vi. fase de mediciÓn · web viewla probabilidad de cualquier evento (e ) se encuentra entre 0 y 1....

VI. FASE DE MEDICIÓN

2. Probabilidad

Dr. Primitivo Reyes Aguilar / enero

2009enero 2009 www.icicm.com [email protected] 04455 52 17 49 12

FASE DE MEDICIÓN PROBABILIDAD P. Reyes / febrero 2009

ContenidoVI. FASE DE MEDICIÓN - PROBABILIDAD............................................................................3

Definiciones.................................................................................................................3

VI.1 Conclusiones estadísticas válidas............................................................................3

Estudios analíticos (inferenciales)...............................................................................3

Estudios enumerativos (descriptivos)..........................................................................4

VI.2 Teorema del límite central......................................................................................5

VI.3 Conceptos de Probabilidad......................................................................................6

Probabilidad de un evento simple...............................................................................7

Probabilidad de eventos Compuestos.........................................................................7

Relaciones entre eventos............................................................................................8

Leyes dela probabilidad.............................................................................................10

Teorema de Bayes.....................................................................................................11

VI.4 Distribuciones de probabilidad..............................................................................13

VI.5 Distribuciones de probabilidad discretas...............................................................14

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA...........................................................................14

b) Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si contiene 3 defectuosos...................15

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL..........................................................................................15

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.......................................................................................18

VI.6 Distribuciones de probabilidad continuas.............................................................22

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL....................................................................................23

La distribución normal...............................................................................................27

VI.7 Distribuciones de probabilidad para decisión........................................................29

DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADA..................................................................................29

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT...................................................................................30

Distribución F............................................................................................................ 31

Bibliografía....................................................................................................................33

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VI. FASE DE MEDICIÓN - PROBABILIDAD

Definiciones

Distribuciones de probabilidad continuas

Contienen un número infinito de valores que pueden ser mostrarlos en una escala de medición continua (distribuciones normal, uniforme, Weibull y exponencial)

Distribuciones de probabilidad discretas

Resultan de datos contables (atributos) con un número finito de valores posibles (distribuciones binomial, Poisson e hipergeométrcia)

Distribuciones de probabilidad de decisión

De utilizan para tomar decisiones y construir intervalos de confianza. Ejemplos t, F, Chi cuadrada

VI.1 Conclusiones estadísticas válidas

Estudios analíticos (inferenciales)

El objetivo de la inferencia estadística es obtener conclusiones acerca de una característica de la población con base en la información obtenida en una muestra. Tiene dos pasos: (1) la inferencia y (2) la medición de su validez. Los pasos para realizar la inferencia son:

Definir el objetivo del problema en forma precisa

Decidir si el problema se evaluará con una o dos colas

Formular una hipótesis nula y la alterna

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MedirMedir AnalizarAnalizar MejorarMejorar ControlarControlarDefinirDefinir


Seleccionar una distribución de prueba y un valor crítico del estadístico reflejado el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo)

Calcular el valor del estadístico de prueba con la información de la muestra

Comparar el valor del estadístico calculado vs su valor crítico y tomar una decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula

Comunicar los hallazgos a las partes interesa

Todos los días nos enfrentamos a tomar decisiones (A o B), mientras que mucha gente piensa que con su intuición es suficiente, el caso es que frecuentemente toman malas decisiones.

Estudios enumerativos (descriptivos)

Los datos enumerativos son los que pueden ser contados (por ejemplo: clasificación de cosas, clasificación de gente por rango de ingreso, etc.). Las herramientas usadas en las pruebas de hipótesis realizadas con datos enumerativos son la Chi cuadrada. Binomial y Poisson.

Para Deming: En un Estudio enumerativo la acción se toma en el universo. En un estudio analítico la acción será tomada en un proceso para mejorar su

desempeño futuro

Las medidas calculadas de una muestra se denominan estadísticos y cuando describen a la población se denominan parámetros:

Medida Estadístico ParámetroMedia X

Desviación estándar s

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RESUMENLos estudios analíticos inician con el establecimiento de la hipótesis acerca de los parámetros de la población. Se obtiene un estadístico muestral para probar la hipótesis y ya sea rechazarla o no rechazarla. En un cierto nivel de confianza se deben poder hacer inferencia respecto a la población.

