la numeraciones escrita mas difundida

7/23/2019 La Numeraciones Escrita Mas Difundida

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La Numeraciones Escrita Mas Difundida

Parto de la base que a ninguno de ustedes, lectores de este libro, constituye ungran esfuerzo escribir cualquier número entero; por ejemplo, dentro de loslímites de un millón. Para la escritura de los números, empleamos los diez bien

conocidos signos 1, 2, , !, ", #, $, %, &, ', llamados; cifras. ()ora nadie dudaque, con la ayuda de estos diez signos *cifras+ podemos escribir un número, yasea muy grande o muy pequeo, entero o fraccionario.

-os números del uno al nuee, los escribimos con la ayuda de sólo una de las;nuee primeras cifras. Para la escritura de los números del diez al noenta ynuee, necesitamos ya de dos cifras, una de las cuales puede ser tambi/n elcero, y así sucesiamente.

0omo base de la numeración tomamos el número diez, por lo que nuestrosistema de numeración se llama decimal.

s decir, que diez unidades simples *unidades de primer orden+ forman unadecena *una unidad de segundo orden+, diez decenas forman una centena *unaunidad de tercer orden+, diez centenas forman un millar *una unidad de cuartoorden+ y, en general, cada diez unidades de cualquier orden forman una unidaddel orden inmediato superior.

n muc)os pueblos los sistemas de numeración eran decimales. so est3relacionado con el )ec)o de que tengamos diez dedos en nuestras manos.n la escritura de los números, en el primer lugar de la derec)a escribimos lacifra correspondiente a las unidades; en segundo lugar, la cifra de las decenas;luego la de las centenas, despu/s la de los millares, etc. (sí, por ejemplo, laescritura de 2$1# denota que el número se compone de 2 millares, $ centenas,! decenas y # unidades.

4i un número carece de unidades de determinado orden, en el lugarcorrespondiente escribimos un cero. (sí, el número que tiene tres millares ycinco unidades, se escribe. ''". n /l no e5isten decenas ni centenas, esdecir, las unidades de segundo y tercer orden; por tal razón, en los lugaressegundo y tercero de la derec)a escribimos ceros.

67u/ particularidad notable podemos encontrar en el sistema de numeraciónque siempre )emos usado8

n el caso, por ejemplo, del número 1!$!2, usamos dos eces la cifra !9 en elsegundo y en el cuarto lugar de la derec)a. n tanto que una ez representa !decenas, la otra representa 1 millares. n consecuencia, resulta que unamisma cifra puede denotar tanto cantidades de unidades, como cantidades dedecenas, de centenas, de millares, etc. en función de la posición que ocupe lacifra en la escritura del número. :e aquí precisamente que nuestro sistema denumeración se llame posicional.



olamos al número 2$!#, del cual )emos )ablado antes. n /l, la primera cifrade la derec)a *la cifra #+ representa # unidades, la segunda cifra de la derec)a*!+ representa ! decenas, es decir, el número!' < ! = 1',

la tercera cifra de la derec)a *$+ representa $ centenas, o sea, el número$'' < $ = 1' = 1' < $ = 1' 2 ,

y finalmente, la cuarta cifra *2+ representa 2 millares, es decir, el número2''' < 2 = 1' = 1' = 1' < 2 = 1'

l mencionado número puede ser escrito, pues, así92$!# < 2''' > $'' > !' > # < 2 == 1' > $ = 1' 2 > ! = 1' > #

0ada tres órdenes en un número constituyen una clase. -as clases se cuentan

siempre de derec)a a izquierda. Primero est3 la llamada primera clase,constituida por las unidades, decenas y centenas; despu/s la segunda clase,con los millares, las decenas de millar y las centenas de millar9 luego la terceraclase, constituida por los millones, las decenas de millón y las centenas demillón, etc.

Pensemos un poco en esta cuestión9 6 Por qu/ se efectúan tan r3pida yf3cilmente con los números las cuatro operaciones aritm/ticas9 adición,substracción, multiplicación y diisión89 stas entajas nos son ofrecidas,lógicamente, por el citado principio posicional de la escritura de los números.n efecto, al )acer una operación aritm/tica cualquiera con números,trabajamos con las decenas, centenas, millares, etc., como si fueran unidades,y sólo al obtener el resultado final tenemos en cuenta su orden. (sí, para la escritura de los números, empleamos el sistema decimal posicionalde numeración. l famoso físico y matem3tico franc/s -aplace *siglos ?@@@A?@?+, escribió acerca del sistema9 -a idea de representar todos los númeroscon diez signos, asign3ndoles adem3s de un alor por su forma otro por suposición, es tan sencilla, que en irtud de esta sencillez resulta difícilimaginarse en qu/ medida es admirable esta ideaBB. ()ora casi toda la )umanidad utiliza este sencillo sistema de numeración, cuyoprincipio de construcción y trazo de cifras aparecen con id/nticas propiedades

pana tolo mundo.

