introducción a las probabilidades. 1. ¿que es una...

1 NOTAS DE PROBABILIDAD

1

Introducción a las Probabilidades.

1. ¿QUE ES UNA PROBABILIDAD?

La probabilidad es un número que evalúa la posibilidad de que algo suceda. Es un

valor numérico que va desde cero hasta uno, inclusive que describe la posibilidad

relativa de ocurrencia de un evento.

En el estudio de probabilidades se utilizan tres palabras claves: Experimento,

Resultado y Evento.

Experimento: Cualquier proceso que genere un conjunto de datos ej: El lanzamiento de una moneda, solo existen dos resultados posibles cara ó sello; el lanzamiento de un misil y la observación de su velocidad en tiempos especificados; las opiniones de personas que votan con respecto a un impuesto.

Resultado. Un suceso particular proveniente de un experimento. Ej. Al lanzar una moneda al aire puede caer cara o sello, cada una de estos es un resultado.

Evento. Conjunto de uno más resultados de un experimento

Más definiciones:

Experimento: conjunto de pruebas o realizaciones que se llevan a cabo un número

indefinido de veces y en cada realización se tiene un resultado. Puede ser:

Determinístico: cuyo resultado se puede predecir con certeza.

Aleatorio: cuyo resultado no se puede predecir con certeza.

Espacio Muestral (E): conjunto de resultados posibles que se pueden presentar en

la realización de un experimento. Ej: 2 dados E: [1,2,3,4,5,6].

E 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

En el lanzamiento de 2 monedas. El conjunto de espacio muestral será:

E: [(𝑐, 𝑐), (𝑐, 𝑠), (𝑠, 𝑐), (𝑠, 𝑠)].


2

Suceso Favorable (𝑨𝒇): conjunto éxito o aquel suceso en el cual se está interesado

que suceda o se presente. Ej: el lanzamiento de dos monedas si se está interesado

en que se presenten dos lados iguales 𝐴𝑓 = [(𝑐, 𝑐), (𝑠, 𝑠)]. En el lanzamiento de dos

dados si se quiere que se presente la suma 7

𝐴𝑓 = [(1,6), (2,5), (3,4)(4,3)(5,2)(6,1)]

Ejemplo propuesto:

En el lanzamiento de dos dados si se quiere que se presente dos números iguales

𝐴𝑓 = [(1,1), (2,2), (3,3)(4,4)(5,5)(6,6)]

Suceso Contrario (𝑨𝒄): Ac = [(𝑐, 𝑠), (𝑠, 𝑐)].

Probabilidad Clásica: es el conjunto de números de casos favorables sobre el

número de casos posibles.

P =# casos favorable

# casos posibles Af =

n(Af)

n(E)

n(Af) = numero cardinal de Af

Ejemplo 1: El lanzamiento de dos monedas, encontrar la probabilidad:

a) Que se presenten dos lados iguales.

b) Que se presenten como mínimo una cara.

E: [(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)]

a) Af = [(c, c), (c, s)] 𝑃 (Af) =

n(Af)

n(E)=

2

4= 0.50 = 50%

b) Af = [(c, c), (c, s)(s, c)] 𝑃 (Af) =

3

4= 0.75 = 75%

Ejemplo 2: El lanzamiento de tres monedas, encontrar la probabilidad:

a) Que se presenten tres lados iguales.

b) Que no se presenten tres lados iguales.

c) Como máximo dos caras.

d) Como mínimo una cara.

E: [(c, c, c), (c, c, s)(c, s, c), (s, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)(s, s, s)]

a) Af = [(c, c, c), (s, s, s)] 𝑃 (Af) =

2

8= 0.25 = 25%

b) Af = [(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] 𝑃 (Af) =

6

8= 0.75 = 75%


3

Af = [(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] 𝑃 (Af) =

6

8= 0.75 → 75%

c) Af = [(c, c, c)(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] 𝑃 (Af) =

7

8=

0.875 = 87.5%

Ejemplo propuesto:

En dos juego de pico botella encontrar la probabilidad que se presente 2 lados

iguales y como mínimo un pico

E: [(p, p), (b, b), (p, b), (b, p)]

c) Af = [(p, p), (b, b)] 𝑃 (Af) =

n(Af)

n(E)=

2

4= 0.50 = 50%

d) Af = [(p, p), (p, b), (b, p)] 𝑃 (Af) =

3

4= 0.75 = 75%

2. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

1. 0 y 1: la probabilidad siempre está en 0 y 1 por que 0 ≤ Pi ≤ 1 ;

n(Af) ≤ n(E).

2. La suma de todas las probabilidades siempre es igual a 1.

3. La probabilidad del suceso favorable más la probabilidad del suceso

contrario siempre es igual a 1. P(Af) + P(Ac) = 1.

4. La probabilidad del suceso vacío es igual a 0; P(∅) = 0 ∅ = [ ].

5. La probabilidad del espacio muestral es igual a 1; P(E) =n(E)

n(E)= 1.

3. TÉCNICAS DE CONTEO

Se utiliza para encontrar el número de casos posibles en la realización de un

experimento n(E) =?

a) Experimentos con eventos que presentan reemplazamiento

Ejemplo 1: suponga una población N=3, se selecciona una muestra n=2 con

reemplazo encontrar:

a) Espacio muestral.

b) Número de casos posibles.

c) Probabilidad de que se presenten 2 números iguales.

Muestreo con

remplazo

Muestreo sin

remplazo


4

N=3

a. 𝐸 = [(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)]

b. n(E) = 𝑁𝑛 = 32 = 9

c. Af = [(1,1), (2,2), (3,3)] = P(Af) =n(Af)

n(E)=

3

9= 0.33 = 33%

Ejemplo 2: 1 moneda ⇒ E = [(c, s)] = n(E) = 2;

2 monedas ⇒ E = [(𝑐, 𝑐), (c, s)(𝑠, 𝑐), (𝑠, 𝑠)] = n(E) = 22

a. Probabilidad que se presenten dos lados iguales

Af = [(c, c), (s, s)] 𝑃 (Af) =

2

4= 0.50 = 50%

b. Probabilidad que se presenten como mínimo una cara

Af = [(c, c), (c, s), (𝑠, 𝑐)] 𝑃 (Af) =

3

4= 0.75 = 75%

Ejemplo 3: se lanzan 3 monedas encontrar:

a. El espacio muestral.

b. El número de casos posibles.

c. Como mínimo dos caras.

d. En ninguna se presente cara.

e. Como máximo 3 caras.

a. E: [(c, c, c), (c, c, s)(c, s, c), (s, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)(s, s, s)]

b. 𝑁𝑛 = 23 = 8

c. Af = [(c, c, c), (c, c, s), (c, s, c), (s, c, c)] 𝑃(Af) =4

8= 0.50 = 50%

d. Af = [(s, s, s)] 𝑃(Af) =1

8= 0.125 = 12.5%

e. Af = [(c, c, c)(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] 𝑃 (Af) =

7

8=

f. 0.875 = 87.5%

1 2 3 ⇒ n=2


5

b) Experimentos que presentan eventos sin reemplazamiento.

n(E) = CnN =

N!

n! (N − n)!

Ejemplo 4: suponga una población N=3, se selecciona una muestra n=2 sin

reemplazo encontrar E y n(E)

N=3

E = [(1,2), (1,3), (2,3)]

n(E) = CnN =

N!

n! (N − n)!

CnN = Combinaciones de N elementos en n elementos

N! = N factorial

N! = N(N − 1), (N − 2) … !

5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120

2! = 2 ∗ 1 = 2

1! = 1

0! = 1

n(E) = CnN = C2

3 =3!

2! (3 − 2)!=

3 ∗ 2 ∗ 1

2 ∗ 1 ∗ 1= 3

1 2 3

n=2


6

Otros ejemplos:

Casos posibles en el baloto:

n(E) = C645 = 8145060; P( salga ganador) = P(X) =

1

8145060

Casos posibles en la lotería de 4 números: 104 = 10000 Ahora, La probabilidad

que La probabilidad de que una persona se gane la lotería P(X) = 1/10000

Ejemplo 5: se lanzan dos dados:

a. Cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos.

b. Cuál es la probabilidad con cada dado de obtener 3 puntos como máximo.

c. Cuál es la probabilidad de obtener dos números iguales.

