I.E. Centro formativo de Antioquia CEFA Estadística grado undécimo. Análisis Combinatorio.

REGLAS MULTIPLICATIVAS Y PERMUTACIONES

TALLER

1. Se tiene un niño con 8 pantalones. 3 camisas y 5 pares de zapatos ¿de cuantas maneras diferentes puede vestirse el niño?

2. Una empresa aérea tiene 7 pilotos, 10 copilotos y 12 azafatas. ¿De cuántas maneras diferentes puede la compañía realizar el vuelo si deben ir un piloto un copiloto y una azafata?

3. Si lanzan al aire dos dados y dos monedas, ¿cuántos resultados pueden obtener?

RESPONDER LAS PREGUNTAS 4 A LA 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: Para ir de A a C es necesario pasar por B; hay tres rutas distintas entre A y B y cuatro rutas distintas entre B y C. 4. De ¿cuántas maneras puede una persona hacer

un viaje de A a C? a) 10 b) 7 c) 12 d) 18 5. De ¿cuántas maneras puede una persona hacer

un viaje ida y vuelta de A a C si puede regresar por el mismo camino?

a) 14 b) 144 c) 24 d) 18 6. De ¿cuántas maneras puede una persona hacer

un viaje ida y vuelta de A a C si debe regresar por un camino diferente?

a) 14 b) 144 c) 24 d) 132 7. El testigo de un accidente de tránsito en el que el

causante se dio a la fuga le dijo a la policía que las placas del automóvil tenía las letras QRT seguidas de tres dígitos, el primero de los cuales era un 3, si el testigo no puede recordar los últimos dos dígitos, pero está seguro que todos los dígitos eran diferentes, el número máximo de registros de automóviles que la policía tendrá que revisar es:

a) 56 b) 81 c) 72 d) 64 8. ¿De cuántas maneras diferentes es posible

contestar una prueba de verdadero y falso que consta de 5 preguntas?

a) 120 b) 25 c) 64 d) 32 RESPONDER LAS PREGUNTAS 9 Y 10 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una de ellas con 4 respuestas posibles, de las cuales sólo una es la correcta: 9. ¿De cuántas formas diferentes puede un

estudiante asignar una respuesta a cada pregunta?

a) 1024 b) 20 c) 64 d) 243 10. De ¿cuántas maneras diferentes puede un

estudiante asignar una respuesta a cada una de las preguntas y tener todas las respuestas equivocadas?

a) 1024 b) 243 c) 184 d) 118

RESPONDER LAS PREGUNTAS 11 A 14 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: CON LOS NÚMEROS 1,2,3,4,5. 11. ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse? A) 125 B) 12 C) 60 D) 72 12.¿Cuántos números impares de tres dígitos distintos pueden formarse? A) 36 B) 60 C) 10 D) 48 13. ¿cuántos números pares de tres dígitos distintos pueden formarse? A) 24 B) 64 C) 9 D) 36 14. ¿Cuántos números de tres dígitos distintos que comiencen en 1 y terminen en 5 pueden formarse? A) 24 B) 3 C) 12 D) 36 RESPONDE LAS PREGUNTAS 15 A 17 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: Con los números 1,2,3,4,5,6 y 7 cuántos números de tres dígitos pueden formarse. 15. Si cada dígito se puede utilizar una sola vez: A) 17 B) 180 C) 210 D) 228 16. Si los números son impares y cada dígito se

puede utilizar una sola vez. A) 75 B) 216 C) 120 D) 210 17. Si los números son mayores de 340 y cada dígito

se puede utilizar una sola vez. A) 140 B) 90 C) 105 D) 120 RESPONDER LAS PREGUNTAS 18 A 20 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: Con los números 1,3,4,5,6,7 y 9. 18. ¿Cuántos números de cuatro dígitos pueden

formarse? A) 270 B) 1296 C) 1180 D) 2401 19. ¿Cuántos números pares de cuatro dígitos

pueden formarse? A) 120 B) 686 C) 180 D) 228 20. ¿Cuántos números impares de cuatro dígitos

pueden formarse, sin repetir dígitos? A)600 B) 1080 C) 216 D) 1020 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACIÓN, RESPONDA LAS PREGUNTAS 21 A 25. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar si: 21. No se repiten los dígitos? A) 90 B) 210 C) 196 D) 343 22. Se repiten los dígitos? A) 343 B) 196 C) 210 D) 90 23. Los números deben ser pares y los dígitos no se repiten? A) 90 B) 210 C) 196 D) 343 24. Los números deben ser impares y los dígitos pueden repetirse? A) 343 B) 196 C) 120 D) 90 25. Los números deben empezar por 2, ser múltiplos de 5 y no tener cifras repetidas? A) 10 B) 15 C) 5 D) 20

26. ¿Cuántos números se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, si no se permiten repeticiones? A) 64 B) 24 C) 34 D) 14 27. Una joven tiene cuatro faldas y seis blusas. ¿Cuántas combinaciones diferentes de falda y blusa puede vestir? A) 12 B) 36 C) 48 D) 24

DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN RESPONDA LAS PREGUNTAS 29 A 32. Un estudiante que ingresa a la Universidad debe tomar cursos en las áreas de matemáticas, sociales, humanidades e idiomas. Si puede elegir entre tres (3) cursos de matemáticas, dos (2) de idiomas, cuatro (4) de sociales y tres (3) de humanidades. De cuantas maneras puede hacer su programa de estudio si: 28.Debe tomar un curso en cada área y gana un examen con el cual no necesita tomar idiomas? A) 72 B) 48 C) 36 D) 24 29.Sólo puede tomar un curso en Matemáticas, uno en idiomas y uno en Humanidades? A) 72 B) 18 C) 36 D) 144 30.Debe tomar dos (2) cursos de Matemáticas y uno (1) de cada una de las áreas restantes, e importa el orden de elección? A) 18 B) 72 C) 144 D) 36 31.Debe tomar dos (2) cursos de Matemáticas, tres (3) en sociales y dos (2) en Humanidades, e importa el orden de elección? A) 864 B) 144 C) 72 D) 36 32.Una fábrica de carros puede fabricar 5 tipos de motores distintos, 3 tipos de carrocerías distintas y de 6 colores distintos. ¿Cuántos carros podría producir la fábrica? A) 15 B) 90 C) 30 D) 45 33.De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 8 personas en una fila?. 34. Un indicador tiene 6 banderas, ¿Cuántas señales diferentes pueden enviar colocando tres banderas, una sobre otra en el asta. 35. ¿De cuántas maneras diferentes e pueden sentar 6 personas en 4 sillas? 36. ¿De cuántas maneras diferentes se puede sentar 4 personas en 6 sillas? Es importante aclarar que la gran mayoría de ejercicios de métodos de conteo aplicables para el examen de admisión de la U. de A., se desarrollan mediante la utilización de la regla de la multiplicación. Sin embargo existen algunos casos particulares donde se deben aplicar otras formulas con base al contexto del ejercicio; por ejemplo, en un arreglo dónde entran todos los elementos de un grupo y lo único que diferencia un arreglo de otro es el orden de colocación de los mismos, se le llama PERMUTACIÓN y para agilizar cálculos, lo primero que se debe entender es el concepto de factorial.

Factorial Este representa el producto de los números consecutivos n ( n - 1 ) ( n – 2 )….x 3 x2 x1 para todo entero positivo, y se representa con ( ! ), así tenemos que: 1! = 1 = 1

2! =2 X 1 = 2 3! =3 X 2 X 1 = 6 4! =4 X 3 X 2 X 1 = 24 5! =5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120 (n)! =n X ( n - 1 ) X ( n - 2 ) X ( n - 3 ) X… X 3 X 2 X 1

Importante: Definimos 0! = 1 Cuando los grupos que se van a permutar son pequeños de igual manera podemos seguir recurriendo a las reglas multiplicativas. Por ejemplo pensemos de cuantas maneras diferentes pueden acomodarse 5 estudiantes en una fila donde solo hay 5 sillas. El primer estudiante que escoge silla, tendrá 5 maneras diferentes de escoger, una vez este joven ha hecho su selección el estudiante siguiente tendrá solo 4 sillas para escoger, el siguiente tendrá solo 3, el siguiente 2 y el ultimo 1. Como vemos, cada arreglo se forma cuando cada estudiante ha hecho su selección; por tanto el número total es: 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120 = 5 !. Ahora pensemos en otra situación. Supongamos que los mismos 5 estudiantes se van a acomodar en un fila donde hay 8 asientos, el primero que tome su lugar tendrá 8 posibilidades para escoger, el segundo puede escoger entre 7 puestos, el tercero solo tendrá 6 posibilidades, el cuarto 5 y el último 4. El número total de arreglos será: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720

Continuaremos con el taller. DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACIÓN RESPONDER LAS PREGUNTAS 37 A 40 . Una persona que desea cenar puede escoger entre 5 vinos diferentes, 4 manjares, 6 postres y 3 frutas. ¿De cuántas manera puede ordenar: 37. Una cena completa? 38. La cena completa con un vino predilecto? 39. La cena si es abstemio? 40. La cena si dos de los postres no son de su agrado? CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN RESPONDER LAS PREGUNTAS 41 A 44 . De cuántas maneras puede sentarse tres damas y dos caballeros en una fila de 5 asientos, de modo que: 41. Pueden hacerlo en cualquier sitio. 42. Las damas y los caballeros no se separan. 43. Se sientan alternados. 44. Una dama y un caballero insisten en sentarse juntos. 45. En un campeonato de fútbol intervienen 5 equipos. ¿De cuántas maneras pueden quedar clasificados? DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN RESPONDER LAS PREGUNTAS 46 A 48 . Jacinta tiene una colección de C.D: 4 de música clásica, 2 de música Rock y 3 de música bailable. Si desea organizarlos en un estante para nueve C.D. ¿De cuántas maneras lo pede hacer: 46. Si los coloca al azar. 47. Si debe colocar juntos los de la misma clase. 48. Si los de música rock deben ocupar lose extremos? 49. De cuántas maneras pueden sentarse 3 damas y 3 caballeros en una fila de 6 asientos si :

a) Las damas y los caballeros no se separan. b) Se sientan alternados.

Permutaciones con Repetición no Distinguibles En ciertos problemas podemos encontrar arreglos diferentes de objetos, algunos de los cuales NO son distinguibles. Por ejemplo, supongamos que tenemos 5 banderas del mismo tamaño y que 3 son amarillas, 1 es verde y 1 es roja. Encontremos el número de maneras en que pueden colocarse en fila de modo que obtengamos diferentes arreglos de colores. Si las banderas fueran todas diferentes, el número de arreglos sería 5x4x3x2x1, ó sea 120 (regla de la multiplicación). Sin embargo, como algunas de las banderas son del mismo tipo, no podemos obtener 120 arreglos diferentes, puesto que cuando las AMARILLAS estén juntas se disminuirán las posibles combinaciones, lo cual permite explicar el siguiente teorema.

Teorema:

Si tenemos un grupo de n elementos en los cuales n1 son de un tipo e iguales, n2 son de otro tipo e iguales, n3 de otro tipo ….nk de otro tipo e iguales; el número de permutaciones distinguibles de n objetos tomados todos a la vez esta dado por: P (n; r, s, t….k)= n! r! s! t!....k! En donde r+s+t+….k = n

Ejemplo:

Cuántas posibles arreglos se pueden hacer con las letras de la palabra TITIRIBI entrando todas en cada arreglo. Observamos que en este ejercicio la letra T se repite 2 veces, la l se repite 4 veces, la R una y la B también una. Por tanto:

P(8;2,4,1,1)= 8! =840 2!* 4!* 1!* 1! Convencionalmente seguiremos llamando al número total de permutaciones con repetición P(R), y para abreviar cálculos no seguiremos teniendo en cuenta el 1 !. Otro Ejemplo: Con 7 bolas que tienen la misma forma y tamaño, de las cuales 2 son blancas, 3 azules, 1 roja y 1 verde cuantas ordenaciones diferentes pueden hacerse, si cada arreglo debe tener las 7 bolas? BOLAS BLANCAS: 2 BOLAS AZULES: 3…No tendremos en cuenta las que no presentan repetición. TOTAL DE BOLAS: 7 P ( R ) = 7 ! . 2 ! X 3 !

