ingeniería de alimentos - operaciones unitarias y prácticas de laboratorio - sharma, mulvaney y...

1. -Sharma -Mulvanev -Rizvi ~LIMUSA WILEY~

2. Este libro constituye un curso bsico para el rea de ingeniera de procesos en alimentos, que tiene por objeto desarrollar habilidades cuantitativas especficas, tiles en un gran nmero de entornos donde se realicen activi- dades de procesamiento o manufactUra de alimentos. Combina prcticas de laboratorio con ejercicios de programacin lineal, diseo de experimentos y anlisis de las propiedades reolgicas de los alimentos lquidos y semislidos. Los numerosos ejercicios en el libro per- miten al estudiante familiarizarse con diferentes procesos de alimentos. Esta obra contiene: Experimentos de laboratorio paso por paso. Descripcin del equipo necesario, incluyendo los pro- cedimientos de operacin. Ejemplos resueltos para clculos importantes (como: cociente de Poisson, mdulos de flexin, cociente de letalidad, etctera). Pruebas de simulacin en computadora, as como informacin para el uso de hojas de clculo. Ejercicios, en cada uno de los cuales se plantean preguntas y objetivos, se lleva a cabo el anlisis de datos y su interpretacin. REA: OUIMICA EING. OUIMICA e-mail: [email protected] www.noriega.com.mx

3. INGENIERA DE ALlMENTDS Operaciones unitarias y prcticas de laboratorio

4. , INGENIERIA DE ALIMENTOS Operaciones unitarias y prcticas de laboratorio Shri K. Sharma Steven J. Mulvaney Syed s. H. Rizvi Comell Uni'ersiry Ithaca, Nueva York '. 123 LIMUSA WILEY@

5. Le TP37Q OEWEY VEAS1~j AUTORIZAOA EN ESPA"'Ol DE LA OBRA OIlIQ!NAU.lENTE PUBUCAO, EN lNGl..ll:SPOfI JoHN Wru.v & SDHS. INC., ~ El TlTu..o: FOCO PROCESS ENGINEERING rnEOFIV ~ LA6OfUTOAY exPERIMENTa CoPVIIGI-IT CJoi.fN WUY & SoNs. I~c. N=WYOOK, CHlCHESTER, BAIS9mE, SlNQ,POflE, TOIlONTO ANO WEINHEIM Coo LA COlA8Cf'IAC~ EN LA TIl.o.oucaotl DE: MARIO ALBERTO HERNNDEZ CUAPIQ Bo.o::;o. ACAll~lCO DE U. UNIY!::RSIOAO A1JrCN:IMA De TlAXCAlA REVlSlC(.I TllCN",c...: HUMBEATO HEANNOEZ SNCHEZ INGENIERO BIOOUIMICO CON ESPECIALIQAD EN ALI- """NfOS. PROFESOA-lNVESTlGADOA DEl OEPAFlTAA'ENTO DE GRAOUADOS E INVESTlG"ClN EN AUMENTOS, ESCUELA N"c,cx,;AL DE CIENCEAS Bo.OOICA5, IPN INGENIERfA DE ALIMENTOS a>EflACiCNES UNITAR....S y PRACTICAS O LAOClRATOFlIO 90N PROPIEDAD DEL 8lfTOR N;~ PARTE DE ESTA 06IA I'.E)E SEA Re'ROOUODA o TIlANSImIOA. 'ffiIAN1E t.lNG(I.I S:STE.IA o101 nooo. ~o MEC.lJ'.ICO (t.Cl.Ul'EKlO B. FOTCXXlFIAOO, lA GRAllACION o ClJAl.O.lEl'I SISTEMA DE IlO..I"ERAClON y AlJ,lI,CENJ.M1E1ITO OE INFOIlW.CION). S!i CCNl:Etffi1l'EN"fO POlI E1lOo,O DEL EOI1OR. DERECI10S RESEilVAIX:l9: Q 2003, EDITORIAL lIMUSA, SA DE C.V. GAUPO NORIEGA EDITORES BAlOERAS95, MEX!CO, D.F. C.P. 06040 (5) 8503-60-50 ~ 01(800) HI6-91-00 ~ (5) 512-29-{)3 lL [email protected] -ww.fIClCiegLcom.mx r.~IEM N/ol. 121 PRll-'ERA EDIClON ~ EN M!'.XJCO rsl3N 968-186203-1 @

