2013 1 vibraciones forzadas amortiguadas

8/12/2019 2013 1 Vibraciones Forzadas Amortiguadas

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Dinámica 2013-1

Sesión 24

Tema:

Vibraciones Forzadas Amortiguadas

Emprendedores sin fronteras

1



Objetivos de la Sesión

1.- Comprender los principios de la vibración forzada amortiguada

2.- Relacionar las fuerzas vibratorias con los cuerpos en contacto.

3.- Resolver problemas de vibraciones forzadas amortiguadas

4.- Trabajar en equipo



0 5 / 0 8 / 2 0 1 4

4

Caso: Puente Tacoma Narrow



0 5 / 0 8 / 2 0 1 4

5

Puente Franjo Tudjman (Duvrobnik) Rusia



0 5 / 0 8 / 2 0 1 4

6

Amortiguador de autos



Aplicamos la ecuación del movimiento (2° ley de Newton)

F(t) – FK – FA = m FK es proporcional al desplazamiento. - - kx

FA en función a la velocidad - c m + c + kx = F(t) + 2δ + ω0

2x =. F(t)

ω0 = ωn= frecuencia natural ω0 =

δ = coeficiente de atenuación

δ =

VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA



Caso particular: Si δ = 0 F(t) = F0.Ω OSCILACION FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO

Ω = : frecuencia de la fuerza excitadora

F0 = amplitud de la fuerza

+ ω02x =

.F0.Ω ……. (*)

La solución general es: X(t) = Xhomogenea+ Xparticular

X(t) = Xc(t) + Xp(t)

Siendo Xc(t) = A.Sen(ω0t+ф) Solución complementaria

La solución complementaria Xc define la vibración libre, lo cualdepende de la frecuencia natural (ω0= ωn) y las constantes A y ф.



Para la solución particular o permanente: Nuestro modelo de soluciónes:

Xp(t) = VΩ C’ = V: amplitud de la vibración forzada

xP(t) = - V.Ω.SenΩt =Ω: frecuencia de la fuerza excitadoraP(t) = - V.Ω2.CosΩt

Reemplazamos en (*) ( + ω02x =

.F0.Ω)

- V.Ω

2

.CosΩt + ω0

2

VcosΩ =

.F0.cosΩ

(ω02 - Ω2).V =

.F0V =

.

−ΩPero:n = u = r =

Ωω0

es la relación de

frecuencias

donde: K = m ω02

V = .

− Por lo tanto Xp = .

− Ω

La solución particular Xp describe la vibración forzada del bloque yprovocada por la fuerza aplicada F= F0.cosΩ.



FACTOR DE AMPLIFICACION O MAGNIFICACION (MF) Se define como la relación de la amplitud de la vibración de estado continuoC’ = V, a la deflexión estática X0 = F0/K, producida por la amplitud de la fuerzaperiódica F0, entonces:

X0 = Xest= deflexión estática

De la ecuación de la amplitud V = .

− y de la definición de MF.

MF =

=

−

En la figura se observa, que si la fuerza o desplazamiento

se aplica con una frecuencia natural del sistema,

es decir n ≈ 1, la amplitud de vibración del bloque

llega a ser extremadamente grande. Esto ocurre

porque la fuerza F se aplica al bloque de modoque siempre siga el movimiento de este.

Esta condición se llama resonancia; en la práctica,

las vibraciones resonantes pueden dar lugar a

esfuerzos tremendos y a la rápida falla de las partes.



Aplicación

El compactador de suelo opera porvibración forzada desarrollada porun motor interno.

Es importante que la frecuenciaforzada no se aproxime a lafrecuencia natural de vibración delcompactador, la cual puede

determinarse cuando se apaga elmotor, de lo contrario habráresonancia y la maquina se volveráincontrolable.



VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

Para determinar la ecuación que gobierna este movimiento,

consideremos el siguiente sistema masa-resorte con unamortiguador y una fuerza armónica externa.



