imus (instituto de matemáticas de la universidad de sevilla ) - un … · 2013-10-15 · la...

Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.

Un trabajo conjunto con José A. Gálvez.

José Luis Teruel Carretero.

Universidad de Granada

Departamento de Geometría y Topología

18 de Septiembre de 2013

Introducción

Introducción.

José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 2 / 15

Introducción

Introducción

1 Euclídeo tridimensional.

� D. Hilbert demostró en 1901 que no existen inmersiones de super�cies

completas con curvatura de Gauss constante y negativa.

� N. H. E�mov generaliza este resultado en 1964 para super�cies

completas con curvatura extrínseca acotada superiormente por una

constante negativa.

2 Otros espacios ambiente.

� J. M. Schlenker demuestra en 2001 un resultado del mismo tipo que

E�mov para super�cies completas en H3, S3 y H3

1, con hipótesis

adicionales sobre el gradiente de la curvatura de Gauss especí�cas para

cada caso.

� No se conoce mucho sobre el comportamiento de la curvatura

extrínsica de super�cies completas en espacios producto M2 × R.


Introducción

Objetivos

1 Demostraremos que no hay grafos completos con curvatura extrínseca

acotada superiormente por una constante negativa en M2 × R cuando

la curvatura de M2 es no negativa usando razonamientos similares a

los usados por E. Heinz, el cual demostró en 1955 este mismo

resultado para grafos cuando el espacio ambiente es R3.

2 Daremos un ejemplo de existencia de super�cies completas con

curvatura extrínseca negativa en espacios producto cuando la

curvatura de M2 es negativa.


Grafos con curvatura extrínseca negativa.

Grafos con curvatura extrínseca

negativa.



Consideraciones previas.

. Sea M2 una super�cie riemanniana y (r , θ) coordenadas geodésicas

polares alrededor de un punto p0 ∈M2 bien de�nidas para r < R , conR cierto valor positivo. La métrica inducida viene dada por

〈·, ·〉 = dr2 + G (r , θ) dθ2.

. Consideramos M2 × R dotada con la métrica producto y sea Σ un

grafo vertical en M2 × R sobre la bola B (p0,R) y parametrizada por

ψ(r , θ) =(expp0

(rcos(θ), rsin(θ)

), z(r , θ)

)≡ (r , θ, z(r , θ))

con métrica inducida dada por

ds2 =(1 + z2r

)dr2 + 2zrzθdrdθ +

(G + z2θ

)dθ2.



. El correspondiente vector normal unitario

N =−1√

1 + z2r +z2θG

(zr∂r +

zθG∂θ − ∂t

)

Nota

Usando lo anterior, por medio de un cálculo llegamos a la siguiente fórmula:(√G)rd

((z2r +

z2θG

)dθ

)+ d

(zrd

(zθ√G

)− zθ√

Gdzr

)= 2√G

(1 + z2r +

z2θG

)2

Kext (dr ∧ dθ) ,

donde Kext denota la curvatura extrínseca de Σ.



Lemas previos.

De�nimos la siguiente función auxiliar:

f (r) =

∫Br

√G

(1 +

z2θG

), r > 0

donde Br denota la bola centrada en el origen de R2 y radio r , con r < R .Estamos identi�cando R2 y el plano tangente de M2 en p0, Tp0M2, de la

manera usual.

Lema 1

Se cumple la siguiente desigualdad:

|Br | ≤ f (r) ≤√|Br |

(∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θG

)2) 1

2

.

donde |Br | denota el área del disco geodésico B(p0, r) en M2.

En la prueba se usa la desigualdad de Cauchy-Schwartz.



Lemas previos.

De�nimos la siguiente función auxiliar:

f (r) =

∫Br

√G

(1 +

z2θG

), r > 0

donde Br denota la bola centrada en el origen de R2 y radio r , con r < R .Estamos identi�cando R2 y el plano tangente de M2 en p0, Tp0M2, de la

manera usual.

Lema 1

Se cumple la siguiente desigualdad:

|Br | ≤ f (r) ≤√|Br |

(∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θG

)2) 1

2

.

donde |Br | denota el área del disco geodésico B(p0, r) en M2.

En la prueba se usa la desigualdad de Cauchy-Schwartz.José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 8 / 15


Lema 2

Denotemos por KM la curvatura de Gauss de M2. Entonces en las

condiciones anteriores se tiene que,

d

dr

∫ 2π

0

(z2θ√G

)dθ =

∫ 2π

0

(√G)rz2r dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θG

)KM√G

− 2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θG

)2

Kext .



Teorema

Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss

es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa

−α.

Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que

f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√

G −2∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .

Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |

f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ

(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).

Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |

(f (r)3 − f (ε)3

), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego

− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.

Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2

R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1

)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp

√ 3πα

1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,

con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.

José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 10 /

15


Teorema



−α.Idea de la demostración:

Por Lema 2 tenemos que

f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√

G −2∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15


Teorema



−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que

f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15


Teorema




f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .


f (r)2 por Lema 1

⇒ ddρ

(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15


Teorema




f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15


Teorema




f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3

), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0,

luego

− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15


Teorema




f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15


Teorema




f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.

Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2,

de lo anterior tenemos que∫ R2

R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15


Teorema




f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15


Teorema




f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1

)por Lema 1 ,

esto es R2 ≤ R1 exp

√ 3πα




15


Teorema




f ′′(r) =

≥0︷︸︸︷∫2π

0

(√G)r

(1 + z2r

)dθ +

∫Br

(z2ρ +

z2θ

G

)KM√G −2

∫Br

√G

(1 + z2ρ +

z2θ

G

)2

Kext .