60ómo surgió este e5traordinario sistema de numeración decimal posicional8Co obstante su sencillez, los )ombres necesitaron arios miles de aos parallegar a /l. Co ser3 una e5ageración si decimos que todos los pueblos delmundo tomaron parte en la creación de dic)o sistema.@nicialmente el sistema decimal posicional de numeración apareció en la @ndia,y ya a mediados del siglo @@@, se usaba a)í ampliamente. Por esa misma/poca, tambi/n surge en 0)ina y otros países del Driente. -os europeosadoptaron este sistema )indú de numeración en el siglo ?@@@, debido a lainfluencia 3rabe. :e aquí surgió, precisamente, la denominación,

)istóricamente incorrecta, de numeración ar3biga.



67u/ sistemas de numeración estaban en uso, antes del surgimiento deldecimal posicional8l enorme inter/s de esta pregunta, )ace necesario un an3lisis detallado deella, lo que nos proporcionar3 la posibilidad de alorar mejor la, entajas de

nuestro sistema de numeración.oler

2. Cumeración (ntigua gipciaEna de las m3s antiguas numeraciones es la egipcia. :ata apro5imadamentede )ace $''' aos, es decir, de m3s de ''' aos antes de nuestra era. n eltranscurso de los tres primeros milenios sufrió cambios insignificantes.Felacion/monos m3s de cerca con dic)a numeración antigua, y fijemosnuestra atención en la forma en que se representaban en ella los signosnum/ricos, y cómo, con ayuda de ellos, se escribían los números.n la numeración egipcia e5istían signos especiales *jeroglíficos+ para los

números9 uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil, un millón. stos signos est3nrepresentados en la figura 1.

Gigura 1. stos signos especiales *jeroglíficos+ eran utilizados por los antiguosegipcios para la notación de los números.

Para representar, por ejemplo, el número entero 2 1!1", era suficiente escribir en serie dos jeroglíficos de diez mil luego tres jeroglíficos de mil, uno de cien,cuatro de diez y cinco jeroglíficos para las unidades *er. fig. 2+.

Gigura 2. scritura del número 2 1!" en el sistema de numeraciónegipcio.

stos símbolos, en la escritura, no podían aparecer m3s de nuee eces encada número. n el sistema egipcio de numeración no )abía signo alguno parael cero.ste solo ejemplo es suficiente para aprender a escribir los números tal y comolos representaban los antiguos egipcios. ste sistema de numeración es muysimple y primitio. s un sistema decimal puro, puesto que en la representaciónde los números enteros se emplea el principio decimal conforme al orden clase.Hay que notar que cada signo num/rico representa solamente un número. (sí,por ejemplo, el signo para las decenas *er fig. 1+ denota solamente diezunidades. I no diez decenas o diez centenas, lo que pone en eidencia el porqu/ el sistema de numeración egipcio no era posiciones.

http://www.geocities.com/aritmeticarecreativa/cap01.html#linea1%23linea1




. Cumeración (ntigua Fusa

0onforme al principio de la numeración egipcia antigua, se construyeronsistemas de numeración en algunos pueblos m3s, tales como el de la antigua

Jrecia por ejemplo, del que )ablaremos detalladamente m3s adelante.n la antigua Fusia, por ejemplo, e5istió un sistema popular de numeraciónampliamente difundido, y elaborado sobre el mismo principio del sistemaegipcio, pero distingui/ndose de /ste por la representación de los signosnum/ricos.s interesante anotar, que esta numeración era, en la antigua Fusia, inclusiede índole legal9 precisamente conforme a tal sistema, sólo que m3sdesarrollado, los recaudadores de impuestos debían llear los registros en ellibro de contribuciones.l recaudador, leemos en el antiguo 0ódigo de las -eyes, recibiendo decualquiera de los arrendadores o propietarios el dinero aportado, deber3 /l

mismo, o por medio de un escribiente, registrar en el libro de contribucionesfrente al nombre del arrendador, la cantidad de dinero recaudado, anotando lasuma recibida con cifras o signos. Para conocimiento de todos y de cada cual,estos signos se instituyen id/nticos para todo lugar, a saber9

diez rublos se denota por el signo *

un rublo D

diez KopeKs 5

un KopeK L

un cuarto A

Por ejemplo, eintioc)o rublos, cincuenta y siete KopeKs y tres cuartos9**DDDDDDDD55555LLLLLLLAAA

n otro lugar del mismo tomo del 0ódigo de las -eyes, nos olemos aencontrar con una mención acercan del empleo obligatorio de las notacionesnum/ricas nacionales. 4e dan signos especiales para los millares de rublos, enforma de una estrella de seis puntas con una cruz en su centro, y para lascentenas, en forma de una rueda con oc)o rayos. Pero las notaciones para los

rublos y las decenas de KopeKs aquí se establecen en distinta forma que en laley anterior. eamos el te5to de la ley acerca de los así llamados signostributarios7ue en todo recibo entregado al Fepresentante de la (lta stirpe, adem3s dela redacción con palabras se escriba, con signos especiales, los rublos yKopeKs aportados, de tal manera que al realizar un simple c3lculo de todos losnúmeros, pueda ser aseerada la eracidad de las declaraciones. -os signosempleados en el recibo significan9

una estrella mil rublos

una rueda cien rublosdiez rublos .



? un rublo,

LLLLLLLLLL diez KopeKs

L un KopeK.

Gigura . @nscripción antigua en un recites de pago de impuesto *tributo+, querepresenta la suma 122 rublos, 2! KopeKs.

