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Introduccion a la Matematica DiscretaAritmetica Entera

Luisa Marıa Camacho

Camacho Introd. a la Matematica Discreta 1 / 36

Introduccion a la Matematica DiscretaTemario

Tema 1. Teorıa de Conjuntos.

Tema 2. Logica proposicional y algebras de Boole.

Tema 3. Tecnicas de contar.

Tema 4. Recursion.

Tema 5. Aritmetica entera.

Tema 6. Aritmetica modular.


Tema 5. Aritmetica Entera

El conjunto de los numeros enteros, Z.

Division en Z.

Divisibilidad y propiedades.

Principio de Induccion.

Maximo Comun Divisor.

Algoritmo de Euclides.

Identidad de Bezout.

Algoritmo de Euclides extendido.

Numeros coprimos.

Ecuaciones diofanticas.

Resolucion de ecuaciones diofanticas lineales con dos incognitas.

Numeros primos.

Teorema Fundamental de la Aritmetica.

Distribucion de primos.

Teorema de Euclides.

La funcion π(x).

Numero primos de Fermat y de Mersenne.

La criba de Eratostenes.

El problema de la factorizacion.


Aritmetica Entera. Introduccion.

¿Que es la Teorıa de Numeros? El estudio de los numeros enteros.

Ejemplos de Numeros

Numeros pares

Numeros impares

Numeros naturales

Numeros triangulares

Numeros primos


Aritmetica Entera. Introduccion.

¿Para que usamos los numeros primos? Criptografıa: RSA

Ciframos y desciframos mensajes de manera relativamente facil.La seguridad del sistema radica en la eleccion adecuada de la clave publica.

¿Es 25478512753524632765756437563656529853685639856349856475467576751 primo?

NO (es divisible por 3).

¿Es 25478512753524632765756437563656529853685639856349856475467576903 primo?

SI.

¿Es 25478512753524632765756437563656529853685639856349856475467577041 primo?

SI.

¿Es 649154612131517364235209351853847539464423773588548724491651094469224065674417028369864303126429603800928587351648815624744684023 primo?

NO.


Aritmetica entera. El conjunto Z.

A1 La suma y el producto son leyes de composicion internas.∀a, b ∈ Z⇒ a+ b ∈ Z, ab ∈ Z

A2 Ambas leyes son asociativas.∀a, b, c ∈ Z⇒ a+ (b+ c) = (a+ b) + c = a+ b+ c, a(bc) = (ab)c = abc

A3 Existen elementos neutro 0 y unidad 1 tales que:∀a ∈ Z⇒ a+ 0 = 0 + a = a a · 1 = 1 · a = a

A4 Existen elementos opuestos. Es decir:∀a ∈ Z ∃ − a ∈ Z : a+ (−a) = −a+ a = 0

A5 Ambas leyes son conmutativas. ∀a, b ∈ Z⇒ a+ b = b+ a ab = ba

A6 El producto es distributivo respecto de la suma.∀a, b, c ∈ Z⇒ a(b+ c) = ab+ ac

A7 Propiedad cancelativa. Si a 6= 0 y ab = ac, entonces b = c


Aritmetica Entera. El conjunto Z.

En el conjunto Z de los numeros enteros se define la relacion de orden “≤ ”, la cualcumple los siguientes propiedades:

A8 Propiedad reflexiva: ∀a ∈ Z =⇒ a ≤ a

A9 Propiedad antisimetrica:a ≤ bb ≤ a

}=⇒ a = b

A10 Propiedad transitiva:a ≤ bb ≤ c

}=⇒ a ≤ c

A11 a ≤ b =⇒ a+ c ≤ b+ c

A12 a ≤ b y 0 ≤ c =⇒ ac ≤ bc


Aritmetica Entera. El conjunto Z.

Definicion

Dado S ⊂ Z un subconjunto, se dice que c ∈ Z es una cota inferior del conjunto Ssi c ≤ a cualquiera que sea el elemento a ∈ S. Si ademas, c ∈ S recibe el nombre deprimer elemento.

Analogamente, se dice que d ∈ Z es una cota superior del conjunto S si a ≤ dcualquiera que sea el elemento a ∈ S. Si ademas, d ∈ S recibe el nombre de ultimoelemento.

A13 [Buena ordenacion]

Todo subconjunto de Z no vacıo y acotado inferiormente(superiormente) posee un primer (ultimo) elemento.


Aritmetica Entera. Division en Z.

Teorema de la Division.

Sean a, b ∈ Z con b > 0 existe un unico par de enteros q, r ∈ Z tal que a = b · q + rcon 0 ≤ r < b.

