teorema de green avance
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7/25/2019 Teorema de Green Avance
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FACULTAD DE
INGENIERACARRERA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL
Ttulo de Investigacin:
TEOREMADE GREEN CON APLICACIN CLCULO III
Integrantes:
Cojal Aguilar, Carlos Ivn
L!a"a L#$!, %&a""ar Alviro
O'as Cul(ui, C)sar E*uar*o
Crisologo Lli'o E*i+& Lis+&
-aja&uan'a A'u.a, /in0lin+on
Docente:
Li'1 C&ris+ian Murga Tira*o
Caja"ar'a 2 Pr3 4567
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CALCULO III
INDICE
1. INTRODUCCIN...................................................................................1
2. OBJETIVOS..........................................................................................2
2.1. OBJETIVOGENERAL...........................................................................................2
2.2. OBJETIVOESPECFICO........................................................................................2
CAPITULO 1: MARCO TERICO.....................................................................3
1. EL TEOREMA DE GREEN...................................................................................31.1. Teorema de Green-Riemann..............................................................................4
1.2. Teorema de Green para regiones mltiplemente conexas..........................................5
1.3. Principio De Independencia De La Trayectoria......................................................5
2. INTEGRAL DE LINEA.........................................................................................7
CAPITULO 2: APLICACIN...........................................................................8
CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS............................................................9
CONCLUSIONES.......................................................................................23
REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)...............................................24
ANEXOS.................................................................................................25
1. INTRODUCCIN
En el presente trabajo se da a conocer el concepto y aplicacin del teorema de Green as
como tambin parte de la integral de line ya que el teorema de Green est relacionado
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con este. El teorema de Green nos dice que la integral de una funcin sobre un conjunto
S = [a b! es igual a una funcin relacionada "la anti#deri$ada% e$aluada de cierta manera
sobre la frontera de S en esta caso solo consta de do puntos a y este teorema da la
relacin entre una integral de lnea alrededor de una cur$a cerrada simple & y una
integral doble sobre la regin plana ' limitada por &.
(ediante este trabajo se presentara como se desarrolla el teorema de Green del mismo
modo resol$ern ejercicios relacionados a este y finalmente se presentara una
aplicacin del teorema de Green.
)ara ello se *a seleccionado pre$iamente bibliografa adecuada las cuales definen
trminos basados en el desarrollo de integrales se e+ponen ecuaciones para resol$er
problemas de integrales de superficie y reas. Esta sntesis presenta diferentes formas de
resol$er problemas de clculo $ectorial mediante el ,eorema de Green.
2. OBJETIVOS.
2.1. O!"#$%& G"'"a.
-naliar y e+plicar el teorema de Green
2.2. O!"#$%& E*+",-$,&
'efinir los procesos y desarrollo del teorema de Green.
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CALCULO III
-prender las aplicaciones del teorema de Green.
/esol$er ejercicios relacionados al teorema de Green.
'esarrollar un problema de aplicacin del teorema de Green.
DESARROLLO DEL TEMA.
CAPITULO 1: MARCO TERICO.
1. EL TEOREMA DE GREEN.
El teorema de Green relaciona la integral de lnea de un campo $ectorial sobre una
cur$a plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la cur$a.
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Este tipo de teoremas resulta muy 0til porque dados un campo $ectorial y una
cur$a cerrada simple sobre la cual *ay que integrarlo podemos elegir la posibilidad
m1 as simple entre integrar el campo directamente sobre la cur$a o bien integrar la
diferencia de sus deri$adas parciales cruadas sobre el recinto que delimita la cur$a
"&-)2,345 667 E4 ,E5/E(- 'E G/EE8 s.f.%
T"&"/a: Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente
orientada, en el planoR2, y seaDla unin de la regin interior a C. Sea F (P,
Q): ! "#un campo vectorial de clase C$. %ntonces se tiene &ue:
P dx+Q dyD
0
Q
x
P
y
C
0
Na 0$*#$,a.El teorema de Green toma su nombre del cientfico ingls autodidacta
George Green "69:; < 6>6% quien trabajo en la panadera de su padre
desde los nue$e a?os de edad y aprendi matemticas por s mismo por
medio de libros de la biblioteca. En 6@ publico pri$adamente un
ensayo titulado A-n Essay on t*e -pplication of (at*ematical -nalysis
to t*e ,*eories of Electricity and (agnetismB "3n ensayo sobre la
aplicacin del -nlisis (atemtico a las ,eoras de la Electricidad y el
(agnetismo% del que solo se imprimieron 6CC copias la mayor parte de
las cuales fueron a parar a manos de sus amigos.El panfleto contena un teorema que es equi$alente a lo que *oy
conocemos como el teorema de Green pero no fue ampliamente
conocido en aquella poca. Dinalmente a los >C a?os de edad Green
entro a la uni$ersidad de &ambridge pero muri cuatro a?os despus de
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graduarse. En 6> Filliam ,*ompson "4ord el$ n% encontr una copia
del ensayo de Green comprendi su importancia y lo *io reimprimir.
