REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA EDUCACIÓN SUPERIOR

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAR SIMÓN RODRÍGUEZ.

NUCLEO: VALLES DEL TUY

CURSO: ALGEBRA LINEAL

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

INTEGRANTE:

Jonathan Peñaloza. C.I: 14.609.982

FACILITADOR: Lic. Ernesto M. Aquino.

Santa Teresa de Tuy, 11 Octubre 2013

INDICE Pp

ÍNDICE………………………………………………………………..…...02

HISTORIA DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA..................................04

INDUCCIÓN MATEMÁTICA ……………………………………………04

DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN……………….......................05

LOS NÚMEROS ENTEROS Y SU ORDENACIÓN…………………...07

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA………………………09

PRIMER PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA……………….09

PROPIEDAD (LÓGICA)………….……………………….……………….12

PROPOSICIÓN……………………………………………………………13

CONDICIONAL MATERIAL………………………………………………13

DEFINICION EL CONDICIONAL MATERIAL………………………….14

PROPIEDADES FORMALES……………………….............................15

DIFERENCIA ENTRE EL CONDICIONAL MATERIAL Y LA

IMPLICACION LOGICA………………………………..…………………16

DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA……………………………….………17

AXIOM

A……………………………………….........................................18.

APLICACIONES LINEALES……………………………………………...19

2

DEFINICION DE APLICACIONES LINEALES…………………………19

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES

LINEALES………………………………………………………………….21

COMO FORMAR NUEVAS TRANSFORMACIONES LINEALES A

PARTIR DE OTRAS DADAS…………………………………………….22

TEOREMAS BÁSICOS DE LAS TRANSFORMACIONES……………23

CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES……..24

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL………….24

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………26

HISTORIA DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA

La primera formulación explícita sobre el principio de inducción

fue establecida por el físico - matemático Blaise Pascal en su

3

obra Traité du triangle arithmétique (1665).2

Blaise Pascal (Clermont Ferrand, 19 de junio 1623 París, 19 de

agosto de 1662) fue un matemático, físico, filosofo cristiano y escritor

francés. Sus contribuciones a las matemáticas y las ciencias

naturales incluyen el diseño y construcción de calculadoras

mecánicas, aportes a la Teoría de la probabilidad, investigaciones

sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y

el vacío. Después de una experiencia religiosa profunda en 1654,

Pascal abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a

la filosofía y a la teología.

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite

demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende

de un parámetro   que toma una infinidad de valores enteros. En

términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente

razonamiento:

Premisa mayor: El número entero   tiene la propiedad  .

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero   tenga

la propiedad   implica que   también la tiene (que se anota con el

símbolo de condicional material: ).

Conclusión: Todos los números enteros a partir de    tienen la

propiedad .

Con más rigor, el método de inducción matemática es el que realiza

la demostración para proposiciones en las que aparece como variable un

número natural. Se basa en un axioma denominado principio de la

inducción matemática.1

4

DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera

mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos   a la

proposición, donde   es el rango.

Se demuestra que , el primer valor que cumple la proposición

(iniciación de la inducción), es cierta.

Se demuestra que si se supone   como cierta y como

hipótesis inductiva, entonces   lo es también, y esto sin

condición sobre el entero natural   (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que   es cierto

para todo natural .

La inducción puede empezar por otro término que , digamos por

. Entonces   será válido a partir del número , es decir, para todo

natural .

Ejemplo:

Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición:

 

1. Se comprueba para n=1

Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1

2. Hipótesis inductiva (n=h)

5

3. Tesis inductiva (n=h+1)

4. Demostración de la tesis en base a la hipótesis

Se aplica la hipótesis de inducción:

(Sacando factor

común)

Por lo tanto, por verificarse la proposición para n=1 y para n=k+1

siendo k cualquier número natural, la proposición se verifica 

6

LOS NÚMEROS ENTEROS Y SU ORDENACIÓN

Los números enteros: Los números enteros se definen como el

conjunto de los números Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}. Dentro de este conjunto

está el subconjunto de los números naturales, N= {1,2,3,4,...}. Es decir, el

subconjunto de los números enteros positivos (mayores que 0).