Continuaremos con el taller.

50. ¿Cuántas palabras con significado o sin él pueden formarse con las letras de la palabra FELICIDAD, entrando todas en cada grupo?

51. ¿Cuántas palabras con significado o sin él pueden formarse con las letras de la palabra MISSISSIPPI, entrando todas en cada grupo?

52. ¿Cuántas palabras con significado o sin él pueden formarse con las letras de la palabra SEBASTIAN, entrando todas en cada grupo?

53. ¿Cuántas palabras con significado o sin él pueden formarse con las letras de la palabra CUCARACHA, entrando todas en cada grupo?

54. ¿Cuántas palabras con significado o sin él pueden formarse con las letras de la palabra AMOR, entrando todas en cada grupo?

55. Si se dispone de 5 balotas de igual forma y tamaño de las cuales 3 son rojas y 2 amarillas, ¿ cuántas ordenaciones diferentes pueden hacerse, si entran todas en cada arreglo?

56. Si se dispone de 10 balotas de igual forma y tamaño de las cuales 4 son rojas y 3 amarillas, 2 son verdes y 1 es azul, ¿ cuántas ordenaciones diferentes pueden hacerse, si entran todas en cada arreglo?

57. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con todas las letras de la palabra AYUNTAMIENTO?

58. ¿Cuantas ordenaciones diferentes pueden hacerse con 8 bolas de billar ( 3 rojas, 2 blancas, 1 verde y 2 azules ), entrando todas en cada arreglo?

ALGUNAS RESPUESTAS 1) 120 3) 144 5) B 7) C 9) A 11) A 13) A 15) C

17) A 19) B 21)B 23) A 25) C 26) A 28) C 30) C

32) B 34) 120 36) 360 38) 72 40) 240 42) 24 44) 48 46) 9 !

48) 10 080 50) 90 720 52) 90 720 54) 24 56) 12 600 58) 1 680

1. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes

pueden formarse con los números dígitos, 2. Si las cifras son diferentes y la cifra de la izquierda

debe ser diferente de cero? 4536 3. Si las cifras son diferentes, y los números son

pares? 2520 4. Si las cifras son diferentes, los números deben

empezar por 3 y ser impares?224 5. Si las cifras son diferentes? 7740

De acuerdo con la siguiente información, responda las preguntas 13 a 15:

Si hay 5 carreteras de la ciudad P a la ciudad Q. ¿De cuántas maneras diferentes puede ir un conductor de P a Q y regresar, si:

1. No bebe ir y volver por la misma carretera? A. 20 B. 5 C. 25 D. 30

2. ¿Debe ir y volver por la ruta que elija? A. 30 B. 25 C. 5 D. 20 3. ¿Puede ir y volver por la ruta que elija? 21. 5 22. 20 23. 30 24. 25

4. ¿Cuántas palabras distintas de ocho letras pueden

formarse, con 6 consonantes y 2 vocales? 25. 5040 26. 40320 27. 720 28. 4320

5. ¿Cuántas palabras distintas de ocho letras pueden

formarse, con 5 consonantes y 3 vocales si las vocales son fijas?

29. 120 30. 240 31. 40320 32. 15

6. ¿De cuántos modos pueden sentarse 8 `personas

a un mismo lado de una mesa? 33. 720 34. 40320 35. 4320 36. 50409

7. ¿De cuántos modos pueden sentarse 8 personas

en una mesa redonda, contando en un solo sentido, a partir de una de ellas?

37. 720 38. 40320 39. 4320 40. 5040

8. ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden

formar con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6? 41. 120 42. 360 43. 720 44. 30

9. Con 8 jugadores, ¿de cuántos modos se pueden

disponer una octava si el pitcher y el catcher son siempre los mismos?

45. 720 46. 360

47. 120 48. 30 10. Entre 7 personas; de cuántos modos puede

formarse un comité de 4 personas? 49. 10 50. 840 51. 35 52. 210

11. En un examen se ponen 6 temas para que el

alumno escoja 4, ¿Cuántas selecciones puede hacer el alumno?

53. 210 54. 336 55. 35 56. 15 12. ¿Cuántos números distintos de 2 cifras se pueden

formar con los números 4, 5, 6, 7 y 8? 57. 5 58. 10 59. 30 60. 20

13. Con 6 personas, cuántos comités distintos de 5

personas pueden formarse? 61. 6 62. 5 63. 11 64. 1

14. ¿De cuántos modos pueden disponerse, si el

sargento siempre es el primero? 65. 120 66. 720 67. 5040 68. 540

15. ¿De cuántos modos pueden disponerse, si el

sargento no ocupa lugar fijo?

69. 5040 70. 720 71. 120 72. 240 16. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9

banderas, izando 3 cada vez?

73. 72 74. 504 A. 252 B. 168

17. ¿Cuántos números, mayores que 2000 y menores

que 3000, se pueden formar con los números 2, 3, 5 y6?

C. 24 D. 12 E. 3 F. 6

18. Hay 7 hombres para formar una tripulación de 5,

pero el timonel y el stroke son siempre los

mismos. ¿De cuántos modos se puede disponer de la tripulación?

A. 12 B. 10 C. 60 D. 120 19. Un mensaje de tres letras consiste en A,B,C,D,

y/o E. ¿Cuántos mensajes diferentes pueden enviarse si:

A. Las letras no pueden repetirse B. Las letras pueden repetirse 20. Los números telefónicos antiguos consistían de 2

letras seguidas de 5 números. Si la A no se permite para la primera letra y las dos letras deben ser diferentes. ¿Cuántos números telefónicos diferentes pueden formarse?