"EE2 @C6@%
1.1. T"&"/a " G""'R$"/a''.
Sea Runa regin del plano simplemente cone+a y acotada y supongamos que
Ces la cur$a cerrada y simple que en$uel$e a la regin / orientada en sentido
positi$o. Supondremos que la cur$a anterior es rectificable. Si P(456)y 7(456)
son dos campos escalares definidos sobre / deri$ables y con deri$adas
parciales continuas se $erifica que7
c
0
P (x , y ) dx+Q(x , y )dy=R
0
(Q x P Y)dxdy
&omo consecuencia de este teorema podemos enunciar7
T"&"/a:Sea un campo $ectorial F(456) 8 (P(456)5 7(456))deri$able
con deri$adas continuas sobre la regin / simplemente cone+a y
acotada y supongamos que ( Q x = P y ) en todo el conjunto R. Entonces F(456) 8 (P(456)5 7(456))es un campo gradiente.
Ha sabamos tambin que si D era un campo gradiente resultaba que
( Q x = P
y )
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1.2. T"&"/a " G""' +aa "9$&'"* /#$+"/"'#" ,&'"4a*.
Sea un conjunto / del plano simplemente cone+o y denominamos por & I
[email protected] a AnB subconjuntos simplemente cone+os contenidos en /.
Supondremos que si & es la cur$a que en$uel$e a / y &Ila que en$uel$e a cada
/I todas esas cur$as son cerradas regulares simples y orientadas
positi$amente.
En estas condiciones si T=R k=1n R k y admitimos que el campo
$ectorial es deri$able con deri$adas continuas sobre la regin , se $erifica
que7
c
0
P (x , y ) dx+Q(x , y )dyk=1
n
C
k
0
P (x , y )dx+Q(x , y )dy=T
0
( Q x P
Y)dxdy
1.3. P$',$+$& D" I'"+"'"',$a D" La Ta6",#&$a.
Sea f "% una funcin analtica en todo punto de un dominio simplemente
cone+o ' y sean 6 y @dos puntos de '. entonces s usamos contornos
contenidos en ' el $alor de x
1
x2
f(z ) dz no depender del contorno utiliado
para ir de 6a @.
'emostracin. Sea ' un dominio simplemente cone+o y &6y &@dos contornos
en ' sin interseccin que $an de 6a @. Se tiene que los contornos &6y < &@
forman un contorno cerrado simple que denominaremos &. 4uego por el
teorema de &auc*y#Goursat.
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C
0
f(z ) dz=0
)ero7
C
0
f(z ) dz=C
1
0
f(z ) dz+C
2
0
f(z ) dz
C
1
0
f(z ) dzC
2
0
f(z ) dz
)or lo tanto
C
1
0
f(z ) dz=C
2
0
f(z ) dz
4o cual indica que la integral desde 6*asta @es as independiente del contorno
seguido en tanto ese contorno se encuentre dentro de '.
'el principio de la independencia de la trayectoria podemos definir la primiti$a
de una funcin de $ariable compleja. Sea f"% una funcin analtica en un
dominio simplemente cone+o '. Sea Cen un punto de '. 4a funcin D"%
definida en ' por7
F(z )=z0
z
f( s) ds+C1
'onde & es una constante compleja se denomina integral indefinida o primiti$a
de f. En realidad f"% posee un n0mero infinito de primiti$as. 'ic*as primiti$as
difieren en $alores constantes y son analticas en ' y satisfacen7
F '(z )= f(z)
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CALCULO III
3samos la integral indefinida Jf"% d para indicar todas las posibles primiti$as
de f"%. El $alor de la constante correspondiente a una primiti$a especfica
z
0
z
f( s )ds queda determinado por el lmite de integracin inferior.
2. INTEGRAL DE LINEA.
En matemticas una integral de lnea o cur$ilnea es aquella integral cuya funcin
es e$aluada sobre una cur$a. En el caso de una cur$a cerrada en dos dimensiones o
del plano complejo se llama tambin integral de contorno.