VI.2 Teorema del límite central

Si una variable aleatoria X tiene media con varianza finita 2, conforme se incrementa n, X tiende a ser una distribución normal con media y varianza σ X

2 . Donde σ X2 = /n.

Donde n es el número de observaciones en las que se basa el cálculo de las medias.

La distribución de las medias de las muestras tienden a distribuirse normalmente independientemente de la población de donde se originan las muestras.

La dispersión de los valores individuales en mayor que la dispersión de los promedios y se relacionan como sigue:

Ejemplo:Si la media del peso de un producto es de 20 gramos y su desviación estándar S es de 0.124 gramos. Estimar la sigma de las medias para un tamaño de muestra de 4:

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XXs n


SX=SX

√n=0.124√4

=0.062gramos

En la siguiente página se muestra el comportamiento de la distribución de las medias para varias distribuciones de pobalciones:

VI.3 Conceptos de Probabilidad

Para hacer inferencias acerca de la población con base en información tomada de una muestra, se utilizan las probabilidades.

La probabilidad de cualquier evento (E ) se encuentra entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E ) en un espacio muestra (S) es 1.

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Probabilidad de un evento simple La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relación de el número de respuestas en favor de E, y el número total de resultados posibles en un experimento.

P (E )= ¿ Favorable E¿ Total resultados

Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:

16=. 16

Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:

12=.5

Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:

16+ 1

6+ 1

6+ 1

6+ 1

6+ 1

6=1

La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1

Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los “n” elementos relacionados = # Total de resultados posibles.

Probabilidad de eventos Compuestos

Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí.

En la composición existen dos posibilidades: Unión ¿ o Intersección¿ .

Unión de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unión de A y B ( A ∪ B ) contiene todos los elementos de el evento A o B o ambos.

Intersección de A y B

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Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la intersección de A y B ( A ∩ B ) está compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

Relaciones entre eventosExisten tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes.

1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un

espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es: A=1−P (A )

Ejemplo 4: En el evento A (día nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un día despejado será 1-P(A) = .7

2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

P (A /B )= P ( A∩B )P (B ) , si B≠0

Ejemplo 5: Si el evento A (lluvia) y B(nublado) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, cual es la probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes

P (A /B )= P ( A∩B )P (B ) =

0 .20 .3=0. 67

Ejemplo 6. Las razones de queja en productos se muestran a continuación:

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7.AP

P(A)=.3

P(A/B)=.67

AB


RAZÓN DE LA QUEJA

Falla eléctrica Falla mecánica Falla apariencia TotalEn garantía 18% 13% 32% 63%

Fuera de garantía

12% 22% 3% 37%

Total 30% 35% 35% 100%

Si A es el evento de que la queja es por apariencia y que B representa que la queja ocurrió en el periodo de garantía. Se puede calcular P(Z | B) = P(A y B) / P(B)

P(A | B) = 0.32 / 0.63 = 0.51

Si C es el evento fuera de garantía y D falla mecánica:

P(C|D) = P(C y D) / P(D) = 0.22 / 0.35 = 0.628

Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).La probabilidad de la ocurrencia de uno no está afectada por la ocurrencia del otro. De otra manera los eventos son dependientes.

Un ejemplo de evento independiente es: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en lunes? El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.

3. Eventos mutuamente excluyentes.

Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 7. Al lanzar un dado:

a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule P (A∩B ) ?

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A B

Eventos mutuamente excluyentes.


a) P (A∪B )=

16+ 1

6=1

3=. 33

b) P (A∩B ) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

Leyes dela probabilidad

Ley aditiva: Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:

P (A∪B )=P ( A )+P (B )−P ( A∩B )

Ejemplo: Si se tienen dos coches y cada uno tiene la probabilidad de arrancar en una mañana

fría de 0.7 ¿Cuál es la probabilidad de llegar al trabajo?

