Ingeniería EconómicaIngeniería Económica

Profesor Dante Pesce

2008

Capítulos 1 y 2Capítulos 1 y 2

Conceptos Básicos y Matemáticas Financieras

1. Conceptos Básicos1. Conceptos Básicos

• Rol del Ingeniero en la toma de Rol del Ingeniero en la toma de decisiones técnicas-económicas-decisiones técnicas-económicas-financieras.financieras.

• Decisiones estratégicas (monto, Decisiones estratégicas (monto, tiempo).tiempo).

• Las estimaciones y los intangibles Las estimaciones y los intangibles en los estudios económicos.en los estudios económicos.

Proyecto FinancieroProyecto Financiero

¿Qué es un Proyecto?¿Qué es un Proyecto?

0 1 2 3 4 5 N

Ingresos

Costos Io

• Estudio de Mercado Ingresos

• Estudio Técnico Costos de Inversión

Costos de operación

Presentación MatricialPresentación Matricial

Proyecto Presentación MatricialProyecto Presentación MatricialAño 0Año 0 Año 1Año 1 Año 2Año 2 Año 3Año 3 ………….. Año NAño N

Ingresos Ventas:Ingresos Ventas:

Producto 1Producto 1 00 00 120120 120120 120120

Producto 2Producto 2 00 100100 150150 150150 150150

Valor ResidualValor Residual -- -- -- -- 300300

Total IngresosTotal Ingresos 00 100100 270270 270270 570570

Costos Inversión:Costos Inversión:

MaquinariaMaquinaria 700700

Edificio, GalpónEdificio, Galpón 500500

Operación:Operación:

MaterialesMateriales 00 3030 5050 5050 5050

M.ObraM.Obra 00 3030 6060 6060 6060

Total EgresosTotal Egresos 12001200 6060 110110 110110 110110

Flujos NetosFlujos Netos -1200-1200 4040 160160 160160 460460

Tipos de proyectos:Tipos de proyectos:• HidroeléctricoHidroeléctrico• ForestalForestal

Tipo de costos: Tipo de costos: • de capitalde capital• de operaciónde operación• de oportunidadde oportunidad• marginalesmarginales• Hundidos (irreversibles) Hundidos (irreversibles)

Características de un ProyectoCaracterísticas de un Proyecto

2. Matemáticas Financieras2. Matemáticas Financieras

Valor del dinero en el tiempo:Valor del dinero en el tiempo:

100 UMR (año 1) 100 UMR (año 1) ≠ 100 UMR (año 2)≠ 100 UMR (año 2)

Costo de oportunidad del dineroCosto de oportunidad del dinero RiesgoRiesgo Inflación (si no usa UMR) Inflación (si no usa UMR)

NomenclaturaNomenclatura

NomenclaturaNomenclatura• P: P: Cantidad de dinero en el presente Cantidad de dinero en el presente (inicio año 1)(inicio año 1)• F: F: Cantidad de dinero en el futuro Cantidad de dinero en el futuro

(fin año N)(fin año N)• A: A: Anualidad. Anualidad. Serie de cantidades sucesivas

de dinero distribuidas en el tiempo. (Se asume al final de cada período)• i: i: Tasa de interés Tasa de interés • N: N: Número de PeríodosNúmero de Períodos

Tasa de Interés SimpleTasa de Interés Simple

DefiniciónDefinición

Int = P*i*N Int = P*i*N

P + Int = P+P*i*N = P(1+iN)P + Int = P+P*i*N = P(1+iN)

donde:donde:

Int: Interés generado o pagadoInt: Interés generado o pagado

P : Cantidad de dinero en el presenteP : Cantidad de dinero en el presente

DefiniciónDefiniciónPP00

PP11 = P = P00 + P + P00 *i*N = P *i*N = P0 0 (1+i)(1+i)

donde:donde:

PP0 0 : Cantidad de dinero en el presente: Cantidad de dinero en el presente

PPN N : Cantidad de dinero en el período N: Cantidad de dinero en el período N

Tasa Interés CompuestoTasa Interés Compuesto

1

PP22 = P = P11 + P + P11 *i*1 = P *i*1 = P11 (1+i) = P(1+i) = P00(1(1 +i)(1+i)+i)(1+i)