Ejemplos prcticos de su utiliacin pueden ser7 el clculo de la longitud de una
cur$a en el espacio o tambin para el clculo del trabajo que se realia para mo$er
alg0n objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fueras
"descritos por campos $ectoriales% que act0en sobre el mismo.
I'#"9a ,;%$-'"a " ;' ,a/+& "*,aa
)ara f7 /@K / un campo escalar la integral sobre la cur$a & "tambin llamada integral de
trayectoria% parametriada como r"t% = +"t%i L y"t%j con t [a b! est definida como7
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CALCULO III
x ( t) , y (t)[x '(t)]2
+[x '( t)]2
dt
f
f(r (t))r '(t)dt=a
b
fds=a
b
C
0
'nde7 r7 [a b! K & es una parametriacin biyecti$a arbitraria de la cur$a & de tal manera
que r"a% y r"b% son los puntos finales de &. 4as integrales de trayectoria son independientes
de la parametriacin r"t% porque solo depende de la longitud del arco tambin son
independientes de la direccin de la parametriacin r"t%.
CAPITULO 2: APLICACIN
Se dejara caer una canica por una cur$a que $iene modelada por la ecuacin7 la altura
desde donde carera la canica es de un 6m. al igual que la distancia *oriontal que
corresponde a 6m.
y = MC.C@@+# 6;.@;+ML @M6.C@+># 6M:.+;L >.;MM+@# 9.6:@:+ L 6.CC;9.
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CALCULO III
(ediante el teorema de Green se determinara la distancia recorrida por la canica.
CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS.
1. &alcular ydxxdy donde es da frontera del cuadrado [#6.6! +
[#6.6! orientada en sentido cntario al de las agujas del reloj.
S&;,$'
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CALCULO III
)or el tema de Green si llamamos ' al interior del cuadrado
entonces
Pdx+Qdy=D( Q x P y)dxdy
&omo P (x , y )=y ,Q (x , y )=x resultado en este caso
I=D
2 dxdy=2area (D )=8
2. 3sar el teorema de Green para calcular (y2+x2 ) dx+x4 dy donde
es el permetro de [ 0,1 ]x [0,1 ] en sentido positi$o.
S&;,$':
&omo P (x , y )=y2+x3 , Q (x , y )=x4 entonces
Q
x
P
y=4x32y .
'e este modo si 'es el interior del cuadrado [ 0,1 ]x [0,1 ] por el
teorema de Green
I=D
0 ( 4x32y ) dxdy=0
1 ( 4x32y ) dy=0
1 ( 4x31 ) dx=0
3. Sea F=(2x3y3 , x3+y3) .
a% &alcular D ds donde es la circunferencia unidad recorrida en
sentido anti*orario.
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CALCULO III
b% Nerificar el teorema de Green cuando es la frontera de regin
anular descrita por a x2+y2 b orientada en sentido positi$o.
S&;,$':
a% Si llamamos )"+ y% = 2x3+y3 O"+ y% = x
3+y3 entonces
Q
x
P
y=3x2+3y2 . )or
el teorema de Green I=D(3x2+3y2 ) dxdy, dondees el circulo
x2+y2 1. (ediante un cambio a coordenadas polares la integral
queda de la forma
I=0
2
d=0
1
3 !2
"!d!=3
2
b% Si aplicamos el teorema de Green la situacin es anloga a la del
apartado "a% donde a*ora la regin ' es la corona circular a
x2+y2 b
.
El cambio a coordenadas polares en este caso nos conduce a
I=0
2
d=0
b
3 !2
"!d!=3 2 b
4a4
4 =
3 (b4a4)4
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CALCULO III
Si queremos resol$er la integral de forma directa debemos
descomponer la trayectoria en dos cur$as7 C1 es la circunferencia
e+terior x2+y2=b2 recorrida en sentido anti*orario y &@ la
circunferencia interior x2+y2=a2 recorrida en sentido *orario. Si
parametriamos ambas cur$as como7
C1={x=bc#sty=bsent0 t 2 P C1={
x=ac#sty=asent0 t 2
/esulta
I=C1
0
F ds+C2
0
F ds
0
2
[ (2 b3 cos3 tb3 sen3t)(bsent)+(b3 cos3t+b3 sen3t)(bc#st)] dt
+0
2
[ (2 a3 cos3 ta3 sen3 t)(asent)+(a3cos3t+a3 sen3 t)(ac#st)] dt
0
2
[ (b4
+a4
) (2 sentcos3
t+sen3
t c#st)+(b4
a4
)(cos4
t+sen4
t)] dt
3 (b4a4)
2
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CALCULO III
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CALCULO III
=. &alcular el rea de la elipsex
2
a2+
y2
b2=1.