(f ′(ρ)2

)≥ 4α

3|Br |ddρ

(f (ρ)3

).


(f (r)3 − f (ε)3


− ddr

(f (r)− 1

2

)≥√

α3|Br |

.


R1

−d

dr

(f (r)− 1

2

)dr = −f (R2)

− 1

2 + f (R1)− 1

2 ≥√α

3πlog

(R2

R1

)

⇒∣∣∣BR1

∣∣∣− 1

2 ≥√

α3π

log(

R2R1


√ 3πα




15

Ejemplo de existencia.



15


Sea M2 vista como R2 con la métrica inducida 〈·, ·〉 = dρ2 + G (ρ)dθ2, lacual está bien de�nida en R2 \ {(0, 0)}, donde (ρ, θ) son las coordenadas

polares usuales de R2.

Sea Σ una super�cie de rotación en M2 × R parametrizada por

Ψ(r , θ) =(k(r) cos(θ), k(r) sin(θ), z(r)

)≡(k(r), θ, z(r)

)donde k(r) > 0 y z(r) son funciones diferenciables, y r denota el

parámetro longitud de arco de la curva generatriz de Σ, es decir

β(r) = Ψ(r , 0). La métrica inducida en nuestra super�cie viene dada por

ds2 = dr2 + G(k(r)

)dθ2, y la curvatura extrínseca del grafo es

Kext = −z ′(r)Gρ

(k(r)

)2G(k(r)

)(k ′′(r)z ′(r)− k ′(r)z ′′(r)).


15






)≡(k(r), θ, z(r)



β(r) = Ψ(r , 0).

La métrica inducida en nuestra super�cie viene dada por

ds2 = dr2 + G(k(r)



(k(r)

)2G(k(r)

)(k ′′(r)z ′(r)− k ′(r)z ′′(r)).


15






)≡(k(r), θ, z(r)




ds2 = dr2 + G(k(r)

)dθ2,

y la curvatura extrínseca del grafo es


(k(r)

)2G(k(r)

)(k ′′(r)z ′(r)− k ′(r)z ′′(r)).


15






)≡(k(r), θ, z(r)




ds2 = dr2 + G(k(r)



(k(r)

)2G(k(r)

)(k ′′(r)z ′(r)− k ′(r)z ′′(r)).


15


Por ser r el parámetro arco de la generatriz se veri�ca

k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.

Si derivamos la ecuación anterior, la ecuación de la curvatura extrínseca del

grafo se puede reescribir así

k ′′(r) = −2G(k(r)

)Gρ

(k(r)

)Kext .

Tomemos ahora, por ejemplo, la función G (ρ) = ρ4eρ4e impongamos que

la curvatura extrínseca de Σ sea constantemente −1.Bajo estas condiciones, la ecuación anterior se transforma en la siguiente

EDO para k

k ′′(r) =k(r)

2 (1 + k(r)4)

Sea ahora k(r) una solución de la última EDO, con las condiciones iniciales

k(0) = k0 > 0, k ′(0) = 0, donde k0 es positivo.


15



k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.



k ′′(r) = −2G(k(r)

)Gρ

(k(r)

)Kext .


la curvatura extrínseca de Σ sea constantemente −1.

Bajo estas condiciones, la ecuación anterior se transforma en la siguiente

EDO para k

k ′′(r) =k(r)

2 (1 + k(r)4)




15



k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.



k ′′(r) = −2G(k(r)

)Gρ

(k(r)

)Kext .



EDO para k

k ′′(r) =k(r)

2 (1 + k(r)4)




15



k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.



k ′′(r) = −2G(k(r)

)Gρ

(k(r)

)Kext .



EDO para k

k ′′(r) =k(r)

2 (1 + k(r)4)


k(0) = k0 > 0, k ′(0) = 0, donde k0 es positivo.José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.

Doctorado en Matemáticas 13 /15


? De la unicidad del PVI anterior, k es una función par.

? De la EDO, k veri�ca

k ′(r)2 = c0 +1

2arctan

(k(r)2

).

Si tomamos k0 > 0 su�cientemente pequeño, se tiene que |k ′(r)| < 1

para todo r ∈ R. Entonces, por la ecuación del parámetro arco, z(r)es una función diferenciable que está bien de�nida en R.

? Como k es positiva alrededor del 0, de la EDO se deduce que k ′′ tienesigno positivo y por lo tanto es una función globalmente convexa,

luego k(r) ≥ k(0) = k0 > 0 para todo r ∈ R y entonces Σ está

propiamente inmersa en M2 × R.? Como k(r) ≥ k0 > 0 para todo r ∈ R, podemos cambiar la métrica

〈·, ·〉 por ejemplo para 0 ≤ ρ < k02, y tendríamos una métrica completa

en M2 bien de�nida en el origen y tal que Σ preserva la misma métrica

inducida.

? Como Σ está propiamente inmersa, entonces Σ es una super�cie

completa con Kext ≡ −1 < 0.


15




k ′(r)2 = c0 +1

2arctan

(k(r)2

).





propiamente inmersa en M2 × R.

? Como k(r) ≥ k0 > 0 para todo r ∈ R, podemos cambiar la métrica



inducida.




15




k ′(r)2 = c0 +1

2arctan

(k(r)2

).





propiamente inmersa en M2 × R.? Como k(r) ≥ k0 > 0 para todo r ∈ R, podemos cambiar la métrica



inducida.




15


Muchas gracias por su atención.


15

imus (instituto de matemáticas de la universidad de sevilla ) - un … · 2013-10-15 · la...

Documents