informe_5 vibraciones forzadas amortiguadas[1]
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICE- RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJIAS”
LABORATORIO DE DINAMICA DE MAQUINAS
SECCION # 01
Vibraciones Forzadas Amortiguadas
INTEGRANTES:
Rey Deyvison 200610573
Marcano Francisco 20010514
Caracas, Marzo de2011
INTRODUCCION
En los sistemas mecánicos sometidos a una vibración forzada amortiguada su
respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuente
comúnmente de excitación armónica son el desbalance en maquinas rotativas,
fuerzas producidas por maquinas reciprocantes o el movimiento de la maquina
misma.
Este tipo de movimiento es más usado y que se encuentra generalmente en los
sistemas mecánicos de aquí su importancia en el estudio de esta practica.
OBJETIVO
El objetivo de esta practica es el de comprobar la ecuación que gobierna las
vibraciones forzadas.
MARCO TEORICO
Vibraciones Forzadas:
Las vibraciones forzadas son aquellos movimientos continuos o periódicos que
poseen una fuente de excitación que impide el descenso o la atenuación del
movimiento.
Las vibraciones forzadas son frecuentes en sistemas de ingeniería. Son
comúnmente producidas por desbalances en máquinas rotatorias, las vibraciones
forzadas pueden ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún
punto del sistema.
Cuando un sistema con un grado de libertad con amortiguamiento viscoso,
excitado por una fuerza armónica Fosent (fig.), su ecuación de movimiento es:
mX´´ + CX´ + KX = FoSent Ec.1
K C
KX CX
FoSent
La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función complementaria,
que es la solución de la homogénea y la solución particular es una oscilación
estacionaria de la misma frecuencia de la excitación. Podemos suponer que la
solución particular es de la forma:
x = XSen(t - ) Ec.2
En donde la X es la amplitud de la oscilación y es la fase del desplazamiento con
respecto a la fuerza excitatriz.
La amplitud y la fase en la ecuación anterior se calculan sustituyendo la Ec. 2 en la
ecuación diferencial 1. Recordando que en el movimiento armónico las fases de la
velocidad y aceleración están adelante del desplazamiento en 90º y 180º
respectivamente, los términos de la ecuación diferencial se pueden desplegar
gráficamente, como se ve fácilmente en la (fig.) se tiene que:
Ec 3 y Ec 4
m2X
cX
Fo
MASAM
MASA M
t X
KX
Relación Vectorial Para Vibración Forzada Con Amortiguamiento.
Expresamos ahora las ecuaciones 3 y 4 en forma adimensional que permite una
concisa representación gráfica de estos resultados. Dividiendo numerador y
denominador de las ecuaciones 3 y 4 por K, obtenemos.
Ec.5
Ec.6
Las expresiones de arriba pueden expresarse en términos de las cantidades
siguientes:
n = K/m ; Frecuencia Natural De La Oscilación No Amortiguada.
C c = 2mn ; Amortiguamiento Critico.
= C/C c ; Factor De Amortiguamiento.
Las expresiones no dimensionales de amplitud y fase quedan como:
Ec.7
Ec.8
Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional XK/Fo y la fase son
funciones solamente de la razón de frecuencia /n y del factor de
amortiguamiento .
En resumen podemos escribir la ecuación diferencial y su solución completa,
incluyendo el término transitorio como:
Ec.9
Ec.10
Vibración Debida Al Desbalanceo En La Rotación.
Las fuerzas de entrada que excitan el movimiento vibratorio se originan a
menudo por el desbalanceo en la rotación. Tal desbalanceo en la rotación existe si
el centro de masa del cuerpo rígido rotatorio y el centro de rotación no coinciden.
En la siguiente fig. Se muestra una máquina desbalanceada en reposo sobre un
montaje anti – choques. Supóngase el rotor está girando a una velocidad
constante de (rad/seg) y que la masa desbalanceada m esta localizada a una
distancia r del centro de rotación. La masa desbalanceada producirá una fuerza
centrifuga de magnitud m2r.
Masa total M
K C X
En el presente análisis, limitamos el movimiento a la dirección vertical solamente,
aun cuando el desbalanceo en la rotación produzca la componente horizontal de la
fuerza. La componente vertical de esta fuerza, m2rSent actúa sobre los
cojinetes y es transmitida a la cimentación, causando de este modo que la
máquina vibre excesivamente.