P(AuB) = P(A) + P(B) – P(AyB) = 0.7 + 0.7 – 0.49 = 91%

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

P (A∪B )=P ( A )+P (B )Ejemplo: Si la probabilidad de hallar un balón negro en un cuarto obscuro es de 0.4 y la probabilidad de hallar un balón azul es de 0.3 ¿Cuál es la probabilidad de hallar un balón negro o azul?

P(AuB) = 0.4 + 0.3 = 70%

Ley multiplicativa: Si los eventos A y B son dependientes:

P (A∩B )=P ( A )×P (B /A )

Si los eventos A y B son independientes:

P (A∩B )=P ( A )×P (B )

Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.

A: El primer artículo está en buen estado.

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B: El segundo artículo está en buen estado.

a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:

P (A∩B )=P ( A )×P (B ) = (98100 )×(98

100 )= .9604

b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:

P (A∩B )=P ( A )×P (B /A ) = (98100 )×(97

99 )=. 9602

Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se tiene que haber cumplido antes el evento A.

Teorema de Bayes

Mediante el teorema de Bayes se puede calcular la probabilidad de que ocurra un determinado evento, cuando no hay datos inmediatos del mismo mediante la información que se tiene de otros eventos.

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P(B) =.98P(A) =.98

A B

P(B/A)=.97B

A

P(A) =.98


Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe mediante el “teorema de probabilidad total” el cual es:

P(Z )=[P (A )×P (Z /A )]+ [P (B )×P (Z /B ) ]

Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:

P (A /Z )= P ( A )×P (Z /A )[P (A )×P (Z /A )]+ [P (B )×P (Z /B ) ]

Ejemplo 8: En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden más de 1.80m de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y se observa que mide más de 1.80m ¿Cual es la probabilidad de que sea mujer?Z > 1.80 m A = HombreB = MujerP (A) = .60P (B) = .40P (Z|A) = .20P (Z|B) = .01

Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80,Utilizando el teorema de Bayes:

P (B /Z )= P (B )×P (Z /B )[P (A )×P (Z / A ) ]+[ P (B )×P (Z /B ) ]

P(B/Z) = (.4 x .01)/ (.6 x .20 +.4 x .01) = .032.

Se puede visualizar P(B/Z) en el siguiente diagrama:

Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80 es .032 = 3.2 %

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Z > .80

Hombre Mujer

P(B/Z) = .032P(A/Z)Z > .80

Hombre Mujer

P(B/Z) = .032P(A/Z)

HOMBRE MUJER

< 1.80

> 1.80

.80

.20

.99

.01

= Z

HOMBRE MUJER

< 1.80

> 1.80

.80

.20

.99

.01

= Z


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VI.4 Distribuciones de probabilidad

Variable aleatoria: Para un determinado espacio muestral SS una variable aleatoria (VA) es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en SS.

Variable aleatoria de Bernoulli: Es cualquier variable aleatoria con valores 0 y 1.

Variable aleatoria discreta: Es una variable aleatoria cuyos posibles valores son enteros.

Variable aleatoria continua: Es una variable aleatoria cuyos valores posibles son los reales.

Distribución de probabilidad o función de masa de probabilidad: Establece en una tabla, fórmula o gráfica como se distribuye la probabilidad P(y) asociada a los posibles valores de la variable aleatoria y.

Debe cumplir con las reglas siguientes:

1. 0 <= P(y) <= 1

2. Suma (P(y)) = 1

Su fórmula es la siguiente:

Función de distribución acumulativa:

Con propiedades:

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y P(Y=y)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

yy

yyYPyP )5(.)5(.

3)()( 3

FX ( x )=P( X≤x )


Valor esperado de una distribución de probabilidad discretaLa media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como E(X), es

La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.

Varianza de una distribución de probabilidad discretaSea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces, la varianza de Y es:

VI.5 Distribuciones de probabilidad discretas

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se aplica cuando la muestra (n) es una proporción relativamente grande en relación con la población (n > 0.1N). El muestreo se hace sin reemplazo.

P(x, N, n, D) es la probabilidad de exactamente x éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:

Con

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.