Al entero q se le llama cociente y a r resto.

Teorema de la Division.

Si a y b son dos enteros con b 6= 0 existe un unico par de enteros q y r tales que

a = qb+ r 0 ≤ r < |b|


Aritmetica Entera. Divisibilidad.

Definicion

Diremos que a divide a b si el resto de la division de a entre b es 0. Diremostambien que b es divisible por a o b es multiplo de a. Es decir,

a divide a b ⇔ ∃q ∈ Z tal que b = q · a

lo denotaremos por a | b o b = a.

Dado un entero n, se denominan divisores propios a sus divisores distintos de 1 ydel propio n, a los cuales se les denomina divisores impropios.


Aritmetica Entera. Divisibilidad.

Si a | b y c ∈ Z ⇒ a | b · c

Si a | b ∧ b | c⇒ a | c

Si a | b ∧ a | c⇒ a | (αb+ βc)

Si a | b1, a | b2, . . . , a | bk ⇒ a | (α1b1 + · · ·+ αkbk)

Si m 6= 0 y a | b ⇒ m · a | m · b

Si b 6= 0 y a | b ⇒ |a| ≤ |b|

Si a | b y b | a ⇒ a = ±b


Aritmetica Entera. Principio de Induccion

Tenemos unas filas de fichas de domino. Supongamos que tenemos las siguientesafirmaciones:

Enunciado 1: Alguien ha derribado la primera ficha.

Enunciado 2: Si una ficha es derribada, entonces esta tira la siguiente.

De 1 y 2 podemos concluir que todas las fichas acabaran cayendo.


Aritmetica Entera. Principio de Induccion.

Sea P (n) una propiedad relativa al numero n y k un entero fijo. Supongamos que

P (k) es cierta.

Si P (n) es cierta, entonces P (n+ 1) es cierta tambien.

Entonces P (n) es cierta para cualquier valor n ≥ k.



¿Como demostrar algo usando el principio de induccion simple?

Comenzamos enunciando la propiedad que queremos probar. Es decir, decimos cual esla propiedad P (n) y cual es el entero k.

Probamos que P (k) es cierta (este paso es llamado la etapa base).

Probamos que para cualquier n ≥ k tal que P (n) sea verdad, entonces P (n+ 1) estambien verdad (este paso es llamado la etapa de induccion).

Finalmente concluimos que, usando el principio de induccion simple, P (n) es ciertapara cualquier n ≥ k.

Nota: En la etapa de induccion, a la suposicion de que P (n) es cierta se le llama hipotesisde induccion.



A veces la induccion simple no basta...¿Cuales son los enteros que podemos obtener como sumas de 3 y de 5 (conrepeticiones)?

3 = 3 5 = 5 6 = 3 + 38 = 3 + 5 9 = 3 + 3 + 3 10 = 5 + 5

11 = 5 + 3 + 3 12 = 3 + 3 + 3 + 3 . . .

Sea P (n) la propiedad: “el numero n es una suma de 3 y de 5”, y queremosdemostrar que P (n) es cierto para todo n ≥ 8.

Para demostrar la etapa base P (8) basta comprobar que: 8 = 5 + 3

Si P (n) es cierta entonces P (n+ 1) es cierta tambien.

n+ 1 = (n− 2) + 3

No podemos seguir, solo sabemos que P (n) es cierto . . .



Sea P (n) una propiedad matematica. Queremos probar que P (n) es cierta paracualquier n ≥ n0. Si se verifica que:

P (n0), P (n0 + 1), . . . , P (n1) son ciertas.

Si P (k) es cierta para cualquier k ≥ n1, entonces P (k + 1) es cierta.

Entonces P (n) es cierta para cualquier n ≥ n0.



¿Como demostrar algo usando induccion completa?

Comenzamos por enunciar la propiedad que queremos probar. Es decir, cual esla propiedad y cuales son los enteros n0 y n1.

Probamos que P (n0), P (n0 + 1), P (n0 + 2), . . . P (n1) son ciertas.

Probamos que si para cualquier k ≥ n1 se tiene que P (n1), P (n1 + 1), . . . ,P (k) son ciertas, entonces P (k + 1) es tambien cierta.

Finalmente, concluimos que usando el principio de induccion completa, P (n)es cierta para cualquier n ≥ n0.


Aritmetica Entera. Maximo Comun Divisor.


El maximo comun divisor de dos numeros a y b es el mayor entero d > 0 tal qued | a y d | b.


El maximo comun divisor es el unico entero d que cumple

d | a y d | b.si c | a y c | b ⇒ c | d

Escribimos mcd(a, b) = d.