Supongamos que la masa total del sistema M, la cual incluye la masa
desbalanceada m. Aquí consideramos solamente el movimiento vertical y
medimos el movimiento vertical X desde la posición de equilibrio en ausencia de la
fuerza de excitación.
Entonces, la ecuación de movimiento del sistema se hace:
Ec.11
Donde P(t) es la fuerza aplicada al sistema y esta dada por:
Ec.12
Al tomar transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación, suponiendo
cero las condiciones iniciales, tenemos que:
Ec.13
ó bien:
Ec.14
La función transferida senoidal:
Ec.15
Para la función de excitación P(t), la salida en estado permanente se obtiene de la
ecuación 2 como:
En esta ultima ecuación, si dividimos el numerador y el denominador de la
amplitud y los correspondientes al ángulo de fase por K y sustituimos K/M = n2 y
C/M = 2n en el resultado, la salida en estado permanente:
Ec.16
De esta ecuación vemos que la amplitud de la salida en estado permanente se
hace grande cuando el factor de amortiguamiento relativo es pequeño y que la
frecuencia de excitación esta próxima a la frecuencia natural n.
Vibraciones forzadas amortiguadas:
Si consideramos un sistema masa-amortiguador-resorte, sometido a la acción de
una fuerza exterior f(t), que se llamará la excitación. Esta fuerza puede producirse
por la acción de cualquier mecanismo ligado a la masa m. Si se miden el
desplazamiento a partir de la posición de equilibrio estática del sistema, la
ecuación del movimiento será:
m x + c x + k x = f(t)
Ahora bien, en general esta fuerza es una función cualquiera de tiempo, de tipo
periódico, la cual es generada por un sistema ajeno al sistema masa-
amortiguador-resorte.
Oscilaciones forzadas:
Un problema de gran importancia es aquel de las vibraciones de un oscilador, esto
es, las vibraciones que resultan cuando aplicamos una fuerza oscilatoria externa a
una partícula sometida a una fuerza elástica. Esto sucede, por ejemplo, cuando
colocamos un vibrador en una caja resonante y forzamos las paredes de la caja (y
el aire dentro), a oscilar, o cuando las ondas electromagnéticas, absorbidas por
una antena, actúan sobre el circuito de nuestro radio o nuestra televisión,
produciendo oscilaciones eléctricas forzadas.
Sea F = F0coswft la fuerza oscilante aplicada, siendo su frecuencia angular wf.
Suponiendo que la partícula está sometida a una fuerza elástica -kx y a una fuerza
de amortiguamiento -cv, su ecuación de movimiento es:
Realizando las sustituciones y ; tenemos:
(1)
la cual si suponemos: y
Puede escribirse en la forma:
(2)
Luego resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene que la solución será
(3)
Donde, por conveniencia, se ha dado un signo negativo a la fase inicial Φ. La
sustitución directa en la ecuación demuestra que será satisfactoria si la amplitud
esta dada por:
(4)
(5)
Nótese que tanto la amplitud la amplitud A como la fase inicial Φ no son ya
constantes arbitrarias, sino cantidades fijas que dependen de la frecuencia wf de
la fuerza aplicada. Matemáticamente esto significa que hemos obtenido una
solución "particular" de la ecuación diferencial. Donde (3) indica que las
oscilaciones forzadas no están amortiguadas, pero tienen amplitud constante y
frecuencia igual a aquella de la fuerza aplicada. Esto significa que la fuerza
aplicada supera a las fuerzas de amortiguamiento, y proporciona la energía
necesaria para mantener las oscilaciones.
La amplitud A está representada en función de la frecuencia wf para un valor dado
c. La amplitud tiene un máximo pronunciado cuando el denominador de la
ecuación (4) tiene su valor mínimo. Esto ocurre para la frecuencia wA, dada por
(6)
ANALISIS DIMENSIONAL Y FORMULAS
- K = constante del resorte [ New/m]
; Donde:
d = diámetro del alambre del resorte (cm)
G = modulo de elasticidad al corte = 8.1x105 Kgf/ cm2
D = diámetro del resorte (cm)
N = numero de espiras del resorte
- n = frecuencia de trabajo [1/seg] o [RPM]
- = densidad del material [Kgm/m3] = m/v
- V = volumen [cm3]
- Frecuencia natural (Wn)
Wn =
Donde:
n = frecuencia de trabajo [1/seg] o [RPM]
mv = masa de la viga[Kg]
M = masa del motor y sus accesorios[Kg]
a y b = longitudes [cm]
- Masa total (Mt)
Donde
MT = masa del resorte [New/m]
M = masa del motor y sus accesorios [ Kg]
a y b = longitudes [cm]
- Constantes de Amortiguamiento (C)
C = 2 Mt Wn =
Donde:
Mt = masa total [Kg]
Wn = frecuencia natural [1/seg]
= decremento logarítmico
PROCEDIMIENTO
1) Se procedió a montar el sistema mostrado en la fig.