Nota: el alfabeto tiene 26 letras 21. Cuatro personas entran en un vagón de un tren

donde hay 6 asientos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar?

22. En un concurso de belleza se suele escoger

primero 12 finalistas y luego se eligen 5 finalistas. ¿De cuantas maneras se puede ocupar las 5 primeras posiciones entre las 12 finalistas?

23. Durante las vacaciones una familia que vive en

Medellín desea visitar consecutivamente a Armenia, Pereira y Cali. Existen dos rutas diferentes entre Medellín y Armenia, tres entre Armenia y Pereira y tres entre Pereira y Cali. De cuantas maneras diferentes puede viajar la familia de Medellín a Cali?

Si hay 5 carreteras de la ciudad P a la ciudad Q de cuantas maneras diferentes puede ir un conductor de P a Q y regresar , si. A. No puede ir y volver por la misma carretera B. Ha de ir y volver por la misma carretera C. Puede ir y volver por la ruta que él elija. 24. Cuántos números de tres cifras diferentes y

menos que 500 pueden formarse con los enteros 1,2,3,4,5,6,7

25. Un saco contiene 8 bolas blancas y 7 bolas

negras. Encuentre el número de maneras en que se pueden sacar 3 bolas del saco, si dos deben ser blancas y una debe ser negra.

26. Una aerolínea sin itinerario fijo hace escala en 8

pequeñas islas. Si solo visita una isla cada día. ¿De cuántas maneras pueden planearse los vuelos diarios?

27. Gasté la mitad de lo que tenía y perdí la mitad resto; me quedan $20, luego inicialmente cuánto tenía?

28. La cabeza de un cocodrilo es la mitad del tronco y

el tronco los 2/3 de la cola. Si el tronco mide un metro, cuanto mide el cocodrilo?

29. Si la diferencia entre la mitad y la cuarta parte de

la altura de una pared es de 2 metros, la altura de la pared cuánto es?

30. Las edades del padre, la madre y su hijo suman

90 años. El padre tiene 25 años mas que su hijo y la madre 5 años menos que el padre. ¿Cuál es la edad del padre?

31. Un ladrillo pesa 18 libras más medio ladrillo.

¿Cuánto pesan 6 ladrillos? 32. Al tomar un préstamo por $60.000 durante 9

meses, al 30% anual, cuánto se debe pagar por intereses?

33. Compré un bolígrafo, un lápiz y un borrador,

todos por $250. Si el lápiz costó 3 veces el borrador y el bolígrafo el doble de lo que costo el lápiz, el valor del bolígrafo es?

34. Un secuestrado preguntó a sus secuestradores, a

donde me llevan escoltado por medio centenar de guerrilleros? El jefe respondió: no somos tantos, pero los que vamos, más la mitad, más la cuarta parte, más usted, si sumamos 50. El número de secuestradores es?

35. En 24 litros de solución de agua y alcohol la

proporción entre los volúmenes de alcohol y agua es:

vol.alcohol =3

vol. Agua 5

¿Entonces el volumen de alcohol en litros es …

REGLAS MULTIPLICATIVAS

Responda las preguntas 31 a 33 de acuerdo con el siguiente enunciado:

Se requiere plantar a lo largo de la línea divisora de una propiedad 9 árboles 36. ¿Cuántas zanjas de 4 árboles se pueden formar?

36 126 21 48

37. ¿Cuántas zanjas de 2 árboles se pueden formar?

36

72 123 21

38. ¿Cuántas zanjas de 3 árboles se pueden formar?

36 84 123 21

De acuerdo con la siguiente información, responda las preguntas 34 a 37:

Un colegio participa en 12 partidos de fútbol en una temporada. 39. ¿De cuántas maneras puede el equipo terminar

con 7 victorias?

792 124 5040 64

40. ¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la

temporada con 3 derrotas?

220 64 720 3604

41. ¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la

temporada con 2 empates?

24 66 720 5040

42. ¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la

temporada con 7 victorias, 3 derrotas y 2 empates?

7920 720 150 120

De acuerdo a la siguiente información, conteste las preguntas 38 a 42:

43. En una caja hay seis bolas negras y cuatro bolas

blancas, se extraen, de una vez, tres bolas.

El número de extracciones posibles es:

90 720 150 120

44. El número posible de extracciones posibles, de

modo que las tres bolas sean negras es:

20 15 18 30

45. El número de extracciones posibles, de modo que

todas sean de igual color, es:

24 28 30 32

46. El número posible de extracciones, de modo que

dos sean negras y una blanca, es:

90 30 60 45

47. El número posible de extracciones, de modo que

haya los dos colores (entre los extraídos) es:

90 81 96 78

48. En un club de 12 miembros, el número de juntas

directivas distintas de cuatro miembros, sabiendo que uno de los doce es el seguro secretario es:

12! 3!X9! B. 12! 3!X8! 330 D.165

49. Diez alumnos del grado octavo deben participar

en tres comisiones que tienen cinco, tres y dos integrantes respectivamente. La cantidad de formas en que se pueden efectuar esto es:

10! 5!X5! 13800 10!

5!X3!X2! 10!

50. La suma de todos los números resultantes de la

permutación 1122 es:

13266 9999 10000 6732

51. El número de selecciones de tres monedas que pueden hacerse con una pieza de cinco centavos, y una de diez, una de veinte, una de cuarenta y una de peso es:

10 60 120 24

52. La cantidad de sumas diferentes de dinero que se

puedan formar con cuatro monedas; una de cincuenta pesos, una de cien, una de doscientos y una de quinientos es:

9 1 11 15

53. La cantidad de ensalada que puede prepararse

con lechuga, repollo, zanahoria, tomate y aguacate es:

10 60 120 24

54. Se dispone de un recipiente con cuatro tipos de

arandelas A,B,C,D y se van a sacar muestra de tres arandelas cada una. La cantidad de muestras distintas que se pueden elegir es:

4 10 20 30

55. El número de rectas diferentes que se puedan trazar por nueve puntos si no hay tres puntos colineales es:

28 35 36 45

56. La cantidad de triángulos que quedan

determinados por nueve puntos si no hay tres que sean colineales es:

72 36 84 31

57. Si lanzas al aire dos dados y una moneda,

¿Cuántos resultados puedes obtener?

