SEMANA 1-DÍA 1 (PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA I)

1. Sea n un entero positivo. Demuestre que 1 + 4 + 9 + · · · + n2 = n(n+1)(2n+1)/6

2. Sea Fn una secuencia definida por F0 = 0, F1 = 1, y Fn+2 = Fn+1 +Fn

para todo n ≥ 0. Demuestre que: Fm+n+1 = Fm+1Fn+1 + FmFn para todos los enteros no negativos m, n.

3. Sean a1, a2, a3, a4, a5 números reales con 0 < a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < 1. Demuestre que:

a1a2a3a4a5 ≥ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 − 4.

4. Pruebe que para todo entero positivo n, los números 1, 2, · · ·, n pueden ser reordenados en algún orden, de manera que para cualquier a, b con 1 ≤ a, b ≤ n, el número (a+b)/2 no aparece entre a y b.

5. Sean a0, a1, a2, · · una secuencia de números reales tales que am+n + am−n = (a2m + a2n)/2 y a1 = 1. Hallar a100.

6. Considere un torneo de ajedrez con n jugadores. Ellos tienen que jugar un numero de partidas unos contra otros, de manera que no exista una secuencia P1, P2, · · ·, Pk de jugadores tal que P1 vence a P2, P2 vence a P3, · · ·, Pk−1 vence a Pk, y Pk vence a P1. Demuestre que es posible ranquear a los jugadores de manera que cada jugador únicamente ha vencido a jugadores de menor rango.

7. Sea n un entero positivo. Pruebe que 12.34….2n−12n

≤1

√3n.

8. Pruebe que todo entero positivo puede ser expresado como

±12 ±22 ±32 ±...±n2 para algún entero positivo n y alguna elección de signos.

9. Hay n puntos en el interior de un triángulo. El triángulo es dividido en triángulos menores usando esos puntos como vértices. Pruebe que siempre se termina con 2n+1 triángulos.

10. Hay n estudiantes de pie en un círculo, uno detrás de otro. Los tudiantes tienen alturas h1<h2<…<hn (pero no necesariamente en ese orden). Si un estudiante con altura hk está de pie directamente detrás de un estudiante con altura hk-2 o menos, los dos estudiantes

intercambian lugares. Pruebe que no es posible hacer más de (n3) de

tales cambios antes de lograr una posición en la que no es posible hacer más cambios.

11. Sean a1, a2, …, an distintos entero positivos y sea M un conjunto de n-1 enteros positivos que no contienen s=a1+a2+…+an. Un saltamontes está saltando a lo largo de la recta real,

empezando en el punto 0 y haciendo n saltos a la derecha con longiudes a1, a2,…, an en algún orden. Pruebe que se puede elegir el orden de tal manera que el saltamontes nunca pisa algún punto de M.