Implementacion

Dr. Rogerio

1[ ]x n

2[ ]x n

la

la

1z

la

[ ]x n [ 1]x n

1 2[ ] [ ]x n x n

[ ]x n [ ]la x n

1 2 0

01 2

1 2

[ ] [ 1] [ 2] [ ]

( )1

y n a y n a y n b x n

bH z

a z a z

1z

b[ ]y n

1z

1a

2a

[ ]x n

1 0

1 0

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

N M

k kk k

N M

k kk k

y n a y n k b x n k

y n a y n k b x n k

1z

0b[ ]y n

1z

1a

2a

1z

la

1Na

Na

1z

1z

1z

[ 1]y n

[ ( 1)]y n N

[ ]y n N

[ ]x n

[ 1]x n

[ ( 1)]x n M

[ ]x n M

[ 2]y n [ 2]x n

1b

2b

1Mb

Mb

Forma Directa I

1 0

[ ]

[ ] [ ] [ ]N M

k kk k

v n

y n a y n k b x n k

1z

0b[ ]y n

1z

1a

2a

1z

la

1Na

Na

1z

1z

1z

[ 1]y n

[ ( 1)]y n N

[ ]y n N

[ ]x n

[ 1]x n

[ ( 1)]x n M

[ ]x n M

[ 2]y n [ 2]x n

1b

2b

1Mb

Mb

[ ]v n

1 0

0

1

0

1

1 2

[ ] [ ] [ ]

1

1

1

N M

k kk k

Mk

kk

Nk

kk

Mk

k Nkk

kk

y n a y n k b x n k

b zH z

a z

H z b za z

H z H z H z

0

1

1 2

10

2

1

1

1

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

1

Mk

k Nkk

kk

Mk

kk

Nk

kk

H z b za z

H z H z H z

V z H z X z b z X z

Y z H z V z V za z

1z

0b[ ]y n

1z

1a

2a

1z

la

la

1Na

Na

1z

1z

1z

[ 1]y n

[ ( 1)]y n N

[ ]y n N

[ ]x n

[ 1]x n

[ ( 1)]x n M

[ ]x n M

[ 2]y n [ 2]x n

1b

2b

1Mb

Mb

[ ]v n

0

0

1 1

0

1

2 1

2

1

1

1 1

1

1

solo que ahora

1( ) ( ) ( )

1

( )

Mk

k Mkk

kN Nk kk

k kk k

Mk

kNk k

kk

Nk

kk

b zH z b z

a z a z

H z b za z

H z H z H z

W z H z X z X za z

Y z H

10

( ) ( )M

kk

k

z W z b z W z

2

1

[ ]

1

0

1( ) ( ) ( )

1

( )( ) ( ) 1 ( ) ( )

1 ( )

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

Nk

kk

x nN

kk

M

kk

recuerde

W z H z X z X za z

X zW z X z A z W z

A z

w n a w n k w n

finalmente

y n b w n k

[ ]

1 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]w n

N M

k kk k

w n a w n k x n y n b w n k

0b

1z

1z

1z

1b

2b

1Mb

Mb

[ ]y n[ ]x n

[ ( 1)]w n N

[ ]w n N

1z

1z

1a

2a

1z

la

1Na

Na

[ ]w n

Forma Directa II o Forma Canónica Directa

0b

1z

1z

1z

1b

2b

1Mb

Mb

[ ]y n[ ]x n

1a

2a

la

1Na

Na

[ ]w n

0b

1z

1z

1z

1b

2b

1Nb

Nb

[ ]y n[ ]x n

[ ( 1)]w n N

[ ]w n N

1z

1z

1a

2a

1z

la

1Na

Na

[ ]w n

Forma Canónica (mínimo número de “delays”)

Diseño de Filtro FIR

Procesamiento Digital de Señales

FiltroS FIR

• Son inherentemente estables.• Son capaces de tener una fase lineal, es decir

un retraso puramente de tiempo.• Sin embargo requieren ordenes mayores que

los filtros IIR para alcanzar una respuesta equivalente.

• Por lo anterior son lentos.

EJEMPLO: Diseñe un filtro ideal pasa-bajas con respuesta de fase cero y una frecuencia de corte:

a) w1=π/5b) w2=π/2

• Ideal pasabajas y frecuencia de corte en w1=π/5: Su respuesta en frecuencia (función de transferencia) debe ser

• Respuesta de fase cero: Debe ser entonces FIR, es decir sólo ceros.

