1

HISTORIA

El ser humano ha sentido el deseo de contar antes, incluso, que el de escribir.

2000 AC.- los sumerios utilizaban una numeración en base 60.

1700 AC.- Se utilizaban ciertas ecuaciones de 2° para resolver problemas numéricos.

1500 AC.- Los egipcios conocen el álgebra rudimentaria.

450 AC.- Los griegos heredan el sistema babilónico, pero desarrollan el suyo. Pitágoras, es el

precursor en Grecia y Democrito desarrolla la teoría atómica del universo.

300 AC.- Arquimides, domina, pues ya maneja numeraciones muy grandes y acoto el pi.

Euclides establece el fundamento de la geometría clásica.

100 DC.- Los chinos resuelven ecuaciones y sistemas con el ábaco.

400 y 500 DC.- se extiende el 0 y la numeración de origen indio. Se da la base actual de número

y el álgebra y las matemáticas modernas.

628. - El matemático indio Brahmagupta habla por primera vez del cero como el inverso del

infinito.

En los siglos X y XI.- Dominan los musulmanes como el algebrista Kamil y el matemático Al

Uqlidisi que estudia fracciones decimales.

1202. - El matemático italiano Leonardo de Pisa sienta las bases de álgebra occidental al fundir

la musulmana e indias en su Liber abaci.

1500. - Se dan los mayores avances aparecen Galileo, Copernico, Cardan y Tartaglia.

1582. - El holandés Simón Stevin, escribe la teoría general de fracciones decimales. Utilizando

paréntesis.10 años después el suizo Jost Burgi utiliza él, pero en el mismo año el italiano

Maginito cambia por el punto decimal que ahora conocemos.

1594. - John Napier, escocés, descubre los logaritmos.

1637. - Aparece la teoría de la geometría analítica de Rene Descartes y este da el uso en el

álgebra de (x, y, z) y las (a, b, c.

1654. - Fermat y Pascal, comienzan el estudio del calculo de probabilidades.

1672. - Leibniz inventa el calculo diferencial e integral.

2

1807 a 1822. - Joseph Fourier estudian las series trigonometricas que ayudarían posteriormente a

la física.

1829 a 1859. - Nace la geometría No Euclidiana por Lobatchewski, Bolilla y Rieman.

1830. - Evariste Galois crea la teoría de los grupos.

1840. - Francia es el primer país en adquirir el sistema métrico decimal de manera obligatoria.

1858. - EL ingles Arthur Cailey crea el calculo matricial.

1913. - El español Leonardo Torres Quevedo inventa el primer aritmómetro electromecánico.

1948. - Kurt Herzstaek de Liechteinstein inventa la primer calculadora mecánica portátil llamada

Curta.

1975. - Sharp y Hewlett packard lanzan las primeras calculadoras programables de bolsillo

precursoras de las actuales calculadoras profesionales.

VER ANEXO N° 1. - Tabla comparativa de numeraciones.

3

NUMERACIÓN.

Sistema de reglas y convenios que permiten representar los números.

El sistema que actualmente usamos es el sistema de numeración decimal, de origen indo arábigo

y tiene las siguientes propiedades:

1. - Es de base 10 (de 10 en 10.

2. - Emplea de base 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

3. - Posicional.- Según el lugar que ocupa la cifra tiene un valor relativo: unidad, decena,

centena, etc.

4. - Es multiplicativo, según la potencia.

5. - Es aditivo.- Cada numero es la suma de valores relativos de sus cifras.

NUMEROS NATURALES.

Es el conjunto de números que empleamos para contar y son desde el 1 hasta el infinito.

NUMEROS ENTEROS.

Esta formado por números naturales distintos de cero y partir de su derecha, que son los

positivos vale mas si están mas lejos del cero.

Y también los distintos de cero pero hacia la izquierda y se le antepone un signo negativo y es

más pequeño o vale menos mientras más se separe del cero.

NUMEROS RACIONALES.

Son aquellos que pueden expresarse en forma de cociente o quebrado o fracción. También

incluye positivos y negativos enteros y su fracción decimal es periódica.

NUMEROS IRRACIONALES.

No se expresan como cociente sino como radical, puede ser positiva o negativa y su fracción no

es periódica sino infinita.

NUMEROS REALES.

Es la unión de los racionales y de los irracionales.

4

REGLA DE LOS SIGNOS.

