1

Integrales de Lnea

Resumen:

El presente trabajo se encarde de estudiar y analizar las integrales de lnea, las cuales son

de gran importancia en la Matemtica Aplicada, ya que estas integrales se presentan al

momento de estudiar el Trabajo, La Energa Potencial, El Flujo de Calor, El Cambio en la

Entropa, la circulacin de un fluido y otras cuestiones fsicas en la que se estudia el

comportamiento de una campo escalar o vectorial a lo largo de la curva.

Desarrollo:

Integral de Lnea

Las integrales de lnea extienden la nocin de integral hacia otra direccin. El intervalo de una

superficie cualquiera limitado por los puntos [a, b] se reemplaza por una curva en el espacio n-

dimensional definida por una funcin vectorial y el integrando es un campo vectorial F

definido y acotado en esa curva. La integral que resulta se le denomina Integral de Lnea

pero en diferentes textos tambin es conocida como Integral Curvilnea o Integral de

Contorno, y se emplea para su representacin la siguiente nocin: .el punto se

utiliza precisamente para sugerir el producto interior de dos vectores y la curva de se le

denomina Camino de Integracin, ver Fig1.

2

Camino e Integrales de Lnea

Antes de realizar la definicin de una integral de lnea se debe recordar la definicin de curva. Sea

una funcin vectorial definida en un intervalo finito cerrado J= [a, b], cuando t va

tomando los valores de J, la funcin tdescribe un conjunto de puntos en el n-espacio

llamado grafica de la funcin. Si es continua en J la grafica se llama curva; con mayor

precisin es la curva descrita por

Al estudiar las integrales de lnea nos interesa no solo el conjunto de puntos de una curva

sino la manera como tal curva ha sido originada, esto es, la funcin una tal funcin se

llamara camino continuo.

Definicin: Sea J = [a, b] un intervalo cerrado finito de R1 y una funcin J Rn

continua en J se llama camino contino en el n-espacio. El camino se llama regular

si existe la derivada y es continua en el intervalo abierto (a, b), adems

diferente de cero para todo [, ]. El camino se llama regular a trozos si el

intervalo [a, b] puede descomponerse en un numero finito de ellos. Esos puntos

excepcionales subdividen la curva de arcos, a lo largo de cada uno de los cuales la

recta tangente va cambiando de posicin con continuidad, ver Fig2.

Fig1.Integral de Lnea

3

En al Fig2 se muestra la grafica de un camino regular a trozos. En este ejemplo la curva tiene recta

tangente en todos los puntos excepto en un numero finito de ellos. Esos puntos excepcionales

subdividen la curva en arcos, a lo largo de cada uno de los cuales la recta tangente va cambiando

de posicin con continuidad.

Definicin de Integral de Lnea: Sea un camino regular a trozos en el

n-espacio plano definido por un intervalo [a, b], y sea F un campo vectorial

definido y acotado sobre la grafica de La integral de lnea de F a lo largo de

se representa con el smbolo .

t(t)dt; esta integral

existe como integral propia o impropia

Notaciones para Integrales de Lnea

Si C representa la grafica de la integral de lnea .tambin se representa por

.

y se llama integral de F a lo largo de C.

Si a = (a) y b = brepresentan los puntos extremos de C, en ocasiones la integral de

lnea se expresa poniendo

o .

y se denomina integral de lnea de F desde a

hasta b a lo largo de Cuando se use la notacin

, deber tenerse en cuenta que la

integral depende no solamente de los extremos a y b sino tambin del camino que los

une.

Cuando a = b el camino se llama cerrado. A menudo el smbolo se usa para indicar la integracin

a lo largo del camino cerrado.

Fig2. Grafica de un camino regular a trozos en el plano

4

Cuando F y se expresan en funcin de sus componentes, se debe saber que:

F = (F1, F2,..Fn) y n

Entonces la integral se convierte en una suma de integrales expresado de la siguiente

forma:

=1 K [ (t)]K(t)dt.