Mm V
c
2) Se midieron todas las dimensiones de la viga y del resorte, el espesor del disco de aluminio y el diámetro del agujero y “e”
3) Para tres valores distintos de “a” se hizo vibrar el sistema; primero libremente y después acoplando el sistema de amortiguamiento; se procedió a graficar cada una de las vibraciones y se medio la frecuencia natural del sistema.
da
b
K
4) Utilizando el sistema de amortiguamiento con el último valor de “a”, se procedió a girar el motor 0,75; 0,9; 1; 1,2 y 1,5 veces la frecuencia natural y graficamos cada unos de los movimientos.
CALCULOS Y RESULTADOS
1.- Se tomaron las medidas del resorte, disco de aluminio y viga del sistema:
Resorte
N=16 espiras
Diámetros del resorte (D)= 4.5 cm
Diámetro del alambre (d )= 0.33 cm
Viga
Largo =755 mm 660 mm = 66cm
Ancho=25,7mm=2.57 cm
Espesor=12,7 mm=1,27 cm
Disco de Aluminio
Diámetro del disco =151.10mm
Diámetro el agujero = 31.65 mm
Espesor (t) =0.65 cm
e’ = 0.4 cm
Tambor:
Longitud de la circunferencia (Lc) = 29.2 cm
Tiempo en dar una vuelta = 16 seg
Longitudes b, d (constante ) y a variable
a1 = 24 cm a2= 33,5 cm a3= 39,1 cm
b = 66 cm
d = 12 cm
Relación de transmisión:
Numero de Dientes Disco de Aluminio = 72
Numero de Dientes Eje del Motor = 22
Relacion de transmisión = RT = 72/22 = 3,27
Calculo de la velocidad del tambor (Vtambor):
Tiempo promedio en dar una vuelta:
TP = 15.96 seg
Vtambor = Lc/Tp = 292mm/ 16seg = 18.25 mm/seg
2.- Con d=0 y para tres valores diferentes de a, calcular Wn, M y Mt
Calculo de la constante de rigidez del resorte (K)
K = (d4 G)/(8 D3 N) =
K = [(0.32 cm)4 8.1x105Kgf/cm2]/(8 (4.45 cm)3 16)
K = 0.7529 Kgf/cm (9,81New/1Kgf)(100cm/1m) K = 738,5949 Kg/seg2
Calculo de la masa de la viga
Densidad del acero acero =7.78 Kg/dm3
Vviga =largo x ancho x espesor=66 cm x 2,5 cm x 1,29 cm=212,85 cm3=0,00021 m3
luego, = mviga/Vviga mviga= Vviga x = 0,00021 m3 x 7780 Kg/m3
mviga = 1,66 Kg
Calculo de la frecuencia natural del sistema sin amortiguamiento (Wn)
De las gráficas obtenidas en el laboratorio para las vibraciones sin
amortiguamiento para cada valor de “a”, se mide la distancia que tardo en describir
un ciclo.
Para a1 = 24 cm x1 = 5 mm / ciclo
Wn = Vtambor/x1 = (18.25 mm /seg)/(5mm/ciclo) = 3,65 ciclo / seg
Wn =( 3.65 ciclos / seg ) (2 rad/ciclo) = 22,93 rad/seg
Wn = (3.65 ciclos/seg)(60seg/min) = 219 rpm
Para a2 = 33,5 cm x2 = 6 mm / ciclo
Wn = Vtambor/x2 = (18.25 mm /seg)/(6mm/ciclo) = 3,041 ciclo/seg
Wn =( 3.041 ciclos / seg ) (2 rad/ciclo) = 19,107 rad/seg
Wn = (3.041 ciclos/seg)(60seg/min) = 182,46 rpm
Para a3 = 39,1 cm x2 = 6,5 mm / ciclo
Wn = Vtambor/x2 = (18.25 mm /seg)/(6.5 mm/ciclo) = 2,8076 ciclo/seg
Wn =( 2.8076 ciclos / seg ) (2 rad/ciclo) = 17,64 rad/seg
Wn = (2.8076 ciclos/seg)(60seg/min) = 168,456 rpm
De la ecuación de frecuencia natural despejamos el valor de M para calcularlo,
con cada uno de los valores de “a”.
