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Introducción a la lógica epistémica

Fernando Soler Toscano

Universidad de Sevilla

¾Qué es la lógica epistémica?

I Sistema formal para razonar sobre el conocimiento y la

creencia

I Podemos modelar el conocimiento de uno o varios agentes y

sus interacciones

I Semántica: uso de modelos de Kripke y operadores modales

I La lógica epistémica dinámica modela acciones que cambian la

información de los agentes

I Referencia:

H. van Ditmarsch, W. van der Hoek, B. Kooi,

Dynamic Epistemic Logic, Springer, 2007.

El lenguaje de la lógica epistémica

Dado un conjunto de proposiciones P y un conjunto de agentes A,

de�nimos el lenguaje

ϕ := p | ¬ϕ | ϕ ∧ ϕ | Kaϕ

p ∈ P, a ∈ A

I Kaϕ se lee �el agente a sabe que ϕ�

I Otros operadores ∨, →, ↔ se de�nen del modo habitual

I ¬Ka¬ϕ se abrevia como K̂aϕ, y se lee �el agente a considera

posible que ϕ�

I Más adelante comentaremos otros operadores

Ejemplos de fórmulas epistémicas

Dos agentes:

I Alicia (a), que suponemos que vive en Sevilla

I Bob (b), que suponemos que vive en Toledo

Dos proposiciones:

I Llueve en Sevilla, s

I Llueve en Toledo, t

Ejemplos:

1. Alicia sabe que llueve en Sevilla: Kas

2. Si llueve en Sevilla, Alicia lo sabe: s → Kas

3. Alicia sabe si llueve o no en Sevilla: Kas ∨Ka¬s 6= Ka(s ∨¬s)4. Bob sabe que Alicia sabe si llueve o no en Sevilla:

Kb(Kas ∨ Ka¬s)5. Alicia no sabe si llueve o no en Toledo:

¬(Kat ∨ Ka¬t) ≡ ¬Kat ∧ ¬Ka¬t ≡ K̂a¬t ∧ K̂at

Modelos epistémicos

I Modelo epistémicoM = 〈W ,R,V 〉I W es un conjunto de estados

I R es un conjunto de relaciones de accesibilidad Ra por cada

agente a ∈ A

I Dos estados w1, w2 son accesibles para el agente a, w1Raw2

cuando resultan indistinguibles para (el conocimiento de) a

I Solemos trabajar en S5 donde Ra son relaciones de

equivalencia

I V : W 7→ 2P es una función que asigna a cada estado el

conjunto de proposiciones verdaderas en dicho estado

I Mediante (M,w) denotamos el modelo epistémico donde w

es el estado distinguido, que representa el estado real de cosas

Algunas propiedades semánticasDado que las Ra son relaciones de equivalencia se cumplen algunas

propiedades peculiares (que se emplean como axiomas del cálculo):I Introspección positiva: todo lo que a sabe, sabe que lo sabe,

|= Kaϕ→ KaKaϕ

I Introspección negativa: si algo no sabe, sabe que no lo sabe,

|= ¬Kaϕ→ Ka¬Kaϕ

I Verdad: todo lo que a sabe es verdadero,

|= Kaϕ→ ϕ

Además, a conoce todas las tautologías y todas las consecuencias

de su conocimiento,

|= ϕ implica |= Kaϕ

|= ϕ→ ψ implica |= Kaϕ→ Kaψ

Esto signi�ca que a es un agente omnisciente (existen lógicas que

evitan algunas de estas propiedades).

Evaluando el conocimiento de un agente

s, t

w1

s

w2

a

I Es común omitir la representación de algunos pares de las

relaciones de accesibilidad.

I La relación Ra es el cierre de equivalencia de los pares

representados

I Obsérvese V (w1) = {s, t}, V (w2) = {s}I Evaluación de fórmulas:

1. M,w1 |= Kas

2. M |= Kas

3. M,w1 |= t ∧ ¬Kat

4. M,w1 |= K̂at ∧ K̂a¬t5. M |= K̂at ∧ K̂a¬t

Validez en el modelo

Podemos generalizar el modelo anterior, sin comprometemos con el

hecho de que llueve en Sevilla. Ahora, llueva o no, a lo sabe:

s, tw1 s w2

tw3 w4

a

a

Algunas fórmulas válidas en el modelo:

M |= Kas ∨ Ka¬sM |= K̂at ∧ K̂a¬tM |= (s → Kas) ∧ (¬s → Ka¬s)

Conocimiento de varios agentes

s, tw1 s w2

tw3 w4

a

a

b b

El agente b sabe que a sabe si llueve

en Sevilla:

