introducción a la lógica epistémica dinámica

Logica Epistemica Conocimiento de grupos Logica de anuncios publicos Problema de las cartas rusas

Introduccion a la Logica Epistemica Dinamica

Ignacio Hernandez y Enrique [email protected], [email protected]

Proyecto RIFALLCORed de Investigacion, Formacion y Aplicaciones de Logica, Lenguaje y

Computacion14 de Junio del 2012

Grupo de Logica, Lenguaje e Informacion (US)

Ignacio Hernandez y Enrique Sarrion [email protected], [email protected]

1 Logica EpistemicaIntroduccionModelos de KripkeConocimiento de agentes individuales

2 Conocimiento de gruposConocimiento generalConocimiento comun

3 Logica de anuncios publicosConceptos basicos, sintaxis y semanticaAnuncios fallidos

4 Problema de las cartas rusasEl problema y su formalizacionSolucion al PCR

Introduccion

Lo basico

Epistemologa estudio del conocimiento

Filosofa griega interes por:

Que es lo que conocemos?Que podemos conocer?Que significa decir que uno sabe algo?Primera propuesta de la definicion de conocimiento: la creenciaverdadera

La idea aqu Aproximacion FORMAL al razonamiento queconlleva aspectos epistemicos.Precursores: Von Wrigth (1950) + Hintikka (1962)

Interes principal:

Capturar formalmente ciertas propiedades inherentes delconocimiento dados ciertos presupuestosOfrecer metodos para el analisis de las inferencias que tienencontenido epistemologico

Introduccion

Lo basico

Interes principal:

Introduccion

Lo basico

Interes principal:

Introduccion

Lo basico

Interes principal:

Introduccion

Lo basico

Informacion, conocimiento, agente y grupo de agentes

Conocimiento es la informacion que tiene un agente o grupo deagentes sobre cierta perspectiva de los hechos.

Aproximacion formal se produce idealizacion: agentes/grupos sonperfectos razonadores.

Objetivo razonamiento deductivo sobre el conocimiento.

Demasiada idealizacion? Depende. Hay mas metodos formales queintentan modelar fenomenos epistemicos mas naturales (agentes noperfectos, creencias vs. conocimiento, inferencia no deductiva, etc)

Introduccion

Lo basico

Introduccion

Lo basico

Introduccion

Lo basico

Introduccion

Lo basico

Introduccion

Encuadre de la logica epistemica

Logica clasica

Enunciados, primer orden, orden superior...Extension con operadores modales (, ) Mas recursos expresivosInterpretaciones de la modal

DeonticaTemporal. . .

Epistemica (K , K)Expresa modos de enunciar como un agente sabe que... o un

agente cree que...

Logicas no clasicas

Trivalentes, multivalentesIntuicionistaBorrosaNo monotona. . .

Introduccion

Logica clasica

agente cree que...

Logicas no clasicas

Introduccion

Logica clasica

agente cree que...

Logicas no clasicas

Introduccion

Logica clasica

agente cree que...

Logicas no clasicas

Introduccion

Logica clasica

agente cree que...

Logicas no clasicas

Modelos de Kripke

Intuiciones de kripke

Un conjunto de atomos p, q, r . . . conforman un estadoONTOLOGICAMENTE distinguible de hechos

Pero esto no quiere decir que sea EPISTEMOLOGICAMENTEdistinguible para un agente/grupo

Intuicion basica: si un agente/grupo no tiene informacion completasobre todo lo que ocurre en el mundo entonces ese agente/grupoconsiderara un numero de mundos posibles a partir de la informacionincompleta que posee

El conocimiento de los agentes/grupos se definira en funcion delacceso a diferentes estados

Estos mundos posibles considerados por el agente/grupo son loscandidatos posibles a ser el verdaderoPara un agente/grupo es verdad que sabe un hecho si en todos losmundos que considera posibles se satisface

Modelos de Kripke

Utilizaremos estructuras semanticas relacionales Grafos dirigidos.

