Tarea N1 Dinmica de Estructuras Nombres: Juan Carvacho2704017-9 Rodolfo Rojas2704170-1 2 1.Introduccin. Elcontinuoavanceydesarrollodelatecnologahapermitidocrearsistemascomputacionalesdegran complejidad, pero solventados por una gran eficiencia y rapidez a la hora de realizar clculos.El desarrollo de mtodos numricosysuposteriorincorporacinaestossistemas,hasidounodeloscaminosutilizadosparaeldesarrollode problemas complejos y que tienen prcticamente la imposibilidad de resolverse manualmente. Los mtodos numricos, enelcasodelasecuacionesdiferenciales,permitenobtenerunasolucinmuyaproximada(noexacta)ydeforma discretadelaecuacindemovimiento,otorgandoademselbeneficiodelaincorporacindeexcitacionesms complejas de describir a las vistas y modelables usualmente. Cadaalgoritmodesarrolladotieneventajasydesventajasfrenteaunproblemaosituacinespecfica(o).Cada unotienedistintascaractersticas,comolacomplejidad,velocidaddeprocesamiento,pasosnecesarios,estabilidad, requerimiento de recursos, etc. A continuacin, se analizarn 3 mtodos: Diferencia Central, Newmark (Aceleracin Constante) y Runge-Kutta. 2.Objetivos. -Entenderelfuncionamientodelosmtodosnumricosysusalgoritmos,yaquehoyendasonutilizadospor sistemas computacionales para resolver problemas dinmicos y de toda ndole. -Comparar la solucin analtica de un problema dado con la solucin resuelta por medio de mtodos numricos. -Determinar y verificar para que pasos t los resultados entregados por lo mtodos numricos son cercanos a la solucin real (analtica) de la ecuacin de movimiento. -Verificar la estabilidad de los algoritmos utilizados en los mtodos numricos. -Determinar un espectro de desplazamiento utilizando mtodos numricos. -Analizar el espectro y su utilidad. 3 3.Pregunta 1. 3.1. Ilustracin del problema. 3.2. Desarrollo. Dado el enunciado presentado en la tarea, se presentan y calculan los siguientes valores a utilizar: Datos de Entrada NombreSiglaValorUnidad Masam1,00Kg Rigidezk39,48N/m R. de Amortiguamiento Respecto del Crtico d2,00% Posicin InicialX0 0,00m Velocidad InicialX'0 0,00m/s Magnitud FuerzaF0 39,48N Frec. de ExcitacinW3,14rad/s Datos Calculados NombreSiglaValorUnidad Amortiguamientoc0,25(N*s)/m Frecuencia NaturalWn 6,28rad/s Perodo NaturalTn 1,00s Frecuencia AmortiguadaWd 6,28rad/s 3.2.1.Solucin Analtica. Se tiene un problema dinmico de 1 grado de libertad con su rigidez y amortiguamiento. La ecuacin diferencial de movimiento a resolver es:

Su solucin es:

Donde:

