hidraulica de canales fundamentos y ejercicios

7/26/2019 Hidraulica de Canales Fundamentos y Ejercicios

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UNIVERSIDAD AUTNOMA DE CHIAPAS

FACULTAD DE INGENIERACAMPUS I

TESIS

Hidrulica a superficie libre: Fundamentos y ejercicios

QUE PARA OBTENER EL TTULO DE

INGENIERO CIVIL

PRESENTADO POR

LUIS FERNANDO HERNNDEZ CARRILLO

DIRECTOR

Tuxtla Gutirrez, Chiapas MAYO 2016


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I


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III

Cap. Pg.

5.2.1. Mtodo estndar por pasos---------------------------------------------------------965.2.2. Mtodo estndar directo-----------------------------------------------------------102

5.3.Aplicaciones prcticas del flujo gradualmente variado------------------------------105

Conclusin---------------------------------------------------------------------------------------127

Referencias.--------------------------------------------------------------------------------------128

PRESENTACIN

Este libro est realizado pensando en todos esos estudiantes que llevan las ciencias de laingeniera a todos lados y que tienen un especial amor o respeto hacia el agua, tambin paraquien disfrute de las leyes de la fsica y sus aplicaciones ms sorprendentes, dado que no esun libro muy ostentoso su riqueza cultural y matemtica es incomparable.


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1

CAPITULO 1

INTRODUCCIN

1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidrulica

Las leyes del movimiento son la base de la fsica clsica, con ellas se dan solucin a todoslos fenmenos ocurridos por accin de fuerzas externas y gravitacionales hacia los objetos.Por este motivo los estudios de las leyes del movimiento son esenciales en el estudio de lahidrulica pues este consiste en el estudio de las acciones y fenmenos ocurridos en el aguapor accin de su fuerza y su gravedad. Muchas ecuaciones de la hidrulica tienen sufundamento en las leyes del movimiento, pero llev mucho tiempo encontrarlas. Fueron

varios los cientficos los que invirtieron mucho de su tiempo para poder demostrar algnfenmeno que se le haya presentado ya sea por casualidad o para dar solucin a algnproblema, todos ellos resueltos con varias horas de observacin, experimentacin yestableciendo modelos matemticos.

Ecuaciones como el de la ley de la conservacin de la masa del monje Benedetto Castelli esuno de los varios ejemplos de cientficos que buscaron dar solucin a un problema basandosus estudios en las leyes de Newton.

La primera ley del movimiento seala que todo cuerpo mantiene su estado de reposo o unamisma trayectoria a menos que se le aplique una fuerza exterior la cual modifique esta, estaley conocida como la ley de la inercia toma en cuenta la tendencia de un cuerpo a detenersepor la friccin de su superficie o la accin de una fuerza que detenga su movimiento. Sepuede imaginar en este escenario la idea de un ro el cual al principio por tener unapendiente grande lleva una velocidad muy acelerada, pero aguas abajo donde la pendientees menor y a causa de la friccin de su superficie esta reduzca su velocidad.

La segunda ley del movimiento o la ley de la fuerza, indica que todo cambio demovimiento sobre un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada sobre este. En hidrulicase puede utilizar esta ley para predecir la fuerza que tendr un cuerpo de agua s se conocensu masa y su aceleracin el cual se puede aplicar en el caso de las presas hidroelctricas alproducir energa elctrica a partir de la energa potencial del agua, al hacer girar una turbinala cual produce energa elctrica por medio de la fuerza que contiene el agua al caer de unaconsiderable altura.

La tercera ley del movimiento o la ley de la accin y la reaccin, establece que para todaaccin sobre un cuerpo ocurre una reaccin igual, pero en sentido contrario. En ingeniera


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2

la teora y prctica de esta ley es utilizada en el diseo de canales y cortinas en una presa,ya

que si no se disearan estos ltimos para sostener una fuerza de empuje equivalente a lacantidad de agua que sostendrn; entonces podra fallar, as que se disean con una fuerza

superior a esta.

Como estos hay muchos ms ejemplos en los cuales se aplican las leyes ms importantespara la ingeniera y la hidrulica, con forme se avance en la bibliografa se encontrarn msaplicaciones para la mejor comprensin de los temas tratados.

1.2. La hidrulica de canales a superficie libre

El estudio de la hidrulica de canales se ha vuelto de vital importancia para la solucin deproblemas relacionados con el almacenamiento, uso y transportacin del agua, volvindoseesta una materia obligada en el estudio de la ingeniera en nuestro pas; ya que en ella sedestacan los comportamientos y caractersticas del agua volvindose un manual para laverdadera comprensin de este lquido tan importante en el pas.

Un canal es un cauce por el cual circula agua y se encuentra descubierto a la atmsfera,estos se pueden clasificar de dos maneras de acuerdo a su origen, como naturales o

artificiales. Un canal natural como ejemplo un ro o arroyo; es aquel en el cual suformacin no tuvo que ver el ser humano y transporta el agua proveniente de la lluvia desdelo ms alto de una montaa hasta el mar, un lago u otro afluente, se encuentra impulsadapor solamente la fuerza de gravedad. Dependiendo de la altura y pendiente de esta, el canalnatural tendr meandros o transporte de sedimentos; por esto ltimo y lo irregular delterreno natural se establece que un canal de este tipo siempre tendr una seccin transversalirregular.

Por otro lado, un canal artificial es aquella estructura construida por el hombre con el fin detransportar agua, ya sea para abastecer una poblacin, para riego de cultivo o como mediode transporte, esta tiene una geometra definida y s mantiene una pendiente y geometraconstante entre determinados puntos se dice que es prismtica. Los canales artificiales sepueden clasificar a su vez de acuerdo a su geometra, siendo los ms utilizados en todo elmundo dos de ellos; el de seccin trapezoidal y el de seccin rectangular, de esta manera deacuerdo a su seccin cada uno tendr diferentes propiedades geomtricas.