M = (b/a)2(K/Wn2 – mviga/3)
Para a1 = 24 cm
M = [(66cm)/(24cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/22,93 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 6,43 Kg
Para a2 = 33,5 cm
M = [(66cm)/(33,5cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/19,107 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 5,70 Kg
Para a3 = 39,1 cm
M = [(66cm)/(39,1cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/ 17,64 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 5,18 Kg
Calculo de la masa total (Mt) para cada uno de los valores de “A”.
Mt =( mviga b2 )/3a 2 + M
Para a1 = 24 cm
Mt1 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3 (24cm)2 + 6,43 Kg
Mt1 = 10,61 Kg
Para a2 = 33,5 cm
Mt2 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3(33,5cm)2 + 5,70 Kg
Mt2 = 7,847 Kg
Para a3 = 39,1 cm
Mt3 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3(39,1cm)2 + 5,18 Kg Mt3 = 6,75 Kg
3.- Conectado C , Calcular las constantes de amortiguamiento ( C ), para cada
uno de los valores de a
C = 2 Mt Wn
Donde es el decremento logarítmico el cual es la relación de amplitudes, en las
gráficas de la vibración con amortiguamiento
Para a1 = 24 cm
Decremento logarítmico:
1 = ln ( 8,5/8) = 0.0606
2 = ln ( 7/6,5) = 0.0741
3= ln (5/4,5) = 0.1053
Promedio del decremento logaritmico
m = (1 +2 +3 ) / 3 = 0.08
C = 2 *10,61 Kg * 22.93(1/seg) * [(1/1+(2/0.08)2]1/2
C = 6,1947 Kg / seg
Para a2 = 33,5 cm
Decremento logarítmico:
1 = ln (15/14,5) = 0,0339
2 = ln (13/12,5) = 0,0392
3= ln (7,5/6,5)= 0,1431
Promedio
m = (1 +2 +3 ) / 3 = 0.0720
C = 2 *7,847 Kg * 19,107(1/seg) * [(1+(2/0,0720)2]1/2
C = 3,4359 Kg / seg
Para a3 = 39,1 cm
Decremento logarítmico:
1 = ln (13,3/13) = 0,0228
2 = ln (10,5/10) = 0,0487
3= ln (4/3)= 0,2876
Promedio
m = (1 +2 +3 ) / 3 = 0,1197
C = 2 *6,75 Kg * 17,64(1/seg) * [(1+(2/0,1197)2]1/2
C = 4,5359 Kg / seg
4.- Con el sistema 3, osea a = 39,1 cm, girar el motor a 0,75 – 0,9 – 1 – 1,1 – 1,2 –
1,5 veces la frecuencia natural y graficar XK/Fo vs. r
= c / Cc
Cc = 2MtWn
Para el sistema 3 con el valor de a3 = 39
Cc = 2*6,75 Kg *17.64(rad/seg) = 238,14 Kg/seg
= c/Cc = 4,53(Kg/seg)/238,14(Kg/seg) = 0,019022
Calculo de XK/Fo practico para diferentes valores de r :
- Calculo de la masa del disco de aluminio
Disco con hueco
A = (/4) [ (D2 – d2)] = (/4) [ (15,2)2 – (3.1)2)] cm2
A = 173,9111 cm2
V = A * espesor = 173,9111 cm2 * 0,65 cm = 113,0422 cm3
Como la densidad del aluminio es = 2700Kg / m3
Mcon hueco = 113,0422 cm3 * 2700(Kg/m3) (1m3/106 cm3)
Mcon hueco = 0,3052 Kg
Disco sin hueco
A = (/4) [ (D2 )] = (/4) [ (15.2)2 ] cm2
A = 181,4588 cm2
V = A * espesor = 181,4588 cm2 * 0,65 cm = 117,9482 cm3
Como la densidad del aluminio es = 2700Kg / m3
Msin hueco = 117,9482 cm3 * 2700(Kg/m3) (1m3/106 cm3)
Msin hueco = 0,3184 Kg
Mdisco = msinhueco –mconhueco = (0,3184 – 0,052)Kg
mdisco = 0,0132 Kg