Pueden definirse en Z dos operaciones internas

binarias + , : Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto,

respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:

Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z

Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z

Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b ∈ Z

Existencia de elementos neutros: a+0 = a , a.1 = a , ∀ a ∈ Z

Existencia de elemento opuesto para la suma: ∀a ∈Z existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0

Cancelativa: Si a es distinto de 0, y a.b = a.c entonces b = c

Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c ∀ a,b,c ∈ Z

La ordenación de los números enteros: En Z se puede definir

una relación de orden total, con el orden usual <. Así, para cualesquiera

dos elementos distintos de Z, a<b o bien b<a. Es decir, Z es un

conjunto totalmente ordenado.

Esta relación de orden total es compatible con la suma y el

producto:

7

a < b ⇒ a+c < b+c, para todo entero c.

a < b ⇒ a.c < b.c, para todo entero c mayor que 0

Dado un (A,<) conjunto ordenado y dado un subconjunto no vacío S

de A, se dice que:

c ∈ A es cota inferior de S si c < x, para todo x ∈ S

m ∈ S es mínimo de S si m < x, para todo x ∈ S

Se dice por tanto que S está acotado inferiormente si existe un

elemento c ∈ A que es cota inferior de S.

Axioma de buena ordenación en (Z , <): Si X es un subconjunto

no vacío de Z y está acotado inferiormente, entonces X tiene mínimo

(habrá pues siempre un primer elemento del conjunto).

Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que un

subconjunto de los números naturales también tendrá mínimo,

evidentemente.

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

La inducción matemática es un método de demostración que se

utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de

proposiciones. El método es bastante natural para usarse en una variedad

de situaciones en la ciencia de la computación. Algunas aplicaciones

tienen un sabor muy matemático, tal como verificar que todo entero

positivo satisface cierta fórmula. Otra utilización frecuente es la de

8

demostrar que un programa de computación o que un algoritmo con ciclos

funciona como se espera.

PRIMER PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Consideremos una lista de proposiciones p(1), p(2), p(3), ... con

índices en los enteros positivos  +. Todas las proposiciones p(n) son

verdaderas a condición que:

(B) p(1) sea verdadera.

(I) p(n + 1) es verdadera siempre que p(n) lo sea.

Nos referimos a (B), es decir al hecho de p (1) es verdadera, como

la base de la inducción y nos referimos a (I) como el paso inductivo. En la

notación del cálculo proposicional (I) equivale decir que:

La implicación p(n)  p(n + 1) es verdadera   n    +.

Ejemplo:

Demostrar   (3k - 2) = 1/2(3n² - n)   n    +.

Demostración: La n-ésima proposición p(n) es verdadera, esto es

(3k - 2) = 1/2(3n² - n)

Nótese que:

p(1) = 1 = 1/2[3(1)² - 1)] de aquí que 1 = 1

p(2) = 1 + 4 = 1/2[3(2)² - 2)] de aquí que 5 = 5

p(3) = 1 + 4 + 7 = 1/2[3(3)² - 3)] de aquí que 12 = 12

9

En particular, p(1) es verdadera por inspección y esto establece la

base de la inducción. Ahora supóngase que p(n) es verdadera para

algún n, esto es:

(3k - 2) = 1/2(3n² - n)

Necesitamos demostrar que p(n + 1)

(3k – 2) = 1/2[3(n + 1)² - (n + 1)]

Tal como lo establece el paso inductivo.Utilizando p(n) tenemos que

(3k - 2) =   (3k - 2) + [3(k + 1) - 2]= 1/2(3k² - k) + (3k + 1)

Para verificar p(n + 1) necesitamos comprobar que:

1/2(3k² - k) + (3k + 1) = 1/2[3(k + 1)² - (k + 1)]

Esto ya es un problema puramente algebraico, para lo cual se

trabajara con el lado izquierdo de la igualdad, esto es:

1/2(3k² - k) + (3k + 1) = 1/2(3k² - k + 6k + 2)

  = 1/2(3k² + 5k + 2)

  = 1/2(3k + 2)(n + 1)

  = 1/2[3(k + 1) -1](k + 1)

  = 1/2[3(k + 1)² - (k + 1)]

Entonces p(n + 1) es verdadera siempre que p(n) lo sea. Por el

primer principio de inducción matemática se concluye que p(n) es

verdadera   n    +.

