INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA INDUSTRIAL RAFAEL NAVIA VARÓN DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS    

ONCE  

EAP IP. NÚMEROS REALES - Representación de números reales 1. A partir de la unidad fraccionaria 1/3, representa en la recta real: 1/3, 4/3, 6/3, -2/3 Solución:

2. En el diseño de un ingeniero aparece un triángulo equilátero cuyo lado mide 8

. Indica un procedimiento para que el ingeniero pueda tomar la medida de la longitud de dicho lado y pintar el triángulo. Solución: Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de cada uno de sus

catetos, en el que se puede comprobar que la hipotenusa mide 8

. Se toma esta medida con un compás y se lleva sobre la recta real cortando la misma en dicha posición.

3. Un delineante debe pintar un cuadrado cuyo lado debe medir 11 indica como puede obtener la medida de dicho lado. Solución: Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de uno de los lados y tres en el otro, en el

que se pude comprobar que la hipotenusa mide 10

. La hipotenusa de este triángulo se usa como cateto de otro triángulo rectángulo. El otro cateto se toma de

una unidad y la nueva hipotenusa medirá 11

4. Representa en la recta real los siguientes números:

5443

25

−−

Solución:

h h h h

5− 43

− 0 4 25

5. Representa en la recta real 26 utilizando el Teorema de Pitágoras. Solución:

22 1526 += 1 0 5 26

- Clasificar números reales 1. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón: a) 0,55555555... b) 0,125689312... c) 1,3525252... d) 0,75 Solución: a) 0,55555555...→ RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en forma fraccionaria b) 0,125689312... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico. c) 1,3525252... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en forma fraccionaria d) 0,75→ RACIONAL porque es un número decimal exacto 2. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón: a) 1,3030030003... b) 2,1245124512... c) 4,18325183251... d) 6,1452453454... Solución: a) 1,3030030003... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico. b) 2,1245124512... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en

forma fraccionaria. Su periodo es 1245 c) 4,18325183251... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en

forma fraccionaria. Su periodo es 18325 d) 6,1452453454... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico. 3. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:

a) 2π

b) 23

c) 3

3

d) 100001

1−

Solución:

a) 2π

→ IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no periódico.

b) 23

→ IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no periódicas.

c) 33

→ IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras decimales no periódicas.

d) 1000011

−

→ RACIONAL porque el cociente de la fracción es un número decimal periódico. - Intervalos, semirrectas y entornos 1. Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:

2x1- d) 3x0 c) -1x4- b) 0x3- a) ≤≤<≤≤<<<

Solución: a) Abierto (-3,0) b) Abierto por la izquierda (-4,-1] c) Abierto por la derecha [0,3) d) Cerrado [-1,2]

2. Escribe y dibuja los siguientes intervalos:

1x d) x0 c) x1- b) 1x a) ≤≤<−<

Solución:

a) ( )1,−∞−

b) ( )+∞−1,

c) [ )+∞0,

d) ( ],1∞−

3. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:

( ) ( )( ) ( )( ] [ )( ) ( ) =−−∞

=∞∞

=∞∞

=∞∞

47,-3- d)0,,0- c)0,,0- b)

0,,0- a)

∪∩∩∪

Solución: ( ) ( ) ( ) { }( ) ( )( ] [ ) { }( ) ( ) ( )3,47,-3- d)

00,,0- c)00,,0- b)

0,0,,0- a)

−∞−=−−∞

=∞∞

/=∞∞

−∞∞−=∞∞

∪∩∩∪

4. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones: ( ) ( )( ) ( )( ) [ ]( ) [ ] =−

=−

=−−∞

=−−∞

2,24,4- d)2,24,4- c)

47,,-3- b)47,,-3- a)

∩∪∩∪

Solución: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )( ) [ ] [ ]2,22,24,4- d)

4,42,24,4- c)47,47,,-3- b)3,47,,-3- a)

−=−

−=−

−−=−−∞

−∞−=−−∞

∩∪∩∪

5. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:

( ) ( )( ) ( )( ] [ )( ) ( ) =−−∞

=∞∞

=∞∞

=∞∞

47,-3- d)0,,0- c)0,,0- b)

0,,0- a)

∪∩∩∪

Solución: ( ) ( ) ( ) { }( ) ( )( ] [ ) { }( ) ( ) ( )3,47,-3- d)