= P= P0 0 (1+i)(1+i)22

PPNN = P = P0 0 (1+i)(1+i)NN

Tabla Interés Simple v/s Interés Tabla Interés Simple v/s Interés Compuesto, N ooCompuesto, N oo

AñoAño BalancBalancee

InicialInicial

++ InteresesIntereses == BalancBalancee

FinalFinal

BalanceBalance

InicialInicial++ InteresesIntereses == BalanceBalance

FinalFinal

11 100100 ++ 1010 == 110110 100100 ++ 10 10 == 110110

22 110110 ++ 1010 == 120120 110110 ++ 1111 == 121121

33 120120 ++ 1010 == 130130 121121 ++ 12.112.1 == 133.1133.1

44 130130 ++ 1010 == 140140 133.1133.1 ++ 13.313.3 == 146.4146.4

1010 190190 ++ 1010 == 200200 236236 ++ 2424 == 259259

2020 290290 ++ 1010 == 300300 612612 ++ 6161 == 673673

5050 590590 ++ 1010 == 600600 1067210672 ++ 10671067 == 1173911739

100100 10901090 ++ 1010 == 11001100 12527812527833

++ 125278125278 == 1378.0611378.061

Interés Simple Interés Compuesto

Figura Interés Simple v/s Interés Figura Interés Simple v/s Interés CompuestoCompuesto

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tiempo futuro, años

38.55

100

200

300

Dólares

259

200

Crecimiento a interés compuesto

Descuento al 10%

Crecimiento a interés simple (10%)

Crecimiento a interés compuesto (10%)

Relaciones F/P, P/F Relaciones F/P, P/F DefinicionesDefiniciones

P

0 1 2 3 4 N

F

N)i,F(P/F,i)(1

FP N

N) i, (F/P, P i)P(1 F N

Relaciones F/A, P/ARelaciones F/A, P/ALas anualidades son vencidas, es decir, al Las anualidades son vencidas, es decir, al

final del año.final del año.

P

0 1 2 3 4 N

A1 A2 A3 A4 AN

F=A (1+i)F=A (1+i)N N - 1 = A (1+i)- 1 = A (1+i)N N - 1 = A (F/A,i, N)- 1 = A (F/A,i, N) (1+i)-1(1+i)-1 ii

P=A (1+i)P=A (1+i)NN-1 =A (P/A,i, N)-1 =A (P/A,i, N) i(1+i)i(1+i)NN

A=F i =F (A/F,i, N)A=F i =F (A/F,i, N)

(1+i)(1+i)NN-1-1

A=P i(1+i)A=P i(1+i)NN = P (A/P,i, N) = P (A/P,i, N)

(1+i)(1+i)NN-1-1

P

0 1 2 3 4 N

A1 A2 A3 A4 AN

Relaciones A/F, A/PRelaciones A/F, A/P

EjemplosEjemplos

11.. Calcular F dado A (F/A), mediante uso Calcular F dado A (F/A), mediante uso de tabla, con la fórmula, sin la de tabla, con la fórmula, sin la fórmula, etc. fórmula, etc.

2. 2. Calcular P dado A, (P/A) cuando N Calcular P dado A, (P/A) cuando N tiende a infinito.tiende a infinito.

3. Encontrar A dado P (A/P). ¿Cuánto debo 3. Encontrar A dado P (A/P). ¿Cuánto debo pagar periódicamente para devolver un pagar periódicamente para devolver un préstamo recibido hoy, o cuánto debo préstamo recibido hoy, o cuánto debo generar anualmente para justificar una generar anualmente para justificar una inversión hecha hoy?inversión hecha hoy?

4. Encontrar A dado F (A/F). ¿Cuánto debo 4. Encontrar A dado F (A/F). ¿Cuánto debo ahorrar anualmente para reunir un monto ahorrar anualmente para reunir un monto 100 millones UMR el día de la jubilación? 100 millones UMR el día de la jubilación? (tasa 5%, 8%, 10%) si se impone por N=40 (tasa 5%, 8%, 10%) si se impone por N=40 años, 20 años.años, 20 años.

