Introducción a la Matemática DiscretaAritmética Modular

Luisa Maŕıa Camacho

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 39

Introducción a la Matemática DiscretaTemario

Tema 1. Teoŕıa de Conjuntos.

Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole.

Tema 3. Técnicas de contar.

Tema 4. Recursión.

Tema 5. Aritmética entera.

Tema 6. Aritmética modular.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 2 / 39

Tema 6. Aritmética Modular

Números congruentes módulo m.

Clase de equivalencia módulo m.

El conjunto Zm.Aritmética en Zm.Divisores de cero y números invertibles.

División Zm : cálculo del inverso.Resolución de congruencias lineales.

Solución particular y solución general.

Resolución de sistemas de congruencias lineales:

Teorema chino del resto.Teorema chino del resto generalizado.

La función φ de Euler.

Propiedades.

Teorema de Euler.

Test de primalidad: Test de Wilson.

Test de pseudoprimalidad de Fermat.

Números pseudoprimos y de Carmichael.

Aplicaciones:

Dı́gitos de Control.

Sistema criptográfico RSA.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 3 / 39

Aritmética Modular. Resultados Previos.

Aritmética Entera.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 4 / 39

¿Cómo averiguar si un número es divisible por 7 o por 11?

Si contamos 100 d́ıas a partir de hoy ¿en qué d́ıa de la semana caerá?

Dı́gitos de control: NIF, Dı́gitos de control de las cuentas bancarias, ISBN delos libros...

Criptograf́ıa: RSA.

Aritmética Modular. Números congruentes.

Números congruentes

Sean a, b y m enteros, diremos que a es congruente con b y lo denotaremos pora ≡ b (mod m) si a y b dan el mismo resto cuando se divide entre m.

Ejemplos.

9 ≡ 27 (mod 3)15 ≡ 20 (mod 5)

Propiedades

Sean a, b y m números enteros, se tiene que:

a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a ≡ b (mod −m)

a ≡ b (mod m) ⇐⇒ m|(a− b)

La congruencia a ≡ b (mod 1) siempre es cierta.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 8 / 39

Aritmética Modular. Números congruentes.

Propiedades.

Sean a, b, c, d y m números enteros, se tiene que:

a ≡ b (mod m) =⇒ a · c ≡ b · c (mod m)

a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) =⇒ a+ c ≡ b+ d (mod m) ya− c ≡ b− d (mod m)

a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) =⇒ a · c ≡ b · d (mod m)

a ≡ b (mod m) =⇒ ak ≡ bk (mod m) y k > 0

a ≡ b (mod m) y d|m =⇒ a ≡ b (mod d)

a · c ≡ b · c (mod m) y d = mcd(c,m) =⇒ a ≡ b (mod md

)

Si mcd(m,n) = 1, a ≡ b (mod m) y a ≡ b (mod n) ⇐⇒ a ≡ b (mod m · n)

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 9 / 39

Aritmética Modular. Números congruentes.

Relación de equivalencia.

Sean a, b y m números enteros, se tiene que:

a ≡ a (mod m) reflexiva.

a ≡ b (mod m) ⇐⇒ b ≡ a (mod m) simétrica.

a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m) =⇒ a ≡ c (mod m)

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 10 / 39

Aritmética Modular. Clases de equivalencia.

Clases de equivalencia

En nuestro caso, cada elemento a ∈ Z define la clase de equivalencia:

[a]m = {x ∈ Z : x ≡ a (mod m)} = {. . . , a− 2n, a− n, a, a+ n, a+ 2n, . . . }

quedando Z dividido en m clases de equivalencia correspondientes a los posibles mrestos de dividir un número cualquiera entre m :

[0]m, [1]m, [2]m, . . . , [m− 2]m, [m− 1]m

Ejemplos.

