el teorema de greenjana/www2/calculo_3_files/clase...el teorema de green relaciona una integral de...
TRANSCRIPT
green teorema de green ejemplos
El teorema de Green
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
16 de abril de 2011
green teorema de green ejemplos
green
green
george green
green teorema de green ejemplos
green
gossip
gossipera hijo de un panadero
fue panadero y molinerofue prácticamente autodidactapublicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su puebloentró a la universidad a los 40 años
green teorema de green ejemplos
green
gossip
gossipera hijo de un panaderofue panadero y molinero
fue prácticamente autodidactapublicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su puebloentró a la universidad a los 40 años
green teorema de green ejemplos
green
gossip
gossipera hijo de un panaderofue panadero y molinerofue prácticamente autodidacta
publicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su puebloentró a la universidad a los 40 años
green teorema de green ejemplos
green
gossip
gossipera hijo de un panaderofue panadero y molinerofue prácticamente autodidactapublicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su pueblo
entró a la universidad a los 40 años
green teorema de green ejemplos
green
gossip
gossipera hijo de un panaderofue panadero y molinerofue prácticamente autodidactapublicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su puebloentró a la universidad a los 40 años
green teorema de green ejemplos
green
contexto
contextoel teorema de green surgió en conexión con la teoría del
potencial
green teorema de green ejemplos
green
de qué se trata
de qué se tratael teorema de green relaciona una integral de un campo a lo
largo de una curva con una integral doble en la regiónencerrada por esa curva
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región y elementalD es una región y -elemental si
Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región y elementalD es una región y -elemental si
Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región y elementalD es una región y -elemental si
Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuas
Φ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región y elementalD es una región y -elemental si
Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región x-elementalD es una región x-elemental si
Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región x-elementalD es una región x-elemental si
Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región x-elementalD es una región x-elemental si
Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuas
Ψ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región x-elementalD es una región x-elemental si
Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región elementalD es región elemental si
1 D es región x-elemental y2 D es región y -elemental
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región elementalD es región elemental si
1 D es región x-elemental y
2 D es región y -elemental
green teorema de green ejemplos
regiones elementales
regiones elementales
región elementalD es región elemental si
1 D es región x-elemental y2 D es región y -elemental
green teorema de green ejemplos
orientación de las curvas borde
curvas borde
observaciónla curva borde de una región elemental es una curvasimple
(sin autointersecciones)
green teorema de green ejemplos
orientación de las curvas borde
curvas borde
observaciónla curva borde de una región elemental es una curvasimple(sin autointersecciones)
green teorema de green ejemplos
orientación de las curvas borde
orientación de la curva orde
orientación de la curva bordeorientación antihoraria o positiva
green teorema de green ejemplos
orientación de las curvas borde
orientación de la curva orde
orientación de la curva bordeorientación antihoraria o positiva
green teorema de green ejemplos
orientación de las curvas borde
orientación de la curva orde
orientación de la curva bordeorientación horaria o negativa
green teorema de green ejemplos
orientación de las curvas borde
orientación de la curva orde
orientación de la curva bordeorientación horaria o negativa
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1
lema 1D región y -elemental
C su curva borde, orientada en sentido antihorarioP : D → R de clase C1
⇒ ∫C
Pdx = −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1
lema 1D región y -elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorario
P : D → R de clase C1
⇒ ∫C
Pdx = −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1
lema 1D región y -elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorarioP : D → R de clase C1
⇒ ∫C
Pdx = −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1
lema 1D región y -elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorarioP : D → R de clase C1
⇒ ∫C
Pdx = −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostración
D
a ≤ x ≤ b
Φ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
curva borde - notación 1
C+ = C+1 + B+
2 + C−2 + B−
1
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
curva borde - notación 1
C+ = C+1 + B+
2 + C−2 + B−
1
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor un lado
∫∫D
∂P∂y
(x , y)dxdy =
∫ b
a
∫ Φ2(x)
Φ1(x)
∂P∂y
(x , y)dxdy
=
∫ b
aP(x ,Φ2(x))− P(x ,Φ2(x))dx
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor un lado
∫∫D
∂P∂y
(x , y)dxdy =
∫ b
a
∫ Φ2(x)
Φ1(x)
∂P∂y
(x , y)dxdy
=
∫ b
aP(x ,Φ2(x))− P(x ,Φ2(x))dx
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor un lado
∫∫D
∂P∂y
(x , y)dxdy =
∫ b
a
∫ Φ2(x)
Φ1(x)
∂P∂y
(x , y)dxdy
=
∫ b
aP(x ,Φ2(x))− P(x ,Φ2(x))dx
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor un lado
∫∫D
∂P∂y
(x , y)dxdy =
∫ b
a
∫ Φ2(x)
Φ1(x)
∂P∂y
(x , y)dxdy
=
∫ b
aP(x ,Φ2(x))− P(x ,Φ2(x))dx
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor otro lado
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx =
∫ b
a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx
= −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor otro lado
∫C+
Pdx =
∫C+
1