E 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

E = [(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)]

a. Af =6

36= 0.16 = 16.66%

E = [(1,2), (1,3), (1,1), (2,2), (2,1), (2,3)(3,1), (3,2), (3,3)]

b. Af =9

36= 0.25 = 25%

E = [(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)]

c. Af =6

36= 0.16 = 16.66%

Ejemplo propuesto:

Suponga una caja con 1 circulo, 1 cuadrado y 1 triangulo. Se selecciona una

muestra de n=2 con repetición, se regresa a la caja y se vuelve a sacar.

Encontrar: espacio muestral, número de casos posibles, probabilidad que se

presenten 2 figuras geométricas iguales

n=2 1 2 3


7

𝐸 = [(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)]

n(E) = 𝑁𝑛 = 32 = 9

Af = [(1,1), (2,2), (3,3)] = P(Af) =n(Af)

n(E)=

3

9= 0.33 = 33%

Ejemplo propuesto:

Suponga en una bolsa 1 moneda de $500, una de $200, y una de $50. Si se

selecciona una muestra n=2 sin reemplazo encontrar E y n(E)

A B C

E = [(A, B), (A, C), (B, C)]

n(E) = CnN =

N!

n! (N − n)¡

n(E) = CnN = C2

3 =3!

2! (3 − 2)!=

3 ∗ 2 ∗ 1

2 ∗ 1 ∗ 1= 3

4. REGLAS DE LA PROBABILIDAD

1. Regla de la suma: sucesos independientes y dependientes

2. Regla de la multiplicación: sucesos independientes y dependientes

Regla de la suma

Sucesos independientes: Sea A y B dos sucesos independientes entonces la

probabilidad que se presente el suceso A o B es igual a la probabilidad que se

presente el suceso A más la probabilidad que se presente el suceso B. P(A ∪ B) =

P(A) + P(B) =n(A)

n(E)+

n(B)

n(E)

Ejemplo 1: En una oficina hay 2 directores, 8 ejecutivos y 10 secretarias. Si

selecciona un empleado encontrar la probabilidad de que ese empleado sea director

o que sea ejecutivo.


8

2 + 8 + 10 = 20

P(A ∪ B) =2

20+

8

20= 0.1 + 0.40 = 0.50 = 50%

Ejemplo 2: se lanza un dado encontrar la probabilidad que se presente un numero

par o se presente el 3.

E

E = [1,2,3,4,5,6]

Af = [2,4,6] =3

6= 0.5 = 50% Af = [3] =

1

6= 0.16 = 16.66%

P(A) = 0.5 + 0.16 = 66.66%

Ejemplo propuesto:

En un colegio hay 2 profesores de química, 5 de matemáticas y 3 de física. Si se

seleccionara un profesor, encontrar la probabilidad de que sea de química o de

matemáticas

2 + 3 + 5 = 10 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠

P(A ∪ B) =2

10+

5

10= 0.2 + 0.5 = 0.7 = 70%

Dependencia de la suma: Sea A y B dos sucesos dependientes, entonces la

probabilidad que se presente el suceso A o el suceso B, está dada por la

probabilidad que se presente el suceso A más la probabilidad que se presente el

suceso B menos la probabilidad que se presenten ambos sucesos. P(A ∪ B) =

P(A) + P(B) − P(A ∩ B) =n(A)

n(E)+

n(B)

n(E)−

n(A∩B)

n(E) (A ∩ B) ≠ 0.

Ejemplo: En una encuesta realizada a 20 amas de casa se obtuvo la siguiente

información: 10 utilizaban solamente shampoo, 8 utilizaban solamente jabón y 2

2, 4, 6 3

A B

1, 2, 5


9

utilizaban ambos productos. Encontrar la probabilidad de que una ama de casa

utilice shampoo o jabón.

10

20+

8

20−

2

20= 0.5 + 0.4 − 0.1 = 0.8 = 80%

Ejemplo propuesto:

Al hacer 15 lasañas se obtuvo la siguiente información de las ventas: 5 compraron

carne, 7 compraron de pollo y 3 fueron mixtas. Encontrar la probabilidad de que

alguien compre carne o pollo.

5

15+

7

15−

3

15= 0.33 + 0.46 − 0.2 = 0.59 = 59%

Regla de la multiplicación

Independencia: Sean A y B dos sucesos independientes entonces la probabilidad

que se presente ambos sucesos A y B es igual a la probabilidad que se presente el

suceso A por la probabilidad que se presente el suceso B. P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =n(A)

n(E)∗

n(B)

n(E).

Ejemplo 1: suponga dos maquinas A y B que producen artículos defectuosos y no

defectuosos. El 20% de los artículos producidos por la maquina A son defectuosos

en cambio el 70% de los artículos producidos por la maquina B son no defectuosos.

Si se selecciona aleatoriamente un articulo de cada producción, Encontrar la

probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos.

A=suceso articulo defectuoso maquina A⇒ P(A) = 0.20

B=suceso articulo defectuoso maquina B⇒ P(B) = 0.30

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) = 0.20 ∗ 0.30 = 0.06 = 6%

Ejemplo 2: Se lanzan dos dados uno blanco y el otro negro, encontrar la

probabilidad de que en ambos dados se presente un numero par.

A=suceso dado blanco se presente par ⇒ 𝐴 = [2,4,6]

B=suceso dado negro se presente par ⇒ 𝐵 = [2,4,6]


10

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =n(A)

n(E)∗

n(B)

n(E)=

3

6∗

3

6=

9

36= 0.25 = 25%.

Ejemplo propuesto:

Una empresa de zapatos tiene dos sedes una en el norte y la otra en el sur. El 5%

de los zapatos producidos en la sede del norte son defectuosos en cambio el 85%

de los zapatos producidos en la sede norte son no defectuosos. Si se selecciona

aleatoriamente un par de zapatos de cada producción encontrar la probabilidad de

que ambos pares de zapatos sean defectuosos.

N=suceso zapatos defectuosos sede norte⇒ P(N) = 0.05

S=suceso zapatos defectuoso sede sur⇒ P(S) = 0.15

P(N ∩ S) = P(N) ∗ P(S) = 0.05 ∗ 0.15 = 0.75%

Dependencia: Sean A y B dos sucesos dependientes, entonces la probabilidad que

se presente ambos sucesos A y B, es igual a la probabilidad que se presente el

suceso A por la probabilidad que se presente el suceso B dado que ya se presentó

el suceso A. P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) → B dado A P(𝐵 𝐴⁄ ) =P(A∩B)

P(A).

En la independencia la P(𝐵 𝐴⁄ ) = P(B).

Ejemplo: en el grupo de estadística 1 hay 20 mujeres y 10 hombres, si se

seleccionan dos estudiantes aleatoriamente para constituir un comité, encontrar la

probabilidad:

a. Ambos estudiantes sean mujeres.

b. 1 mujer, 1 hombre.

c. Ambos estudiantes sean hombres.

d. 1 hombre, 2 mujeres.

a. A= primer estudiante sea mujer

B= segunda estudiante sea mujer

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =20

30∗

19

29= 0.66 ∗ 0.65 = 0.436 = 43.6%.

b. A= primer estudiante sea mujer

B= segundo estudiante sea hombre

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =20

30∗

10

29= 0.66 ∗ 0.34 = 0.22 = 22.98%.

20 M 10 H

A B


11

c. A= primer estudiante sea hombre

B= segundo estudiante sea hombre

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =10

30∗

9

29= 0.33 ∗ 0.31 = 0.10 = 10.34%.

d. A= primer estudiante sea hombre

B= primer estudiante sea mujer

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =10

30∗

20

29= 0.33 ∗ 0.68 = 0.22 = 22.98%.

Ejemplo propuesto:

En una finca hay 45 perros y 10 gatos. Si se selecciona dos animales para la

venta: encontrar la probabilidad de que A. ambos sean perros; B. un perro y un

gato; C. ambos sean gatos y D. un gato y un perro.

a. A= primer animal sea perro

B= segunda animal sea pero

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =45

55∗

44

54= 0.81 ∗ 0.81 = 66.6%.

b. A= primer animal sea perro

B= primer animal sea gato

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =45

55∗

10

54= 0.81 ∗ 0.18 = 0.15 = 15%.

c. A= primer animal sea gato

B= primer animal sea gato

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =10

55∗

9

54= 0.18 ∗ 0.16 = 0.030 = 3.03%.

d. A= primer estudiante sea hombre

B= primer estudiante sea mujer

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =10

55∗

45

54= 0.18 ∗ 0.83 = 0.15 = 15.15%.