Para que no puedan )acerse aquí adiciones de ningún tipo, todos los signos serodean por medio de un trazo constituido por líneas rectas.Por ejemplo, mil doscientos treinta y dos rublos; einticuatro KopeKs serepresentan así *er fig. +.

!. Cumeración Fomana :e todas las numeraciones antiguas, la romana es, posiblemente la única quese )a conserado )asta )oy, y que es empleada con frecuencia. -as cifrasromanas se utilizan )oy día para las notaciones de los siglos, las numeracionesde los capítulos en los libros, etc.Para la escritura de los números enteros en la numeración romana, esnecesario recordar las representaciones de los siete números fundamentales9

@ ? - 0 : M1 " 1' "' 1'' "'' 1'''

0on su ayuda, podemos escribir todo número entero menor que !''', yalgunas de las cifras *@, ?, 0, M+ pueden repetirse consecutiamente )asta treseces.

n la escritura de los números en el sistema romano de numeración, una ciframenor puede estar a la derec)a de una mayor; en este caso, la menor seadiciona a la mayor. Por ejemplo, el número 2% lo podernos escribir, en signos

romanos así900-???@@@



es decir, 2'' > "' > ' > < 2%. (quí, la cifra que representa a la centenaaparece dos eces, y las que representan respectiamente a las decenas y alas unidades aparecen tres eces.

Ena cifra menor, tambi/n puede escribirse a la izquierda de una mayor, con lo

que aquella se substrae de /sta. n este caso no se admite la repetición de lacifra menor. -os ejemplos que se proporcionan enseguida ayudan a aclararcompletamente el m/todo de escritura de los números en la numeraciónromana.

scribamos en romanos los números &!, &!!, 1%'&, 1&"&9

?0@ < 1'' A 1' > " A 1 < &!

0M?-@ < 1''' A 1'' > "' A 1' > " A 1 < &!!

M:000@? < 1''' > "'' > '' > 1' A 1 < 1%'&

M0M-@? < 1''' > 1''' A 1'' > "' > 1' A 1 < 1&"&

64e )a obserado que en este sistema no e5iste signo para representar elcero8 n la escritura del número 1%'&, por ejemplo, no usamos el cero.

Gigura !.A (sí se escriben en la numeración romana todos y cada uno de losnúmeros romanos del uno al cien.

studien ustedes la figura !, donde proporcionamos la escritura en lanumeración romana de todos los números enteros del 1 al 1''.



0on la ayuda de las cifras romanas se pueden escribir tambi/n grandesnúmeros para lo cual, despu/s de la escritura del signo de millares se introducela letra latina M como subíndice. scribamos, como ejemplo, el número!1$.&%#9

0:?@@M 0M-???@

l sistema romano de numeración, como el antiguo egipcio, no es posiciones9cada cifra en /l representa sólo un número estrictamente definido. 4inembargo, a diferencia del antiguo egipcio, no es decimal puro. -a presencia enel sistema romano de signos especiales para los números cinco, cincuenta, yquinientos, muestran que en /l e5isten fuertes estigios de un sistema denumeración quinario.-a numeración romana no est3 adaptada, en modo alguno, para la realizaciónde operaciones aritm/ticas en forma escrita. sta es su desentaja mayor.

". Cumeración (ntigua Jriega 0ontinuemos nuestro relato acerca de los sistemas no posicionales denumeración, y al final del capítulo describiremos detalladamente uno de losm3s antiguos sistemas de numeración *aunque por supuesto, posterior alegipcio+9 el babilónico, que fue el primer sistema posicional.

Gigura ". scritura de algunos números en la numeración 3tica o)erodi3nica.

En sistema muy parecido al romano es el llamado 3tico o )erodi3nico, que seutilizó en la Jrecia antigua. n la figura " se muestran las representaciones dearios números de esta numeración. ( diferencia de la numeración romana estedibujo muestra que aquí, los signos parar los números uno, diez, cien y mil,pueden repetirse no tres, sino cuatro eces, en cambio, se pro)íbe escribir unacifra menor la izquierda de una mayor.n la figura # se dan ejemplos de la escritura de números enteros en el sistema3tico de numeración, que, aclaran completamente el m/todo de tal escritura.



Gigura #. jemplos que aclaran el m/todo de escritura de los números enterosen el sistema 3tico de numeración.

:urante el siglo @@@ (. de C. ., en Jrecia, en lugar de la numeración 3tica seutilizaba la numeración jónica, donde números enteros se representaban conletras del alfabeto griego sobrerrayadas; sistema de numeración denominadoalfab/tico.

Gigura $.

0omo se e, este sistema es decimal, pero no posicional.

sto tambi/n sucede en otras numeraciones alfab/ticas.



#. Cumeración slaa-os pueblos eslaos tambi/n utilizaron una numeración alfab/tica. n la figura% est3n representadas las 2$ letras del alfabeto eslao. Najo cada letra est3escrito su nombre y el alor num/rico que le corresponde. 4obre la letra que

representa al número )ay un signo *er fig. %+ llamado titlo.

Gigura %. Cotación de los números en la numeración alfab/tica eslaa. -osnombres de las letras, que en el dibujo est3n escritas en ruso, se traducencomo sigue, en su orden correspondiente9 az edi glagol dobró est zeló zenilia

iz)e fit3 i KaKo lyudi mislietie nas) Ksi on poKoy c)er rtsi sleo tierbo uK fert japsi o tsy .

