histÉresis y oscilador de van der pol

HISTÉRESIS Y OSCILADOR DE VAN DER POL

CRISTIAN MAURICIO ÁVILA PATARROYO

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C.

2012

HISTÉRESIS Y OSCILADOR DE VAN DER POL

CRISTIAN MAURCIO ÁVILA PATARROYO

Trabajo de grado para optar al título de

Ingeneiría Electrónica

Director

Carlos Eduardo Cotrino Badillo

Ingeniero Electrónico, M. Sc.



DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C.

2012



CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

RECTOR MAGNÍFICO: R.P. JOAQUÍN EMILIO SÁNCHEZ GARCÍA, S.J.

DECANO ACADÉMICO: Ing. FRANCISCO JAVIER REBOLLEDO MUÑOZ

DECANO DEL MEDIO UNVERSITARIO: R.P. SERGIO BERNAL RESPETREPO

DIRECTOR DE CARRERA: Ing. JAIRO HURTADO LONDOÑO, PhD.

DIRECTOR DEL PROYECTO Ing. CARLOS COTRINO BADILLO, M. Sc.

NOTA DE ADVERTENCIA

“La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus

proyectos de grado, solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral

católica y porque los trabajos no contengan ataques o polémicas puramente personales.

Antes bien, que se vea en ellos el anhelo de buscar la verdad y justicia”

Artículo 23 de la Resolución No 13, del 6

de julio de 1946, por el cual se reglamenta

lo concerniente a Tesis y Exámenes de Grado

en la Pontificia Universidad Javeriana.

I

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 1

1.1 OBJETIVO GENERAL .......................................................................................................... 1

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................................. 1

2. MARCO TEÓRICO .................................................................................................................... 2

2.1 OSCILADOR DE VAN DER POL......................................................................................... 2

2.2 CICLO LÍMITE ...................................................................................................................... 5

2.3 BIFURCACIÓN ...................................................................................................................... 9

2.4 HISTÉRESIS ......................................................................................................................... 11

2.4.1 Modelo de Jiles-Atherton .................................................................................................. 12

3. ESPECIFICACIONES. ............................................................................................................. 14

3.1 DESCRIPCIÓN ..................................................................................................................... 14

3.2 CARÁCTERÍSTICAS ELÉCTRICAS DEL CIRCUITO ..................................................... 14

3.3 CONFIGURACIÓN RESISTENCIA NO LINEAL Y COMPONENTES ADICIONALES 15

3.3.1 Resistencia No lineal ......................................................................................................... 15

3.3.2 Componentes ..................................................................................................................... 15

3.3.2.1 Núcleos .............................................................................................................................. 15

3.3.2.2 Circuitos Integrados .......................................................................................................... 16

3.3.2.3 Consideraciones especiales Condensador e Inductancia. .................................................. 17

3.4 TARJETA DE ADQUISICÓN DE DATOS PCI – 6024E ................................................... 18

4 DESARROLLOS ...................................................................................................................... 19

4.1 DEDUCCIÓN DEL MODELO CIRCUITAL DEL OSCILADOR DE VAN DER POL .... 19

4.1.1 Desarrollo del modelo eléctrico para la resistencia no lineal. ........................................... 20

4.1.2 Ecuación diferencial no lineal del oscilador de Van der Pol ............................................. 23

4.2 IMPLEMENTACIÓN DEL CIRCUITO ELÉCTRICO DEL OSCILADOR DE VAN DER

POL …………………………… ................................................................................................... 23

4.2.1 Valores de los componentes utilizados en la implementación. ......................................... 24

4.2.2 Consideraciones resistencia de pérdidas, ................................................................... 24

4.2.3 Ecuación de Van de Pol para el circuito eléctrico a implementar. .................................... 25

4.2.4 Circuito esquemático. ........................................................................................................ 25

4.3 BIFURCACIÓN .................................................................................................................... 26

4.4 ALGORITMO PARA CALCULAR LOS PARÁMETROS DEL MODELO DE JILES-

ATHERTON EMPLEADO EN PSPICE ORCAD. .......................................................................... 27

4.5 INTERFAZ EN LABVIEW QUE PERMITE VER LOS RESULTADOS EN TIEMPO

REAL ............................................................................................................................................... 30

5 RESULTADOS ......................................................................................................................... 32

II

5.1 RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL MODELO Y EL CIRCUITO CUYA

INDUCATANCIA NO PRESENTA SATURACIÓN ..................................................................... 32

5.1.1 Gráficas obtenidas cuando .......................................................................... 32

5.1.2 Gráficas obtenidas cuando .......................................................................... 35

5.1.3 Gráficas obtenidas en el caso que . ............................................................... 37

5.1.4 Resultados obtenidos cerca al punto de bifurcación .................................. 40


INDUCTANCIA PRESENTA SATURACIÓN ............................................................................... 42

5.2.1 Gráficas obtenidas cuando ......................................................................... 43

5.2.2 Gráficas obtenidas cuando ......................................................................... 44

5.2.3 Gráficas obtenidas cuando ., Cerca al punto de bifurcación ........................ 45

5.2.4 Gráficas obtenidas cuando . ......................................................................... 47

5.3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL OSCILADOR DE VAN

DER POL, PARA INDUCTANCIA QUE NO PRESENTA SATURACIÓN ................................. 47

5.4 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL OSCILADOR DE VAN

DER POL, PARA INDUCTANCIA QUE PRESENTA SATURACIÓN ....................................... 49

5.5 GRÁFICO COMPARATIVO ENTRE EL %THD PARA CADA OSCILADOR EN

FUNCIÓN DE ............................................................................................................................ 50

6. CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 51

7. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 52

ANEXO A – COMPARACIÓN ENTRE LA ECUACIÓN GENERAL DE VAN DER POL Y LA

ECUACIÓN OBTENIDA DEL MODELO ELÉCTRICO DEL OSCILADOR DE VAN DER POL

............................................................................................................................................................ A

ANEXO B - ENTREGABLE .............................................................................................................. E

ANEXO C – TOPOLOGÍA FUENTE IMPLEMENTADA ............................................................... F

ANEXO D- IMPRESO ...................................................................................................................... G

III

TABLA FIGURAS

Figura 1: Plano de Fases (izquierda) – Respuesta en tiempo (derecha). Tomada de [6]. ................... 3

Figura 2: Plano de Fases (izquierda) – Respuesta en tiempo (derecha). Tomada de [6]. .................. 3

Figura 3: Plano de fases, μ=0. Tomada de [7] .................................................................................... 5

Figura 4: Ciclo Límite. Tomada de [12] ............................................................................................. 6

Figura 5. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6] ........ 8

Figura 6. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6] ........... 8

Figura 7. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6] ........... 8

Figura 8. Desplazamiento de los valores propios en el plano complejo respecto a μ. Tomda de [9] 10

Figura 9. Trayectorias alrededor del punto de bifurcación. Tomada de [9] ...................................... 10

Figura 10. Representación gráfica de bifurcación de Andronov-Hopf. Tomda de [12] .................. 11

Figura 11. Curva de Histéresis Magnética. Tomada de [1] .............................................................. 11

Figura 12. Lazo de histéresis M[A/m] – H[Oersted], curva anhisterética ......................................... 13

Figura 13. Esquema básico oscilador de Van der Pol. Tomada de [3]. ............................................ 14

Figura 14. Modelo Resistencia No Lineal. R es una resistencia negativa. Tomada de [3] ............... 15

Figura 15. Oscilador de Van der Pol. Tomada y editada de [3]. ...................................................... 19

Figura 16. Implementación de la resistencia no lineal, circuito de Chua. Tomado de [2]. ............... 22

Figura 17. Circuito esquemático. OrCAD ......................................................................................... 25

Figura 18. Diagrama en Bloques, Labview. ...................................................................................... 31

Figura 19. Respuesta en Tiempo, circuito. Labview ......................................................................... 33

Figura 20. Respuesta en tiempo, modelo. Matlab ............................................................................. 33

Figura 21. Plano de Fases, circuito. Labview. ................................................................................... 34

Figura 22. Plano de Fases, modelo. Matlab ...................................................................................... 34

Figura 23. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice ........................................................... 35

Figura 24. Repuesta en Tiempo, circuito. Labview ........................................................................... 35

Figura 25. Repuesta en tiempo, modelo. Matlab. ............................................................................. 36

Figura 26. Plano de Fases, circuito. Labview. ................................................................................... 36

Figura 27. Plano de Fases, modelo. Matlab. ..................................................................................... 37


Figura 29. Respuesta en tiempo, circuito. Labview ........................................................................... 38

Figura 30. Respuesta en tiempo, modelo. Matlab. ............................................................................ 38

Figura 31. Plano de Fases, Circuito. Labview. .................................................................................. 39

Figura 32. Plano de Fases, modelo. Matlab ...................................................................................... 39


Figura 34. Respuesta en tiempo, Circuito. Labview .......................................................................... 40

Figura 35. Respuesta en tiempo, Modelo. Matlab ............................................................................ 41

Figura 36. Plano de fases, circuito. Labview ..................................................................................... 41

Figura 37. Plano de Fases, Modelo. Matlab ...................................................................................... 42



Figura 40. Respuesta en Tiempo, modelo. Pspice ............................................................................ 43



Figura 43. Respuesta en tiempo, modelo. Pspice. ............................................................................. 45


Figura 45. Respuesta en tiempo, circuito. Labview. .......................................................................... 46

Figura 46. Respuesta en tiempo, modelo. Pspice .............................................................................. 46

