Informe de Lectura 1: OPP. Taller estudio de casos

Nombre: Patricio Álvarez Opazo

1. Introducción

El tema de las funciones históricamente ha sido un tanto difícil de enseñar, pues hay muchos

conceptos que para los alumnos se les confunden y además no logran articularlos entre ellos, es

por ellos que es necesario variar estrategias con el fin de obtener alguna receta para poder

enseñarlas. Es eso lo que sucede en el caso, donde nos encontramos con Patricia una profesora que

pone a prueba si los conocimiento aprendidos por los alumnos están siendo articulados

correctamente o por el caso contrario y como sucede tradicionalmente es de una forma parcelada.

2. Resumen

La situación en la siguiente, Patricia ya ha enseñado los conceptos fundamentales de función por

ejemplo de obtención de dominio y recorrido, restricción de dominio para obtener inversas,

gráficas, tablas de datos, etc. Y por lo mismo piensa que ya es hora de evaluar si los alumnos han

aprendido de forma conjunta o parcelada los conocimientos. Para ello realiza un taller grupal el cual

pone a prueba y en contraposición dos miradas de una misma situación, por un lado nos

encontramos a Fernando quien aplica solo métodos algebraicos para la obtención de dominio y

recorrido, y por otro lado tenemos a Arturo quien visualiza a través de las gráficas la misma

situación.

3. Conflictos del caso

La situación pone en una balanza dos posturas para un mismo caso, una postura algebraica versus

una postura geométrica.

4. Análisis del caso

4.1. Aspectos Matemáticos

Para el análisis del caso se definen:

La función:

( ) √ ( )

Para determinar el recorrido, se denota ( ) , luego reemplazando en (1) y despejando la raíz:

√ ( )

a) Tabla de valores:

Fernando claramente en ningún momento trato de utilizar una tabla de valores o al menos evaluar

algún elemento del dominio para conocer cómo se comportaba el recorrido, primer error pues

claramente si lo hubiera hecho y conociendo el dominio que era [ [ hubiera evaluado con

x= -1 obteniendo como valor máximo de ( ) , por lo tanto en ningún caso el recorrido seria

todos los reales como en primera instancia señaló Fernando.

Arturo y su grupo como primera tarea hicieron lo mismo que Fernando, sin embargo se dieron

cuenta que evaluando con y=0 en la ecuación (2) les quedaría √ , cosa que no tiene

sentido, ya que -2 es negativo y la raíz no obtendría valores negativos. Esta situación es la que llevo

a Arturo a realizar una gráfica para entender mejor el comportamiento del recorrido.

b) Restricción del Dominio y el Recorrido:

Tanto Fernando como Arturo utilizando un método algebraico, determinan que la función (1) tiene

en su dominio una restricción para , buena señal pues prueba que ambos tienen el concepto

de que en las funciones es necesario hacer restricciones para que existan, sin embargo utilizando el

mismo algoritmo despejan x de la ecuación (2) con el fin de conocer que restricciones tenía el

recorrido, llegando a la conclusión que no tenía restricciones. Segundo error pues durante el trabajo

algebraico en la ecuación (2), al momento de elevar al cuadrado pasan por alto una restricción

directa para , pues necesariamente . Si se hubieran dado cuenta en muy pocos pasos

podrían haber obtenido tanto el dominio como el recorrido de la función.

c) Contraejemplo

La postura de Fernando es férrea en cuanto a que el recorrido no tiene restricciones y cree

ciegamente en el trabajo algebraico realizado por él, sin embargo Arturo mediante un contraejemplo

clave demuestra lo contrario, para ello evalúa ( ) , recordando con ello que el menor valor

que tome x, produce entonces el menor valor de las imágenes, derribando así la idea defendida por

Fernando.

d) La Gráfica

Arturo al no entender por qué el método algebraico había fallado para la obtención del recorrido,

decide realizar la gráfica de la función, obteniendo así una nueva idea solo con mirarla:

Observa que el dominio se comporta como lo habían determinado algebraicamente, sin embargo

claramente el recorrido no era el esperado pues este solo tenía valores para todos los números

mayores o iguales a 2.

4.2. Aspectos Didácticos

a) Representaciones

Mediante el trabajo previo presentado en el caso se observa que Patricia utiliza diferentes maneras

para representar funciones, entre ellas la algebraica, por medio de gráficas y finalmente utilizando

tablas de valores.

b) Función inversa

Patricia mediante un trabajo lento y guiado utilizando software, hace observar a los alumnos el

comportamiento de las funciones por medio de gráficas, entre ellas la función inversa. Además

luego en un trabajo práctico para obtener la inversa de ( ) , resulta que doblando papeles

sobre la diagonal, y luego calcando la parábola en la otra mitad de la hoja obtienen el grafico de la

inversa (reflexión de un brazo de la parábola).

c) Trabajo grupal y exposiciones

Patricia para obtener mejores resultados, realiza trabajos grupales, con el fin de hacer trabajo

colaborativo y de análisis, sin embargo lo realmente relevante es que los resultados de los trabajo se

presenten en la pizarra, pues como se refleja en el caso se pueden producir situaciones de dialogo

entre los alumnos en la que argumenten y defiendan sus ideas, además de aprender mediante el

error diferentes situaciones que pueden darse en matemáticas.

4.3. Aspectos evaluativos

Si bien en la clase donde se presentaron los resultados Patricia solo actuó como espectadora y

reguladora de la situación, claramente se observa una intencionalidad por parte de ella, primero en

la elección del problema, pues pese a ser muy similar a otros ejercicios realizados por los alumnos,

este contenía cierta dificultad y un obstáculo que hace del error el centro del aprendizaje. Y en

segundo lugar evaluar como los alumnos defienden y hacen propio el conocimiento, claramente

Arturo por medio de argumentos logró doblegar la idea de Fernando, haciendo que se planteara así

mismo el porqué de su equivocación.