36 12 14 72

58. ¿Cuántos números de tres dígitos mayores que 330 se pueden formar con los dígitos 0 1, 2, 3, 4, 5 y 6 si cada digito puede utilizarse sólo una vez?

120 210 35 105 59. Se requiere distribuir cinco regalos entre cuatro

personas. Si cada persona puede recibir todos los regalos, entonces el número de maneras en que puede distribuirse es:

20 1024 625 120

60. Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una de ellas con 4 respuestas posibles, de las cuales sólo una es correcta, ¿De cuántas maneras diferentes puede un estudiante asignar una respuesta a cada una de las preguntas y tener todas las respuestas equivocadas?

1024 1250 3243 720

61. De 4 manzanas rojas, 5 verdes y 6 amarillas, ¿Cuántas seleccionadas de 9 manzanas son posibles si se deben incluir 3 de cada uno de los colores?

5005 400 800 500

62. Un estadio tiene 10 puertas en funcionamiento

para el ingreso de los aficionados a un partido de fútbol. ¿De cuantas manearas diferentes pueden 2 personas entrar independientemente por puertas diferentes y salir por puertas diferentes

38 40 171 180 Al reunirse cierto número de personas se dan la

mano para saludarse y en total se dieron 105 apretones de mano, el número de personas que se saludaron fue:

52 35 51 15 Conteste según la siguiente información las

preguntas 59 a 61.

Se desea formar números con los dígitos del 0 al 9,

de tres cifras ¿Cuántos números se pueden formar si las cifras se

pueden repetir? 720 648 900 1000 63. ¿Cuántos números se pueden formar sin repetir

las cifras? 720 648 900 1000 64. ¿Cuántos números se pueden formar que tengan

por lo menos dos cifras repetidas? 280 648 252 100 Por lo tanto, la clave para el correcto desarrollo de cualquier tipo de ejercicio de métodos de conteo está en saber: Qué formula aplicó, Cuándo la aplico Y como la aplico. Por consiguiente si empezamos desde el ¿Cómo?, lo primero que se debe entender es el concepto de factorial. Factorial Este representa el producto de los números consecutivos n (n-1) (n-2)….x 3 x2 x1 para todo entero positivo, y se representa con !; así tenemos que: 1! =1 =1 2! =2 X 1 =2 3! =3 X 2 X1 =5 4! =4 X3 X 2X 1 =24 Importante: Definimos 0 ! = 1 G. El número de formas en que se pueden asignar 6

maestros en 4 secciones de un curso introductoria de psicología, si en ningún maestro se le puede asignar a más de una sección es:

A)270 B) 360 C) 256 D) 1296 Combinaciones Definición: Supongamos que tenemos un conjunto con n objetos. Se dice que estos se pueden combinar tomando agrupaciones de k objetos a la vez, donde

(k =n). Observación: Dos combinaciones son distintas si difieren, por lo menos, en algún elemento. No

importa el orden, y en la asimilación de éste concepto, está la clave para detectar qué tipos de ejercicios debo resolver mediante una combinación. Formula: El número total de combinaciones de n objetos tomados de a k objetos a la vez está dado por: nCk= n! (n-k)! x k! En este caso, n: Es el número de elementos del conjunto general que se va a organizar k: Es de a cuantos los voy a organizar. Ejemplo: De 4 de los mejores alumnos de FORMERTE (Carlos, Pedro, Claudia y Alejandra), se seleccionarán dos monitores para el área de razonamiento lógico. De cuantas maneras podría quedar esta dupla? En este caso no es importante el orden, que es lo mismo tener una pareja formada por Pedro y Carlos que por Carlos y Pedro. Por consiguiente tenemos que: n=4 y k=2

4C2 = 4! =6 (4-2)! 2! Ejemplo: En una clase de 12 hombres y 8 mujeres, ¿de cuantas maneras se puede seleccionar un comité que esté formado por 3 hombres y 2 mujeres? Los hombres se pueden seleccionar de 12C3=12 / ((12-3)!x3!) 220 maneras. Las mujeres se pueden seleccionar de 8C2=8!/((8-2)!x2!)= 23 maneras Por el principio fundamental de conteo tenemos entonces que el comité se puede formar de: 12C3X=220x28=6160 maneras Permutaciones con Repetición no Distinguibles

En ciertos problemas podemos encontrar arreglos diferentes de objetos, algunos de los cuales son distinguibles. Por ejemplo, supongamos que tenemos 5 banderas del mismo tamaño y que 3 son amarillas, 1 es verde y 1 es roja. Encontremos el número de maneras en que pueden colocarse en fila de modo que obtengamos diferentes arreglos de colores. Si las banderas fueran todas diferentes, el número de arreglos sería 5x4x3x2x1, ó sea 120 (regla de la multiplicación). Sin embargo, como algunas de las banderas son del mismo tipo, no podemos obtener 120 arreglos diferentes, puesto que cuando las verdes estén juntas se disminuirán las posibles

combinaciones, lo cual permite explicar el siguiente teorema. Teorema: El número de permutaciones distinguibles de n objetos tomados a la vez y en los cuales n, de otro tipo e iguales, n2 tipo e iguales,….nk de otro tipo e iguales esta dado por: P (n; r, s, t….k)= n! r! s! t!....k! En donde r+s+t+….k=n Ejemplo: Cuántas posibles palabras puedo escribir con las letras de la expresión TITIRIBI. Por tanto, en este ejercicio tenemos que la T se repite 2 veces, la l se repite 4 veces, la R una y la B también una. Por tanto: P(8;2,4,1,1)= 8! =840 2!* 4!* 1!* 1! Permutaciones Circulares Este es un caso especial de la teoría combinatoria y se aplica específicamente, cuando se desean cuantificar las posibles ordenaciones circulares contando en un solo sentido: nP (circular) = (n-1)! Ejemplo: ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas en una mesa redonda, contando en un solo sentido, a partir de una de ellas? 6P (circular) = (6-1)!=720