$. Cumeración Nabilónica

l m3s interesante de todos los antiguos sistemas de numeración es elbabilónico, que surgió apro5imadamente en el ao 2''' (. de C.. Gue elprimer sistema posicional de numeración, conocido por nosotros. -os númerosen el sistema se representaban con la ayuda de sólo dos símbolos, una cuaertical que representaba a la unidad y una cua )orizontal para el númerodiez. stas cuas resaltaban en las tablillas de las cuas de arcilla, por lospalitos inclinados, y tomaban la forma de un prisma. :e aquí surgió ladenominación de cuneiforme para la escritura de los antiguos babilonios.0on la ayuda de los dos signos mencionados, todos los, números enteros del 1al "& conforme a un sistema decimal se podían escribir e5actamente como enla numeración egipcia9 es decir, que los signos para el diez y la unidadrepetían, correspondientemente tantas eces como en el número )ubiesedecenas y unidades. Proporcionemos algunos ejemplos e5plicatios9



Hasta el momento no )emos encontrado nada nueo. -o nueo empieza con laescritura del número #' donde se utiliza el mismo signo que para el 1, pero conun mayor interalo entre /l y los signos restantes. Proporcionemos tambi/n,aquí, ejemplos aclaratorios9

:e esta manera, ya podemos representar los números del 1 al "& = #' > "& <"&&.

nseguida est3 una unidad de un nueo orden *es decir el número 1 = #' = #' <#''+, que tambi/n se representa por el signo para la unidad; por ejemplo9

:e esta manera, la unidad de segundo orden representada por el mismo signoes #' eces mayor que la de primer orden, y la unidad de tercer orden es #'eces mayor que la de segundo y #'' eces mayor *#' = #' < #''+ que launidad de primer orden. I así sucesiamente.6Pero qu/ sucede si uno de los órdenes intermedios no e5iste8, preguntar3nustedes. 60ómo se escribe, por ejemplo, el número 1 = #' = #' > 2 < #28 4ise escribiera simplemente en esta forma9

Podría confundírsele con el número 1 = #' > 2 < %. Para eitar confusionesse introdujo, posteriormente, el signo separador, que jugaba el mismo papelque el signo cero



juega en nuestra numeración. (sí pues, con la ayuda de dic)o signo separador,el número #2 se escribir3 así9

l signo separador babilonio nunca se colocaba al final de un número; por talrazón, los números ; = #' < 1%'9 = #' = #' < 1'%''; etc., se representabanen forma id/ntica. 4e conenía en determinar conforme al sentido del te5to, acu3l de estos números se refería lo e5puesto.

s notable el que, en la matem3tica babilónica, se empleara un mismo signo,tanto para la escritura de los números enteros, como para la el de lasfracciones. Por ejemplo, las tres cuas erticales escritas en fila, podían

denotar O#', ó O#'=#' < O.#'', ó O#'=#'=#' < O21#.'''

6 0u3les son las conclusiones que podemos sacar, a)ora, sobre lasparticularidades de la numeración babilónica8

n primer lugar, obseramos que este sistema de numeración es posicional. (sí, un mismo signo puede representar en /l, tanto 1 como 1 = #', como1=#'=#' < 1 = #' 2 < 1 = #'', etc., en función del lugar en que dic)o signo est/escrito. 5actamente como en nuestro sistema de numeración, una cifra, porejemplo, 2, puede representar los números9 2, ó 2 = 1' < 2', ó 2 = 1' = 1' < 2 ?1' 2 < 2 = 1'' < 2'', etc., según si est3 en el primero, segundo, tercero, etc,

orden. 4in embargo, el principio posicional, en la numeración babilónica, se llea acabo en órdenes se5agesimales. Por tal motio, dic)a numeración se llamasistema de numeración posicional se5agesimal. -os números )asta el #' seescribían, en esto sistema, conforme al principio decimal

n segundo lugar la numeración babilónica permitía una escritura sencilla delas fracciones se5agesimales, es decir, las fracciones con denominadores #',#' = #' < #'', #' = #' = #' < 21# ''', etc.-as fracciones se5agesimales se utilizaron muc)o en la /poca de losbabilonios. Pero aún )oy diidimos 1 )ora en #' minutos, y 1 minuto en #'segundos. 5actamente igual, diidimos la circunferencia en #' partes,llamadas grados, un grado lo diidimos en #' minutos, en tanto que un minutoen #' segundos.

0omo se e, el sistema de numeración )indú, ampliamente usado por nosotros,est3 lejos de ser el único m/todo de notación de los números.Han e5istido tambi/n, otros procedimientos de representación de los números;así, por ejemplo, algunos comerciantes tenían sus signos secretos para lasnotaciones num/ricas9 las llamada, claes comerciales. 4obre ellas

)ablaremos a)ora detenidamente.



%. 0-(4 40F(4 0DMF0@(-4n tiempos preAreolucionarios, en las cosas compradas en los comerciosambulantes o en las tiendas particulares, especialmente de proincia, se eíanfrecuentemente unas letras indescifrables, por ejemplo,a e uo .

4e trata simplemente de dos claes9 una es del precio de enta que tiene lamercancía, y la otra es del costo que tuo la misma para el comerciante. (sí,/ste puede calcular cu3nto rebajarla en caso de que el cliente le pidiesedescuento.