En este caso la integral de lnea tambin se pone de la forma 1.d + + n.dn

En el caso del plano bidimensional ordinariamente el camino se define como un par de

ecuaciones paramtricas donde X = (t) y Y = (t); de la misma manera la integral de la

forma

.dse pude representar como

1.dx + 2

dy, o bien en su efecto con la

siguiente forma 1

(x,y)dx + 2

(x,y)dy.

Para tres dimensiones se utilizan tres ecuaciones paramtricas tal como se denota a continuacin:

X = (t), Y = (t), Z = (t) y ponemos la integral .den la forma 1.dx +

2

.dy + 3

.dz o bien 1.

(x,y,z)dx + 2

.(x,y,z)dy + 3

.(x,y,z)dz

EJEMPLO1:

Sea F un campo vectorial de dos dimensiones dado por F(x, y) = i + (3 + Y) j, para todo

(x, y) con Y 0. Calcular la integral de lnea de F desde (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada uno

de los siguientes caminos:

a) La recta de ecuaciones paramtricas X = t, Y = t, 0 t 1;

b) El camino de ecuaciones paramtricas X = t2, Y = t3, 0 t 1.

Solucin

Para el camino de la parte a) tomamos (t) = ti + tj

-----> (t) = i + j y F[(t)] = i + (3 + t) j, por consiguiente el producto interior de F[(t)]

por (t) es igual a + t3 + t y encontramos que:

.(1,1)

(0,0)d = ( + 3 + )

1

0dt = 17/12

5

Para el camino de la parte b) tomamos (t) = t2i + t3j.

----> (t) =2t i + 3 t2j y F[(t)] = t3/2 i + (6 + 3)j por consiguiente

F[(t)] . (t) = 2t5/2 + 3t8 + 3t5 a si que:

.(1,1)

(0,0)d = (2

5

2 + 38 + 35)1

0dt = 59/42

En consecuencia el ejemplo anterior pone de manifiesto que la integral desde un punto a otro

puede depender del camino que los une.

Propiedades fundamentales de las Integrales de Lnea

Puesto que las integrales de lnea se definen en funcin de integrales ordinarias, no debe

sorprender que aquellas gocen de muchas de las propiedades de estas. Por ejemplo tienen, tienen

la propiedad de linealidad respecto al integrando como se ve a continuacin donde ds=d:

6

EJEMPLO2:

Solucin

7

EJEMPLO3:

Evalu

senZ ds, donde C es la hlice circular dada por las ecuaciones X = cos(t), Y =

sen(t), Z = t, 0 t 2

Solucin

EJEMPLO4:

Evalu

dx + z dy + x dz d, donde C es el segmento de recta C1, que va de (2, 0, 0) a (3, 4,

5), seguido por el segmento de recta vertical C2 que va de (3, 4, 5) a (3, 4, 0).

Solucin

8

EJEMPLO5:

Evaluar senzdsyC

Donde C es la hlice circular

tzsentytx ,,cos , 20 t

SOLUCION

senzdsyC

= 2

0

)( dttrsentsent = 2

0

2

0

2222 21cos tdtsendtttsentsen

=

2

0

2

0

222

1

2

2)2cos1(

2

12 tsentdtt

2

9

Ejemplo 3 Evale C

xdzzdyydx , donde C es la curva que se muestra en la

siguiente figura:

SOLUCION

C2 se caracteriza por 4,3 yx , 50 z , lo parametrizaremos por z

zzzyzx ,4)(,3)(

Luego: 15333)()(40

5

0

5

0

52

zdzdzdzzyzdzzxxdzzdyydxC

.

Ya que 0)()( tytx .

Nota: Al cambiar la parametrizacin no cambia el valor de la integral de lnea.

Luego:

21

5,9)15(5,24CCC

xdzzdyydx .

(2,0,0)

(3,4,0)

(3,4,5) Z

Y X

C1 C2

Las coordenadas paramtricas de C1 son:

tx 2 , ty 4 , tz 5

Luego:

1

1

0

)()2()(5)(4C

dttztdttytdttxtxdzzdyydx = 1

0

2455)2(204 dtttdttdt .

10

Aplicaciones de la integral de lnea

1) Consideremos una curva regular 3:[ , ]a b IR

tal que 3[ , ]a b C IR

es la imagen

de

.