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NnD

112

NnN

ND

NnD

0≤F( x )≤1Limx→∞F ( x )=1Limx→−∞F ( x )=0

μX=E(X )=∑xxf X ( x )=∑

xxP(X=x )

σX 2=E[ (X−μ X)

2 ]=∑x( x−μX )

2P (X=x )

Cxn= n !

x !(n−x ) !P( x )=C x

DCn− xN−D

CnN


N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5P(x=5) = 0.0183 = 1.83%

USO DE EXCEL:N = Tamaño de Población, n = Tamaño de muestra, D= éxitos en la población; x = éxitos en la muestra.

En Fx Estadísticas seleccionar =distr.hipergeom(x, n, D, N)

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Hypergeometric Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada) N, D, n y en Input constant introducir x.

EJERCICIO:1. Se compran 10 transformadores y se toma una muestra de 4. Si se encuentra uno o más defectuosos se rechaza el lote de 10.

a) Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si contiene 3 defectuosos.

b) Si el lote tiene un defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote?

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p

Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X de interés es el número de éxitos. X toma valores 0,1,2,...,n

La distribución binomial se utiliza para modelar datos discretos y se aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N). El muestreo binomial es con reemplazo. Es apropiada cuando la proporción defectiva es mayor o igual a 0.1.La binomial es una aproximación de la hipergeométrica

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0183.0

!10!10!20

!10!5!15

!0!5!5

)5(

P


La distribución normal se aproxima a la binomial cuando np > 5La variable aleatoria x tiene una distribución binomial como sigue:

n = tamaño de muestrax = Ocurrencias o número de defectivosp = probabilidad o proporción defectiva

Con media y varianza:

Ejemplo: Se toma una muestra aleatoria de 10 unidades de un lote de una prena. Por experiencia se sabe que hay el 10% de partes defectivas. Encontrar la probabilidad de encontrar exactamente una parte defectiva (n = 10, x = 1, p = 0.1)

P (X=1 )= 10 !1 !9 !

(0.1)1(0.9)9=38.74 %

Ejemplo: Durante el mes pasado un proceso continuo promedió 6% de defectivos, al inicio de este mes se tomó una muestra de 300 unidades, encontrando 22 defectivos. ¿Cuál es el promedio de defectivos esperado y la variación a 3 sigmas?

P = x/n = 22 / 300 = 0.073 1- p =0.927 σ p=√ p(1−p)n

=√ 0.073(0.927)300

=0.015

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nxppxn

xXPxf xnx ,...,1,0)1()()(

)1()(

)(2 pnpXV

npXE

X

X


P ± 3 S = 0.073 ± 0.045 = ( 0.028, 0.118)

Ejemplo: Un equipo requiere a lo más 10% de servicios en garantía. Para comprobarlo se compran 20 de estos equipos y se someten a pruebas aceleradas de uso para simular el uso durante el periodo de garantía. Obtener la probabilidad para P(x<=4).

Rechazar la afirmación de que falla menos del 10% si se encuentra que X>=5.

P(X>=5) = 1- P(X<=4) =1 - distr.binom(4,20,0.1,1) = 1 – 0.9568 = 0.0432 lo cual es bajo.

USO DE EXCEL:x = éxitos en la muestra, p = probabilidad de éxito, n = tamaño de muestra. En Fx Estadísticas seleccionar =distr.binom(x, n, p, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Binomial Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada) n = number of trials, p = probability of success y en Input constant introducir x.

EJERCICIOS1. Un panel solar tiene una vida útil de 5 años con una probabilidad de 0.95. Se toman 20 paneles solares y se registró la vida útil.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 18 tengan su vida útil de 5 años? b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 10 tengan esa vida útil?c) ¿Si solo 10 paneles tienen una vida útil de 5 años, que debería pensarse sobre el valor verdadero de P?

2. 20% de los teléfonos se reparan cuando todavía está vigente la garantía. De estos el 60% se reparan mientras que el 40% se reemplazan. Si una empresa compra 10 de estos teléfonos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados 2 en periodo de garantía?.

3. Suponga que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roja intermitente cuando no está visible otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20 automovilistas seleccionados al azar se detengan:

a) A lo sumo 6 se detengan por completob) Exactamente 6 se detengan por completo?

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c) Al menos 6 se detengan por completo?d) Cuántos de los siguientes 20 automovilistas se espera que se detengan por completo?