s, h s,ha

Representacion del conocimiento Estados accesibles Posibilidades epistemicas

Posibilidades epistemicas Posibilidades ontologicas

Modelos de Kripke

s, h s,ha

Modelos de Kripke

s, h s,ha

Modelos de Kripke

Ejemplo: tiempo en Andaluca occidental

Huelva soleadoCadiz soleadoSevilla soleadoCordoba soleado

Huelva soleadoCadiz soleadoSevilla soleadoCordoba nublado

Huelva soleadoCadiz soleadoSevilla nubladoCordoba soleado

Huelva soleadoCadiz nubladoSevilla soleadoCordoba soleado

Huelva nubladoCadiz soleadoSevilla soleadoCordoba soleado

Huelva nubladoCadiz soleadoSevilla soleadoCordoba nublado

etc...

Cuadro: Representacion de la posibilidades ontologicas = 24 = 16

Modelos de Kripke

Si miro por la ventana y conozco el tiempo en Sevilla...

Huelva ?Cadiz ?Sevilla soleadoCordoba ?

Cuadro: Ocho posibilidades epistemicas para Ignacio

Que inducen 8 estados indistinguibles para Ignacio en base a suconocimiento

Modelos de Kripke

Huelva ?Sevilla soleado

Cuadro: Simplificacion del escenario

s, h s,hIgnacio

Figura: Modelo de Kripke del conocimiento

Modelos de Kripke

Modelo de kripke: formalizacion

Para agentes A = {a, b, c ...} y atomos P = {p, q, r , . . . },M = S ,R ,V :

S = {s1, s2..., sn, ...} representa el conjunto de estados.R es una funcion que a cada agente a A, le asigna una relacion deaccesibilidad Ra S S .V : P 2S tal que V (p) S es el conjunto de estados donde p esverdadero.

Con (M , s) senalamos el estado s en el modelo M evaluacion deformulas.

Modelos de Kripke

Modelo de kripke: formalizacion

Para agentes A = {a, b, c ...} y atomos P = {p, q, r , . . . },M = S ,R ,V :

S = {s1, s2...sn , t, u, ...} representa el conjunto de estados.R es una funcion que a cada agente a A, le asigna una relacion deaccesibilidad Ra S S .V : P 2S tal que V (p) S .

Para la logica epistemica R se caracteriza cumpliendo:

sRas

sRat tRassRat tRau sRau

Conocimiento de agentes individuales

Sintaxis LK

Para agentes A = {a, b, c ...} y atomos P = {p, q, r , . . . }

::= p | | ( ) | Ka

Ka se lee a sabe que

Ka expresa de manera equivalente:

Que el agente a no sabe que .Que es consistente con el conocimiento que tiene a.Que el agente a considera que es posible .

Ka def Ka

Ejemplo tiempo

Tablas

Grafo

s, h s,hIgnacio

Analticamente

Kignacios (Kignacioh Kignacioh)

Metaconocimiento conocimiento sobre el conocimiento

KignacioKignacios

Ejemplo tiempo

Tablas

Grafo

s, h s,hIgnacio

Analticamente

KignacioKignacios

Ejemplo tiempo

Tablas

Grafo

s, h s,hIgnacio

Analticamente

KignacioKignacios

Ejemplo tiempo

Tablas

Grafo

s, h s,hIgnacio

Analticamente

KignacioKignacios

Semantica Kripke

La estructura de Kripke nos captura la idea de modelo informacional.

Para evaluar formulas usamos el par (M , s): senalamos un estado.

Ejemplo: Modelo M

Estado 1 s, h Estado 2s,hIgnacio

Semantica: formalizacion

(operador Ka) M , s |= Ka syss t tal que sRat, M , t |= (Validez) M |= syss M , s |= s S

Ejemplo: Modelo M (Reflexividad omitida)

(M ,Estado1) |=? h Kignacioh

(M ,Estado1) |= h Kignacioh

(M ,Estado2) |=? h Kignacioh

(M ,Estado2) |= h Kignacioh

M |=? Kignacios

M |= Kignacios

Axiomatizacion S5

Las propiedades del conocimiento de agentes individuales:Todas las tautologas proposicionalesModus Ponens Si , , entonces T Ka K Ka( ) (Ka Ka)Necesitacion sobre K Si , entonces KaIntrospeccion positiva Ka KaKaIntrospeccion negativa Ka KaKa

Nec restringida para la derivabilidad. Correcta, completa, decidible y compacta

Conocimiento general

Conocimiento general: Todos saben...

