INTEGRACIÓN POR PARTES

Cálculo IIProfesor: Salvador Rosas CastillaJesús Emiliano Toscano Jiménez

• Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente.

• La regla que corresponde a la regla del

producto en la derivación es la regla de integración por partes.

Por regla se sabe que:

Por lo tanto, la diferencial del producto entre dos funciones es:

Así que al integrar ambos lados de la ecuación obtenemos lo siguiente:

Pero como en la parte izquierda de la ecuación, el operador integral y diferencial son operaciones contrarias nos llevan al término original .

De esta manera la ecuación quedaría como la siguiente:

Si en esta nueva ecuación se toma a como una integral problema que hay que resolver, entonces podemos despejarla y reordenando la ecuación nos quedaría de la siguiente manera :

A esta fórmula se le conoce como “la fórmula de integración por partes”.

Al momento de decidir sobre que valores asignar a y se intenta elegir a como una función que se simplifique al derivar o que al menos no se vuelva mas complicada y a como una función que se simplifique o mantenga el mismo grado de complejidad al integrar.

EJEMPLOS

ENCUENTRE

Se propone que:

−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥¿ +¿

𝑥 − 𝑑𝑥

+𝑠𝑒𝑛𝑥¿−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

EVALUAR Se propone que ; Al sustituir términos, se obtiene

∫ ln𝑥 𝑑𝑥=¿¿𝑥ln 𝑥−∫𝑥𝑑𝑥𝑥

¿𝑥 ln𝑥−∫𝑑𝑥¿𝑥 ln𝑥−𝑥

DETERMINAR

Se propone que u= dv=

∫𝑡 2𝑒𝑡 𝑑𝑡=¿¿ 𝑡 2𝑒𝑡−∫𝑒𝑡 2 𝑡𝑑𝑡

¿𝑡 2𝑒𝑡−2∫𝑡𝑒𝑡 𝑑𝑡 …(1)

Volviendo a integrar por partes la integral de la ecuación (1) se propone:

…(2) Se sustituye la ecuación (2) en la ecuación (1) se obtiene la siguiente ecuación:

coloración

2 (𝒕 𝒆𝒕−𝒆𝒕 )

Encontrar Sean: entonces

…(a)

𝑥cos ln 𝑥− [

Se vuelve a integrar por partes le integral de la ecuación (a)

Tomando en cuenta se propone

por lo tanto

∫𝐜𝐨𝒔 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 …(b)

De esta manera al sustituir la ecuación (b) en el segundo término del segundo miembro de la ecuación (a), obtenemos:

Acción

𝑥 122∫cos ln𝑥 𝑑𝑥=¿

EJERCICIOS