9 ≡ 27 (mod 3) ⇒ [9]3 = [27]3 = [0]316 ≡ 21 (mod 5) ⇒ [16]5 = [21]5 = [1]5Para m = 2 el conjunto Z queda dividido en las clases [0] y [1] que secorresponden con los números pares y los impares respectivamente.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 11 / 39

Aritmética Modular. El conjunto Zm.

Enteros módulo m

Para cada m ≥ 1, el conjunto de las m clases de equivalencia lo denotamos por Zm yse conoce como el conjunto de los enteros módulo m.

Zm = {0, 1, 2, . . . , m− 1}

donde los elementos a ∈ Zm representan a sus respectivas clases de equivalenciamódulo m.

Los elementos de Zm son subconjuntos de Z.

Z2 = {0, 1}

Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 12 / 39

Aritmética Modular. Aritmética en Zm.

Clases de equivalencia

En nuestro caso, cada elemento a ∈ Z define la clase de equivalencia:

[a]m = {x ∈ Z : x ≡ a (mod m)} = {. . . , a− 2n, a− n, a, a+ n, a+ 2n, . . . }

quedando Z dividido en m clases de equivalencia correspondientes a los posibles mrestos de dividir un número cualquiera entre m :

[0]m, [1]m, [2]m, . . . , [m− 2]m, [m− 1]m

Enteros módulo m

Para cada m ≥ 1, el conjunto de las m clases de equivalencia lo denotamos por Zm yse conoce como el conjunto de los enteros módulo m.

Zm = {0, 1, 2, . . . , m− 1}

donde los elementos a ∈ Zm representan a sus respectivas clases de equivalenciamódulo m.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 13 / 39

Aritmética Modular. Aritmética en Zm.

Sean a, b ∈ Z. Definimos las siguientes operaciones:

Operaciones

[a]m + [b]m = [a+ b]m

[a]m − [b]m = [a− b]m

[a]m · [b]m = [a · b]m

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 14 / 39

Aritmética Modular. Aritmética en Zm.

Teorema

Sean a, b y c números enteros.

[a], [b] ∈ Zm ⇒ [a+ b], [a · b] ∈ Zm

[a] + ([b] + [c]) = ([a] + [b]) + [c], [a]([b][c]) = ([a][b])[c]

[a] + [b] = [b] + [a], [a][b] = [b][a]

[a]([b] + [c]) = [a][b] + [a][c]

∃[0], [1] ∈ Zm, [x] + [0] = [0] + [x] = [x], [x] · [1] = [1] · [x] = [x]

∀[a] ∈ Zm, ∃[−a] ∈ Zm ⇒ [a] + [−a] = [−a] + [a] = [0]

Ejemplo

En Z7, tomamos 5 y 8 ⇒ 58 = 390625 = 4.Por otro lado, como 8 = 1, ⇒ 51 = 5.

[a][b] 6= [ab]

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 15 / 39

Aritmética Modular. Aritmética en Zm.

Tablas de multiplicar: Z5, Z6, Z7 :

Z5 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

Z6 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

Z7 0 1 2 3 4 5 60 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 62 0 2 4 6 1 3 53 0 3 6 2 5 1 44 0 4 1 5 2 6 35 0 5 3 1 6 4 26 0 6 5 4 3 2 1

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 16 / 39

Aritmética Modular. Divisores de cero.

Divisores de cero

Los divisores de cero son elementos no nulos (distintos del elemento neutro) tal quesu producto por otro elemento no nulo da como resultado el elemento neutro.

Teorema

En Zm, los divisores de cero son precisamente aquellos elementos a (distinto delelemento neutro) que verifican que mcd(a,m) 6= 1.

Demostración

d = mcd(a,m) ⇒ a · md

= adm = 0 (es múltiplo de m) ⇒ a es un divisor de cero.

Corolario

En Zp con p primo no hay divisores de cero.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 17 / 39

Aritmética Modular. Números invertibles.