00,,0- c)00,,0- b)

0,0,,0- a)

−∞−=−−∞

=∞∞

/=∞∞

−∞∞−=∞∞

∪∩∩∪

- Operar utilizando las propiedades de las potencias 1. Expresa el resultado como potencia única:

( ) ( ) 43

5-2

432

6:6- c)

72

72 b)

43 a)

−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )74343

35-2

24432

666:6- c)

72

72

72 b)

43

43 a)

−=−=−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−−

−

2. Expresa los números como multiplicación de factores iguales y luego en forma de potencia:

( ) ( ) ( )

6251 d)

128- c)

555

1 b)

53

53

53 a)

−⋅−⋅−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

44

7

3-3

3

551

6251 d)

2- 128- c)

5-5-1

5551 b)

53

53

53

53 a)

−==

=

==−⋅−⋅−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

3. Expresa en forma de una potencia que tenga como base un número primo: a) 5 · 5 · 5 · 5

b) ( ) ( ) ( )3·3·3 −−−

c) 2·2·2·2·2

1

d) 81 e) −27

f) 251

Solución: a) 5 · 5 · 5 · 5 = 54

b) ( )( )( ) ( )333·3·3 −=−−−

c)

5

21

2·2·2·2·21

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

d) 81 = 34

e) ( )3327 −=−

2

51

251

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

4. En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia única:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) 24223

4532

6 : 66 b)

5- : 5-5- a)

−⋅

⋅

Solución:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1881081082524223

74564564532

666:66:66 : 66 b)

555:555- : 5-5- a)

====⋅

−=−=−−⋅−=⋅

−−−−−

−+

5. Utiliza las propiedades adecuadas para expresar el resultado de la siguiente operación como una única potencia:

21

52

16·328·4

−

−

Solución:

( ) ( )( ) ( )

143

11

85

154

2415

5322

21

522

22

2·22·2

2·2

2·216·328·4 −

−

−

−

−

−

−

−

====

- Operar números en notación científica 1. Escribe los siguientes número en notación científica e indica su orden de magnitud. a) 91.700.000.000 b) 6.300.000.000.000 c) 0,00000000134 d) 0,071 Solución: a) 91.700.000.000= 9,17 · 1010. Orden 10 b) 6.300.000.000.000= 6,3 · 1012. Orden 12 c) 0,00000000134= 1,34 · 10-9. Orden -9 d) 0,071=7,1 · 10-2. Orden -2 2. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, expresando el resultado en notación científica: a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) Solución: a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) = 3,57 · 10-2 b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) = 4 · 10-1 c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) = 9,4 · 1015 d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) = 1,8 · 1012 3. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales: a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) c) (4,1 · 102) · 103 d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) Solución: a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) = 5,32 · 104 b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) = 8,99 · 10-8 c) (4,1 · 102) · 103 = 4,1 · 105 d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) = 3,57 · 10-2 4. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales: a) (4,5 · 10-7) : ( 1,5 · 104) b) (3,6 · 109) : ( 1,2 · 10-7) c) (6,5 · 10-4) : ( 1,3 · 10-6) d) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) Solución: a) (4,5 · 10-7) : ( 1,5 · 104) = 3 · 10-11 b) (3,6 · 109) : ( 1,2 · 10-7) = 3 · 1016 c) (6,5 · 10-4) : ( 1,3 · 10-6) = 5 · 1010

d) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3)= 4 · 10-1 = 0.4 5. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales: a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104) b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105) c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103) d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5) Solución: a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104) = 2,38 · 105 b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105) = -7,13 · 105 c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103) = 4,97 · 1015 d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5) = 2,07 · 10-2 - Aplicar las propiedades de los radicales 1. Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se pueda:

a) 5 103

b) 7 142

c) 67

Solución:

a) 9333 25

105 10 ===

b) 4222 2714

7 14 ===

c) 343777 326

6 === 2. Saca del radicando la mayor cantidad posible de factores:

.800d);240c);250b);405a) 3

Solución:

.22025252800d)

.3025322532240c)

.10552552250b)

.595353405a)