4. De todas las plantas sólo el 5% descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean 20 plantas ¿Cuál es la probabilidad de que estén fuera de la ley:

a) Menos que una planta?b) Menos de dos plantasc) Exactamente 3d) Más de una

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson se utiliza para modelar datos discretos como aproximación a la Binomial dada la dificultad que existía de encontrar tablas Binomiales adecuadas cuando n es grande y p pequeña. La distribución de probabilidad de Poisson proporciona buenas aproximaciones cuando np <= 5.

Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6.

Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.

Con media y varianza:

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,...1,0!

)(

xx

exfx

pn

pn


Ejemplo 1. Suponga que una compañía de seguros asegura las vidas de 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombre muera en cierto año es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 4 indemnizaciones y= 4 en un cierto año es:

P( y=4 )=p( 4 )=5000 !4!* 4996 !

(0.001 )4 (0.999 )4996

El valor de esta expresión no aparece en tablas y su cálculo era difícil, no así con Excel.

Aproximando con la distribución de Poisson, se toma la tasa media de sucesos = np = (5000)*(0.001)= 5, teniendo:

P( y=4 )= λ4e−μ

4 !=54 e−5

4 !=0 .1745

Ejemplo 2. Una planta tiene 20 máquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto día es 0.05. Encuentre la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos máquinas.

np = 20 *0.05 = 1.0

P( y=2 )=12e−1

2 !=0 . 184

Si se calcula con la distribución Binomial se tiene:

P( y=2 )=p(2 )=20 !2!*18 !

(0 .05)2 (0. 95 )18=0 .188

Ejemplo 3. Un proceso continuo tiene una 2 defectos en cada 100 m2 de tela ¿cuál es la probabilidad de que en 100 m2 de la muestra se encuentre exactamente 2 defectos?

P (X=2 )=μX e−μ

x != 4

2! e2=0.27=27 %

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La aproximación es mejor conforme se aproxima a np = 5.

La distribución de Poisson además de ser útil como aproximación de las probabilidades Binomiales, constituye un buen modelo para experimentos donde Y representa el número de veces que ha ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de espacio. Por ejemplo:

Número de llamadas recibidas en un conmutador durante un día, conociendo el promedio por día.

Número de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana, conociendo el prom. Sem.

Número de llegadas a una estación de servicio durante un minuto dado, conociendo el prom./min.

Número de ventas hechas por un agente de ventas en un día, conociendo el promedio por día.

Sólo se requiere que los eventos sean independientes.

USO DE EXCEL:x = éxitos en la muestra, np = media. En Fx Estadísticas seleccionar =Poisson(x, np, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Poisson Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada) n*p = mean y en Input constant introducir x.

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EJERCICIOS:

1. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta:

Usando la distribución binomial y la distribución de Poissona) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ?b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?

2. Se tienen 8 recepcionistas, estan ocupadas en promedio el 30% del tiempo, si 3 clientes llaman ¿la prob. De que estén ocupadas es mayor al 50%?

3. Un proveedor de partes de bicicleta tiene 3% de defectos. Se compran 150 partes y si la probabilidad de que 3 o más partes sean defectuosas excede al 50%, no se hace la compra.¿Qué sucede en este caso?.

4. En una universidad las llamadas entran cada 2 minutosa) ¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas en una hora?b) ¿Cuál es la probabilidad de 3 llamadas en los sig. 5 minutos?c) ¿Cuál es la probabilidad de no llamadas en los sig. 5 minutos?d) ¿cuál es la prob. de recibir 10 llamadas en los sig. 15 minutos?

5. Un proceso de manufactura produce 1.2 defectos por cada 100 unidades producidas,¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes 500 unidades presenten X=3 defectos?

6. 40 trabajadores tienen nuevas computadoras, 26 con MMX. Si se seleccionan 10 al azar, ¿Cuál es la prob. De que 3 tengan la tecnología MMX?.