Aritmetica Entera. Maximo Comun Divisor.

Lema

Las dos definiciones son equivalentes.

Mınimo Comun Multiplo.

El mınimo comun multiplo de a y b es el multiplo comun mas pequeno de a y b.

Lema

mcm(a, b) =a · b

mcd(a, b)


Aritmetica Entera. Algoritmo de Euclides.

Lema.

Dados dos enteros a y b se verifica que mcd(a, b) = mcd(b, r) siendo a = b · q + r con0 ≤ r < b.

Algoritmo de Euclides

Sean a y b dos enteros queremos calcular d = mcd(a, b) (a > b > 0)

a = q1b + r1 con 0 ≤ r1 < b

b = q2r1 + r2 con 0 ≤ r2 < r1

r1 = q3r2 + r3 con 0 ≤ r3 < r2

.

.

.

rn−2 = qnrn−1 + rn con 0 ≤ rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn + 0

Se trata de una sucesion de numeros naturales decreciente b > r1 > r2 > · · · > rk > · · · ≥ 0

mcd(a, b) = mcd(b, r1) = · · · = mcd(rn−2, rn−1) = mcd(rn−1, 0) = rn−1


Aritmetica Entera. Algoritmo de Euclides.

Ejemplo

Sean a = 250 y b = 111. Hallar el mcd(a, b)

250 = 111 · 2 + 28, 0 < 28 < 111111 = 28 · 3 + 27, 0 < 27 < 2828 = 27 · 1 + 1, 0 < 1 < 2727 = 1 · 27

Por tanto, el mcd(a, b) = 1.

Algorimo de Euclides.

P1 Leer a y b.

P2 n = 1, q = babc, r = a− b · q.

P3 Mientras r > 0.

n = n+ 1a = bb = rq = ba

bc

r = a− b · qP4 Retorna n y b.


Aritmetica Entera. Identidad de Bezout.

Teorema

Si d = mcd(a, b) entonces existen enteros α y β tal que

d = αa+ βb. Identidad de Bezout

Demostracion

a = q1b+ r1 con 0 ≤ r1 < b

b = q2r1 + r2 con 0 ≤ r2 < r1

r1 = q3r2 + r3 con 0 ≤ r3 < r2

...

rn−2 = qnrn−1 + rn con 0 ≤ rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn + 0


Aritmetica Entera. Identidad de Bezout.

Propiedades.

Si a, b son enteros, no nulos, tal que mcd(a, b) = d, y sea c un entero cualquiera,entonces ∃x, y ∈ Z tal que c = a · x+ b · y ⇔ c es multiplo de d

Si d = mcd(a, b) entonces d es el menor entero de la forma a · x+ b · y con x, y ∈ Z

Si d = mcd(a, b) entonces mcd(ma,mb) = md para todo m > 0

Si d = mcd(a, b) entonces mcd(ad, bd

) = 1

Si mcd(a, b) = 1 y a | c ∧ b | c entonces a · b | c

Si mcd(a, b) = 1 y a | b · c entonces a | c

Dos enteros a y b son primos entre sı (coprimos) ⇔ ∃x, y ∈ Z tales que a · x+ b · y = 1


Aritmetica Entera. Algoritmo de Euclides extendido.

El algoritmo extendido de euclides nos permite calcular el mcd de dos numeros ası como la identidad deBezout.

Pseudocodigo.

P1. Leer a y b.

P2. Hacer u′ = 1, v = 1, u = 0, v′ = 0, q = b abc, r = a− q ∗ b.

P3. Mientras r > 0 hacern = n + 1% Actualizamos los valores de u′ y de u%t = u′

u′ = uu = t− q ∗ u% Actualizamos los valores de v′ y de v %t = v′

v′ = vv = t− q ∗ v% Actualizamos los valores de a, b, q, y r %a = bb = rq = b a

bc

r = a− q ∗ bFin mientras

P4. Retorna b, u, v.


Aritmetica Entera. Ecuaciones diofanticas.

Problema.

Se trata de realizar la tarea x en 6 minutos y la tarea y en 10 minutos trabajandodurante 104 minutos. ¿Cuantas tareas x e y se pueden terminar?

Solucion.�� 6x+ 10y = 104 =⇒ Encontrar soluciones enteras y positivas.


Aritmetica Entera. Ecuaciones Diofanticas.

Definicion

Una Ecuacion Diofantica es una ecuacion con coeficientes enteros en una ovarias variables que requiere soluciones enteras.

Nos centraremos en las lineales y de dos incognitas.

Problema

Dados a, b, c ∈ Z no nulos a la vez, hallar las soluciones enteras de la ecuacionax+ by = c.