Gigura &. 0lae comercial en la cubierta de un libro *en ella se representa conlas letras superiores, el alor intrínseco, o costo, del libro, y con las letrasinferiores el precio de renta+.

l sistema de notaciones era muy sencillo. l endedor escogía cualquierpalabra de diez diferentes letras9 por ejemplo la palabra feudalismo. -aprimera letra de la palabra representaba al uno, la segunda, 2 la tercera, , yasí sucesiamente )asta la última letra, que representaba al cero. 0on la ayudade estas letrasAcifras condicionales el comerciante anotaba sobre lasmercancías, su precio, guardando en estricto secreto la clae de su sistemade ganancias.4i por ejemplo, era escogida la palabra9

f e u d a l i s m o

1 2 ! " # $ % & '

el precio ! rublos, $" KopeKs, se escribía d ia (lgunas eces, sobre la mercancía se escribía el precio en forma de quebrado*fig. &+, por ejemplo, en un libro se encontraba la notaciónao O f en

eso significaba, en la clae f e u d a l i s m o que era necesario pedir un rublo2" KopeKs, si el mismo libro alía "' KopeKs.



&. Peones en -ugar de Cúmeros

4olamente despu/s de lo indicado, es f3cil comprender que los números se

pueden representar no solamente con ayuda de cifras, sino tambi/n concualesquiera otros signos y aún objetos9 l3pices, pluma, reglas, gomas, etc.Nasta con atribuir a cada objeto el alor de una cifra cualquier determinada. 4epuede inclusie, por curiosidad, con ayuda de tales cifras objetos, representarlas operaciones con los números9 sumar, restar, multiplicar, diidir.

Gigura 1'. Fepresentación del problema publicado por una reista de ajedrez,donde casi todas las cifras est3n substituidas por peones.

n una reista de ajedrez fue presentado un problema9 determinar el erdadero

significado del ejemplo de diisión de números, representado en la fig. 1', en elcual casi toda, las cifras est3n substituidas por peones. :e 2% cifras, sólo 2 sonconocidas9 el % en el cociente y, el 1 en el residuo. -os otros 2# signos sonpeones de ajedrez, por lo que probablemente parecer3 que el problema notiene sentido. 4in embargo a)ora eremos una manera de solucionar elproblema, bas3ndonos en el proceso de la diisión.

-a segunda cifra del cociente es, naturalmente; cero, ya que al residuos de laprimera resta le aadimos no una cifra sino dos. :e la misma manera, despu/sde que aadamos la primera cifra, formamos un número menor que el diisor;

tambi/n en tales casos la cifra siguiente del cociente es cero.5actamente por lo mismo; razonamientos, establece que la cuarta cifra delcociente es, tambi/n cero.

Gijando la atención en la disposición de los peones, obseramos que el diisorde dos cifras, al ser multiplicado por % da un número de dos cifras; almultiplicarlo por la primera cifra *aún desconocida+ del cociente, se obtiene unnúmero de tres cifras. s decir, esta primera cifra del conciente es mayor que %;tal cifra puede ser, solamente, el &.Por el mismo m/todo, establecemos que tambi/n la última cifra del cociente es&.



()ora, el cociente est3 completo; es9 &' %'&. Dbtengamos )ora el diisor.0omo se e en la figura 1', consta de dos cifras; adem3s, la disposición de lospeones indica que este número de dos cifras, al multiplicarse por %, da unnúmero de dos cifras; el resultado de multiplicarlo por nuee, consiste en un

número de tres cifras. 60u3l es este número8 Fealicemos, las pruebasempezando con el menor número de dos cifras9 el 1'.

1' = % < %'.1' = & < &'.

l número 1', como emos, no satisface las condiciones requeridas9 ambosproductos son números de dos cifras. Probemos con el siguiente número dedos cifras, el 119

11 = % < %%

11 = & < &&

l número 11 tampoco sire, pues los dos productos tienen otra ez dos cifras.Probemos a)ora con el 129

12 = % < &#12 = & < 1'%

l número 12 satisface todas las condiciones. Pero, 6no )abr3 otros númerosque tambi/n las satisfagan8 Probemos con el 19

1 = % < 1'!1 = & < 11$

(mbos productos son números de tres cifras, por lo que el 1 no sire. st3claro que tampoco serir3n todos los números mayores que 1. (sí, el único diisor posible es el 12. 0onociendo el diisor, el cociente y elresiduo, f3cilmente podemos encontrar el diidendo, inirtiendo el proceso de ladiisión.

(sí, diidendo

&' %'& = 12 > 1 < 1 '%& $'&

Ginalmente tenemos, por consiguiente, el ejemplo dado de diisión con residuo9



0omo emos, con dos cifras conocidas )emos, pedido encontrar el alor de 2#cifras desconocidas.

1'. -a (ritm/tica en el :esayuno

Gigura 11 6( qu/ números corresponden estos símbolos aritm/ticos8

(nte nosotros )ay una serie de operaciones con números, representados porlos objetos de sericio de una mesa *fig. 11+9 l tenedor, la cuc)ara, el cuc)illo,la jarra, la tetera, el plato; todos /stos son signos, cada uno de los cualessubstituye a una cifra determinada.