+ + = +

+ - = -

- + = -

- - = +

PROPIEDADES BASICAS DE LOS NUMEROS NATURALES.

Conmutativa.- El orden de los factores no altera el producto.

Asociativa.- No importa el orden de las operaciones dará el mismo resultado.

Distributiva.- LA operación es igual que el resultado y viceversa.

Identidad.- Se considera a la unidad (1).

VALOR ABSOLUTO.

Es lo que vale un número desde el cero hasta donde este, no importa su signo.

NUMEROS SIMÉTRICOS U OPUESTOS.

Son cuando tienen el mismo valor absoluto y signo contrario, El cero se considera como origen.

MÚLTIPLO DE UN NÚMERO

Es si al efectuar una división esta es exacta.

NUMEROS PRIMOS.

Es un numero natural que solo es divisible entre la unidad y el mismo.

5

EJERCICIOS BÁSICOS

Será indispensable hacer un repaso de las tablas de multiplicar.

5+16 =

9+2+19+5=

(8+4)-(6+1) =

45-(22+7) =

(11-6) + (17+3) + (-21+3) =

FRACCIONES O QUEBRADOS

FRACCIONES COMUNES.

Expresión que representa una o varias partes de la unidad. Esta formado por un numerador que

indica las partes que se tienen de un entero y el denominador que nos indica las partes en que se

dividió al entero

1 NUMERADOR

2 DENOMINADOR.

FRACCION PROPIA.

El numerador es menor que el denominador, por lo tanto su valor es menor a la unidad.

FRACCION IMPROPIA.

El numerador es mayor que el denominador y siempre será mayor a la unidad.

FRACCION MIXTA.

Esta formada por una parte entera y una fraccionaria.

5

6

3

6

Para transformarla a una fraccionaria impropia se hace lo siguiente:

(6) (3) + 5

18 + 5 = 23

23 Será el resultado.

6

FRACCION EQUIVALENTE.

Se da si se multiplica el numerador y el denominador por un mismo numero y da el mismo

resultado en ambas operaciones. También si al dividir el numerador y el denominador por el

mismo numero las divisiones son exactas.

FRACCIONES CON IGUAL DENOM INADOR

Se pone el Denominador común y se hace la operación normal de suma o resta.

FRACCIONES CON DENOMINADOR DIFERENTE.

Se debe de descomponer en números primos.

TRANSFORMACIÓN DE FRACCIONES COMUNES A DECIMALES Y VICEVERSA.

Se divide el numerador entre el denominador y el resultado se llama fracción decimal.

Para elaborar el procedimiento al revés se hace lo siguiente:

Se coloca al numero que es decimal y se coloca en la parte de abajo un denominador uno y

tantos ceros como decimales existan.

EJEMPLO:

.454 454 227

123 numero de Decimales 1000 500

Cuando el decimal es periódico se hace lo siguiente:

Se coloca el decimal pero en lugar de poner unos y ceros se colocan nueves y ceros.

7

EJEMPLO:

.12 12

99

.3333 3333

9999

.012 12

990

.00333 333

99900

PARTES DE LAS OPERACIONES

SUMA:

SUMANDO

+ SUMANDO

SUMA

RESTA:

MINUENDO

- SUSTRAENDO

RESTA O DIFERENCIA

MULTIPLICACIÓN:

FACTOR

x FACTOR

PRODUCTO

MULTIPLICADO

X MULTIPLICADOR

PRODUCTO

8

DIVISIÓN:

DIVISOR, DIVIDENDO, COCIENTE, RESIDUO, CASILLA O GALERA.

REDONDEO.

Se realiza llevando el numero a su valor mas aproximado si este iguala o rebasa al 5 se lleva ala

unidad próxima superior y si el decimal es menor de 5 se baja a la unidad próxima menor.

EJEMPLO:

4.5 = 5

4.4 = 4

POTENCIAS.

La potencia es de la manera más sencilla la que nos indica cuantas veces es multiplicado un

número por el mismo. Ejemplo:

52 nos indica la siguiente operación 5 * 5

44

nos indica que la operación seria 4 * 4 * 4 * 4

Esta formada por dos elementos

BASE POTENCIA

SIGNOS USADOS EN LA ARITMÉTICA.

Signos de operación.- son todos aquellos que nos llevan a realizar una suma, resta,

multiplicación, división, en fin cualquier operación. ( +, -, *, ÷ ).

