Física II

VIBRACIONES

Vibraciones libres amortiguadas. Vibraciones forzadas y resonancia

CASO: PUENTE TACOMA NARROW

11/09/2016 Yuri Milachay 2

http://www.wsdot.wa.gov/tnbhistory/

ARCOS DE ALCONETAR SOBRE EL RIO TAJO

https://www.youtube.com/watch?v=QTK7siHbAEk

EL DESASTRE POTENCIAL DEL CITY CORP

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¿POR QUÉ AMORTIGUADORES EN UN PUENTE?

6

Disminuye las oscilaciones del muelle

¿QUÉ FUNCIÓN CUMPLEN LOS AMORTIGUADORES?

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

• La fricción es una fuerza disipadora que mengua las oscilaciones. Ladisminución de la amplitud se denomina amortiguación y elmovimiento que realiza se llama oscilación amortiguada.

𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣𝑥

VIBRACIÓN LIBRE VISCOSA AMORTIGUADA

• La fuerza viscosa de amortiguación es proporcional a la

velocidad.

• 𝑐- coeficiente de amortiguación viscosa, 𝑁. 𝑠/𝑚 o 𝑙𝑏. 𝑠/𝑓𝑡.

• La ecuación de movimiento es

• Y la solución de la ecuación diferencial homogénea es

𝐹𝑥 = −𝑐𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣𝑥

𝑥 = 𝑒𝜆𝑡

ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN

• Reemplazando en la ecuación original se llega a la expresión

de λ.

• Cuya expresión matemática es

• Con lo cual se abren tres posibilidades de movimiento.

• 1. Amortiguación crítica (cc)

−𝑘𝑒𝜆𝑡 − 𝑐𝜆𝑒𝜆𝑡 = 𝑚𝜆2𝑒𝜆𝑡

𝜆 = −𝑐

2𝑚±𝑐2 − 4𝑚𝑘

4𝑚2

𝑐𝑐2 −𝑘

4𝑚2=0 𝑐𝑐 = 2𝑚

𝑘

𝑚= 2𝑚𝜔𝑜

• Lo que da como solución

• Sistema sobreamortiguado

𝜆1 = 𝜆2 = −𝜔𝑜 𝑥 𝑡 = (𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒−𝜔𝑜𝑡

𝜆1, 𝜆2; reales

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒𝜆1𝑡 + 𝐵𝑒𝜆2𝑡

𝑐

2𝑚

2

−𝑘

𝑚> 0

• Sistema subamortiguado

• Las soluciones son imaginarias

𝑐

2𝑚

2

−𝑘

𝑚< 0

𝑥 𝑡 = 𝐷𝑒−𝑐2𝑚𝑡𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑡 + 𝜙

𝜔𝑑 = 𝜔𝑜 1 −𝑐

𝑐𝑐

2

Factor de amortiguación

GRÁFICA DEL PROCESO

EJERCICIO

• Un bloque de 0,800 kg de masa se suspende de unresorte cuya rigidez es de 120 N/m. Si un amortiguadorgenera una fuerza de amortiguación de 2,5 N cuando lavelocidad del bloque es de 0,200 m/s, determine elperiodo de vibración libre.

• Dos amortiguadoresidénticos se disponenparalelos entre sí, como semuestra. Demuestre que siel coeficiente de

amortiguación 𝑐 < 𝑚𝑘 ,entonces el bloque de masa

𝑚 vibrará como un sistemasobreamortiguado.

EJERCICIO

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

• Un oscilador armónico amortiguado aislado dejará demoverse, pero podemos mantener una oscilación de amplitudconstante aplicando una fuerza que varíe con el tiempoperiódicamente, con un periodo definido.

• La solución de la ecuación es la expresión:

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𝐹 𝑡 = 𝐹𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑𝑡 𝐹 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 + 𝐹𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑𝑡

𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑡 + 𝜙

𝜔0 = 𝑘 𝑚

𝐴 = 𝐹max 𝑚

𝜔𝑑2 −𝜔0

2 2 +𝑐𝜔𝑑𝑚

2

• La frecuencia angular para la quela amplitud es máxima se llamafrecuencia de resonancia.

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

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Una fuerza impulsora senoidal seaplica a un oscilador armónicoamortiguado con constante defuerza k y una masa m . Si laconstante de amortiguación valeb1, la amplitud es A1 cuando lafrecuencia angular impulsora es(k/m)1/2. En términos de A1,¿cuánto vale la amplitud con lamisma frecuencia impulsora y lamisma amplitud de la fuerzaimpulsora Fmáx si la constante deamortiguación es 3b?

Solución.

EJERCICIOS

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1b

𝐴1 = 𝐹max 𝑚

𝜔d2 − 𝜔0

2 2 +𝑏1𝜔𝑑𝑚

2

𝐴1 =𝐹max𝑏1𝜔𝑑

𝐴2 =𝐴13

𝜔02 =𝑘

𝑚;

La estructura de soporte que se

colocó a bordo de la estación

espacial actúa como sistema

resorte-masa subamortiguado

con constante de fuerza 2,10 x

106 N/m y masa 108 kg. Un

requisito de la NASA es que no

haya resonancia para

oscilaciones forzadas en ninguna

frecuencia menor que 35,0 Hz,

¿satisface el paquete tal

requisito? Es decir, ¿tiene

frecuencias naturales

coincidentes?

• Solución

EJERCICIO

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• El motor eléctrico de

30 𝑘𝑔 está sostenido por 4resortes, cada uno con una

constante de 200 𝑁/𝑚 . Si elrotor se desbalancea de modoque su efecto equivalga a una

masa de 4 𝑘𝑔 situada a60 𝑚𝑚 del eje de rotación,determine la amplitud de lavibración cuando el rotor gira

a 𝜔 𝑜 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠. El factor deamortiguación es 𝑐 = 0,15 𝑐𝑐

EJERCICIO

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Hibbeler R. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. Ed.

Prentice Hall. 12 edición. Cap. 22.

2. Gray. Dinámica. Ed. Mc Graw Hill. 3 edición. Cap.9