Figura 47. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice .......................................................... 47

IV

Figura 48. Cuadro Comparativo entre % THD vs , para ambos osciladores respecto a cada

núcleo. ............................................................................................................................................... 50

Figura 48. Circuito en caja, con salidas de prueba .............................................................................. E

Figura 49. Circuito en caja, con salidas de prueba .............................................................................. E

Figura 50. Topología Fuente Regulada ............................................................................................... F

Figura 51. Circuito Impreso ............................................................................................................... G

1

1. INTRODUCCIÓN

La teoría concerniente a las ecuaciones diferenciales lineales ha sido elaborada durante los últimos

200 años, es un campo bien conocido y desarrollado el cual ha abarcado con profundidad distintas

áreas del conocimiento, como lo son: ingeniería, economía, biología, química entre otras; por otra

parte, el conocimiento acerca de las ecuaciones diferenciales no lineales es bastante reducido, y la

necesidad de comprender el comportamiento de fenómenos de carácter no lineal, hoy por hoy es un

requisito casi indispensable, esto se hace evidente en casos prácticos de ingeniería como la ecuación

de Van der Pol, en donde la naturaleza propia del sistema obliga que el estudio del mismo sea

cubierto por un análisis no lineal; es por esto que, el interés de este trabajo de grado consiste en

abarcar conceptos y métodos generales de ecuaciones diferenciales no lineales de manera

cualitativa, en donde se hace evidente la aparición de fenómenos nuevos e interesantes que no

tienen cabida dentro de la teoría lineal, y que se harán evidentes a través de la implementación del

oscilador de Van der Pol.

Adicionalmente, este trabajo de grado incluye el tratamiento de un tema, también interesante, como

es el de la Histéresis, en donde se presenta un enfoque muy atractivo acerca del comportamiento del

oscilador de Van der Pol como un sistema dinámico no lineal, para el cual se propone un modelo de

histéresis que influye en la dinámica del sistema. Básicamente el modelo de histéresis evalúa el

desplazamiento de un punto sobre una trayectoria cerrada descrita por una función que relaciona

densidad de campo magnético y la intensidad de corriente en una inductancia con núcleo, los

detalles se especificarán más adelante.

Así pues, el presente informe incluye el análisis de la histéresis y el comportamiento del oscilador

de Van der Pol con el fin de demostrar la no linealidad del oscilador, desarrollar distintos

escenarios de oscilación y finalmente demostrar cómo afecta el ciclo de histéresis la oscilación.

De manera concreta, los objetivos que encaminaron el progreso de este trabajo de grado y que se

desarrollan durante el presente documento, son los siguientes:

1.1 OBJETIVO GENERAL

Analizar, modelar y construir un oscilador de Van der Pol para verificar no linealidad,

oscilación e histéresis.

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Desarrollar el análisis teórico del oscilador de Van der Pol.

Desarrollar el modelo de histéresis.

Desarrollar curvas de histéresis.

Diseñar y construir el circuito en físico con interfaz a LabView.

2

2. MARCO TEÓRICO

Las ecuaciones diferenciales no lineales en su mayoría no admiten un procedimiento analítico que

describa su solución, por tal motivo se hace necesario recurrir a métodos numéricos como Runge

Kutta, Newton, Euler etc., generalmente desarrollados en herramientas de software para

aplicaciones en matemáticas e ingeniería; dichos métodos son una herramienta de solución

bastante práctica que permite abordar de manera aproximada la solución de ecuaciones diferenciales

no lineales; otro recurso contemplado a la hora de describir la solución de este tipo de ecuaciones

hace referencia a la información cualitativa del comportamiento general de las soluciones que se

obtiene en realidad sin resolver dichas ecuaciones, básicamente a través de métodos y análisis

geométricos. El interés de estudiar las ecuaciones diferenciales no lineales radica principalmente en

que la mayoría de los sistemas físicos, ya sean, eléctricos, magnéticos, biológicos, químicos,

geológicos, económicos etc., presentan un comportamiento por naturaleza no lineal; el

procedimiento de linealizar las ecuaciones segmenta el conocimiento acerca del comportamiento de

los sistemas alrededor de un punto de equilibrio, mientras que el estudio de los sistemas por medio

de la teoría no lineal permite tener conciencia del comportamiento del sistema en todos los puntos

dentro de los cuales está definido; otro motivo para estudiar los sistemas no lineales y las

ecuaciones diferenciales que los describen radica en la existencia de fenómenos naturales y

representaciones matemáticas sorprendentes que no tienen cabida dentro de la teoría lineal.

El oscilador de Van der Pol es un sistema dinámico que incluye realimentación positiva y un

elemento resistivo no lineal. Es el resultado de investigaciones realizadas por el físico holandés

Balthasar Van der Pol durante las décadas de 1920 y 1930, cuyo trabajo principal se enfocó en la

implementación de circuitos electrónicos que empleaban tubos al vacío, allí observó que se

presentaban oscilaciones estables, también llamadas ciclos límite.

2.1 OSCILADOR DE VAN DER POL

De manera básica y general el oscilador de Van der Pol se describe por la siguiente ecuación

diferencial autónoma no lineal de segundo orden:

( )

Ecuación 1.

, es un coeficiente variable entre . Al definir , se puede escribir el modelo

como un sistema de ecuaciones representado por variables de estado así:

( )

Ecuación 2. a) y b)

Donde el único punto de equilibrio del sistema es y , así que el sistema linealizado

alrededor del origen se puede escribir como se muestra a continuación,

[

]

Ecuación 3.

3

Cuyos eigenvalores son ( √ ) . Por tanto, a la luz de la teoría de estabilidad para

sistemas lineales el origen es un punto espiral inestable cuando y es un nodo impropio

inestable, para , cuando el sistema es asintóticamente estable, así que bajo estas

condiciones cerca al origen, lo único que se puede decir con certeza es que todas las soluciones del

sistema tienden al infinito o a cero.

Gráficamente, a través del plano de fases se puede observar el comportamiento de los estados de

acuerdo con la trayectoria que describe la solución del sistema, a continuación se muestran algunos

ejemplos de gráficas que ilustran las soluciones de los escenarios previamente mencionados, de

acuerdo con los respectivos valores propios:

Punto espiral estable: Eigenvalores complejos conjugados con parte real negativa

Figura 1: Plano de Fases (izquierda) – Respuesta en tiempo (derecha). Tomada de [6].

Punto espiral inestable: Eigenvalores complejos conjugados con parte real positiva

Figura 2: Plano de Fases (izquierda) – Respuesta en tiempo (derecha). Tomada de [6].

Cuando μ es igual a cero, el sistema queda descrito por la ecuación diferencial lineal autónoma de

segundo orden que se muestra a continuación:

Ecuación 4.

Al definir , se puede escribir el modelo como un sistema de ecuaciones representado por

variables de estado así:

4


Y de nuevo el único punto de equilibrio es y . De forma análoga

[

]

Ecuación 6.

Los valores propios del sistema son y así que el punto de equilibrio (0,0) es un

centro críticamente estable que incorpora una única solución periódica lineal que de manera

general se encuentra descrita por:

( ) ( )

( ) ( )


La solución que satisface las condiciones ( ) y ( ) es claramente

( )

( )


Y la solución determinada por ( ) y ( ) es

( ) (

)

( ) (

)


Estas dos soluciones definen la misma trayectoria C en el plano de fases, a saber el círculo

De esta manera se corrobora la existencia de una trayectoria que recorre el sentido

contrario a las manecillas del reloj.

5

Figura 3: Plano de fases, μ=0. Tomada de [7]

Hasta ahora sólo se ha realizado una aproximación al comportamiento dinámico del oscilador de

Van der Pol visto desde una perspectiva de la teoría lineal, con lo cual se ha verificado que las

trayectorias de las soluciones que describen el espacio de estados en el plano de fases muy cerca al

origen (0,0), tienden a cero ó tienden a infinito y para un caso particular tienden a una respuesta

sinusoidal pura, pero en realidad dichas trayectorias no describen de manera general la respuesta

dinámica del sistema.

2.2 CICLO LÍMITE

En cuanto a las soluciones periódicas y específicamente los ciclos límite, el estudio es más

complejo y se debe recurrir a los teoremas de Poincaré-Bendixon y de Liénard con el fin de tener un

soporte matemático que demuestre la existencia de ciclos límite sin encontrar en sí la solución en

tiempo del sistema.

En esta sección se abordará el tema de la existencia de soluciones periódicas de sistemas autónomos

de segundo orden

( )

Ecuación 10.

cuyas soluciones satisfacen la relación

( ) ( )

Ecuación 11.

para toda y para alguna constante T no negativa denominada periodo. Las trayectorias

correspondientes son curvas cerradas en el plano de fases. En distintas situaciones una solución

periódica representa un “estado final” hacia el que tienden todas las soluciones “vecinas”, como los

transitorios en función de las condiciones iniciales.

Un ciclo límite estable es un fenómeno que solo tiene cabida dentro de los sistemas no lineales y

básicamente se define como la existencia de una única trayectoria cerrada en el plano de fases que

describe la solución de un sistema, en donde otras trayectorias no cerradas tienden en espiral hacia

ella, desde el interior o exterior cuando . En la figura 4 se muestra un ejemplo de un ciclo

límite.