5. Propuesta: ¿Cómo Solucionar la problemática?

Todo nace de realizar el paso algebraico de elevar al cuadrado incorrectamente o al menos sin

considerar las restricciones que conlleva en la función √ , ante esta situación y

como se observó el caso es posible obtener soluciones invalidas, por ejemplo definiendo el

recorrido como todos lo reales siendo que el recorrido partía desde 2.

Analicemos una situación similar:

Resolver:

√

(√ ) ( )

Elevando al cuadrado ambos lados de la

igualdad

Resolviendo y obteniendo x

√

Evaluando x=7 en la ecuación √

La respuesta x=7 parecía convincente después de un “correcto” trabajo algebraico, sin embargo es

una solución inválida pues al sustituirla en la ecuación original se obtiene una contradicción. Es

decir en algún paso del procedimiento existe un error.

Explicación:

Sabemos que √ es igual a -2,

Sabemos √ es positivo,

Ningún valor de x resultará en una expresión que sea negativa en este caso -2.

Por lo tanto la solución a la simple ecuación es que “no existen soluciones” o valores para x que nos

den como resultado un número negativo.

Como se ha explicado antes el elevar al cuadrado requiere de un cierto análisis para no caer en

errores, sin embargo no todo está mal y existe a diferencia de este camino corto, un camino mucho

más largo que requiere la articulación tanto algebraica como gráfica de la función, veamos:

Trabajo previo

Durante el desarrollo de clases pasadas la profesora enfatizó dos conceptos claves que dan respuesta

a encontrar las restricciones del recorrido:

a) En una actividad acerca de la función ( ) , los alumnos descubrieron que esta

función no podía tener inversa ya que cada imagen excepto el cero tenía dos pre-imágenes,

si bien la profesora no les explicó directamente el concepto implícito de que la función no

era biyectiva, y por lo tanto la función ( ) no tendría inversa. Sin embargo los alumnos si

trabajaron y entendieron que restringiendo el dominio y el recorrido, era posible encontrar

la inversa y además hicieron el ejercicio práctico de graficar el lado derecho de la parábola,

es decir restringiendo el dominio a [ [ . Una vez realizado esto y por medio de doblar

una hoja de papel sobre la diagonal , y luego calcando o dibujando la parábola en la

otra mitad del papel, es posible obtener la inversa ( ) √ .

b) En otra actividad la profesora logro que los estudiantes descubrieran que el menor valor de

, produce también el menor valor de ( ).

Volviendo a la función ( ) √ , y su recorrido encontrado algebraicamente que era

( ) , veamos más gráficamente nuestra función y su supuesta función inversa

( ) √ ( )

Realizando el mismo ejercicio de la parábola ( ) , elijamos un brazo de ella es decir

restringiendo el conjunto de salida y el conjunto de llegada se tiene que [ ) [ ),

obtenido una gráfica así:

Ahora veamos los comportamientos de las gráficas de ( ) y su inversa ( ):

Finalmente la función queda determinada de la

siguiente manera:

[ [ [ [

6. Conclusión

Existen dos situaciones claves entregadas por el caso:

Primero y provocando un conflicto nos encontramos con el proceso de elevar al cuadrado sin

considerar de antemano las restricciones que puede tener. En términos simples si no se consideran

restricciones previas el resultado de elevar al cuadrado podría ser obtener soluciones inválidas.

En segundo lugar la necesidad de cambiar de registro de representación (Duval, 2006), pues algunas

veces es necesario tener diferentes miradas para una misma situación, cosa que se da de forma

sistemática en matemática. Es eso lo que sucede en el caso claramente hay dos posturas defendidas

por Fernando en cuanto a lo algebraico y por Arturo en cuanto a lo gráfico. Lo importante de esta

postal es que la función como tema principal del caso es un objeto matemático semiótico que posee

la propiedad de transformación en diversas representaciones. Sin embargo cambiar la

representación de objetos o relaciones matemáticas de un sistema semiótico a otro es siempre un

salto cognitivo (Duval, 2006). Es por ello que se tiende a pensar a que son dos posturas distintas,

pero que en contraposición de lo que se cree, se debe hacer una aproximación dual de ambas

posturas, pues claramente a que por sí solas pueden existir, en conjunto son la herramienta más

fuerte para comprender y aprender nuevos aprendizajes.

“Tal vez lo que hizo la profe, en los ejemplos anteriores no se aplican en todos los casos, tal vez no

puedo pasar restando en las funciones como se hace en las ecuaciones, o tal vez no es llegar y elevar

al cuadrado. Arturo parece que está en lo correcto, es importante hacer la gráfica, y eso que yo

tengo mejores notas que él”.

Esta cita demuestra a que pese a cometer un error Fernando busca y establece posibles errores que

podrían haber incitado a la equivocación, además hace hincapié a lo importante de realizar gráficas

pese a que él y como lo dice el caso es un alumno destacado en el trabajo algebraico.

En conclusión lo que hizo Fernando y que generalmente realizan los alumnos es no articular

diferentes posturas para una misma situación. Cosa contraria realizada por Arturo quien como vio

que el trabajo algebraico no respondía a sus dudas decidió compararlo con una gráfica, situación

clave porque es esta problemática la que da sentido al diálogo entre ellos y al objetivo de la clase

buscado por la profesora Patricia.

7. Bibliografía

1) Duval, R. (2006): Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para

cambiar el registro de representación, La Gaceta de la RSME, 9.1, 143-168.