Dbserando este grupo de cuc)illos, tenedores, ajilla, etc., cabe preguntar960u3les son, precisamente, los números representados aquí8

( primera ista, el problema parece ser muy difícil9 como si se tratara dedescifrar jeroglíficos, tal y como lo )izo )ace algún tiempo 0)ampolion. Pero

este problema es muc)o m3s sencillo9 ustedes saben que los números, aunqueaquí est3n representados por cuc)illos, cuc)aras, tenedores, etc, est3n escritos



conforme al sistema decimal de numeración, es decir, que sabemos que elplato colocado en segundo lugar *leyendo desde la derec)a+, es una cifra delas decenas, así como el objeto que est3 a su derec)a es una cifra de lasunidades, y el que est3 a su izquierda es la cifra de las centenas. (dem3s,ustedes saben que la disposición de todos estos objetos tiene un determinado

sentido, el cual surge de la esencia de las operaciones aritm/ticas, realizadascon los números denotados por ellos. odo esto, puede, en gran medida,facilitar a ustedes la resolución del problema presentado.

60on qu/ números se realizan las operaciones aritm/ticas, aquí indicadas8eamos cómo se pueden encontrar los alores de los objetos aquí dispuestos.0onsiderando los tres primeros renglones en nuestro dibujo, er3n quecuc)ara, multiplicada por cuc)ara, da cuc)illo; y de los renglones , ! y ",emos que cuc)illo menos cuc)ara da cuc)ara es decir, cuc)ara > cuc)ara <cuc)illo. 67u/ cifra da el mismo resultado al multiplicarse por sí misma que alduplicarse8 sta puede ser únicamente el 2, porque 2 = 2 < 2 > 2. (sí, sabemos

ya que cuc)ara < 2 y, por lo tanto, cuc)illo < !.

()ora, sigamos, adelante, 67u/ cifra est3 representada por el tenedor8 -oaeriguaremos por las primeras líneas, conde el tenedor aparecemultiplicando, y por los renglones @@@, @ y , donde aparece el tenedor en lasubstracción. n el grupo de la substracción emos que, en el orden de lasdecenas, al restar tenedor de cuc)ara, obtenemos tenedor, es decir, en lasubstracción 2 A tenedor, obtenemos tenedor. sto puede ser en dos casos9 otenedor < 1, y por lo tanto, 2A1<1, o tenedor < #, y entonces substrayendo # de12 *una unidad de orden superior se representa por taza+, obtenemos #. 60u3lelegir9 1 ó #8

Probemos el # para el tenedor en otras operaciones. :irijamos la atención a lamultiplicación de los números que se )allan en los renglones @ y @@. 4i tenedor <#, entonces en el segundo renglón est3 el número #2 *ya sabemos que cuc)ara< 2+. Co es difícil entender, que en tal caso, en el primer renglón deber3 estar elnúmero 12, y la jarra representar3 la cifra 1. n erdad, si la jarra denotara lacifra 2 o cualquier otra cifra mayor, el producto de los números de los renglones@ y @@ sería un número de cuatro cifras, y no de tres, como debe ser. (sí, sitenedor < #, en el primer renglón est3 el número 12, y en el 11, el #2. Por lotanto, su producto es 12 = #2 < $!!.

Pero esto es imposible, porque la cifra de las decenas de este producto escuc)ara, es decir, 2, y no ! como )abíamos obtenido. sto quiere decir, quetenedor no es igual a # como se suponía, y por lo tanto es necesarioconsiderarlo igual a uno.

0onociendo por tales, búsquedas, en erdad bastante largos, que el tenedordenota la cifra 1, en adelante ya iremos m3s r3pida y certeramente. :e laoperación de la substracción, en los renglones @@@ y @, emos que taza puedeser #, o bien %. Pero el % no puede ser, porque implicaría que la copa fuera !, ysabemos que la cifra cuatro esta denotarla por el cuc)illo. (sí, la taza

representa a la cifra # y, por lo tanto, la copa a la cifra .



60u3l es la cifra que est3 representada por la jarra en el renglón 18 sto esf3cil de saber, si nos es dado el producto *@@@ renglón, #2!+ y uno de los factores*@@ renglón, 12+. :iidiendo #2! entre 12, obtenemos "2. Por lo tanto, la jarra <".

l alor del plato se determina f3cilmente9 en el @@ renglón, plato < tenedor >taza < copa > cuc)illo, es decir, plato < 1 > # < > ! < $. ()ora, sólo falta descifrar el alor num/rico de la tetera y de la azucarera en el@@ renglón. Puesto que para las cifras 1, 2, , 1, ", # y $ los objetos ya )an sidoencontrados, queda solamente elegir entre %, & y '. 4ubstituyendo en laoperación de diisión, representarla en los tres último renglones, en lugar delos objetos las cifras; correspondientes, obtenemos la disposición siguiente*con las letras t y a se denotan, respectiamente, la tetera y la azucarera+9

l número $12, como emos, es el producto de los dos números desconocidos,ta y t que no pueden ser, naturalmente, ni cero, ni terminados en cero9 es decir,

ni t , ni a son cero. ntonces, quedan ya sólo dos alternatias9 t < % y a < & obien, t < & y a < %. Pero multiplicando &% = % < $12 no obtenemos $12; porconsiguiente, la tetera representa al %, y la azucarera al & *efectiamente9 %& =% < $12+.

