SimbolizaciónSimbolización

El fin que uno se propone cuando El fin que uno se propone cuando se coloca bajo forma axiomática se coloca bajo forma axiomática una teoría deductiva, es una teoría deductiva, es desprenderla de las significaciones desprenderla de las significaciones concretas e intuitivas sobre las que concretas e intuitivas sobre las que en primer lugar fue construida, a fin en primer lugar fue construida, a fin de hacer aparecer claramente el de hacer aparecer claramente el esquema lógico abstracto.esquema lógico abstracto.

Se sabe en efecto que, desde la Se sabe en efecto que, desde la mitad del siglo XIX, la lógica se ha mitad del siglo XIX, la lógica se ha renovado completamente y renovado completamente y ensanchado, bajo el impulso de ensanchado, bajo el impulso de matemáticos que la han iniciado. matemáticos que la han iniciado.

FormalizaciónFormalización

De la geometría empírica a la geometría De la geometría empírica a la geometría racional de la presentación euclidiana a la racional de la presentación euclidiana a la presentación axiomática, de las axiomáticas presentación axiomática, de las axiomáticas vulgares a las axiomáticas simbolizadas, a vulgares a las axiomáticas simbolizadas, a cada paso se cree haber expulsado por fin la cada paso se cree haber expulsado por fin la intuición de provecho de la lógica.intuición de provecho de la lógica.

La teoría nos presenta proposiciones La teoría nos presenta proposiciones primeras que enuncian, en lenguaje primeras que enuncian, en lenguaje simbólico, relaciones lógicas entre términos simbólico, relaciones lógicas entre términos primeros: puesto que no las propone sino a primeros: puesto que no las propone sino a titulo de hipótesis, las admitimos como tales, titulo de hipótesis, las admitimos como tales, bajo reserva de su compatibilidad, es decir bajo reserva de su compatibilidad, es decir la lógica sea a la vez perfectamente precisa la lógica sea a la vez perfectamente precisa y perfectamente universal, regulando todos y perfectamente universal, regulando todos los detalles e imponiéndose a todos los los detalles e imponiéndose a todos los espíritus. espíritus.

Del Razonamiento Al CálculoDel Razonamiento Al Cálculo

Una axiomática formalizada se presenta, así Una axiomática formalizada se presenta, así pues, como un conjunto de signos, los unos pues, como un conjunto de signos, los unos propios de la teoría, los otros anteriores, propios de la teoría, los otros anteriores, provistos de un enunciado de las reglas que provistos de un enunciado de las reglas que se aplicaran en el manejo de estos signos.se aplicaran en el manejo de estos signos.

A menudo estas reglas se reparten en dos A menudo estas reglas se reparten en dos grupos: las reglas de estructura, que grupos: las reglas de estructura, que conciernen a la formación de expresiones y conciernen a la formación de expresiones y las reglas de deducción que conciernen en las reglas de deducción que conciernen en sus transformaciones.sus transformaciones.

Las primeras deben permitir reconocer Las primeras deben permitir reconocer siempre, sin disputa posible, si una expresión, siempre, sin disputa posible, si una expresión, esta bien formada y pertenece así al sistema, esta bien formada y pertenece así al sistema, si una deducción esta bien llevada y si, en si una deducción esta bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión es un teorema consecuencia, su conclusión es un teorema del sistema.del sistema.

La MetamatemáticaLa MetamatemáticaLos signos, con las leyes que regulan su empleo Los signos, con las leyes que regulan su empleo “definen una suerte de espacio abstracto con “definen una suerte de espacio abstracto con tantas dimensiones como grados hay de libertad tantas dimensiones como grados hay de libertad en la operación concreta e imprevisible de la en la operación concreta e imprevisible de la combinación. combinación.

La metamatemática será, en relación a la La metamatemática será, en relación a la expresión matemática, lo que la matemática usual expresión matemática, lo que la matemática usual es en relación a sus objetos. La metamatemática es en relación a sus objetos. La metamatemática se encontraba, en cierta forma, en el punto de se encontraba, en cierta forma, en el punto de encuentro de varias líneas de investigación. encuentro de varias líneas de investigación.

En primer lugar, en la confluencia de dos En primer lugar, en la confluencia de dos corrientes que conocemos ya: una que había corrientes que conocemos ya: una que había tenido su origen en la reflexión sobre el aparato tenido su origen en la reflexión sobre el aparato lógico de la geometría y que, al aplicarse para lógico de la geometría y que, al aplicarse para perfeccionarlo, había desembocado en la perfeccionarlo, había desembocado en la axiomática; otra que, tendía a reformar la lógica axiomática; otra que, tendía a reformar la lógica inspirándose en los métodos del algebra y había inspirándose en los métodos del algebra y había logrado constituirla como un calculo. logrado constituirla como un calculo.

Limite A Las Demostraciones De Limite A Las Demostraciones De No-ContradicciónNo-Contradicción

Es necesaria, sin embargo, una Es necesaria, sin embargo, una condición: cualesquiera que sean condición: cualesquiera que sean la complejidad y la inseguridad de la complejidad y la inseguridad de la teoría matemática estudiada y la teoría matemática estudiada y de las formulas simbólicas en de las formulas simbólicas en donde se expresa, la donde se expresa, la demostración metamatemática demostración metamatemática que descansa sobre en la teoría que descansa sobre en la teoría de los encadenamientos de los encadenamientos deductivos muy simples y no deductivos muy simples y no discutidos, a manera de lograr la discutidos, a manera de lograr la adhesión de un espíritu atento.adhesión de un espíritu atento.

La Axiomatización De La Lógica

Cuando la axiomática estaba aun en sus comienzos, la condición de la lógica podía aparecer, en razón de su situación inicial, como privilegiada.

Una teoría axiomatizada retiraba a los términos y a los postulados sobre los que se edificaba su significación y su verdad usuales, pero hacia un llamado, para esta edificación, a teorías anteriores, cuya verdad y sentido estaban presupuestos.

La matemática dejaba de ser esta ciencia en donde no se sabe jamás de que se habla, ni si lo que se dice es verdadero, volvería a ser categórico-deductiva a la manera de la lógica, de la que sacaba toda su substancia.

La Meta LógicaLa Meta Lógica

Toda axiomática formal se encuentra en efecto bordeada, Toda axiomática formal se encuentra en efecto bordeada, de cada lado por dominio intuitivo: debajo, por las de cada lado por dominio intuitivo: debajo, por las interpretaciones concretas que se pueda dar de ella, los interpretaciones concretas que se pueda dar de ella, los modelos, de los que uno le ha servido generalmente de modelos, de los que uno le ha servido generalmente de lecho; arriba, por las ciencias que le son anteriores, y que lecho; arriba, por las ciencias que le son anteriores, y que intervienen, en su edificación, con su verdad categórica y intervienen, en su edificación, con su verdad categórica y su significación intuitiva.su significación intuitiva.

La situación de la lógica en un extremo de la escala de La situación de la lógica en un extremo de la escala de las ciencias no le permite apoyarse en una ciencia las ciencias no le permite apoyarse en una ciencia previamente constituida. previamente constituida.

La meta lógica juega así, en relación con la lógica, el La meta lógica juega así, en relación con la lógica, el mismo papel que la metamatemática en relación con la mismo papel que la metamatemática en relación con la matemática. La axiomatización obligo a tomar conciencia matemática. La axiomatización obligo a tomar conciencia de ella, y a distinguirla expresamente de la lógica a la que de ella, y a distinguirla expresamente de la lógica a la que esta vinculada como a su objeto. esta vinculada como a su objeto.