instituto superior de profesorado nº 4 “Ángel...

INSTITUTO SUPERIOR DE PROFESORADO Nº 4 “ÁNGEL CÁRCANO”

PROFESORADO DE MATEMÁTICA – CURSO PROPEDÉUTICO

1



2



3

Estudiante ingresante:

El Equipo Directivo, en nombre de todo el personal -Profesores, Administrativos y

Asistentes Escolares-, brinda a cada uno una cálida bienvenida. Los recibimos junto a

todos los que van haciendo posible que, día a día, el ISP Nº 4 con las 12 carreras de

formación docente y 2 carreras técnicas, se mantenga, no sólo como opción vocacional y

profesional, luego de más de 50 años en el territorio, sino que crezca y se avizore como

horizonte esperanzador para tantos jóvenes y adultos de este norte santafesino.

Este cuadernillo tiene como objetivo brindarles información y actividades vinculadas

al desarrollo del Curso Propedéutico. Se organiza en dos Módulos:

Módulo 1: Formación General

Módulo 2: Formación Específica

Podrán encontrar en su lectura y desarrollo aquello que les posibilite inaugurar sus

trayectorias formativas en la Educación Superior.

Por un lado, la Formación General contribuye a pensar en qué consiste ser

estudiantes en el nivel y futuros profesionales: docentes o técnicos. En esta línea, no es

carente de sentido el tiempo que tendrán que invertir para reflexionar acerca de lo elegido,

bucear en sus motivaciones e indagar en el abanico que se ofrece, tal vez como

oportunidades o límites en el recorrido.

En la Formación Específica podrán aproximarse a lo que han elegido para

aprender, enseñar y llevarlo a la práctica. Es breve el tiempo para su desarrollo, pero

cada carrera presenta una propuesta que contribuirá a esa aproximación real con los

planes y contenidos del saber académico específico.

También en este cuadernillo encontrarán orientaciones para organizar sus tiempos

de estudio, emplear técnicas y a la vez recorrer la Institución para conocerla en sus

laberintos de sedes, oficinas, laboratorios, aula multimedial, el lugar del Centro de

Estudiantes, la función de la Asociación Cooperadora, entre otros tantos aspectos que

identifican las particularidades de esta Institución de la Educación Superior.

¡Buen tiempo de aprendizaje! Y más aún, de inter-aprendizaje con diálogos entre

compañeros de camino y los profesionales de esta Institución.

Equipo Directivo.



4

INDICE

La Institución Pág. N° 5

Plan de estudio Prof. de Ed. Secundaria en Matemática Pág. N° 9

Régimen de Correlatividades Pág. N° 12

Módulo I: de la Formación General

A- Estudiar en el Nivel Superior. Pág. N° 18

B- Formarse en la Docencia. Pág. N° 24

Módulo II: de la Formación Específica

PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA

Introducción. Pág. N° 29

Objetivos. Metodología. Pág. N° 30

Evaluación. Pág. N° 31

Bibliografía. Pág. N°108

Anexo

Carta a un joven profesor. Ph. Meirieu. Pág. N°109



5

La Institución

Es el Instituto de Educación Superior más antiguo de la Provincia de Santa Fe,

fundado en 1962, recibe como mandato fundacional formar profesionales para el sistema

educativo. Posteriormente incorpora la formación para los niveles primario e inicial y carreras

técnicas.

El Instituto lidera la Educación Pública del Norte de esta provincia con casi 3000 estudiantes

que cursan en 12 carreras de Profesorado y 2 Tecnicatura; con una planta funcional de más de

200 profesores y administrativos.

Para conocer más sobre su organización y carreras, te proponemos que consultes este link:

www.ispn4-santafe.edu.ar

El Instituto se rige por el Reglamento Académico Marco (RAM), te invitamos a leerlo

siguiendo este link:

http://ispn4-santafe.edu.ar/Informacion/Dec4199-15RAM.pdf

En la página siguiente añadimos una breve síntesis de algunos artículos.

Otros datos para agendar

Horarios de atención: de 18hs a 23hs

Dirección: Alvear y Ludueña. Reconquista. Santa Fe. (Sede Central)

Sedes: el Instituto del Profesorado funciona en cuatro sedes:

Escuela Pablo Pizzurno - 9 de Julio N° 315

Escuela N° 1354 – Claudio Lepratti. B° Chacabuco y Bv. Lovato

Instalaciones del Club Platense – Bv. Lovato

Centro Multimedial – Sarmiento 866 – Tel. 03482 - 427.404

Teléfono Sede Central: 03482 - 423.853

E-mail de consultas: [email protected]

http://www.ispn4-santafe.edu.ar/

http://ispn4-santafe.edu.ar/Informacion/Dec4199-15RAM.pdf

mailto:[email protected]



6

Síntesis inicial Decreto N° 4199/15 y 4200/15

De la permanencia y promoción:

Condición de permanencia: regularizar o aprobar una Unidad Curricular por año calendario

(Art. 23).

Calificación decimal de 1 a 10. Se aprueban las unidades curriculares con 6 (Art. 25)

excepto los Talleres de Práctica Docente que se aprueban con 8 (Dec. N° 4200/15).

Modalidad de cursado: Presencial – Semi presencial – Libre.

Los estudiantes podrán cambiar de modalidad una vez comenzado el período de clases (27).

Solo podrán cursar en condición de Iibre las Unidades Curriculares con formato materia.

De la permanencia y promoción:

Recuperatorios: en todas las instancias acreditables (Art. 29).

Tipo De Cursado Porcentaje de

Asistencia % Asistencia con

Certificado

Presencial (Art. 30) 75% 50%

Semipresencial (Art. 31) 40%

Libre (Art. 33) SIN

Asistencia por cuatrimestre.

Regularidad: 3 años consecutivos. Cuando haya más de un llamado por turno, el estudiante

podrá presentarse en todos ellos (Art. 34).

De la aprobación de unidades curriculares:

Art. 35: Las formas de aprobación de las Unidades Curriculares serán por promoción con examen

final o por promoción directa.

Promoción directa:

75% de asistencia;

100% de trabajos prácticos entregados en tiempo y forma;

aprobación de exámenes parciales y promedio final 8 o más.

con instancia final integradora: calificación 8 o más (Art. 39).

Art. 41) Seminarios, Proyectos, Módulos:

podrán ser cursados solamente con categoría de estudiantes regulares, (modalidad

presencial o semi-presencial).



7

Los requisitos de aprobación serán fijados en los Diseños curriculares - no pudiendo

prescindirse de la exigencia de presentación de un trabajo final de escritura académica

(monografías, ensayos, proyectos, entre otros) con su correspondiente defensa oral.

La nota de aprobación será de 6 (seis) o más, sin centésimos.

La regularidad tendrá validez de un año a partir del primer turno de examen siguiente al del

cursado.

Art. 42) Talleres, Trabajos de Campo, Laboratorio:

Solo admitirán cursado regular, presencial

Los requisitos de aprobación serán fijados en los Diseños Curriculares no pudiendo prescindir

la exigencia de

a) Cumplimentar con el 75% de asistencia a las clases áulicas

b) Aprobar el 100% de las instancias de evaluación previstas en la planificación anual,

contemplando una instancia final integradora.

La nota será de 6 (seis) o más sin centésimos

Estudiante que no haya aprobado podrá presentarse hasta dos turnos consecutivos

inmediatos posteriores a la finalización del cursado

Talleres específicos de prácticas docentes quedan excluidos

DECRETO N° 4200 DEL 25 DE NOV DE 2015

Anexo: TÍTULO DE LA EVALUACIÓN DE LOS TALLERES DE PRÁCTICA DOCENTE

Art. 28-. Serán requisitos de regularidad, aprobación y acreditación de los Talleres de Práctica

Docente:

a) Cumplimentar con el 75 % de asistencia a las clases áulicas.

b) Aprobar el 100% de las instancias de evaluación previstas por los Talleres de

Práctica Docente.

e) Asistir al 100% de las tareas asignadas en las instituciones asociadas.

d) Aprobar una instancia final de integración determinada por cada IES en su REPI.

Art. 29: La. Calificación, final para la acreditación de los Talleres de Práctica Docente será de 8

(ocho) puntos o más.



8



9



10



11



12

Régimen de Correlatividades Profesorado de Educación Secundaria en Matemática.

Anexo VII RM Nº 123/16

SEGUNDO AÑO

PARA CURSAR

SEGUNDO AÑO Debe Tener

Regularizada

Debe tener Aprobada

(año) Campo de la

Formación Unidad Curricular

General

Instituciones educativas

Pedagogía 1º

Historia y Política de la Educación Argentina

Instituciones educativas 2°

Específica

Aritmética y Álgebra II Aritmética y Álgebra I 1°

Geometría I 1°

Cálculo II Cálculo I 1°

Aritmética y Álgebra I 1°

Geometría II Geometría I 1°


Física I Cálculo I 1°


Didáctica de la Matemática I

Didáctica y Curriculum

1°

Modelización Matemática II

Cálculo I 1°

Geometría I 1°


Modelización Matemática I 1°

En la Práctica Práctica Docente II

Didáctica y Curriculum

1°

Modelización

Matemática I 1°

Práctica Docente I 1º



13



14



15



16



17



18

“Los estudiantes, al ingresar a los estudios superiores, se ven enfrentados a nuevas culturas escritas correspondientes a los distintos campos de estudio. Para llegar a pertenecer a estas culturas, los alumnos -entre otras cosas- deberán cambiar su identidad como pensadores y analizadores de textos”.

Carlino, Paula

Iniciar el cursado de una carrera, requiere aprender un oficio: el oficio de estudiar, como también

requiere entrega y el deseo de conocer y aprender sobre lo que se eligió y los enigmas que se le plantean a

cada uno respecto de eso por conocer. Es al mismo tiempo iniciar una nueva etapa en la vida, seguramente

con ilusiones, proyectos y visión de futuro, es también en algunos casos, el afianzarse como sujetos

separados del grupo familiar, con todo lo que eso implica en independencia y en adquisición de un lugar

propio, que se da en el pasaje de la adolescencia a la adultez, con todo lo doloroso y, al mismo tiempo,

desafiante que esto puede ser.

En el caso del estudiante adulto, es, probablemente, tomarse el tiempo de llevar a cabo algo que tal vez

en otro momento no se pudo concretar. El camino por recorrer no está libre de obstáculos y constituye un

verdadero desafío superarlos.

Un estudiante de nivel superior es un profesional del estudio y del aprendizaje permanente. Pensar con

claridad, argumentar, organizar ideas es importante pero, además, debe: intercambiar ideas, integrar grupos

Módulo 1

Formación general



19

de trabajo, aceptar opiniones, juzgar críticamente situaciones, comprometerse, leer e interpretar a diferentes

autores de una manera crítica que permita posicionarse con fundamentos. Todo esto no se logra

pasivamente, sino a través de una participación activa en el estudio, en la vida académica de la institución,

que comienza ya desde el ingreso a una carrera.

A continuación te proponemos:

En tu casa y como actividades previas al inicio de los encuentros presenciales:

- Leer todo el módulo y completar las Consignas que aparecen como: Actividades No

Presenciales.

- Las demás, las trabajaremos en los encuentros presenciales del Propedéutico.

¿Alumnos o estudiantes?

Nos gustaría compartir con ustedes esta diferenciación que, a simple vista, parecería ser lo mismo: La

palabra alumno viene directamente de “alumnus” que es un niño o un criado, persona criada por otra.

Estudiante, en cambio, es una palabra poco usual que conlleva otras significaciones. Viene del verbo estudio

que significa dedicarse, trabajar con empeño, en buscar con afán, desear, aspirar…Es decir que el estudiante

es el que desea, busca, trabaja con empeño.

El acto de aprender de un alumno siempre supone que haya otro que enseña; la enseñanza y el

aprendizaje se dan en un campo que se crea entre profesor y alumno.

El sujeto (estudiante) es influido por el Otro (profesor) en la búsqueda de un saber más elaborado, es

así que junto con el deseo de saber está la relación transferencial con el otro (algún profesor en especial).

Por lo antes dicho, generalmente, hay más facilidad para aprender una materia cuando el profesor cae

bien, cuando es “copado”. Freud afirma que esta transferencia puede impulsionar al estudiante, aumentando

su deseo de saber o bloquearlo e inhibirlo.

Es así que el profesor transmite conocimientos, pero, también, y sobre todo, su propio deseo de saber

anclado en sus búsquedas, sus preguntas, sus críticas, análisis, conflictos, sobre los temas planteados, y en

esto, el estudiante queda convocado, impulsionado a realizar su propia búsqueda, sus preguntas, sus análisis,

su acto de aprender.

De allí que el acto de transmisión del docente habilite, propicie el diálogo, la investigación y la

construcción de conocimientos de cada estudiante en su singularidad y con otro/s.

La educación es, básicamente, transformación solidaria del medio y de la persona. Es una

transformación generadora de sentido, tanto para la persona, para su comunidad, así como para la propia



20

formación. Para ello, es necesario que el aprendizaje que se produzca sea significativo. Ahora bien, la

construcción de significados no se hace individualmente, sino de forma colectiva y dialógica, en relación con

los otros y las otras, dentro de una comunidad, es decir, para que el aprendizaje pueda ser catalogado como

tal deber ser dialógico, poner en juego todas las voces.

Dificultades y fortalezas

Para que vayamos pensando juntos cómo puede ir dándose su pertenencia a los estudios superiores,

compartimos la inclusión de las principales dificultades y fortalezas detectadas en años anteriores, en los

estudiantes de primer año de las distintas carreras.

Estas problemáticas planteadas por estudiantes pueden servir para revisar y reflexionar sobre sus

prácticas de estudiante del nivel superior. Éste será el primer paso para fortalecer sus trayectorias y buscar

herramientas que les permitan sortear los problemas y dificultades. Además, pueden contar, en el ámbito

institucional, con Profesores Orientadores y un Servicio de Orientación Educativa que ofrece acompañamiento

y contención.

Las dificultades más significativas son:

Temor a no aprobar el propedéutico

No tener tiempo disponible -ya que algunos trabajan y tienen que conciliar trabajo-estudio-.

Falta de organización en el tiempo de estudio

Dificultades interpretar un texto y elaborar conclusiones personales.

Poca motivación para encarar el estudio en algunas asignaturas.

No hay constancia ni perseverancia en los emprendimientos exigidos por los estudios.

Temor a las exposiciones orales.

Dificultades para el trabajo grupal coordinado adecuadamente y con participación activa de

todos los integrantes.

Entre las fortalezas podemos mencionar:

Buenos vínculos con profesores.

Trabajo grupal que favorece, un grupo de clase contenedor.

Creación de lazos de compañerismo y amistad entre los alumnos.

Pertenencia y participación en la institución.

Accesibilidad al estudio por la gratuidad del Instituto.

Mayores posibilidades de acceder a distintas becas.



21

Actividad 1: No presencial

Del listado de dificultades y fortalezas detectadas en los estudiantes del Instituto del Profesorado N° 4:

- ¿Reconoces algunas que podría presentarse en tu caso? ¿Cuáles? ¿Identificas otras que no estén

enunciadas? ¿Cuáles?

- ¿Necesitarías ayuda específica del Servicio de Orientación Educativa para trabajarlas?

¿Cómo estudiar en el nivel superior?

En esta nueva etapa, el nivel superior exige a cada estudiante el mejoramiento de estrategias de estudio, otras

vinculadas a la organización del tiempo, la habilidad para tomar notas, la búsqueda y selección de la

información, mejorar la atención y concentración. Se trata de ingresar a nuevas culturas de los diferentes

campos del conocimiento.

Si bien el mejor modo de empezar a estudiar es diseñar tu propia estrategia de estudio conociéndote y

aprendiendo a lo largo de la carrera, el Servicio de Orientación Educativa te sugiere:

1. Lee el material asignado por el docente de cátedra antes de ir a clase.

2. Cuando leas, hacé una lista de preguntas sobre ese material -según tu propósito de lectura- y

respóndelas. Anota tus dudas y consúltalas. Acordate que, leer en el nivel superior es también escribir.

3. Trata de construir el sentido que tienen las palabras desconocidas dentro del texto, sobre todo las que

pertenecen al campo específico de la disciplina (léxico específico), escribí las definiciones que te da la

bibliografía y es conveniente que armes un glosario con ellas o bien que forme parte de tus apuntes.

4. Trata de asistir a clases, toma apuntes.

5. En clase pregunta cuando no entiendas algún tema.

6. Familiarízate con los recursos disponibles en biblioteca o internet que puedan ser útiles.

7. La planificación en el estudio supone determinar:

La totalidad de los materiales que debo estudiar: antes de comenzar tengo que reunir todo el material

que necesito: programa de la materia, libros, apuntes personales, bibliografía, fotocopias de la cátedra,

etc.

No es conveniente estudiar sólo de los apuntes, para eso existe la bibliografía de cada cátedra que

explica los temas.

Consignas



22

La organización y distribución del tiempo: utilizá un calendario donde registrar todas tus actividades de

horario regular, fechas asignadas para los trabajos prácticos, parciales, finales. Incluye tiempo para

actividades sociales, deportivas, descanso y otros. Es importante establecer un horario fijo para el

estudio para lograr un hábito. Conviene descansar 10 minutos después de una hora de estudio así la

mente rendirá mejor.

El lugar de estudio: elegir un lugar ordenado, con buena luz, con un asiento y mesa con todos los

elementos necesarios. La concentración aumenta si se estudia en un lugar preparado para tal fin.