Aritmetica Entera. Ecuaciones Diofanticas

Teorema

Si a, b y c son enteros con a y b no nulos, la ecuacion diofantica ax+ by = c tienesolucion si y solo si el maximo comun divisor de a y b divide a c. En este caso, si x0

e y0 es una solucion particular, entonces todas las soluciones vienen dadas por:

x = x0 +b

mcd(a, b)k; y = y0 −

a

mcd(a, b)k, ∀k ∈ Z

Demostracion

La demostracion del teorema anterior da un procedimiento para resolverlas.


Aritmetica Entera. Resolucion de la ecuacion diofantica.

Ecuacion diofantica lineal

ax+ by = c con a, b, c enteros.

Metodo

Calculamos mcd(a, b) = d, y la identidad de Bezout (Algoritmo de Euclidesextendido).

αa+ βb = d

a. Si d divide a c entonces existe solucion.

b. Si d no divide a c entonces no existe solucion.


Aritmetica Entera. Resolucion de la ecuacion diofantica.

Metodo

Dividimos toda la ecuacion por d. Dividimos la identidad de Bezout tambien por d.

a

dx+

b

dy =

c

d, (1)

a

dα+

b

dβ = 1, (2)

Multiplicamos la ecuacion (2) porc

d. ⇒

a

d(αc

d) +

b

d(βc

d) =

c

d.

Una solucion particular de la ecuacion (1) : x0 = αc

d, y0 = β

c

dHallamos la solucion general. �

��

x = x0 − kb

d,

y = y0 + ka

d, k ∈ Z


Aritmetica Entera. Numeros primos

Dado un numero natural n,

¿Es n primo?

En caso de no ser, factorizar n.


Aritmetica Entera. Numeros primos.

Numero primo.

Un numero p > 1 es primo si sus unicos divisores son 1 y p. Un numero n se dicecompuesto si admite divisores propios.

Propiedades de los numeros primos.

Sean a y b enteros y p primo.

p|a o p y a son primos entre sı

Si p|a · b =⇒ p|a o p|b

Si p|a1 · a2 · · · ak =⇒ p|ai para algun i

(Si p no primo, esta propiedad no es cierta.)


Aritmetica Entera. Teorema Fundamental de la Aritmetica.

Teorema Fundamental de la Aritmetica.

Todo numero n entero puede escribirse de la forma unica (excepto en el orden de losfactores) como producto de primos:

n = pe11 · pe22 · · · p

ekk

donde p1, . . . , pk son primos y e1, . . . , ek son enteros positivos.

Demostracion

n compuesto natural existe p1 primo tal que n = p1 · a.

a primo −→ FIN

a no primo −→ existe p2 tal que a = p2 · b −→{b primob no primo

como ninguno es nulo y n > a > b > c · · · llegaremos a uno que sea primo.


Aritmetica Entera. Distribucion de primos.

¿Con que frecuencia aparecen los numeros primos?

Sea pn el n-esimo numero primo, es decir, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, etc. Se cumple que

pn ≤ 22n−1

para todo n ≥ 1.

¿Es buena aproximacion? NO

p4 = 7 ≤ 223

= 28 = 256


Aritmetica Entera. Teorema de Euclides.

Teorema de Euclides.

Existen infinitos numeros primos.

Propiedades.

Si p primo, p ≥ 5 entonces p es de la forma 4q + 1 o 4q + 3.

Existen infinitos primos de la forma 4q + 3.

Si a y b son enteros primos entre sı, existen infinitos primos de la forma a · q+ b.


Aritmetica Entera. Funcion π(x).

Funcion π(x)

El numero de numeros primos menores o iguales a x, se denota por π(x) y a lafuncion π se conoce como funcion de numeros primos.

Teorema de los numeros primos.

π(x)x

ln x

−→ 1 cuando x −→∞


Aritmetica Entera. Bibliografıa.

1 N. L. Biggs, Matematica discreta. Editorial Vicens Vives, 1994.

2 E. Bujalance, J. A. Bujalance, A. F. Costa, E. Martınez, Elementos dematematica discreta. Editorial Sanz y Torres, 3a Edicion. 2005.

3 F. Garcıa Merayo, Matematica Discreta.Editorial Thomson, 2a Edicion, 2005.

4 R. P. Grimaldi, Matematicas discreta y combinatoria.Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997.

5 G.A. Jones y M. Jones, Elementary number theory. Editorial Springer, 1998.

6 R. Kumanduri y C. Romero, Number Theory with Computers Applications.Prenticell Hall, 1998.

7 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications.Editorial McGraw-Hill, 2003.


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