6. Dedicamos esta obra a todos nuestros seres queridos

7. Prlogo Captulo 1 CONTENIDO formulacin de productos y optimizacin de procesos mediante programacin lineal EmpIco de la programacin lineal en las operaciones de procesos de alimentos. Descripcin de mtodos gr.'ficos sencillos para explicar el concepto de programacin lineal; utilizacin de software como Microsorl Exccl" para resolver problemas de p;ugmmacin lineal relacionados con el desarrollo de productos alimenticios y el diseo de procesos. Captulo 2 Captulo 3 Prueba de materiales y reologa de alimentos slidos Utilizacin del analizador de lexturas, del remetro oscilante o del analizador mecnico dinmico, para detemlinar varios mdulos en productos alimenticios. Los modos de prueba incluyen compresin, tensin, doblado en 3 puntos y oscilacin. Reologa de alimentos liquidos Vsemislidos Principios de los alimentos de comportamiento newtoniano, pseudoplstico, dilatante y plstico de Bingham. Mediciones de viscosidad, viscosidad aparente. ndice de comportamiento de flujo e ndice de consistencia de alimentos lquidos y semislidos. 20 51 Captulo 4 Captulo 5 Conceptos de transferencia de calor Vtiempos de muerte trmica 68 Conduccin de estado estacionario y de estado no estacionario. Uso del trdZO de Schmidt y las grficas de Gumey-Lurie para calcular la transferencia de calor en el estado no estacionario. Utilizacin de grficas semiJogarlmicas y logartmicas, clculo de la pendiente y la inlerseccin en procesos tmlicos. Enlatado de alimentos. procesamiento tnnico en autoclave Vclculo de la letalidad por el mtodo general 96 Obtencin de dalas sobre la penetrJcin de calor en alimentos calentados por conduccin y alimentos calentados por conveccin vii

8. viii CONTENIDO durallle el procesamiento en autocbve. Evaluacin del procesamiento trmico de latas en autoclavc. Clculo de la klalidad por el mtodo general (tcnicas grficas y numricas). Capitulo 6 Prueba de penetracin de calor y diseo del proceso trmico con el mtodo de la frmula de Ball 11D Evaluacin del proccsamiento trmico de latas en una autoclave ulilizando la fnnula de Ball. Clculo del tiempo de procesamiento para alimentos calentados en el modo de conduccin y en el modo de conveccin en diferentes tamaos de lata. Captulo 7 Captulo 8 Captulo 9 Capitulo 10 Escalde Vcongelacin de los alimentos Escalde de frutas y verduras y efecto sobre b calidad del producto. Aspectos termodinmicos de la congelacin de alimentos. Clculo del tiempo de congelacin. Efecto de la congelacin en la calidad del producto. Procesamiento trmico a temperatura uJtraalta Procesamiento a temperatura ultraalta (UHT) de alimemos de baja }' de alta viscosidad. Comparacin entre cl tr::uamiento UHT y el procesamiento en latas de alimentos en una autoclave. Clculo del coeficiente global de transferencia de calor y efecto del UHT en la calidad del producto. Procesamiento con membranas de alimentos Iiquidos Concentracin de alimentos lquidos mediante el procesamielllo con membranas. Efecto del flujo, b presin lransmembrana. la resistencia de la membrana y la fonnacin de lorta en la velocidad de llux del permeado. Concentracin de alimentos lquidos por evaporacin Uso de un evaporador para concentrar jarabe de maplelleche. Consideraciones relacionadas con la ingeniera y la calidad del producto. 127 142 164 176 Capitulo 11 Capitulo 12 Principios de diseo experimental 187 Concepto de diseo experimelllal. factores de tratamiento, niveles de tratamiento. interaccin de factores, efecto de los bloques sobre el diseno experimental, r:;lica verdadera en experimentos de desarrollo de productos. Ulilizacin del anlisis de varianza}' clculo del efecto significativo de los factores de lralamento. Secado por aspersin y en tambor 202 Conceptos de ingeniera y de procesamiento del secado por aspersin y en tambor de leche descremada concentrada; efecto de las condiciones del proceso en la calidad total de la leche en polvo descremadu.

9. CONTENIDO ix Capitulo 13 Capitulo 14 Captulo 15 Capitulo 16 Capitulo 17 Captulo la Captulo 19 Secado convectivo de alimentos Secado de alimentos utilizando un secador de tnel. Dctenninacin de la velocidad de evaporacin del agua durante los diferentes periodos de secado. Deshidratacin osmtica de alimentos Deshidratacin osmtica de frutas y verduras. EfeclO de la temperatura en la 'elocidad de eliminacin de agua durante la deshidratacin osmtica. Calentamiento de los alimentos a base de microondas Fenmenos de calentamiento con microondas de algunos sistemas modelo y productos alimenticios comerciales: clculo de la velocidad de calentamiento y de la eliciencia de calentamiento de las microondas. Fredo de los alimentos Cambios en la calidad del produclO durante el fredo en funcin del tiempo y la temper.Jtur.J de fredo de los medios. Cocimiento de los alimentos por extrusin Principios de la extrusin de alimentos. Evaluacin del efeclO del contenido de humedad en la energa mecnica especfica. la temperatura y la presin del producto para un proceso representativo de extrusin de una bOlana expandida. Empaque de alimentos Principios del empaque de alimentos. Prediccin de la vida de anaquel de botanas envueltas en una pelcula por medio de la isoterma de sorcin de humedad. Control de procesos en la manufactura de alimentos Principios de la dinmica y el control de procesos en la manufaclUra de alimenlOs. Ejemplo de control de procesos en las operaciones de procesamiento de alimentos. 216 225 236 259 268 283 291 Apndice A: Valores de log(g). fJUcon Z= lBOfy j= 1 -1.2 que se utilizan en el diseo de procesos trmicos 299 Apndice B: Prueba del catecol y propiedades termofsicas 302 Apndice C: Material adicional sobre diseo de experimentos 305 Apndice D: Parmetros de procesamiento en el secado por aspersin 326 Apndice E: Permeabilidad de algunas peliculas de empaque 327 Apndice F: Constantes y factores de conversio,n fundamentales 329 Apndice G: Tablas de vapor 332 ndice 343