• Sabemos que la transformada inversa de Fourier de tiempo discreto de la función de la figura que representa el filtro es una función sinc, estrictamente:

π/5-π/5

0)5

(1

)( nnsenn

nh

La respuesta anterior es la respuesta al impulso del filtro

n=10 n=20

n=100

• Este filtro para implementarlo primero debemos acotarlo, es decir, determinar cuantos términos tomar en consideración, obviamente cuanto mayor sea el número de coeficiente, mayor será la aproximación a su respuesta ideal. Sin embargo mayor número de términos implica mayor tiempo de procesamiento.

• Por ejemplo si se decide acotarlo a 21 términos, se calculan los primeros 10 términos, y puesto que la señal es simétrica par:

h(-10)=h(10)=-7.7963e-018h(-9)=h(9)=-0.020789h(-8)=h(8)=-0.037841h(-7)=h(7)=-0.043247h(-6)=h(6)=-0.031183h(-5)=h(5)=7.7963e-018h(-4)=h(4)=0.046774h(-3)=h(3)=0.10091h(-2)=h(2)=0.15137h(-1)=h(1)=0.1871h(0)=0.2

• Para calcular el término en n=0 utilizamos la regla de L´Hopital.

• Finalmente h(n) queda de la siguiente forma:

• Esta respuesta al impulso representa un sistema no causal, puesto que su respuesta depende de valores futuros. Esto resulta en un filtro que no se puede usar en aplicaciones de tiempo real, aunque en aplicaciones donde se trabaje con señales previamente almacenadas, sí son útiles.

• Para convertir este filtro en causal, simplemente aplicamos un desplazamiento de 10 a la respuesta al impulso. Claro está, que debemos pagar un precio, y el precio es que se convierte en un filtro de fase lineal y no de fase cero.

0

sin( )5

(0) 0.2

n

d ndn

hd

ndn

10

10

( ) ( ) ( )

( 10) ( 10) ( 9) ( 9)... (0) (0)... (9) (9) (10) (10)n

h n h n n

h h h h h

• Finalmente para la implementación, obtenemos su ecuación en diferencias:

18 18

18 18

( ) 7.79 10 ( 10) ( 9)... 0.2 (0)... (9) 7.79 10 (10)

( ) 7.79 10 ( 10) ( 9)... 0.2 (0)... (

0.020789 0.020789

0.020789 0.020789 9) 7.79 10 (10)

h n

y n x x x x x

1

y(n)

10.200

1-7.7e-18

1-7.7e-1

z

1

-20

z

1

-2

z

1

-19

z

1

-10

1-0.2

1-0.0207

1

x(n)

• Las respuestas del filtro al simularlo en MatLAb, tanto en amplitud como en fase es:

0 pi/5 2pi/5 3pi/5 4pi/50

0.5

1

1.5

0 pi/5 2pi/5 3pi/5 4pi/5-4

-2

0

2

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Mag

nitu

de (

dB)

Magnitude Response (dB)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Pha

se (

radi

ans)

Phase Response

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.99.5

9.6

9.7

9.8

9.9

10

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

Normalized Frequency ( rad/sample)

Pha

se D

elay

(sa

mpl

es)

Phase Delay

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Samples

Impulse Response

Am

plitu

de

• La respuesta del filtro al utilizar la herramienta “fvtool” de MatLAb, es:

Ejemplos de representación de una función en términos de

polos y ceros

• CONSIDERE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

Relacion entre una transformada de laplace y una transformada continua.

ejemplo

12

SS

SG

Si la entrada a este sistema se hace pasar a través de un muestreador, sera el equivalente a multiplicar en el dominio S por:

12

1

1

1

SSS

SG

SGeSGSM ST

• AL MULTIPLICAR Y SEPARAR TERMINOS OBTENEMOS:

Se

SMST1

SEPARANDO G1(S) EN FRACCIONES PARCIALES TENEMOS:

112

12

1

SSSSS

SG

APLICANDO TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE:

ktt ektgetg 22 11

APLICANDO TRANSFORMADA Z

Tezz

zz

zG

12

1

HACIENDO T=0.5s

607.01213.0

607.012 2

1

zzzz

zz

zz

zG

TRANSFORMANDO EN Z LA EXPRESION DE LA EXPONENCIAL TENEMOS

z

zeZ ST 1

1

DE ESTA FORMA

607.0213.0

zz

zG