M |= Kb (Kas ∨ Ka¬s)

El agente a sabe que b sabe si llueve

en Toledo:

M |= Ka (Kbt ∨ Kb¬t)

En w1 ambos agentes saben que llueve en Sevilla o en Toledo,

M,w1 |= Ka(s ∨ t) ∧ Kb(s ∨ t)

pero ambos consideran posible que el otro no lo sepa,

M,w1 |= K̂a¬Kb(s ∨ t) ∧ K̂b¬Ka(s ∨ t)

Decimos que en w1 no es conocimiento común que llueve en Sevilla

o en Toledo,

M,w1 6|= C{a,b} (s ∨ t)

Conocimiento de grupos

Existen varios operadores que evalúan el conocimiento de grupos de

agentes:

I Conocimiento general EBϕ, que se lee como �todos los agentes

de B saben ϕ�, y equivale a∧i∈B

Kiϕ

I Conocimiento común CBϕ, que se lee como �es conocimiento

común que ϕ para el grupo de agentes B�, y equivale a

∞∧n=0

En

Bϕ

I Conocimiento distribuido DBϕ, se lee como �es conocimiento

distribuido ϕ en el grupo B�, la idea es que uniendo el

conocimiento de todos los agentes de B se puede saber ϕ

Sistema axiomático para S5C

Todas las tautologías proposicionales

Ka(ϕ→ ψ)→ (Kaϕ→ Kaψ) distribución de Ka sobre →Si ϕ y ϕ→ ψ, entonces ψ Modus ponens

Si ϕ, entonces Kaϕ necesitación de Ka

Kaϕ→ ϕ Verdad

Kaϕ→ KaKaϕ Introspección positiva

¬Kaϕ→ Ka¬Kaϕ Introspección negativa

CB(ϕ→ ψ)→ (CBϕ→ CBψ) distribución de CB sobre →CBϕ→ (ϕ ∧ EBCBϕ) Mezcla

CB(ϕ→ EBϕ)→ (ϕ→ CBϕ) Inducción de CB

Si ϕ, entonces CBϕ necesitación de CB

Las reglas de modus ponens y necesitación sólo se aplican a

fórmulas válidas.

Acciones epistémicas: anuncios públicos

I La lógica epistémica dinámica introduce acciones epistémicas

que modi�can la información de los agentes

I Dado un modelo epistémicoM, medianteM,w |= [ϕ]ψexpresamos que después de anunciar públicamente ϕ enM, es

verdad ψ en el estado w

I El efecto de anunciar públicamente ϕ enM es eliminar

aquellos estados en que ϕ no se veri�ca

El agente b anuncia enM que llueve en Toledo:

s, tw1 s w2

tw3 w4

a

a

b bKbt

s, tw1

tw3

b

M,w1 6|= Kat M,w1 |= [Kbt]Kat

Lógica de la creencia

I Modi�cación de la semántica, la accesibilidad deja de ser una

relación de equivalencia

I Baϕ se lee como �el agente a cree que ϕ�, y se cumple

M,w |= Baϕ sii para todo mundo w ′ tal que wRaw′ se

cumpleM,w ′ |= ϕ

I El conocimiento se evalúa en el cierre de equivalencia de Ra

I En KD45 las creencias no tienen por qué ser verdaderas

6|= Baϕ→ ϕ pero sí consistentes |= ¬Ba⊥

Ahora, a cree que llueve en Toledo y b cree que no llueve en Sevilla:

s, t

w1

s

w2

t

w3 w4

a

a

b

a

a, b b

b

M |= Bat

M |= Bb¬sM,w1 |= Kbt ∧ s ∧ Bb¬s

Puzle epistémico: números consecutivos

Decimos a Alicia y Bob que van a ser informados, cada uno en

secreto, de dos números naturales consecutivos (incuido 0). Alicia

recibirá el número par y Bob el impar. Todo esto es conocimiento

común.

Entonces, Alicia recibe en secreto el número 2 y Bob el 3.

Ambos mantienen el siguiente diálogo:

I A: No sé tu número

I B: No sé tu número

I A: Ahora sé tu número

I B: Yo también sé tu número

¾Cómo es posible?

Números consecutivos: solución

(0,1) b (2,1) a (2,3) b (4,3) a (4,5) b · · ·

A: No sé tu número

B: No sé tu número

A: Ahora sé tu número

B: Yo también sé tu número

Anunciar la ignorancia puede producir conocimiento

Podemos ver las acciones epistémicas como programas que

modi�can el modelo epistémico


(0,1) b (2,1) a (2,3) b (4,3) a (4,5) b · · ·









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