Teorema de Bayes

Consiste en dos preguntas1:

1. Se selecciona un artículo de la gran producción encontrar la probabilidad de

que ese artículo sea defectuoso. P(D) = P(A1nD) + P(A2nD) + ⋯ + P(AinD) +

⋯ + P(AnnD) = P(A1)P(D A1⁄ ) + P(A2)P(D A2⁄ ) + ⋯ + P(Ai)P(D Ai⁄ ) +

P(An)P(D An⁄ ).

1 Mirar ejemplo 1 Regla de la multiplicación.


12

2. Suponga que se seleccionó un artículo y resulto ser defectuoso, encontrar

la probabilidad que ese artículo que resulto ser defectuoso sea de la

maquina A. P(Ai D⁄ ) =P(Ai)P(D Ai⁄ )

P(A1)P(D A1⁄ )+P(A2)P(D A2⁄ )+⋯+P(Ai)P(D Ai⁄ )…+P(A2)P(D A2⁄ )

∑ P(Ai D⁄ )

n

i=1

= 1

Ejemplo 1: Suponga una caja rectangular que contiene 3 urnas 𝑈1, 𝑈2 𝑦 𝑈3 con

la siguiente distribución.

1. Se Selecciona aleatoriamente 1 bola encontrar la probabilidad que esa bola

sea blanca:

P(B) = P(U1)P(B U1⁄ ) + P(U2)P(B U2⁄ ) + P(U3)P(B U3⁄ )

P(U1) = P(U2) = P(U3) =1

3

P(B) =1

3∗

3

10+

1

3∗

4

10+

1

3∗

2

10=

3

30+

4

30+

2

30=

9

30= 0.3 = 30%

2. Suponga que se selecciona una bola y resulto ser blanca encontrar la

probabilidad de que esa bola sea de:

a. La urna 1.

P(U1 B⁄ ) =P(U1)P(B U1⁄ )

P(U1)P(B U1⁄ ) + P(U2)P(B U2⁄ ) + P(U3)P(B U3⁄ )

13 ∗

310

13 ∗

310 +

13 ∗

410 +

13 ∗

210

=

3309

30

=3

9= 0.33 = 33%

b. La urna 2.

P(U1 B⁄ ) =P(U2)P(B U2⁄ )


13 ∗

410

13 ∗

310 +

13 ∗

410 +

13 ∗

210

=

4309

30

=4

9= 0.44 = 44%

c. La urna 3.


13

P(U1 B⁄ ) =P(U3)P(B U3⁄ )


13 ∗

210

13

∗3

10+

13

∗4

10+

13

∗2

10

=

2309

30

=2

9= 0.22 = 22%

Ejemplo propuesto:

Suponga una frutería que contiene 5 canastas 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 𝑦 𝐶5 con la siguiente

distribución:

1. Se selecciona aleatoriamente una fruta encontrar la probabilidad de que

esa fruta sea pera.

P(p) = P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ ) + P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ ) + P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ ) + P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ )

+ P(𝐶5 )P(p 𝐶5 ⁄ )

P(𝐶1) = P(𝐶2) = P(𝐶3) = P(𝐶4 ) = P(𝐶5) =1

5

P(B) =1

5∗

3

15+

1

5∗

4

15+

1

5∗

5

15+

1

5∗

7

15+

1

5∗

5

15=

1

25+

4

75+

1

15+

7

75+

1

15

=8

25= 0.32 = 32%

2. Suponga que se selecciono una fruta y resulto ser pera, encontrar la

probabilidad de que la pera se de la 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 𝑦 𝐶5

La canasta 1.

P(𝐶1 p⁄ )

=P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ )

P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ ) + P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ ) + P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ ) + P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ ) + P(𝐶5 )P(p 𝐶5 ⁄ )

15

∗3

1515 ∗

315 +

15 ∗

415 +

15 ∗

515 +

15 ∗

715 +

15 ∗

515

=

1258

25

=1

8= 0.125 = 15.5%


14

La canasta 2.

P(𝐶2 p⁄ )

=P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ )


15

∗4

1515 ∗

315 +

15 ∗

415 +

15 ∗

515 +

15 ∗

715 +

15 ∗

515

=

4758

25

=1

6= 0.16 = 16.6%

La canasta 3=5.

P(𝐶3 p⁄ )

=P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ )


15

∗5

1515 ∗

315 +

15 ∗

415 +

15 ∗

515 +

15 ∗

715 +

15 ∗

515

=

1158

25

=5

24= 0.20 = 20.8%

La canasta 4.

P(𝐶2 p⁄ )

=P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ )


15

∗7

1515 ∗

315 +

15 ∗

415 +

15 ∗

515 +

15 ∗

715 +

15 ∗

515

=

7758

25

=7

24= 0.29 = 29.16%

Taller 2:

1. Un almacén recibe pedidos de cierto artículo de tres proveedores distintos

𝑃1, 𝑃2 𝑦 𝑃3. El 50% del total se le compra a 𝑃1 mientras que a 𝑃2 y a 𝑃3 se le

compra el 25% a cada uno. El porcentaje de artículos en malas condiciones

que proporciona 𝑃1, 𝑃2 𝑦 𝑃3 es 5,10 y 12% respectivamente. Si los artículos

se almacenan sin importar quien es el proveedor y se escoge uno al azar:

2 Estadística para las ciencias administrativas, paginas 95 y 96


15

a) Determine la probabilidad de que sea defectuoso.

b) Si es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido

despachado por el proveedor 𝑃3?

P1 → P(P1) = 50% = 0.50 =50

100; Defectuoso P(D P1⁄ ) = 5%

P2 → P(P2) = 25% = 0.25 =25


P3 → P(P3) = 25% = 0.25 =25


A) 𝑃(𝐷) = 𝑃(P1) ∗ 𝑃(𝐷 P1⁄ ) + 𝑃(P2) ∗ 𝑃(𝐷 P2⁄ ) + 𝑃(P3) ∗ 𝑃(𝐷 P3⁄ )

50

100∗

5

100+

25

100∗

10

100+

25

100∗

12

100= 0.025 + 0.025 + 0.03 = 0.08 = 8%

B)

𝑃(P3 𝐷⁄ ) =𝑃(P3) ∗ 𝑃(𝐷 P3⁄ )

𝑃(P1) ∗ 𝑃(𝐷 P1⁄ ) + 𝑃(P2) ∗ 𝑃(𝐷 P2⁄ ) + 𝑃(P3) ∗ 𝑃(𝐷 P3⁄ )

25100 ∗

12100

50100 ∗

5100 +

25100 ∗

10100 +

25100 ∗

12100

=

30010000

225

= 0.375 = 37.5%

2. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos.

Entre estos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar

aleatoriamente dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque, si

ninguno de los automóviles seleccionados tiene defectos. ¿Cuál es la

probabilidad de aceptar el embarque?

A = primer carro bueno

B = Segundo carro bueno

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =18

20∗

17

19=

306

380= 0.80% = 80%

10. Suponga que hay tres cajas idénticas A, B y C. La caja A contiene dos

monedas de cobre, la B una de cobre y dos de níquel y la C contiene una de plata,

dos de níquel y dos de cobre. Se toma al azar una de las cajas y luego se saca una

moneda de esta. Si es de cobre la moneda, ¿Cuál es la probabilidad de que haya

sido tomada de la caja A? ¿De la caja B? ¿De la caja C?


16

A.

P(C1 C⁄ ) =P(C1)P(C C1⁄ )

P(C1)P(C C1⁄ ) + P(C2)P(C C2⁄ ) + P(C3)P(C C3⁄ )

13 ∗

22

13 ∗

22 +

13 ∗

13 +

13 ∗

25

=

26

2645

=15

26= 0.57 = 57.6%

B.

P(C1 C⁄ ) =P(C2)P(C C2⁄ )


13 ∗

23

13 ∗

22 +

13 ∗

13 +

13 ∗

25

=

19

2645

=5

26= 0.19 = 19.23%

C.

P(C1 C⁄ ) =P(C3)P(C C3⁄ )


13

∗25

13 ∗

22 +

13 ∗

13 +

13 ∗

25

=

2152645

=3

26= 0.23 = 23.07%

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Se define como una función real valorada y definida sobre un conjunto, dicho

conjunto son los valores que puede tomar la variable aleatoria. Ejemplo:

⅄(𝑤) = 𝑥 𝑃[𝑥(𝑤)] = 𝑥 P


17

Son los probabilidades asociadas a los valores que pueda tomar la variable aleatoria

donde su dominio son los valores de la variable aleatoria y su codominio (rango)

son las probabilidades asociados a estos valores.