Sea 3:f C IR IR , una funcin continua sobre C , tal que ( , , ) 1, ( , , )f x y z x y z C

Si C es un alambre, entonces:

( , , )C C

L f x y z ds ds , representa la longitud del alambre.

2) Si 3:C IR IR , es la funcin densidad de la masa del alambre , entonces la masa del

alambre recorrido por la curva C es: ( , , )C

M x y z ds , de donde el centro de masa del

alambre en el punto ( , , )x y z viene dado por:

( , , ) ( , , ) ( , , ); ;C C C

x x y z ds y x y z ds z x y z dsx y z

M M M

3) Si ( , , )d x y z es la distancia desde el punto ( , , )x y z del alambre a una recta plano ,

entonces el momento de inercia correspondiente a la curva C , en funcin de la densidad de

masa 3:C IR IR est dado por :

2( , , ) ( , , )C

I d x y z x y z ds Como caso particular se tiene los momentos de inercia del alambre con respecto a los ejes

X,Y,Z respectivamente las cuales son:

2 2 2 2 2 2( ) ( , , ) ; ( ) ( , , ) ; ( ) ( , , )X Y Z

C C CI y z x y z ds I x z x y z ds I x y x y z ds

4) Trabajo realizado por una fuerza variable.

Consideremos una fuerza 2 2:F IR IR

tal que ( , ) ( , )i ( , ) jF x y P x y Q x y

y C un

arco de la curva en 2IR y suponiendo que una partcula se mueve a lo largo de C .

El trabajo total realizado por la fuerza F

a lo largo de la curva C es:

W= ( , ) ( , )dyCP x y dx Q x y

Para un movimiento en el espacio con la fuerza dado por un vector

( , , ) ( , , )i ( , , ) j ( , , )kF x y z P x y z Q x y z R x y z

el trabajo total realizado est dado por :

W= ( , , ) ( , , ) ( , , )CP x y z dx Q x y z dy R x y z dz

11

Ejercicios propuestos

1. Calcular la integral de lnea 2 2 2C

ds

x y z , donde C es la primera espiral de la

hlice circular cos , ,x a t y asent z bt .

2. Calcular la integral curvilnea 2 2Cx x y ds , donde C es una lnea dada por la

ecuacin 2 2 2 2 2 2( ) ( )x y a x y ( 0x mitad de la lemniscata).

3. Calcular la integral curvilnea ( )Cx y ds , donde C es la circunferencia

2 2 2x y x .

4. Calcular Cxyzds , donde C es la cuarta parte de la interseccin de las curvas

2 2 2 2 24, 1x y z x y situada en el primer cuadrante.

5. Calcular 2 2

5/3 5/3C

x dy y dx

x y

donde C es la cuarta parte del astroide

3 3cos ,x t y sen t desde el punto (1,0) hasta el punto (0,1)

6. Calcular 2 2 2C

xdx ydy zdz

x y z

donde C es el arco de la curva

22 , 2 1,x t y t z t t , que une los puntos 1(0,1,0)p y 2(2,3,2)p .

7. Calcular 2

2 22 2

2

4C

x dx ydy

x yx y

donde C es el arco de

2

2

xy de (0,0) hasta

(2,2).

8. Calcular 2Cydx xdy , si C es el entorno de un rombo en sentido inverso al de

las agujas de un reloj y cuyos lados son las rectas 1, 13 2 3 2

x y x y .

9. Encontrar el trabajo efectuado por la fuerza 2 2( , , ) ( , , )F x y z y z xyz

en el

desplazamiento:

A lo largo de la parbola 2 , 1y x z desde (0,0,1) hasta (1,1,1).

A lo largo de la parbola cbica 3, 2z x y desde (0,2,0) hasta (1,2,1).

10. Una particula se mueve a lo largo de una recta (en el espacio) que une los puntos

A(a,b,c) y B(d,e,f), debido a la fuerza

2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2( , , ) , ,

( ) ( ) ( )

x y zF x y z

x y z x y z x y z

.

Calcular el trabajo total realizado.