S&;,$'
,eniendo en cuenta el ejercicio anterior podemos aplicar la formula
%=$ Dxdy " )ara ello parametriamos la frontera de la elipse por
las ecuaciones
{x=bc#st,y=bsent ,
0t 2
'e este modo
I=0
2
ac#stbc#st dt=0
2 1+cos 2t
2 dt=
ab
2 2 =ab"
>. 3sar el teorema de Green para calcular la integral de lnea
c y3dx+(x3+3x y 2 ) dy donde & es el camino de "CC% a "66% sobre la
grfica de y=x3y de "66% a "CC% sobre la grfica y=+.
SOLUCIN
c y3dx+(x3+3x y 2 ) dy=R( dQdx dPdy)dxdy
{ P=y3dQ
dy=3y2
Q=x3+xydQ
dx=3x2+3y2
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CALCULO III
c y3dx+(x3+3x y2 ) dy=R (3x2+3y 2 )3y2 dxdy
R (3x2) dxdy
0
1
(x
3
x
3x2)dy
0
1
(3x3+3x5 ) dx
(3x4
4
x6
6)01
3
4
1
2
1
4
?. &alcula el rea de la elipse7x
2
a2+
y2
b2=1
SOLUCION:
)odemos aplicar la frmula7 -= dD
xdy . "-plicando teorema de gren%
)ara ello parametriamos la frontera de la elipse por las ecuaciones
= a cos t
H= b sen t
"C T t T @
%
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CALCULO III
'e este modo7
-= #
2
acos t " bcos t dt = ab 0
2 1+cos2 t
2 dt =
ab
2 " 2 =ab
@. .&alcular7 c
(x+2 ) ds, s&end# C 'a c!ra dada (#r
r"t%=tiL4
3t
3 /2
jL1
2t
2
I 0t 2
SOLUCION:
'e rB"t%=iL@ t1 /2
jLtIy
r ( t ) right rdline =
z ( t ) right ] 2}
[x ( t ) right ] 2+ left [y (t) ]2+
= 1+4 t+t2
Se sigue que7
c
(x+2) ds = 0
2
( t+2 )1+4 t+t2 dt
=
1+4 t+t2
2( t+2 )
1
20
2
dt e$aluado en C y @
)15 "2
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CALCULO III
. (ediante la frmula de Green calcular la integral c
(2x3y3 ) dx+ (x3+y3 ) dy
donde &es el circulo x2
+y2
=1
S&;,$'
c
(2x3y3 ) dx+ (x3+y3 ) dy = D
( Q
x
P
y) d-
{P=2x3y3
Q=x3y3
{ P
x=3y2
Q
y=3x2
c
(2x3y3 ) dx+ (x3+y3 ) dy = D
3 (x2+y2 ) d% donde '7 x2+y2 1
)asando a coordenadas polares +=rcos * y=sen * C * 2 y 0r 1"
c
(2x3y3 ) dx+ (x3+y3 ) dy
= D
3 (x2+y2 ) d%
=
3 r2rdr
0
1
d*
0
2
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x
y
1
1
y = 1 - x
CALCULO III
= 32
1. ,ransformacin de una
integral de lnea en
una de rea. E$aluar
C
"
+
4
dx+xy dx
donde & es la cur$a
triangular que une los
puntos "CPC% "CP6% y
"6PC% orientada
positi$amente.
S&;,$':
4a grfica indica la regin encerrada por la cur$a &. ,enemos7
P (x , y )=+4dPdy =0
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CALCULO III
Q (x , y )=xy dQ
dx=y
)or lo tanto7
dQ
dx
(dP
dy )d%
C
"
x4
dx+xy dx=D
"
1
2
1x310=
1
6
1
2(1x )2 dx=
16
(y21x
0
)=0
1
ydydx=0
1
0
1+
0
1
11. (ientras est bajo la accin de la fuera F(xy )=y3
&+ (x3
+x y2
)- una
partcula da una $uelta a la circunferencia de radio ; usar el teorema de Green
para *allar el trabajo realiado por F .