Teoremas: sea x una variable aleatoria (v. a) en el intervalo (a,b) t<a; t € IR

Teorema 1: 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑎 → 𝑃(𝑥 ≤ 𝑡) = 𝑃(∅) = 𝑎 ; (𝑥 ≤ 𝑡) ∩ (𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = ∅

Teorema 2:𝑆𝑖 𝑡 > 𝑏 → 𝑃(𝑥 ≤ 𝑡) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝐸) = 1;(𝑥 ≤ 𝑡) ∩ (𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑥 ≤

𝑏) = 𝐸

Propiedades de la función de probabilidad

Sea x una variable aleatoria en el intervalo (a,b); f(x) una función de la v.a. x, f(x) es

una función de probabilidad y 𝑓𝑥(𝑡)es una función de distribución acumulada hasta

t. 𝑓𝑥(𝑡)es una función puntual para t.

1. 𝑃(𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑥 = 𝑏) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) = 𝑓𝑥(𝑏) − 𝑓𝑥(𝑎)

2. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) + 𝑃(𝑥 = 𝑎) = 𝑓𝑥(𝑏) − 𝑓𝑥(𝑎) + 𝑓(𝑎)

3. 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) − 𝑃(𝑥 = 𝑏) = 𝑓𝑥(𝑏) − 𝑓𝑥(𝑎) − 𝑓(𝑏)

4. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) + 𝑃(𝑥 = 𝑎) − 𝑃(𝑥 = 𝑏) = 𝑓𝑥(𝑏) −

𝑓𝑥(𝑎) + 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)

Nota: Las anteriores 4 propiedades se cumplen para cuando la variable aleatoria

es de tipo discreta y se utiliza sumatoria. Para cuando la variable aleatoria es

continua es indiferente colocar < ó ≤ o sea que utilizando integrales:

𝑃(𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏) = ∫ 𝑓𝑥𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Ejemplos:

V.a discreta (# de autos) 𝑃(2 < 𝑥 ≤ 5) = 𝑃(𝑥 ≤ 5) − 𝑃(𝑥 ≤ 2) =

∑ 𝑓(𝑥)

5

𝑥=0

− ∑ 𝑓(𝑥)

2

𝑥=0

= 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯ + 𝑓(5) − [𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2)]

→ 𝑓(3) + 𝑓(4) + 𝑓(5)

Ejemplo propuesto:

V.a discreta (# de motos) 𝑃(3 < 𝑥 ≤ 6) = 𝑃(𝑥 ≤ 3) − 𝑃(𝑥 ≤ 6) =


18

∑ 𝑓(𝑥)

6

𝑥=0

− ∑ 𝑓(𝑥)

3

𝑥=0

= 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯ + 𝑓(6) − [𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3)]

→ 𝑓(4) + 𝑓(5) + 𝑓(6)

O también 𝑃(3 < 𝑥 ≤ 6) = 𝑃(4 ≤ 𝑥 ≤ 6) =

∑ 𝑓(𝑥)

5

𝑥=3

→ 𝑓(4) + 𝑓(5) + 𝑓(6)

V.a continua (peso en onzas) → 𝑃(2 < 𝑥 ≤ 5) = 𝑃(2.000001 ≤ 𝑥 ≤ 5) =

𝑃(2 ≤ 𝑥 ≤ 5) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑(𝑥)5

2

Ejemplo propuesto:

V.a continua (peso en gramos) → 𝑃(3 < 𝑥 ≤ 6) = 𝑃(3.000001 ≤ 𝑥 ≤

6.00000) = 𝑃(3 ≤ 𝑥 ≤ 6) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑(𝑥)6

3

Función de cuantía

Sea x una variable aleatoria tipo discreta 𝑓(𝑥)una función de probabilidad de la

variable aleatoria x; se dice que 𝑓(𝑥)es una función de cuantía si y solo si se cumple:

𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥

∑ 𝑓(𝑥) = 1𝑥

Ejemplo: suponga que el número de artículos vendidos en un almacén tiene la

siguiente distribución de probabilidad

x 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥) 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1

Demostrar que es una función de cuantía.

𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥 𝑓(0) = 0.5 > 0 𝑠𝑖 𝑓(1) = 0.2 > 0 𝑠𝑖 … 𝑓(4) = 0.1 > 0 𝑠𝑖

∑ 𝑓(𝑥) = 1𝑥

→ 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) = 0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1


19

Suponga que el numero de artículos defectuosos producidos por una factoría

esta dada por la siguiente distribución de probabilidad 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑥4 (

1

5)

𝑥

∗ (4

5)

4−𝑥

𝑥 = 0,1,2,3,4 demostrar que es una función de cuantía

𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥 𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶04 (

1

5)

0

∗ (4

5)

4

=256

625> 0 𝑠𝑖

𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶14 (

1

5)

1

∗ (4

5)

3

=64

625> 0 𝑠𝑖 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶2

4 (1

5)

2

∗ (4

5)

2

=96

625> 0 𝑠𝑖

𝑃(𝑥 = 3) = 𝐶34 (

1

5)

3

∗ (4

5)

1

=16

625> 0 𝑠𝑖 𝑃(𝑥 = 4) = 𝐶4

4 (1

5)

4

∗ (4

5)

0

=1

625> 0 𝑠𝑖

∑ 𝑓(𝑥) = 1

4

𝑥=0

→ 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) =256

625+

64

625+

96

625+

16

625+

1

625

= 1

𝑓(𝑥) Si es una función de cuantía.

𝑓(𝑥) = 𝐾𝐶𝑥

4

𝐶37 ; 𝑥 = 0,1,2,3

𝑓(0) =𝐶0

4

𝐶37 =

1

35 𝑓(1) =

𝐶14

𝐶37 =

4

35 𝑓(2) =

𝐶24

𝐶37 =

6

35 𝑓(3) =

𝐶34

𝐶37 =

4

35

1

35+

4

35+

6

35+

4

35=

3

7 𝐾 ∗

3

7= 1 𝐾 =

7

3

Cual es el valor de K para que 𝑓(𝑥) sea función de cuantía.

𝑓(𝑥) =7

3∗

𝐶𝑥4

𝐶37 ; 𝑥 = 0,1,2,3

𝑓(0) =7

3∗

𝐶04

𝐶37 =

1

15 𝑓(1) =

7

3∗

𝐶14

𝐶37 =

4

35 𝑓(2) =

7

3∗

𝐶24

𝐶37 =

2

5 𝑓(3) =

7

3∗

𝐶34

𝐶37 =

4

15

𝐾 =1

15+

4

35+

2

5+

4

15=

89

105

FUNCIÓN DE DENSIDAD

Sea x una variable aleatoria continua 𝑓(𝑥)una función de la variable aleatoria x se

dice que 𝑓(𝑥)es una función de densidad si y solo si se cumple:

𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥


20

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1

𝑥

= 1

Ejemplo: la ganancia de un vendedor de electrodomésticos es una variable

aleatoria x cuya función esta dada 𝑓(𝑥) = 2(1 − 𝑥) 0 < 𝑥 ≤ 1 𝑓(𝑥) = 0 para

cualquier otro caso. Demostrar que esta es una función de densidad.

𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥

Para 𝑥 = 0.5 → 𝑓(0.5) = 2(1 − 0.5) = 1 > 0 𝑠𝑖 𝑐𝑚𝑝𝑙𝑒

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1

0

= 1 → ∫ 2 − (1 − 𝑥)𝑑𝑥

1

0

= 2 ∫ (1 − 𝑥)𝑑𝑥

1

0

= 2 [∫ 𝑑𝑥 −1

0

∫ 𝑥1

0

]

= 2 [𝑥1

110

−𝑥2

210

] = 2 [1 − 0

1−

1 − 0

0] = 2 [1 −

1

2] = 2 [

1

2] = 1

Si es función de densidad por que cumple las dos propiedades.

ESPERANZA METAMATEMÁTICA (VALOR ESPERADO)

La esperanza matemática de una variable aleatoria x que está definida por:

𝐸(𝑋) = ∑ X𝑥

𝑓(𝑋) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑋𝑒𝑠

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑋𝑋

𝑓(𝑋) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑋𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎.

Ejemplo: suponga que la función de distribución de las ventas de un artículo es:

𝐹(𝑋) =7

3 𝐶𝑋

4

𝐶37 , 𝑋 = 0,1,2,3

a) Encontrar el promedio de ventas diarias.

b) Variación.

c) Desviación estándar.

