.008

S ub stitu yen do este s v alo res e n 1 a ec ua cio n d el v oltaje d e la b arra 4 ;

v = = L_~"~~"{Q~.=.j() . . .008._ [(0+ j6.2073 )(0.9887 ~ jO .0570 )]}4 0 - j .620 73 (0.99 + jO )

v = . - : - ~ 2 _ : _ ~ 0 0 3 jf!:.~~~._ = 0.9900 + jO4 _ )6.2073 .

La p rime ra Her ndon se co ncluy e en la b arra 5 :

m=l

Vsm;tS

La b ar ra 5 tien e un a carg a co nectad a de -(O .lS+ jO .0 8). E I v oltajc d e In barra 5 se estim a, com o se d ijo , ig ual a 1 + .iO

y e l v olta je c alc ula do p ara la b arra 2 e n In p rirn era ite ra cio n e s 1 .0 25 3 - j 0.0009:

V =~~ ....l~"--",. J_~5+jg':_~~[(-O.1467+ jO.3454)(10253- ; 0 . 0 0 0 9 ) ] j 15 0.1467 - j0.3454 t (1+ jO f .

~ 0.0001 - j0.3462

V :::::._ ,-,,,.".-----::::.922I"2 3° = = 0 .8 48 7 - j 0.36035 0.1467 - )0.3454 --

E I p ro ceso iterative se rep ite h asta q ue el cam bio del v alor d e los v oltajes en do s iteracio nes su ccsiv as sea m cno r qu e

una tolerancia espccificada.

Una vez detcrminados Ios voltajes pueden calcularse los flujos de potencia rcactiva y In potencia real y reactiva

gencrada poria barra suelta,

IV . BIBLIOGRAFIA

Viqucira J " "Redes Electticas" E d. A lfa O m ega 1993

Donal V, Richarson y Arthur Caisse "Maquill£!s Rotativas J Transformadores" Ed. Prentice Hall 1997.

R om ero R .. "Andlisis de Sistemas de Palencia" 1983

Kirnbark "Power System Stability" E d. W iley 1 96 5.

ELECTRO NICA - UNM SM W 6, N oviem hrc 2 000

modelo de ecuaciones de flujos de potencia

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