No siempre es necesario el uso del símbolo de sumatoria para

aplicar la inducción matemática, puede también utilizarse parte del

desarrollo de la misma, como lo muestra el siguiente:

Ejemplo:

Demostrar por inducción que:

10

2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1)

Demostración: Nuestra n-ésima proposición p(n) es:

2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1)

y nótese que:

p(1) = 2 = 1(2), donde 2 = 2

p(2) = 2 + 4 = 2(3), donde 6 = 6

p(3) = 2 + 4 + 6 = 3(4), donde 12 = 12

p(4) = 2 + 4 + 6+ 8 = 4(5), donde 20 = 20 

Así p (1) asegura 2= 1( 1 + 1) y como es verdadera por inspección

tal como lo establece la base de la inducción matemática.

Para el paso inductivo, supongamos que p(n) es verdadera para

algún n, esto es

2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1)

Es verdadera. Ahora queremos probar que para p(n + 1)

2 + 4 + ... + 2(n) + (2(n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1)

Es decir

2 + 4 + ... + 2(n) + (2n + 2) = (n + 1)(n + 2)

Tal como lo establece el paso inductivo.

Como p(n) es verdadera por hipótesis, y trabajando con el lado

izquierdo de la igualdad, temos que:

2 + 4 + ... + 2(n) + (2n +

2)= [2 + 4 + ... + 2n] + (2n +2)

  = n(n + 1) + (2n + 2)

  = n(n + 1) + 2(n + 1)

11

  = (n + 1)(n + 2)

Entonces p(n + 1) es verdadera siempre que p(n) lo sea. Por el

primer principio de inducción matemática se concluye que p(n) es

verdadera   n    +.

PROPIEDAD (LÓGICA)

En filosofía, lógica y matemática, una propiedad es un atributo o

cualidad de un objeto. Por ejemplo, la sangre tiene la propiedad de

ser roja. Las propiedades también se pueden considerar objetos, y

pueden por lo tanto tener otras propiedades. Por ejemplo, el rojo tiene la

propiedad de ser un color. Las propiedades se expresan mediante

un concepto universal,1 que significan formalmente una clase bajo el

punto de vista lógico.

En la lógica aristotélica, las propiedades son uno de los modos de

relación que puede haber entre el sujeto y el predicado de

una proposición según el juicio categórico aristotélico.

PROPOSICIÓN

En filosofía y lógica, el término proposición se usa para referirse a:1

Las entidades portadoras de los valores de verdad.1

Los objetos de las creencias y de otras actitudes

proposicionales.1

El significado de las oraciones demostrativas, como «el Sol es

una estrella».1

12

Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el

lenguaje, sea éste un lenguaje común o formalizado, cuando adopta la

forma de oración gramatical, o simbólico, cuando se expresa por medio

de signos o símbolos de un lenguaje formal. En Lógica tradicional se

distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el producto

lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese

acto constituye el juicio.

Para Aristóteles, la proposición es un discurso enunciativo

perfecto, que se expresa en un juicio que significa lo verdadero y lo falso

como juicio de términos. Por eso el juicio es una afirmación categórica, es

decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad.

CONDICIONAL MATERIAL

El condicional material, también conocido como implicación

material, condicional funcional de verdad o simplemente condicional, es

una constante lógica que conecta dosproposiciones. El condicional

material intenta ser la versión formal del condicional en el lenguaje

natural, el cual se expresa por medio de palabras como las siguientes:

Si llueve, entonces voy al cine.

Voy al cine si llueve.

Cuando llueve, voy al cine.

Simbólicamente, el condicional material se suele denotar de las

siguientes maneras:

13

, y en ocasiones:

Donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B

se conocen respectivamente como el antecedente y el consecuente del

condicional. En lógica proposicional, el condicional material es

una función de verdad binaria, que devuelve falso cuando A es verdadera

y B es falsa, y devuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de

predicados, puede ser visto como una relación de subconjunto entre la

extensión de predicados (posiblemente complejos).

DEFINICION EL CONDICIONAL MATERIAL

El condicional material es una función de verdad que toma dos

valores de verdad (por lo general los valores de proposiciones) y

devuelve falso cuando el primer valor es verdadero y el segundo falso,

y verdadero en cualquier otro caso.

En otras palabras, la tabla de verdad del condicional material es la

siguiente:

Como se ve, el condicional material devuelve 0 (falso) sólo cuando

el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En todos los demás

casos, devuelve 1 (verdadero).

14

PROPIEDADES FORMALES

Algunas de las propiedades formales del condicional material son:

Distributividad: 

Transitividad: 

Conmutatividad: 

Idempotencia: 

Preservación de la verdad: La interpretación en virtud del cual

todas las variables se les asigna un valor de verdad de «verdadero»

produce un valor de verdad de «verdadero» como resultado de la

implicación material.