7. De un grupo de 20 productos, se toman 10 al azar,¿Cuál es la probabilidad de contengan las 5 mejores unidades?

8. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad de que:a) Los 5 estén calificadosb) 4 estén calificadosc) Por lo menos 3 estén calificados

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VI.6 Distribuciones de probabilidad continuas

Se diferencian de las distribuciones de probabilidad discretas en que su función de distribución acumulativa (F(yo)) para una variable aleatoria y es igual a la probabilidad F(yo) = P(y<=y0).

Si F(y) es la función de distribución acumulada para una variable aleatoria continua entonces su función de densidad f(y) para y es:

f(y) = dF(y) / dy

Sus propiedades son que:

1. f(y) >= 0

2. Integral desde menos infinito a más infinito de f(y) d(y) = F( ) = 1

f(y)

F(yo)

yo yFunción de distribución acumulativa

Entre las distribuciones continuas más comunes se encuentran la distribución normal y la distribución exponencial.

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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Se usa para modelar artículos con una tasa de falla constante y está relacionada con la distribución de Poisson. Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recíproco de x, y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.

La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0

Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media.

La función de densidad de la distribución exponencial

El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todos los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:

Si el número de ocurrencias tiene Distribución de Poisson, el lapso entre ocurrencias tiene distribución exponencial. Su función de distribución acumulada es la siguiente:

P(X <= x )=1−e−λt

Cuando X = 0 la distribución de Poisson se convierte en el segundo término de la distribución exponencial.

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f ( x )=1θe−

xθ=λe−λx


Probabilidad de que el tiempo entre la ocurrencia de dos eventos cualquiera sea <= tF(x)

t

Aquí se desea saber de que no transcurra más de cierto tiempo entre dos llegadas, sabiendo que se tiene una tasa de llegadas .

Ejemplo: El tiempo de respuesta de un departamento es de 5 minutos promedio y se distribuye exponencialmente. La probabilidad de que el tiempo de respuesta a lo sumo sea de 10 minutos se determina como sigue:

P(X<=10) = F(10; 1/5) = 1- exp(-0.2*10) = 0.865

La probabilidad entre el tiempo de respuesta de 5 y 10 minutos es:

P(5<=X<=10) = F(10;1/5) – F(5; 1/5) = 0.233

USO DE EXCEL:Lamda = 1/ media. En Fx Estadísticas seleccionar =distr.exp(x, lamda,1) = distr.exp(10,0.2,1) = 0.865

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Exponential Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada) Indicar Threshold = 0 y en Scale indicar la media 5 En Input constant indicar la X del tiempo.

Exponential with mean = 5 x P( X <= x )10 0.864665

La Distribución Exponencial es usada como el modelo, para la parte de vida útil de la curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante. Los sistemas complejos con muchos

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componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la distribución exponencialDesde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.

Las fallas ocurren en los sistemas con una distribución denominada Curva de la Bañera:

Fallas diseño λ=tasa .de . falla .=cons tan te Senectud

Fallas infantiles Fallas aleatorias Fallas por desgaste

La zona de tasa de fallas constantes, es modelada con La Distribución exponencial, muy aplicada a la Confiabilidad, que es la probabilidad de que un equipo o componente sobreviva sin falla hasta un periodo t bajo condiciones normales de operación:

R(t) = Confiabilidad de un sistema o componente

R( t )=e−λt

Donde es la tasa media de falla y su inverso es el tiempo medio entre fallas (MTBF), o sea:

λ= 1MTBF

Ejemplo: El MTBF de un foco es de 10 semanas, por tanto = 0.1 fallas/semana y la probabilidad de que el foco no falle o continúe en operación hasta las 15 semanas es:

R(15 )=e−0 .1∗15=0 .223

y la probabilidad de que falle dentro de las 15 semanas es:

P(15 )=1−e−0 .1∗15=0 .777

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EJERCICIOS:1. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X tiene una distribución exponencial con media = 10, calcular:

a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas.b) La desviación estándar de esas llegadasc) P(X<=15)d) P(8<=X<=14)

2. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas, ¿cuál es la probabilidad de quea) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas?

b) A lo sumo 30,000 horas?

c) Entre 20,000 y 30,000 horas?

3. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en ese periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado por la distribución exponencial:

f(x) = 0.125 exp(-0.125*x)

a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo de garantía?

b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el efecto de la garantía por reemplazo sobre la ganancia?

4. El tiempo entre fallas de un componente de equipo es importante para proveer de equipos de respaldo. Un generador eléctrico tiene una vida promedio de 10 días.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle dentro de los siguientes 14 días?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que opere por más de 20 días?

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La distribución normal

Esta distribución tiene numerosas aplicaciones, como ya se vio antes es la base del teorema del límite central para la distribución de las medias muestrales.

Su función de densidad es la siguiente:

Donde es la media y la desviación estándar

= 500 = 30 = 50 = 70

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.0120

0.0140

200 400 600 800 1000Tiempo

f(t)

Efecto de la variación de la desviación estándar en la forma de la curva normal

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z0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3X

La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal

Para obtener las áreas bajo la curva normal se utiliza la transformación de Z = (X-)/

Ejemplo: Que porciento usa entre 20 y 24 lts? El valor Z asociado con X = 20 es z = 0 y con X = 24, z = (24 - 20)/5 = 0.8. Entonces, P(20 < X < 24) = P(0 < z < 0.8) = P(0.8) - P(0) = 0.7881- 0.5 = 0.2881 o 28.81%.

¿Qué porciento usa entre 16 y 20 lts? El valor Z1 para X = 16 es z1 = (16 - 20)/5 = -0.8, y para X = 20, z2 = 0. Entonces, P(16 < X < 20) = P(-0.8 < z < 0) = P(0) - P(-0.8) = 0.5 - 0.2119 = 0.2881 = 28.81%.

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VI.7 Distribuciones de probabilidad para decisiónLas distribuciones Chi cuadrada, t y F están formadas con la combinación de variables aleatorias. Normalmente no se utilizan para fenómenos físicos, como el tiempo a falla, sino se utilizan para tomar decisiones y construir intervalos de confianza.

DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADA

Si Z es una variable aleatoria normal estándar, entonces:

Es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad. Esta distribución es un caso especial de la distribución gama con una tasa de falla de 2 y grados de libertad igual a 2 dividido por el número de grados de libertad correspondiente a la distribución Chi cuadrada.

La función de densidad de la distribución Chi cuadrada es la siguiente:

Donde son los grados de libertad y x es la funciçoon gama.

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DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

La distribución t de student se forma al combinar una variable aleatoria normal y una variable aleatoria chi cuadrada, de forma que la variable aleatoria con una distribución t es a siguiente:

La función de densidad de la distribución t de student es:

La media y la varianza de esta distribución son;

De una muestra aleatoria de n artículos, la probabilidad que se encuentren entre dos valores especificados es igual al área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad entre los valores correspondientes en el eje X con n-1 grados de libertad.

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Ejemplo: La resistencia de 15 sellos seleccionados al azar se muestran a continuación ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia sea mayor a 500?

Resistencia480500499489486504491499501508479496501496498

495.1333333 Media8.467304063 S

La probabilidad de que l a media poblacional sea mayor a 500 es igual al área bajo la función de densidad de probabilidad t con n – 1 = 14 grados de libertad a la izquierda de:

t=495.13−5008.467√15

=−2.227

De tablas el área a la izquierda de este valor -2.227 es 0.0214, o sea que hay un 2.14% de posibilidad de que la media de la población sea mayor a 500.

Distribución F

Si X es una variable aleatoria Chi cuadrad con 1 grados de libertad y Y es una variable aleatoria Chi cuadrada con 2 grados de libertad y X y Y son independientes, entonces la siguiente variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad F con 1 , 2 grados de libertad.

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La distribución F se utiliza para probar la igualdad de varianzas de dos poblaciones normales. Si U y V son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaño n y m de tomadas de poblaciones normales con varianzas w y z se tiene que:

Es una variable aleatoria con una distribución F con 1 = n -1 y 2 = m -1 , la forma de la distribución F es:

Sus valores están tabulados o se determinan con Excel o Minitab, también se puede aplicar la siguiente relación en caso de algunas tablas faltantes:

Si F0.05, 8, 10 = 3.07 F0.95,10,8 = 0.326

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