6

Figura 4: Ciclo Límite. Tomada de [12]

Si todas las trayectorias que inician cerca de una trayectoria cerrada (tanto por dentro como por

fuera) tienden en espiral hacia dicha trayectoria cerrada cuando , entonces se dice que el

ciclo límite es estable. Dado que la trayectoria del ciclo límite es por sí misma una órbita periódica,

en lugar de un punto de equilibrio, a este tipo de estabilidad suele dársele el nombre de estabilidad

orbital. Ahora, si las trayectorias en uno de los lados se aproximan en espiral hacia la trayectoria

cerrada, mientras que del otro lado se alejan en espiral de ella cuando , entonces se dice que

el ciclo límite es semi-estable. Si las trayectorias de ambos lados de la trayectoria cerrada se alejan

en espiral cuando , entonces la trayectoria cerrada es inestable, y no se conoce como ciclo

límite.

De acuerdo con la referencia [7], para verificar la existencia de ciclos límite ha sido desarrollado un

criterio práctico que garantiza la existencia de trayectorias cerradas para toda ecuación de la forma

( )

( )

Ecuación 12.

conocida como la ecuación de Lienard, como se mostrará a continuación una sobresaliente

aplicación del teorema de Lienard ocurre en la ecuación de Van der Pol. Al hablar de una

trayectoria cerrada para tal ecuación, se hace referencia a una trayectoria del sistema de la forma

( ) ( )


una trayectoria cerrada de la ecuación 13 corresponde a una solución periódica de la ecuación 12.

El hecho fundamental acerca de las trayectorias cerradas en la ecuación 13 está contenido en el

siguiente teorema.

Teorema de Lienard: Sean dos funciones ( ) y ( ) que satisfacen las siguientes condiciones:

7

1. Ambas son continuas, al igual que sus derivadas en todo .

2. ( ) es impar y tal que ( ) para , y ( ) es par.

3. La función impar

( ) ∫ ( )

Ecuación 14.

tiene exactamente un cero positivo en , es negativa para , es positiva y no

decreciente para , y ( ) cuando . Entonces la Ecuación 13 tiene una única

trayectoria cerrada que rodea al origen en el plano de fases, y a ella tienden en forma de espirales

todas las demás trayectorias cuando .

La demostración de este teorema se encuentra en [7].

La principal aplicación del teorema de Lienard ocurre en la ecuación de Van der Pol

( )

Ecuación 15.

donde μ, es una constante positiva. De la ecuación de Van der Pol y de la ecuación de Lienard se

puede extraer que

( ) ( )

( )


De acuerdo con el ecuación 16 y el Teorema de Lienard, se observa que la condición 1 es

satisfecha.

Ahora si,

( ) (

)

Ecuación 17.

del teorema de Lienard se observa que ( ), tiene un único cero positivo en √ , es negativa

en , positiva para √ , y ( ) , cuando . Finalmente, ( ) ( ) es positiva para , de manera que ( ) es no decreciente (de hecho, es creciente)

para √ . Por tanto se cumplen todas las condiciones del teorema y se concluye que la ecuación

de Van der Pol tiene una única trayectoria cerrada (solución periódica) a la que tienden en forma

espiral (asintóticamente) todas las demás trayectorias (soluciones no triviales). Después de verificar

la existencia de ciclos límite para la ecuación Van der Pol, en las figuras 5 a 7 se muestran la

soluciones en tiempo y el plano de fases para distintos valores de μ, cabe destacar que dichas

soluciones se encuentran usando métodos numéricos a través de un computador.

8

Figura 5. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6]



9

2.3 BIFURCACIÓN

En esta sección es de interés observar el comportamiento de los sistemas dados por

( )

Ecuación 18.

Con el fin de responder ¿Cómo el comportamiento cualitativo de la ecuación 18, cambia en la

medida en que la función ó el vector cambia respecto a µ?. Si el comportamiento cualitativo del

sistema permanece similar para todos los vectores de campo cercanos, en el sistema descrito

previamente y el vector de campo , entonces se dice que el sistema es estructuralmente estable. Si

el vector de campo no es estructuralmente estable, entonces pertenece al conjunto de bifurcación.

La estructura cualitativa del conjunto de soluciones o del plano de fases general de la ecuación 18

cambia en la medida en que el vector de campo pasa a través de un punto contenido en el

conjunto de bifurcación. Ciclos y puntos de equilibrio son aspectos distintivos de los planos de fase

en sistemas autónomos. Si las funciones que describen el sistema se modifican ligeramente, cabría

esperar que la nueva gráfica tuviera semejanza con la anterior, un ciclo límite podría reducirse un

poco, un punto de equilibrio desplazarse un poco, una espiral podría tensarse o aflojarse; no

obstante perdurarían aspectos predominantes en la gráfica. En realidad, pequeños cambios en el

coeficiente de una ecuación pueden significar la desaparición de un aspecto y la repentina aparición

de otro diferente por completo, cuando un parámetro cambia, podría aparecer un nuevo punto de

equilibrio, o bien un punto de equilibrio estable puede desestabilizar y expulsar un ciclo límite

atrayente. Básicamente una bifurcación desde un punto de vista cualitativo, significa un cambio en

la estructura de las trayectorias en el plano de fases cuando un parámetro del sistema ha cambiado.

Para este informe final es de interés las bifurcaciones en puntos de equilibrio no-hiperbólicos

(eigenvalores imaginarios puros) incluyendo órbitas periódicas, este tipo de bifurcación es conocido

como bifurcación local porque hace énfasis en cambios que tienen lugar cerca del punto de

equilibrio. Para el oscilador de Van der Pol el tipo de bifurcación a verificar se conoce como

bifurcación supercrítica de Andronov-Hopf.

De acuerdo con [13], el teorema de Bifurcación Supercrítica de Andronov-Hopf establece lo

siguiente: Para un sistema de la forma ( ) con un único punto de equilibrio dado por

para todo , se definen los eigenvalores complejos conjugados de la forma ( ) ( ) de la

matriz ( ), y que cruzan el eje imaginario cuando , adicionalmente satisfacen que

( ) ( ) y ( ) . Claramente, el sistema ( ) es asintóticamente estable

en el origen cuando , entonces conforme aumenta y pasa por 0, el origen se desestabiliza y

expele un ciclo límite atrayente de amplitud ( ). En otras palabras, en el origen órbitas periódicas

de ( ) se bifurcan desde ( ) ( ). El periodo del ciclo es aproximadamente

conforme las órbitas se aproximan a ( ) ( ).

Retomando el sistema de Van der Pol linealizado previamente alrededor del punto de equilibrio

(0,0)

[

]

10

se observa que los valores propios del sistema cerca al origen están dados por ( √ ) y

se restringirá el caso de estudio para valores comprendidos , bajo esta condición acerca

del oscilador de Van de Pol se puede observar lo siguiente:

Para valores negativos de los valores propios toman la forma de , con lo cual se puede

verificar que sobre el plano de fases se describen trayectorias en forma de espiral estable que

convergen a cero. A medida que , dichas espirales convergen más lentamente y justo cuando

el sistema presenta una trayectoria de oscilación sinusoidal pura. Cuando los valores

propios son complejos conjugados con parte real positiva, y las trayectorias observadas cerca al

origen corresponden a espirales inestables que convergen a un ciclo límite.

Resumiendo lo anterior, el oscilador de Van der Pol presenta bifurcación supercrítica de Hopf,

porque: ocurre una transición en el plano de fases de una espiral estable ( ) a un centro

( ) y luego a un espiral inestable ( ) rodeado de un ciclo límite, todo esto alrededor del

punto de equilibrio (0,0), en la figura 8 ,9 y 10, se muestra cualitativamente este fenómeno.

Figura 8. Desplazamiento de los valores propios en el plano complejo respecto a μ. Tomda de [9]

Figura 9. Trayectorias alrededor del punto de bifurcación. Tomada de [9]

11

Figura 10. Representación gráfica de bifurcación de Andronov-Hopf. Tomda de [12]

2.4 HISTÉRESIS

La histéresis es un fenómeno no lineal que se presenta en distintas disciplinas que van desde la

física a la biología, de la ciencia de los materiales a la mecánica, y de la electrónica a la economía.

El ejemplo más común del fenómeno de la histéresis se encuentra presente en una inductancia con

núcleo magnético en un circuito eléctrico.

Figura 11. Curva de Histéresis Magnética. Tomada de [1]

Básicamente, la curva de histéresis presenta una relación entrada-salida no lineal que gráficamente

se manifiesta a través de un camino recorrido en un solo sentido sobre una trayectoria cerrada, para

el caso magnético, las variables relacionadas con la histéresis son la intensidad de campo magnético

y la densidad de campo magnético . Quizás el aspecto más importante que presenta el

fenómeno de la histéresis tiene que ver con el concepto de memoria. El concepto de memoria

abarca dos clasificaciones: histéresis con memoria local e histéresis con memorial no local. El

concepto de memoria local en un sistema con histéresis implica que la salida futura depende del

valor en el instante actual de salida, por su parte, el concepto de memoria no local implica que los

valores futuros de salida no sólo dependen de valores actuales de salida, sino que también dependen

de los valores de entrada anteriores, siendo así, la histéresis con memoria local presenta las

siguientes cualidades:

Cada punto de la curva entrada-salida corresponde a un estado único.

Este estado determina el comportamiento de la histéresis, es decir, el sentido de la

trayectoria.

La histéresis con memoria está modelada con curvas definidas que siempre representan la

misma trayectoria cerrada, no como en el caso de la histéresis con memoria no local en

donde pueden existir infinitas curvas representando la misma relación de entrada-salida.