Podemos considerar no solo agentes individualmente sino grupos deagentes.

Agentes en un grupo pueden tener:

Conocimiento grupal de hechos. Ej: Sabemos que no llueveConocimiento sobre el conocimiento de otros agentes. Ej: Se quevosotros sabeis que no llueve

Se considera el conocimiento de un grupo como una sola entidad

Es importante esta idea?. Ej: Sociedad con vehculos a motor deseaque sea el caso de que:Todos saben que rojo significa para y verde continuar la marcha.

EB =

bB Kb Todos los agentes saben .

EB =

bB Kb Algun agente considera posible .

EB =

Conocimiento general en detalleSupongamos un grupo de n agentes G A = {a, b, . . .n} y que s =esta soleado

EG={a,b,...n}s Es mas o menos facil de intuir: Todos saben queesta soleadoEGEG s ya es un poco mas difcil de intuirla a primera vista. Veamoscomo analizarla:

EGEG s EGV

aiGKai s

EG (Kas Kbs . . .Kns)KaKas KaKbs . . . KaKns KbKas KbKbs . . . KbKns KnKas KnKbs . . . KnKns

Habra que hacer rutas de agentes a-a, a-b, ... a-n, b-a, b-b, ...b-n,etc

Nos imaginamos EGEGEGEG s E4G s?Como se verifica esta

formula en un modelo?

Y EG s? Esto nos da la idea de conocimiento comun, pero antesintroducimos un ejemplo intuitivo...

EGEG s EGV

aiGKai s

EGEG s EGV

aiGKai s

EGEG s EGV

aiGKai s

EGEG s EGV

aiGKai s

EGEG s EGV

aiGKai s

Conocimiento comun

Conocimiento comun: Todos saben que todos saben...

Tres agentes B = {1, 2, 3} en tres despachos diferentes.

Soleado en Sevilla s

(K1s K2s K3s) EBs EBEBs

Conocimiento comun = iteracion del conocimiento general E .

CB =

n=0

E nB

Como se verifica si una formula es conocimiento comun? Desdeel estado donde estemos evaluando podemos tener una rutacompuesta por agentes del grupo G que llegue a cualquier otroestado donde es verdadera. Se dice que es verdadera en todoestado alcanzable por una ruta del grupo G .

Conocimiento comun

CB =

n=0

E nB

Conocimiento comun

CB =

n=0

E nB

Conocimiento comun

CB =

n=0

E nB

Conocimiento comun

CB =

n=0

E nB

Conocimiento comun

Conocimiento distribuido: Entre algunos saben...

Dos agentes B = {Trabajador ,Empresario}

Trabajador Si cobro me voy al cine Ktrabajador ( )

Empresario Ha cobrado Kempresario

Entre los dos saben que el trabajador se va al cine:

D{trabajador ,empresario}

Conocimiento comun

Semantica operadores de conocimiento de grupos

REB =

bB Rb

RDB =

bB Rb

Conocimiento comun

REB =

bB Rb

RDB =

bB Rb

REB = cierre reflexivo transitivo de REB

Conocimiento comun

REB =

bB Rb

RDB =

bB Rb

REB = cierre reflexivo transitivo de REB

(M , s) |= EB syss t | sREB t, se verifica que (M , s) |= (M , s) |= DB syss t | sRDB t, se verifica que (M , s) |= (M , s) |= CB syss t | sR

EBt, se verifica que (M , s) |=

Conocimiento comun

Tipos de conocimiento

1

2

3

4

5

6

a,b,ca

a

ab

b

c

a) Modelo inicial: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tres agentes A = {a, b, c}, (M, 1)

Conocimiento comun

1 ()

2

3

4

5

6

a,b,c

a

ab

b

c

b) Conocimiento distribuido

Conocimiento comun

1 ()

2 ()

3

4

5

6

a,b,c

a

ab

b

c

c) Conocimiento individual

Conocimiento comun

1 ()