Luego realizando el D.C.L. del bloque se tiene:

Aplicando entonces la segunda Ley de Newton se tiene:



Como la función de la fuerza aplicada es armónica, el movimiento delestado permanente también es armónico.

Luego reemplazando en la ecuación diferencial (I)



b 2 km



Vibraciones Forzadas Amortiguadas en

Maquinas desbalanceadas2) Cuando δ >0 :

Maquinas desbalanceadas:F(t)=Fo.Sen(Ωt) ó F(t)=Fo.Cos(Ωt)

Fo :Amplitud de la excitación armónica

Ω: Frecuencia de la fuerza excitadora



De el grafico obtenemos la siguiente ecuación diferencial: = . ()

2 δ = .() ….. (1)

Trabajando con números complejos : Z = X + iY

= ∅

Después: = ∝ = c o s ∝ s i n ∝



Dando forma

2δ = .() …….(2)

Sumando 1 y 2:

2δ = . ( )

2δ = .



Considerando como solución: =

Derivando : = . = .

Reemplazando en la ecuación anterior:

2δ. = .

2 δ . . =

= . 1

2 δ .



=

.

1

2 δ . .

( 2δ)

( 2δ)

=

. 2δ

4δ

=

.

4δ

2δ

4δ



Luego

= =

. 1

4δ

: Frecuencia natural.

= : Frecuencia del sistema ó de la fuerza excitadora.

= = t a n−

=tan− 2δ

= ∝

= (+∝)

= [ ∝ ∝ ]



Luego :

= . ∝ ó = . ∝ C’ = V: Amplitud de la vibración forzada

Haciendo que V dependa de los parámetros n y δ siendo:

=

y δ =

Donde: n = u = r ,es la razón de frecuencias

Reemplazando en la ecuación de la amplitud V :

Xp = = .

− +

Pero como = .

(,)= 1

1 2



• La ecuación del movimiento está dado por:

• = 0 cos()

•

= • La respuesta permanente del sistema es:

• =cos()

• Luego se puede calcular la fuerza transmitida a la base B,

• = = c os( ) • = = . . . sin cos( )

• :

• :

• La fuerza total transmitida a la base B es (FT)• =cos()...sincos()



• Haciendo que t a n = w

•

c o s =

+(.)

• s e n = .+(.)

• = /

− +(. )

• Índice o razón de amortiguamiento: =

• Relación de frecuencias:

=

=

• = − . − + . cos()



Fuerza transmitida máxima = − . − + .



DESBALANCE ROTATORIO

El desbalance en máquinas rotatorias

es una fuente común de excitaciónvibratoria. Consideremos un sistemamasa-resorte-amortiguadorrestringido a moverse en la direcciónvertical y excitado por una maquina

rotatoria no balanceada, comomuestra la figura. El desbalance estárepresentado por una masaexcéntrica m con excentricidad e

(radio de rotación del movimiento

circular)que rota con velocidadangular . Si x representa eldesplazamiento de la masa norotante (M - m), desde la posición deequilibrio, la aceleración de m es:

0

M

m

C

k/2k/2



= . =

La aceleración vertical que actúa sobre m es:

= cos

m.g

m

e

= .

= cos()



• la fuerza vertical que actúa sobre m es:

• = = cos()

• La ecuación diferencial del movimiento del motor es:

• = cos()

• Finalmente:

•

= . .

.cos

= cos(

)

• El movimiento es del tipo:

• = cos()



• Donde es la amplitud de la excitación externa equivalente que haceoscilar el motor

• Una diferencia importante ha de observarse con respecto al casoestudiado, y es que

= . .

no es constante, sino que depende dew, En otras palabras la excitación crece con la velocidad angular del motor.

• Sabemos que:

• =

−

+ =

−

+

• =

.

− +

• Dónde:

•

= / ;

=

• Entonces:

•.. =

− +

• Representación grafica: . vs r , donde r = n = u , es la razón de



p g . , ,frecuencias en sus diferentes formas.



Ejemplo:

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