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1º CC.SS. Resumen tema 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial.

Jesús C. Sastre 1

1. CÁLCULO DE PROBABILIDADES.

a. Suceso aleatorio. Aquél que depende del azar, es decir, que no se puede prever. Para estudiar estos sucesos, es necesario hacerlo a partir de la experiencia.

𝑓! 𝑆 =𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑆

𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠

b. Probabilidad.

𝑃 𝑆 = lim!→!

𝑓!(𝑆)

Observando qué pasa tirando un dado 100000000 veces, se puede observar que hay ciertas tendencias. Si no está trucado, se puede ver que cada uno de los posibles

sucesos (1, 2, 3, 4, 5 ó 6), tiene una probabilidad 𝑃 𝑆! = 16.

Cuantas más veces se repita el experimento, más grande será 𝑁, y por tanto, más exacto será el cálculo de las probabilidades. Si los sucesos son equiprobables , se puede aplicar la Regla de Laplace:

𝑃 𝑆 =𝑛º 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑆𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

c. Experiencias compuestas.

Son aquéllas que constan de varios pasos, de varias experiencias simples. En las experiencias compuestas por sucesivas extracciones, pueden darse dos modalidades que es importante distinguir.

• Extracciones con reemplazamiento: después de cada extracción se devuelve el objeto extraído. De este modo, cada extracción se realiza en las mismas circunstancias que la anterior.

• Extracciones sin reemplazamiento: después de cada extracción no se devuelve el objeto extraído. De este modo, cada extracción se realiza en distintas circunstancias que la anterior, y depende del resultado obtenido en la anterior. Extraer sin reemplazar, equivale a extraer de una vez.


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d. Experiencias dependientes e independientes.

• Experiencias independientes: aquéllas en las que el resultado de cada una de ellas no depende del resultado de las demás.

1. Las extracciones con reemplazamiento son experiencias independientes, pues al reponer el elemento extraído, no influye en las posteriores extracciones.

2. También son independientes los lanzamientos de dados, de monedas…

• Experiencias dependientes: aquéllas en las que el resultado de cada una de ellas influye en las probabilidades de las siguientes.

1. Las extracciones sin sustitución son experiencias dependientes.

e. Cálculo de probabilidades en experiencias compuestas.

• Experiencias independientes.

𝑃𝑆!𝑆!

= 𝑃 𝑆! · 𝑃 𝑆!

• Experiencias dependientes. 𝑃[𝑆!/𝑆!] = 𝑃(𝑆!) · 𝑃(𝑆!/𝑆!)

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

• Definición. Una distribución de probabilidad de variable discreta es el resultado de asignar a cada valor de la variable su probabilidad. Se representan con un diagrama de barras.

• Propiedades. Estas probabilidades tienen las siguientes propiedades:

1. 0 ≤ 𝑝! ≤ 1 2. 𝑝! + 𝑝! + 𝑝! +⋯+ 𝑝! = 𝑝! = 1

Ejemplo


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4. PARÁMETROS EN DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA.

a. Parámetros en una distribución estadística.

• Número de individuos, 𝑁.

𝑁 = 𝑓! + 𝑓! + 𝑓! +⋯+ 𝑓! = 𝑓!

!

!!!

• Media, 𝑥.

𝑥 =𝑓! · 𝑥!𝑁

!

!!!

=𝑓!𝑁

!

!!!

𝑥!

• Varianza, 𝑠!.

𝑠! =𝑓! · (𝑥!!

!!! −𝑥)!

𝑁=

𝑓! · (𝑥!−𝑥)!

𝑁

!

!!!

=𝑓!𝑁(

!

!!!

𝑥!−𝑥)!

• Desviación típica, 𝑠.

𝑠 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎

b. Parámetros en una distribución de probabilidad.

Considerando las frecuencias relativas como las probabilidades (𝑝! =!!!

).

• Media, 𝜇.

𝜇 = 𝑝! · 𝑥!

!

!!!

• Varianza, 𝜎!.

𝜎! = 𝑝! (𝑥! − 𝜇)! = 𝑝! · 𝑥! − 𝜇!

• Desviación típica, 𝜎.