2 ()

3

4 ()

5

6()

a,b,c

a

ab

b

c

d) Conocimiento general

Conocimiento comun

1 ()

2 ()

3 ()

4 ()

5 ()

6 ()

a,b,c

a

ab

b

c

d) Conocimiento comun

Conocimiento comun

Axiomatizacion S5C

Todas las tautologas proposicionalesModus Ponens Si , , entonces K Ka( ) (Ka Ka)T Ka Necesitacion sobre K Si , entonces KaIntrospeccion positiva Ka KaKaIntrospeccion negativa Ka KaKaC CB( ) (CB CB)Necesitacion sobre C Si entonces CBMezcla CB ( EBCB)Induccion del conocimiento comun CB( EB) ( CB)

Correcta, completa, decidible y no compacta

Conceptos basicos, sintaxis y semantica

Anuncios publicos: conceptos basicos

Extension de la logica epistemica con un nuevo operador [].

Dinamica del estado informacional.

Tras el anuncio, se verifica Nos permite buscar invariantes.

Caractersticas de los anuncios:

Publicos.Verdaderos.Si son informativos, eliminan estados del modelo.

SintaxisPara LK [], ::= | | ( ) | Ka | []

Para LKC [], ::= | | ( ) | Ka | CB | []

[] se lee: tras el anuncio de , se verifica

Anuncios vinculados o desvinculados

Sintaxis: [] no hace referencia a un agente en particular.

[] no esta vinculado a un agente concreto (o vinculado alsabelotodo.

Ksabelotodo Rsabelotodo = Id

Anuncio por parte de un agente es mas informativo:[Ka]

Semantica

M , s |= p syss s V (p)M , s |= syss M , s 2 M , s |= syss M , s |= y M , s |= M , s |= Ka syss t S : si sRat, entonces M , t |= M , s |= CB syss t S : si sR

EBt, entonces M , t |=

M , s |= [] syss Si M , s |= , entonces M|, s |=

M , s |= syss M , s |= y M|, s |=

M| := S,R ,V :

S = [[]]M := {s S | (M , s) |= }R a = Ra ([[]]M [[]]M)V (p) = V (p) [[]]M

(s) p

w

p

p,w

q

p, qa

a

ab

b

c

Figura: Modelo (M, s) sin actualizar

(s) p

p

p,w

p, qa

a

b

c

Figura: Modelo (M|p, s) actualizado

M , s |= [p]Kbq

M , s |= [p]Kaq

M , s |= [p]Kcw

Jugamos?

201

102

012 021

210

120

a

b b

bc

c c

Figura: Reparto inicial (M, s)

Jugamos?

201

012 021

210

a

bc

Figura: Anuncio 1a

(Hexa, 012) |= 1aKc0a

(Hexa, 012) |= 1aKc(0a 1b 2c)

Anuncios fallidos

Tenemos el siguiente modelo M :

p

s

p

s

a

Figura: Modelos M

Que pasa si se anuncia p Kap?

Anuncios fallidos

p

s

p

s

a

Figura: Restriccion con [p Kap]

Anuncios fallidos

Axiomatizacion PAL

Todas las tautologas proposicionalesModus ponens Si y , entonces K Ka( ) (Ka Ka)T Ka Introspeccion positiva Ka KaKaIntrospeccion negativa Ka KaKaPermanencia atomica []p ( p)Anuncios y negacion [] ( [])Anuncios y conjuncion []( ) ([] [])Anuncios y conocimiento []Ka ( Ka[])Composicion de anuncios [][] [ []]Necesitacion de K Si , entonces KaNecesitacion de [] Si , entonces []

Correcta, completa, decidible, compactaIgnacio Hernandez y Enrique Sarrion [email protected], [email protected]

Anuncios fallidos

Axiomatizacion PAC = PAL + Conocimiento comun:

C CB( ) (CB CB)Mezcla CB ( EBCB)Induccion de conocimiento comun CB( EB) ( CB)Necesitacion de C Si , entonces CBAnuncios y conocimiento comun Si [] y ( ) EB,

entonces []CB

Correcta, completa, decidible, no compacta

El problema y su formalizacion

Enunciado del problema

De un paquete de siete cartas conocidas, dos agentes toman tres cartas

cada uno y un tercer agente espa coge la septima y ultima carta.