Signos de agrupación.- Paréntesis, corchetes, llaves, vinculo o barra y son los que

utilizamos para resolver operaciones dentro de las operaciones. ( ( ), [ ] , {} ,- )

Signos de igualación.- Son el igual, el mayor que, el menor que, desigual. Todos

aquellos que nos ayuden a comparar un número con otro. ( =, <, >,≤ ,≥ , ≠ ).

9

EJERCICIOS:

54209 + 1349 + 10000 + 4000 + 6250 =

810 + 700 + 560 + 90 =

20180 + 14208 + 452.09 + 29314 + 81.64 =

14 + 0.9 + 20 + 42 + 80 + 300 + 0.23 =

73 – 5.4 =

18564 – 5610 =

1215 – 84.3 =

895543 - 56470 =

6 [3 + (5 – 1) 2] =

63.783 * 4.05 =

2.8248 * 1.46 =

123.068 * 16.23 =

625.412 * 80.309 =

92.36 ÷2.6 =

28714 ÷ 14 =

10

1016 ÷ 5.08 =

284.6 ÷ 7 =

OPERACIONES FRACCIONARIAS.

2 + 5 + 11 =

4 8 12

13 + 3 + 8 =

6 15 5

3 + 5 =

7 4

5 + 13 =

12 9

7 + 5 - 6 =

11 2 33

7 - 1 - 4 =

8 3 12

5 x 3 =

9 12

11

7 x 2 =

1. 5

3 x 1 x 4 =

2 6

12 ÷ 2 =

3 5

4 ÷ 6 =

7 9

11 ÷ 9 ÷ 8 =

8 4 5

RAZONES Y PROPORCIONES

La razón es la relación existente entre dos cantidades de la misma especie.

Proporción es la igualdad entre dos razones. Se podría decir que existen dos tipos de proporción

la directa y la inversa.

DIRECTA

Se da cuando a mayor cantidad de un, exige mayor cantidad de la otra; a sí se hace menor una la

otra disminuye también.

12

EJEMPLO

Si 8 cuadernos me cuestan $16.00. ¿Cuanto pagare por:

Caso 1. - 14 cuadernos. ?

Caso 2. - 6 cuadernos. ?

Caso 1.

8 - 16 14 * 16 = 224 = $28.00

14 - X 8 8

Caso 2.

8 - 16 16 * 6 = 96 = 12

6 - X 8 8

INVERSA

Es inversa cuando una mayor cantidad exige menos de la otra.

EJEMPLO:

Si 5 hombres se tardan 18 días, ¿Cuanto se tardaran 12 hombres?

5 - 18 5 * 18 = 90 = 7.5 = 8 Días

12 - X 12 12

13

COMPUESTA

Una expedición en África consta de 1200 personas y tienen víveres para 30 días a razón de 3

raciones diarias, si la expedición se refuerza con 800 personas mas, ¿Cuantos días duraran los

víveres? Si cada persona toma dos raciones diarias.

DATOS

P1 = 1200

d1 = 30

r1 = 3

P2 = (1200+ 800 ) = 2000

d2 = X

r 2 = 2 raciones

d2 = (1200)(3)(30) = 108000 = 27 Días

(2000)(2) 4000

EJERCICIOS.

Un tren recorre 624 Km en 3 horas. ¿Qué distancia recorrerá en 5 horas?

624 - 3 624 * 5 = 3120 = 1040 Km/hrs.

X - 5 3 3

Si 8 hombres terminan una obra en 10 días. ¿Cuántos hombres terminaran el mismo trabajo en 4

días?

Un submarino lleva provisiones para 64 días, con una tripulación de 36 hombres, ¿cuánto le

duraran las provisiones sise aumenta la tripulación a 40 hombres?

Un obrero recibió $1,200.00 por 40 días de trabajo, ¿Cuánto dinero hubiese recibido si trabajara

8 días menos?

14

70 hombres tienen provisiones para 18 días a razón de 3 raciones diarias. Si las raciones se

disminuyen a 2 diarias y se aumentan 15 hombres al grupo, ¿cuantos días duraran los víveres?

d = (70)(18)(3) = 3780 = 22 Días

(85)(2) 170

OTRO PROCEDIMIENTO

3780 raciones en 18 días

3060 (85)(2)(18)

1 raciones

÷ 2 al DIA

2 días mas

÷ 85 hombres

4.23 días

18 días originales más 4 igual a 22 días

TANTO POR CIENTO

Se toma como base que la cantidad se dividió en 100 partes iguales.