La probabilidad la teoría de la probabilidad es un sistema matemático que sirve de modelo para toda clase de fenómenos que exhiben un comportamiento impredecible. para definir con exactitud el concepto de probabilidad es necesario antes definir lo que es el espacio muestral de un experimento dado. Espacio Muestral: de un experimento o fenómeno es el conjunto de todos los posibles resultados de tal evento o fenómeno. si el experimento es el de arrojar una moneda al aire y anotar cual de sus dos lados

queda a la vista al caer al piso, existen dos posibilidades, cara o sello. el espacio muestral es, por lo tanto (cara, sello) Evento: es un subconjunto del espacio muestral de algún experimento o fenómeno. al lanzar una moneda al aire, un evento puede ser que esa moneda caiga mostrando el sello. si se lanzan dos monedas al aire, un evento podría ser que las dos monedas caigan mostrando el mismo lado. Cada uno de los subconjuntos del espacio muestral de un experimento o fenómeno es un evento incluyendo tanto el subconjunto vació como existen dos tipos de eventos:

1. eventos independientes; donde la ocurrencia de un evento A no afecta la ocurrencia de otro evento B.

2. eventos excluyentes o disyuntos; en los cuales solo es posible la ocurrencia se uno, la ocurrencia de A impide que suceda B y viceversa.

Axiomas de la probabilidad

1. 0≤P (E) ≤1 para todo evento E, perteneciendo a Ω (espacio muestral). la probabilidad de cualquier evento es un número real entre cero y uno.

2. P (Ω)=1 se le asigna el valor 1 a la probabilidad del evento completo, es decir, 1 es la probabilidad de que al efectuar u experimento, ocurra alguno de los resultados posibles de ese experimento: al arrojar un amoneda l probabilidad de que caiga cara o sello es 1.

3. P(E, U, E)=P(E,)+P(E,) siempre que E, Y E, no tengan elementos comunes, es decir E, ∩ E, =Ǿ

La tercera de las propiedades determina que la probabilidad de que uno y otro de dos eventos disyuntos ocurran, es igual a la probabilidad de que el primero de ellos ocurra más la probabilidad de que el segundo ocurra. TEOREMA: sean Ay B dos eventos cualesquiera, entonces: P (A u B)= P (A) + P (B)-P(A n B) Eventos no disyuntos Probabilidad simple Es el estudio de movimientos aleatorios o libres de

determinación, el cual estima en términos de porcentajes la posibilidad de que un suceso acontezca. Las probabilidad de cualquier evento esta dado pos los casos favorables / casos posibles.

P(A)= (CF/CP)*100= probabilidad de un evento. Casos posibles: es el máximo número de diferentes posibilidades, que tienen un suceso en un experimento aleatorio.

Casos favorables: es el máximo numero de diferentes sucesos, que están a favor del evento al azar para el cual se esta definiendo su probabilidad. La probabilidad de un evento A se definió como sigue: si A puede ocurrir de S maneras entre un total de N posibilidades favorables entonces. P = P(A)= S/N Responder las preguntas 17 a 19 de acuerdo con la siguiente información ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con dígitos 0,1,4,5,6,7 y 8? 17. ¿Si cada dígito se puede utilizar una sola vez a) 105 b) 240 c) 180 d) 320 18. ¿Cuántos de esos números serán impares?

a) 24 b) 75 c) 720 d) 126

19. ¿Cuántos serán mayores que 330?

a) 180 b) 120 c) 245 d) 105

20. El equipo de una universidad juega 12 partidos de fútbol en una temporada. ¿De cuántas formas puede terminar la temporada con 7 partidos ganados, 3 perdidos y 2 empatados?

a) 7.920 b) 2.460 c) 5.380 d) 3.940

LOGICA MATEMÁTICA

1. Se tiene un niño con 8 pantalones. 3 camisas y 5 pares de zapatos ¿de cuantas maneras diferentes puede vestirse el niño?

2. Una empresa aérea tiene 7 pilotos, 10

copilotos y 12 azafatas. ¿De cuántas maneras diferentes puede la compañía realizar el vuelo si deben ir un piloto y una azafata?

3. Si lanzan al aire dos dados y dos monedas

cuantos resultados pueden obtener?

4. Supongamos que un hombre tiene 4 encargos que hacer en la tienda de abarrotes, la gasolinera, la farmacia y la ferretería ¿cuántas formas diferentes puede hacer el recorrido?

5. Se ofrece un seminario con la intervención de

6 conferencistas ¿De cuántas maneras se pueden ordenar?

6. Un mensaje de tres letras consiste en

A,B,C,D, y/o E. ¿Cuántos mensajes diferentes pueden enviarse si:

a) Las letras no pueden repetirse b) Las letras pueden repetirse

7. Los números telefónicos antiguos consistían

de 2 letras seguidas de 5 números. Si la A no se permite para la primera letra y las dos letras deben ser diferentes. ¿Cuántos números telefónicos diferentes pueden formarse?

Nota: el alfabeto tiene 26 letras 8. Cuatro personas entran en un vagón de un

tren donde hay 6 asientos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar?

9. En un concurso de belleza se suele escoger

primero 12 finalistas y luego se eligen 5 finalistas. ¿De cuantas maneras se puede ocupar las 5 primeras posiciones entre las 12 finalistas?

10. Durante las vacaciones una familia que vive

en Medellín desea visitar consecutivamente a Armenia, Pereira y Cali. Existen dos rutas diferentes entre Medellín y Armenia, tres entre Armenia y Pereira y tres entre Pereira y Cali. De cuantas maneras diferentes puede viajar la familia de Medellín a Cali?

11. Si hay 5 carreteras de la ciudad P a la ciudad

Q de cuantas maneras diferentes puede ir un conductor de P a Q y regresar , si.

a. No puede ir y volver por la misma carretera b. Ha de ir y volver por la misma carretera c. Puede ir y volver por la ruta que él elija.