12

Para el caso del oscilador de Van der Pol el fenómeno de histéresis a tratar se considera de carácter

estático y con memoria local, corresponde a un comportamiento presente en el núcleo

implementado para elaborar la inductancia cuando se construya el circuito eléctrico.

2.4.1 Modelo de Jiles-Atherton

De acuerdo con la referencia [11], el modelo propuesto para abordar el comportamiento magnético

del núcleo corresponde al modelo de Jiles-Atherton, dicho modelo establece que la magnetización

se representa como la suma de dos componentes, un componente irreversible debido al

desplazamiento de las paredes de los dominios magnéticos, y otra reversible.

Para el caso reversible, se define una curva anhisterética (sin histéresis) ( ) la cual relaciona

la magnetización del material con un campo magnético externo aplicado a través de la

siguiente relación:

(

)

( ) ( )


donde es la saturación de magnetización, se conoce como el parámetro de campo y es al

parámetro de forma.

La histéresis magnética es causada por imperfecciones en la estructura de los dominios del material.

Dislocaciones, impurezas y anisotropía magneto-cristalina conllevan a pérdidas de energía al

interior del núcleo durante la magnetización. Todos estos efectos son descritos por el segundo

elemento del modelo a través de una ecuación diferencial que relaciona cambios en la

magnetización en función de los cambios del campo magnético aplicado .

( )

( )

Ecuación 20.

donde es un parámetro de movimiento reversible de las paredes, y corresponde a un parámetro

de movimiento irreversible de las paredes. Información más completa y detallada del modelo se

encuentra en la referencia [14].

En el caso de materiales magnéticos blandos es común ignorar el término ( ) en el

denominador de la ecuación 20, como sucede en el simulador PSpice. Como resultado la siguiente

ecuación diferencial es usada:

(

)

( )

( )

Ecuación 21.

13

A continuación se muestra un ejemplo de las gráficas obtenidas del modelo previamente definido

Figura 12. Lazo de histéresis M[A/m] – H[Oersted], curva anhisterética

El principal inconveniente del modelo de Jiles-Atherton radica en la complejidad de encontrar los

parámetros del modelo en las hojas de especificaciones de los núcleos, razón por la cual en [11] se

propone un algoritmo que permite encontrar dichos parámetros, adicionalmente en el simulador

PSpice de OrCAD se incluye en la librería de los núcleos magnéticos el modelo completo que

describe cada material y que fue utilizada en este trabajo para abordar el tema de la histéresis.

Hasta el momento se ha definido la fundamentación teórica que permite tener una noción física del

fenómeno de la histéresis para un núcleo magnético, en las secciones 4 y 5 se relacionará el

comportamiento dinámico del oscilador de Van der Pol teniendo en cuenta el fenómeno de la

histéresis a través de la simulación del circuito en orCAD pSpice para una inductancia con núcleo

que alcanza la saturación y para una inductancia con núcleo que no la alcanza el nivel de

saturación; el objetivo principal está encaminado a comparar ambos resultados.

14

3. ESPECIFICACIONES.

3.1 DESCRIPCIÓN

La implementación del oscilador de Van der Pol consta de una inductancia con núcleo magnético,

un condensador, una resistencia no lineal. En la figura 13 se muestra una representación básica del

circuito.

Figura 13. Esquema básico oscilador de Van der Pol. Tomada de [3].

El funcionamiento del circuito se basa en el flujo de energía entre el condensador y la inductancia

en donde la resistencia no lineal participa para mantener y propiciar la oscilación. De la Figura 13

se puede observar que la inductancia , el condensador y la resistencia no lineal están en

configuración paralelo. Según la teoría lineal para un oscilador ideal, en donde únicamente

participan una inductancia y un condensador, las condiciones iniciales generan una oscilación

armónica pura. La implementación de un oscilador ideal es imposible debido a que en la práctica el

condensador y la inductancia están descritos por un modelo que incluye elementos parásitos como

capacitancias, inductancias y resistencias que disipan energía. En este trabajo se consideró la

presencia de resistencias parásitas asociadas a pérdidas únicamente para los componentes y , ya

sea en serie o paralelo según sea el caso.

3.2 CARÁCTERÍSTICAS ELÉCTRICAS DEL CIRCUITO

A continuación se enuncian características generales acerca del funcionamiento eléctrico del

circuito:

Fuente de Alimentación: 15V.

Valor de voltaje pico máximo a la salida: 8V.

Valor de corriente pico máximo a la salida: 20mA.

Rango frecuencia de operación: 0 – 5kHz.

Resistencia Variable: 2 – 20kΩ.

15

3.3 CONFIGURACIÓN RESISTENCIA NO LINEAL Y COMPONENTES

ADICIONALES

El elemento que impone el comportamiento no lineal dentro del oscilador es la resistencia no

lineal, el modelo que se implementó fue tomado de una investigación previa realizada para el

circuito de Chua [2], el cual tiene un comportamiento caótico y por tanto no lineal. En las

secciones siguientes se desarrolla la justificación teórica que relaciona el modelo matemático con el

modelo eléctrico respectivo. Adicionalmente, en los siguientes numerales se expone de manera

muy general las características eléctricas fundamentales de los componentes empleados para la

implementación.

3.3.1 Resistencia No lineal

El modelo eléctrico y la implementación de la resistencia no lineal fueron tomados de la referencia

[2].

De la Figura 14 se observa que entre los terminales de la resistencia no lineal se define una

resistencia y una fuente de voltaje a la tercera potencia.

Figura 14. Modelo Resistencia No Lineal. R es una resistencia negativa. Tomada de [3]

En las secciones posteriores se demostrará porque la resistencia , debe ser negativa, y se dará una

argumentación teórica explicando por qué se debe implementar una fuente cúbica de voltaje .

3.3.2 Componentes

3.3.2.1 Núcleos

Para verificar el fenómeno de la histéresis se requiere de la implementación de dos inductancias, la

primera de ellas se realizó con un núcleo que no se alcanza la saturación mientras que la segunda

fue elaborada de forma tal que logre fácilmente un valor de saturación. La idea es comparar la

respuesta dinámica del circuito de manera cualitativa para ambas inductancias con el fin de

observar, verificar y comparar los resultados de cada situación.

16

Núcleo Toroide Philips 3E25 TX 36/23/15

Características magnéticas del material:

Permeabilidad inicial - 5500 20%.

Densidad de Campo Magnético máxima (Saturación): 390mT @ 25°C, 10kHz.

Características del núcleo:

Área efectiva : .

Longitud efectiva :

Factor de Inductancia : 7390 25%

Núcleo Toroide Philips TX 3E5 10/6/4

Características magnéticas del material:

Permeabilidad inicial : 10000 20%.

Densidad de Campo Magnético máxima (Saturación): 380mT @ 25°C, 10kHz.

Características del núcleo:

Área efectiva : .

Longitud efectiva :

Factor de Inductancia : 3470 30%

3.3.2.2 Circuitos Integrados

Amplificador de Video AD 811

Características:

Slew Rate – 2500V/µs.

Ancho de banda máximo 140MHz.

Baja distorsión.

Multiplicador AD 633 JN

Características:

Circuito multiplicador de bajo costo.

Entradas diferenciales X y Y de alta impedancia.

Entrada sumadora Z de alta impedancia.

Función de operación básica dada por la ecuación:

17

( )( )

Ecuación 22. Relación entrada-salida para el circuito integrado AD633JN

3.3.2.3 Consideraciones especiales Condensador e Inductancia.

A continuación se muestran valores nominales y experimentales para el condensador y la

inductancia, también se enuncian los valores experimentales para las resistencias de pérdidas

asociadas a cada componente y que serán incluidas en la simulación.

Condensador

Características:

Valor nominal: 100nF

Valor experimental medido a 3kHz: 67nF

Valor de resistencia de pérdidas en serie asociada, medida experimentalmente a 3kHz:

21Ω.

Valor de resistencia de pérdidas en paralelo asociada, medida experimentalmente a 3kHz:

40.3kΩ.

Inductancia Núcleo Toroide Philips TX 36/23/15

Características:

Valor experimental: 48.9mH


19.4Ω.


43.9k Ω.

Inductancia Núcleo Toroide Philips TX 3E5 10/6/4

Características:

Valor experimental: 48.2mH


153.7Ω.


5.2kΩ

18

3.4 TARJETA DE ADQUISICÓN DE DATOS PCI – 6024E

Se decidió implementar la Tarjeta de Adquisición de Datos PCI – 6024E de National Instruments.

Adicionalmente se utilizó la herramienta Labview para la implementación a nivel de software de

la interfaz que permite observar la señal de oscilación en tiempo y el plano de fases, en tiempo

real.

Características de la tarjeta de adquisición:

Sample Rate: 200kS/s.

Tipo de Entrada Análoga – RSE (Referenced Single Ended).

Entradas analógicas usadas para la implementación:

o ACH1, AIGND.

19

4 DESARROLLOS

En esta sección se realizará la deducción del modelo eléctrico que presenta el comportamiento

dinámico dado por la ecuación de Van der Pol, es importante tener en cuenta que para el desarrollo

del mismo se tuvieron ciertas restricciones y consideraciones que se abordarán más adelante

dependiendo de cada situación.

4.1 DEDUCCIÓN DEL MODELO CIRCUITAL DEL OSCILADOR DE VAN DER POL

De acuerdo con la topología propuesta en la Figura 15, y bajo la restricción que y tienen un

comportamiento lineal, es una resistencia asociada a las pérdidas tanto para la inductancia y el

condensador, e es la corriente que pasa a través de la resistencia no lineal, se procede a plantear

la siguiente ecuación:

Ecuación 23

Figura 15. Oscilador de Van der Pol. Tomada y editada de [3].

expresando en términos de la ecuación lineal que relaciona voltaje y corriente en el condensador,

se obtiene

Ecuación 24.

