oscilaciones, ondas y termodinÁmica …1.5 oscilaciones alrededor de un mínimo de energía...

Osc. Ondas y Termodinámica

OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA

MÓDULO 1: OSCILACIONES

Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté


Módulo 1: Oscilaciones

Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)

1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.

(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)

1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo

de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.

Lección 2. Oscilaciones amortiguadas

2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones

amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y

sobreamortiguamiento.

Lección 3. Movimiento Armónico Forzado

3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.

Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.

3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.

3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura

de la resonancia.

Lección 4. Superposición de varios MAS

4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.

4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.

4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.

4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.


● El MAS es una idealización => No existe !

● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.

Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas





http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94






http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/






http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94

Objetivo: encontrar las ecuaciones querigen las oscilaciones amortiguadas




2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.

Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento:



Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad




Rozamiento viscoso

F r =− b v




Rozamiento viscoso

F r =− b v

Constante de amorguamiento

El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.




Rozamiento viscoso

F r =− b v



Fr =− b v = mdvdt




Rozamiento viscoso

F r =− b v



Fr =− b v = mdvdt

−bm

dt =dvv




Rozamiento viscoso

F r =− b v



Fr =− b v = mdvdt

−bm

dt =dvv

−bm∫0

tdt =∫v0

v dvv




Rozamiento viscoso

F r =− b v



Fr =− b v = mdvdt

−bm

dt =dvv

−bm∫0

tdt =∫v0

v dvv

−bm

t = ln vv0




Rozamiento viscoso

F r =− b v



Fr =− b v = mdvdt

−bm

dt =dvv

−bm∫0

tdt =∫v0

v dvv

−bm

t = ln vv0

v t = v0 e−

bm

t

Velocidad




Rozamiento viscoso

F r =− b v



Fr =− b v = mdvdt

−bm

dt =dvv

−bm∫0

tdt =∫v0

v dvv

−bm

t = ln vv0

v t = v0 e−

bm

t

EC =12

m v2 ≈ E0 e−

2bm

t

Velocidad Energía




Rozamiento viscoso

F r =− b v



Fr =− b v = mdvdt

−bm

dt =dvv

−bm∫0

tdt =∫v0

v dvv

−bm

t = ln vv0

v t = v0 e−

bm

t

EC =12

m v2 ≈ E0 e−

2bm

t

Para un tiempo =m/b τ : v → v

0 /e

E → E0

/e2

Velocidad Energía


2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.

Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:




Fel =− k x

v




F r =− b v

Fel =− k x

v




F r =− b v

Fel =− k x

La 2da ley de Newton queda:

∑ F =− k x − b x = m xv




F r =− b v

Fel =− k x


∑ F =− k x − b x = m x

x bm

x km

x = 0

Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y homogénea.

v




F r =− b v

Fel =− k x


∑ F =− k x − b x = m x

x bm

x km

x = 0

x 2 x 02 x = 0

Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y homogénea.

v

Donde: β = b/2m es el parámetro de amortiguamiento. ω

0

2 = k/m es la frecuencia angular natural

del oscilador al cuadrado. Ec. diferencial de lasoscilaciones amortiguadas


x bm

x km

x = 0 x 2 x 02 x = 0

Busquemos la solución de la Ec. diferencial:



Si β=0:

x bm

x km

x = 0 x 2 x 02 x = 0


Debe encontrarse entre estos casos extremos:


Si ω0 =0:


Si β=0:

x bm

x km

x = 0 x 2 x 02 x = 0


x 02 x = 0



Si ω0 =0:


Si β=0: la solución es el MAS.

x bm

x km

x = 0 x 2 x 02 x = 0


x 02 x = 0 x t =A cos t



Si ω0 =0:



x bm

x km

x = 0 x 2 x 02 x = 0


x 02 x = 0 x t =A cos t

Si ω0 =0:


x 2 x = 0




x bm

x km

x = 0 x 2 x 02 x = 0


x 02 x = 0 x t =A cos t

Si ω0 =0: la velocidad decae

exponencialmente.


x 2 x = 0 v t = v0 e−

bm

t




x bm

x km

x = 0 x 2 x 02 x = 0


x 02 x = 0 x t =A cos t

Si ω0 =0: la velocidad decae

exponencialmente.


x 2 x = 0 v t = v0 e−

bm

t

Parece razonable que la solución sea una combinación de ambas



x 2 x 02 x = 0

Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:

2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.


x 2 x 02 x = 0


x t =A e− t cos1 t


Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω

0 > β)

con: =

b2m

, 0 = km

, 1 = 02−2


x 2 x 02 x = 0





0 > β)

con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2


x 2 x 02 x = 0





0 > β)


Parámetro de amortiguamiento

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2


x 2 x 02 x = 0





0 > β)



Constante de amortiguamiento

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2


x 2 x 02 x = 0





0 > β)




Frecuencia angular naturalo propia

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2


x 2 x 02 x = 0





0 > β)





Frecuencia angular del mov.