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) = ∑ X𝑥

𝑓(𝑋)

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 = Γ𝑥 = √𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2


21

Solución:

a)

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋

3

𝑥=0

𝑓(𝑋)

→ 0𝑓(𝑜) + 1𝑓(1) + 2𝑓(2) + 3𝑓(3)

→ 07

3 𝐶0

4

𝐶37 + 1

7

3 𝐶1

4

𝐶37 + 2

7

3 𝐶2

4

𝐶37 + 3

7

3 𝐶3

4

𝐶37

→ 0 +7

3

4

35+

14

3

6

35+

21

3

4

35

28

105+

84

105+

84

105

𝐸(𝑋) =28

15

𝐸(𝑋) = 1.86

b)

Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑋2

3

𝑥=0

𝑓(𝑋)

→ 02𝑓(𝑜) + 12𝑓(1) + 22𝑓(2) + 32𝑓(3)

→ 07

3 𝐶0

4

𝐶37 + 1

7

3 𝐶1

4

𝐶37 + 4

7

3 𝐶2

4

𝐶37 + 9

7

3 𝐶3

4

𝐶37

→ 0 +7

3

4

35+ 1

28

3

6

35+

63

3

4

35

28

105+

168

105+

252

105

𝐸(𝑋2) =64

15


22

𝐸(𝑋2) = 4.2

Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

Γ𝑥2 = 4.2 − (1.80)2

Γ𝑥2 = 4.2 − 3.4

Γ𝑥2 = 0,8

c)

Γ𝑥 = √𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

Γ𝑥 = √0,8

Γ𝑥 = 𝑜. 89

Ejemplo: suponga que X es una variable aleatoria que indica el nuero de artículos

defectuosos producidos en una fábrica con una función de producción dada por:

𝐹(𝑋) = 𝐶𝑋3 (0.5)𝑋(0.5)3−𝑋 , 𝑋 = 0,1,2,3

a) Demostrar que f(X) es una función de cuantía.

b) Encontrar la media.

c) La varianza.

d) Desviación estándar.

Solución:

a) Si es función de cuantía.

𝐹(0) = 𝐶03 (0.5)0(0.5)3−0 = 0.125 ≥ 0

𝐹(1) = 𝐶13 (0.5)1(0.5)3−1 = 0,375 ≥ 0

𝐹(2) = 𝐶23 (0.5)2(0.5)3−2 = 0.375 ≥ 0

𝐹(3) = 𝐶33 (0.5)3(0.5)3−3 = 0.125 ≥ 0

b)

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋

3

𝑥=0

𝑓(𝑋)


23

→ 0𝑓(𝑜) + 1𝑓(1) + 2𝑓(2) + 3𝑓(3)

→ 0(0.125) + 1(0.375) + 2(0.375) + 3(0.125)

0 + 0,375 + 0.75 + 0.375

𝐸(𝑋) = 1.5

b)

Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑋2

3

𝑥=0

𝑓(𝑋)

→ 02𝑓(𝑜) + 12𝑓(1) + 22𝑓(2) + 32𝑓(3)

→ 0(0.125) + 1(0.375) + 4(0.375) + 9(0.125)

→ 0 + 0.375 + 1.5 + 1.125

𝐸(𝑋2) = 3

Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

Γ𝑥2 = 3 − (1.5)2

Γ𝑥2 = 3 − 2.25

Γ𝑥2 = 0,75

c)

Γ𝑥 = √𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

Γ𝑥 = √0.75

Γ𝑥 = 0.86

Ejemplo propuesto: suponga que X es una variable aleatoria que indica el nuero

camisas mal confeccionadas producidos en una fábrica con una función de

producción dada por:

𝐹(𝑋) = 𝐶𝑋3 (0.6)𝑋(0.4)3−𝑋 , 𝑋 = 0,1,2,3


24

e) Demostrar que f(X) es una función de cuantía.

f) Encontrar la media.

g) La varianza.

h) Desviación estándar.

Solución:

c) Si es función de cuantía.

𝐹(0) = 𝐶03 (0.6)0(0.4)3−0 = 0.064 ≥ 0

𝐹(1) = 𝐶13 (0.6)1(0.4)3−1 = 0,288 ≥ 0

𝐹(2) = 𝐶23 (0.6)2(0.4)3−2 = 0.432 ≥ 0

𝐹(3) = 𝐶33 (0.6)3(0.4)3−3 = 0.216 ≥ 0

d)

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋

3

𝑥=0

𝑓(𝑋)

→ 0𝑓(𝑜) + 1𝑓(1) + 2𝑓(2) + 3𝑓(3)

→ 0(0.064) + 1(0.288) + 2(0.432) + 3(0.216)

0 + 0.288 + 0.864 + 0.648

𝐸(𝑋) = 1.8

b)

Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑋2

3

𝑥=0

𝑓(𝑋)

→ 02𝑓(𝑜) + 12𝑓(1) + 22𝑓(2) + 32𝑓(3)

→ 0(0.064) + 1(0.288) + 4(0.432) + 9(0.216)

→ 0 + 0.288 + 1.728 + 1.944

𝐸(𝑋2) = 4.01


25

Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

Γ𝑥2 = 4.01 − (1.8)2

Γ𝑥2 = 4.01 − 3.24

Γ𝑥2 = 0,77

c)

Γ𝑥 = √𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2

Γ𝑥 = √0.77

Γ𝑥 = 0.87

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Ensayo experimental de Bernoulli: es un experimento que se realiza y se obtiene

un resultado que puede ser éxito o fracaso:

𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜

𝑋 = 0 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜; 𝑋 = 1 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜.

𝑃 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜

𝑞 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜.

𝑃 + 𝑞 = 1

Función de cuantía 𝑓(𝑋) = 𝑃𝑋 − 𝑞𝑋−1; 𝑋 = 0,1

𝐼) 𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑋 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 0 → 𝑓(0) = 𝑞 ≥ 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 1 → 𝑓(1) = 𝑞

≥ 0; 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒.

𝐼𝐼) ∑ 𝑓(𝑥)

1

𝑥=0

= 1 → 𝑓(0) + 𝑓(1) = 𝑞 + 𝑃 = 1

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋

1

𝑋=0

𝑓(𝑋) = 0𝑓(0) + 1𝑓(1) = 𝑃

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2 → 𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑋2𝑓(𝑋)

1

𝑋=0

= 02𝑓(0) + 12𝑓(1)

→ 𝐸(𝑋2) = 𝑃 → Γ𝑥2 = 𝑃 − 𝑃2 → Γ𝑥2 = 𝑃(1 − 𝑃) → 𝑃𝑞


26

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 = Γ𝑥 = √𝑃𝑞

Ejemplo: se lanza una moneda. Encontrar la probabilidad.

a) Que no se presente cara.

b) Que se presente cara.

c) Encontrar la media

d) Varianza

e) Desviación estándar.

Solución: 𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 (𝑐𝑎𝑟𝑎)

a)

𝑃(𝑋 = 0) = (1

2)0 (

1

2)

1−0

=1

2

b)

𝑃(𝑋 = 1) = (1

2)1 (

1

2)

1−1

=1

2

c)

𝜇𝑥 = 𝑃 =1

2

d)

Γ𝑥2 = 𝑃𝑞 = (1

2) (

1

2) =

1

4= 0.25

Γ𝑥 = √0.25 = 0.5

Ejemplo propuesto: un estudiante esta presentando un examen y le falta

responder una pregunta cuyas opciones de respuesta son SI o NO. Encontrar la

probabilidad.

a) Que no responda NO.

b) Que responda NO.

c) Encontrar la media


27

d) Varianza

e) Desviación estándar.

Solución: 𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 (𝑐𝑎𝑟𝑎)

a)

𝑃(𝑋 = 0) = (1

2)0 (

1

2)

1−0

=1

2

b)

𝑃(𝑋 = 1) = (1

2)1 (

1

2)

1−1

=1

2

c)

𝜇𝑥 = 𝑃 =1

2

d)

Γ𝑥2 = 𝑃𝑞 = (1

2) (

1

2) =

1

4= 0.25

Γ𝑥 = √0.25 = 0.5

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Es un experimento de Bernoulli que se realiza n veces y en cada realización se

obtiene un resultado se obtiene un resultado con probabilidad con probabilidad de

éxito o una probabilidad de trabajo donde:

𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑛 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎𝑠

𝑋1 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑋1

= 0,1

𝑋2 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑋2

= 0,1

𝑋𝑛 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑋𝑛

= 0,1

𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋𝑛 → 𝑋 = 0,1. . 𝑛

𝑓(𝑋) = 𝐶𝑥𝑛𝑃𝑥𝑞𝑛−𝑥; 𝑋 = 0,1,2, … . . 𝑛


28

Ejemplo: demostrar que f(x) es una función de cuantía.