Al tomar la derivada respecto al tiempo a ambos lados de la Ecuación 24,

Ecuación 25.

y relacionando en términos de la ecuación lineal que relaciona voltaje y corriente en la

inductancia, se obtiene

20

Ecuación 26.

Aplicando la regla de la cadena en la Ecuación 26 y observando que ,

Ecuación 27.

Reorganizando los términos

(

)

Ecuación 28.

observando la ecuación 28 y comparando con la ecuación 1 , intuitivamente se puede inferir que la

relación entre corriente y voltaje de la resistencia no lineal, está dada por

( )

Ecuación 29.

esto en razón que el término

en la ecuación 28, permite a partir de la ecuación 29 obtener una

expresión de la forma

Ecuación 30.

de forma tal que al sustituir la ecuación 30 en la ecuación 28, se puede obtener una nueva ecuación

que tenga la estructura de la ecuación 1 de Van der Pol.

4.1.1 Desarrollo del modelo eléctrico para la resistencia no lineal.

De acuerdo con la implementación de la resistencia no lineal en el circuito de Chua de la figura 16,

a continuación se muestra la deducción del modelo eléctrico para la resistencia no lineal.

En primera instancia se supone el circuito integrado AD811 operando en región lineal, de forma tal

se puede establecer la siguiente relación:

Ecuación 31. , entrada inversora - entrada no inversora. Para el circuito integrado AD811.

21

Al plantear la LVK en el nodo en la salida del circuito integrado AD811, se obtiene:

Ecuación 32.

Despejando en términos de

Ecuación 33.

y planteando la ecuación LVK sobre el nodo de la entrada no inversora del integrado AD811, se

define

Ecuación 34.

sustituyendo la ecuación 33 en la ecuación 34, se obtiene

Ecuación 35.

De acuerdo con la hoja de especificaciones para el circuito multiplicador AD633JN, en la cual se

establece la relación entrada-salida dada por la ecuación

( )( )

Ecuación 36. Relación entrada-salida para el circuito integrado AD633JN

y la configuración del circuito de la Figura 16, se procede a definir una relación matemática

apropiada para la variable .

Ecuación 37.

y también ,

Ecuación 38.

Al sustituir la ecuación 38 en la ecuación 37, se obtiene que

Ecuación 39.

22

reorganizando los términos de la ecuación 39 respecto a ,

Ecuación 40.

Sustituyendo la ecuación 40 en la ecuación 35 se obtiene finalmente la expresión que relaciona

en función de de acuerdo con la topología de la figura 15,

( )

(

)

Ecuación 41.

Figura 16. Implementación de la resistencia no lineal, circuito de Chua. Tomado de [2].

Al imponer la restricción que , la Ecuación 41 se rescribe así

( )

(

)

Ecuación 42.

Así pues, se obtiene una relación matemática apropiada para el modelo eléctrico que describe la

resistencia no lineal, en donde se propone implementar una resistencia negativa y una fuente cúbica

de voltaje.

23

4.1.2 Ecuación diferencial no lineal del oscilador de Van der Pol

En esta sección se deduce la ecuación diferencial no lineal que describe el comportamiento del

oscilador de Van der Pol.

De acuerdo con la Ecuación 28, se debe tomar la derivada de la función de corriente respecto a

dada por la ecuación 42, de forma tal que

Ecuación 43.

y sustituyendo la ecuación 43 en la ecuación 28, resulta

(

)

Ecuación 44.

Reorganizando términos de la ecuación anterior, el modelo eléctrico para la ecuación de Van der

Pol queda descrito por la siguiente ecuación:

[

]

Ecuación 45. Ecuación Oscilador de Van der Pol

Si se define una variable auxiliar , de forma tal que , y adicionalmente , el sistema

descrito por la ecuación 45 se rescribe

[

]

Ecuación 46.

que tiene la forma general de la ecuación 2.

4.2 IMPLEMENTACIÓN DEL CIRCUITO ELÉCTRICO DEL OSCILADOR DE VAN

DER POL

Luego del desarrollo teórico del modelo eléctrico para el oscilador de Van der Pol, en esta sección

se realizará un listado de los valores de todos los componentes involucrados en la construcción del

circuito, con el fin de tener el desarrollo completo del modelo y con el propósito de continuar con el

análisis respectivo del sistema dentro de los alcances de este trabajo.

24

4.2.1 Valores de los componentes utilizados en la implementación.

Componente Valor

Inductancia 49mH

Condensador 67nF

Resistencia 2kΩ

Resistencia 2kΩ

Resistencia (Variable) 7Ω – 50kΩ

Resistencia 5.6kΩ

Resistencia 8.6kΩ

Tabla 1.

Los criterios de selección de los componentes, obedecen a pruebas y resultados de simulación e

implementación para distintos valores, partiendo de los valores propuestos en [2].

4.2.2 Consideraciones resistencia de pérdidas,

Como se mencionó previamente la resistencia que se incluyó en el desarrollo del modelo

eléctrico del oscilador de Van der Pol, esta asociada a cada resistencia de pérdidas debido a la

construcción física de los componentes y , para la implementación y desarrollo del modelo la

ecuación que relaciona la resistencia con las resistencias en paralelo asociadas a y , está

dada por:

Ecuación 47. –Resistencia de pérdidas asociada a la inductancia, – Resistencia de pérdidas asociada al

condensador.

De acuerdo con los valores experimentales obtenidos a la hora de realizar la medición de las

respectivas resistencias de pérdidas asociadas a y se obtuvo

Resistencia asociada de pérdidas, (paralelo) VALOR

43.5kΩ

30.3kΩ Tabla 2.

y los valores experimentales de resistencias en serie asociadas a y son:

Resistencia asociada de pérdidas, (serie) VALOR

19.2Ω

21.7 Ω Tabla 3.

Al observar la tabla 3 y la ecuación 47, se puede concluir que

25

4.2.3 Ecuación de Van de Pol para el circuito eléctrico a implementar.

De acuerdo con los valores listados en las secciones 4.2.1 y 4.2.2, la ecuación 45 de Van der Pol

para el oscilador eléctrico implementado, está dada por:

[

( )

]

Ecuación 48. es un coeficiente variable.

4.2.4 Circuito esquemático.

Figura 17. Circuito esquemático. OrCAD

VCC -VCC

VCC

X11

X22

Y13

Y24

Z6

W7

V+

8V

-5

U1

AD633J/AD

-VCC

R1R2

VCC

-VCC

R3

00

R4

R5

+5

-6

V+4

V-11O

UT

7

U6

AD8011AN/AD

X11

X22

Y13

Y24

Z6

W7

V+

8V

-5

U3

AD633J/AD

0

0

0

1

2

L

C

0

26

4.3 BIFURCACIÓN

De acuerdo con el teorema de Andronov-Hopf, el fenómeno de bifurcación ocurre en puntos de

equilibrio no hiperbólicos cuando un coeficiente variable del sistema cambia dentro de un rango de

valores determinado. Para el caso del oscilador de Van der Pol del presente informe, el elemento

variable es .

Al linealizar la ecuación 46 alrededor del punto de equilibrio (0,0) se obtiene:

[ ] [

] [ ]

Ecuación 49.

Y los valores propios están dados por la siguiente ecuación

( )

√

Ecuación 50.

Al observar la Ecuación 50, se pueden inferir las siguientes conclusiones:

De acuerdo con los valores definidos para la implementación en las secciones 4.2.1 y 4.2.2,

los eigenvalores del sistema descrito por ecuación 49 expresados en la ecuación 50 siempre

van a ser números complejos conjugados.

El término que establece el valor de la parte real para los eigenvalores del sistema es ( )

, y se puede inferir que cuando los valores propios del sistema son

números complejos imaginarios puros, cuando los eigenvalores del sistema son

complejos conjugados con parte real negativa y cuando los valores propios del

sistema son números complejos conjugados con parte real positiva.

De acuerdo con el teorema de Andronov-Hopf. Cuando los valores propios del sistema

toman la forma de , con lo cual se puede verificar que sobre el plano de fases se describen

trayectorias en forma de espiral estable que convergen a cero. A medida que disminuye y se

aproxima a , dichas espirales convergen más lentamente y justo cuando los valores

propios toman la forma y el sistema presenta en el plano de fases una trayectoria circular, es

decir, una oscilación sinusoidal pura. Cuando los valores propios son complejos

conjugados con parte real positiva, y las trayectorias observadas cerca al origen en el plano de fases

corresponden a espirales inestables que convergen a un ciclo límite.

De acuerdo con lo anterior el punto de bifurcación para el sistema de Van der Pol, se presenta justo

cuando y el sistema descrito por la ecuación 49 satisface el teorema de Andronov-

Hopf.

27

4.4 ALGORITMO PARA CALCULAR LOS PARÁMETROS DEL MODELO DE

JILES-ATHERTON EMPLEADO EN PSPICE ORCAD.