DIFERENCIA ENTRE EL CONDICIONAL MATERIAL Y LA

IMPLICACION LOGICA

El condicional material no debe confundirse con la relación

de implicación lógica. Sin embargo, existe una estrecha relación entre

ambos en la mayoría de los sistemas lógicos, incluyendo la lógica clásica.

Por ejemplo, los siguientes principios se sostienen:

Si  , entonces  , donde A es una fórmula

cualquiera y   es un conjunto de fórmulas cualquiera. Este es

un caso particular delteorema de la deducción.

Si  , entonces  . Esto es un caso particular del

inverso del teorema de la deducción.

15

Tanto el condicional material como la consecuencia lógica

son monótonas. Es decir, si  , entonces   y

si  , entonces  .

Estos principios, sin embargo, no valen en todos los sistemas

lógicos. Por ejemplo, no se sostienen en las lógicas no monotónicas.

La diferencia entre el condicional material y la implicación lógica es

análoga la diferencia entre la operación   y la operación   en

la teoría de conjuntos.

Ejemplo:

En el camino de   a   la diferencia entre la

implicación lógica   y material   se puede ver en un cálculo fácil:

DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

El condicional material puede ser definido por medio de la

disyunción y la negación. La relación   por   y el cuantificador

universal  En matemáticas, una demostración matemática o prueba es

16

un argumento deductivo para una afirmación matemática. En la

argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente

establecidas, tales como teoremas.

En principio una prueba se puede rastrear hasta afirmaciones

generalmente aceptadas, conocidas como axiomas. 1 2 Las pruebas

son ejemplos derazonamiento deductivo y se distinguen de

argumentos inductivos o empíricos; una prueba debe demostrar que

una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos

los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que

enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmación no probada

que se cree verdadera se conoce como conjetura.

Las pruebas emplean lógica pero normalmente incluyen una

buena parte de lenguaje natural, el cual usualmente admite alguna

ambigüedad. De hecho, la gran mayoría de las pruebas en las

matemáticas escritas puede ser considerada como aplicaciones

de lógica informal rigurosa. Las pruebas puramente formales,

escritas en lenguaje simbólico en lugar de lenguaje natural, se

consideran en teoría de la prueba. La distinción entre pruebas

formales e informales ha llevado a examinar la lógica

matemática histórica y actual, el cuasi-empirismo matemático y

el formalismo matemático. La filosofía de las matemáticas concierne

al rol del lenguaje y la lógica en las pruebas, y en las matemáticas

como lenguaje.

El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema

no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de

este resultado implica que es falso.

AXIOMA

17

Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y

se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema

hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino

que constituye una regla general de pensamiento lógico, por

oposición a los postulados.1

En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por

considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de

partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas

se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque

permiten deducir las demás fórmulas.

En lógica un postulado es una proposición no necesariamente

evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje

formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones:

axiomas lógicos y postulados.

APLICACIONES LINEALES

En matemática una aplicación lineal (también llamada función

lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre

dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de

vectores y multiplicación por un escalar.

En álgebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es

un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la

teoría un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre

un cuerpo dado.

18

DEFINICION DE APLICACIONES LINEALES

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación

lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios

vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean   y   espacios vectoriales sobre el mismo espacio o

campo , y   una función de   en .    Es una transformación

lineal si para todo par de vectores   y   pertenecientes a   y para

todo escalar   perteneciente a  , se satisface que:

1.

2.  donde k es un escalar.

Ejemplo:

1. El mapa   que envía   en   (su conjugado) es

una transformación lineal si consideramos a   como un  -

espacio vectorial. Sin embargo, no lo es si lo pensamos

como  -espacio vectorial, ya que .

2. Dado un espacio vectorial cualquiera, podemos definir la

función identidad    , que

resulta una transformación lineal.

3. Las homotecias:   con

Si k > 1 se denominan dilataciones, si k < 1 se denominan

contracciones.

4. Dada una matriz , la

función   definida como   es

19

una transformación lineal. Gracias a la matriz asociada (leer

más abajo en el artículo), podemos concluir que cualquier

transformación lineal definida entre espacios vectoriales de

dimensión finita puede verse como multiplicar por una

matriz.