El compañero de estudios: el aprendizaje siempre se construye con otro-s. Por lo tanto, podés

considerar la importancia de acordar y estudiar con un compañero o varios, para discutir e intercambiar

ideas. Resulta necesario, entonces, decidir juntos los tiempos destinados al Estudio, el lugar y los

tiempos dedicados al estudio individual o grupal.

Algunas preguntas orientativas

Te sugerimos algunas preguntas orientativas para que puedas conocerte en tus fortalezas y debilidades

en esta tarea de Estudiante.

Sólo tienes que contestar a lo que haces habitualmente, para sacar tus propias conclusiones

reflexionando sobre tus aspectos positivos y los que tienes que superar, la respuesta correcta son los si.

Contesta SÍ o NO

Estrategias Motivacionales:

- Siento agrado hacia las materias que estudio.

- Cuando me pongo a estudiar suelo concentrarme en el estudio.

- Cuando tengo preocupaciones o problemas que me impiden estudiar, suelo

intentar relacionarlos con ideas agradables que me ayuden a estudiar.

- Suelo plantearme la utilidad de lo que voy a estudiar ¿Qué importancia

tiene? ¿Para qué me sirve? ¿Qué utilidad tiene?

- Cuando no tengo ganas de estudiar, para animarme, suelo comenzar por lo

más fácil o atractivo.

- Suelo cambiar de actividad para mantener el interés por lo que estudio.

SI NO



23

Estrategias Cognitivas:

- Cuando voy a estudiar intento hacerme preguntas sobre lo que voy a leer.

- Para recordar lo que estudio suelo hacer como una guía, divido el tema en

partes.

- Suelo extraer las ideas más importantes del tema que estudio.

- Cuando estudio un tema procuro ampliarlo, consultando en otros libros o

medios.

- Cuando estudio un tema, suelo analizar lo que dice, poniéndome en un

papel crítico y evaluador.

- Cuando estudio, relaciono el tema con otros que ya sé, buscando

semejanzas o diferencias.

Estrategias Metacognitivas

- Antes de ponerme a estudiar, suelo considerar qué actividades o tiempo me

supone el estudio.

- Acostumbro a dividir el estudio o trabajo por partes para que me resulte más

fácil.

- Suelo ser previsor, calculando el tiempo del que dispongo para distribuirlo

de forma realista.

- Cuando termino de estudiar tengo la costumbre de hacer una revisión de

todo para ver si tengo algunos puntos débiles.



24

Este módulo es una invitación para comenzar a pensar en algunas mínimas cuestiones, que

hacen al “ser docente”. Una invitación que intenta además, comenzar a ubicarlos como estudiantes

de nivel superior, donde se encontrarán con la cultura letrada, la cultura escolar, de los estudiantes

y docentes.

Abordamos la formación docente desde distintos lenguajes y contemplando diferentes

realidades posibles, como parte de una dinámica histórica del mundo que va adquiriendo formas

culturales diversas; mundos culturales que dan paso a la creatividad, la imaginación, sin reducir la

formación docente a los contenidos escolares a enseñar, Se trata de conocer el mundo que nos

rodea, promover visiones y emociones, reconocer el cuerpo, sus movimientos.

Pero también, y lo más importante, nuestra intención, es que sea una invitación a pensar la

docencia, y con ella a la enseñanza, como algo que va al encuentro con los variados mundos

culturales, con los diferentes modos de relacionarnos con palabras e imágenes, con los sentidos

que construimos en diálogos interiores y también con otros. Pensar en los que fueron nuestros

maestros, esos que dejaron huella en nosotros, traer las imágenes a nuestra mente para

reflexionar juntos.

Formarse en la Docencia



25

Estos mundos culturales enriquecen la formación del estudiante. Propicia un encuentro con

el arte en toda su complejidad para habilitar una instancia socializadora e integradora con el

contexto.

Cuando como docente se decide comenzar una clase con un texto, un relato, una obra de

arte, un cuento, un dictado; detrás de ello hay siempre una intención. Hemos decidido comenzar

invitándolos a observar imágenes, obras de artistas reconocidos como parte de la cultura a

transmitir. Para nosotros, siguiendo a Adela Coria, la intención de pensarla como una invitación, es

¿Te suenan conocidas algunas de estas obras? ¿Te animas a buscar información

sobre el artista plástico, por ejemplo, su nacionalidad, aspectos de su vida y su

pensamiento? ¿Conoces artistas plásticos argentinos y/o locales? ¿Dónde podes

conseguir esta información?



26

porque sentimos la necesidad de poner a disposición de otros (adolescentes, jóvenes y adultos)

los saberes culturales y experiencias que creemos vale la pena compartir en las aulas porque en

ellos se condensan saberes y experiencias que hicieron sentido en nosotros (Coria; 2014)

Y porque queremos compartir con ustedes, que cuando enseñamos, asumimos el desafío de

entrar en “mundos posibles” que abren la imaginación, como lo postula Jerome Bruner (1998).

Nos permitirnos caminar por las huellas que trazaron otros, los grandes maestros, atrevernos

a poner en diálogo su obra con la vida, la escuela con la vida. Enseñar, es de alguna manera,

invitar a otros a entrar a mundos desconocidos, de la mano siempre de otros, en este caso de los

docentes.

Para continuar, y asumiendo los desafíos políticos – pedagógicos que plantea una política

educativa inclusiva, ponemos en diálogo los conocimientos producidos con una lectura pedagógica

como es la de P. Meirieu, que permite una reflexión sobre el disciplinar y enseñar (1998;

2001;2006)

La lectura propuesta se dirige a “reconstruir sentidos” sobre qué es ser docente, para qué y

por qué es necesario educar; como principios ordenadores de la vida escolar y sostén de las

decisiones institucionales y docentes.

Recuperamos además así, la mirada de Merieu, para quien aprender una disciplina es

aprender la escuela misma, sus fundamentos; o sea, aprender a vivir juntos en un espacio y un

tiempo estructurado con un proyecto específico, y con dos propósitos fundamentales: transmitir

saberes y formar ciudadanos.

Dice el autor que toda intervención pedagógica articula dos condiciones, a saber:

Por un lado, “hacer sitio al que llega y ofrecerle los medios para ocuparlo” y por el otro,

“reconocer la alteridad y la autonomía de quien aprende asumiendo la necesidad de presentar

proposiciones de aprendizajes que movilicen la energía hacia la solución de situaciones nuevas a

resolver, en tanto retos intelectuales” (1998;84).

Coincidimos en que ambas, son condiciones necesarias para garantizar la hospitalidad a

quien llega, y que las mismas se recrean día a día en el aula, donde docentes y estudiantes se

encuentran con el desafío del reconocimiento mutuo de su subjetividad.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A continuación te presentamos el texto “Carta a un joven profesor. Por qué enseñar hoy”

de Phillip Meireiu (2005).



27

En esta oportunidad te proponemos la lectura del capítulo 2 que lleva

por título: “Enseñamos para que los demás vivan la alegría de nuestros

propios conocimientos”.

Entre algunos de sus aportes se destaca: “La enseñanza es un

medio para retribuir a aquel maestro que nos permitió descubrir el mundo y

que su influencia nos ha ayudado a construirnos”. Con estas palabras

Meirieu nos alienta a los docentes a reflexionar sobre los modos de

enseñanza -el acto pedagógico- y a defender una docencia centrada en

ayudar al alumno tanto en la comprensión como en su motivación.

A partir de la lectura del capítulo, te proponemos las siguientes actividades: Consignas: A) Desde el texto

1 – Realiza una reseña del Capítulo 2: “Enseñamos para que los demás vivan la alegría de

nuestros propios conocimientos”.

2 –Cómo debe ser un futuro profesor: ¿cuáles son las cuestiones más relevantes para debatir

sobre este tema a partir de la lectura del texto?

3 – Registrar las dudas y preguntas sobre el texto para compartir en clases con tus compañeros y

profesor.

PELÍCULAS B) Relacionando el texto con una de las siguientes películas, a la elección de cada carrera:

El profesor Lazhar (en el Instituto) Al frente de la clase Todo por un sueño La sonrisa de la Mona Lisa Los Coristas Pizarrones (en el Instituto) El profesor (en el Instituto) Escritores de la Libertad El Profesor Holland (Mi querido profesor) La lengua de las mariposas La profesora de historia Todo comienza hoy Mi vida en rosa Otras…..



28

Sugerencias para trabajar la película:

1. ¿Con qué fragmento del texto de Meirieu, podes relacionar alguna escena de la película?

2. ¿Cuáles son las condiciones-experiencias creadas por el docente para que se produzca la

enseñanza y el encuentro con los alumnos? ¿Qué piensan de ellas?

3. Describe alguna situación de aprendizaje observada ¿Qué ocurre con los aprendizajes de

los alumnos?

4. Elabora una valoración personal del texto y del film

5. Presentar la resolución de estas consignas en formato papel o utilizando una presentación

visual (puede ser en power point, prezi, etc.)

Bibliografía:

Bruner, J. (1998) Realidad mental y mundos posibles. Barcelona: Gedisa.

Coria, A., Pensa, D., y otros.(2002). El uso de nuevas tecnologías en el campo de las ciencias económicas. un estudio exploratorio de las interacciones en el aula virtual.

Coria, Adela (2014). Módulo: Prácticas de enseñanza con TIC. Especialización docente de nivel superior en Educación Primaria y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Meirieu, P. (2001). La opción de educar. Ética y Pedagogía. España: Octaedro

Meirieu, P. (2006). Carta a un joven profesor. Por qué enseñar hoy. España: Editorial Grao. Anexo 1: Meirieu, P. (2006).

Se recomienda leer los siguientes link sobre cómo realizar una reseña: http://sitios.ruv.itesm.mx/portales/crea/planear/como/resena.htm; http://blog.udlap.mx/blog/2013/03/comohacerunaresena/

http://sitios.ruv.itesm.mx/portales/crea/planear/como/resena.htm

http://blog.udlap.mx/blog/2013/03/comohacerunaresena/



29

Introducción

Este curso Propedéutico plantea el análisis y estudio del Módulo de la Formación Específica,

donde proponemos recuperar una serie de temas de Matemática aprendidos en la Escuela Secundaria

Obligatoria, a fin de favorecer una mejor articulación con las materias específicas de la carrera.

Iniciar estudios terciarios constituye un reto para todos aquellos que cuenten con ésta grata

oportunidad. Está destinado a los ingresantes a la carrera de Profesorado de Educación Secundaria

en Matemática, teniendo como propósito brindar herramientas para superar las dificultades propias

de la iniciación a estudios superiores y, además, situar al alumno frente al compromiso que el

ejercicio de la docencia implica. Constituye, así, una instancia de introducción, ambientación,

orientación profesional, vocacional y de bienvenida a la cultura académica disciplinar.

Se ha dedicado mucho esfuerzo en él para presentarlo en forma reflexiva y ordenada, como si

fuera una clase de aula. Recoge la experiencia de un grupo de docentes de la Sección donde se

aportan ideas para introducir al alumno en las técnicas de resolución de problemas, o sea la

heurística, sin descuidar el rigor matemático. Por esta razón, contiene una variedad de problemas,

ejercicios y preguntas teóricas. De esta forma, si el alumno adquiere las herramientas mínimas en el

Módulo 2

Formación Específica



30

quehacer matemático, podrá afrontar posteriores retos que se presentarán en el devenir de la

formación.

Por ello, se aconseja que este material sea leído con el auxilio de papel y lápiz, de manera que las

actividades sugeridas como Obligatorias sean realizadas antes del cursado presencial, ya que ello

posibilitará un análisis posterior más provechoso e interesante, con el acompañamiento de los

docentes.

Finalmente, es el ferviente deseo de la Sección Matemática, compartir aunque sea mínimamente

el profundo placer que se siente al estudiar matemática, el desafío de resolver una situación

planteada y la satisfacción de ser parte de este mundo. Bienvenidos.

Objetivos

Se espera que los aspirantes logren:

Consolidar su decisión profesional.

Afianzar conceptos matemáticos para facilitar la apropiación de nuevos contenidos.

Utilizar adecuadamente los distintos lenguajes de la matemática.

Resolver problemas y ejercicios, utilizando los conocimientos desarrollados en cada unidad

didáctica del cuadernillo de propedéutico.

Metodología

Al momento de la inscripción, el aspirante podrá disponer del presente material de trabajo

digitalizado. Recomendamos que revean, exploren, analicen, estudien todos los tópicos que se

desarrollan y realicen las actividades pares propuestas, promoviendo la integración permanente

entre teoría y práctica.

En marzo, el aspirante deberá asistir a un curso de propedéutico de carácter no eliminatorio en el

que realizará, con el acompañamiento de los profesores específicos, una serie de trabajos prácticos

de temas de geometría, álgebra y aritmética. En los trabajos prácticos se retomarán los temas

desarrollados en el cuadernillo.

En esta instancia se propondrá una metodología de trabajo y estudio tendiente a afianzar el

aprendizaje, fomentando – a su vez – el vínculo entre pares. Asimismo, el docente desarrollará los

contenidos que considere pertinentes para que el alumno pueda iniciar sus estudios en el nivel

terciario, contando con una orientación general de la especificidad de la carrera.



31

Evaluación

El hablar de evaluación nos remite a pensarla como una práctica reflexiva, en este sentido

posibilita interpretar los alcances del estudio, detectar los obstáculos e interpretar los errores. Es por

ello que se formula una evaluación tendiente a los siguientes objetivos:

Que el alumno logre:

Reconocer los conjuntos numéricos y sus propiedades.

Expresar planteos, mediante el uso del lenguaje coloquial y simbólico.

Manipular los procesos algebraicos mínimos.

Analizar y reflexionar sobre los procesos realizados.

Un instrumento que se utilizará para evaluar serán trabajos prácticos de carácter presencial

llevados a cabo durante el desarrollo de las clases con el acompañamiento de los profesores de

cátedra.



32

MATEMÁTICA

La matemática, como ciencia, surgió con el fin de resolver cálculos en el comercio, medir la

Tierra y predecir acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en

cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el

cambio.

Remontándonos a la historia, las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente

desarrolladas por los griegos, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del

rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los contenidos propios de esta ciencia.

Muchos textos griegos y árabes fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de

las matemáticas en la Edad Media. A los Árabes se les debe la creación del sistema numérico

decimal que utilizamos en la actualidad.

Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, los progresos de esta ciencia fueron seguidos por

períodos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos

desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron

creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

En la actualidad, la ciencia matemática se caracteriza por el hecho de que, prácticamente, todas

las ramas del conocimiento humano necesitan utilizar las herramientas de la misma.

La matemática se relaciona no solo con la Física, la Química, la Ingeniería, la Economía, sino

también con otras áreas del conocimiento, tales como la Medicina, la Biología y la Sociología, y con

actividades tan diversas como el deporte y el arte.

Por otra parte, la matemática no solo provee herramientas para resolver problemas, sino que estos

conducen muchas veces a la creación de nuevos conocimientos, que originan a su vez nuevas

teorías.

Asimismo, desde el Diseño Curricular Jurisdiccional (DCJ), esta disciplina es considerada como

un producto cultural y social, la cual es atravesada por las concepciones sociales y las decisiones de

la comunidad matemática, provocándose una interacción que funciona como generador de

conocimientos.

Este material reconoce tres ejes relevantes que se organizan atendiendo a lo planteado por el

DCJ, los cuales se denominan: “Números y Operaciones”, “Geometría y Medida” y “Álgebra y



33

Funciones”. Si bien se encuentran diferenciados, no debemos dejar de lado que mantienen una

estrecha relación entre ellos.

Capítulo 1: Los Números

Recorriendo conjuntos numéricos:

Desde la antigüedad, el hombre tuvo la necesidad de contar, tanto para realizar un trueque – que

era su forma de comercio – como para conocer sus posesiones, contar los días transcurridos,

etcétera. Es por eso que “el contar, proceso que a la par de frecuente, es tan arraigado en el hombre,

se presenta en él tan íntimamente vinculado con el pensar y con el hablar que parece poco

concebible que alguna vez haya sido inventado o descubierto”.

Historia de la Matemática, Rey Pastor y Babini

Los números Reales y sus propiedades

En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22,

25,4) como a los números irracionales- son aquellos que no se pueden expresar de manera

fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: 2, .

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa,

puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, por ello se

usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó

finalmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear



34

una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales (aunque ciertamente

técnicas) del concepto de número real.

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números

reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la potencia de base

real y exponente irracional.

OBJETIVOS:

1. Dominar la lectura, el concepto y la representación en la recta numérica de los números.

2. Utilizar los números y sus propiedades como herramienta para calcular, medir e interpretar

correctamente relaciones matemáticas en distintas situaciones.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número

real.

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos,

pero hay casos en los que se los puede representar geométricamente utilizando regla y compás, y

validando dicha construcción mediante el Teorema de Pitágoras.

A veces se utilizará un subconjunto, o parte, de los números reales en una descripción. Por

ejemplo:

El conjunto N de los números naturales:

Con los números naturales se cuentan los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien se

expresa la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).



35

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Para tener en cuenta:

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural (Ley de Cierre).

Es interesante destacar que la Ley de cierre no se cumple para las siguientes operaciones: diferencia

y cociente de números naturales.

- La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando

el minuendo es mayor que sustraendo.

5 − 3

3 − 5

- El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando

el dividendo es múltiplo del divisor.

6 : 2

2 : 6

El conjunto Z de los números enteros:

Los números enteros son del tipo:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}


Algunas de las aplicaciones atribuidas a este conjunto numérico, refieren a las expresiones de:

saldos (en el campo de la economía), temperaturas (sobre y bajo cero), velocidades, altitudes (sobre

y debajo del nivel del mar), entre otras magnitudes.