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2


x 2 x 02 x = 0





0 > β)





Frecuencia angular del mov.

Constante de lafuerza recuperadora

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2


Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas



=b

2m, 0= k

m, 1=0

2−

2





=b

2m, 0= k

m, 1=0

2−

2

• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')





=b

2m, 0= k

m, 1=0

2−

2


• Si decae poco en un periodo, podemos considerarlo como la 'amplitud efectiva' de un movimiento armónico (casi un MAS).

A e− t





=b

2m, 0= k

m, 1=0

2−

2



• El 'periodo' del movimiento es , independiente de A

A e− t

t=2

02−

2





=b

2m, 0= k

m, 1=0

2−

2



• El 'periodo' del movimiento es , independiente de A

• La frecuencia es menor que ω0 , pero si

A e− t

0≫ 1≈0

Situación frecuente

t=2

02−

2


Ejercicio: demostrar que la perdida relativa de amplitud por periodo en un oscilador armónico amortiguado es:


p =A t −A tT

A t = 1 − e−T

Ejercicio: una partícula de masa m=2kg sujeta por un muelle de constante k=200N/m realiza oscilaciones amortiguadas y pierde ¼ de su amplitud en 60 oscilaciones. Determinar el parámetro de amortiguamiento, la frecuencia angular del movimiento y la constante de amortiguamiento.

Ejercicio: sabiendo que la frecuencia angular de un oscilador amortiguado es el 95% de su frecuencia propia, ¿en qué % se reducirá la amplitud en cada oscilación?

Solución: β=0.00763 s-1, ω1=10 s-1, b=0.369 kg/s

Solución: se reduce un 12.7 %

















de la resonancia.







2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.


Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.




Podemos asimilar el movimiento a un MAS





La energía se puede calcular, por lo tanto, como:







E ≈12

k A2 Energía del 'MAS'






E ≈12

k A2

E =12

k A02 e−2 t

Energía del 'MAS'






E ≈12

k A2

E =12

k A02 e−2 t

E0

Energía del 'MAS'






E ≈12

k A2

E = E0 e−2 tE =

12

k A02 e−2 t

E0

Energía del 'MAS'

Energía del MA






E ≈12

k A2

E = E0 e−2 t

Definiendo:

E = E0 e−

t

=1

2=

mb

E =12

k A02 e−2 t

E0

Energía del 'MAS'

Energía del MA






E ≈12

k A2

E = E0 e−2 t

Definiendo:

E = E0 e−

tE =

12

k A02 e−2 t

tiempo de relajación(para la energía)

E0

Energía del 'MAS'

Energía del MA

=1

2=

mb






E ≈12

k A2

E = E0 e−2 t

Definiendo:

E = E0 e−

tE =

12

k A02 e−2 t

tiempo de relajación(para la energía)

Ejercicio: demuestra que si en una oscilación amortiguada p y q son la perdida relativa de amplitud y energía respectivamente, se cumple: q = 2 p − p2

q ≈ 2 p si ≪0

E0

Energía del 'MAS'

Energía del MA

Ejercicio: si (en unidades SI), determinar el tiempo necesario para que la energía se reduzca a la mitad.

x t = 0.360 e−t /50 cos60 t−1 /3

Solución:17.33 s

=1

2=

mb


El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':

2.4 Energía del MA. Factor de calidad

Q = 2Energíadel oscilador

∣Energía perdida por ciclo∣






Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):







Q = 2E0 e−2 t







Q = 2E0 e−2 t Aproximación a 1er orden

(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0







Q = 2E0 e−2 t

−ddt

E0 e−2 t ⋅T

Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0







Q = 2E0 e−2 t

−ddt

E0 e−2 t ⋅T


Q = 2E0 e−2 t

2 E0 e−2 t⋅T







Q = 2E0 e−2 t

−ddt

E0 e−2 t ⋅T


Q = 2E0 e−2t

2E0 e−2t⋅T

=2T

12







Q = 2E0 e−2 t

−ddt

E0 e−2 t ⋅T


1

Q = 2E0 e−2t

2E0 e−2t⋅T

=2T

12







Q = 2E0 e−2 t

−ddt

E0 e−2 t ⋅T

Q =1 ≈ 0


Factor de calidad (si )≪0

1

Q = 2E0 e−2t

2E0 e−2t⋅T

=2T

12


En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede

calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:






PD = F r⋅vPotencia disipada:





PD = F r⋅v

Fr =−b v

PD =−b v2Potencia disipada:





PD = F r⋅v

Fr =−b v


Energía del sistemaen función del tiempo:

E = E0∫0

tPD dt





PD = F r⋅v

Fr =−b v



E = E0∫0

tPD dt E =

12

k A02−∫0

tb v2 dt





PD = F r⋅v

Fr =−b v



E = E0∫0

tPD dt E =

12

k A02−∫0

tb v2 dt

v =dxdt

=ddt

A e− t cos1 t

E =12

m12 A0

2 e−2 t 12sin 1 t cos 1 t 22

1

cos21 t Ejercicio: demostrar que si: 1≈0≫ , E ≈ E0 e−2t

y haciendo la integral


x 2 x 02 x = 0

Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:



0 > β)

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2

2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento


x 2 x 02 x = 0




0 > β)

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2


Pero que pasa si ω0 <= β:


x 2 x 02 x = 0




0 > β)

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2



Hay dos casos:


x 2 x 02 x = 0




0 > β)

=b

2m, 0 = k

m, 1 = 0

2−2



Amortiguamiento crítico (ω0 = β)

Sobreamortiguamiento (ω0 < β)

Hay dos casos:




x t = x0 v0 x0 t e− t

La solución de la ec. diferencial es:




x t = x0 v0 x0 t e− t

• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.





x t = x0 v0 x0 t e− t







x t = x0 v0 x0 t e− t

Siendo:





x t = A1 e− '1 t A2 e '1 t e− t

A1 =−v0 − '1 x0

2 '1

A2 =v0 '1 x0

2 '1

1 = 2−02• Tampoco en este caso hay oscilaciones




x t = x0 v0 x0 t e− t

Siendo:





x t = A1 e− '1 t A2 e '1 t e− t

A1 =−v0 − '1 x0

2 '1

A2 =v0 '1 x0

2 '1

1 = 2−02• Tampoco en este caso hay oscilaciones

En amortiguamiento crítico,es cuando la partícula llega al equilibrio en menos tiempo

En amortiguamiento crítico,es cuando la partícula llega al equilibrio en menos tiempo


Ejercicio (prob 22): dos cuerpos unidos entre si de masas M y m están en equilibrio colgados del techo mediante un muelle de constante k. En un determinado instante se retira el cuerpo de masa m por lo que el cuerpo M empieza a oscilar, realizando oscilaciones amortiguadas por el rozamiento con el aire. Se pide:

a) Energía con la que empieza a oscilar el cuerpo.

b) Perdida relativa de energía (q) en función de la pérdida relativa de amplitud (p).

c) Si M=100g, m=30g, k=25N/m, p=1.50%, determinar el tiempo necesario para que la energía sea la cuarta parte del valor inicial

Oscilaciones amortiguadas.

E0 =m² g²

2k, q = 2 p−p² ≈ 2p , t = 18.2s

Ejercicio: un péndulo simple tiene un periodo de 2s y una amplitud de 2º. Si después de 10 oscilaciones su amplitud disminuye en 0.5º, determinar el parámetro de amortiguamiento y la perdida relativa de amplitud y energía.

Solución:

Solución: β=0.01438 s-1 , p=0.25, q=0.437


Cuestiones Osc. Amortiguadas (contesta razonadamente).

1. En un oscilador armónico amortiguado la energía decrece describiendo oscilaciones de amplitud decreciente.

2. La energía de un oscilador muy débilmente amortiguado es proporcional al cuadrado de su amplitud efectiva.

3. El parámetro de amortiguamiento tiene las mismas unidades que la constante de amortiguamiento.

4. Si ω0 < β la partícula se aproximará a la posición de equilibrio sin realizar

oscilaciones y en el menor tiempo posible.

5. El factor de calidad es una magnitud que sólo esta definida para el movimiento débilmente amortiguado.

6. La energía de un oscilador débilmente amortiguado decrece exponencialmente con el tiempo.

7. Los amortiguadores de un coche son un ejemplo de sistema débilmente amortiguado.

8. El periodo de un oscilador débilmente amortiguado aumenta a medida que la partícula pierde velocidad.

















de la resonancia.







Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)

Lección 3: Movimiento armónico forzado




http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E






http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU




3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.

Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:




Fel =− k x




F r =− b v

Fel =− k x

v




F r =− b v

Fel =− k x

Fosc = F0 cos t

v




F r =− b v

Fel =− k x

Fosc = F0 cos t

v

• Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente




F r =− b v

Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:

∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x

Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente

v




F r =− b v


∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x

x bm

x km

x =F0

mcos t

Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas


v




F r =− b v


∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x

x bm

x km

x =F0

mcos t

x 2 x 02 x =

F0

mcos t

Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω

0

2 =k/m es la frecuencia angular natural

del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante



v




F r =− b v


∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x

x bm

x km

x =F0

mcos t

x 2 x 02 x =

F0

mcos t

Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y no homogénea.

Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω

0

2 =k/m es la frecuencia angular natural

del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante



v


5.1. Conceptos básicos

Vector velocidad

● La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la partícula dividido entre en el tiempo empleado

● En una dimensión:

x

y

z

x

r t

r t =x t i y t jz t k

i

j

k

oscilaciones, ondas y termodinÁmica …1.5 oscilaciones alrededor de un mínimo de energía...

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