4

A1 y A2 determinadas con las condiciones iniciales del problema. Graficando la solucin cada 0,1[s]: 3.2.2.Mtodo de Diferencia Central. Mtodopararesolverdiscretamentelaecuacindiferencialdemovimientodeunsistemadeungradode libertadconrigidezyamortiguamiento.Estealgoritmoaproximalavelocidadyaceleracinmedianteexpansionesen series de Taylor (diferencias finitas), las cuales son reemplazadas en la ecuacin de movimiento para obtener finalmente una expresin para la posicin en un instante dado. Este algoritmo es de 2 pasos ya que para calcular dicha posicin se requiere la posicin en el instante anterior y previo al anterior. Laestabilidaddeestealgoritmoseestudiaprincipalmenteparasistemassindisipacindeenergayseda cuando t 0,32*Tn. Para efectos de la tarea si hay disipacin de energa, pero omitiendo este detalle se puede realizar deigualforma esteanlisis.ComoTn=1[s],el mtodonoesestableytampococonvergealasolucindeseadaconlos pasos t=1[s] y t=0,5[s]. Se puede afirmar que con t=0,1[s] y t=0,05[s] el mtodo es estable y converge a la solucin deseada (aproximada), adems esto se puede verificar comparando para tiempos iguales con la solucin analtica (real y exacta), arrojando resultados bastante parecidos. Si es que hay que quedarse con un paso t, se afirma que t=0,05[s] converge de mejor forma por su mayor proximidad a la solucinreal. Cont=1[s]lasolucinestotalmentenula,puesdadalafrecuenciadeexcitacin(quetieneunvalorde)la fuerza se anula para todos los mltiplos de tiempo y adems las condiciones iniciales son nulas. Grficos de las soluciones: -2,00E+00-1,00E+000,00E+001,00E+002,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Solucin Analtica 5 0,00E+005,00E-011,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Diferencia Central (t=1) -2,00E+330,00E+002,00E+334,00E+336,00E+330 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Diferencia Central (t=0,5) -2,00E+00-1,00E+000,00E+001,00E+002,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Diferencia Central (t=0,1) -2,00E+00-1,00E+000,00E+001,00E+002,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Diferencia Central (t=0,05) 6 3.2.3.Mtodo de Newmark (Aceleracin Constante (=1/4 y =1/2). Mtodopararesolverdiscretamentelaecuacindiferencialdemovimientodeunsistemadeungradode libertadconrigidezyamortiguamiento.Estemtodocorrespondeaunafamiliadealgoritmosquedependende2 parmetros, y . Dichos algoritmos o ecuaciones aproximan la posicin y velocidad de un instante dado en funcin de la posicin, velocidad y aceleracin del instante anteriory dela aceleracin del mismo instantedado. Estos algoritmos se reemplazan en la ecuacin de movimiento y se obtiene una ecuacin nica para calcular discretamente la posicin de un instante dado en funcin de la fuerza en el instante dado y posicin, velocidad y aceleracin del instante anterior. Por esta misma razn este algoritmo es solo de un paso. Dadolos valoresdelosparmetros(y), estealgoritmoesincondicionalmenteestable,esdecir,nodiverge. Aunas,seobservaqueparavaloresdetmuygrandeslasolucinnoesmuyparecidaalareal,arrojandoincluso solucin nula con t=1. En cambio con valores de t ms pequeos se parece bastante, lo que no dice necesariamente que el menor paso t sea el asociado a la mejor solucin. La solucin es nula con t=1 porque la fuerza se hace 0 para todoslosmltiplosdetiempoyporquelascondicionesinicialestambinsonnulas.Sepuedeafirmarqueelpaso t=0,05 es el que mejor aproxima la solucin a la real, esto por la simple comparacin con la solucin analtica. 0,00E+005,00E-011,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Newmark (t=1) -4,00E+00-2,00E+000,00E+002,00E+004,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Newmark (t=0,5) -2,00E+000,00E+002,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Newmark (t=0,1) 7 3.2.4.Mtodo de Runge-Kutta. Familiadealgoritmospararesolverdiscretamenteecuacionesdiferencialesordinariaslinealesyno lineales. El algoritmo de Runge-Kutta de 4 orden en su forma ms pura permite resolver ecuaciones diferenciales de primerorden,perorealizandouncambiodevariableconvenienteseobtieneunsistemadeecuacionesdondelas variablesaencontrarsonlaposicinyvelocidaddelaecuacindemovimientode2orden.Segnesto,serequiere conocer solo lo que ocurre en el instante anterior, por lo que este algoritmo es de un paso. Este mtodo es condicionalmente estable, por lo que para ciertos valores de t la solucin no converge. En este caso la mejor aproximacin se da con el paso menor, es decir, t=0,05[s]; an ms esta aproximacin es bastante mejor si se compara con los otros mtodos con cualquiera de los pasos utilizados. -2,00E+000,00E+002,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Newmark (t=0,05) -5,00E+34-4,00E+34-3,00E+34-2,00E+34-1,00E+340,00E+001,00E+340 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Runge-Kutta (t=1) -2,00E+11-1,00E+110,00E+001,00E+110 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Runge-Kutta (t=0,5) 8 4.Pregunta 2. 4.1. Desarrollo. Paraeldesarrollodelespectrodedesplazamientodebemosdeterminarelmximodesplazamiento, considerando los desplazamientos en valores absolutos, que se experimentan en todo el registro de datos del terremoto para cada uno de los valores de perodo natural que se examinan. El mtodo utilizado para obtener los desplazamientos eselmtododeNewmarkdeaceleracinconstanteenseadoeneltpicodeSolucinNumricadelaEcuacinde Movimiento,elcualvadeterminandoensualgoritmoeldesplazamientoXn,luegolaaceleracin

yfinalmentela velocidad

apartirdelosparmetros=1/4,=1/2(aceleracinconstante),elpasodeltiempo=0,005[seg]ylos valores obtenidos del paso anterior de aceleracin, velocidad y desplazamiento. Nuestra condicin inicial es para iniciar el proceso: = 0 [m]; = 0 [m]; = 0 [m] Elespectrodedesplazamientoqueeslagrficaquevinculalosmximosdesplazamientosquesepueden obtener en una estructura con un perodo natural dado, se realizar para tres distintas razones de amortiguamiento. Por este motivo el algoritmo de Newmark no solo se ejecutar cada vez que se cambie el perodo natural, sino que tambin se deber volver a ejecutar para 3 distintos valores de razones de amortiguamiento.Todo el algoritmo se realiz en el programa Excel usando Macros para poder realizar todas las iteraciones que sedeberealizarelalgoritmodeNewmarkdeformaautomtica,cambiandodurantelasiteracioneslosvaloresde perodo natural en 0,05 [seg] cada oportunidad. -2,00E+00-1,00E+000,00E+001,00E+002,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Runge-Kutta (t=0,1) -2,00E+00-1,00E+000,00E+001,00E+002,00E+000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X(t) [m] t [s] Desplazamiento vs Tiempo - Runge-Kutta (t=0,05) 9 A continuacin se muestra la grfica del espectro de desplazamiento para el terremoto de Chile del 2010 para el registro obtenido en la ciudad de Concepcin. 5.Conclusiones 5.1. Pregunta 1. Para este caso con los valores iniciales dados en el enuciado (rigidez, amortiguamiento, frecuencia de excitacin, etc)sedaqueamenorpasotmejoreslaaproximacinquerealizaelalgoritmorespectoalasolucinreal.Cabe destacarqueestonoocurresiempre,yquehayqueirprobandoconvariospasosparaelegircualeselmejor aproximador.Tambin, fue evidentela mejor aproximacin que realiz el algoritmo Runge-Kutta, el cual con pasot=0,05[s] entreg una solucin discreta muy parecida a la real en cada tiempo de clculo. 5.2. Pregunta 2. Delespectrodedesplazamientosepuededeterminarqueamenorrazndeamortiguamientolos desplazamientosmximossonmayores.Elcasoderazndeamortiguamientod=0queesdondeocurren desplazamientosmayoresnoexisteenlarealidad,estoporquetodaslasestructuraspresentanunnivelderaznde amortiguamiento. De la misma forma los desplazamientos mximos sin considerar d ocurren a un periodo natural de 2 seg. Lo cual equivale a una estructura mayor a 20 niveles. Mencionando que a mayor cantidad de niveles que presente la estructura mayor ser su periodo natural.