En el presente informe se incluye el análisis y obtención de parámetros relacionados con el

comportamiento de la histéresis para el circuito del oscilador de Van der Pol. El procedimiento

consistió en observar el comportamiento dinámico real del circuito para dos tipos de inductancias,

la primera inductancia fue construida con el objetivo de no alcanzar el valor de saturación, de forma

tal que el respectivo análisis e inclusión en el modelo del sistema y la implementación del circuito

se pueda abordar desde una perspectiva lineal, mientras que la segunda inductancia fue elaborada

con el propósito de alcanzar el nivel de saturación y se pueda apreciar la presencia del fenómeno no

lineal de la histéresis en el comportamiento dinámico del sistema. Es por esto, que en esta sección

se explicará la metodología utilizada para la obtención de los parámetros necesarios en la

simulación del circuito teniendo en cuenta el fenómeno de la histéresis para las dos inductancias, de

esta forma se podrá obtener a nivel de simulación las curvas de histéresis para cada inductancia, y

así poder tener un soporte más completo para los resultados obtenidos en la sección 5.

El análisis para el estudio de la histéresis en la implementación del oscilador de Van der Pol se

realizó a través de la simulación del circuito en Pspice ORCAD. El modelo matemático de la

histéresis se definió previamente en la sección 2 del presente documento.

La interfaz de usuario del Model Editor en Pspice ORCAD tiene como parámetros de entrada los

parámetros relacionados en las ecuaciones 19 y 20, y son los siguientes:

Parámetro

Valor de magnetización de saturación.

Parámetro de movimiento reversible de las

paredes

Parámetro de movimiento irreversible de las

paredes.

Parámetro de forma.

Parámetro de Campo

Tabla 4. Coeficientes necesarios para la simulación en Pspice orCAD.

De acuerdo con [11], se deben seguir los siguientes pasos para calcular dichos parámetros, en la

tabla 5, se listan parámetros adicionales extraídos de las hojas de especificaiones del fabricante y

que son necesarios para emplear el algoritmo propuesto.

Parámetros Obtenidos de las hojas de especifaciones del material

Valor de Densidad de Campo Magnético de

Remanencia.

Coercitividad.

Permeabilidad Inicial.

( ) ( ) Par de puntos extráidos de la curva de

demagnetización.

Permeabilidad en el espacio libre

Tabla 5.

28

1. Se debe calcular el valor de permeabilidad en la región de de-magnetización, dada por:

Ecuación 51.

2. Luego se debe calcular el valor inicial del parámetro , que para este caso se llamará

Ecuación 52.

3. Se procede a calcular la Magnetización para dos puntos (inicial y final) de la curva de

magnetización inicial.

Ecuación 53.

4. Luego se debe hallar el parámetro dado por:

Ecuación 54.

5. Se define la siguiente ecuación para calcular el parámetro

(

)

(

)

Ecuación 55.

6. Con la siguiente expresión se calcula el valor de la magnetización de saturación

Ecuación 56.

7. Se procede a hallar el parámetro , a través de la siguiente expresión

( ) [ ( ) (

)]

( )( )

Ecuación 57.

29

8. Se repite el procedimiento desde los pasos 5-7 con el fin de obtener un valor definido para

. Cuando el valor de tiende a un valor fijo, se continúa con el último paso.

9. Se procede a calcular el parámetro , por medio de la siguiente ecuación

( )

Ecuación 58.

Después de enunciar brevemente el algoritmo utilizado, a continuación de muestran los parámetros

obtenidos para realizar la simulación del circuito eléctrico usando la herramienta Model Editor de

Pspice orCAD para incluir el fenómeno de la histéresis, cabe anotar que el resultado de la

simulación del circuito así como las curvas de histéresis obtenidas para cada núcleo se mostrarán

en la siguiente sección.

Parámetros para la simulación de la bobina que no alcanza la saturación.

Los parámetros obtenidos de las hojas de especificaciones del fabricante Ferroxcube - Phillips para

el núcleo TX 36/23/15 empleado en la bobina que no alcanza la saturación son los siguientes:

Núcleo TX 36/23/15

Área Efectiva 0.975 [ ]

Longitud Efectiva 8.97 [cm]

Tabla 6.

Los parámetros obtenidos al observar las características magnéticas del material 3E25, de acuerdo

con el fabricante Ferroxcube -Phillips son:

Parámetro

100 [mT]

9 [A/m]

7500

( ) ( ) (8 A/m, 50mT), (50 A/m, 310mT)

Tabla 7.

Y los coeficientes obtenidos después de emplear el algoritmo se enuncian a continuación:

Coeficiente

310540 [A/m]

0.423

9.342

13.567 [A/m]

Tabla 8.

30

Parámetros para la simulación de la bobina que alcanza la saturación Los parámetros obtenidos de las hojas de especificaciones del fabricante Ferroxcube - Phillips para

el núcleo TX 3E5 10/6/4 empleado en la bobina que alcanza la saturación son los siguientes:

Núcleo TX 3E5 10/6/4

Área Efectiva 0.078 [ ]

Longitud Efectiva 2.41 [cm]

Tabla 9.

Los parámetros obtenidos al observar las características magnéticas del material 3E5, de acuerdo

con el fabricante Ferroxcube -Phillips son:

Parámetro

90 [mT]

4 [A/m]

5500

( ) ( ) (9 A/m, 50mT), (25 A/m, 240mT)

Tabla 10.

Y los coeficientes obtenidos después de emplear el algoritmo se enuncian a continuación:

Coeficiente

327329 [A/m]

0.8765

7.873

15.342 [A/m]

Tabla 11.

4.5 INTERFAZ EN LABVIEW QUE PERMITE VER LOS RESULTADOS EN

TIEMPO REAL

Por requerimiento del proyecto los resultados del comportamiento dinámico del oscilador de Van

der Pol, deben ser mostrados en tiempo real. La implementación en Labview permite observar en

principio dos tipos de gráficas:

Señal en tiempo de la respuesta dinámica del oscilador de Van der Pol.

Plano de Fases, donde se observan las trayectorias de las variables de estado que describen

el comportamiento del sistema.

En la figura 18 se muestra el diagrama de bloques implementado en Labview con el fin de observar

en tiempo real los datos de interés.

31

Figura 18. Diagrama en Bloques, Labview.

La implementación a nivel de software consta de los siguientes bloques:

DAQ Assistant: Bloque que permite tomar los datos provenientes de la tarjeta de adquisición

almacenarlos para que puedan ser usados por las funciones y aplicaciones de Labview.

Derivative (dX/dt): Bloque que se encarga de tomar la derivada de los datos de entrada, sin agregar

retardos ó desfases en tiempo.

Build XY Graph: Bloque cuya utilidad radica en realizar un gráfico XY respecto a los valores que

tenga en las entradas X y Y.

Distortion –THD%: El bloque de distorsión permite calcular la distorsión armónica total, de la señal

que tenga en la entrada, el bloque THD% permite observar el valor de dicha distorsión

Data, XY Graph: Bloques que permiten visualizar los datos que tengan a la entrada, Data permite

observar las señales respecto al tiempo, mientras que XY Graph muestra una gráfica en donde

relaciona uno a uno los valores de entrada X y Y.

32

5 RESULTADOS

En esta sección se presentan los resultados obtenidos en simulación y la implementación del

sistema en físico, con el fin verificar el comportamiento dinámico del mismo. El objetivo es

experimentar con distintos escenarios de oscilación cambiando el parámetro , y apreciar el

fenómeno de la histéresis cuando la inductancia presenta saturación y contrastar dicho

comportamiento cuando no presenta saturación.

De manera general se listan los resultados que se mostrarán más adelante:

Comportamiento dinámico del sistema en físico, usando tarjeta de adquisición de datos y la

herramienta de software Labview

o Incluye gráficas de respuesta en tiempo.

o Incluye planos de fase

Simulación del modelo eléctrico sin incluir el fenómeno de la histéresis, en MATLAB.

o Incluye gráficas de respuesta en tiempo.

o Incluye Planos de Fase

Simulación de la histéresis usando la herramienta de simulación Pspice orCAD.

o Incluye gráficas de respuesta del circuito, en tiempo.

o Incluye curva de histéresis para cada núcleo.


INDUCATANCIA NO PRESENTA SATURACIÓN

A continuación se muestran los resultados obtenidos para 3 valores del parámetro

5.1.1 Gráficas obtenidas cuando .

Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %

0.6 1.0e+004 *(

1.1999 + 1.2674i

1.1999 - 1.2674i)

2.35 19.5

Tabla 12.

33

Figura 19. Respuesta en Tiempo, circuito. Labview

Figura 20. Respuesta en tiempo, modelo. Matlab

34

Figura 21. Plano de Fases, circuito. Labview.

Figura 22. Plano de Fases, modelo. Matlab

35

Figura 23. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice

5.1.2 Gráficas obtenidas cuando


1.5 1.0e+004 * (

0.4536 + 1.6853i

0.4536 - 1.6853i)

2.67 9

Tabla 13.

Figura 24. Repuesta en Tiempo, circuito. Labview

H(K1)*1000/(4*pi)

-7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

B(K1)/10000

-40m

0

40m

-60m

60m

36

Figura 25. Repuesta en tiempo, modelo. Matlab.

Figura 26. Plano de Fases, circuito. Labview.

37

Figura 27. Plano de Fases, modelo. Matlab.


5.1.3 Gráficas obtenidas en el caso que .


11 1.0e+004 *(

0.0239 + 1.7451i

0.0239 - 1.7451i)

2.8 1.76

Tabla 14.

H(K1)*1000/(4*pi)

-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

B(K1)/10000

-40m

-20m

0

20m

40m

38

Figura 29. Respuesta en tiempo, circuito. Labview

Figura 30. Respuesta en tiempo, modelo. Matlab.