15

ÁLGEBRA

Rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para resolver problemas

similares o semejantes al igual que en la aritmética se pueden hacer operaciones de suma, resta,

multiplicación, división, fracciones, potencias, pero con la diferencia de ser con letras.

Las letras utilizadas son todas las letras del abecedario pero tienen una separación, las primeras

como son la a, b, c, d, e,......,se utilizan para datos ya conocidos y las ultimas z,w,x, y para

incógnitas y los datos desconocidos. También existen las constantes que son los signos o letras

con valores preestablecidos como el p = 3.1416.

LENGUAJE ALGEBRAICO

LENGUAJE COMUN LENGUAJE ALGEBRAICO

Tres objetos cualesquiera x,y.z

El cubo de un numero menos el doble w3

- 2w

del mismo numero.

Los signos de agrupación, operación y de relación que se utilizan en el álgebra son

exactamente los mismos pues solo en vez de números se utilizan también las letras.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Representación de literales y números que forman términos.

TERMINO.

Cualquier parte de la expresión algebraica pero que no esta dividida o separada por un signo de

operación.

16

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO.

5ax2

* Signo +

* Coeficiente numérico 5

* Coeficiente literario ax

* Potencia 2

GRADO DE UN TERMINO

GRADO ABSOLUTO.

Es el que se obtiene de sumar las potencias de las literales que forman el término.

Ejemplo:

5ax

El grado absoluto será de dos, en otras palabras de segundo grado. Se supone que sino tiene

numero, en la potencia, la literal el valor es uno.

GRADO RELATIVO.

Es la potencia mayor de cualquier literal que tenga el termino.

5ax6y2

Será de primer grado con respecto a la literal “a”.

Será de sexto grado con respecto a la literal “ x “.

Será de segundo grado con respecto a la literal “ y “.

17

CLASES DE TERMINOS.

Enteros :

3d , 5adf , agh.

Fraccionarios :

, 5adf , agh.

5a 2x ab

Irracional :

v 2xy , 3/ vab.

Homogéneos :

Con respecto al valor absoluto.

Heterogéneos :

Con respecto al valor absoluto.

Semejantes :

Misma literal pero diferentes coeficientes numéricos.

No semejantes:

Cuando no se parece en nada un termino con otro.

Nulo :

Cuando su literal o exponente es cero.

CLASIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Monomio.- Un termino

Polinomio.- Mas de dos términos.

18

Trinomio.- Tres términos.

Binomios.- Dos términos.

GRADO DE UN POLINOMIO.

Absoluto.- Se determina por el exponente mayor de uno de sus términos; ejemplo :

a4 + y3 + z2

Será de cuarto grado por ser la letra “a “ la de mayor potencia.

Relativo.- Con respecto a las literales que lo forman:

De cuarto grado con respecto a la literal “a”.

De tercer grado con respecto a la literal “ y “.

De segundo grado con respecto a la literal “ z “.

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Cuando se sustituyen los valores conocidos de las literales que forman al polinomio y nos da

como resultado un numero.

EJERCICIOS

SUMAS Y RESTAS O REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES.

12ac + 8ac + 3ac =

2mn + 6mn – 5mn =

15ax2 + 2y – 3ax

2 + y +2 – 8ax

2 =

8a - [ 4b – 11c +2 – ( 3b + 2c – 7 ) +3a] =

5a - { 3b – 8c – [ a + 2c + 6b – ( b – c ) – 3a ] – 5c } =

19

MULTIPLICACIONES

a( x – y ) =

a( ab + b2 ) =

ab( ab2c

3 + 14d ) =

3abc( 5ab2c

3 +3d

6 ) =

( a +b ) ( c +d ) =

( a + b ) ( a + c ) =

( a + b ) ( a + b ) =

( 2x +1 ) ( 3 – x ) ( x + 5 ) =

Los exponentes se suman y sino existen se le agregan

DIVISIONES

24 a 2b

4 =

6ab

2

21 x3 =

7x

32 x2 y =

8 x4 y

3

10 m2n =

5n

8x4

– 6x3

+ 2x2 =

2x2

20

9y5 + 6y

8 + 3y

2 =

-3y3

DIVICION DE POLINOMINOS.

a5

+ a4 + 2 a

3 =

a2

+ a

a 3 + 5 a

2 + 6 a =

a2 + a + 2

x3

+ 5x2 + 9x – 2 =

x2 + 2x – 1

x3 +10x

2 + 12x =

x2 + 4

6x4 – 19 x

3 + 16x

2 – x – 2 =

2x2 – 3x -1

21

PRODUCTOS NOTABLES.