Como podra cada agente de tres cartas informar abiertamente, sin

cifrar, al otro sobre sus propias cartas evitando que el espa aprendiera los

correspondientes repartos incluso si escucha y entiende la informacion

transmitida?

El problema y su formalizacion

Resumen del escenario

A = {a, b, c} AgentesC = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Baraja

#d = 3.3.1 Distribucion del reparto|C | = |#d | = 7 Tamano de la baraja que

coincide con el del repartod1(a) = 012;#a = 3 Mano de a; su tamanod1(b) = 345;#b = 3 Mano de b; su tamanod1(c) = 6;#c = 1 Mano de c ; su tamano

d0 = (0a 1a 2a 3b 4b 5b 6c) Reparto (poseedores de las cartas)= 012|345|6= 012.345.6

`73

`43

`11

= 140

(Rus, 012|345|6) |= (0a 1a 2a 3b 4b 5b 6c )(Rus, 012|345|6) Ka(0a 1a 2a) Kb(3b 4b 5b) Kc6cIgnacio Hernandez y Enrique Sarrion [email protected], [email protected]

Solucion al PCR

Protocolo = secuencia suficientemente informativa e incondicionalmentesegura de anuncios publicos

Formula Denominacion abreviada

(Rus, 012|345|6) |= Kadb0 aknowsbs

(Rus, 012|345|6) |= Kbda0 bknowsas

(Rus, 012|345|6) |= Kcda0 Kcd

b0 cignorant

(Rus, 012|345|6) |= C{a,b,c}(Kcda0 Kcd

b0 ) CBcignorant; B = {a, b, c}

Solucion al PCR

Protocolos no validos

Anuncio a: 012a 012b

Anuncio b: 345a 345b

(Rus, 012|345|6) |=? [012a 012b][345a 345b] condiciones

Solucion al PCR

140

013.456.2

012.345.6

234.016.5 [012a 012b ] =

8 012.345.6 345.012.6

012.346.5 346.012.5

012.356.4 356.012.4

012.456.3 456.012.3

c

a

b

Solucion al PCR

8 012.345.6 345.012.6

012.346.5 346.012.5

012.356.4 356.012.4

012.456.3 456.012.3

c

a

b

[345a 345b ] =

2 012.345.6 345.012.6c

Solucion al PCR

140

013.456.2

012.345.6

234.016.5 [Ka(012a 012b)] =

4! 012.345.6 345.012.6

012.346.5 346.012.5

012.356.4 356.012.4

012.456.3 456.012.3

c

a

b

(Rus, 012|345|6) |= [012a 012b] cignorant(Rus, 012|345|6) 2 [Ka(012a 012b)] cignorant

Solucion al PCR

Protocolos no validos II: DEMO

a anuncia que 6a.

b anuncia que 6b.

(Rus, 012|345|6) |=? [Ka6a][Kb6b] condiciones

Que falla aqu? CBcignorant solo es verdad al final del protocolo yaque:

(Rus, 012|345|6) 2 [Ka6a]Ka cignorant

Veamoslo con DEMO

Solucion al PCR

Protocolo incondicionalmente seguro: DEMO

a anuncia (012a 034a 056a 135a 246a) (= pi)

b anuncia 6c

1 (Rus, 012|345|6) |= Kapi

2 (Rus|pi, 012|345|6) |= C{a,b,c} CBcignorant

3 (Rus|pi, 012|345|6) |= Kb6c4 (Rus|pi|Kb6c , 012|345|6) |= (C{a,b,c} CBcignorant aknowsbs

bknowsas)

Lgica EpistmicaIntroduccinModelos de KripkeConocimiento de agentes individuales

Conocimiento de gruposConocimiento generalConocimiento comn

Lgica de anuncios pblicosConceptos bsicos, sintaxis y semnticaAnuncios fallidos

Problema de las cartas rusasEl problema y su formalizacinSolucin al PCR

introducción a la lógica epistémica dinámica

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