EjemplosEjemplos

5.5. Si el precio de una televisión es de 1000 UM, y Si el precio de una televisión es de 1000 UM, y pago mensualmente 100 UM durante 20 meses, pago mensualmente 100 UM durante 20 meses, ¿Qué interés están cobrando? (UM ≠ UMR; Interés ¿Qué interés están cobrando? (UM ≠ UMR; Interés simple≠ Interés compuesto)simple≠ Interés compuesto)

6. Calcular el N para triplicar mi capital inicial.6. Calcular el N para triplicar mi capital inicial.

7. ¿Cuánto debo depositar hoy (fecha de nacimiento 7. ¿Cuánto debo depositar hoy (fecha de nacimiento de mi hijo) para generar los recursos suficientes de mi hijo) para generar los recursos suficientes para pagar su matrícula universitaria? (6 cuotas para pagar su matrícula universitaria? (6 cuotas inicio año 18,19…23; 100UF cada año, inicio año 18,19…23; 100UF cada año,

i= 5% anual)i= 5% anual)

EjemplosEjemplos

Situaciones EspecialesSituaciones Especiales

1.Pagos anticipados o anualidades anticipadas

2.Concepto de gradiente

3.Interés real v/s nominal (Según USA)

4.Interés real v/s nominal (Según Chile)

Anualidades Anticipadas (AA)Anualidades Anticipadas (AA)

Si las anualidades son anticipadas Si las anualidades son anticipadas están al inicio de cada período.están al inicio de cada período.

0 1 2 3 4 N

A1 A2 A3 A4 AN A1

0 1 2 3 4 N-1 N

A2 A3 A4 A5 AN

Anualidad normal Anualidad Anticipada

F= AF= AAA (F/A,i,N)(1+i) (F/A,i,N)(1+i)

F= A[(F/A,i,N+1)-1]F= A[(F/A,i,N+1)-1]

GradienteGradiente

DefiniciónDefinición

F= G* 1* (1+i) F= G* 1* (1+i) N N -1 – N-1 – N

i ii i

0 1 2 3 N

0 1 2 3 N

A1

A1+G

A1+ 2G

(N-1)G

0 G1G

2G

En la literatura (traducción de libros de En la literatura (traducción de libros de lengua inglesa) aparece el concepto de lengua inglesa) aparece el concepto de interés nominal cuando hay más de una interés nominal cuando hay más de una capitalización por período de análisis.capitalización por período de análisis.

Donde:Donde:M: Número de períodos de capitalización/añoM: Número de períodos de capitalización/añor: Tasa de interés anual nominal (USA)r: Tasa de interés anual nominal (USA)i: Tasa de interés anual real o efectiva (USA)i: Tasa de interés anual real o efectiva (USA)

Interés Real v/s Nominal (USA)Interés Real v/s Nominal (USA)

i=(1+r/M)i=(1+r/M)MM -1 -1

Ejemplo: Si r=12% anual Ejemplo: Si r=12% anual capitalizado trimestralmente, capitalizado trimestralmente, ¿Cuánto es i?¿Cuánto es i?

¿Si en vez de capitalización ¿Si en vez de capitalización trimestral fuera mensual, trimestral fuera mensual, semanal, diaria, instantánea?semanal, diaria, instantánea?

Interés Real v/s Nominal (USA)Interés Real v/s Nominal (USA)

En Chile:En Chile: Tasa de interés nominalTasa de interés nominal (i (i NN)) se expresa en se expresa en

unidades monetarias corrientes o pesos.unidades monetarias corrientes o pesos. Tasa de interés real (i Tasa de interés real (i RR)) se expresa en unidades se expresa en unidades

monetarias reales (igual poder adquisitivo en el monetarias reales (igual poder adquisitivo en el tiempo), por ejemplo UF, UTM.tiempo), por ejemplo UF, UTM.

1+i1+iR R = 1+i= 1+iNN

1+i1+iinflacióninflación

Ejemplo: iEjemplo: iNN=15%, Inflación 10%, ¿i=15%, Inflación 10%, ¿iR?R?

= 5% “ 5% = 5% “ 5%

Interés Real v/s Nominal (Chile)Interés Real v/s Nominal (Chile)