12. Cuántos números de tres cifras diferentes y

menos que 500 pueden formarse con los enteros 1,2,3,4,5,6,7

13. Un saco contiene 8 bolas blancas y 7 bolas negras. Encuentre el número de maneras en que se pueden sacar 3 bolas del saco, si dos deben ser blancas y una debe ser negra.

14. Una aerolínea sin itinerario fijo hace escala en 8 pequeñas islas. Si solo visita una isla cada día. ¿De cuántas maneras pueden planearse los vuelos diarios?

15. Gasté la mitad de lo que tenía y perdí la

mitad resto; me quedan $20, luego inicialmente cuánto tenía?

16. La cabeza de un cocodrilo es la mitad del

tronco y el tronco los 2/3 de la cola. Si el

tronco mide un metro, cuanto mide el cocodrilo?

17. Si la diferencia entre la mitad y la cuarta

parte de la altura de una pared es de 2 metros, la altura de la pared cuánto es?

18. Las edades del padre, la madre y su hijo

suman 90 años. El padre tiene 25 años mas que su hijo y la madre 5 años menos que el padre. ¿Cuál es la edad del padre?

19. Un ladrillo pesa 18 libras más medio ladrillo.

¿Cuánto pesan 6 ladrillos?

20. Al tomar un préstamo por $60.000 durante 9 meses, al 30% anual, cuánto se debe pagar por intereses?

21. Compré un bolígrafo, un lápiz y un borrador,

todos por $250. Si el lápiz costó 3 veces el borrador y el bolígrafo el doble de lo que costo el lápiz, el valor del bolígrafo es?

22. Un secuestrado preguntó a sus

secuestradores, a donde me llevan escoltado por medio centenar de guerrilleros? El jefe respondió: no somos tantos, pero los que vamos, más la mitad, más la cuarta parte, más usted, si sumamos 50. El número de secuestradores es?

23. En 24 litros de solución de agua y alcohol la

proporción entre los volúmenes de alcohol y agua es:

24. vol.alcohol =3

vol. Agua 5 ¿Entonces el volumen de alcohol en litros es …

REGLAS MULTIPLICATIVAS

1. Responder las preguntas 1 a la 3 de acuerdo con la siguiente información:

Para ir de A a C es necesario pasar por B; hay tres rutas distintas entre A y B y cuatro rutas distintas entre B y C. 2. De cuantas maneras puede una persona

hacer un viaje de A a C? 10 7 12 18 3. De cuantas maneras puede una persona

hacer un viaje ida y vuelta de A a C? 14 144 24 18

6. El testigo de un accidente de tránsito en el que el causante se dio a la fuga le dijo a la policía que las placas del automóvil tenía las letras QRT seguidas de tres dígitos, el primero de los cuales era un 3, si el testigo no puede recordar los últimos dos dígitos, pero está seguro que todos los dígitos eran diferentes, el número máximo de registros de automóviles que la policía tendrá que revisar es:

A. 56 B. 81 C. 72 D. 64

7. ¿ De cuántas maneras diferentes es posible contestar una prueba de verdadero y falso que consta de 5 preguntas? A. 120 B. 25 C. 64 D. 32

Responder las preguntas 8 y 9 de acuerdo con la siguiente información: Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una de ellas con 4 respuestas posibles, de las cuales sólo una es la correcta: 8. ¿De cuántas formas diferentes puede un estudiante asignar una respuesta a cada pregunta? A. 1024 B. 20 C. 64 D. 243 9. De cuantas maneras diferentes puede un estudiante asignar una respuesta a cada una de las preguntas y tener todas las respuestas equivocadas? A. 1024 B. 243 C. 184 D. 118 10. El número de formas en que se pueden asignar 6 maestros en 4 secciones de un curso introductoria de sicología, si en ningún maestro se le puede asignar a más de una sección es: A. 270 B. 360 C. 256 D. 1296 Responder las preguntas 11 a 14 de acuerdo con la siguiente información: Con los números 1,2,3,4,5. 11. ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse?

A. 125 B. 12 C. 60 D. 72

12. ¿Cuántos números impares de tres dígitos distintos pueden formarse?

A. 36 B. 60 C. 10 D. 48 13. ¿cuántos números pares de tres dígitos distintos pueden formarse? A. 24 B. 64 C. 9 D. 36 14. ¿ Cuántos números de tres dígitos distintos que comiencen en 1 y terminen en 5 pueden formarse? A. 24 B. 3 C. 12 D. 36 Responde las preguntas 15 a 17 de acuerdo con la siguiente información: Con los números 0,1,2,3,4,5 y 6 cuántos números de tres dígitos pueden formarse. 15. Si cada dígito se puede utilizar una sola vez: A. 17 B. 180 C. 216 D. 228 16. Si los números son impares y cada dígito se puede utilizar una sola vez. A. 75

B. 216 C. 120 D. 210 17. Si los números son mayores de 330 y cada dígito se puede utilizar una sola vez. A. 15 B. 90 C. 105 D. 120 Responder las preguntas 18 a 20 de acuerdo con la siguiente información: Con los números 1,3,4,5,6,7 y 9. 18. ¿Cuántos números de cuatro dígitos pueden formarse? A. 270 B. 1296 C. 1180 D. 360 19. ¿Cuántos números pares de cuatro dígitos pueden formarse? A. 120 B. 216 C. 180´ D. 228 20. ¿Cuántos números impares de cuatro dígitos pueden formarse A. 150 B. 1080 C. 216 D. 1020

Ejercicios

1. Al lanzar 2 dados al aire ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras muestren cada una seis puntos o un punto?