10. , PROLOGO En este libro, que constituye la culminacin de muchos aos de colaboracin pedaggica en Comell University, los autores tratamos de distinguir entre los principios de la ingeniera de procesos en alimentos y los principios de la simple ingeniera de alimentos; tarca no tan sencilla como a primera vista parece, En la prctica, el procesamiento de alimentos es una labor que abarca todas las opemciones, lo cual hace que su enseanza no resulte tan fci1. Algunos cursos sobre el tema se concentran en la" materias primas ---es decir, el enfoque del producto-- y analizan la evolucin de una materia prima desde el comienzo. hasta el final; por ejemplo, de Icche a queso. Otros dan prioridad a los aspectos de ingeniera del procesamiento de alimentos, lo que comnmente se conoce como el enfoque de la." operaciones unitarias. No obstante, es posible que este ltimo no resulte muy diferen- te de un curso de ingeniera de alimell10s si en l se enfatizan los aspectos de la transferencia de calor y de masa de las operaciones unitarias El objetivo de este libro es ofrecer un curso bsico para el rea de la ingeniera de procesos en alimentos, que permita desarrollar habilidades cuantitativas especficas, tiles en un gran nmero de entornos de procesamiento o manufactura de aUmentos. Consideramos que para un curso de tal naturale- za, es preciso llevar antes uno que ensee los principios de la ingeniera de alimentos, con prcticas de laboratorio que destaquen las propiedades ingenieriles y los procesos de trans- porte. Dicho curso bsico tambin podra considerarse como la introduccin a un curso ms avanzado de ingeniera de procesos en alimentos. En nuestra opinin, e..~ importante que los egresados de una Licenciatura en el rea de los alimentos tengan la capacidad de analizar de manera sistemtica un proceso de manufactura de alimentos, teniendo en cuenta los aspectos fsicos y qumicos en que se sustenta. Lo anterior implica combinar prcticas de laboratorio del tipo de operaciones unitaria.~, con ejereicios de laboratorio de programacin lineal, diseo de experimentos y anlisis de las propiedades reolgicas de los alimentos lquidos y scmislidos. Asimismo, las prcticas de laboratorio de opemcione.." unitaria.~ que se utilizan fueron seleccionadas para demostrar la interaccin entre los aspectos de ingeniera, qumica, microbiolgicos y sensoriales de la manufactura de alimentos. La variedad dc ejercicios de laboratorio que se ofrece permite al estudiante familiarizarse con diferentes procesos de alimentos, como la eXlfUsin de cerea- lc.", el secado por aspersin de la leche, el fredo de botanas o la esterilizacin de verduras. Se ha hecho todo 10 posible por relacionar un aspecto fsico de la calidad de los alimentos, como color, textura o propiedades materiales (densidad o porosidad), etctera, con varias condiciones del proceso. Lo anterior se debe, en pune, a nueslro inters en este aspecto del

11. xii PRLOGO procesamienlo de alimentos. De cualquier foona, eSlas pruebas son por lo general muy r- pidas para realizarlas en una sola sesin de labor.ltorio. amn de que la tendencia es no en- searlas en un curso independiente de ciencia de los alimentos. Un aspecto nico de este libro es que con cada ejercicio de laboralOrio se incluye bastante informacin bsica sobre los aspectos de fsicos y qumicos de importancia para un tema panicular. De eSle modo. los eSludiantes tienen a la mano toda la infoonacin nece- saria para entender la prctica. La experiencia nos ha demostrado que los estudiantes de niwles avanzados no consultan sus libros de qumica o de fsica de los primeros aos pa- r.l re-solver las tareas. Esle texto resulta IOdava ms til para los estudiantes que no tienen una fomlacin en el campo de ciencia de los alimemos, corno los estudiantes de ingeniera con inters en alimenlOS. El libro tambin es til para los profesores que imparten un curso de procesos con base en un solo libro de texto, en vez de recomendar ulla amp]ja bi- bliogr.lfa par.l cada tema de clase. El libro cuenta con 19 caplulos que se pueden adaptar fcilmente a un curso de un semestre. dependiendo de las necesidades e intereses espec- ficos del profesor. as como del equipo de procesamiento e instnllnentos analticos de los que se disponga. Nos complace reconocer la contribucin de los numerosos asistentes de clase y de los estudianles de posgrado que nos ayudaron a fommlar las prcticas de laboralorio. as como del grnn nmero de estudiantes que han tomado nuestros cursos durante los ltimos 10 aos. No es imposiblc nombrarlos a lodos. pero ellos saben quines son. Agradecemos pro- fundamente a George Houghton, quien se desempe como nuestro auxiliar pedaggico por varios aos antes de retirarse. El material sobre programacin lineal y diseo de experimentos es en esencia obra de George. Asimismo. l prepar la mayor pane de las figuras originales dcltexto. Si este libro despierta en cIlector un mayor inters en el 'procesamien- to cuantitalivo de alimentos", entonces habremos cumplido nuestro cometido. Shri K. Sharma Stcvcn J. Mulvaney Syed S. H. Rizvi fl/wca. ,vllC"" Jork