39

Figura 31. Plano de Fases, Circuito. Labview.

Figura 32. Plano de Fases, modelo. Matlab

40


5.1.4 Resultados obtenidos cerca al punto de bifurcación


17 1.0e+004 *(

0 + 1.7453i

0 - 1.7453i)

2.86 0.287

Tabla 15.

Figura 34. Respuesta en tiempo, Circuito. Labview

H(K1)*1000/(4*pi)

-240m -200m -160m -120m -80m -40m -0m 40m 80m 120m 160m 200m 240m

B(K1)/10000

-2.0m

-1.0m

0

1.0m

2.0m

41

Figura 35. Respuesta en tiempo, Modelo. Matlab

Figura 36. Plano de fases, circuito. Labview

42

Figura 37. Plano de Fases, Modelo. Matlab



INDUCTANCIA PRESENTA SATURACIÓN

En esta sección se mostrarán los resultados obtenidos del comportamiento dinámico del sistema,

cuando la inductancia presenta saturación.

H(K1)*1000/(4*pi)

-300m -250m -200m -150m -100m -50m 0m 50m 100m 150m 200m 250m 300m

B(K1)/10000

-4.0m

-2.0m

0

2.0m

4.0m

43



0.6 N/A 4.81 23.28

Tabla 16.


Figura 40. Respuesta en Tiempo, modelo. Pspice

Time

2.000ms 2.100ms 2.200ms 2.300ms 2.400ms 2.500ms 2.600ms 2.700ms 2.800ms 2.900ms 2.992ms

V(R1:1)

-8.0V

-4.0V

0V

4.0V

7.9V

44




1.5 N/A 4.32 14.43

Tabla 17.


H(K1)*1000/(4*pi)

-120 -100 -80 -60 -40 -20 -0 20 40 60 80 100

B(K1)/10000

-400m

-200m

0

200m

400m

45

Time

2.0ms 2.1ms 2.2ms 2.3ms 2.4ms 2.5ms 2.6ms 2.7ms 2.8ms 2.9ms 3.0ms

V(R1:1)

-2.5V

0V

2.5V

-5.0V

4.9V

Figura 43. Respuesta en tiempo, modelo. Pspice.


5.2.3 Gráficas obtenidas cuando ., Cerca al punto de bifurcación


11 N/A 3.1 0.095

Tabla 18.

H(K1)*1000/(4*pi)

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

B(K1)/10000

-400m

-200m

0

200m

400m

46

Time

2.100ms 2.200ms 2.300ms 2.400ms 2.500ms 2.600ms 2.700ms 2.800ms 2.900ms 3.000ms2.008ms

V(R1:1)

-500mV

0V

500mV

-741mV

926mV

Figura 45. Respuesta en tiempo, circuito. Labview.

Figura 46. Respuesta en tiempo, modelo. Pspice

47


5.2.4 Gráficas obtenidas cuando .

Para este valor de resistencia, el sistema presenta una solución estable que tiende a cero.


17 N/A N/A N/A

5.3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL OSCILADOR DE

VAN DER POL, PARA INDUCTANCIA QUE NO PRESENTA SATURACIÓN

De acuerdo con los resultados y las gráficas obtenidas para cada escenario de oscilación, en esta

sección se presentan observaciones generales que describen en general el comportamiento del

oscilador.

De las Figuras 19-38 se observan los siguientes resultados


0.6 1.0e+004 *(

1.1999 + 1.2674i

1.1999 - 1.2674i)

2.35 19.5

1.5 1.0e+004 * (

0.4536 + 1.6853i

0.4536 - 1.6853i)

2.67 9

11 1.0e+004 *(

0.0239 + 1.7451i

0.0239 - 1.7451i)

2.8 1.76

17 1.0e+004 *(

0 + 1.7453i

0 - 1.7453i)

2.86 0.287

Tabla 19.

H(K1)*1000/(4*pi)

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

B(K1)/10000

-20m

-10m

0

10m

48

Se observa que la frecuencia del oscilador cambia, a medida que lo hace.

También se observa que las curvas en tiempo y en el plano de fases presentan mayor no

linealidad, cuando la parte real de los valores propios del sistema están más lejos del origen

(sobre el semi-eje real positivo). Esto se hace evidente al observar el indicador THD en la

tabla 19. De igual forma, la ubicación de los valores propios cerca al origen (sobre el semi-

eje real positivo) refleja un comportamiento casi lineal.

De acuerdo con las curvas de histéresis desarrolladas a través de Pspice orCAD y teniendo en

cuenta que para el núcleo 3E25 de la inductancia que no presenta saturación, el valor , y los valores de , se observa lo siguiente:

Se observan curvas de histéresis, que describen una trayectoria cerrada y presentan un

comportamiento no lineal, a pesar de presentar valores de inferiores a . Esto indica

que la no linealidad del oscilador repercute en el comportamiento del lazo de histéresis, en

la medida que obliga al núcleo seguir el comportamiento no lineal impuesto por la dinámica

del sistema. Esto se hace evidente al observar la ubicación de los valores propios del

sistema, en donde la parte real positiva de los valores propios está más lejos del origen

respecto a la parte real de los valores propios que reflejan un comportamiento casi lineal.

En la siguiente tabla se ilustran los resultados obtenidos,

Valor de [kΩ] Valores Propios [mT] THD %

Figura 23. 0.6 1.0e+004 *(

1.1999 + 1.2674i

1.1999 - 1.2674i)

50 19.5

Figura 28. 1.5 1.0e+004 * (

0.4536 + 1.6853i

0.4536 - 1.6853i)

40 9

Tabla 20.

Cuando la parte real positiva de los valores propios están muy próximos al origen, se

observa un comportamiento casi lineal.

Valor de [kΩ] Valores Propios [mT] THD %

Figura 33. 11 1.0e+004 *(

0.0239 + 1.7451i

0.0239 - 1.7451i)

1.2 1.76

Figura 38. 17 1.0e+004 *(

0 + 1.7453i

0 - 1.7453i)

1.6 0.287

Tabla 21.

También se observa que el parámetro de bifurcación está próximo a .

49

5.4 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL OSCILADOR DE

VAN DER POL, PARA INDUCTANCIA QUE PRESENTA SATURACIÓN

De acuerdo con los resultados y las gráficas obtenidas para cada escenario de oscilación, en esta

sección se presentan observaciones generales que describen en general el comportamiento del

oscilador cuando la inductancia presenta saturación.

De las Figuras 39-47 se observan los siguientes resultados


0.6 N/A 4.81 23.28

1.5 N/A 4.32 14.43

11 N/A 3.1 0.095

17 N/A 0 0

Tabla 22.

En cuanto a las curvas de histéresis, recordando para este núcleo 3E5 , se observa

un comportamiento que evidentemente ha alcanzado la saturación.

A pesar de que el valor de inductancia es el mismo para ambos núcleos, la frecuencia de

oscilación para el circuito que presenta saturación, aumentó. Esto evidentemente se

traduce en una disminución del valor nominal de inductancia, debido a la saturación del

núcleo. La distorsión de las señales de oscilación presenta un aumento en el indicador THD, en

comparación al caso que no presenta saturación. Esto evidencia la presencia de un efecto no

lineal más fuerte sobre el comportamiento dinámico del sistema, causado por la saturación

del núcleo. El parámetro de bifurcación también cambió, ocurre próximo a .

50

5.5 GRÁFICO COMPARATIVO ENTRE EL %THD PARA CADA OSCILADOR EN

FUNCIÓN DE

Figura 48. Cuadro Comparativo entre % THD vs , para ambos osciladores respecto a cada núcleo.

En la figura 48 se observa que el indicador %THD para el oscilador cuyo núcleo que no presenta

saturación siempre es menor en magnitud al indicador %THD para el oscilador cuyo núcleo

presenta saturación, esto tomando como referencia siempre el mismo valor de referencia . De

esta manera se corrobora y verifica que la presencia de la histéresis acentúa el comportamiento no

lineal dado por el comportamiento natural del oscilador cuya inductancia no presenta saturación.

0

5

10

15

20

25

0,6 1,5 11 17

%THD - Sin Saturación

%THD - Con Saturación

R3 [kΩ]

51

6. CONCLUSIONES

Como resultado de este trabajo se puede decir que el oscilador de Van der Pol es un ejemplo muy

práctico para la introducción al comportamiento y la teoría de los sistemas no lineales, ya que

presenta la existencia de ciclos límite, bifurcación y además un comportamiento no lineal en el lazo

de histéresis, dentro del núcleo magnético de cada inductancia que se implementó. Adicionalmente,

se corroboró que los criterios de estabilidad y análisis de las soluciones del sistema desde una

perspectiva lineal ya no tienen validez para describir completamente el comportamiento del sistema

y por tanto se hizo evidente abordar el análisis del oscilador a través de herramientas de software

que implementan métodos numéricos.

En el presente documento se hace evidente que el estudio y comprensión de los sistemas no lineales

no requiere de un estudio matemático riguroso, en cambio a través de herramientas de simulación y

de la implementación de un circuito se pueden apreciar y verificar la existencia de fenómenos de

carácter no lineal. En el aula de clases, este tipo de metodología podrá favorecer el entorno de

aprendizaje de los estudiantes ya que experimentalmente se podrá abordar la solución de la

ecuación de Van der Pol, se mostrarán las trayectorias de las variables de estado en el plano de fases

y se podrán contrastar los resultados con soluciones que generalmente presentan los sistemas

lineales.