Números invertibles

Un elemento a es invertible módulo m si existe a′ en Zm tal que a · a′ = 1.Diremos que a′ es el inverso de a en Zm y se denota a−1 = a′.

Teorema

Un entero a es invertible módulo m si y sólo si mcd(a,m) = 1. Si a posee inverso,entonces éste es único.

Demostración

Existencia. d = mcd(a,m) 6= 1.mcd(a,m) = 1 ⇒ ∃α, β ∈ Z tal que aα+mβ = 1 ⇒ aα = 1 en Zm

Unicidad.

Corolario

Si m primo, todos los elementos de Zm son invertibles, salvo el cero.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 18 / 39

Aritmética Modular. Cálculo del inverso.

Cálculo del inverso.

1 Aplicamos el AEE para calcular mcd(a,m).

Si mcd(a,m) 6= 1 entonces a no es invertible.

Si mcd(a,m) = 1 entonces se tiene la Identidad de Bezout:α · a+ β ·m = 1.

2 En Zm, α · a = 1 lo que implica que α es el inverso de a módulo m.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 19 / 39

Aritmética Modular. Congruencias lineales.

Congruencias lineales

Una congruencia lineal es una ecuación lineal en Zm.

Proposición.

Sea d un divisor de a, de b y de m. Entonces

ax ≡ b (mod m)⇔ adx ≡ b

d(mod

m

d)

Si a y m son primos entre śı y c es un divisor de a y de b, entonces

ax ≡ b (mod m)⇔ acx ≡ b

c(mod m)

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 20 / 39

Aritmética Modular. Resolución.

Problema.

Sean a, b enteros y m entero positivo. Resolver la congruencia linealax ≡ b (mod m).

Relación entre congruencia lineal y ecuación diofántica.

ax ≡ b (mod m)⇔ m divide a ax− b⇔ ax− b = km⇔ ax− km = b⇔ ax+my = b (ecuación diofántica)

Tiene solución si y sólo si mcd(a,m) divide a b.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 21 / 39

Aritmética Modular. Resolución.

Teorema

Si a, b enteros y m entero positivo, la congruencia lineal ax ≡ b (mod m) tienesolución si y sólo si el máximo común divisor de a y m (d = mcd(a,m)) divide a b.En este caso, si x0 es una solución particular, entonces todas las soluciones vienendadas por:

x ≡ x0 + km

d(mod m); con k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , d− 1}

Encontrar la solución particular x0.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 22 / 39

Aritmética Modular. Resolución.

�� ��Resolver ax = b en ZmCaso 1

Si mcd(a,m) = 1 tenemos que ax ≡ b(mod m) tiene solución y ésta se calcula:

ax ≡ b (mod m)⇔ a−1ax ≡ a−1b (mod m)⇔ x ≡ a−1b (mod m)

Solución

En Zm, hay una única solución x = a−1b.

En Z, hay infinitas soluciones x = a−1b+ km con k ∈ Z.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 23 / 39

Aritmética Modular. Resolución.

�� ��Resolver ax = b en ZmCaso 2

Si mcd(a,m) 6= 1. Sea mcd(a,m) = d.

Si d no divide a b. FIN. No hay solución.

Si d divide a b. Seguiremos los siguientes pasos:

Simplificamos la congruencia. Dividimos todo por d,a′x ≡ b′ (mod m′).

Calculamos mcd(a′, b′) = c y simplificamos de nuevo la congruencia:a′′x ≡ b′′ (mod m′)Estaŕıamos en la situación del Caso 1.Aśı, x ≡ (a′′)−1b′′ (mod m′). Llamemos x0 = (a′′)−1b′′.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 24 / 39

Aritmética Modular. Solución general.

Hay tres formas de dar las soluciones:

Módulo m′. Habŕıa una única solución que seŕıa x ≡ x0 (mod m′).

Módulo m. Habŕıa exactamente d soluciones, con d = mcd(a,m).Esas soluciones seŕıan:

x ≡ x0 + im

d(mod m) con 0 ≤ i ≤ d− 1.