Pdx +
∫B+
2
Pdx +
∫C−
2
Pdx +
∫B−
1
Pdx
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx =
∫ b
a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx
= −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor otro lado
∫C+
Pdx =
∫C+
1
Pdx +
∫C−
2
Pdx
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx =
∫ b
a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx
= −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor otro lado
∫C+
Pdx =
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx =
∫ b
a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx
= −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor otro lado
C+1 = (x ,Φ1(x)) y C+
2 = (x ,Φ2(x)) con x ∈ [a,b]
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx =
∫ b
a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx
= −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor otro lado ∫
C+
Pdx =
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx
C+1 = (x ,Φ1(x)) y C+
2 = (x ,Φ2(x)) con x ∈ [a,b]
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx =
∫ b
a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx
= −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor otro lado ∫
C+
Pdx =
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx =
∫ b
a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx
= −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 1 - demostración
lema 1 - demostraciónpor otro lado ∫
C+
Pdx =
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx
∫C+
1
Pdx −∫
C+2
Pdx =
∫ b
a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx
= −∫∫
D
∂P∂y
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 2
lema 2D región x-elemental
C su curva borde, orientada en sentido antihorarioQ : D → R de clase C1
⇒ ∫C
Qdy =
∫∫D
∂Q∂x
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 2
lema 2D región x-elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorario
Q : D → R de clase C1
⇒ ∫C
Qdy =
∫∫D
∂Q∂x
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 2
lema 2D región x-elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorarioQ : D → R de clase C1
⇒ ∫C
Qdy =
∫∫D
∂Q∂x
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
lema 2
lema 2D región x-elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorarioQ : D → R de clase C1
⇒ ∫C
Qdy =
∫∫D
∂Q∂x
dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
observación
curva borde - orientación
C+ = C−1 + B−
2 + C+2 + B+
1
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
observación
curva borde - orientación
C+ = C−1 + B−
2 + C+2 + B+
1
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
teorema de green
teorema de greenD región elemental
C curva borde orientada en sentido antihorarioP,Q : D → R son de clase C1
⇒ ∫C
Pdx + Qdy =
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
teorema de green
teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido antihorario
P,Q : D → R son de clase C1
⇒ ∫C
Pdx + Qdy =
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
teorema de green
teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido antihorarioP,Q : D → R son de clase C1
⇒ ∫C
Pdx + Qdy =
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
teorema de green
teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido antihorarioP,Q : D → R son de clase C1
⇒ ∫C
Pdx + Qdy =
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
teorema de green
teorema de greenD región elemental
C curva borde orientada en sentido anithorarioX : D → R2 campo C1
⇒ ∫C
Xdα =
∫∫D
rot(X )kdxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
teorema de green
teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido anithorario
X : D → R2 campo C1
⇒ ∫C
Xdα =
∫∫D
rot(X )kdxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
teorema de green
teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido anithorarioX : D → R2 campo C1
⇒ ∫C
Xdα =
∫∫D
rot(X )kdxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
teorema de green
teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido anithorarioX : D → R2 campo C1
⇒ ∫C
Xdα =
∫∫D
rot(X )kdxdy
green teorema de green ejemplos
teorema de green - demostración
forma vectorial del teorema de green
forma vectorial del teorema de green
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
generalización del teorema de green
generalización del teorema de greenel teorema de green es válido
para toda región Dque sea unión finita de regiones elementales
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
generalización del teorema de green
generalización del teorema de greenel teorema de green es válidopara toda región D
que sea unión finita de regiones elementales
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
generalización del teorema de green
generalización del teorema de greenel teorema de green es válidopara toda región Dque sea unión finita de regiones elementales
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
ejemplo
ejemplo
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
orientación
llamamos ∂D a la curva borde orientada como
si caminamos alrededor de D, D queda a la izquierda
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
orientación
llamamos ∂D a la curva borde orientada como
si caminamos alrededor de D, D queda a la izquierda
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
teorema de green - final
teorema de green - finalD unión finita de regiones elementales
X campo plano C1
⇒ ∫∂D
Xdα =
∫∫D
rot(X ).kdxdy
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
teorema de green - final
teorema de green - finalD unión finita de regiones elementalesX campo plano C1
⇒ ∫∂D
Xdα =
∫∫D
rot(X ).kdxdy
green teorema de green ejemplos
generalizaciones del teorema de green
teorema de green - final
teorema de green - finalD unión finita de regiones elementalesX campo plano C1
⇒ ∫∂D
Xdα =
∫∫D
rot(X ).kdxdy
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy = 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy = 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy = 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0
= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy = 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy = 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy = 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy
= 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy = 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad
∫∂D
Pdx + Qdy =
∫ 2π
0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt
=
[cos2
2− cos3 t
3
]2π
0= 0
∫∫D
(∂Q∂x− ∂P∂y
)dxdy =
∫∫D
ydxdy = 0
por simetría de D
green teorema de green ejemplos
área
área de una región
área de una regiónD unión finita de regiones elementales
∂D curva cerrada simple⇒
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
green teorema de green ejemplos
área
área de una región
área de una regiónD unión finita de regiones elementales∂D curva cerrada simple
⇒área(D) =
12
∫∂D
xdy − ydx
green teorema de green ejemplos
área
área de una región
área de una regiónD unión finita de regiones elementales∂D curva cerrada simple⇒
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
green teorema de green ejemplos
área
demostración
demostración
12
∫∂D
xdy − ydx =
12
∫∫D
(∂x∂x− −∂y
∂y
)dxdy
=12
∫∫D
(1 + 1)dxdy = área(D)
green teorema de green ejemplos
área
demostración
demostración
12
∫∂D
xdy − ydx =12
∫∫D
(∂x∂x− −∂y
∂y
)dxdy
=12
∫∫D
(1 + 1)dxdy = área(D)
green teorema de green ejemplos
área
demostración
demostración
12
∫∂D
xdy − ydx =12
∫∫D
(∂x∂x− −∂y
∂y
)dxdy
=12
∫∫D
(1 + 1)dxdy
= área(D)
green teorema de green ejemplos
área
demostración
demostración
12
∫∂D
xdy − ydx =12
∫∫D
(∂x∂x− −∂y
∂y
)dxdy
=12
∫∫D
(1 + 1)dxdy = área(D)
green teorema de green ejemplos
área
demostración
demostración
12
∫∂D
xdy − ydx =12
∫∫D
(∂x∂x− −∂y
∂y
)dxdy
=12
∫∫D
(1 + 1)dxdy = área(D)
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
calcular el área de la regiónencerrada por la hipocicloide
x23 + y
23 = a
23
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
=32
a2∫ 2π
0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt
=32
a2∫ 2π
0sin2 t cos2 tdt
=38
a2∫ 2π
0sin2 2tdt =
316
a2∫ 2π
0(1− cos 4t)dt
=38πa2
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
=32
a2∫ 2π
0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt
=32
a2∫ 2π
0sin2 t cos2 tdt
=38
a2∫ 2π
0sin2 2tdt =
316
a2∫ 2π
0(1− cos 4t)dt
=38πa2
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
=32
a2∫ 2π
0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt
=32
a2∫ 2π
0sin2 t cos2 tdt
=38
a2∫ 2π
0sin2 2tdt =
316
a2∫ 2π
0(1− cos 4t)dt
=38πa2
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
=32
a2∫ 2π
0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt
=32
a2∫ 2π
0sin2 t cos2 tdt
=38
a2∫ 2π
0sin2 2tdt =
316
a2∫ 2π
0(1− cos 4t)dt
=38πa2
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
=32
a2∫ 2π
0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt
=32
a2∫ 2π
0sin2 t cos2 tdt
=38
a2∫ 2π
0sin2 2tdt =
316
a2∫ 2π
0(1− cos 4t)dt
=38πa2
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
=32
a2∫ 2π
0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt
=32
a2∫ 2π
0sin2 t cos2 tdt
=38
a2∫ 2π
0sin2 2tdt
=3
16a2∫ 2π
0(1− cos 4t)dt
=38πa2
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
=32
a2∫ 2π
0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt
=32
a2∫ 2π
0sin2 t cos2 tdt
=38
a2∫ 2π
0sin2 2tdt =
316
a2∫ 2π
0(1− cos 4t)dt
=38πa2
green teorema de green ejemplos
área
ejemplo 2
ejemplo 2
α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]
área(D) =12
∫∂D
xdy − ydx
=32
a2∫ 2π
0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt
=32
a2∫ 2π
0sin2 t cos2 tdt
=38
a2∫ 2π
0sin2 2tdt =
316
a2∫ 2π
0(1− cos 4t)dt
=38πa2
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3
X (x , y) = (xy2, y + x)
Integrar rot X .k en Ddonde D región del 1er cuadrante acotada por las curvas:
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3
X (x , y) = (xy2, y + x)
Integrar rot X .k en D
donde D región del 1er cuadrante acotada por las curvas:
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3
X (x , y) = (xy2, y + x)
Integrar rot X .k en Ddonde D región del 1er cuadrante acotada por las curvas:
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3
X (x , y) = (xy2, y + x)
Integrar rot X .k en Ddonde D región del 1er cuadrante acotada por las curvas:
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt =
54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt
=43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54
= 112
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]
∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt =
54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt
=43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54
= 112
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt =
54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt
=43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54
= 112
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt
=54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt
=43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54
= 112
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt =
54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt
=43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54
= 112
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt =
54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt
=43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54
= 112
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt =
54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt =
43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54
= 112
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt =
54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt =
43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54
= 112
green teorema de green ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −
∫α1
Xdα +∫α2
Xdα
donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1
Xdα =
∫ 1
0(t3 + 2t)dt =
54
∫α2
Xdα =
∫ 1
0(t5 + 2t2 + 2t3)dt =
43
⇒∫∫
D rot Xkdxdy = 43 −
54 = 1
12