(sí, por medio de sencillos c3lculos aritm/ticos desciframos la inscripción jeroglífica de los objetos de sericio de una mesa9

tenedor 1

cuc)ara 2

copa

cuc)illo !

jarra "

taza #

plato $

tetera %

azucarera &

I toda la serie de operaciones aritm/ticas, representada por este originalsericio de mesa, adquiere, sentido9

"2

=12

#2!

A12

>!#2

$$! 9%&<%



A$12

#2

11. 0)aradas (ritm/ticas-o que denomino c)aradas aritm/tica constituye un juego recreatio9 laadiinanza de determinada palabra por la resolución de un problema al estilodel que resolimos en el p3rrafo anterior. l adiinador piensa una palabra de1' letra, diferentes *no repetidas+. Por ejemplo9 terminado, acostumbre,impersonal. omando letras de la palabra concebida, por cifras, representar3por medio de estas letras cualquier caso de diisión. 4i la palabra proyectadaes terminados , se puede dar un ejemplo de diisión así9

t e r m i n a d o s

1 2 ! " # $ % & '

diidendo9 !"1$%2' < mitades ; diisor9 %$%&' < dados

4e pueden tomar tambi/n otras palabras9

diidendo9 %&!"#$ < dominar ; diisor9 !"#$' < minas

-a representación literal de un determinado caso de diisión, se confía a unadiinador, quien conforme a esto, en una primera ojeada sobre el conjunto depalabras inco)erentes, deber3 adiinar la palabra concebida.0omo se debe tratar de descubrir el alor num/rico de las letras en semejantescasos, ya lo sabe el lector9 lo e5plicamos durante la resolución del problema del

p3rrafo anterior. 0on cierta paciencia, se pueden descifrar estas c)aradasaritm/ticas, a condición únicamente de que el ejemplo sea bastante largo yproporcione el material necesario para las suposiciones y pruebas. 4i sonescogidas palabras que den casos e5cesiamente cortos de la diisión, porejemplo9

a c o s t u m b r e

1 2 ! " # $ % & '

diidendo9 21!11 < casas ; diisor9 &'" < reto



entonces, la adiinación es muy laboriosa. n semejantes casos, es necesariosolicitar, del adiinador, la continuación de la diisión )asta cent/simos omil/simos, es decir, obtener en el cociente, aún, dos o tres fraccionesdecimales. He aquí un ejemplo de diisión )asta cent/simos9

i m p e r s o n a l

1 2 ! " # $ % & '

diidendo9 21'& < milpa ; diisor9 2&& < mapa

4i en este caso nos limit3semos a la parte entera *o+, la clae de la palabrapropuesta sería poco probable.n cuanto a las palabras empleadas en calidad de clae para semejantesc)aradas, su elección no es tan difícil como parece; adem3s de las antes

indicadas se pueden utilizar las palabras9 futbolista, inyectarlo, esquiador,profetizas, reticulado, esculpidor

12. :escubriendo un Cúmero de res 0ifraseamos aún otro acertijo aritm/tico de distinto car3cter. En númerodesconocido consiste de tres cifras diferentes9 (, N, 0 . -o escribimos,condicionalmente, así9 (N0 , teniendo en mente, que 0 es la cifra de lasunidades, N la de las decenas y ( , la de las centenas. s necesario )allar estenúmero, si es sabido que9

-os asteriscos denotan cifras desconocidas. Procedamos a encontrar todas9

(nte todo, establezcamos que ni ( , ni N , ni 0 son cero, pues de lo contrario nose podrían obtener tres renglones de productos parciales.Dbseremos adem3s que9el producto 0 ? ( termina en (el producto 0 ? N termina en Nde donde deducimos que 0 puede ser 1 ó #. Para la unidad, nuestraconsideración es eidente; para el # se aclara con los ejemplos9# ? 2 < 12;# ? % < !%;# ? ! < 2!.

Dtras cifras no poseen semejante propiedad. Pero si 0 fuera 1, el primerproducto parcial no sería de cuatro cifras, sino solamente de tres. 7ueda, porconsiguiente, una posibilidad9 0 < #.Cos conencemos a)ora de que 0 < # y que, por lo tanto, ( y N pueden sersolamente 2, ! u %; pero como el segundo producto parcial consiste solamentede tres cifras, entonces ( no puede ser ni ! ni %, y por lo tanto ( < 2.Para N quedan dos posibilidades9 N < !, y N < %. 4i con ( < 2, N fuera !, elúltimo producto parcial consistiría de tres cifras y no de cuatro; luego, N < %. (sí tenemos, ( < 2, N < %, 0 < #. l número buscado es 2%#, y la multiplicaciónqueda como sigue9



oler

1. l 4istema :ecimal de -os (rmarios de -ibrosl sistema de numeración decimal )alla, de paso, aplicación allí donde no erade esperarse, como en las bibliotecas en 1a distribución de libros conforme asecciones.n algunas bibliotecas masias se utiliza tal sistema de clasificación de loslibros, en la cual un libro tiene, en todo lugar, id/ntica notación num/rica

*clae+. ste sistema se denomina decimal y libra al lector de la necesidad deconsultar el cat3logo al requerirse libros de una u otra sección.l sistema es sencillo y muy coneniente. 4u esencia consiste en que, a cadarama del conocimiento se le da una notación num/rica en tal forma, que lascifras que la componen informan acerca del lugar que ocupa dic)a rama en laorganización general de las materias9odos los libros se distribuyen, ante todo, conforme a diez seccionesprincipales, que se denotan por las cifras del ' al &9

' Dbras de car3cter general.