𝐼) 𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑋 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 0 → 𝑓(0) = 𝐶0𝑛𝑃0𝑞𝑛−0 → 𝑞𝑛 ≥ 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 1 → 𝑓(1)

= 𝐶1𝑛𝑃1𝑞𝑛−1 → 𝑝𝑛 ≥ 0; 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒.

𝐼𝐼) ∑ 𝑓(𝑥)

𝑛

𝑥=0

= 1 → ∑ 𝐶𝑥𝑛𝑃𝑥𝑞𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=0

= (𝑃 + 𝑞)1 = 1𝑛 = 1 𝑠𝑖,

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎

(𝑎 + 𝑏)2 = ∑ 𝐶𝑥2𝑎𝑥𝑏2−𝑥

2

𝑥=0

= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

∑ 𝐶𝑥2𝑎𝑥𝑏2−𝑥

2

𝑥=0

= 𝐶02𝑎0𝑏2−0 = 𝐶1

2𝑎1𝑏2−1 = 𝐶22𝑎2𝑏2−2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 … + 𝑋𝑛) =

= 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + 𝐸(𝑋3) … + 𝐸(𝑋𝑛) = 𝑃 + 𝑃 + 𝑃

𝜇𝑥 = 𝑛𝑃, 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 … + 𝑋𝑛) = 𝑃

= Γ𝑥2 = 𝑣𝑎𝑟(𝑋1) + 𝑣𝑎𝑟𝐸(𝑋2) + 𝑣𝑎𝑟𝐸(𝑋3) … + 𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑛) = 𝑃𝑞 + 𝑃𝑞 + 𝑃𝑞

Γ𝑥2 = 𝑛𝑃𝑞

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 = Γ𝑥 = √𝑛𝑃𝑞

RESUMEN

𝑓(𝑋) = 𝑃𝑋 − 𝑞𝑋−1 𝑓(𝑋) = 𝐶𝑥𝑛𝑃𝑥𝑞𝑛−𝑥

𝑋 = 0,1 𝑋 = 0,1,2,3,4 … … 𝑛

𝜇𝑥 = 𝑃 𝜇𝑥 = 𝑛𝑃

Γ𝑥2 = 𝑃 Γ𝑥2 = 𝑛𝑃𝑞

Γ𝑥 = √𝑃𝑞 Γ𝑥 = √𝑛𝑃𝑞

Ejemplo: se lanza una moneda 5 veces encontrar la probabilidad de:


29

a) Que ninguna se presente cara

b) Exactamente una cara

c) Exactamente 2 caras

d) Menos de 2 caras

e) Como máximo 2 caras

f) Como mínimo 2 caras

g) Más de dos caras

h) Todas caras

i) Encontrar media, varianza y desviación estándar.

Solución: X= variable aleatoria que indica el número de éxito.

𝐸 = (𝐶, 𝑆) 𝑃 =1

2 𝑞 =

1

2 𝑛 = 5

𝑓(𝑋) = 𝐶𝑥5 (

1

2)

𝑥

𝑞5−𝑥; 𝑋 = 0,1,2,3,4

a) 𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶𝑜5 (

1

2)

0

(1

2)

5−0

= (1

2)

5

=1

32= 0.03 = 3.12%

b) 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶15 (

1

2)

1

(1

2)

5−1

= 5 (1

2)

5

=5

32= 0.1562 = 15.62%

c) 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶25 (

1

2)

2

(1

2)

5−2

= 10 (1

2)

5

=10

32= 0.3125 = 31.25%

d) 𝑃(𝑥 < 2) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) =1

32+

5

32=

6

32=2

𝑥=0

0.1875 = 18.75%

e) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) =1

32+

5

32+

10

32=

16

322𝑥=0 = 0.5 =

5%

f) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5)

𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1)


30

1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − ∑ 𝐹(𝑥)

1

𝑥=0

→ 1 − {𝑓(0) + 𝑓(1)} = 1 −6

32=

26

32= 0.8125

= 81.25%

g) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − {𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2)} = 1 −16

32=

16

32=

0.5 = 5%

h) 𝑃(𝑥 = 5) = 𝐶55 (

1

2)

5

(1

2)

5−5

=1

320.03 = 3.12%

i) 𝜇𝑥 = 𝑛𝑃 = 5 (1

2) = 2.5

Γ𝑥2 = 𝑛𝑃𝑞 = 5 (1

2) (

1

2) = 1.25

Γ𝑥 = √𝑛𝑃𝑞 = √1.25 = 1.118

Se sabe que el 80% de las arandelas producidas en una planta de producción están

en buenas condiciones. Si se selecciona aleatoriamente 10 arandelas cual es la

posibilidad de:

a) Ninguna defectuosa

b) Exactamente 3 defectuosas

c) Como mínimo 2 defectuosas

d) P( 2< X ≤ 5 )

Rta:

P: 0,20

Q: 0,80

a. F(0) = 𝐶010 (

20

100

0 ) (

80

100

10−0 ) = 0,1073= 10,7%

b. F(3) = 𝐶310 (

20

100

3 ) (

80

100

10−3 ) = 0,20 = 20%

c. F(0,1,2) = 𝐶010 (

20

100

0 ) (

80

100

10−0 ) + 𝐶1

10 (20

100

1 ) (

80

100

10−1 ) + 𝐶2

10 (20

100

2 ) (

80

100

10−2 ) =

0,67=67%

d. F(3,4,5) = 𝐶310 (

20

100

3 ) (

80

100

10−3 ) + 𝐶4

10 (20

100

4 ) (

80

100

10−4 ) + 𝐶5

10 (20

100

5 ) (

80

100

10−5 )

0,3157= 31,5%

Ejemplo propuesto: se realiza una pregunta a cinco estudiantes con opción de

respuestas A, B o C encontrar la probabilidad de:


31

a) Que ninguno responda A

b) Exactamente uno responda A

c) Exactamente 2 respondan A

d) Menos de 2 respondan A

e) Como máximo 2 respondan A

f) Como mínimo 2 respondan A

g) Más de dos respondan A

h) Todos respondan A

i) Encontrar media, varianza y desviación estándar.

Solución: X= variable aleatoria que indica el número de éxito.

𝐸 = (𝐴, 𝐵, 𝐶) 𝑃 =1

3 𝑞 =

2

3 𝑛 = 5

𝑓(𝑋) = 𝐶𝑥5 (

1

3)

𝑥

𝑞5−𝑥; 𝑋 = 0,1,2,3,4

a) 𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶𝑜5 (

1

3)

0

(2

3)

5−0

= (2

3)

5

=32

243= 0.1316 = 13.16%

b) 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶15 (

1

3)

1

(2

3)

5−1

= 5 (1

3) (

16

81) =

80

243= 0.3292 = 32.92%

c) 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶25 (

1

3)

2

(2

3)

5−2

= 10 (1

9) (

8

27) =

80

243= 0.3292 = 32.92%

d) 𝑃(𝑥 < 2) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) =32

243+

80

243=

112

2432𝑥=0 =

0.4609 = 46.08%

e) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) =32

243+

80

243+

80

243=

64

812𝑥=0 =

0.7901 = 79.01%

f) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5)

𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1)


32

1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − ∑ 𝐹(𝑥)

1

𝑥=0

→ 1 − {𝑓(0) + 𝑓(1)} = 1 −112

243=

131

243= 0.5390

= 53.90%

g) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − {𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2)} = 1 −64

81=

17

81=

0.2098 = 20.98%

h) 𝑃(𝑥 = 5) = 𝐶55 (

1

3)

5

(2

3)

5−5

=1

243= 0.0041 = 0.41%

i) 𝜇𝑥 = 𝑛𝑃 = 5 (1

3) = 1.66

Γ𝑥2 = 𝑛𝑃𝑞 = 5 (1

3) (

2

3) = 1.1

Γ𝑥 = √𝑛𝑃𝑞 = √1.1 = 1.05

Ejemplo propuesto: Se sabe que el 70 % de las partes de una productora de autos

se encuentran en buen estado, si se selecciona aleatoriamente 12 partes, encontrar

la probabilidad de:

a. Ninguna defectuosa.

b. Exactamente 4 defectuosas

c. Entre 5 y 8 en buen estado

Solución:

a. F(0) = 𝐶012 (

30

100

0 ) (

70

100

12−0 ) = 0,013= 1, 3 %

b. F(4) = 𝐶412 (

30

100

4 ) (

70

100

12−4 ) = 0,231 = 23, 1 %

c. F(5 < x < 8 ) = 𝐶612 (

30

100

6 ) (

70

100

12−6 ) + 𝐶7

12 (30

100

7 ) (

70

100

12−7 ) =

= 0,0792 + 0,15849 = 0,237 = 23,7 %

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Tiene una variable aleatoria discreta que indica el número total de éxitos en la

realización de un experimento n veces. Se utiliza como una aproximación de la

distribución binomial cuando el tamaño de la muestra es muy grande y tiende a

infinito y la ´probabilidad de éxito es muy pequeña y tiene a 0.