En Z, seŕıa x = x0 + km′ con k ∈ Z.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 25 / 39

Aritmética Modular. Sistemas de Congruencias.

Sistema de congruencias lineales.

Un sistema de congruencias lineales es un sistema de la forma

(1) :

a1x ≡ b1 (mod n1)a2x ≡ b2 (mod n2)

...akx ≡ bk (mod nk)

con ni enteros positivos y ai, bi enteros para 1 ≤ i ≤ k.

Objetivo:

Encontrar las soluciones del sistema (1).

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 26 / 39

Aritmética Modular. Teorema Chino del resto.

Teorema Chino del resto.

Sean n1, n2, · · · nk enteros positivos primos entre śı. Dados enteros a1, a2, · · · , akexiste una única solución del sistema:

x ≡ a1 mod n1x ≡ a2 mod n2

...x ≡ ak mod nk

módulo n = n1 · n2 · · ·nk.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 27 / 39

Aritmética Modular. Teorema chino del resto.

Demostración:

Existencia. Se comprueba que:

x0 = a1c1d1 + a2c2d2 + · · ·+ akckdk,ci =

n1·n2···ni···nkni

= n1 · n2 · · ·ni−1 · ni+1 · · ·nk,ci · di ≡ 1 (mod ni), di es el inverso de ci módulo ni.

es solución del sistema.

Unicidad. Dicha solución es única módulo n = n1 · n2 · · ·nk.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 28 / 39

Aritmética Modular. Teorema chino del resto.

Procedimiento para encontrar la solución de (1).

Resolver cada congruencia de la forma aix ≡ bi (mod ni) por separado yconvertirla en uno del tipo x ≡ ai (mod ni).Si alguna carece de solución el sistema no la tiene.

Calcular ci =nni.

Calcular el inverso de ci módulo ni, es decir, se resuelve

cidi ≡ 1, mod ni.

La solución será:�� ��x ≡ a1c1d1 + a2c2d2 + · · ·+ akckdk (mod n).

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 29 / 39

Aritmética Modular. Teorema chino del resto generalizado.

Teorema chino del resto generalizado.

Sean n1, n2, · · · nk enteros positivos y a1, a2, · · · , ak enteros cualesquiera. Elsistema de congruencias

x ≡ a1 mod n1x ≡ a2 mod n2

...x ≡ ak mod nk

admite solución si, y sólo si, mcd(ni, nj) divide a ai − aj para cualesquiera i 6= j.Cuando se verifica esta condición, la solución general constituye una única clase decongruencia módulo n = mcm(n1, n2, . . . , nk).

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 30 / 39

Aritmética Modular. Teorema chino del resto generalizado.

Procedimiento para encontrar la solución de (1).

Resolver cada congruencia de la forma aix ≡ bi (mod ni) por separado y convertirla en uno deltipo x ≡ ai (mod ni).Si alguna carece de solución el sistema no la tiene.

Comprobar que mcd(ni, nj) divide a ai − aj . Si falla algún caso, el sistema no tiene solución.Descomponer cada ecuación en un sistema.

Si mcd(m,n) = 1 entonces

a ≡ b (mod m · n)⇐⇒{

a ≡ b (mod m)a ≡ b (mod n)

Eliminar las ecuaciones que no son necesarias.

Si a ≡ b (mod m) y d|m ⇒ a ≡ b (mod d)

El sistema que obtenemos verifica que los módulos son primos entre śı y se resuelve según elteorema anterior.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 31 / 39

Arimética Modular. Función de Euler.

Función de Euler

El número de elementos invertibles módulo m se representa por φ(m). Es unafunción de N en N tal que a cada natural m le asocia el número de unidades módulom. A la función φ la llamaremos función de Euler.

Propiedades.

Si p primo, φ(p) = p− 1.