𝜎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 NOTA: Cuando se utilizan distribuciones estadísticas (empíricas), sus parámetros se designan por: 𝑥, 𝑠…, mientras que en las distribuciones de probabilidad (teóricas) los parámetros se designan por letras griegas: 𝜇,𝜎…

Ejemplo


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5. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. DESCRIPCIÓN.

a. Definición de experiencia dicotómica. Si en una experiencia aleatoria destacamos un suceso 𝐴 y hacemos un estudio de si ocurre (𝐴) o no ocurre este suceso (𝐴′), se trata de una experiencia dicotómica. Al suceso A se le denomina éxito, y a su probabilidad 𝑃 𝐴 = 𝑝, mientras que la probabilidad de su contrario (𝐴′), será 𝑃 𝐴′ = 𝑞 = 1 − 𝑝, dado que son sucesos contrarios.

b. Definición de distribución binomial. Si se repite 𝑛 veces una misma experiencia dicotómica, el número de 𝑥 éxitos, puede ser 0, 1, 2,… (valores de esta variable discreta). La distribución de probabilidad de la variable 𝑥, se llama distribución binomial 𝐵(𝑛, 𝑝). 𝑝 = 𝑃 𝐴 es la probabilidad de éxito en cada una de las experiencias. 𝑛 es el número de veces que se repite la experiencia.

6. CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

• Repaso de números combinatorios. 𝑚𝑛 = 𝐶!,! =

𝑚!𝑛! 𝑚 − 𝑛 !

Ejemplos:

o 74 = !!

!!·!!= !·!·!·!·!·!·!

!·!·!·!·!·!·!= !·!·!

!·!= 35

o 7572 = 75

3 = ⋯ = !"·!"·!"!·!·!

= 67525

o 82 = !·!

!·!= 28

o 53 = !·!·!

!:!·!= 10

o 1000 = 1

• Cómo calcular números combinatorios con la calculadora. Normalmente encima de la tecla de división, con la tecla shift, se puede sacar otra función comúnmente llamada nCr.

Ejemplo. 74 = 7, 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡,÷ 4,=


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• Cálculo de probabilidades en una distribución binomial.

𝑃 𝑥 = 𝑘 = 𝑛𝑘 𝑝! · 𝑞!!!

El número combinatorio hace referencia a las distintas combinaciones que se pueden dar.

• Parámetros de una distribución binomial. Si 𝑥 es una variable que sigue una distribución 𝐵(𝑛, 𝑝), la probabilidad 𝑃[𝑥 = 𝑘], los parámetros de esta distribución son:

𝜇 = 𝑛𝑝 (media)

𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 (Desviación tipica)

Ejemplo

7. CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL, CON AYUDA DE LA TABLA BINOMIAL.

El cálculo de las probabilidades asociadas a una distribución binomial es engorroso y reiterativo, por ello se han tabulado una serie de resultados para los casos más frecuentes de 𝑝.

La tabla contiene en la primera columna, nueve bloques de valores 𝑛 (desde 2 hasta 10), detallándose en cada bloque los posibles éxitos 𝑟 = 0,… , 𝑛. Su primera fila muestra un conjunto discreto de valores de la probabilidad 𝑝 (𝑝 = 0,01; 0,05; 0,10; 0,15; …), estando, por consiguiente, limitado el uso de esta tabla a esos valores de 𝑝 y a un máximo de 10 pruebas para 𝑛.

Para casos 𝑝 > 0,5, se utiliza el suceso contrario (ejemplo en la página 9 de estos apuntes).

(Ver páginas 9 y 11 de estos apuntes).


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8. AJUSTE DE UN CONJUNTO DE DATOS A UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Disponemos de una serie de 𝑁 observaciones relativas a 𝑛 individuos. En cada observación contamos el número 𝑘 de ellos que cumplen una determinada condición. En definitiva, tenemos una tabla de frecuencias cuya variable toma los valores 0, 1, 2,… , 𝑛.

Para estudiar si esa serie de 𝑁 datos obtenidos experimentalmente puede provenir de una distribución binomial 𝐵(𝑛, 𝑝), se procede del siguiente modo:

1. Se calcula la media 𝑥 de los datos y la igualamos a la media 𝜇 = 𝑛𝑝 de la teórica binomial. Así obtenemos el valor de 𝑝.

2. Comparamos la distribución empírica con la teoría. Para ello: a. Hallamos las probabilidades 𝑃[𝑥 = 𝑘] para 𝑘 = 0, 1, 2,… , 𝑛 en la 𝐵(𝑛, 𝑝), y se

multiplican por 𝑁 para averiguar cómo se repartirán los 𝑁 individuos en la distribución teórica.

b. Para cada valor de 𝑘, hallamos la diferencia entre el valor empírico y teórico. c. Según que la mayor de las diferencias sea suficientemente pequeña o no, aceptamos

o rechazamos la hipótesis de que los datos provienen de una binomial.

Ejemplo.


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