12. 1 , FORMULACION DE, PRODUCTOS Y OPTIMIZACION DE PROCESOS MEDIANTE, PROGRAMACION LINEAL 1.1. ANTECEDENTES Muchos alimentos consisten en una combinacin de ingredientes que deben mezclarse. A fin de que el producto resultante sea satisfactorio, ste debe cumplir con ciertas especificaciones respecto a cantidad de grasas, protenas, agua y OlfOS ingredientes. Con bastante frecuencia se encuentra que muchas fonnulaciones se ajustan a dichas especificaciones. En estas circunstancias. es posible que se Quiera encontrar la fonnulacin que implique el menor costo. La programacin lineal es una tcnica con sustento matemtico concebida para optimizar algunas funciones como el casIO, al tiempo que se cumple con una serie de especificaciones o restricciones. 1.2. EJEMPLO DE PROGRAMACiN LINEAL El siguiente ejemplo simplificado constituye una introduccin a la programacin lineal. 1.2.1. Problema Se asigna la tarea de formular un alimento para perros que consiste en tres ingredientes: harina Guau. lrocitos Fido y un rdlcnador carente de valor nutritivo. Cien kilogramos del producto final deben contener por lo menos 10 kilogramos de protena. 6 kilogramos de grasa y 15 kilogramos de fibra. Los ingredientes tienen los siguientes porcentajes de estos componentes: la harina Guau contiene 10'70 protena, 12% grasa y 75% fibra, y los lroci-

13. 2 FORMULACIN DE PRODUCTOS Y OPTlMIZACIN DE PROCESOS lOS Fido contienen 50% protena, 15% grasa y 20% fibra. Los ndices de precios de esla maana indican que los cien kilogramos de harina Guau se estn vendiendo a 52.50 y los de trocitos Fido a 53.00. Calcule cul es la formulacin de menor costo que cumple con las especificaciones. Suponga que el COSIO del rellenador es tan bajo que se puede pasar por alto. l. Variables del problema. Este problema se resuelve especificando los valores de dos variables. G = kiJogramos de harina Guau en 100 kilogramos de prodUCID F = kilogramos de trocitos Fido en 100 kilogramos de produclO 2. Funcin objetivo. Puesto que el costo de los ingredientes es 52.50 y 53.00 por cada cien kilogramos, es decir, 50.025 y 50.030 por kilogramo, el costo de 100 kilogramos del producto se obtiene con la siguiellle ecuacin: e = 0.025G + 0.030F (1.1) El objetivo es encontrar los valores de G y F que reduzcan al mnimo el costo anterior, es decir, minimizar C. La ecuacin que se va a minimizar o maximizar se conoce como la funcin objetivo del problema. 3. Re.~triccio"es //0 negalims. Puesto que no tiene sentido que los ingredientes pre- senten valores negativos, la soluci6n debe ajustarse a las siguienles restricciones: (1.2) 4. Restriccin del pe!iO combillGlio. Adems, ya que se busca la Fonnulaci6n para cer- ca de 100 kilogramos de alimento para perro, se agrega la restriccin Peso combinado: G + F s 100 (1.3) Si el valor de F + G es menor que 100, el balance se hace con el rellenador. 5. Olras restricciones. El problema establece que la cantidad total de protena debe ser mayor de 10% o 10 kilogramos por cien kilogramos. Puesto que la harina Guau conliene 10% de protena y los tTocitos Fido, 50%, esta especificacin se expresa por medio de la siguiente restriccin: PrOlena: O.IOG + 0.50F 2: 10 kilogramos (1.4) De manera similar, los requisitos de grasa y fibra se expresan mediante las siguientes restricciones: Grasa: 0.12G + 0.15F 2: 6 kilogramos Fibra: 0.75G + 0.20F 2: 15 kilogramos (1.5) (1.6) 6. Planteamiento (iel problema. Con estas restricciones y la Funcin objetivo, el problema, entonces, se vuelve a plantear en trminos matemticos formales como

14. EJEMPLO OE PROGRAMACiN LINEAL 3 siguc. Encucntre C ~ OYr 2: O, dc modo quc Protena: 0.1 OC + 0.50F ~ 10 Grasa: 0.125 + 0.15F 2: 6 Fibra: 0.75C + 0.20r 2: 15 Peso: G + Fs 100 y. as. e = 0.025G + 0.030F se minimiza. 1.2.2. Solucin grfica En el caso de problemas sencillos con dos variables nicamente, es posible resolver un problema de programacin lineal por un mtodo grfico. Adems, encontrar una solucin grfica pernlile entender mejor la programacin lineal. Los siguientes prrafos describen c- mo se lleva a cabo este proceso: l. El espacio problema. Empezar trazando el plano cartesiano de la figura 1.1, en el que dos ejes representan las variables del problema, a saber, el peso de la harina Guau (G) y el peso de los trocitos Fido (n. Este plano se conoce como el "espacio problema" de este problema y se extiende hacia el infinito en todas direcciones. Cualquier punto en este plano representa los pesos de los ingredientes de una formulacin particular del producto. 2. Soluciolles potenciales. La solucin a este problema es un par de valorc...... uno para G y otro para r. Pero estas cantidadcs son coordenadas de .un punto del plano, as que la solucin al problema puede ser representada por un punto en el espacio problema. La figura 1.1 ilustra slo cinco soluciones posibles; el espacio problema en su totalidad contiene infinidad de soluciones. 3. Esrrategia. La estrategia para encontrar una solucin a un problema de programacin lineal consiste en utilizar las rcstricciones a fin de limitar la parte del espacio problema en que es posible cncontrar la solucin. La regin dcl espacio que se ajus- ta a todas las restricciones se denomina regin factible. Luego se emplea la funcin objetivo para encontrar una solucin ptima dentro de esta regin faclible. 4. Medios planos. Observe que el plano representado en la figura 1.1 contiene valores negativos de G y de F. Como ya se indic antes, los pesos negativos no tienen G F Figura 1.1. Harina Guau (Gl y trocilOS Fido {Fl en un plano bidimensional.