Podemos corroborar que las operaciones de adición, sustracción y producto, cumplen con la Ley

de cierre, es decir, al operar dos números enteros el resultado es otro número entero.



36

Por su parte, la división no cumple con esta ley y es entonces que, el cociente de dos números

enteros no siempre es un número entero; sólo ocurre cuando el dividendo es múltiplo del divisor.

Por ejemplo:

6 : 2

(-10):(+2)

2 : 6

El conjunto Q de los números racionales:

Se llama número racional a todo número que puede expresarse como el cociente de dos enteros,

con denominador distinto de cero.


Los números decimales (exactos, periódicos puros y periódicos mixtos) son números

racionales; mientras que aquellos cuya parte decimal contienen infinitas cifras no periódicas, no son

considerados dentro de este conjunto.

Las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de dos números racionales cumplen

con la Ley de Cierre.

Representación decimal de números racionales:

Todo número racional admite una representación decimal, obtenida a partir de realizar la

división entre numerador y denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5;

3405/25=136,2 y 1/3= 0,33333...

Mediante esta operación, los números decimales pueden clasificarse en expresiones

decimales: exactas ó periódicas. Éstas últimas pueden – a su vez – dividirse en periódicas puras o

periódicas mixtas.



37

Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene una cantidad finita de decimales. Por ejemplo:

0,5; 1,348 ó 367,2982345.

Una forma de reconocer un número decimal exacto desde su expresión fraccionaria

irreducible, es analizando su denominador, cuya factorización debe estar compuesta por los factores

primos 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25,...1

Para transformar una expresión decimal en fraccionaria, colocamos en el numerador el número sin

comas y en el denominador un 1 (uno) seguido de tantos ceros como cantidad de cifras contenga la

parte decimal. Ejemplo:

10

77,0

100

17575,1

Expresión decimal periódica es aquélla que tiene infinitas de cifras decimales, pero de modo

que un grupo finito de ellas se repite de manera indeterminada, periódicamente, por ejemplo:

0,333333...; 125,67777777... ó 3,2567256725672567...

Estas expresiones, surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5,

por ejemplo, 1/3=0.33333...

La parte decimal que no se repite se denomina ante - período y la que se repite, período. Por lo

tanto, una expresión decimal periódica pura es aquélla que no tiene ante – período, mientras que

aquella que sí contiene ante – período se denomina expresión decimal periódica mixta.

Expresiones decimales periódicas Puras Expresiones decimales periódicas mixtas

El período aparece inmediatamente después de la

coma.

Para transformar una expresión de este tipo en una

fracción, se debe escribir en el numerador la diferencia

entre el número sin coma y la parte entera; en el

denominador se colocan tantos nueves como cantidad

de cifras conformen el período. Por ejemplo:

= 0,22222… =9

2

= 1,343434…= 99

1134=

99

133

El período no aparece inmediatamente después de la

coma, sino que el período aparece luego del ante –

período.

Para transformar una expresión de este tipo en una

fracción, se debe escribir en el numerador la diferencia

entre el número sin coma y el número conformado por la

parte entera y el ante - período; en el denominador se

colocan tantos nueves como cantidad de cifras

conformen el período y tantos ceros como cantidad de

cifras conformen la parte no periódica.

= 0,3222222… = =

= 1,125353...= =

1 Al factorizar los denominadores tenemos: 1000= y 25=



38

El conjunto I de los números irracionales:

Son aquellos que no terminan ni se repiten en su forma decimal, no se pueden expresar como

razón o cociente de dos enteros. Ejemplos: 5 , 3 12 , 4

3, etc.

Representación Gráfica:

Hay métodos geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta

numérica.

Para representar se debe tener en cuenta que, =1,414..., es decir, 1< < 2.

Se observa el cuadrado del dibujo, se aplica el teorema de Pitágoras2 para hallar su diagonal y se

obtiene:

Con la ayuda de un compás se puede representar exactamente en la recta numérica. Se sabe

que es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por

ningún otro número irracional.

En esta recta se representa los números irracionales y .

2 El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual

al cuadrado de la hipotenusa, lo que se expresa de la siguiente manera:

Expresiones decimales Exactas

Periódicas Puras

Mixtas



39

Propiedades de los números reales:

Es importante reconocer que cuando realicemos operaciones con los números reales, éste cuenta

con propiedades, las cuales deben ser tenidas en cuenta.

A continuación presentamos un cuadro donde se nombrarán dichas propiedades. Para conocer en

qué consiste cada una de ellas, podrán acceder al aula virtual Anexo II.

Actividad de ejemplo: ¿A qué subconjunto de los números reales pertenece cada uno de los

siguientes números?

a) 5 b) 3

2 c) 7 d) -14

Propiedades de

números Reales

Conmutativa

Asociativa

Identidad

Inversos

Distributiva

Otras

Propiedades Propiedades de opuestos

Propiedades del cero



40

Respuesta:

a) 5 pertenece a los siguientes subconjuntos: natural, entero, racional y real.

b) 3

2 pertenece a los siguientes subconjuntos: racional y real.

c) 7 pertenece a los siguientes subconjuntos: irracional y real.

d) -14 pertenece a los siguientes subconjuntos: entero, racional y real.

Ejercitación

1) Clasificar cada número como miembro de

uno o más de los subconjuntos numéricos:

a) -15 b) 72 c) d) e) f) 0,01

g) 0 h)2π 2) Hacer una lista o describir los elementos de

los siguientes conjuntos: a. El conjunto de los números naturales menores que

7.

b. El conjunto de los números enteros mayores que 10.

c. El conjunto de los números enteros comprendidos

entre 7 y 13.

d. El conjunto de los números reales comprendidos

entre 2 y 8.

e. El conjunto de los números naturales menores que

1.

3) Decir si las siguientes afirmaciones son

verdaderas o falsas. Si es falsa presentar un

contraejemplo para justificar la respuesta. a. El conjunto de los números naturales es cerrado con

respecto a la sustracción.

b. El conjunto de los números enteros es cerrado con

respecto a la división.

c. El conjunto de los números racionales contiene el

inverso aditivo de cada uno de sus elementos.

d. El producto de dos números reales es un número

real.

e. El cociente de dos números reales cualesquiera es

otro número real.

4) Identifica la propiedad: a. 5 (4 x 1.2) = (5 x 4) 1.2

b. 14 + (-14) = 0

c. 3 (8 + 11) = 3 (8) + 3 (11)

d. ( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

5) Aplica la propiedad indicada: a. 5(x + 8); (conmutativa de adición)

b. (3 x 6) 2; (asociativa de multiplicación)

c. (9 + 11) + 0; (identidad aditiva)

d. 12(x + y); (distributiva)

e. 9(6 + 4); (conmutativa de multiplicación)

f. (x + y) + z; (asociativa de adición)

6) Hallar la fracción inversa de la fracción

inversa de 3/7.

7) ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? a. Fracciones equivalentes representan el mismo

número racional.

b. a/b=c/d, es lo mismo decir ad=bc.

c. La inversa de una fracción mayor que 0 no puede

ser menor que 0.

8) ¿Es irracional la raíz cuadrada de cualquier

entero impar?

9) Decidir si es cierta ésta afirmación:

.

10) Marcar en la recta numérica: 4, -4/3, -

2,75, , ,

11) Indicar con una cruz a cuál o cuáles de los siguientes conjuntos pertenece cada número:

-15 0,17 0 16/2

/2

/3 02 - 10

N

Z

Q

I

R



41

Potenciación y Radicación

El producto de xxx se abrevia 3x . En general, para un entero positivo n ,

nx es la

abreviatura del producto de n factores, cada uno de los cuales es x . La letra n en nx se

denomina exponente y a x se le llama base. Específicamente, si n es un entero positivo tenemos:

OBJETIVOS:

1. Entender y hacer uso correcto de la terminología algebraica.

2. Efectuar correctamente la simplificación expresión de fracciones algebraicas.

3. Simplificar correctamente expresiones radicales dadas aplicando las leyes de los radicales.

4. Racionalizar denominadores de expresiones algebraicas dadas.

A continuación se presentan las leyes básicas de los exponentes y los radicales:

1) Producto de potencias de igual base, la base se mantiene y se suman los exponentes. Queda,

simbólicamente, expresado de la siguiente manera:

2) Todo número elevado a la cero da como resultado 1. Entonces, 10 x si x ≠0

3) Potencia de exponente negativo. En este caso, el signo negativo del exponente indica que la

base se invierte. Una vez realizado dicho paso, el exponente se transforma en positivo.

Simbólicamente queda expresado de la siguiente manera: n

n

xx

1

Otros casos en el cual se puede aplicar esta propiedad es:

Cuando tenemos el exponente negativo en el denominador de una fracción unitaria.

Para quitar el dicho exponente, invertimos la base y al hacerlo el exponente queda positivo.

Por ejemplo: n

nx

x

1.

1)

2)



42

Cuando un número fraccionario está elevado a exponente negativo, por ejemplo

y en esta situación se puede observar que se invierte la base y el exponente

resulta positivo.

4) Cociente de potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

Simbólicamente expresado de la siguiente manera:mn

nm

n

m

xx

x

x

1

5) Potencia de otra potencia, la base se mantiene y se multiplican los exponentes. Por

ejemplo,mnnm xx )(

6) Propiedad distributiva de la potenciación respecto del producto. Simbólicamente:

nnn yxxy )(

7) Propiedad distributiva de la potenciación respecto de la división. Expresión

simbólica:n

nn

y

x

y

x

8) Potencia de exponente fraccionario, se puede expresar como un radical, donde la base se

mantiene, el denominador del exponente ocupa el lugar del índice de la raíz y su numerador

es el exponente del radicando. Simbólicamente:

Casos particulares en los que se pueden utilizar esta propiedad, son los siguientes:

Cuando el numerador del exponente fraccionario es uno, nn xx

1

.

Cuando nos encontramos con la expresión , para poder resolverla se aplican

las propiedades: 3 y 8; Simbólicamente, n

n

n

xxx

111

1

9) Propiedad distributiva de la radicación respecto al producto, nnn xyyx .

10) Propiedad distributiva de la radicación respecto a la división, nn

n

y

x

y

x .

11) Raíz de otra raíz, se puede expresar como otra raíz cuyo índice es el producto de los índices,

expresado simbólicamente de la siguiente manera: mnm n xx



43

12) Propiedad cancelativa de la radicación: se aplica cuando el índice y exponente, son el mismo

número xx mm )( .

Ejemplos:

a. 148686 xxxx

b. 24333

1 5

5

c. 10

d. 22222

332

332

32

3 1646464)64( aaaaa

e. Escribir expresiones equivalentes que tengan exponentes positivos:

2

23

2

32

x

zy

z

yx

f. Simplifique:

x

y

x

y

yx

yx 2

23

57

53

72

g. Simplifique:

3233 33 323 3323 46 yyxyyxyyxyx

Ejercicios:

Simplificar haciendo uso de las propiedades:

1. 23x

2. 23

32 aa

3.

2

42

xy

yx

4.

43

32

yx

yx

5.

712

109

4

12

yx

yx

6.

22

3

2

3

23

b

a

b

a

7.

223

322

yx

yx

8.

62

128

2

8

yx

yx

9.

10

12

3

3

ba

ba

10. 104160

11. 3 3 512

12. 3232

13.

4/14/3

625

256

81

16

14. 35

20

x

x



44

Capítulo 2: El Álgebra

¿Qué entendemos por álgebra?

El álgebra es una rama de la Matemática que emplea números, letras, signos y símbolos para

hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas, permitiendo así, formular leyes generales y

hacer referencia a números desconocidos (incógnitas).

En este módulo, se trabajará con expresiones algebraicas: polinomios y ecuaciones. Por lo tanto,

cuando hablamos de expresiones algebraicas nos referimos al conjunto de números y letras ligados

entre sí por operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ecuaciones

Una proposición como 533 xx es un ejemplo de un ecuación lineal, porque la variable x

sólo aparece elevada a la primera potencia. También se dice que es una ecuación condicional; es

válida para ciertos valores de la variable x , pero no para otros. Por ejemplo es verdadera cuando

2x , pero es falsa para 1x . Por otro lado, una ecuación como 6323 xx se llama

identidad porque es verdadera o válida para todos los números reales x .

Resolver una ecuación quiere decir determinar los números reales x para los cuales se cumple la

igualdad. A estos, se los denomina soluciones o raíces de la ecuación dada.

OBJETIVOS:

1. Reconocer ecuaciones de primer grado.

2. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, usando las propiedades de la

igualdad.

3. Plantear y resolver problemas que se expresen como una ecuación de primer grado con una

incógnita.

Ejemplo: 533 xx el primer paso es eliminar los paréntesis aplicando la propiedad

distributiva

593 xx

)9(5)9(93 xx sumar -9 a cada lado de la ecuación

43 xx

)(4)(3 xxxx Sumar - x a cada lado de la ecuación.

42 x



45

42

1)2(

2

1x multiplicar cada lado por ½

2x

Se demuestra que 2x es la solución comprobándola en la ecuación original. ¿Es cierto que

5)2(323 ? En la solución anterior emplearon las dos propiedades básicas de la

igualdad.

Ejercitación:

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

Resolución de problemas

Ejemplo 1) La fórmula que relaciona los grados Fahrenheit y los grados Celsius es CF

9

1605.

Despeje F en términos de C.

Solución: Trate de explicar cada uno de los siguientes pasos.

CF

9

1605

CF 91605

16095 CF

16095

1

CF

325

9 CF

Propiedad de igualdad en la suma

Para todos los números reales ba, y c , si ba , entonces cbca

Propiedad de igualdad en la multiplicación

Para todos los números reales ba, y c , si ba , entonces bcac



46

Se explorará ahora la resolución de problemas planteados en lenguaje coloquial, los cuales

necesitan ser expresados en lenguaje simbólico para poder ser resueltos.

En el problema siguiente, se sugiere reglas importantes para desarrollar la destreza del

razonamiento crítico. Estudie con cuidado la resolución, del ejemplo que sigue.

Ejemplo 2) La longitud de un rectángulo es 1 cm menos que el doble de su ancho. El perímetro es

28 centímetros. Determine las dimensiones del rectángulo.

1. Vuelva a leer el problema y trate de imaginar la situación que se describe. Tome nota de

toda la información brindada.

La longitud es uno menos que el doble del ancho. El perímetro es 28.

2. Identifique que es lo que se pide contestar. Introduzca una variable adecuada, que

normalmente representa la cantidad que se debe determinar. Cuando sea apropiado, utilice

una representación gráfica.

Represente el ancho con .

Entonces, representa la longitud.

3. Con la información disponible, plantee una ecuación donde intervenga la variable.

El perímetro es la distancia que se recorre alrededor del rectángulo. Esto proporciona la

información necesaria para escribir una ecuación.

281212 wwww

4. Resuelva la ecuación aplicando propiedades de la igualdad.

281212 wwww

2826 w

306 w

5w

5. Regrese al problema original para ver si la respuesta obtenida tiene sentido. ¿Parece ser

una solución razonable? ¿Responde a lo solicitado?

El problema original preguntaba las dos dimensiones. Si el ancho, , es 5 cm, entonces la

longitud, , debe ser 9 cm.

6. Compruebe la solución por sustitución directa del valor hallado en el enunciado original del

problema.

Como comprobación, vemos que la longitud del rectángulo, 9 cm, es 1 cm menos que el

doble del ancho, 5 cm, tal como lo dice el problema. También, el perímetro es 28 cm.



47

7. Por último, describa la solución en término de las unidades correctas.

Las dimensiones son 5 cm por 9 cm.

Ejercitación:

Despeje la variable indicada en cada fórmula.

1. Perímetro de un rectángulo 2. Área de un trapecio

1b

w h

l wlP 22 2b

Despeje l . 212

1bbhA

Despeje h .

3. Área superficial de una caja rectangular 4. Volumen de un cilindro

r

h h

w

l

whlhlwA 222 hrV 2

Despeje h . Despeje h .

5. La fórmula que relaciona los grados

Fahrenheit con los grados Celsius es

325

9 CF

. Despeje C en términos de F.

Calcule C si .

6. Despeje b de ba

abc

2.

7. Despeje R de hRhV 33

1 2 .

8. Determine un número tal que dos tercios

de él, incrementados en 1 sea igual a 13.

9. Determine las dimensiones de un

rectángulo cuyo perímetro es 56 cm, si la

longitud es 4 cm mayor que el ancho.

10. Una malla de alambre se colocará

alrededor de un terreno rectangular de

modo que el área cercada sea de 800 2m

y el largo del terreno sea el doble de su

ancho. ¿Cuánto m de malla se utilizarán?

11. El perímetro de un rectángulo es de 200 m

y su largo es tres veces el ancho.

Determine las dimensiones del rectángulo.

Inecuaciones y sus gráficas

Si a y b son números reales se dice que “a es menor que” b y se representa a < b o b > a.

Similarmente, se dice que “a es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a b

significa que a b ó a = b; y a b significa que a > b ó a = b.



48

Para tener en cuenta: un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es

menor que 0.

OBJETIVOS:

1. Identificar desigualdades lineales.

2. Encontrar el conjunto solución de una desigualdad de primer grado con una incógnita.

3. Representar el conjunto solución de una desigualdad en la Recta Numérica.

4. Plantear y resolver problemas que se expresen como una desigualdad lineal con una

incógnita.

Propiedades básicas de desigualdades

Ejemplo 1) Determine el conjunto solución de 1273 xx .

Solución: Aplicar dos veces la propiedad aditiva.