Se puede decir que es perfecta cuando la media 𝑈𝑥= nP en la distribución

binomial es menor a 5.


33

𝑈𝑥= nP < 5

Esa función de cuantía de la distribución de Poisson es igual a 𝑒−𝑈𝑥

F(x) = 𝑒−𝑈𝑥

𝑥!

Esta distribución también se utiliza en los procesos Poissonianos cuando se

refiere a sucesos y a eventos con respecto al tiempo eje: llegada de clientes a

un banco durante un tiempo determinado.

Ejemplo:

Suponga que el 1 % de los artículos producidos por una maquina son

defectuosos si se toma una muestra aleatoria de 100 artículos encontrar la

probabilidad de:

a) Ninguno defectuoso

b) Exactamente 2 defectuosos

c) Menos de 2 defectuosos

d) Más de 2 defectuosos.

X= V.a que indica # total de éxito.

P=0,01; n= 100; U= nP= 100x 0,01= 1 < 5

a. P (0) = 𝑒−1 10

0! = 36,79%

b. P (2) = 𝑒−1 12

2! = 18,3%

c. P (x<2) = 𝑒−1 10

0! +

𝑒−1 11

1! = 73,5 %

d. P (x > 2) =1- P( X ≤ 2 ) = 1 - 𝑒−1 10

0! +

𝑒−1 11

1! +

𝑒−1 12

2! = 8 %

A una oficina de correo llegan hombres, mujeres y niños siguiendo una distribución

de Poisson así:

12 hombres cada hora

6 mujeres cada 40 min

Y 5 niños cada media hora

a) Exactamente 2 hombres cada 5 min

b) Más de 2 mujeres cada 8 min

c) Exactamente 3 niños cada 5 min

d) Exactamente 1 cliente cada 5 min


34

Rta:

a. 12 h_____ 60 min

X _________ 5 min = 1H cada 5 min

P (2)= 𝑒−1 12

2! = 18,3 %

b. 6muj_____ 40 min

X _________ 8 min = 1,2 mujeres.

P(x > 2)= 1 – p(x ≤ 2) = 1- ( 𝑒−1,2 1,20

0! +

𝑒−1,2 1,21

1! +

𝑒−1,2 1,22

2! ) = 12,26 %

c. 5 min ______ 30

X _________ 5 = X =0,83

P (2)= 𝑒−0.833 0,8333

3! = 4,1%

d. 6 mujeres______40 min

X_____________ 5 min x =0,75

5 min ______ 30

X _________ 5 = X =0,83

12 hombres_________ 60 min

X _________________5 min: x = 1

𝑈𝑥= 2,58

F (1)= 𝑒−2,58 2,581

1! = 19%

Ejemplo propuesto: Suponga que el 5 % de las flores producidas en un vivero son

defectuosas, si se toma una muestra aleatoria de 100 flores, encontrar la

probabilidad de:

a. Ninguna defectuoso

b. Exactamente 8 defectuosos

c. Menos de 2 defectuosos

Solución:

P = 5 % = 5

100 ; n= 100

𝑃𝑛= 5 = 𝑈𝑥


35

a. P (0) = 𝑒−5 50

0! = 0,00673 x 100 = 0,67%

b. P (8) = 𝑒−5 58

8! = 0,0652 x 100 = 6,5%

c. P (x<2) = 𝑒−5 50

0! +

𝑒−5 51

1! = 0,00673 + 0,033

= 0,040 x 100 = 4 %

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Sea x una variable aleatoria continua que indica los éxitos con función de densidad

F (x) =1

√2𝜋 𝑟𝑥 𝑒

−( 𝑥−𝑈𝑥 )2

2 𝑟𝑥2

-∞ ∞

𝑋 ~ 𝑁 (𝑈𝑥 ; 𝑟𝑥2 ) = 𝑍 ~ 𝑁 (𝑈𝑥= 0; 𝑟𝑥

2 = 1)

P (x1 < x < x2)

Teorema central: Z = 𝑋−𝑈𝑥

𝑟𝑥

∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 1∞

−∞

P (x1 < x < x2) =

∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

P (x1 < x < x2)=

P ( 𝑋1−𝑈𝑥

𝑟𝑥 <

𝑋−𝑈𝑥

𝑟𝑥 <

𝑋2−𝑈𝑥

𝑟𝑥 )

P (Z1 < Z < Z2)=

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


36

P (Z1 < Z < Z2) = N (Z2)

P (Z < 1,43) = N (1,43)= 0,936

B. a la derecha de 1,81

P ( Z < 1,81 ) = N (1,81 )= 1- P ( Z ≤ 1,81 ) = 1 – N (1,81 )

= 1 – 0, 9649 = 0, 0351 = 3, 51 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Z

Z

3,491,8

1


37

C. izquierda de Z = 1,48

P ( Z < 1,48 ) = N (1,48 )= 0,93306 = 93,3 %

D. Z = -1,81 ; Z= 1,48

P( -1,81 < 1,48 ) = N (1,48) – N (-1,81)

= 0,9306- 0,352 = 0,8954= 89,5 %

2. En una distribución normal estándar encontrar el valor de Z cuando el área bajo

la curva a la derecha de Z es de 0,41

P ( Z > z1 ) = 0,41 = 1- P ( Z ≤ z1 ) = 0,41 = 0,59

Z 0,1 0,2 0,3

0,23 0,59

3. 𝑈𝑥 = 40 meses

𝑟𝑥 = 6,3 meses

a. P ( X > 32 ) = P ( Z > 32−40

6,3 )

P (Z > - 8

6,3) = P (Z >1,27)

= 1- P (Z ≤1,27) = 1 – 0,1020 = 0,898 = 89 %

Entre 35 y 45 meses

P( 35 < x < 45 ) = P (35−40

6,3 < z <

45−40

6,3 )

= N ( -0,79 ) – N ( 0,79 )= 0,7852- 0,2148 = 57 %

Z

Ux= 40 32


38

Ejemplo propuesto: En una distribución estándar encontrar el valor de Z cuando

el área bajo a curva a la derecha de Z es 0,52

P (Z > z) = 0,52

1 – P (Z ≤ z) = 0,48

Ejemplo propuesto: Se regula una máquina de helados que sirve en promedio 200

gramos por cono, si la cantidad de helado se distribuye normalmente, con una

desviación estándar de 18 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso

contenga entre 189 y 203 gramos?

𝑈𝑥= 200; 𝑟𝑥= 18

P (189 < Z < 203)

P ( 189−200

18 < Z <

203−200

18 ) =

- 0,611 < Z < 0,166 = N (0,166) - N (-0,611) = 0,5675 – 0,2709

= 0,2966 x 100 = 29,6%

Ejemplo propuesto: En una distribución estándar encontrar el valor de Z cuando

el área bajo a curva a la derecha de Z es 0,52

P (Z > z) = 0,52

1 – P (Z ≤ z) = 0,48

Ejemplo propuesto: Se regula una máquina de helados que sirve en promedio 200

gramos por cono, si la cantidad de helado se distribuye normalmente, con una

desviación estándar de 18 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso

contenga entre 189 y 203 gramos?