A. 1/36 B. 1/18 C. 1/9 D. 2/18 2. Dos dados se lanzan al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que sus caras muestren un total de siete puntos? A. 1/36 B. 1/9 C. 1/6 D. 2/3 3. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar dos dados al aire, sus caras muestren en total 5, 8 ó 10 puntos? A. 1/3 B. 4/36 C. 5/36 D. 3/36 4. De dos naipes corrientes de 52 cartas, se retira al azar una carta uno. ¿Cuál es la probabilidad de que dos

cartas sean del mismo palo? A. 1/2 B. 1/4 C. 1/6 D. 2/6 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado este caiga mostrando un número par de puntos? A. 1/4 B. 1/2 C. 2/6 D. 1/6 6. ¿Cuál es la probabilidad de retirar una carta de un naipe corriente y obtener ya sea un As o un corazón? A. 4/52 B. 13/52 C. 4/13 D. 1/52 7. ¿ Si lanzan dos monedas al aire, cuál es la probabilidad de que caigan alternadas? A. 1/2 B. 3/4 C. 1 D. 0 8. Se lanzan tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres caigan en caras? A. 1/2 B. 7/8 C. 1/4 D. 1/8 9. Al lanzar dos dados y una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salgan 6 y 6 en los dados y sello en la

moneda? A. 1/71

B. 1/72 C. 1/73 D. 1/74 10. Hay 10 obreros y 3 empleados; si se eligen 3 de ellos, insistentemente, ¿Cuál es la probabilidad de que

sean los tres empleados? A. 2/13 B. 1/13 C. 3/13 D. 1/286 11. Un recipiente tiene 12 bombillos, entre las cuales hay dos defectuosas, ¿Cuál es la probabilidad de que al

sacar una muestra de 3, estas sean buenas? A. 6/11 B. 3/12 C. 17/12 D. 1/16 12. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que no salga seis? A. 5/6 B. 1 C. 1/6 D. 1/6

13. Si se lanzan dos dados y su suma es 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado se haya sacado mediante un 3 en cada dado?

A. 5/36 B. 1/36 C. 1/5 D. 1/18

14. Se tiene un abolsa con fichas numeradas con todos los números de dos cifras distintas que se pueden escribir con los dígitos 1,2 y 3. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una ficha, el número sea par?

A. 1/3 B. 2/3 C. 1/6 D. 5/6

15. de acuerdo con el periódico, hay un 40% de probabilidades de que llueve mañana, la probabilidad de que no llueva mañana es:

A. 1/5 B. 2/5 C. 3/4 D. 3/5

De acuerdo con lo siguiente información responda las preguntas 16 y 17: Juan y pancho estudian en un mismo curso de electrónica. la probabilidad de que Juan no pierda ninguna materia es del 80% y de que pancho obténgale mismo resultado es del 90$ 16. la probabilidad de que los dos pierdan es:

A. 0.98 B. 0.72 C. 1/35 D. 1/50

17. la probabilidad de que Juan pierda por lo menos un ay pancho ninguna es:

A. 0.72 B. 0.18 C. 0.1 D. 0.16

en una caja hay siete bolas negras y cuatro blancas y se va a tomar una de ellas al azar. 18. ¿Qué probabilidad hay que sea una negra?

A. 6/11 B. 4/11 C. /11 D. 5/11

19. ¿Qué probabilidad hay que sea blanca?

A. 6/11 B. 4/11 C. 7/11 D. 5/11

se tiene una baraja con 4 pintas (trébol, picas, corazones, diamantes). cada pinta tiene las siguientes figuras: As, J, Q , K además de los números 2,3,4,5,6,7,8,9,10. se saca una carta al azar. cual es la probabilidad de obtener: 20. un As de trébol o un As de corazón

A. 2/26 B. 1/4 C. 1/26 D. 3/7

21. un diamante

A. 2/5 B. 1/8 C. ¼ D. 3/9

22. un As, J Q o K

A. 4/13 B. 2/15 C. 3/12 D. 1/5

cual es la probabilidad de que en una carrera de 12 caballos, se acierte en los tres que primero lleguen a la meta si: 23. no importa cual de ellos queda primero

A. 1/1320 B. 1/243 C. 1/220 D. 1/421

24. se debe de acertar en el orden de su entrada a la meta

A. 1/1320 B. 1/243 C. 1/220 D. 1/4211

25. una urna tiene 100 arandelas entre las cuales hay diez defectuosas. la probabilidad de que al sacar una muestra de tres arandelas, por lo menos una sea defectuosa es:

A. 13/2695 B. 2/2695 C. 67/245 D. 4/4720

una caja contiene 2 bombillas buenas y 3 malas se prueban una por una 26. ¿Cuál es la probabilidad de que la ultima bombilla mala salga en la tercera prueba?

A. 3/10 B. 1/5 C. 1/10 D. 2/5

conteste según la siguiente información las preguntas 27 a 29. Alejandro ha ingresado a un nuevo trabajo, en este se le asignara un casillero para su uso personal. los casilleros de la empresa son de diferentes colores (azul, gris, blanco y verde) esto según su capacidad. los casilleros so asignados aleatoriamente, en el momento hay disponibles: 3 azules, 2 grises, 4 blancos y 9 verdes. 27. ¿Cuál es la probabilidad de que se le asigne un casillero gris o azul?

A. 0 B. 5/18 C. 5/15 D. 1/2

28. ¿Cuál es la posibilidad de que no se le asigne a Alejandro un casillero blanco?

A. 1/2 B. 7/9 C. 2/9 D. 4/18

29. si se le asigna a Alejandro un casillero azul ¿Cuál es al probabilidad de que a la siguiente persona que ingrese a la empresa se le asigne un casillero de igual color?

A. 1/9 B. 2/17 C. 1/6 D. 3/17

Carlos y Paola juegan 12 partidas de ajedrez, de las cuales Andrés gana seis, claudia gana 4 y 2 terminan en tablas. acuerdan jugar un torneo consistente en tres partidas. 30. la probabilidad de que Carlos gane las tres partidas es:

A. 1/11 B. ¼ C. 1/6 D. 1/8

31. la probabilidad de que dos partidas terminen en tablas es:

A. 5/216 B. 1/216 C. 5/36 D. 5/72

32. la probabilidad de que Paola gane al menos una partida es:

A. 8/27 B. 19/27 C. 11/36 D. 19/36