- Calculo de la excentricidad “e”
e = [ (D – d ) /2 – e’ ] = [ (15,2-3,1)/2 –0.4]
e = 7,5625 cm
- Calculo de Fo
Fo = mew2 = 0,0132 Kg * 7,5625 cm * (13,23 rad/seg)2(1m/100cm)
Fo = 0,1747 New
El valor de X para sacar XK/Fo se calcula por medio de la siguiente formula
Valores Obtenidos Teoricos
R = W/WN XK/FO
0.75 2,2808
0.9 5,1666
1 26,1574
1.1 4,6579
1.2 2,2456
1.5 0,7851
R = W/WN W(RAD/SEG) FO (NEW) X(M) XK/FO
(PRACTICO)
0.75 13.23 0,1747 0,002 8,4555
0.9 15,876 0,2516 0,005 14,6778
1 17,64 0,3106 0,009 21,4015
1.1 19,404 0,3758 0,003 5,8961
1.2 21,168 0,4473 0,002 3,3024
1.5 26,46 0,6989 0.0015 1,5851
Tabla de datos
R = W/WN XK/FO
(PRACTICO)
XK/FO
(TEORICO)
0.75 8,4555 2,2808
0.9 14,6778 5,1666
1 21,4015 26,1574
1.1 5,8961 4,6579
1.2 3,3024 2,2456
1.5 1,5851 0,7851
Graficas de XK/Foteorico y XK/Fopractico vs. R
Cálculos de los errores absolutos y relativos con respecto a los valores de
XK/Fo teóricos y práctico
Para r = 0.75
Error absoluto
| 2,280 – 8,455| = 6,175
2,280 6,175
error relativo
(6,175/ 2,280) 100 = 270,83
Para r = 0.9
Error absoluto
| 5,166 – 14,677| = 9,511
5,166 9,511
error relativo
(9,511 / 5,166) 100 = 184,10
Para r = 1
Error absoluto
| 26,157 – 21,401| = 4,756
26,157 4,756
error relativo
(4,756 / 26,157) 100 = 18,18
Para r = 1.1
Error absoluto
| 4,657 – 5,896| = 1,239
4,657 1,239
error relativo
(1,239 / 4,657) 100 = 26,60
Para r = 1.2
Error absoluto
| 2,245 – 3,302| = 1,057
2,245 1,057
error relativo
(1,057 / 2,245) 100 = 47,08
Para r = 1.5
Error absoluto
| 0,785 – 1,585| =0,8
0,785 0,8
error relativo
(0,8 / 0,785) 100 = 101,91
causas del posible error
1- Errores humanos al realizar las mediciones. En estas fallas también se
incluyen los fallos por falta de una técnica adecuada de medición y los errores
de apreciación.
2- Que las gráficas no fuesen lo suficientemente exactas y la medición de las
amplitudes en las misma no eran exactas debido a que las mismas eran muy
pequeñas y de ciclos muy cortos.
CONCLUSION
Al finalizar el informe podemos concluir:
Que las vibraciones forzadas amortiguadas ocurren en casi todos los sistemas
mecánicos y es necesaria una fuerza excitatriz la cual genera las vibraciones y los
amortiguamientos que suavizan estas vibraciones y disminuyen su amplitud.
Se pudo observar que la frecuencia de vibración (n) disminuye a medida que la
fuerza excitatriz se aleja de la articulación
Que la masa faltante en el disco de aluminio provoca un desbalance el cual
produce una fuerza (Fo) que genera las vibraciones en el sistema.
BIBLIOGRAFIA
JUVINALL, Robert C. Fundamentos de diseño para ingeniería
mecánica. Editorial Limusa, México.1991.
ALONSO, Marcelo y FINN, Edward. Física.Volumen I, Fondo
Educativo Interamericano.U.S.A. 1976.
THOMSON, William T.Teoría de vibraciones. Editorial Prentice/Hall
Internacional. Editorial Dossat,S.A. 1.983 Madrid-España.