1273 xx

)7(12)7(73 xx

823 xx



49

)2(82)2(3 xxxx

8x

El conjunto solución está conformado por todos los números reales que son menores o iguales a

8 , esto es, 8/ xx

Cuando se aplica la propiedad aditiva, se producen desigualdades equivalentes. Esto es, la nueva

desigualdad tiene las mismas soluciones que la original. Se verá lo que sucede cuando se multiplica

cada lado de una desigualdad por el mismo número (propiedad multiplicativa).

Ejemplo 2) Resuelva la desigualdad 10235 x .

Solución: Multiplicar por5

1 cada lado.

)10(5

1235

5

1 x propiedad multiplicativa.

223 x

Sumar -3 a cada lado

)3(2)3(23 x Propiedad aditiva

12 x

Multiplicar por 2

1 a cada lado.

)1(2

1)2(

2

1 x Propiedad multiplicativa.

2

1x

El conjunto de soluciones es

2

1/ xx



50

Intervalos de números reales, gráficas y desigualdades

Ejemplo 1

El intervalo abierto (2, 7) representa el conjunto de todos los números reales entre 2 y 7

PERO 2 y 7 no están incluidos. Este intervalo se puede representar usando la notación de una

desigualdad como 2 < x < 7 y gráficamente como:

Ejemplo 2

El intervalo cerrado [-1, 3] representa el conjunto de todos los números reales entre -1 y 3,

inclusive. Este intervalo se puede representar usando la notación de una desigualdad como

31 x y gráficamente como:



51

Ejemplo 3

El intervalo infinito ),2[ representa el conjunto de todos los números reales mayores o

iguales a -2. Este intervalo se puede representar usando la notación de una desigualdad como 2x

y gráficamente como:

Ejercitación:

1) Usando la notación de conjunto; escribir los

siguientes intervalos que están representados en la

recta real:

2) Usando la notación de intervalos; escribir los

siguientes intervalos que están en lenguaje de

conjunto:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3) Resolver las siguientes inecuaciones indicadas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Resuelve los siguientes problemas:

1. Juan gana mensualmente $13000 y tiene un gasto

fijo de $4000. ¿Entre que valores puede variar su

gasto diario si no quiere excederse cada día de lo

que puede gastar?

2. Para obtener una calificación B en álgebra, un

estudiante debe pasar un examen con promedio

mínimo de 86%, pero menos que 90%. Si las

calificaciones en sus tres primeros exámenes



52

fueron 85, 86 y 93%, ¿qué calificaciones en su

cuarta prueba le garantizarán un B?

3. Si x satisface 7/4<x<9/4. ¿Cuáles son los valores

posibles de y si y=4x-8? (Sugerencia: aplique las

propiedades de suma y multiplicación para

desigualdades a la desigualdad citada, para

obtener 4x-8 en la parte central.)

4. Juan tiene menos de $900 para repartidos entre

sus dos hijos, Ana y Rodolfo. Si a Rodolfo le da el

doble que a Ana, ¿cuáles son las máximas

cantidades que puede recibir cada uno?

5. Durante cierto periodo, la temperatura en grados

Celsius (C) varió entre 25 y 30o. ¿Cuál fue el

intervalo en grados Fahrenheit (F) para este

periodo si 325

9 CF ?

Factorización de polinomios

Polinomios:

Definición: son expresiones algebraicas donde los números (coeficientes) y las letras (variables no

determinadas o desconocidas) están vinculadas por las operaciones: adición, sustracción,

multiplicación y potencias cuyos exponentes son números enteros positivos incluido el cero3.

Algunos ejemplos de polinomios son:

Esta expresión no es un polinomio, puesto que la variable indeterminada

se encuentra dividiendo a un número. Además, observar que dicha expresión equivale a la

siguiente: y no cumple con la definición de polinomio explicitada con

anterioridad.

Podemos encontrarnos con dos polinomios que, en apariencia, difieren pero son equivalentes

entre sí. Esto es posible gracias a la factorización que es un algoritmo matemático que permite

expresar un polinomio como producto de otros polinomios simples. Para ello existen distintos

métodos: factor común, factor común por grupos, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado

perfecto (TCP), fórmula de la resolvente y Regla de Ruffini.

3 Cuando el exponente es cero, por propiedad de la potenciación se tiene que, todo número elevado a la cero, resulta

uno. Por lo tanto, una expresión , en un polinomio representa al término independiente ya que no se

encuentra afectado por la variable.



53

OBJETIVOS:

1. Reconocer los casos de factorización: factor común, diferencia de cuadrados, trinomio

cuadrado perfecto, trinomio de segundo grado, factorización por regla de Ruffini.

2. Aplicar los casos de factorización de acuerdo con las características del polinomio.

En toda factorización, buscamos transformar el polinomio en producto de factores primos.

Podemos reconocer algunos casos típicos:

Factor Común

Este caso se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algún

factor en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de ambos).

Sacar factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva, definida algebraicamente de

la siguiente manera: . Por lo tanto, si se pide factorizar la expresión ,

basta aplicar la recíproca de la propiedad distributiva.

Por ejemplo:

Los factores se repiten en todos los términos; una forma práctica de identificarlos es

considerar cada uno de ellos con su mínimo exponente. Luego, aplicamos la recíproca a la propiedad

distributiva.

Cuando soliciten sacar factor común y la expresión contenga coeficientes con divisores comunes,

se halla el máximo común divisor de dichos coeficientes.

Por ejemplo:

Al factorizar la expresión , se tiene:

donde es el máximo común divisor de , y .

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta aplicar la propiedad

distributiva, obteniendo como resultado la expresión inicial.

Otro ejemplo: al factorizar se obtiene

Nota: la expresión que se encuentra dentro del

paréntesis, resulta de dividir cada término por

el factor común.



54

El factor común es . Se debe prestar atención cuando se extrae un término completo de factor

común, porque como sucede en el ejemplo dentro del paréntesis hay que escribir un 1.

Al verificar, queda:

Otro ejemplo:

x2.(x+1) + x.(x+1)2

Observamos que ambos términos tienen factor común x y (x+1), por lo tanto, la factorización

queda:

x2.(x+1) + x.(x+1)2= x.(x+1).(x+x+1) = x(x+1)(2x+1)

Ejercicios resueltos:

1)

Observamos que el factor común es 3, por lo tanto se puede sacar ese factor y se tiene:

)

2) En el polinomio el factor común es y se tiene :

3) En el polinomio , sacando factor común se tiene:

Ejercicios para resolver:

Factorizar las siguientes expresiones:

1 )

2 )

3 )

4)

5 )

6 )

7)

8) 4(a-1)3 + x(a-1)=

Diferencia de cuadrados

Un binomio (expresión algebraica que contiene dos términos) puede factorizarse como una

diferencia de cuadrados, si los términos que lo componen tienen diferentes signos y ambos son



Página 55

cuadrados exactos. La expresión resultante recibe el nombre de producto de binomios conjugados.

Se factoriza:

producto de binomios conjugados.

Procedimiento para factorizar:

1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.

2) Se forma un producto entre la suma de las raíces y su diferencia.

Ejercicios resueltos:factorizar las siguientes expresiones.

1)

La raíz cuadrada de: es


Luego

2) ,

Para expresarlo como una diferencia de cuadrados se debe invertir el orden de los sumandos:



Luego

3)





Página 56

Luego:

4)



Luego

5)

La raíz cuadrada de: es y la raíz cuadrada de es

Luego

6)

La raíz cuadrada de es

La raíz cuadrada de es

Luego


Factorizar las siguientes diferencias de cuadrado:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)



Página 57

¿Por qué ( es igual a ?

, por propiedad distributiva, es igual a .

Pero los términos y son iguales, debido a que en la multiplicación se puede alterar el orden

de los factores (Propiedad Conmutativa). Si esos términos poseen igual valor absoluto, y sus signos

son opuestos, se pueden cancelar por Ley de los opuestos, donde se expresa que la suma de dos

términos opuestos resulta cero; por consiguiente, sumar "cero" no modifica el resultado ya que el

cero es el elemento neutro de la suma.

Luego de cancelar, queda .

Con un ejemplo donde haya números, quizás se pueda apreciar mejor el tema de los dos términos

opuestos que se cancelan:

Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto (TCP) al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados

perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un cuadrado de binomio tal que:

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

1) Un trinomio ordenado con relación a una letra.

2) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos.

3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Procedimiento para factorizar

1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.

2) Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a +

b)(a + b).

3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.

Por ejemplo:



Página 58

xx 2 39

xx .3.26

Otro ejemplo:

Se eligen convenientemente los signos de las raíces para formar el binomio:

xx 2

; 24 ; xxx 42)..(2)2.(.2

Como se observa, en el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos,

en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de

los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado.


1) Factorizar



El doble producto de las raíces: es

Luego

2) Factorizar






Página 59

Luego

3) Factorizar




Luego

Un trinomio cuadrático general de la forma es un TCP si se cumple que el

discriminante es cero, es decir, que la cantidad es siempre igual a .


Factorizar las siguientes expresiones:

1)

2 )

3 )

4 )

5 )

6 )

7 )

8 )

9 )

1 0 )

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado , se iguala a

cero y se resuelve la ecuación de segundo grado. Si las soluciones de la ecuación son y , el

polinomio factorizado será:



Página 60

Por ejemplo:

Entonces:

Ejercicios para resolver

Factoriza los siguientes polinomios

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Factorizar un polinomio de grado mayor a dos

Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando

un polinomio no se puede escribir como producto de otros más simples se dice que es irreducible.

Para factorizar un polinomio se hallan sus raíces, si es una raíz de , entonces

, así se ha descompuesto como producto de dos polinomios, reiterando el

proceso, ahora con y se sigue hasta encontrar un polinomio irreducible.

Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que

un polinomio tiene raíces enteras es encontrar valores enteros de x que al sustituirlos en el

polinomio su valor numérico es cero.

Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro raíces

enteras, y se factoriza así:

Pero ¿cómo se obtienen las raíces?. Por la regla de Ruffini.

Ejemplo:

Factorizar



Página 61

Es un polinomio completo y ordenado en potencias decrecientes de . Se aplica la regla de

Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba

con 1,-1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12

Probemos con 1:

Se copian los coeficientes del polinomio:

1 -4 -1 16 -12

Y se escribe en una segunda línea el número uno

1 -4 -1 16 -12

1

El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea

1 -4 -1 16 -12

1

1

Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también

uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –

4

1 -4 -1 16 -12

1 1

1

Se suma –4+1=-3

1 -4 -1 16 -12

1 1

1 -3

Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3



Página 62

1 -3

Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

Como se ve, la última suma es cero. Eso quiere decir que 1 es una raíz del polinomio y que sirve

para factorizarlo. Si el resultado de la suma hubiera sido distinto de cero habría que seguir

realizando el procedimiento con los demás divisores de 12.

Los coeficientes que han quedado en la última fila, son los coeficientes del cociente de dividir el

polinomio P por (x-1), y la última suma es el resto de dicha división. Si se escribe la relación

fundamental de una división entera se obtiene:

Dividendo= Divisor x Cociente + Resto

De hecho se ha factorizado el polinomio, pero al segundo factor de tercer grado hay que intentar

factorizarlo aplicando nuevamente la regla de Ruffini. Empleando sucesivas veces esta regla queda:

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

-2 -2 6

1 -3 0

Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3

La factorización final es:

Si en las sucesivas pruebas no se halla ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no puede

factorizarse dentro de los números reales.



Página 63

Otro Ejemplo:

Factoriza el polinomio

Usar la regla de Ruffini, los números que podrían ser raíces son los divisores de , es decir,

.

El polinomio esta ordenado pero es incompleto (no posee término con ), para factorizar con la

Regla de Ruffini, se debe completar el polinomio reemplazando el término faltante por cero.

Se prueba hasta encontrar un valor cuyo resto es 0. Repetir el proceso con los coeficientes del

polinomio cociente hasta que no se pueda efectuar más el procedimiento debido a que se encontró

un polinomio irreducible.

En el ejemplo, en un momento determinado, no se han encontrado raíces enteras de 2x2 +3,

por lo que ese polinomio es irreducible.

La factorización queda:


Factorizar los siguientes polinomios

1)

Se puede aplicar el primer método, o sea sacar factor común

El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se

puede factorizar como TCP:



Página 64

2)

Primero se extrae factor común:

Al paréntesis puede aplicarse el segundo método (diferencia de cuadrados) obteniendo:

Y aún más, al segundo paréntesis se aplica el segundo método:

El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no puede factorizarse. Se utiliza el

cuarto método para comprobar que no es factorizable:

que no tiene solución real.

3)

Sólo puede aplicarse el quinto método, o sea Ruffini:

1 -12 41 -30

1 1 -11 30

1 -11 30 0

5 5 -30

1 -6 0

Entonces .

4)

Primero sacar factor común

Igualar a cero el paréntesis y resolver la ecuación de segundo grado:

que origina dos soluciones, -3 y –2, por tanto la factorización completa es:


Factorizar los siguientes polinomios aplicando los casos de factoreo que considere pertinentes:

1) 2)



Página 65

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

Capítulo 3: Funciones

Función

La matemática como ciencia, en su rama aplicada, se dedica al estudio y resolución de problemas

concretos. Por tal motivo, surge la necesidad de considerar situaciones en las que magnitudes

variables estén relacionadas entre sí, sabiendo que los valores que toma una de ellas dependen y

están ligados a los valores de las demás.

El concepto de función es unificador en la matemática, ya que aparece en todas sus ramas

relacionando variables: entre conjunto de puntos, conjuntos numéricos, sucesos y probabilidades.

Las funciones constituyen una poderosa herramienta para analizar, estudiar y predecir el

comportamiento de fenómenos naturales, sociales, económicos, etc. Representan modelos

matemáticos que responden al problema estudiado y su estudio constituye uno de los sustentos de la

matemática actual.

Las funciones lineales permiten describir procesos de crecimiento y decrecimiento uniforme. Las

funciones cuadráticas son herramientas útiles para estudiar algunos procesos que no son lineales ni

proporcionales ya que facilitan la modelización de fenómenos que pueden representarse mediante

fórmulas con exponentes naturales de la variable.

Análisis de funciones

OBJETIVOS:

1. Interpretar datos representados gráficamente.

2. Reconocer y describir características globales de las funciones.

3. Tener un sentido crítico ante informaciones gráficas o numéricas sobre los fenómenos

representados.



Página 66

Sistema de coordenadas rectangulares: está formado por dos rectas numéricas que se

intersecan entre sí formando un ángulo de 90º. Al punto de intersección de ambas rectas se le asigna

el origen del sistema.

Para identificar un punto del plano se utilizan sus coordenadas cartesianas, que se anotan en

forma de par ordenado:

Definición de función:

Muchas de las relaciones involucran a dos variables, de manera tal que el valor de una de ellas

depende del valor de la otra. Por ejemplo; si consideramos la relación entre el área de un círculo y su

radio, expresada por la ecuación A = . r 2; donde el valor de A depende del radio elegido.

Llamamos r a la variable independiente y A a la variable dependiente.

A la relación donde a cada valor de la variable independiente x le corresponde uno y sólo un

valor de la variable dependiente se denomina FUNCIÓN.

El conjunto formado por todos los valores de la variable independiente, se denomina DOMINIO.

El conjunto formado por todos los valores de la variable dependiente se denomina IMAGEN O

RANGO. De esta manera:

“Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, el dominio y el rango, tal que, para cada

valor del dominio corresponde exactamente un valor del rango” (pág. 86 Sobel).

Notación de función:

Las funciones se designan con letras minúsculas f, g, h, t, etc. La expresión y = f(x) se lee “f de

x”, significa que la variable y es la imagen de la variable x mediante la función f.

Definición de variable dependiente y variable independiente:

- “Una variable que representa los números de entrada para una función se denomina variable

independiente. Una variable que representa a los números de salida se denomina variable

es la coordenada de la

abscisa. Representa el desplazamiento

sobre el eje horizontal (eje de las a

bscisas) respecto del origen.

es la coordenada de la ordenada.

Indica el desplazamiento sobre el eje

vertical (eje de las ordenadas) respecto

del origen.



Página 67

dependiente, ya que su valor depende del valor de la variable independiente. Decimos que la

variable dependiente es una función de la variable independiente”. (pág. 88 Haeussler)

Una función puede expresarse mediante una gráfica, una tabla de valores o una fórmula.

Prueba de la vertical para identificar funciones:

Si al trazar una recta vertical, ésta corta al gráfico en más de un punto, significa que un valor de

abscisa se relaciona con más de un valor de la ordenada, en este caso, decimos que la relación no

representa una función.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-6 -4 -2 0 2 4 6

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-6 -4 -2 0 2 4 6

y = 2*x+ cos(2*x)

Es una función

y2 – x2 =10

No es una función

-15

-10

-5

0

5

10

15

-6 -4 -2 0 2 4 6

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-6 -4 -2 0 2 4 6

-15

-10

-5

0

5

10

15

-6 -4 -2 0 2 4 6

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-6 -4 -2 0 2 4 6

y = 2*x+ cos(2*x)

Es una función

y2 – x2 =10

No es una función

Noción de tablas, fórmulas y gráficos. Dominio. Imagen. Crecimiento. Decrecimiento.

Máximos. Mínimos:

a) El Dominio de la función es el conjunto de valores que puede tomar la variable

independiente x. Lo simbolizaremos Dom.

b) La Imagen de la función es el correspondiente conjunto de valores que puede tomar la

variable dependiente. Lo simbolizaremos Im.

Una función puede

estar definida por:

Una tabla de

valores que

muestre la

relación entre los

valores de la

variable.