Son operaciones que por su forma tienen una mecánica ya establecida que hace mas fácil dar o

encontrar la solución, sin necesidad de utilizar multiplicaciones.

CUADRADO DE UN BINOMIO

BINOMIO AL CUADRADO.

( a + b ) ( a + b) ó ( a + b ) 2 = a

2 + 2ab + b

2

( 7x + 5yz )2 =

( 3m2n + 2xy )

2 =

( x2y – 3z )

2 =

DIFERENCIA DE CUADRADOS Ó BINOMIOS CONJUJADOS.

( x2 + 5 ) ( x

2 – 5 ) = ( x

4 – 25 )

( 7xy + z ) ( 7xy – z )

( a2 + x

2 ) ( a

2 – x

2 ) =

( a + b ) ( a – b ) =

CUADRADO DE UN POLINOMIO.

Es la suma delos cuadrados de cada termino mas el doble producto de todos los términos

tomando de dos en dos.

( k + l + m )2 = k

2 + l

2 + m

2 +2 kl +2km + 2lm

( a +2b – 3c )2 =

( 2x – 3y – 5z )2 =

22

BINOMIO CON TERMINO COMÚN.

( m + 2 ) ( m + 5 ) = m2 + 7m + 10

(x + 6 ) ( x – 3 ) =

( 3ax + 1 ) ( 3ax + 4 ) =

( 3 – k ) ( 8 – k ) =

( 4 - x2y ) ( 6 – x

2y ) =

CUBO DE UN BINOMIO.

( m + n )3 ó ( m + n )

2 ( m + n ) = m

3 + 3 m

2n + 3 mn

2 + n

3

( a3 + b

3 )

3 =

( 2ª + 3 )3 =

( a – 1 )3 =

( -m2 – n

2 ) =

( 4ª + 6 )3 =

( x2 – ay )

3 =

( 6 a2

+ 2b2c )

3 =

( x - 5 )3 =

( 2mn – 4 )3 =

( x + 3 )3 =

( 8 a4b

6 – 3c

5d

6 )

3 =

NOTA: Cuando el signo del binomio es ( - ) el termino segundo y cuarto son negativos y cuando

los dos signos del binomio son negativos en el resultado todos los signos serán negativos.

23

FACTORIZACION.

Es la operación inversa de la multiplicación ya que al descomponer un termino podemos

encontrar los factores que lo formaron.

.

Factor.- cada uno de los elementos que al multiplicarse dan un producto.

Para encontrar el factor por el que vamos a dividir se requieren encontrar primero los siguientes

elementos

LC .- Literal común

NC .- Numero común

El exponente de la literal también deberá ser común. De estos elementos se formara el FC .-

factor común.

ax + ay + az

LC .- a

NC .- 1

FC .- a

ax + ay + az

a a a

Resultado .- x + y +z

4ab2c + 6abc +10 a

2b

3c

4

14 x4y

6z

2 + 8x

5y

3z + 7x

8y

7z

6

FACTORIZACION.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Este es el resultado de un binomio al cuadrado y su esquema seria x2 + 2xy + y

2 donde su

factorizacion se desarrolla de la siguiente manera. Se saca la raíz cuadrada del primer termino

se coloca el signo del segundo termino y se saca la raíz cuadrada del tercer termino de tal forma

que el resultado del ejercicio es ( x + y )2.

24

EJEMPLO :

16x2 + 16x + 4

Resultado :

( 4x + 2 )2

Ejercicios :

25x2 – 30xy + 9y

2

1 – 2 a + a4

9x2 + 30x + 25

4x2 – 12x + 9

x4 – 18x

2 + 81

c2 – 14c + 49

m2 – 2mn + n

2

TRINOMIO DE LA FORMA. x2 + bx + c =

Esta factorizacion es muy sencilla ya que solo se tienen que buscar dos números que al

multiplicarse nos den como resultado el tercer termino y se abren dos paréntesis donde se coloca

la literal común en ambos.

x2 + 11x + 24 =

(x + 3 ) ( x + 8 )

EJERCICIOS :

m2 – 7m + 10 =

a2 + 3 a - 28 =

m2 + 7m + 6 =

25

x2 – x – 2 =

y2 – 6y – 27 =

y2 – 9x + 18 =

DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Es de las más sencilla, pues solo se obtienen las raíces cuadradas de los términos que están a los

extremos. Se abren dos paréntesis y se colocan los resultados pero a uno se le pone el signo de

suma y al otro de resta.