15. 4 FORMULACiN DE PRODUCTOS Y OPTIMIZACiN DE PROCESOS sentido y las nicas reas del plano que deben tenerse en cueIlla son las que se ajustan a las restricciones no negativas. Por ejemplo, la restriccin de la ecuacin 1.2 implica que F ~ Olimita la consideracin a las reas del plano que incluyen el eje venical y el rea a la derecha de ste. Esto es, las reas sombreadas de la figura 1.21. Note que esta restriccin elimina el inters en la mitad del espacio problema. />. esta regin pemlitida por la restriccin se le denomina un medio plano. De manera similar, la figum 1.2B se halla sombreada para indicar el medio plano corres- pondiente a la restriccin indic;]d;] por la ecuacin 1.3 como G ~ O. La misma restriccin elimina tambin la milad de todo el espacio problema. 5.llllerseccilJ de 1)lalJos. Ya que ambas restricciones F~OyG~O deben mantenerse, el rea del plano que contiene la solucin se reduce a la interseccin de los dos medios planos. como 10 seala el rea sombreada de la figura 1.2C. Por lo lanto, queda para considerar slo una cuana parte del espacio problema. 6. Representacin grfica lit' la restriccin de 1l/llrimelllos. Cada restriccin define un medio plano. Considere la restriccin de grasa (ecuacin 1.5) que se indica a con- tinuacin: 0.12G + 0.15F~ 6 A diferencia de las dos primeras restricciones, la frontera de sta no se halla a 10 largo de un eje sino a lo largo de la recta cuya ecuacin es 0.12G + 0.15F = 6 (1.7) Para trazar esta recta, localice primero dos puntos a lo largo de la lnea. Un punto se localiza sustituyendo una variable por cualquier valor y calculando la alfa variable. Aunque se puede utilizar cualquier valor, 10 ms sencillo es sustituir a F por O, as, 0.12G+0.15(0)=6. G~ _6_ =50 0.12 Lo anterior indica que la recta de esta ecuacin pasa por el puntO (0,50), donde O es la coordenada F del punto Y50 es la coordenada G. Asimismo, seala que una mezcla que contenga 50 kilogramos de harina Guau y nada de trocitos Fido cum- plirfi con la restriccin de grasa. , , G --+--+F O-_+_--.J, F f>0 A 6>0 ~ ~ B e Figura 1.2. Restricciones de peso (tanto los pesos de la harina Guau como los de los trocitos Fi do deben ser positivos).

16. EJEMPLO DE PROGRAMAClN LINEAL 5 En el caso del segundo punto. sustituya a G por O y encuentre F: 0.12(0) + 0.15F = 6. 6 F~-=-lO 0.15 Esto significa que la recia tambin pasa por el punto (-lO.o). o que una mezcla que contenga -lO kilogrnmos de trocitos Fido y nada de harina Guau tambin se ajustar a la restriccin de grasa. Si se 1r:lZ;: una lne;: recta que pase por estos dos puntos. el medio plano que corresponde a la restriccin de gra.~a contendr la recta}'. debido a que la restriccin comiene una relacin mayor que. tooa el :lrea por aniba y a la derecha de la reCia. Este medio plano se halla sombreado en la figum 1.3rt. Cualquier punto dentro de este medio satisface la restriccin de grasa. De Illaner, semejante, la reslric- cin de protena es limitada por una lnea recta que pasa por (0.100) y (20.0). en tanto que la restriccin de fibra es limitada por una lnea que pasa por (0.20)}' (75.0). Estas restricciones se muestran gnficamemc en las figura.~ 1.3B y 1.3C. respecti'a- mente. (Se le recomienda al leClor "Crificar si estos medios planos son los correctos.) 7. l..n restriccin del/leso combinado. Por ltimo. la restriccin de que la suma del peso de l::! harina Guau}' el de los trocitos Fido debe ser menor que o igual a 100 kilogramos (ecuacin 1.3) define un medio plano a la izquierda de una lnea recta que cruza (100.0) Y(0.100). Lo anterior se representa en la figura lA. 8. l regin {cblt>. Cada una de las restricciones define un medio plano. Y puesto que la solucin debe cumplir con tooas las restricciones. debe ubicarse dentro de estos medios planos y. en cOllsecuencia. demro de lu interseccin de todos estos planos. Esta interseccin se conoce como la regin factible del problema}' se muestra como la porcin sombreada de la figura 1.5. La solucin debe ser un pun- to dentro de la regin factible. " (0,100) 7 (O,SO) +---'>,--' /' (40,0) 1les:riX:in lIe!llS , /'(2O,O) R~ lIe cG:

17. 6 FORMULACIN DE PRODUCTOS Y OPTlMlZACIN DE PROCESOS G _.. ...-I --do"" figura 1.S. Regin factible. 9. Pumos c:etrl'mos. Obser..-e que la regin factible se halla delimilada por un polgo- no que consiste en una serie dc scgmemos de lnea recia. E.