Un procedimiento de cálculo,

que permita hallar los valores

de la variable dependiente y,

a partir de los valores de la

variable independiente x. Este

procedimiento se resume,

frecuentemente, en una

fórmula.

Un gráfico en un sistema de

coordenadas cartesianas, que permite

“ver” cómo varían x e y. La información

proveniente de un conjunto de datos

numéricos presentados en una tabla, se

puede representar gráficamente: cada

par de números que se correspondan

serán las coordenadas de un punto del

plano.



Página 68

c) Decimos que una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, también

aumenta la variable dependiente. Al observar la gráfica de una función, de izquierda a derecha, ésta

resulta ascendente.

d) Decimos que una función es decreciente si, al aumentar la variable independiente,

disminuye la variable dependiente. Al leer la gráfica de una función, de izquierda a derecha, ésta es

descendente.

e) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función determinan máximos y

mínimos. En un determinado valor x, se alcanza un máximo local si su ordenada es mayor que la de

sus puntos próximos, tanto a la derecha como a la izquierda de x.

En x se alcanza un máximo absoluto si su ordenada es la mayor de las ordenadas de todos los

puntos del dominio.

En un determinado valor de x se alcanza un mínimo local si su ordenada es menor que la de sus

puntos próximos, tanto a la derecha como a la izquierda de x.

En x se alcanza un mínimo absoluto si su ordenada es la menor de las ordenadas de todos los

puntos del dominio.

En este curso introductorio trabajaremos con funciones cuyos dominios e imágenes son conjuntos

de números reales. Este tipo de funciones se denominan FUNCIONES DE UNA VARIABLE

REAL.

Actividad resuelta:

Desde las 9 de la mañana se registró la longitud de la sombra de un poste

vertical y se confeccionó la siguiente tabla de valores:

Tiempo

9:00

9:30

10:00

10:30

11:00

11:30

12:00

12:30

13:00

14:00

Longitud

de la

sombra L

21m

19m

15´5m

13m

11m

9m

8m

7m

6m

7m

La hora del día y la longitud de la sombra son magnitudes que están relacionadas. A cada hora

del día le corresponde una única longitud de sombra. Por lo tanto, la longitud de la sombra es

función de la hora del día.

Al representar los pares de valores recogidos en la tabla, en un sistema de ejes de coordenadas

se obtiene la siguiente gráfica:



Página 69

El dominio de la función son los números reales del intervalo [9; 14], es decir: Dom f: [9; 14]

La imagen de la función corresponde al intervalo [6; 21].

Como se observa en la gráfica, la longitud de la sombra disminuye o decrece hasta las 13 horas y

comienza a aumentar o crecer a partir de dicha hora. Se dice que la función es decreciente desde t =

9 hasta t = 13, es decir en el intervalo [9; 13) y creciente a partir de t = 13, en el intervalo [13;∞).

La mínima longitud de sombra (6 m.) se alcanza a las 13 horas. En ese punto, (13,6), la función

presenta un mínimo.

Actividades para resolver

Actividad 1:

a) en una hoja cuadriculada dibuja un sistema de ejes

cartesianos y gráfica los siguientes puntos: A= (-

3,0) B= (0,0) C= (-2,2).

b) Responde: ¿Qué figura se forma si unes los puntos con rectas?

Actividad 2: a) ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan

funciones? ¿Por qué?

b) De las que representan funciones ¿Cuáles son

crecientes? ¿Cuáles son decreciente

Actividad 3: Decide razonadamente si las siguientes

correspondencias son funciones o no. En las que sí lo

sean, indica cuál representa la variable independiente y

cuál la dependiente.

a) A todo número natural se le hace corresponder su

siguiente.

b) A todo número natural se le asignan sus divisores.

c) A cada día del año se le asigna la cantidad de

nacimientos.

d) A todo número se le asigna su raíz cuadrada.

e) A cada fase de la luna le corresponde la fecha en la

que se da dicha fase.

Actividad 4: ¡Cuidado con los medicamentos!... En las

instrucciones de un medicamento, que hay que

administrar a un diabético, se establece que la dosis del

mismo, expresada en mg, está en función del peso del

paciente según la gráfica:

Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde

una dosis de 20 mg. Diremos que 20 es la imagen de

50 y escribiremos 50 Kg→20 mg.

a. ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay

que suministrar a una persona de 75Kg?



Página 70

b. ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas

obesas?

c. ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron

40 mg?

d. ¿Para qué peso la dosis es máxima?

Actividad 5: Después de bañarse en su casa, Ana

dibuja un esbozo de la gráfica que muestra lo que

ocurre con el volumen de agua de su baño en función

del tiempo transcurrido.

a. Si ambos grifos (caliente y frío) se abrieron al

principio, ¿qué puede haber ocurrido en A?

b. Cuando el baño se está vaciando, Ana pone el pie

en el agujero del desagüe. ¿Qué parte de la gráfica

muestra esto?

c. ¿Cuándo aumenta el volumen del agua? ¿Cuándo

disminuye?

d. ¿Cuándo se alcanza el volumen máximo de agua?

¿Y el mínimo?

Actividad 6: Cristina está enferma y tiene fiebre.

Su madre le ha tomado la temperatura cada hora.

La tabla de valores permite realizar la gráfica con

cada par de coordenadas de cada punto, por

accidente algunos datos de la tabla fueron

borrados... ¿la puedes completar?

a) Analizar las variables involucradas.

b) Analizar el dominio e imagen.

c) ¿Cuál fue la máxima temperatura que tuvo

Cristina? ¿A qué hora ocurrió?

d) ¿Cuál fue la mínima temperatura que tuvo

Cristina? ¿A qué hora ocurrió?

e) ¿Durante qué intervalos de tiempo aumentó su

temperatura? ¿Cómo te das cuenta?

f) ¿Durante qué intervalos de tiempo disminuyó

su temperatura? ¿Cómo te diste cuenta?

Actividad 7: Se juegan 8 partidos de futbol

durante el invierno. La tabla muestra la asistencia

de público a cada partido, observa la gráfica

correspondiente y responde:

a. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Cuál es

la imagen?

b. ¿Tiene sentido unir los puntos en la gráfica?

¿Por qué?

c. ¿Tendría sentido usar el gráfico para estimar

cuánta gente va al partido 3 y ½?

Actividad 8: La siguiente gráfica nos muestra el

nivel de ruido que se produce en un cruce de

grandes avenidas de una ciudad:

Responde:

a. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Cuál es

la imagen?

b. ¿Cuándo crece el nivel de ruido? ¿Cuándo

decrece?

c. Indica si los instantes de tiempo en los

Partido 1 2 3 4 5 6 7 8

Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900

Variable x

(hora)

12

14

18

Variable y

(temperatura)

37°C

38ºC

38ºC

38ºC

http://ar.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Representaci%F3n+de+temperatura+por+horas&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/funciones/20070926klpmatfnc_3.Ges.LCO.png



Página 71

cuales la intensidad del ruido es máxima o mínima.

Aclaración: Decimos que una variable es discreta si sus valores pertenecen al conjunto de los

números enteros positivos incluido el cero.

Una variable es continua si sus valores pertenecen al conjunto de los números reales.

Función Lineal

OBJETIVOS:

1. Reconocer la forma simplificada de la ecuación de la recta y sus parámetros.

2. Graficar e interpretar los datos modelizados por una función lineal.

Definiendo a la función lineal:

Una función de la forma y = m.x + b es una función lineal o polinómica de 1º grado; donde m y b

son dos números reales cualesquiera, x es la variable independiente e y la variable dependiente.

El dominio natural de una función lineal es el conjunto de los números Reales y su gráfica es una

recta. Un punto pertenece a la recta de ecuación , si y solo si sus

coordenadas verifican .

En una recta se distingue dos parámetros importantes: uno de dirección (la pendiente: m) y otro

de posición (ordenada al origen: b).

Pendiente de una recta:

Calculemos la variación de la variable dependiente por cada unidad de la variable independiente

en la función lineal f(x) = m.x + b. Para ello, consideramos dos puntos que pertenecen a la recta:

y .

Calculemos la variación de la variable dependiente por cada

unidad de la variable independiente en la función de primer

grado.

Considerando la ecuación y los puntos

y que verifican y

, obtenemos la pendiente de la recta:

)

Ilustración 1-Nro.de asistentes-Actividad 7



Página 72

El cociente obtenido es independiente de los puntos que tomamos. Gráficamente, indica la

cantidad de unidades que se desplaza la coordenada (hacia arriba o hacia abajo) por cada unidad

que se desplaza la coordenada a la derecha.

Ordenada al origen: La recta de la ecuación corta al eje en el punto ,

porque para resulta , siendo la ordenada al origen.

Gráfica de la función lineal a partir de la ordenada y la pendiente:

Para graficar , se ubica el punto de coordenadas como indica la ordenada al

origen, y a partir del movimiento de la pendiente se marca otro punto. Luego deben unirse los dos

puntos y, la recta que determinan es la que corresponde a la ecuación:

Análisis del signo de pendiente.



Página 73

Función creciente Función decreciente Función constante

Actividades resueltas:

1) Deduzca la ecuación de la recta, que pase por el punto dado y tenga la pendiente indicada:

y

La ecuación de la recta tiene la forma , se reemplaza en la misma las coordenadas

del punto y la pendiente.

Luego despejar b para hallar la ordenada al origen:

Por último, reemplazar en , la pendiente y la ordenada al origen , y se obtiene la

ecuación de la recta buscada: .

2) Obtenga la ecuación de la recta a partir de los puntos que le pertenecen; y

.

Reemplazamos las coordenadas de los puntos y en:

Luego al sustituir y las coordenadas de uno de los puntos en , se obtiene la

ordenada al origen:

Considerando las coordenadas de los puntos y tenemos:

.



Página 74

Así, y la ecuación de la recta es , o sea .

3) El ritmo cardiaco r (en latidos por minuto) de un gato es función lineal de su temperatura

corporal t (expresada en grados Celsius). En condiciones de laboratorio un gato con 37ºC

tiene un ritmo cardíaco de 200 y su ritmo es 150, si la temperatura es de 32ºC.

a) Halle la expresión matemática de la función.

La expresión matemática de la función es la ecuación de la recta. Para encontrarla se tienen

en cuanta los siguientes pasos:

1) Identificar las variables.

Variable independiente: temperatura corporal .

Variable dependiente: ritmo cardiaco .

2) Con los datos que brinda el problema se obtiene información sobre la recta.

En este problema se identifican dos puntos de la recta que modelizan la situación:

“un gato con 37ºC tiene un ritmo cardíaco de 200” y “su

ritmo es 150 si la temperatura es de 32ºC”

3) Con las coordenadas de los puntos se obtiene la pendiente de la recta:

Al reemplazar la pendiente y las coordenadas de un punto en la ecuación de la recta se

obtiene la ordenada al origen:

Por último, se reemplazas y en yse obtiene la expresión matemática de la

función:

b) ¿A qué temperatura corporal su ritmo cardíaco es 100?

Para encontrar a que temperatura corporal del gato su ritmo cardiaco es 100, se utiliza la

expresión hallada en el inciso anterior , y se sustituye y se obtiene la

temperatura :



Página 75

Respuesta: cuando la

temperatura corporal del

gato es de 27 ºC, su

ritmo cardíaco es de 100

latidos por minuto.


1) Las ballenas azules miden al nacer

aproximadamente 2,25 m y pesan 3 toneladas. Estas

ballenas jóvenes son amamantadas durante 7meses y

cuando se destetan miden 5 metros y pesan 23

toneladas.

a) Exprese el peso como función lineal de la

edad.

b) Grafique en un sistema de ejes coordenados.

c) ¿Cuál es el aumento diario de peso? (considere

un mes equivalente a 30 días).

d) Exprese la longitud como función lineal de la

edad. ¿Cuánto aumenta la longitud cada día?

2) El peso aproximado de la masa muscular del

ser humano es función lineal del peso total.

a) Determine la ecuación de la función sabiendo

que una persona que pesa 90 Kg. Tiene

aproximadamente 36 Kg. De masa muscular (tener en

cuenta que si el peso total es 0 Kg., el de la masa

muscular es 0 Kg.).

b) Obtenga el peso aproximado de masa muscular

de una persona que pesa 70 Kg.

c) Obtenga el peso de una persona cuya masa

muscular es de 45 Kg.

3) Un balde vacío tiene la capacidad de 20 litros

y pesa 2 kg. Se vuelca en el mismo un líquido que

pesa 1.5 kg el litro.

a) Utilizando una tabla de valores, grafique e

indique cuál es el dominio y la imagen de la función.

b) Si la gráfica obtenida corresponde a una

función de 1º grado, halle la fórmula que permite

calcular el peso total del balde en función de la

capacidad del balde.

4) La altura de niños entre las edades de 6 a 10

años puede modelarse por medio de una función

lineal. La altura de un niño cambia 6 cm por cada

año. Si mide 1,30 cm a la edad de 8 años:

a) Graficar la función.

b) ¿Cuál es el dominio? ¿Y la imagen?

c) Determine la función que describa la altura de

este niño a la edad de t años.

5) Deduzca la ecuación de la recta, que pase por

el punto dado y tenga la pendiente indicada:

a) (3,4); m=2 b) (-2,3); m=

c) (8,0); m= d) (0,0); m=5

e) (-3,5); m=-2 f) (2,1); m=1

g) h)

6) En las víboras hembras Lampropeltis polizona,

se sabe que la longitud total varía linealmente

respecto de la longitud de la cola. A partir de los

siguientes datos experimentales:

x: longitud de

la cola

y: longitud total

60 mm 450 mm

140 mm 1050 mm

a) Graficar el segmento de recta que representa la

situación.

b) Obtener la ecuación de la recta que representa

la longitud total en función de la longitud de la cola.

c) Si la longitud máxima de la serpiente de esta

especie es 1500 mm, ¿cuál es la longitud máxima de

su cola?

7) Los biólogos han descubierto que el número

de chirridos que los grillos de cierta especie emiten

por minuto está relacionado con la temperatura. La

relación es una función lineal. A 68ºF los grillos

chirrían 124 veces por minuto aproximadamente,

mientras que a 80ºF, lo hacen más o menos 172 veces

por minuto. Obtenga la función que relaciona el

número de chirridos c por minuto con la temperatura

Fahrenheit t.

8) En una experiencia realizada en invernaderos

se determinó que el porcentaje de semillas

germinadas depende de la temperatura ambiental.

Para una variedad de semillas de tomates el 40%

germina a 12ºC, mientras que a 15ºC germina el 70%



Página 76

de las mismas. Si el porcentaje de semillas

germinadas p es función lineal de la temperatura t.

a) Obtenga la expresión matemática que

relaciona p y t.

b) Calcule el porcentaje de germinación a 10ºC.

c) Halle la temperatura necesaria para obtener un

90% de semillas germinadas.

d) Represente todo gráficamente.

9) El crecimiento en gramos por día de un pollito

varía con la cantidad de antibiótico a (mg. /día) que se

le da, según una función lineal.

a) Encuentre la ecuación que relacione la tasa de

crecimiento r (g./día) con la cantidad de antibiótico a

(mg./día) si un pollito que recibe 5 mg./día de

antibiótico tiene un crecimiento de 50 g./día mientras

que uno que recibe 10 mg./día tiene un crecimiento de

60 g./día.

b) Encuentre la tasa de crecimiento para un

pollito que no recibe antibiótico.

10) La longitud de una varilla metálica es de

108,75 cm a 25ºC y de 109,08 cm a 36ºC. si esta

situación se describe adecuadamente por una función

lineal, encuentre la ley que define la longitud de la

varilla en función de la temperatura.

11) Completa la siguiente tabla.

Gráfica Ordenada

al origen

Pendient

e

Fórmula

simplificada

¿Crece o

decrece?

5

2/3

y= -2/3 x +1

0

1



Página 77

y= -1/2 x - 2

Sistemas de ecuaciones lineales

El álgebra posibilita el trabajo combinado de números y letras favoreciendo así la aparición de

variables, ecuaciones y funciones. Aprender con modelos lineales permite que se analicen y

comparen diferentes fenómenos reales del campo de la física, la economía, las ciencias naturales, la

geometría, entre otros. A partir de dichos fenómenos, es posible determinar valores para los cuales

procesos distintos producen iguales resultados. Estos procesos se representan matemáticamente a

través de ecuaciones que determinan sistemas.

En definitiva, los sistemas de ecuaciones surgen de situaciones problemáticas que es necesario

interpretar y traducir de un lenguaje coloquial a un lenguaje matemático. Se forman al agrupar dos o

más ecuaciones, para las cuales se desea hallar una solución común.

OBJETIVOS:

1. Reconocer las características de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2. Identificar tipos de sistemas de ecuaciones lineales según la cantidad de ecuaciones y de

incógnitas.

3. Representar gráficamente la solución del sistema de ecuaciones.

4. Interpretar gráfica y analíticamente la solución del sistema de ecuaciones.

5. Clasificar, a partir de las soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales.

6. Utilizar métodos algebraicos para hallar la solución del sistema de ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Se trabajará con sistemas de ecuaciones que poseen dos ecuaciones de primer grado con dos

incógnitas.

Ejemplo:

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas porque:

relaciona dos ecuaciones.

cada ecuación posee dos incógnitas que son x e y



Página 78

Una vez identificado el tipo de sistema se lo debe resolver, eso significa que hay que hallar su

solución encontrando el valor de las incógnitas.

Para ello, existen métodos o procedimientos de resolución.

Resolución sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Para resolver un sistema de ecuaciones, se puede utilizar cualquiera de los siguientes métodos:

Método gráfico.