5. Sea V el conjunto de funciones continuas en ℝ y se define

Φ: V → V mediante

Φ(f)(t) = 

Ocurre que:

 =   + 

y

 = c   para c ∈ ℝ Por lo tanto, se cumplen Φ(f +g) = Φ(f) + Φ(g) y Φ(cf)= cΦ(f)

para todo f y g en V y todo c en ℝ, o sea que Φ es una aplicación

lineal de V en V. 1

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Sean   y   espacios vectoriales sobre   (donde   representa

el cuerpo) se satisface que:

Si   es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im)

de   de la siguiente manera:

20

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado

por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al

vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio

vectorial del dominio:

1.  dado que   (para probar esto,

observar que  ).

2. Dados Dados 

Se denomina nulidad a la dimensión del. núcleo

La imagen de una transformación lineal está formada por el

conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al

menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del

codominio.

El rango de una transformación lineal es la dimensión de la

imagen.

21

COMO FORMAR NUEVAS TRANSFORMACIONES LINEALES A

PARTIR DE OTRAS DADAS

Si f1: V → W y f2: V → W son lineales, entonces también lo es su

suma f1 + f2 (definida como (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)). Si f : V → W es

lineal y a es un elemento del cuerpo K, entonces la función af, definida

como (af)(x) = a (f(x)), también es lineal.

Gracias a estas dos propiedades, y a que la función que envía todo

al elemento nulo es una aplicación lineal, es que el conjunto de

transformaciones lineales f: V → W forma un subespacio de las funciones

de V en W. A este subespacio se lo nota L(V,W) o Hom(V,W). La

dimensión de L(V,W) es igual al producto de las dimensiones de V y W.

Si f: V → W y g: W → Z son lineales entonces su

composición g∘f: V → Z también lo es.

Dado un espacio vectorial V, el espacio vectorial L(V,V), que se

nota usualmente como End (V), forma un álgebra asociativa sobre el

cuerpo base, donde la multiplicación es la composición y la unidad es la

transformación identidad.

Si f: V → W es una transformación lineal biyectiva, entonces su

inversa también es transformación lineal.

TEOREMAS BÁSICOS DE LAS TRANSFORMACIONES

22

Sea B = {vi: i ∈ J} base de V y C = {wi: i ∈ J} un

conjunto vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una

única transformación lineal T: V → W que satisface:

Sea   una transformación lineal.

Entonces 

Como corolario básico de este teorema, obtenemos que una

transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita en sí

mismo es un isomorfismo si y sólo si es un epimorfismo si y solo si es

un monomorfismo.

CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Funcional lineal: A las transformaciones lineales   

(donde   es el cuerpo base de V) las llamamos funcionales

lineales.

Monomorfismo: Si   es inyectiva, o sea si el único

elemento del núcleo es el vector nulo. 

Epimorfismo: Si   es sobreyectiva (suryectiva).

Isomorfismo: Si   es biyectiva (inyectiva y

sobreyectiva)

Endomorfismo: Se le llama a una transformación lineal en el

que dominio y codominio coinciden.

Automorfismo: Se le llama a un endomorfismo biyectivo.

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

23

Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada

uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede

representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa

una transformación lineal.

Sean T:V→W una transformación lineal, B={v1, ..., vn} una base

de V, C={w1, ..., wm} base de W. Para calcular la matriz asociada a T en

las bases B y C debemos calcular T(vi) para cadai=1,...,n y escribirlo como

combinación lineal de la base C:

T(v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., T(vn)=a1nw1+ ...+amn wm.

La matriz asociada se nota C[T]B y es la siguiente:

Como un vector de W se escribe de forma única como combinación

lineal de elementos de C, la matriz es única.

Gracias al teorema mencionado en la sección Teoremas básicos de

las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita, sabemos

que dada cualquier elección de u1,..., un existe y es única la

transformación lineal que envía vi en ui. Por lo tanto, dada A cualquier

matriz m × n, existe y es única la transformación lineal T: V→W tal

que C [T] B=A.

Además, las matrices asociadas cumplen

que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para cualquier a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W).

Por esto es que la aplicación que hace corresponder cada transformación

lineal con su matriz asociada es un isomorfismo entre L(V,W) y Mn×mC (K).

24

Si nos restringimos al caso V=W, C=B, tenemos además que esta

aplicación es un isomorfismo entre álgebras.

BIBLIOGRAFÍA

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%C3%A1tica#cite_note-1

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_(l%C3%B3gica)

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http://mate.cucei.udg.mx/matdis/2ind/2ind4.htm

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%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma

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