INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERAMECNICA Y ELCTRICA

INGENIERIA EN CONTROL Y AUTOMATIZACION

CALCULO VECTORIAL

GRUPO: 2AM1

PROF. ROSAS CISNEROS JOSE

AUTOR: GARCIA MARTINEZ CESAR ALBERTO

Integrales de lnea Hasta ahora, en el texto, se han estudiado varios tipos de integrales. En una integral simple

Se integra sobre el intervalo [a, b].

se integr sobre el intervalo [a, b]. De manera similar, en las integrales dobles

Se integra sobre la regin R.se integr sobre la regin R del plano. En esta seccin se estudia un nuevo tipo de integral llamada integral de lnea

Se integra sobre una curva C.en la que se integra sobre una curva C suave a trozos. (Esta terminologa es un poco desafortunada; este tipo de integral quedara mejor descrita como integral de curva.)Para introducir el concepto de una integral de lnea, considrese la masa de un cable de longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad (masa por unidad de longitud) del cable en el punto (x, y, z) est dada por (x, y, z). Divdase la curva C mediante los puntos

P0, P1,. . ., Pn

produciendo n subarcos. La longitud del i-simo subarco est dada por . A continuacin, se elige un punto (xi, yi, zi) en cada subarco. Si la longitud de cada subarco es pequea, la masa total del cable puede ser aproximada por la suma

Masa de cable

Si denota la longitud del subarco ms largo y se hace que se aproxime a 0, parece razonable que el lmite de esta suma se aproxime a la mesa del cable. Esto lleva a la definicin siguiente.

DEFINICIN DE INTEGRAL DE LINEA

Si f est definida en una regin que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de lnea de f a lo largo de C est dada por

Plano.

o

Espacio.

Para evaluar una integral de lnea es til convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continua, el lmite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C.

Para evaluar una integral de lnea sobre una curva plana C dada por r(t)=x(t)i+y(t)j,se utiliza el hecho de que

EVALUACION DE UNA INTEGRAL DE LINEA COMO INTEGRAL DEFINIDA

Sea f continua en una regin que contiene una curva suave C. Si C est dada por r(t)=x(t)i+y(t)j, donde entonces

Si C est dada por r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, donde entonces

Obsrvese que si f(x, y, z)=1, al integral de lnea proporciona la longitud de arco de la curva C. Es decir,

Ejercicios

1. Evalu , donde C es la mitad superior de la circunferencia unitaria , en el intervalo 0

x= cos ty= sen t

2. Evalu , donde C consiste del arco C1 de la parbola y=x2 desde (0,0) hasta (1,1) seguido por el segmento rectilneo C2 desde (1,1) hasta (1,2)

Para C1

x=x y=x2 0

Para C2 x=1y=y1

3. Evalu , donde a) C=C1 es el segmento rectilneo desde (-5,-3) hasta (0,2) y b) C=C2 es el arco de la parbola x=4-y2 desde (-5,-3) hasta (0,2).

a)

x=5t-5y=5t-3

r(t)=(1-t)r0 + tr1

r0= dx= 5 dt, dy= 5 dtr1=

b)

x= 4 y2y=y

dx = -2y dy

4. Evalu , donde C es la hlice circular dada por las ecuaciones x= cos t, y= sen t, z=t,

5. Evalu , donde C consiste del segmento rectilneo C1 desde (2,0,0) hasta (3,4,5) seguido por el segmento vertical C2 desde (3,4,5) hasta (3,4,0).Para C1

x=2 + t y=4tz=5t

Para C2

x=3 y=4z=5 - 5t

dx = 0 = dy

Al sumar las integrales

Teorema de Green Este teorema establece que el valor de una integral doble sobre una regin simplemente conexa R est determinado por el valor de una integral de lnea a lo largo de la frontera de R.Una curva C dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, donde , es simple si no se corta a si misma, es decir, para todo c y d en el intervalo abierto (a, b).Una regin plana R es simplemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra solo puntos que estn en R Sea R una regin simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj (es decir, C se recorre una vez de manera que la regin R siempre quede a la izquierda). Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que contiene a R, entonces

Se da una demostracin slo para una regin que es vertical y horizontalmente simple

Por otro lado

Por consiguiente

De manera similar, se puede usar g1(y) y g2(y) para demostrar que .

Sumando las integrales y , se llega a la conclusin establecida en el teorema.

El teorema de Green se debe considerar como el equivalente del teorema fundamental del clculo para las integrales dobles.

Ejercicios

1. Evalu , donde C es la curva triangular que consiste de los segmentos rectilneos de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1), y de (0, 1) a (0, 0)

2. Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de lnea

donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la grfica de y=x3 y desde donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la grfica de y= x.

, se sigue que

3. Evalue , donde C es la frontera de la regin semianular entre las circunferencias x2 + y2 =1 y x2 + y2 =4 en el semiplano superior.

4. Estando sometida a la fuerzaF(x, y)= y3i + (x3 + 3xy2)juna partcula recorre una vez el crculo de radio 3

5. Evaluar

donde C es la trayectoria que encierra la regin anular