18. EJEMPLO DE PROGRAMACIN LINEAL 7 das la~ soluciones que tengan un costo de 52.00 por 100 kilogramos, sustituyendo con 2.00 en la funcin objetivo. se obtiene 2.00 = 0.025G + 0.030F Esta es la ecuacin de una lnea recta, as que es necesario hallar dos puntos a lo largo de la lnea. Sustituyendo a G por Oda 2.00 = 0.025(0) + 0.030F, F = 2.00 = 66.7 0.030 1.21 = 0.0256 + 0.03lF de modo que la lnea pard e = 2.00 pasa por (66.7,0). La sustirucin de F por Oin- dica que la lnea pasa por (0,80). Est:llnea se muestra en la figura 1.7. Cualquier punto a lo largo de esta lnea representa una fommlacin que costar. 52.00 con es- lOS dos ingredientes. En los sitios donde esta lnea pasa por la regin factible, contiene posibles soluciones que cuestan 52.00. Ellla figura 1.7 se mueslm tambin una lnea que represenla todas las fonnulaciones con un costo de $1.00 por cien ki- logmmos de pnxJucto. Ni una sola de estas formulaciones cae dentro de la regin factible. as que ninguna cumple con todas las restricciones. 11. Ltl SO!tciIl le menor costo. Note que las dos lneas de la figum L7 tienen la misma pendiente. En realidad. todas las lneas gcnemda" pnr la misma funcin objetivo tendrn la misma pendiente. Por lo tanto, para localiwr la solucin de menor costo, simplemente trJce cualquier lnea que satisfaga la funcin objetivo, y luego muvala sin cambiar su pendiente hasta encontrar la lnea de menor costo que cai- ga dentro de la regin factible. En la figura 1.8 se observa que la linea que repre-, G 1.00 = O.025G +0.03lF Figura 1.7. Valores de la funcin objetivo. G Figura 1.8. las lineas Que forman interseccin indican la solucin del problema.

19. 8 FORMULACiN OE PROOUCTOS y OPTIMIZACIN OE PROCESOS sellla un COSIO de S1.21 por cien kilogramos de produclO hace contaelO con la regin factible lnicamente en un punto. mismo que COnSilUye la solucin del problema. Cualquier costo JIls bajo har que la lnea se mueva a la izquierda. fuera de la regin factible. de modo que ste es el costo ms bajo que salisface todas las restricciones. 12. Iitlores SOI'lcill. En este ejemplo. la solucin cae en la interseccin de las lneas definidas por las ecuaciones 1.4}' 1.5: Grasa: O.12G+O.15F = 6 Fibra: 0.75G + O.lOF = 15 Los valores de G}' F en esta interseccin se leen directamente en la grfica. como se indica en la figura 1.9. o se obtienen resolviendo dichas ecuaciones sirnultnea- mellle. Eslas ecuaciones se resuelven por medio de mlOdos algebraicos o bien. se puede replantearlas en fomla de matriz y utilizar un programa de cmputo para matrices. Si se utilizan mlodos algebraicos ordinarios. se podra proceder as: Primero. haga el coeficiente de F en la ecuacin de grasa igual a la unidad mul- tiplicando por 1/0.15: _1_(0.12G + 0.151-) = _1_(6). 0.15 0.15 o.se + IF =-Q .1 continulIciIl. haga el coeficiente de F en esta ecullcin igual a 0.2 multiplican- do por 0.2: 0.2(0.se + IF) = 0.2(40), 0.16G + 0.2F = S Ahora. elimine F restndole esta ecuacin a la ecuacin de la fibra: (0.75 - O.lfi)e + (0.2 - 0.2) F = 15 - 8. Calcule e: 0.59G = 7 G G~ 7 0.59 = 11.9 :'::"~==:i~~ F '"Figura 1.9. El punto seala la solucin de menor costo.