Nota.- Cuando no se obtiene una raíz exacta en el paréntesis queda representada la raíz cuadrada

en el termino que corresponda.

4x2 – y

2

RESULTADO :

( 2x + y ) ( 2x – y )

EJERCICIOS :

25 a4 – 49

8y2 + 7z

2

m2 – 9n

2

16x2 – 36y

2

49 – x2

NOTA : Resolver las evaluaciones anexas.

26

ECUACIONES.

Igualdad. Donde existen letras desconocidas y se llaman lncognitas. Se representan por lo

general con las ultimas letras del abecedario. La igualdad se establece cuando dichos valores

satisfacen la ecuación.

La base de la ecuación es el símbolo ( = ) ya que es la división entre las partes que la forman

llamados miembros el primero esta antes del signo igual y el segundo después de dicho signo.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Estas ecuaciones son de las más simples su forma es la siguiente.

ax + b = 0

Donde “ b” , es un numero cualquiera y “ a” es un numero diferente de cero.

Primero se pasan todas las incógnitas hacia el lado izquierdo y todos los números al lado

derecho.

Posteriormente se reducen los términos semejantes y se despeja la incógnita realizando una

división.

15x –24 = 3x

15x – 3x = 24 15 ( 2 ) – 24 = 3 (2 )

12x = 24 30 – 24 = 6

x = 24 6 = 6

12

x= 2

EJERCICIOS.

X + 11 = 23 +5x

3( x – 5 ) – 4 ( x – 6 ) = 9

x – a + 2 = 2ax –3x +5a

27

ECUACIONES SIMULTANEAS DE 1° GRADO CON DOS INCÓGNITAS.

Son simultaneas porque el resultado de una incógnita satisface en ambas ecuaciones.

Existen varios métodos algebraicos para dar solución a este tipo de ecuaciones como:

REDUCCIÓN.

IGUALACIÓN.

SUSTITUCIÓN.

Por determinantes y método grafico.

EJEMPLO.

IGUALACIÓN:

7x + 4y = 13 ecuación n ° 1

5x – 2y = 19 ecuación n ° 2

DESARROLLO:

n ° 1.- x = 13 – 4y n ° 2 .- x = 19 +2Y

7 5

13 – 4y = 19 + 2y

7 5

5 ( 13 – 4y ) = 7 ( 19 + 2y )

65 – 20y = 133 + 14y

-20y –14y = 133 – 65

-34 y = 68

y = 68

-34

y = -2

28

COMPROBACION :

7x + 4 ( -2 ) = 13 5 ( 3 ) – 2 ( -2 ) = 19

7x – 8 = 13 15 + 4 = 19

7x = 13 +8 19 = 19

x = 21

7

x = 3

SUSTITUCIÓN

7x + 4y = 13 ecuación n ° 1

5x – 2y = 19 ecuación n ° 2

DESARROLLO:

n ° 1.- x = 13 – 4y

7

En la segunda ecuación se inserta la primera.

5 ( 13 – 4y ) – 2y = 19

7

65 – 20y - 2y = 19

7

9.2 – 2.8y – 2y = 19

- 4.8y = 19 – 9.28

-4.8y = 9.8

y = 9.8

- 4.8

y = - 2

29

5x – 2 ( -2 ) = 19

5x + 4 = 19

5x = 19 – 4

x = 15

5

x = 3

COMPROBACIÓN.

5 ( 3 ) – 2 ( -2 ) = 19

15 + 4 = 19

19 = 19

REDUCCIÓN.

7x + 4y = 13

5x – 2y = 19

Se deben de buscar dos números que al ser multiplicados eliminen a un termino en comun.

2 ( 7x + 4y = 13 )

3 ( 5x – 2y = 19 )

14x + 8y = 26 5 ( 3 ) – 2y = 19

20x – 8y = 76 15 – 2y = 19

34x = 102 -2y = 19 - 15

x = 102 y = 4

34 -2

x = 3 y = - 2

30

COMPROBACIÓN.