Por otra parte, la ecuación de Van der Pol puede ser una herramienta muy práctica a la hora de

modelar un sin número de eventos naturales que presentan oscilaciones periódicas, ya sean físicos,

mecánicos eléctricos, biológicos etc., como por ejemplo: el arpa eólica, el rechinido de un cuchillo

en un plato, el ondear de una bandera, el latido de un corazón entre otros. En el caso del presente

trabajo, los coeficientes de la ecuación de Van der Pol estaban relacionados con variables eléctricas,

ya que el caso de estudio trataba de un oscilador eléctrico, para otro tipo de eventos periódicos el

procedimiento consiste en encontrar el modelo matemático que involucra las variables del

fenómeno en cuestión y verificar la validez del modelo.

Como trabajo futuro se propone desarrollar el modelo e implementar el circuito eléctrico para un

Oscilador de Van der Pol Forzado, es un sistema no lineal más complejo a través del cual se pueden

profundizar conceptos y consideraciones acerca del estudio de los sistemas no lineales.

52

7. BIBLIOGRAFÍA

[1]. Mayergoys, Isaak. Mathematical Models of Hysteresis and Their Applications. IEEE Academic

Press .New York 2003.

[2] Zhong, G. Implementation of Chua’s circuit with a cubic nonlinearity. IEEE Transactions on

Circuits and Systems, 41(12), pp. 934-941, 1994.

[3]. Muthuswamy, Bharathwaj. Introduction to Nonlinear Dynamics and Chaos Course. Web site:

http://myweb.msoe.edu/~muthuswamy/msoe-nonlineardynamics/

[4]. Banerjee. S. The Chua’s Circuit. Chaos Fractals and Dynamical Systems Course. NPTEL. Web

Site: http://nptel.iitm.ac.in/courses.php

[5]. Khalil, H. Nonlinear Systems. Prentice-Hall, New Jersey, 1996.

[6]. Boyce.E; DiPrima. R. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera. 4 Ed.

Limusa-Willey. México D.F 2000.

[7]. Simmons. G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas. 2 Ed. Mc Graw

Hill.Madrid 1999.

[8] Strogatz. S. “Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Books. Massachusetts 1994.

[9] Perko. L. “Differential Equations and Dynamical Systems”. 3Ed. Springer. New York 2001.

[10]. Banerjee. S. “Limit Cycles”. Chaos Fractals and Dynamical Systems Course. NPTEL. Web

Site: http://nptel.iitm.ac.in/courses.php

[11]. Jacek Izydorczyk.Extraction of Jiles and Atherton parameters of ferrite froms initial

magnetization curves. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. November of 2003.

[12] . Hirsch Morris, Smale Stephen, Devaney. Differential Equation, Dynamical Systems, an

Introduction to Chaos. 2 Ed. Academic Press, United States, 2004.

[13]. Borelli Robert, Coleman Courtney. Ecuaciones diferenciales Una perspectiva de modelación.

1 Ed. Oxford University Press, México, 2002

[14]. D.C. Jiles. Introduction to Magnetism and Magnetic Materials. Chapman & Hall. London,

1991

http://myweb.msoe.edu/~muthuswamy/msoe-nonlineardynamics/

http://nptel.iitm.ac.in/courses.php

http://nptel.iitm.ac.in/courses.php

A

ANEXO A – COMPARACIÓN ENTRE LA ECUACIÓN GENERAL DE VAN DER POL Y

LA ECUACIÓN OBTENIDA DEL MODELO ELÉCTRICO DEL OSCILADOR DE VAN

DER POL

Recordando la ecuación general de Van der Pol dada por

( )

Ecuación 59.

es un parámetro variable definido entre , y las características principales son las

siguientes:

Cuando en el plano de fases el sistema describe una solución de espiral

estable que tiende a 0.

En el instante en que el sistema describe un comportamiento críticamente estable y la

respuesta en tiempo se traduce en una respuesta sinusoidal pura cuyo periodo se encuentra

definido en el orden de los segundos.

Cuando el sistema en el tiempo describe una oscilación periódica de carácter no

lineal, que se hace más fuerte a medida que se aproxima al infinito. En el plano de fases

se observa la existencia de un ciclo límite atrayente.

Al definir , se puede escribir el modelo como un sistema de ecuaciones representado por

variables de estado así:

( )


y el sistema linealizado alrededor del punto de equilibrio (0,0) se encuentra dado por:

[

]

Ecuación 61.

Cuyos valores propios están dados por:

( √ )

Ecuación 62.

B

y los resultados obtenidos para algunos valores de son los siguientes:

Valores propios Periodo [s] Frecuencia de

Oscilación [Hz]

0 5 0.2

0.2 6.12 0.16

1 6.63 0.15

5

11.56 0.086

10

19.13 0.052

Tabla 23. Resultados Ecuación General de Van der Pol

de acuerdo con la tabla 23 se observa que a medida que aumenta y tiende a infinito el periodo de

la solución del sistema en tiempo también aumenta y se aproxima a infinito. Al observar en las

figuras 5, 6 y 7 la solución en tiempo y la solución de las trayectorias en el plano de fases para los

valores de previamente definidos, se evidencia la existencia de un fenómeno no lineal en función

del parámetro distorsión en la respuesta en tiempo y la presencia de un ciclo límite estable

atrayente, respectivamente.

Al retomar la ecuación obtenida para la implementación eléctrica del oscilador de Van der Pol, se

obtiene:

[

]

Ecuación 63. Ecuación Oscilador de Van der Pol

Si se define una variable auxiliar , de forma tal que , y adicionalmente , el sistema

descrito por la ecuación 63 se rescribe

[

]

Ecuación 64.

C

y el sistema linealizado alrededor del punto de equilibrio (0,0) se encuentra dado por:

[ ] [

] [ ]

Ecuación 65.

Cuyos eigenvalores están dados por:

( )

√

Ecuación 66.

Al comparar la ecuación 59 con la ecuación 63, se puede rescribir la ecuación 63 de la siguiente

manera:

(

)

Ecuación 67.

donde,

Para la implementación, se definió α, β, γ, ξ como coeficientes constantes dentro de la ecuación 67,

y el único parámetro variable, es el parámetro .

La aparición de coeficientes nuevos dentro de la ecuación 67 en comparación con la ecuación 59,

indudablemente se traduce un cambio en la dinámica del sistema. Esto se refleja en un aumento en

la frecuencia en la respuesta del mismo, aunque la forma de onda de la respuesta y la estructura de

las trayectorias que describen la solución del sistema en el plano de fases, se comportan de manera

similar.

Para la implementación es una resistencia variable definida entre , y las

características principales son las siguientes:

Cuando en el plano de fases el sistema describe una solución de

espiral estable que tiende a 0.

Cuando no se puede afirmar nada acerca de la estabilidad del sistema,

aunque la respuesta en tiempo se traduce en una respuesta sinusoidal pura cuyo periodo se

encuentra definido en el orden de los milisegundos

Cuando el sistema en el tiempo describe una oscilación periódica de

carácter no lineal, que se hace más fuerte a medida que se aproxima a cero. En el plano

de fases se observa la existencia de un ciclo límite atrayente.

D

y los resultados obtenidos para algunos valores de son los siguientes:

[kΩ] Valores propios Periodo [ms] Frecuencia de

Oscilación [kHz]

0.6 1.0e+004 *(

1.1999 + 1.2674i

1.1999 - 1.2674i)

0.425 2.35

1.5 1.0e+004 * (

0.4536 + 1.6853i

0.4536 - 1.6853i)

0.37 2.67

11 1.0e+004 *(

0.0239 + 1.7451i

0.0239 - 1.7451i)

0.356 2.8

17 1.0e+004 *(

0 + 1.7453i

0 - 1.7453i)

0.349 2.86

Tabla 24. Resultados Ecuación General de Van der Pol

de acuerdo con la tabla 24 se observa que a medida que disminuye y tiende a cero el periodo de

la solución del sistema en tiempo aumenta. Al observar en las figuras 12 a 37 la solución en

tiempo y la solución de las trayectorias en el plano de fases para los valores de previamente

definidos, se evidencia la existencia de un fenómeno no lineal en función del parámetro distorsión en la respuesta en tiempo y la presencia de un ciclo límite estable atrayente,

respectivamente.

E

ANEXO B - ENTREGABLE

A continuación se muestran fotografías del entregable final del presente trabajo. El entregable

incluye

Caja resistente.

Fuente de voltaje lineal regulada y aislada de 15V.

Dos osciladores de Van der Pol. El primero incluye una inductancia que no alcanza el nivel

de saturación, el segundo incluye una inductancia que alcanza el nivel de saturación.

Una salida análoga de señal, una salida de tierra, ambas tipo banana hembra. Para cada

oscilador.

Una perilla que permite variar el valor de resistencia de un potenciómetro. Para cada

oscilador.

Figura 49. Circuito en caja, con salidas de prueba

Figura 50. Circuito en caja, con salidas de prueba

F

ANEXO C – TOPOLOGÍA FUENTE IMPLEMENTADA

A continuación se muestra la topología implementada para la fuente, de acuerdo con las hojas de

especificaciones de los reguladores LM317 y LM337 de National Semiconductor.

Figura 51. Topología Fuente Regulada

Información general:

Fuente lineal, aislada y regulada.

Voltaje a la salida: 15 Voltios.

Corriente máxima: 25mA pico, por cada salida.

Rizado con carga: 15mA pico, por cada salida.

G

ANEXO D- IMPRESO

Figura 52. Circuito Impreso

histÉresis y oscilador de van der pol

Documents