20. EJEMPLO DE PROGRAMACiN UNEAL 9 Sustituya esta solucin en una de las ecuaciones originales y calcu1c F: 0.12(11.9) + 0.15F = 6. F = 6 - 0.12(11.9) = 30.5 0.15 Para el lector familiarizado con el mtodo de matrices. las ecuaciones de grasa y fibm son ( 0.12 0.75 0.15)(G) (6)0.20 F = 15 (1.8) La solucin de estas matrices, que puede obtenerse con ~'Iierosofto& Excel 97. es (G) (- 2.260 1.695)( 6) (".9)F = 8.475 - 1.356 15 = 30.5 De una manera u otra. la foonulacin ms barata que satisface las restricciones re- quiere 11.9 kilogramos de harina Guau y 30.5 kilogramos de trocitos Ficto. 13. Costo solucin. El costo de esta foonulacin se obtiene suslituyendo estos valores en la funcin objetivo (ecuacin 1.1): C = 0.025(11.9) + 0.030(30.5) = S1.21 por cien kilogramos 14. Peso tola/. Si se suslitLlyenlas soluciones en la ecuacin 1.3. el peso total de los ingredientes es 11.9 + 30.5 = 42.4 kilogramos A partir de lo anterior. se concluye que se necesitan lOO - 42.4 = 57.6 kilogramos de rellenador para llenar un saco de mezcla. En un problema ms real. el rellenador tendra un costo y se incluira como una variable. Por ejemplo. si el rellenador cuesla SO.05Ikilogramo. la funcin objetivo sera 0.11G + 0.15F + 0.05N = e y la restriccin sobre el peso total cambiara a la igualdad G+F+N= 100 Sin embargo. lo anterior creera un problema tridimensional que no es posibli= re solver por el mtodo grfico con facilidad. 1.2.3. Modificacin del problema l. Holgura. Al sustituir los valores que constituyen la solucin en las ecuaciones de restriccin lA. 1.5 Y .6. se demuestra que la fmmla solucin tiene la siguienle composicin: Protena: 0.10(11.9) + 0.50(30.5) = 1604 kilogramos Grasa: 0.12( 11.9) + 0.15(30.5) = 6.0 kilogramos Fibra: 0.75(11.9) + 0.20(30.5) = 15.0 kilogramos

21. , o FORMULACiN DE PRODUCTOS Y opnMlZAClN DE PROCESOS Note que IOdos los nutrientes se hallan en cantidades mayores que o iguales a los lmites especificados y de este modo se cumple con las restricciones. Asimismo. las cantidades de gr.l."a y fibm satisfacen con exactitud las restricciones mnimas. Por otra pane. el nivel de protena excede del mnimo en la cantidad 16.4 - 10.0 = 6.4 kilogramos/lOO kilogramos (1.9) Este exceso se conoce como "holgum" y es conlln que se le halle presente en la solucin a problemas de programacin lineal. 2. Re.uricciones bilmemles. En algunos casos. se poda considerar QUc la holgura es dcmasiado grande. En este caso. se trata con el exceso de holgura estableciendo una restriccin bilateral sobre alguna propiedad. Por ejemplo, es posible que se dc- see mantener la protena entre 10 y 15 kilogr,mos por 100. Esta restriccin se establece as: 10 ~ O.IOG + 0.50F:=; 15 (1.10) Las restricciones bilaterales deben manejar~ como dos restricciones separadas, as: O.IOG + O.50F ~ 10 (la restriccin original de protena) O.IOG + O.50F:=; 15 (la restriccin adicional de protena) (1.11) L1. nueva restriccin pasa por los puntos (10.100) Y(30.0). (El !eclOr debe verifi- car eslOs valores.) En la figura !.IDA se observa cmo la nueva restriccin reduce la regin factible. La figura 1.108 ilustra la nueva solucin con G = 16.7 kilogramos de harina Guau F = 26.7 kilogramos de trocitos Fido La holgura en esta nueva solucin se halla en la fibm ya que [0.75(16.7) + 0.20(26.7)J - 15 = 2.87 kilogramos de fibra """"'" GI'(lllt'l}atr..a .......,.. --depro:el:J G -l-,J-:'''''------' F ".1 , Figura 1.10. Regin factible con dos restricciones sobre la proteina.

22. EJEMPLO DE PROGRAMACIN LINEAL 11 1.2.4. Restricciones de proporcin Algunas veces las reslricciones aparecen en b form:J de proporciollcs. Por ejemplo. se podra requerir que el conlenido de lecitin:J (un emulsificador) del alimemo para perros sea igual a por lo menos 2% del COl1enido de grasa. En otros l~nninos. Lccitina Grasa ~ 0.02 o Grasa Lt'cina un coeficiente mullipl icado por F. Por ejemplo. la restriccin para la protena es o. 10G + O.50F $ 10 Para que la hoja de clculo calcule el lado izquierdo de esta desigualdad. introduzca los cocficnlC.s en B8 y C8. corno se indica en la tabla 1.1. Luego. copie la funcin objetivo en 03 y 08, de modo que los pesos de tos ingredientes sean multiplicados por estos coeficientes. De hecho, copie 03 en las ccldas 05 a O 10. Para hacer esto en Exce!. Hag;) dic en la celda 03. Apunte al pequerlo cuadro que se halla en el ngulo inferior derecho de la celda 03. Arr:lstre este CU:ldro al ngulo inferior derecho de l:l cclda [) 10_ (por cuestiones de presentacin, tal vez se quiera borr:lr la fmml:l de la celda 04.) 6. Tipos de re.Hricciones. En la hoja de clculo. la column:l E se miliz; para indicar los tipos de rc!:lciones de las restricciones. En este problema. tod:ls las restricciones son del tipo:2':: . S:ltvo la de la fila 7. La hoja de clculo utiliza las relaciones de estas ccldas. stas se introducen slo corno un recordatorio prra el usuario. 7. Limires de la.~ restricciones_ Los lmites a las restricciones se colocan en las celdas F8 a F1O. como se indica en la tabla 1. l. S. Restricciones distintlls de cero. Las restricciones diferentes de cero tambin es posible ponerlas en la misma forma que la funcin objetivo. utiliz:lndo los coeficientes 1 y O. Por ejemplo. la restriccin F ~ Opuede expresarse como OG+IF~O Las restricciones de no ncg:ltividad se introducen de esta fonna en las filas 5 y 6. 9_ Restriccin de peso total. Si se utiliza c1mismo mtodo. la restriccin de que G+F$IOO se introduce en la fila 7 como IG+ lF~ 100 10. Holgura. La holgura de protena se calcula con la siguiente fnnula: Excel: G8: = lJ8 - Fll Esta frmula se copia en las celdas que se hallan arriba y debajo de ella. 1l. Resolucin del probfl'/I/a en una hoja lle clculo. Con una hoja de clculo como r'licrosoft Excel 97. el problema se resuelve mediante el comando soher (buscar objetivo) que se halla en el men Tools (Herramientas). Se deben especificar tres cosas: la celda que se va minimizar o ma;ximizar. las celdas que contienen valo--