225

333 43

3

24

=⋅=⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

==⋅=

3. Simplifica los siguientes radicales:

a) 9 38

b) 3 16

c) 3 37

Solución:

a) ( ) 2228 9 99 339 3 ===

b) 322216 3 43 ==

c) ( ) 7777 2

161

36 3 ===

4. Expresa como radical:

.143

374

6

517

2

432

7

43

2d);13c);5b);10a) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Solución:

.222d);131313c);555b);1010a) 21

4221

10 3103

206

14 3143

286

8 31831

=======

5. Saca del radicando la mayor cantidad posible de factores:

.352d);32c);9000b);3240a) 2434 563 ⋅⋅⋅

Solución:

.21502352352d)

.126323232c)

.1060525325329000b)

.15653235233240a)

2243

44 24 56

323

333 343

=⋅⋅=⋅⋅

=⋅⋅=⋅

=⋅⋅⋅=⋅⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=

6. Expresa como radical:

.3 513 4 65 47 3 11d);2c);7b);10a)

Solución:

.11d);22c);7b);10a) 1526 352 62821 =

7. Extrae del radicando el mayor número de términos posible:

.6480d);171311c);5400b);235a) 44 76537 152313 ⋅⋅⋅⋅

Solución:

.565325326480d)

;1713112431171311171311171311c)

;2565325325400b)

;235540235235235a)

444 444

4 324 324 765

33 23 2333

7 267 26237 152313

=⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

=⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

- Operar con radicales 1. Efectúa los siguientes cocientes:

.27:81d);2:64c);7:28b);3:15a) 775533

Solución:

.3d);232c);4b);5a) 753 =

2. Reduce los siguientes radicales a índice común:

.13,7,5b);10,2,3a) 6101575

3. Realiza las siguientes operaciones:

.33 24128111b);83275054a) −−+

Solución:

.311

3223333212331124128111323224;33381b)

.25262724

223272554832750

542228;255250a)

3

33333333 3333 43

32

=

=−=⋅−⋅=−⇒=⋅===

=−+=

=⋅−+⋅=−+⇒===⋅=

4. Realiza las siguientes operaciones:

.285175523433b);1250

511623a) 44 −−−

Solución:

.7971072721

7257552773727228;7575175;777343b)

.28229

25512331250

51162325521250;2332162a)

223

444

444444 4444 44

=−−=

=⋅−⋅−⋅⇒=⋅==⋅===

=−=

=⋅−⋅=−⇒=⋅==⋅=

- Racionalizar

1. Racionaliza:

a) 73

b)

7 54

c) 23

6−

Solución:

a)

773

7773

=

b)

554

55

54 7 6

7 67

7 6=

c)

( )( )( )

( ) ( )23623236

2323236

+=−

+=

+−

+

2. Racionaliza:

a)

3 76

5

b)

5 76

4

c)

4 56

Solución:

a)

216365

6636

6566

5

6

5 3

3 23

3 2

323 7===

b)

96

3664

666

64

66

4

6

4 5 35 3

5 35 2

5 3

5 25 7====

c)

556

55

5656 4 3

4 34

4 3

4==

3. Racionaliza:

a) 3235 +

b) 3732

+

+

c) ba

a+

Solución:

a)

( )3

6335333235 +=

+

b)

( )( )( )( ) 4

337361437

337361437373732 −+−

=−

−+−=

−+

−+

c)

( )( )( )

( )babaa

bababaa

−

−=

−+

−

4. Racionaliza:

a) x - 3x3 +

b) x-51x5 ++

c) 323 +

Solución:

a)

x3x9

x - 3 x - 3 x - 3x3 2

−

−=

+

b)

( ) ( )x5

x-51x5x-5x-5x-51x5

−

++=

++

c)

( )363

33323 +=

+

5. Racionaliza:

a) 3121

−

+

b) 75

9+

c) 6265

+

+

Solución:

a)

( )( )( )( ) 2

623131

623131313121 +++

−=−

+++=

+−

++

b)

( )( )( )

( ) ( )2

75975759

7575759 −

−=−

−=

−+

−

c) ( )( )( )( ) 4

612301062

612301062626265 −+−

−=−

−+−=

−+

−+

6. Racionaliza:

a) 232 +

b) 3526

c) 723523 +

Solución:

a)

( )2

62222232 +=

+

b)

562

1566

335326

==

c) ( ) ( )

1473523

77273523 +=

+