𝑈𝑥= 200; 𝑟𝑥= 18

P (189 < Z < 203)

P ( 189−200

18 < Z <

203−200

18 ) =

-0,611 < Z < 0,166 = N (0,166) - N (-0,611) = 0,5675 – 0,2709

= 0,2966 x 100 = 29,6%

Ejercicios capitulo 6

1. Dada la distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que esta


39

a) A la izquierda de z=1.43;

𝑧 = 1.43 → 𝑃(𝑧 < 1.43) → 𝑁(1.43) = 0.9236 = 92.36%

b) A la derecha de z=-0.89;

𝑧 = −0.89 → 𝑃(𝑧 > −0.89) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ −0.89) → 1 − 𝑁(−0.89) = 1 − 0.1867 =

0.8133 = 81.33%

c) Entre z=-2.16 y z=-0.65;

𝑃(−2.16 < 𝑧 < −0.65) = 𝑁(−0.65) − 𝑁(−216) = 0.2578 − 0.0154 = 0.2424

= 24.24%

D A la izquierda z=-1.39;

𝑧 = −1.39 → 𝑃(𝑧 < −1.39) → 𝑁(−1.39) = 0.0823 = 8.23%

e) A la derecha de z=1.96;

𝑧 = 1.96 → 𝑃(𝑧 > 1.96) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 1.96) → 1 − 𝑁(1.96) = 1 − 0.9750 = 0.025

= 25%

f) Entre z=-0.48 y z=1.74

𝑃(−0.48 < 𝑧 < 1.74) = 𝑁(1.74) − 𝑁(−0.48) = 0.9591 − 0.3156 = 0.6435 = 64.35%

2. Encuentre el valor de z si el área bajo una curva normal estándar

a) A la derecha de z es 0.3622;

𝑃(𝑍 > 𝑧) = 0.3622 → 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 0.3622 → 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 0.6378 → 𝑁(𝑧) = 0.6378 → 𝒛

= 𝟎. 𝟑𝟓

b) A la izquierda de z es 0.1131;

𝑃(𝑍 < 𝑧) = 0.1131 → 𝑁(𝑧) = −1.21

c) Entre 0 y z, con z>0, 0.4838;

𝑃(𝑍 < 0) = 0.4838 → 1 − 𝑃(𝑍 < 0) = 0.4838 → 1 − 0.4838 = 0.5162 → 𝑁(𝑧) = 0.5162

→ 𝑧 = 0.04

d) Entre-z y z, con z>0, es 0.9500;

𝑃(𝑍 > 0) = 0.9500 → 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0) = 0.9500 → 1 − 0.9500 = 0.05 → 𝑁(𝑧) = 0.05 → 𝑧

= −1.59


40

7. un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de

40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se

enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que las vidas de tales

ratones se distribuyen normalmente con un desviación estándar de 6.3

meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva.

𝑈𝑥 = 40 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑟𝑥 = 6.3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑋 ~ 𝑁 (𝑈𝑥 = 40 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 ; 𝑟𝑥 = 6.3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)

a) Mas de 32 meses

𝑃(𝑥 > 32) → 𝑃 (𝑧 >32 − 40

6.3) = 𝑃 (𝑧 >

−8

6.3) = 𝑃(𝑧 > −1.27) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ −1.27)

= 1 − 𝑁(−1.27) = 1 − 0.1020 = 0.8988 = 89.80%

b) Menos de 28 meses

𝑃(𝑥 < 28) = 𝑃 (𝑧 ≤28 − 40

6.3) = 𝑁(−1.90) = 0.0287 = 2.87%

c) Entre 37 y 49

𝑃(37 < 𝑥 < 49) = 𝑃 (37 − 40

6.3< 𝑧 <

49 − 40

6.3) = 𝑃(−0.47 < 𝑍 < 1.42)

= 𝑁(1.42) − 𝑁(−0.47) = 0.9222 − 0.1660 = 0.7562 = 75.62%

8. Las barras de pan de centeno que ciertas panadería distribuyen a las tiendas

locales tiene una longitud promedio de 30 cm y una desviación estándar de dos

centímetros. Suponga que las longitudes están distribuidas normalmente ¿Qué

porcentaje de las barras son

a) Mas largas que 31.7cm?

𝑈𝑥 = 30 𝑐𝑚; 𝑟𝑥 = 2 𝑐𝑚

𝑃(𝑥 > 31.7) = 1 − 𝑃 (𝑧 >31.7 − 30

2) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 0.87) = 1 − 𝑁(0.87) = 1 − 0.8078

= 0.1922 = 19.22%

b) Entre 29.3 y 33.5 centímetros de longitud?

𝑃(29.3 < 𝑥 < 33.5) = 𝑃 (29.3−30

2< 𝑧 <

33.5−30

2) = 𝑃(−0.35 < 𝑍 < 1.75) = 𝑁(1.75) −

𝑁(−0.35) = 0.9596 − 0.3632 = 0.5964 = 59.64%

c) Mas cortas que 25.5 centímetros?


41

𝑃(𝑥 < 25.5) = 𝑃 (𝑧 ≤25.5 − 30

2) = 𝑁(−2.25) = 0.0122 = 1.22%

9. Se regula una maquina despachadora de refrescos para que sirva un promedio

de 200 mililitros por vaso. Si l a cantidad de bebida se distribuye normalmente con

una desviación estándar igual a 15 mililitros,

a) ¿Qué fracción de vasos obtendrán más de 224 mililitros?

𝜇𝑥 = 200 𝛿𝑥 = 15𝑚

𝑃(𝑋 > 224) → 𝑃 (𝑍 224 − 200

15) → 𝑃(𝑍 > 1.6) → 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 1.6) → 1 − 𝑁(1.6)

= 1 − 0.9452 = 0.05 = 5.48%

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre191 y 209?

𝑃(191 < 𝑥 < 209) = 𝑃 (191−200

15< 𝑧 <

209−200

15) = 𝑃(−0.6 < 𝑍 < 0.6) = 𝑁(0.6) −

𝑁(−0.6) = 0.7257 − 0.2743 = 0.4514 = 45.14%

c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramaran si se utilizan vasos de 230

mililitros para las siguientes 1000 bebidas?

𝑃(𝑋 > 230) → 𝑃 (𝑍 230 − 200

15) → 𝑃(𝑍 > 2) → 1 − 𝑁(2) = 1 − 0.9772 = 0.0228 = 2.28%

d) ¿por debajo de que valor obtendremos 25% de las bebidas mas

pequeñas?

𝑃(𝑍 < 𝑧) = 0.25 𝑁(𝑧) = −0.67

10. El diámetro interior del anillo de un pistón ya terminado se distribuye

normalmente con una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm,

a) ¿Qué proporción de anillos tendrán diámetros interiores que excedan

10.075 centímetros?

𝑈𝑥 = 10 𝑐𝑚; 𝑟𝑥 = 0.03 𝑐𝑚

𝑃(𝑥 > 10.075) = 1 − 𝑃 (𝑧 >10.075 − 10

0.03) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 2.5) = 1 − 𝑁(2.5)

= 1 − 0.9938 = 0.62%

b) ¿Cuál es al probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro

interior entre 9.97 y 10.03 centímetros?


42

𝑃(9.97 < 𝑥 < 10.03) = 𝑃 (9.97 − 10

0.03< 𝑥 <

10.03 − 10

0.03) = 𝑃(−1 < 𝑍 < 1)

= 𝑁(1) − 𝑁(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826 = 68.26%

14. 14. Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una

media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Suponga que las

alturas se registran al medio centímetros mas cercano, ¿cuantos de estos

estudiantes esperaría que tuvieran alturas

a) Menores que 160.0 cm?

𝑈𝑥 = 174.5 𝑐𝑚; 𝑟𝑥 = 6.9𝑐𝑚

𝑃(𝑥 < 160.0) = 𝑃 (𝑧 ≤160.0−174.5

6.9) = 𝑁(−2.10) = 0.0179 = 1.79%

b) Entre 171.5 y 182.0 cm inclusive?

𝑃(171.5 < 𝑥 < 182.0) = 𝑃 (171.5 − 174.5

6.9< 𝑧 <

182.0 − 174.5

6.9)

= 𝑃(−0.43 < 𝑍 < 1.08) = 𝑁(1.08) − 𝑁(−0.43) = 0.8599 − 0.3336

= 0.5263 = 52.63%

c) Igual a 175.0 cm?

𝑃(𝑋 = 175) → 𝑃 (𝑍 174.5 − 175

6.9) = −0.072 → 𝑃(𝑍 = −0.072) = 1 − 𝑃(𝑧 = −0.072)

→ 1 − 𝑁(−0.072) = 1 − 0.4721 = 0.5279 = 52.79%

d) Mayor que o igual a 188.0 cm?

𝑃(𝑥 ≥ 188.0) = 1 − 𝑃 (𝑧 >188.0−174.5

6.9) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 1.95) = 1 − 𝑁(1.95) = 1 −

0.9744 = 0.0256 = 2.56%

introducción a las probabilidades. 1. ¿que es una...

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