7 ( 3 ) + 4 ( -2 ) = 13

21 – 8 = 13

13 = 13

EJERCICIOS :

18x + 5y = -11

12x + 11y = 31

9x + 11y = -14

6x – 5y = -34

3x – 4y = 41

11x + 6y = 47

6x – 5y = - 9

4x + 3y = 13

16x + 10y = 30

8x – 3y = 15

22x – 6y = 10

8x + 2y = 22

5x – 12y = 36

9x + 5y = 45

6x – 5y = -9

4x + 3y = 13

31

11x – 9y = 2

13x – 15y = -2

18x + 5y = -11

12x + 11y = 31

7x – 15y = 1

-x - 6y= 8

ECUACIONES DE 2° GRADO Ó CUADRÁTICAS.

Es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es dos.

Las encontramos completas cuando son de la forma.

ax2 + bx +c = 0

Serán incompletes cuando carecen del Segundo termino:

ax2 + c = 0

En este caso solo se verán las completas y se resolverán por medio de la formula general.

Lo primero será identificar la ecuación

3x2 – 7x + 2 = 0

a b c

Es muy importante que se fije que esta igualada a 0.

Los números pasan con el signo que tienen en la ecuación.

FORMULA GENERAL.

X = - b ± b2 – 4ac

2a

32

x = - ( -7 ) ± (-7)2 - 4(3)(2)

2(3)

x = 7 ± 49 – 24

6

x = 7 ± 25

6

x = 7 ± 5

6

x1 = 7+5 = 12 = 2

6 6

x2 = 7-5 = 2 = 1

6 6 3

Estos dos resultados x1 y x2 anulan la ecuación.

3(2)2 – 7(2) + 2 = 0

3(4) – 7(2) + 2 = 0

12 – 14 + 2 = 0

14 – 14 = 0

0 = 0

3 (1 )2 – 7 ( 1 ) + 2 = 0

3 3

3( 1 ) – 7 + 2 = 0

9 3

3 – 7 + 2 = 3 – 21 + 18 = 21 – 21 = 0

9 3 9 9

0 = 0

33

EJERCICIOS:

X2 – 6x + 9 = 0

4x2 + 3x – 22 = 0

9x2 – 12x + 4 = 0

x2 = 16x – 63

3x2 – 5x + 2 = 0

4x2 +3x –22 = 0

x2 + 11x = -24

32x2 +18x –17 = 0

8x2 –2x – 3 = 0

8x + 5 = 36x2

34

EVALUACIONES.

Evaluación n ° 1

1 .- Realiza las siguientes operaciones :

( 2b + 3 + 5ab2c

3 ) ( 2abc ) =

( x + 3 ) (x + 8 ) =

x3 + 5x

2 + 9x – 2 =

x2 + 2x – 1

4x3 – 12x

2 + 8x =

2x

2a + [ - 3x – 5a + ( - 4a + 8x ) + 7 ] – 4 ( a + x 10 ) =

2.-Contesta las siguientes preguntas :

1.- ¿Cual es el valor absoluto de los siguientes monomios ?

a6b

4cd

2

xy8z

2.- ¿Cuáles son las partes que forman un termino?

3.- ¿ Menciona tres clases de términos?

4.- ¿Cuáles son los signos que se utilizan en el álgebra ?

5.- Realiza las siguientes evaluaciones algebraicas:

a2 + b

3 + c

4 =

Si a = 2 , b = 3 y c = 4

35

Evaluación n° 2.

Debes de identificar la operación y desarrollarla.

3a + 2b – c + ( 2 a +3b + c ) =

3x2 – 4xy + y

2 + ( -5xy + 6x

2 –3y

2 ) + ( -6y

2 –8xy – 9x

2 ) =

5x –7y +8 – ( y –6 + 4x ) ( 9 –3x +8y ) =

3x3 –x

2 ( -2x ) =

a + 3 ( a – 1 ) =

7x –3 ( 4 + 2x ) =

-8 a2x

3 =

-8 a2x

3

am4 – am – 2 a =

am + a

-6 + a2 + 5a =

a + 2

m2 – 2mn – 8n

2

Si m = 2 y n = -2

c5 – 5c

4d + 20c

2d

3 =

Si c = 4 y d = 3

36

16mn4 – 2mn + m

5n =

Si m = 8 y n = 4

( x + 5 ) ( x – 5 )

( 3ab – cd )2

( 2x + 3 ) ( 2x + 7 )

( m2 – 9 n

2 )

x4 – 18 x

2 + 81

y2 – 6y – 27