26. EJEMPLO DE PROGRAMACiN UNEAl 15 res para las variables y las celdas que especi fican las restriccionel'. stas sc especi- fican como sigue: a) Para entrar al men optimizador. haga elic en e1menll Tools y luego en 801"1'1". La primera vez que se h;ga esto, se debe esperar a que se cargue el :iof,('T. b) Par.! especificar qu celda se va a oplimil.ar. haga e1ic en Set Targel Cell (Defi- nir la celda). luego haga dic en la celd; con l; funcin objetivo. en este caso 03. e) Para especificar ellipo de optimizacin. haga dic en el bOl Holgura O It.86 O 30.51 lOO -57.36 10 6.~ 6 0.00 1; 000 2 Peso 3 COS!O , ; 6 7 Pe50 8 Protcfna 9 G= 10 Fibra B e D E G f Tolal tl.86 30.51 .12.37 0.025 0.030 1.2t Mn I o 11.86 >~ o I 30.51 >~ I I H..H , 0.12 0.15 6.00 >, 0.75 0.20 15.00 F G

27. 16 FORMULACiN DE PRODUCTOS Y OPTIMIZACiN DE PROCESOS 1-1. Holgura. Note que las restricciones >= tendrn holgura positiva. lo que indica la cantidad en que un constilllyente excede del lmite inferior. Por aIra pane. las restricciones a",'O .eL1 T t D l (2.25) Figura 2.19. Prueba representativa de flexin en un aparato Instran o un TAXT2.

48. MEraDOs DE PRUEBA 37 --! -lllIIUla fJl U'I ~ Q! b p,:lo-

49. 38 PRUEBA DE MATERIALES Y REOLOGiA DE ALIMENTOS SLIDOS Ejemplo. En el ejemplo ameriOl: IIfI esfitel7.o tll' 483 kPa fJrodujo lI/lO defonnacin de 0.00245. El mdulo de flexilI de esla oblea es E, = 483 kPa 0.00245 1.97 X 10~k.Pa= 197;..

50. EJERCICIOS DE LABORATORIO 39 El cambio defller:a elltre e." D es j,F=70N El cambio de esfller:o ell/rt! e." oes ElmlJ/llo de flexin e.f -;-;3;;(:,70~N"')('C0,;;O,,7;;:5::;m,,)s-= --: = 5952 kPa 2(0.027 m)(0.OO7 m)~ (5.952 l'IPa) 0.012 = 496 MP: Lo anterior representa un resumen de las propiedades materiales representativac; )' los mtodos de prueba para slidos. Tener en cuenta que "slidos" originalmente significaba material para soportar carga (acero. cobre. etctera). Estas pruebas se adaptaron luego a los polmeros)' plsticos. y ahora se est viendo su adaptacin a los alimentos. Los alimentos no son metales. pero se hace referencia a ellos como slidos blandos. La principal advcr- tencia paro. utilizar estaS pruebas de gran defonnacin es tener presente que los resultados dependern de las condiciones de prueba. bsicamente la 'c1ocidad de carga cruzada. Claro est. las propiedades mau:riales podan cambiar tambin con la temperatura )' la composicin de la muestra. Es probable que estas pruebas se utilicen mejor de modo compar.nivo. en 'e2 de modo absoluto. Por ejemplo. el mdulo de nexin de una galleta probablemente debe interprel:llSC en el contexto de mdulos para Otr.lS galletas de uso propuesto similar. o de un ralor blanco conocido que represente un bucn produClo. 2.S. EJERCICIOS DE LABORATORIO 2.5.1. Objetivos 1. Ensear las pruebas para detenninar las propiedades materiales en un instrumento medidor de, fueT7.a representativo. 2. Familiarizarse con los clculos que se utilizan en las pruebas de compresin. de tensin y de nexin. 3. Relacionar las propiedades materiales obtenidas mediante estos instrumentos con las caractersticas de textura de algunos materiales alimenticios. 2.5.2. Equipo l. Analizador TA-XT2 o un instrumento tipo Instron. 2. Conador cilndrico de I pulgada para dar fonna a los ejemplares de prueba. 3. Micrmetro para medir los ejemplares de prueba.

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