Método de sustitución.

Método de igualación.

Método de reducción por sumas o restas.

Método gráfico

Como su nombre lo indica, consiste en hallar la solución del sistema graficando cada ecuación en

un mismo eje cartesiano. El gráfico del sistema anterior es:

Como se observa en el gráfico, las rectas se

cortan en un punto. Ese punto es la solución del

sistema de ecuaciones pero, en matemática, los

gráficos sólo sirven para ubicarse, para tener una

imagen de lo que se hace y no proporcionan una

respuesta acertada ya que se puede tener errores

al graficarlo.

Por eso, es muy importante acompañar la

gráfica del sistema de ecuaciones con la resolución analítica a fin de hallar la solución correcta del

sistema. Para ello, se cuenta con cuatro métodos que se desarrollan a continuación.

Método de sustitución

Ese método consiste en despejar de una de las dos ecuaciones una incógnita y sustituirla en la

otra.

Ejemplo: En una juguetería en donde se venden bicicletas y triciclos se cuentan sesenta ruedas. Si la

cantidad de rodados es 25. ¿Cuántas bicicletas y triciclos hay?

cantidad de bicicletas

: cantidad de triciclos



Página 79

El método de resolución consiste en los siguientes pasos:

1) Se elige una ecuación del sistema y se despeja una de las dos incógnitas.

Esta nueva ecuación es equivalente a la anterior.

2) La expresión obtenida en el paso anterior se sustituye por la variable correspondiente en la otra

ecuación.

es el valor de

Queda planteada ahora una nueva ecuación con una sola variable. Se resuelve esta ecuación y se

obtiene el valor de dicha incógnita.

3) Una vez encontrado el valor de , se procede a hallar el valor de para ello se utiliza la

ecuación obtenida en el paso 1 y se reemplaza:

Si las dos rectas se grafican en el sistema de ejes cartesianos, el punto de intersección de las dos

recta corresponde a las coordenadas (15 ; 10) que es la solución del sistema de ecuaciones.

Considerando nuevamente el problema, se concluye que en la bicicletería hay 15 bicicletas y 10

triciclos. Esta es la respuesta al problema planteado.

La solución hallada puede verificarse reemplazando las incógnitas de las dos ecuaciones por los

valores encontrados, obteniéndose las igualdades:



Página 80

Ejercicios:

1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Graficar.

a) b) c)

2) Suponga que usted está en un hotel sólo por dos días. Los dos días toma allí su desayuno. El

primer día consume dos medialunas y un sándwich. Al salir paga cuatro pesos. Al día siguiente

consume tres medialunas y dos sándwiches. Al salir, paga siete pesos. ¿Cuánto vale cada

medialuna? ¿Y cada sándwich?

Método de igualación

El método de igualación consiste en despejar de las dos ecuaciones la misma incógnita e

igualarlas.

Ejemplo: El perímetro de un rectángulo es 60 cm. Su longitud es el doble del ancho más tres

centímetros. Calcule las dimensiones del rectángulo.

x: medida de la longitud del rectángulo

y: medida del ancho del rectángulo

Se realiza el esquema de la situación para interpretar los datos del problema:

El método de resolución sigue los siguientes pasos:

1) Despejar de cada una de las ecuaciones que conforman el sistema la misma variable.

2) Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, lo que permite resolver una ecuación con

una incógnita.



Página 81

3) Se reemplaza el valor obtenido en el paso 2 en cualquiera de las dos ecuaciones del primer

paso para obtener el valor de la otra incógnita.

El par (21;9) es la solución al sistema de ecuaciones. Además, relacionando la solución con el

problema, se puede decir que la longitud del rectángulo es 21 cm, y el ancho mide 9 cm.

Ejercicios:

1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación.

2) En una alcancía hay 32 monedas de $0,25 y $0,05. Si en total hay $5, ¿cuántas monedas de cada

valor hay en la alcancía?

Método de reducción por sumas o restas

Consiste en multiplicar una o, si es necesario, las dos ecuaciones por un número distinto de cero

para igualar los coeficientes de una de las incógnitas y luego, se suman o restan las ecuaciones para

eliminar dicha incógnita y poder despejar la otra.

Ejemplo: La suma entre el doble de un número y el triple de otro es 9, y la diferencia entre el

cuádruple del primero y el segundo es 11. Calcular cuáles son esos números.

primer número

: segundo número



Página 82

Los pasos a seguir son los siguientes:

1) Reemplazar una de las ecuaciones del sistema por otra equivalente, elegida de modo que los

coeficientes de alguna de las variables, en ambas ecuaciones, resulten iguales en valor absoluto. Para

el ejemplo, se multiplica la primera ecuación por 2. De ello resulta:

2) La ecuación transformada y la otra se suman o restan, según convenga, y se obtiene una sola

ecuación con una sola variable que, despejándola, se obtiene su valor.

Para el sistema que se tiene de ejemplo, se restarán ambas ecuaciones:

4x - y = 11

7 y = 7

3) Para hallar el valor de x se procede de igual manera que los pasos anteriores o bien, se

sustituye el valor de la incógnita encontrado en una de las ecuaciones y se calcula el que falta.

x=3

El par (3;1) es solución del sistema de ecuaciones, es decir, que el primer número es 3 y el

segundo 1.

Ejercicios:

1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción.

2) Dos números cuya diferencia es nueve cumplen además que la suma entre el duplo del primero

y el triple del segundo es veinticuatro. ¿Cuáles son esos números?

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Todo sistema de ecuaciones se puede graficar en un plano cartesiano, y cada ecuación representa

una recta en dicho plano. Los sistemas se clasifican según la cantidad de soluciones que tengan, esto

significa que guardan una estrecha relación con su representación gráfica.

y = 1



Página 83

Las soluciones, pueden hallarse de manera algebraica y representarse gráficamente. Las mismas

pueden ser:

Ejemplo 1

La solución del sistema es S ={(4;7)}.

Puede entonces concluirse que dicho sistema posee una solución única ya que las rectas se

intersecan en un punto determinado. El sistema es compatible determinado.

Se puede observar que, si dos rectas se intersecan en un punto, las pendientes de sus ecuaciones

son distintas.

Ejemplo 2:

La solución del sistema es S = {(x;y) є R2 / y = ¼ x – ½ }.

Al despejar de las dos ecuaciones la incógnita y, se observa que se obtiene la misma recta. Si se

las grafica, las mismas coinciden por lo tanto, este sistema tiene:

Infinitas soluciones.

Las rectas son coincidentes.

Entonces el sistema es compatible indeterminado.

Se puede observar que, si dos rectas son coincidentes,

la pendiente y la ordenada al origen de sus ecuaciones son

iguales.



Página 84

Ejemplo 3:

Se observa que la solución algebraica da como resultado una inconsistencia porque cero no es

igual a cinco negativo. Entonces, la solución del sistema se escribe: S = { }, que significa conjunto

vacío. Este sistema:

No tiene solución.

Las rectas son paralelas.

Recibe el nombre de sistema incompatible.

Ejercicios:

1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones y clasificarlos según su solución.

2) Determine el valor de k para que el sistema sea compatible

indeterminado.

3) Dado el sistema . Analice los valores de k para que sea:

a) compatible determinado

b) compatible indeterminado. Ejemplifique gráficamente cada caso.

Se puede observar que, si dos rectas

son paralelas, la pendiente es la

misma en cada ecuación y la

ordenada al origen de sus ecuaciones

son distintas.



Página 85

Actividades integradoras

1) A cada una de las siguientes oraciones

clasificarla como verdadera o falsa. Justificar la

respuesta.

a) Un sistema de ecuaciones posee una e infinitas

soluciones a la vez.

b) Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 se

grafica en un sistema de ejes cartesianos

tridimensional.

c) Cuando el sistema de ecuaciones es

incompatible significa que las rectas que lo forman no

se intersecan en ningún punto.

d) Dos rectas con igual pendiente forman un

sistema.

e) La solución de un sistema de ecuaciones

lineales se obtiene de manera exacta aplicando el

método gráfico.

f) Al resolver un sistema de ecuaciones lineales

con el método de sustitución se obtiene la solución S1

y, si se resuelve el mismo sistema aplicando el

método de reducción se obtiene la solución S2,

considerando que S1 ≠ S2.

2) Dos amigos fueron a visitar una granja en la

que había gallinas y conejos. Al salir, uno de ellos

preguntó al otro: - ¿Cuántas gallinas y conejos había?

Sabiendo que en total había 72 ojos y 122 patas.

3) Al comenzar los estudios de Bachillerato se les

hace un test a los estudiantes con 30 preguntas sobre

Matemáticas. Por cada pregunta contestada

correctamente se le dan 5 puntos y por cada respuesta

incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un

alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas

respondió correctamente?

4) En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg

de naranjas y 5 Kg de patatas por 835 ptas. y 4 Kg de

naranjas y 2 Kg de patatas por 1.285 ptas. Calcula el

precio de los kilogramos de naranja y patata.

5) ABC es un triángulo. Las ecuaciones de las

rectas que forman sus lados son: AB:

AC: BC:

Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo.

Graficar.

6) El perímetro de un triángulo isósceles es

18cm. cada uno de los lados iguales es tres unidades

mayor que la base. ¿Cuánto mide cada lado?

7) Si se sabe que las igualdades

y , se cumple cuando e .

¿Qué números son y ?

8) Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros

de perímetro. Calcula sus dimensiones.

9) El largo de un rectángulo supera al ancho en

un 30% y el perímetro es 44 cm. ¿Cuáles son las

dimensiones del rectángulo?

10) Un agricultor mendocino prepara la tierra para

sembrar repollo y ajo. Para cada parcela destinada a

repollo emplea 60kg de superfosfato triple y 150kg de

urea. Para una parcela destinada a ajo emplea 100kg de

superfosfato triple y 180kg de urea. Este agricultor

dispone de 1000kg de superfosfato triple y 2220kg de

urea. ¿Cuántas parcelas de cada plantación puede

preparar para emplear todo el superfosfato triple y la

urea?

11) Dos tanques A y B contienen una cierta

cantidad de agua y se están llenando a través de

distintas mangueras. El tanque A tiene una cantidad

inicial de 400 litros y el caudal de agua que recibe es de

20 l/s, el tanque B tiene una cantidad inicial de 200

litros y recibe 90 l/s. Hallar si existe el momento en el

cual ambos tanques contienen igual volumen de agua.



Página 86

Función Cuadrática

OBJETIVOS:

1. Conocer los elementos básicos de una función cuadrática.

2. Identificar los distintos tipos de parábolas.

Actividades de introducción:

1) Si en un cuadrado aumentamos en unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo.

Calcula el área del rectángulo en función del lado del cuadrado.

2) Una mujer tiene un estanque rectangular de . Quiere

hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:

a) La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.

Llama a la anchura constante del camino. ¿Cuál será el área del

camino?

b) Calcula los valores de cuando x es y . Escribe los valores en una tabla.

c) Dibuja un par de ejes y dibuja los puntos .

d) Si el área del camino ha de ser de , utiliza la gráfica y averigua el ancho del camino.

e) ¿Para qué valor de es ?



Página 87

Una función y=f(x) es una función cuadrática si y solo si f(x) puede escribirse en la forma

cxbxaxf ..)( 2, donde a, b y c son constantes y 0a . La gráfica de una función cuadrática se

denomina parábola.

Ejemplos:

Expresión polinómica de la función cuadrática

Una función de la forma:

Con y pertenecientes a los reales y , es una función cuadrática. En la ecuación

cuadrática sus términos se llaman:

Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si le falta el término lineal y/o

independiente se dice que es incompleta.

Una de las aplicaciones de la función cuadrática, es la altura que alcanza un objeto después

de transcurridos segundos, cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una

rapidez inicial v0:

Si la velocidad inicial es 10 m/s y la aceleración es , entonces la altura es:

Al graficar esta función dándo algunos valores para t, se obtiene:

La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando en

la función:

Término Lineal Término Cuadrático Término Independiente



Página 88

Interpretando físicamente lo anterior, se afirma que a los y segundos la altura del objeto es

cero, es decir, está en el suelo.

Por otro lado, se puede observar en el gráfico en segundo se encuentra la máxima altura,

y si reemplazamos en la función, se obtiene . Este punto

donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice de la parábola.

Analicemos a continuación, las características o elementos del gráfico de una función

cuadrática.

Elementos del gráfico de una función cuadrática

Intersección con el eje X: Raices

Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de para los cuales la

expresión vale , es decir los valores de tales que . Gráficamente corresponden a las

abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje X. Se puede ver a continuación que existen

parábolas que cortan al eje X en:

Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos , es decir:

Ningún punto.

Dos raíces complejas.

Dos puntos.

Dos raíces reales distintas.

Un punto.

Una raíz real.



Página 89

Cálculos Auxiliares:

2

2

22

4

44

4

4

a

acb

a

a

acb

a

ca

b

Pero para resolver se observa que no podemos aplicar las propiedades de las

ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado

y un término constante. Entonces, para resolverla se puede hacer uso de la fórmula resolvente:

Partimos de la ecuación:

Sacamos como factor común y nos queda:

Completamos cuadrado y obtenemos:

Despejando la x:

Al resultado de calcular se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación

presenta distintas posibilidades:

Si hay dos soluciones posibles.



Página 90

Si el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola

solución real.

Si la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución

real.

Entonces, si la ecuación esta completa ya se sabe como calcular las raíces (con la fórmula):

Por ejemplo, dada la función cuadrática , se hace y se

calculan las raíces utilizando la fórmula resolvente porque resulta una ecuación cuadrática

completa:

Si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación:

Primer caso (falta término independiente): , al factorizar la expresión se tiene

, y las raíces son y .

Por ejemplo, dada la función y = 4x2 - 3x, se iguala a cero: 4x2 - 3x=0, se extrae factor común

y se tiene , una raíz es y la otra .

Segundo caso (falta término lineal): , al despejar de la ecuación se tiene que

las raíces son y .

Por ejemplo, dada la función , se iguala a cero: , se despeja y se

tiene , entonces y .

Intersección con el eje Y



Página 91

Sea la función cuadrática: , cuando la parábola intercepta al eje Y ,

y si se reemplaza este valor en la ecuación, se obtiene:

Por lo tanto la intersección entre la parábola y el eje Y es el punto

Eje de Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos las

raíces 21 xyx , el eje de simetría pasará por el punto medio entre éstas, o sea

Por ejemplo, dada la ecuación de la parábola , sus raíces son 1 y -3,

calculamos el eje de simetría:

Vértice

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada ,

que notaremos vale:

Conocida la coordenada de un punto, su correspondiente coordenada se calcula

reemplazando el valor de en la expresión de la función.

Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función

de la siguiente manera:



Página 92

En el vértice se calcula el máximo (o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola

tenga sus ramas para abajo o para arriba.

Si , en la ordenada del vértice se encuentra el mínimo de la función:

Si , en la ordenada del vértice se encuentra el máximo de la función:

Por ejemplo, siguiendo con la ecuación , sabemos que la abscisa del vértice

coincide con el eje de simetría que ya calculamos , para hallar la ordenada del vértice ,

reemplazamos en la ecuación , y obtenemos

.

Influencia de los parámetros

Concavidad

El parámetro o coeficiente “a” nos indica la concavidad de la parábola.

Si , la parábola se abre hacia arriba, se dice que es cóncava hacia arriba:

Si , la parábola se abre hacia abajo, se dice que es cóncava hacia abajo



Página 93

Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas

Influencia del parámetro a: parábolas del tipo ( , )

Un resultado importante: la forma de una parábola depende única y exclusivamente del

coeficiente a de , es decir, cualquier parábola del tipo

tiene la misma forma que la parábola

.

Por ejemplo: La parábola tiene

la misma forma que ; encajan perfectamente una

encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.

Al someter la parábola a una traslación de vector , que son las

coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola .

Las parábolas de ecuación

tienen por vértice el punto .

Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. Las ramas van hacia arriba si

o hacia abajo si .

Cuando más grande sea , más

cerrada es la parábola.



Página 94


1) Representa gráficamente la función cuadrática:

Resolución:

Primero, se halla el vértice de la parábola

El eje de simetría de la parábola coincide con la abscisa del vértice. Es la recta .

Segundo, se calcula los puntos de corte con el eje X (las raíces). Para esto se iguala la ecuación a

cero, y se utiliza la formula resolvente:

1;3;2

24

2

1216421

xxx

Las raíces son y , y los puntos de corte con el eje X son y .

Tercero, se calcula los puntos de corte con el eje Y, para esto se calcula el valor de cuando

, es decir:

, entonces el punto es

Por último, con los datos obtenidos se realiza la gráfica:



Página 95


Resolución:



Segundo, se calculan los puntos de corte con el eje X (las raíces). Para esto se iguala la

ecuación a cero y se utiliza la formula resolvente:

Coincide con el vértice:

Tercero, se calculan los puntos de corte con el eje Y, para esto se calcula el valor de cuando

, es decir:

, entonces el punto es (0 , 1)



Resolución:




Página 96


Segundo, se calculan los puntos de corte con el eje X (las raíces). Para esto se iguala la ecuación a

cero y en la formula resolvente se observa que el discriminante es negativo

, por lo tanto, las raíces de la ecuación son complejas y no hay intersección con el eje

X.

Tercero, se calculan los puntos de corte con el eje Y, para esto se calcula el valor de cuando

, es decir:

, entonces el punto es .


4) Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:

, y .

Como es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir:

De la misma manera, ha de cumplir:

Y ha de cumplir:

.

