Integración

Integrales indefinidas

Hasta ahora, en nuestro estudio del cálculo, nos hemos interesado en este

problema: dada una función hallar su derivada. No obstante, muchas aplicaciones

importantes del cálculo están relacionadas con el problema inverso: dada una

derivada de una función F que tiene la siguiente derivada:

𝐹′(𝑥) = 3𝑥2

Una solución al problema anterior será 𝐹(𝑥) = 𝑥3, por que 𝑑

𝑑𝑥[𝑥3] = 3𝑥2. Por lo

tanto llamaremos a F una Antiderivada o primitiva para 𝐹′(𝑥). Por conveniencia

usaremos 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥), para expresar que 𝐹(𝑥) es una Antiderivada de 𝑓(𝑥).

Definición de Antiderivada

“se le llama a una función F Antiderivada o primitiva de la función f, si para todo x

del dominio de f se cumple que:

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Ahora bien, si F es una Antiderivada de f en un intervalo I, entonces, 𝐹(𝑥) + 𝑐, con

c como constante, también es una Antiderivada para todo x en I”

Notación de las Antiderivada

Si 𝑦 = 𝐹(𝑥) es una Antiderivada de 𝑓, entonces se dice lo siguiente:

𝒚 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒄

∫ = 𝑆í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙

𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

𝐹(𝑥) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎

𝑐 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Algunas reglas básicas de integración:

1) ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ

2) ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

3) ∫ 0 𝑑𝑥 = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ

4) ∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

5) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ

6) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ

7) ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ

Ejemplos:

1) ∫3𝑡3−5𝑡2+4 √𝑡3

3𝑡2 𝑑𝑡

2) ∫(𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 1) 𝑑𝑥