Si n = pr con p primo, φ(n) = pr − pr−1 = pr−1(p− 1) = pr(1− 1p).

Si m y n son primos entre śı, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n).

Ejemplo

φ(1000) = φ(2353) = φ(23)φ(53) = 23−1(2− 1)52−1(5− 1) = 80

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 32 / 39

Aritmética Modular. Teorema de Euler.

Teorema de Fermat.

Si p primo entonces ap ≡ a mod p. En particular, si a 6≡ 0 mod p se tiene queap−1 ≡ 1 mod p.

Teorema de Euler.

Sean a y m enteros tales que mcd(a,m) = 1, entonces aφ(m) ≡ 1 mod m.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 33 / 39

Aritmética Modular. Teorema de Euler.

Ejemplo

1 Probar que 250 + 350 es divisible por 13

2 Determinar el resto de dividir 2372 entre 37

3 Hallar las dos últimas cifras de 19931993

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 34 / 39

Aritmética Modular. Teorema de Euler. Aplicaciones

Cálculo de ar módulo m

Por ejemplo a19

Expresamos r en notación binaria. 19→ 10011.Intercalamos una C entre cada dos cifras. 1C0C0C1C1.

Eliminamos los ceros. 1CCC1C1.

Sustituimos los unos por la letra M . MCCCMCM .

Comenzando ahora por 1 y siguiendo la secuencia obtenida en la que M representamultiplicar por n y C elevar al cuadrado vamos obteniendo:

1M−→ a C−→ a2 C−→ a4 C−→ a8 M−→ a9 C−→ a18 M−→ a19

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 35 / 39

Aritmética Modular. Test de primalidad.

Test de primalidad de Wilson:

Se basa en la siguiente propiedad

p es primo ⇔ (p− 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)

Test de pseudoprimalidad de Fermat:

Se basa en la siguiente propiedad

si p primo y a un entero positivo ⇒ ap ≡ a (mod p).

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 36 / 39

Aritmética Modular. Test de primalidad.

1 Elegir un entero positivo a, al que se denomina la base del test. Basta conutilizar bases que sean números primos menores o iguales que p, (normalmentese empieza con a = 2).

2 Calcular ap mod p.

3 Si el resultado no es a entonces p no es primo (se dice que p no ha pasado eltest en base a).

4 Si el resultado es a entonces p podŕıa ser primo o podŕıa no serlo (en esecaso se dice que p es pseudoprimo para la base a). En ese caso elegimos unanueva base a y repetimos el proceso.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 37 / 39

Aritmética Modular. Test de Primalidad

Pseudoprimos

Un entero n se dice que es pseudoprimo para la base a si, siendo n compuesto,verifica que an ≡ a mod n.

Números de Carmichael

Se denomina números de Carmichael a aquellos números que, siendo compuestos,superan los test de base a.

n es de Carmichael ⇔{n es compuestoan ≡ a mod n ∀a ∈ Z+

Caracterización números de Carmichael

Si n es libre de cuadrados y p− 1 divide a n− 1 para cada primo p que divida a n,entonces o n es primo o es un número de Carmichael.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 38 / 39

Aritmética Modular. Bibliograf́ıa.

1 N. L. Biggs, Matemática discreta. Editorial Vicens Vives, 1994.

2 E. Bujalance, J. A. Bujalance, A. F. Costa, E. Mart́ınez, Elementos dematemática discreta. Editorial Sanz y Torres, 3a Edición. 2005.

3 F. Garćıa Merayo, Matemática Discreta.Editorial Thomson, 2a Edición, 2005.

4 R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria.Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997.

5 G.A. Jones y M. Jones, Elementary number theory. Editorial Springer, 1998.

6 R. Kumanduri y C. Romero, Number Theory with Computers Applications.Prenticell Hall, 1998.

7 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications.Editorial McGraw-Hill, 2003.

Camacho Introd. a la Matemática Discreta 39 / 39