Se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Para resolverlo, se puede utilizar este método general:



Página 97

Cambia el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la 2ª) y súmala a las otras dos.

Se obtiene así un sistema 2 x 2: cuyas solucione es , y

Sustituyendo estos valores en cualquier ecuación del sistema inicial, se obtiene .

La parábola buscada es .


1) Halla el vértice, la ecuación del eje de

simetría, las raíces, el punto de intersección con

el eje Y, y grafique las siguientes parábolas:

a )

b)

c )

d)

e )

f )

2 ) Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos

cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

a )

b )

3) Una función cuadrática tiene una

expresión de la forma y

pasa por el punto . Calcular el valor de .

4) Se sabe que la función cuadrática de

ecuación pasa por los

puntos , y . Calcula , y .

5) Una parábola tiene su vértice en el punto

y pasa por el punto . Halla su

ecuación.



Página 98

6) Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:

Resolución del caso :

porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

La coordenada del vértice es negativa, es de decir ; luego , o lo que es lo

mismo, .

El único corte con el eje Y es el punto . Observando la gráfica, si prologamos las ramas,

.

Estudia los casos 2 y 3 restantes.

Problemas resueltos

1) El director de un teatro estima que si cobra $ 30 por localidad, podría contar con 500

espectadores y que cada bajada de $ 1 le supondría 100 personas más.

a) Calcula los ingresos obtenidos en función del número de bajadas del precio.

Observa la tabla:



Página 99

Pesos

descuento

Precio

Nº

espectadores

Ingresos

Los ingresos obtenidos son

, siendo el nº de euros de

descuento, en el precio de la entrada.

b) Calcula el número real de descuentos de $ que garanticen un máximo de ingresos.

es una parábola. Su forma es ∩ (por ser ) con lo cual

el máximo beneficio teórico se alcanza en el vértice.

La primera coordenada del vértice es: .

Sería mejor rebajar $ 12,5, en cuyo caso los ingresos serían de $ 30625.

2) La cantidad de un producto agrícola que será demandada a un precio (en pesos) está dada

por

a) ¿A qué precio serán demandados 24 productos?

Para averiguar el precio debemos resolver

Para que sean demandados 24 productos el precio debe ser $4 o bien de $1.



Página 100

b) ¿Qué cantidad será demandada si el precio es de $ 2,75?

La cantidad demandada será , o sea, .

Si el precio es de $ 2,75 se demandarán aproximadamente 26 productos.

Problemas para resolver

1) Un hortelano posee 50 m de valla para cercar

una parcela rectangular de terreno adosada a un muro.

¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?

2) Se lanza un proyectil hacia arriba. La altura

alcanzada “y” (en Km) y los kilómetros recorridos “x”

están relacionados por la ecuación .

Calcular la máxima altura alcanzada por el proyectil.

3) Un delfín toma impulso y salta por encima de

la superficie del mar siguiendo la ecuación:

donde y es la distancia al

fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en

segundos.

a. Calcular cuándo sale a la superficie y cuándo

vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del

lugar es de 20 metros.

b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

4) En un laboratorio se analizó el aumento

promedio del peso de pollitos alimentados con un

alimento que contenía 15% de proteína. La proteína

consistió en yemas de huevo y harina de maíz. Al variar

el porcentaje de harina de maíz en la mezcla de

proteínas, el grupo de investigadores estimó que el

aumento promedio en peso (en gramos) de un pollito

durante un cierto período fue de

, siendo .

a. Halle el aumento máximo de peso.

b. Calcule que porcentaje de maíz produce dicho

aumento máximo.

5) Una empresa estima que meses después de

colocar un producto nuevo en el mercado,

millones de hogares lo estarán utilizando.

Surge que , 0 .

a. Calcule el número máximo de casas en las que se

empleará dicho producto.

b. Determine cuantos meses han transcurrido desde la

introducción del producto para ese número máximo de

casas.

6) Se sabe que el costo de manufactura en

dólares por hacer mochilas en un día esta dado por

.

a. ¿De qué tipo de función se trata? ¿Cuál es su

representación gráfica?

b. Representa gráficamente la función costo.

c. ¿Cuál es el costo mínimo y cuántas mochilas se

producen al día?

d. ¿Cuesta más hacer 4 mochilas o hacer 7?

e. ¿Cuántas mochilas pueden hacerse por 50 pesos?

7) Si una planta recibe una luz de intensidad , la

razón de fotosíntesis medida en unidades adecuadas,

se encontró experimentalmente que esta dada por

para .

a. Indique de que tipo de función se trata y

represéntela gráficamente.

b. Indique para qué intensidad se da la razón de

fotosíntesis máxima.

8) El libro de los records de Guinness informa

que los perros pastores alemanes pueden efectuar saltos

verticales de más de 10 pies al escalar muros. Si la

distancia en pies, a los segundos es



Página 101

, determine durante cuántos segundos está el perro a más de 9 pies del piso.

Capítulo 4: Trigonometría

TRIGONOMETRÍA

Aunque los antiguos egipcios y babilonios han dejado ejercicios y tablas cuyo estudio permite

sospechar que poseían cierto conocimiento primitivo de la trigonometría, algunos historiadores

conceden el privilegio de su invención a un astrónomo griego conocido como Iparco de Nicea (siglo

II A.C.), quien, entre muchas otras proezas, estimó la duración del año solar en 365 días, 5 horas, 55

minutos y 12 segundos (es decir, excedido en apenas 6,5 minutos respecto del cálculo actual).

Desde un enfoque etimológico, la palabra trigonometría proviene del griego trigonon que

equivale a “triángulo”, metron que puede definirse como “medida” y tria que es sinónimo de “tres”;

podemos reconocerla como la rama de la matemática que se ocupa de las relaciones entre las

medidas de los lados y ángulos de los triángulos.

En este apartado, se abordará la resolución de triángulos rectángulos, para lo cual será necesario

tener interiorizados conocimientos básicos como: ángulos orientados en el plano, sistema de

medición y equivalencias entre los mismos, Teorema de Pitágoras, y las relaciones trigonométricas

fundamentales.

Ángulos orientados en el plano

Definición de ángulo:

Un ángulo está definido por una semirrecta r, que gira alrededor de su origen o (punto fijo), desde

la posición inicial r hasta la posición final r´.

Si la rotación es en sentido antihorario (contrario a las agujas del reloj), el ángulo generado es

positivo. Si la rotación es en sentido horario el ángulo generado es negativo.

y

x

Sentido horario.

r

r’

x

y

Sentido antihorario.

r

r’



Página 102

Observamos que la semirrecta puede pasar a la posición final r´ directamente, o después de dar

uno, dos, tres, o k giros completos en sentido positivo o negativo. Como los lados de estos ángulos

coinciden aunque no son iguales, pues difieren en uno o más giros, se llaman congruentes respecto

de los giros.

Sistemas de medición

Los sistemas de medición de ángulos frecuentemente usados son: sistema sexagesimal, y sistema

radial o circular.

Sistema sexagesimal

La unidad de medida de este sistema es el grado ( ), definido como la noventavas partes de un

ángulo recto.

Así siendo R la medida del ángulo recto.

En este sistema los submúltiplos de la unidad, son el minuto (‘) y el segundo en (‘’) definidos

como la 60 avas partes y 3600 avas partes respectivamente de la unidad. Es decir

Sistema radial o circular

Este sistema se basa en la medición de arcos de circunferencia, que se describen al girar la

semirrecta r hasta r’.

Observemos la siguiente figura, la semirrecta r gira en torno a O hasta r’ generando el ángulo

y el arco de circunferencia .

En el sistema radial o circular se define como unidad de medida al

radian, que es la medida del arco de circunferencia cuya longitud es

igual al radio de la circunferencia a la que pertenece.

o r

r’

α

r’

r β

o



Página 103

O sea, si la longitud de la semirrecta es igual a la longitud del arco , entonces el ángulo

se llama ángulo correspondiente a 1 radian.

Equivalencias entre el Sistema Sexagesimal y el Radial

Dado que un giro completo en grados es y medido en radianes es entonces podemos

escribir para cada ángulo medido en grados la siguiente correspondencia en radianes.

Radianes.

Radianes.

Radianes.

Luego, para saber cualquier otra medida aplicamos regla de tres simple y obtenemos los

resultados. Vemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo ¿A cuántos grados sexagesimales equivale 1 radián?

Solución: por regla de tres simple obtenemos:

Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

La geometría realiza un estudio de las distintas figuras geométricas reconociendo y estudiando

los elementos que componen dicha figura, aunque no establece una relación estricta entre esos

elementos.

La trigonometría hace un estudio exhaustivo de la relación entre los elementos fundamentales

(lado y ángulo) de las figuras geométricas. De estas figuras consideramos una de las más simples

como es el triángulo rectángulo (uno de sus ángulos es de 90º) relacionando sus lados y ángulos

mediante “las definiciones fundamentales de la Trigonometría”

Sea el triangulo

.

A

c

a

b

α

β

B

C



Página 104

Relacionemos el cateto opuesto al ángulo , la hipotenusa y el ángulo mediante la

definición de la función.

1.

2.

Relacionamos los catetos del triángulo rectángulo y mediante la definición de la función.

3.

Las relaciones reciprocas (no inversas) de las anteriores definen las siguientes funciones.

4.

5.

6.

Teorema de Pitágoras

El denominado Teorema de Pitágoras señala que el cuadrado de la hipotenusa, en los triángulos

rectángulos, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para comprender esto, hay que tener

en cuenta que un triángulo que se identifica como rectángulo es aquel que posee un ángulo recto (es

decir, que mide 90º), que la hipotenusa consiste en el lado de más longitud de dicha figura (y

opuesto al ángulo recto) y que los catetos se caracterizan por ser los dos lados menores del triángulo

recto.

La importancia que tiene, por tanto, este teorema es que nos permite descubrir una medida en

base a dos datos concretos. Es decir, conociendo las longitudes de dos lados de un triángulo

rectángulo podemos averiguar cuál es la longitud del tercer lado.



Página 105

Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo

rectángulo miden en 3m y 4m respectivamente.

¿Cuánto mide la hipotenusa?

Resolución:

mts

Ejemplo 2: La hipotenusa de un triángulo

rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m.

¿Cuánto mide otro cateto?

Resolución:

Mts

Resolución de triángulos:

Los triángulos rectángulos tienen muchas aplicaciones, en parte porque son muchas las

situaciones en el mundo real que los comprenden. Antes de resolver algunos problemas, observemos

que hay seis medidas asociadas con cada triángulo; la medida de sus tres ángulos en grados y las

medidas de sus tres lados. Debido a que el triángulo es rectángulo siempre conocemos una de esas

medidas (uno de los ángulos es de 90°). Si se dan “dos” de las cinco medidas restantes, incluyendo

la medida de por lo menos un lado, entonces podemos calcular las otras tres por medio de:

- Las funciones trigonométricas .

- La suma de los ángulos internos (SAI).

- El teorema de Pitágoras.

Después de haber determinado las seis medidas, decimos que el triángulo rectángulo está resuelto.

Ejemplos:

1) Datos: un ángulo y la hipotenusa.

Hallamos: Un ángulo y los dos lados.

2) Datos: el ángulo y un lado.

Hallamos: Un ángulo, un lado y la hipotenusa.

b

a

α =45°

β h = 3

h

b =

3

a

α =

30°

β



Página 106

3) Datos: La hipotenusa y un lado.

Hallamos: Un lado y los dos ángulos.

4) Datos: Dos lados

Hallamos: Los dos ángulos y la hipotenusa.

= 33° 41’ 24”

ACTIVIDADES PARA RESOLVER

1) Una escalera de 65 dm de longitud está

apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista

25 dm de la pared.

a) ¿A qué altura se apoya la parte superior de la

escalera en la pared?

b) ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar

el pie de esta misma escalera para que la parte

superior se apoye en la pared a una altura de 52 dm?

2) Complete el siguiente cuadro

Grados

sexagesimales 0 60 180 270 360

Radianes

3) ¿Cuántos grados sexagesimales equivalen a

radianes?

4) ¿Cuántos grados sexagesimales equivalen a

radianes?

5) Un árbol gigante proyecta una sombra de 160

metros de largo. Determine la altura del árbol si el

ángulo de elevación del sol es de 25,7°. Como

muestra la siguiente figura.

b h = 3

a = 2

a =

2

b = 3

h

α

β



Página 107

6) Desde un punto sobre el suelo a 150 metros de

la base de un edificio, se observa que el ángulo de

elevación hasta la parte superior del edificio es de

24º y que el ángulo de elevación hasta la parte

superior de la bandera del edificio es de 27º como

muestra la Figura. Determine la altura del edificio y

la longitud del asta de la bandera.

7) Una escalera de 12 metros de largo está

apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera

está a 2 metros de la base del edificio, ¿cuál es el

ángulo formado entre la escalera y el edificio?.

Realice una represenación gráfica del problema

para ayudarse a resolerlo.

8) Un depósito de agua está a 98 metros de un

edificio (ver figura). Desde una ventana del edificio

se observa que el ángulo de elevación hasta la parte

superior del depósito es de 39 grados y el ángulo de

depresión a la parte inferior es de 25º. ¿Cuál es la

altura del depósito? ¿A qué altura está la ventana?

9) Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20

cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60.

¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su

área?

10) Desde el suelo vemos el punto más alto de un

edificio con un ángulo de 60. Nos alejamos 6

metros en línea recta y este ángulo es de 50¿Cuál

es la altura del edificio?

11) La altura de la torre de la figura es de 35,083

metros. Calcular la distancia entre las dos

posiciones sucesivas de un observador, si α = 50o12’

y β = 32o54’.

A

B

M

h

α β

BIBLIOGRAFÍA:

Álvarez Cristina y otros. Matemática 9. Editorial Cúspide. España 2004.

Aragón Mariana y otros. Matemática 8. Editorial Estrada. Brasil, 2004.

Barallobres Gustavo y Sassano Mirian. Matemática 4. Editorial Aique. Buenos Aires, 1994.

Berio Adriana y otros. Matemática 1 Activa. Editorial Puerto de Palos. Buenos Aires 2001.

Camuyrano María Beatriz y otros. Matemática I. Editorial Estrada. Buenos Aires 2005.

Carione, Noemí y otros. Matemática 3. Editorial Santillana. Buenos Aires. 1995.

Engler Adriana y otros. Funciones. Editorial Ediciones UNL. Santa Fe, 2008

Etchegoyen Susana N. y otros. Matemática 1. Editorial Kapeluz. Buenos Aires, 2005.

Haeussler, Ernest F. y Paul, Jr. Richard S. Matemática para administración y economía. Editorial

Prentice Hall. México 2003.

Itzcovich, Horacio y otros. Matemática 1 Polimodal. Editorial Tinta Fresca. Buenos Aires. 2007.

Martínez Miguel y Rodríguez Margarita. Matemática. Editorial Mc Graw Hill. Chile, 2004.

Max. Sobel. Norbert Lerner. Algebra. Editorial Prentice Hall. México.

Zapico, Irene y otros. Matemática. Serie Perspectiva. Editorial Santillana. Buenos Aires. 2006

ANEXO

Profesor

Por qué enseñar hoy

Philippe Meirieu

Incluye las entrevistas realizadas por Marie-Christine Leû

en «Conversaciones con jóvenes profesores»

Carta a un joven

2

Enseñamos para que los demás vivan la alegría de nuestros propios

descubrimientos

Estoy convencido de que si actualmente sois profesor es porque un día u otro, durante vuestra escolarización,

conocisteis a algún profesor cuya voz todavía resuena dentro de vosotros. Tal vez ya os fijasteis en él el primer

día del curso y os dijisteis: «Éste, o ésta, no es igual que los demás…». O bien, os fue domesticando poco a poco,

a lo largo del curso, hasta el punto de que el día en que empezaban las vacaciones os sentisteis tristes y huisteis

de los festejos habituales para ocultar vuestro enfado solos en un rincón. Nunca le habéis confesado a nadie la

importancia que tuvo para vosotros, y menos todavía a los compañeros y compañeras de clase. Este tipo de

confesión es imperdonable y os condena a las burlas constantes o a la

persecución. Tampoco les dijisteis nada a vuestros padres: satisfechos de

ver a su hijo valorar la escuela pero suspicaces con respecto a aquél cuya

influencia podría competir con la de ellos. Desde el famoso cuento del

flautista4, los adultos siempre alimentan una especie de inquietud con respecto a la persona que seduce a sus

hijos; todos ellos tienen, en algún lugar, una deuda pendiente y temen que se la hagan pagar muy caro:

robándoles a su hijo o hija.

Asimismo, en la mayoría de los casos, este encuentro es para vosotros un asunto íntimo… Sin embargo, a

partir de este momento, habéis empezado a trabajar de otra manera. A escuchar de otra manera, a mirar de otra

manera, a vivir de otra manera lo que sucedía en clase: por fin, estabais presentes en la clase. Pero no se trataba

de una presencia episódica, cuando uno «se conecta» entre dos ensoñaciones mientras sigue mirando de reojo

las agujas del reloj, sino de una presencia con una densidad especial. La sensación de que sucede «algo»

importante que compromete a todo vuestro ser: corazón e inteligencia. Incluso cierta exaltación que nunca

habríais sospechado y que no os atrevéis a nombrar: «El inglés o la biología… ahora me interesan». Claro que la

expresión es bastante limitada para una realidad tan particular: un acuerdo casi perfecto, una forma de entrar en

relación, mediante otro ser, con un objeto de saber que -si bien vosotros todavía no tenéis conciencia de ello-

os eleva y os ayuda a crecer. Por supuesto, no han desaparecido todas las

dificultades de un día para otro, pero algo ha cambiado: ahora existe, para

vosotros, una posibilidad, en el futuro, de aprender esa asignatura. Habéis

sentido esta forma de júbilo del espíritu que, de golpe, encaja con el

mundo que éste descubre. Uno no sale incólume de una aventura como

ésta5.