SOLUCIN
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CALCULO III
.=C
F " dr=C
y3
dx+ (x3+x y2 ) dy=D
3x2
dxdy
)asando a coordenadas polares r=; 0 * 2
3 r2cos
2*rdr
0
3
d*
3x2
dxdy=0
2
.=D
0
2
(r 4cos2*)0
3d*
3
4
340
2
(cos2*)d*
243
8[*+ sen 2 *2 ]02
243
8
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CALCULO III
12. El pr+imo ejemplo ense?a cmo utiliar una integral de lnea para *allar la
masa de un muelle en forma de *lice de densidad $ariable. En la figura 6>.66
tngase en cuenta que la densidad aumenta conforme la *lice asciende entorno
al eje .
&alcular la masa de un muelle que tiene la forma de la *lice circular
r"t%=1
2 "costiLsentjLtI%0t 6
Si la densidad del muelle $iene dada por / (x , y , z )=1+z ( f&0!ra 14.11 )
SOLUCIN
r ( t ) right rdline =
1
2(sent)2+(c#st)2+ (1)2 =6
4a masa del muelle es7
(asa= c (1+z ) ds = 0
6
"6L
t
2 % dt
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CALCULO III
2ntegrando y e$aluando en C y se tiene7 )144 "4!
13. 3tilice el ,eorema de Green para calcular la integral C
(yx ) dx+(2xy )dy
donde & es la frontera de la regin situada en el interior del rectngulo limitado
por =#M =M H=#; H=; y en el e+terior del cuadrado limitado por =#@ +=6
H=#6 H=6
c (yx ) dx+(2xy )dy
= R
(21 ) d%
=
3
3
dydx1
1
1
1
dydx
5
5
=
(3(3 )) dx1
1
( 1(1 ) ) dx
5
5
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y
xa
b
C2
C1
CALCULO III
= 5
5
6 dx1
1
2 dx
= (5 (5)) .62(1(1 ))
=M
1
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CALCULO III
'onde es la densidad superficial de la arandela supuesta constante dado que es
*omognea.
Esta regin no es simplemente cone+a pero como se $io en la teora se puede e+tenderel teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros siendo7
)or lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos
integrales. )ara ello debemos encontrar funciones ) O tales que7
-plicando Green con esta funcin tenemos7
"6%
)arame triando estas cur$as tenemos
/eemplaando con esto en "6% tendremos7
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CALCULO III
Usta es la manera estndar de e+presar un momento de inercia7 como el producto de una
longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rgido.
1=. &alcular
arct0x+y
( 2)dx+
c
0" e
yx2dy
'onde & es el camino que encierra la regin anular de la figura 6>.;6
S&;,$':
En coordenadas polares / $iene dada por1 r 3
y0 *
-demas
-
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CALCULO III
12
1x
13
1y =#@+#@y=#@"rcos *+rsen*
-s pues por el teorema de Green7
arct0x+y(2)dx+
c
" e
yx2dy = R
#@"+Ly% d-
=
2 r (c#s*+se* )rdrd*
0
1
3
=104
3
-
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CALCULO III
CONCLUSIONES
-naliamos las 2ntegrales de lnea independiente de la trayectoria.
E+plicamos el ,eorema de Green.
'efinimos integrales de lnea.
&omparamos las diferentes definiciones de la bibliografa escogida.
'efinimos los procesos y desarrollo del teorema de Green.
/esol$imos ejercicios y problemas usando ecuaciones las 2ntegrales
de lnea independiente de la trayectoria y a la $e los ,eoremas de
integrales de lnea entre ellos el ,eorema de Green.
-prendimos los mtodos e+istentes para resol$er las 2ntegrales de
lnea independiente de la trayectoria.
-prendimos las aplicaciones de este tipo de integrales de lnea.
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CALCULO III
REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)
2ntegrales de lnea. ,eorema de Green Vos -ntonio Nallejo
*ttp7WWes.XiIipedia.orgWXiIiW2ntegralYdeYlZ&;Z-'nea
*ttps7WWes.I*anacademy.orgWmat*Wmulti$ariable#alculusWlineYintegralsYtopicntegrales de
lnea 2S-E4 (-//E/5 'epartamento de -nlisis (atemtico
*ttp7WWXXX.uantof.clWfacultadesWcsbasicasW(atematicasWacademicosWemartineWcalculo;Wl
inea$ecWlinea$ec.*tml
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7/25/2019 Teorema de Green Avance
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CALCULO III
ANEXOS
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