1 Gilosofía.

2 Historia de la religión y literatura antirreligiosa.

0iencias sociales. :erec)o.

! Gilología. -enguas.

" 0iencias, físicoAmatem3ticas y naturales

# 0iencias aplicadas *la medicina, la t/cnica, la agricultura, etc.+

$ Nellas (rtes.

% -iteratura.

& Historia, geografía, biografías.

-a primera cifra de la clae *es decir, de la notación num/rica+ conforme a estesistema, indica directamente a cual de las secciones de libros enumeradas serefiere. odo libro de filosofía tiene una clae que empieza con 1, dematem3ticas con ", de t/cnica con #, etc. 4i la clae empieza, por ejemplo, conla cifra !, entonces, sin necesidad de reisar los libros, ustedes saben conanticipación que se trata cae la sección de lingQística. (dem3s, cada una de las secciones, a su ez enumerada se subdiiden en 1'subsecciones, que tambi/n se denotan por las cifras del ' al &; estas cifras

ocupan, en la clae, el segundo lugar. Por ejemplo, la "a. sección que contiene





libros de ciencias físicoAmatem3ticas y naturales, se subdiide en las siguientessubsecciones9

"'Dbras generales de ciencias físicoAmatem3ticasnaturales

"1 Matem3tica."2 (stronomía. Jeodesia.

" Gísica. Mec3nica eórica.

"! 7uímica. Mineralogía.

"" Jeología.

"# Paleontología.

"$ Niología; (ntropología. (ntropología.

"% Not3nica.

" Roología.

n forma semejante se diiden, tambi/n, las otras secciones. Por ejemplo, enla sección de ciencias aplicadas *#+, a la subsección de medicina lecorresponde el número #1, a la de agricultura el #, al comercio y ías decomunicación.oler

1!. -os signos y denominaciones aritm/ticas en diersos pueblos

0abe pensar que los signos aritm/ticos, )asta cierto grado, soninternacionales, y que son id/nticos en todos los pueblos de cultura europea.sto es cierto sólo con relación a la mayoría de los signos, pero no con relacióna todos. -os signos > y A, los signos 5 y9 se utilizan con el mismo sentido entrelos alemanes, franceses e ingleses.Pero el punto como signo de multiplicación se aplica de diferente forma entrediersos pueblos. Mientras que algunos escriben la multiplicación $.%, otros ladenotan como $S%, eleando el punto a la mitad de la cifra.ambi/n el punto decimal se escribe de muy diersas maneras9 mientrasalgunos, como nosotros *se refiere a los soi/ticos+, escribimos !,", otrosescriben !.", y unos terceros !S", colocando el punto arriba de la mitad.

(dem3s, cuando se trata de escribir un número decimal que no tiene parteentera, los norteamericanos y los ingleses omiten el cero, lo que no sucede enningún lugar de uropa 0ontinental. n libros norteamericanos, frecuentementese pueden )allar notaciones como .$2", S$2". o aún ,$2" en ez de ',$2" *enM/5ico se escribe '.$2"+.-a descomposición de un número en clases se denota, tambi/n, en diersasformas. (sí, en algunos países se separan las clases con puntos *1".'''.'''+,en otros con comas *1",''','''+, y en otros se acostumbra dejar espaciolibres, sin signo alguno entre clase y clase *1" ''' '''+.s instructio obserar, despu/s de eso, cómo se modifica el m/todo dedenominación de un mismo número al pasar de una lengua a otra. l número

1%, en ruso se dice ociemnadtsat es decir, primero se pronuncian las unidades*%+ y luego las decenas *1'+, mientras que en espaol es a la inerso. n





alem3n, ese mismo número en la misma sucesión, se lee ac)tz)en , es decir,oc)o diez; en franc/s, se dice diez oc)o * di5A)uit +. n la siguiente tabla emos)asta qu/ punto son distintos, en diersos pueblos, los m/todos dedenominación del mismo número 1%9

en ruso % 1'en alem3n % 1'en franc/s 1' %en armenio 1' > %en griego % > 1'en latín menos 2 , 2'en neozeland/s 11 > $en lituano % arriba de 1'

ambi/n es curiosa la oz groenlandesa9 del otro pie tres . sto es, unaabreiatura de la suma de los dedos de las manos, de los de un pie, y tres del

otro pie. eamos el sentido que tiene9

número de dedos en ambas manos número de dedos en un pie número dededos del otro pie. otal9 1' > " > < 1%

-a oz completa para el número diecioc)o sería9 todas mis manos, , mimano, sin tomar en cuenta los dedos de los pies *es decir, 1' > > "+.

0uriosidades (ritm/ticas9

1'' < 1 > 2 > > ! > " > # > $ > % 5 &1'' < 1 > 2 5 > ! 5 " A # > $ > % 5 &1'' < 1 > 2 5 > ! > " > #$ > % > &1'' < 1 5 2 > ! > "# > $ A % > &

la numeraciones escrita mas difundida

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