4 Sin duda se trata de la célebre leyenda del flautista de Hamelin, cuento medieval readaptado por los hermanos Grimm, pero también por Hugo, Baudelaire o

Camus. Hay bellos álbumes para niños sobre esta leyenda, por ejemplo, Le joueur de flûte d’Hamelin. Paris. Soleil productions, 2003.

5 El 66% de docentes de institutos y colegios reconoce que su elección profesional ha venido dictada desde muy pronto por el encuentro con

uno de sus docentes a lo largo de su escolarización, en comparación con un discreto 29% que confiesa haber obrado influido por sus padres

(«Portrait des enseignants de collèges et lycées», en Évaluation et statistiqes. Paris. Ministère de lʹÉducation Nationale, abril del 2005). No

En el fondo de nuestra vocación

hay un encuentro creador de todo.

Toda la vida seguimos siendo el

alumno del maestro que nos ha

abierto la puerta al saber.

Y probablemente, una de las debilidades principales de nuestra condición humana es la de necesitar para

llevar a cabo esta experiencia, la mediación de un hombre o una mujer cuyo espíritu se ha adueñado, antes que

nosotros, de un objeto de saber, y cuyas palabras nos lo hacen asequible. No cabe duda de que seríamos menos

vulnerables, porque seríamos más «autosuficientes», en el sentido más amplio del término, si fuéramos capaces

de llegar a esta experiencia solos. Pero incluso el propio Robinson Crusoe sólo aprende por mediación de los

objetos que recoge de los restos del naufragio y ningún «pequeño salvaje» a quien se haya privado durante

mucho tiempo de la presencia humana ha llegado a convertirse en adulto6.

Así tenemos que ser introducidos en el mundo y acompañados hacia el conocimiento. Así quedamos para

siempre en deuda con quien, junto a los aprendizajes mecánicos y rutinarios, nos han dejado entrever lo que

significa de verdad aprender. Por siempre deudores y por siempre alumnos. Igual que Albert Camus, quien, al

día siguiente de recibir el premio Nobel, expresó su gratitud a su maestro de antaño, el señor Germain, sin el

cual «nada de todo esto habría ocurrido» antes de firmar: «uno de sus pequeños alumnos que, a pesar de la

edad, no ha dejado de ser su alumno agradecido». Y es que la clase del señor Germain era algo extraordinario…

«Por primera vez, (unos alumnos) sentían que existían y que eran objeto de la más alta consideración: se les

juzgaba dignos de descubrir el mundo»7. Por eso, uno es «elevado». Y siempre seguirá siendo un «alumno»8.

Y todos nosotros, vosotros y yo, tenemos un señor Germain en nuestra historia. A veces, nos olvidamos

de él por un momento, sin embargo, su influencia nos ha ayudado a construirnos. En algún momento de nuestra

vida, cuando hemos tenido que elegir los estudios o decidir nuestra orientación profesional, hemos recuperado

la imagen de nuestro maestro, el señor Germain. Fugazmente o durante más tiempo. Es una lección de

aritmética sobre la proporcionalidad -viejos recuerdos de la escuela primaria- que nos lleva imperceptiblemente

hacia el profesorado, justo cuando las presiones familiares nos empujaban, con toda naturalidad, a ser

ingenieros. Es este sentimiento, descubierto en educación física, de dominar completamente el propio esfuerzo,

de ajustar con precisión el movimiento, de habitar totalmente el cuerpo gracias a la inteligencia de su actividad

motriz, el que puede, un día, hacer que elijamos la carrera de profesor de educación física y deportes cuando

sería mucho más prestigioso embarcarse en la aventura de la competición. Es el recuerdo del carácter

absolutamente fabuloso del aprendizaje de la lectura o del misterio infinitamente preciosos que oculta todo

mapa geográfico que puede hacer que nos decidamos a abrir, cuando nos toque, las puertas de lo desconocido

a otros niños. Es el recuerdo de un experimento científico lo que nos ha puesto, de golpe, ante perspectivas

fantásticas, o incluso la admiración sentida ante un texto literario, que podría parecer muy ingrato pero que

acabamos recitando cien veces al día, de tan necesario que se ha convertido para nosotros… todo esto es lo que

nos alienta a intentar que se produzca, llegado el momento, el acto pedagógico.

disponemos de cifras sobre los docentes de educación primaria pero podemos aventurar la hipótesis de que los resultados, aunque sean un

poco inferiores, todavía darían una importancia muy grande al encuentro con un «modelo» en la elección de la profesión.

6 Si el tema os interesa, leed la obra de Lucien Malson: Les enfants sauvages. Paris. Union Géneral dʹÉditions, 1964. Encontraréis la historia de los principales

«pequeños salvajes» hallados en el planeta, con una bella reflexión sobre la «condición humana». (Trad. cast. Los niños salvajes. Madrid. Alianza. 1973.)

7 Albert Camus: Le premier Homme. Paris. Gallimard, 1994, p. 56. (Trad. cast.: El primer hombre. Barcelona. Tusquets, 2001 [3a ed.].)

8 N. de la T.: En español, estas dos últimas frases pierden el sentido original puesto que no se puede mantener el juego de palabras de que se sirve el autor

por la similitud morfológica entre los dos términos «élevé» (elevado) y «élève» (alumno).

A partir de ese momento, no es de sorprender que consideremos

nuestra labor como un medio de hacer vivir a los demás la alegría de

descubrir lo que nosotros mismos hemos vivido.

En todo profesor existe la nostalgia de una «escena primitiva», como dicen los psicoanalistas, que éste

conserva celosamente. Y no hay nada de malo en este fenómeno. Todo lo contrario: es una extraordinaria fuente

de energía. También es un punto de referencia, una baliza para navegar durante el temporal. Pues la fidelidad a

este acto creador nos sigue proporcionando un horizonte posible cuando las condiciones de ejercicio del

trabajo cambian, los programas evolucionan y todo lo que en la escuela nos recordaba a nuestra propia

escolaridad ha desaparecido.

Así es como, en primer término. Enseñamos para mostrarnos dignos de aquel o aquella que antaño nos

enseñó. Es de ahí de donde tal vez extraigamos la determinación y la energía para pasar por las horcas caudinas

de unas oposiciones con pruebas siempre difíciles, con frecuencia ingratas y raramente adecuadas a la profesión

que tendremos que ejercer. El rito iniciático interviene aquí plenamente y opera la transubstanciación que nos

permite esperar, finalmente, estar a la altura del profesor. Una exigencia evidentemente imposible de satisfacer:

nuestros recuerdos de alumnos siempre son también recuerdos de infancia… anteriores al descubrimiento de la

inevitable mediocridad del mundo. Del tiempo en que todavía

conseguíamos olvidar a los que estaban a nuestro alrededor, aquellos que,

al contrario que nosotros, no lograban hallar placer en armonizar la frase o

resolver el ejercicio, los que se quedaban en la cuneta, como nosotros

mismos, quizás, en otra época o en otra asignatura…9.

Sin duda es por ello que todo profesor sueña en su labor como en la transmisión de tesoros fascinantes

para discípulos conquistados. Es por ello que aspira a «un acto pedagógico total», como Sócrates, en Fedra de

Platón, que conversa agradablemente con su alumno mientras se pasea por la orilla de un arroyo:

Giremos por aquí y bajemos por el Ilisos: nos sentaremos tranquilamente en el lugar que más nos

plazca. […] Creo que debería tenderme en la hierba, tú ponte como te sientas más cómodo para

leer y empieza. Situación idílica donde la comunión es tal entre el maestro y su discípulo que este

último es el que, en el momento de marcharse, marca el paso: Todavía no, Sócrates, no antes de

que el calor haya pasado. ¿No ves que es casi mediodía, la hora de más calor? Mejor nos quedamos

a charlar de lo que acabamos de decir…10

Evidentemente, sabemos muy bien que hace siglos que el río Ilisos ya no pasa por delante de la tarima

del profesor. Hemos comprendido perfectamente que actualmente la transmisión se organiza en grupos, se

efectúa en espacios y horarios limitados, a partir de programas impuestos y con multitud de tareas enmarcadas

de las que no podemos escabullirnos: verificación de ausencias, corrección de los trabajos y evaluaciones de

todo tipo, reuniones de concertación, encuentro con las familias, redacción de proyectos múltiples y de

numerosos informes. Peor aún de sobrellevar que el peso de la administración es la ingratitud de los alumnos

puesto que, aunque todo profesor espere en secreto que algún día esta situación cambie, percibe la impaciencia

9 El 87% de los docentes de educación secundaria se describe como antiguos buenos alumnos en su asignatura («Portrait des enseignants de collèges et

lycées», en Évaluation et statistiques. Paris. Ministère de lʹÉducation Nationale, abril del 2005). Pero no os preocupéis si no formáis parte de esta inmensa

mayoría. La encuesta no revela que solamente estos «antiguos buenos alumnos» sean excelentes profesores.

10 Platón: Phèdre. (Traducción de Émile Chambry). Paris. Garnier/Flammarion, 1992, pp. 116, 119 y 135.

Una aspiración legítima al

encuentro ideal con alumnos

perfectos.

Una decepción inevitable pero

dolorosa.

de sus alumnos en el momento del recre. Secretamente espera, a menudo en vano, que un discípulo venga a

decirle en voz baja: «Todavía no, profesor, mejor nos quedamos a charlar de lo que acabamos de decir…».

Pero como ya explica Daniel Hameline11 a aquellos y aquellas que todavía sueñan con que la clase sea

una verdadera fiesta del saber, una celebración colectiva consentida de la inteligencia de las cosas, un grupo de

descubrimiento alegre y espontáneo, «a partir de ahora, la fiesta está en otra parte». Irremediablemente, para la

inmensa mayoría de alumnos, nunca más habrá fiesta en la escuela… porque precisamente «la fiesta se produce

cuando no hay escuela».

Así que nos hemos quedado desprovistos del todo, viviendo en la

esperanza de lo que, a partir de ahora, parece imposible, después de hacer

elegido un trabajo para materializar algo que resulta inasequible.

Constantemente insatisfechos y esperando en vano cada año que nos

toque la «clase adecuada», «los alumnos adecuados», con los que podamos recrear la imagen primitiva de la

cual se alimenta nuestra elección profesional. Tal vez sea por ello que la promoción, en la educación nacional

consiste en acercarse, en función de la antigüedad y de la escala salarial, a los públicos elegidos -los «grandes

institutos», las clases preparatorias para las grandes escuelas- en los que tenemos -o eso nos parece a nosotros-

unas cuantas oportunidades más de encontrar aquello a lo que aspiramos legítimamente… Pero tan sólo unas

pocas oportunidades más, ya que incluso en la universidad nos desencantamos pronto. Y así es cómo acabamos

por quedarnos solos, al final de la clase, esperando en vano la frase que justificaría, en definitiva, todo nuestro

esfuerzo: «Todavía no, profesor, mejor nos quedamos a charlar de lo que acabamos de decir…».

He aquí una serie de cosas de las que apenas hablamos y que, no

obstante, son nuestro bagaje común: todos vivimos en una disparidad,

difícil de aceptar entre nuestro ideal y nuestra vida cotidiana. Y sufrimos

por ello: con mayor o menor intensidad, a veces hacemos que el

sufrimiento vuelva hacia nosotros: «Soy un verdadero inútil y nunca debiera haberme dedicado a esta

profesión». A veces, lo transformamos en agresividad contra la «pseudodemocratización de la escuela» y «el

descenso del nivel que fomentan los políticos demagógicos». Creedme: no hay ningún profesor que esté a salvo

de estas quejas. Y no os sintáis culpables por ceder a ellas en algunas ocasiones. Es el inevitable reverso de la

moneda. El reverso de la ambición luminosa que nos ha hecho elegir esta

profesión…

Soy el primero en comprender -porque yo mismo lo he vivido- este

sentimiento de irritación frente a lo que se presenta ante nosotros como

un acoso administrativo absurdo en comparación con nuestro proyecto de

enseñar: «Sr. Meirieu, no ha cumplimentado usted correctamente el cuaderno de textos de la clase… Se está

retrasando en la entrega de las notas… ¿Acaso se ha olvidado de las últimas instrucciones ministeriales sobre

11 Daniel Hameline: Le domestique et l’affranchi. Essai sur la tutelle scolaire. Paris. Éditions ouvrières, 1977, pp. 167-180. Si os gustan la historia y la filosofía

de la educación, es imprescindible leer las obras de este autor. Fue y sigue siendo un maestro para mí, en el sentido más amplio de la palabra. Comprometido,

en la década de los sesenta, en un experimento de «pedagogía no directiva» (y, contrariamente a lo que se cuenta, no eran muchos los que exploraban esta

vía, a lo sumo, unas cuantas decenas), supo analizarla con una lucidez extrema (La liberté d’apprendre, situation 2, rétrospective sur un enseignement non-

directif, en colaboración con Marie-Joêlle Dardelin. Paris. Éditions ouvrière, 1977). Desde entonces se esfuerza por encontrar «la palabra justa» en las

cuestiones de educación, lejos de los delirios tecnológicos y de los panfletos de moda. Su libro Les objectifs pédagogiques en formatoion initiale et constinue

(Paris. ESF éditeur, 2005 [14a ed.]) es a la vez una herramienta de formación y un texto de reflexión sobre los envites que plantea el pensamiento

pedagógico… con una buena dosis de humor de regalo.

Nosotros somos los encargados

de hacer vivir a los demás el

acto creador que hemos vivido.

La irritación ante las exigencias

institucionales que nos parece

tan alejadas de lo esencial.

Una decepción inevitable pero

dolorosa.

gramática? ¿Se ha ocupado de convocar a los padres de este alumno? ¿De hablarle al asesor educativo de aquel

otro y de reunirse con la asistenta social para recordarle el caso de un tercero?». O también: «Sr. Meirieu, no ha

hecho usted nada por la semana de la prensa en la escuela, ¿qué piensa hacer para la semana contra el racismo?

¿Acaso no subestima usted su papel en cuanto a la educación para la salud? Parece que se le han olvidado

cuáles son nuestras responsabilidades en materia de prevención de accidentes de tráfico. ¿Está usted seguro de

que el libro con el que enseña a leer a sus alumnos está en el programa?». Acabamos explotando. Y, en los

momentos de cólera, acabamos preguntándonos si los que se ocupan de la administración de nuestra

institución no tienen como objetivo principal impedir que enseñemos.

Sin duda los responsables de la máquina-escuela no han valorado en su justa medida este fenómeno. A

veces incluso nos preguntamos si no sueñan con una institución sin profesor: una especie de self-service en el

cual los alumnos serían puestos a cargo, alternativamente, de ordenadores y de interventores externos, con

evaluación en tiempo real de las competencias adquiridas y nueva repartición inmediata en «grupos

provisionales y adaptados». De este modo, los directores y los altos cargos

de centros de enseñanza podrían, a partir de un diagnóstico inicial de los

alumnos, conseguir lo más parecido posible a la eficacia inmediata,

identificar, de la mejor manera posible a los alumnos rebeldes y poner en

práctica los remedios necesarios… sin tener que hacerse cargo de los estados de ánimo de profesores que

todavía sueñan con pasearse, de vez en cuando, por la orilla del Ilisos.

Por lo que a mí respecta, no guardo la menor simpatía por esta fantasía tecnocrática que recuerda las

escenas más sombrías de la ciencia ficción. Ante todo, soy profesor e, igual que vosotros, no estoy contento de

verdad hasta que me acerco un poco a mi fuente interior o cuando salgo de una clase con la sensación de que

«ha ido bien».

Sé muy bien que al confesar esto, corro un riesgo doble: por una parte, el de la necedad y por la otra, el

de la provocación. Necedad, para los incrédulos de las ciencias llamadas «humanas» que me encasillarán

definitivamente en el ámbito de los mediocres: «Ahora Meirieu se pierde en lo indecible… Un poco más y caerá

en una crisis de misticismo». Provocación para los defensores de los «conocimientos disciplinarios» que ven en

mí a un sepulturero de la cultura: «Después de todos los discursos que ha mantenido sobre el proyecto de

centro educativo y la pedagogía diferenciada, ¿cómo vamos a creer esta confesión insolente?». Y sin embargo,

ante un profesor joven, lo digo y lo mantengo: no crearemos la «escuela del éxito de todos» como nos invitan a

hacer los políticos, contra lo que mueven a cada profesor en su proyecto más íntimo. Tampoco la crearemos sin

los profesores en su conjunto. Imponiéndoles desde el exterior toda una serie de obligaciones que no tienen

nada que ver con sus principales preocupaciones y que suelen vivir como obstáculos para desempeñar su

misión.

Por esto defiendo la idea iconoclasta según la cual sería conveniente que toda persona que asume

responsabilidades administrativas o pedagógicas mantuviera un contacto regular con los alumnos: que el

director del centro siga enseñando algunas horas por semana su asignatura principal, igual que el inspector, e

incluso el inspector general. Que tanto los funcionarios de la administración central del ministerio como los

rectores y sus colaboradores sigan dando clases en el ámbito escolar y universitario.

Para que nadie olvide de dónde emana y dónde puede regenerarse continuamente el proyecto de

enseñar.

Ante todo, seguir siendo

profesor… hasta lo más alto de

la jerarquía.

instituto superior de profesorado nº 4 “Ángel...

Documents