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3

Figura 2. Elementos geomtricos de un canal con seccin trapezoidal

Permetro mojado: Es la lnea que rodea el canal y que est en contacto con el agua y laseccin. Se calcula para un trapezoide de la siguiente forma.

2P = b+ 2 1+k y (1)

rea hidrulica: Es el rea ocupada por el agua dentro del canal.

A = b+ ky y (2)

Ancho mayor: Es el ancho superior del canal en el cual mantiene una superficie libre.

T = b + 2ky (3)

Dnde:

y= Tirante hidrulico (m).

T= Ancho mayor de superficie libre (m).

b= Ancho menor de superficie (m).

k= Talud, indica la inclinacin de las paredes del canal.

P= Permetro mojado (m).

A= rea hidrulica (m2).

y

b

1

k

T


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4

Figura 3. Elementos geomtricos de un canal con seccin rectangular

Permetro mojado: P = b+ 2y (4)

rea hidrulica: A = by (5)

Dnde:

P= Permetro mojado (m).

A= rea hidrulica (m2).

y= Tirante hidrulico (m).

b= Base del canal (m).

Otro tipo de seccin muy utilizado en el pas es el de seccin circular muy caracterstico su

uso como en tuberas de drenaje y alcantarillado, tiene las siguientes caractersticas.

Figura 4. Elementos geomtricos de un canal con seccin circular

y

b

T

Dy


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5

Tirante: y0 1D

(6)

Angulo: -1 T

= 2Cos 1-2D

(7)

rea hidrulica:2D

A =4

(8)

Permetro mojado: DP =360

(9)

Radio hidrulico:1 sen2

Rh = 1- D4 2

(10)

Ancho de la superficie libre (T):

T = Sen D

T = 2 y D- y

Como ya se mencion antes se pueden encontrar muchos ms tipos de secciones, pero estabibliografa se enfocar en la rectangular y trapecial por ser las ms comunes en todo elmundo y por la facilidad de su anlisis.

(11)

(12)


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6

1.4.1 Aplicaciones prcticas de la geometra de un canal

Ejemplo 1

Calcular las propiedades geomtricas de un canal trapezoidal con las dimensionessiguientes:

SolucinDatos Frmulas Substitucin

y = 3m 2P = b +2 1+k y 2P = 6+ 2 1+1 3

T=9m A = b+ ky y P = 6 + 2 2 3

b = 6m P =14.48m

k =1 A = 6 + 1 3 3 2A = 27m

Ejemplo 2

Calcular las propiedades geomtricas de un canal rectangular con las siguientesdimensiones.

Datos Solucin

y= 3m

b= 4m

9m

3m

6m

1

1

3m

4m

Formulas

m

h

P =b+2yA =by

m

2

h

P = 4 + 2(3) =10mA = 4(3) =12m


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7

Ejemplo 3

Calcular las propiedades geomtricas de un canal rectangular con las siguientesdimensiones.

Datos Solucin

y=6 m

b=6 m

Ejemplo 4

Calcular las propiedades geomtricas de un canal trapezoidal con las siguientescaractersticas.

Datos Solucin

y=6 m

b=6 m

k=2

h

h

2

h

A = b + ky y

A = 6 + 2 6 6

A =108m

y=6 m

b=6 m

m

m

m

h

h

2

h

P = b+ 2y

P = 6 + 2(6)

P =18m

A = by

A = 6(6)

A = 36m

y=6 m

b=6 mk=2

2

m

2

m

m

P = b + 2 1 + k y

P = 6 + 2 1+ 2 6P = 32.76m


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8

Ejemplo 5

Calcule las propiedades geomtricas e hidrulicas de una tubera que llevar un tirantey=0.20m y un dimetro D= 0.30m

Solucin

Permetro mojado:

DP =

360

0.30 304.5851P =

360

P = 0.7974m

Radio hidrulico:

rea:

T = 2 y D- y

T = 2 0.20 0.30- 0.20

T = 0.2828m

1 Sen2Rh = 1- D

4 2Sen2 109.471

Rh = 1- 0.304 2 109.47

Rh = 0.075m

D=0.30 m

y=0.20 m

2

2

2

DA =

4

0.30A =

4

A = 0.0707m

Ancho de la superficie

libre (T)ngulo:

-1

-1

o

T = 2Cos 1-2

D

0.2828 = 2Cos 1-2

0.30

= 304.5851


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9

Ejemplo 6

Calcular las propiedades geomtricas e hidrulicas para una tubera de drenaje pluvial conun dimetro de 1.5 m que transportar un tirante de 1.15m.

Solucin

Permetro mojado:

DP =

360

1.50 267.5349P =

360

P = 3.50m

Radio hidrulico:

rea:

y= 1.15 mD= 1.50 m

T = 2 y D- y

T = 2 1.15 1.50-1.15

T = 1.2688m

1 Sen2Rh = 1- D

4 2Sen2 267.53491

Rh = 1- 1.504 2 267.5349

Rh = 0.3749m

2

2

2

DA =

4

1.50A =

4

A =1.7671m

Ancho de la superficie

libre (T)ngulo:

-1

-1

o

T = 2Cos 1 - 2

D

1.2688 = 2Cos 1 - 2

1.50

= 267.5349


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10

Ejemplo 7

Calcular las propiedades geomtricas e hidrulicas de un canal de seccin rectangular sieste tiene un rea de 3 m2y una base de 1.20 m.

Datos

A= 3 m2

b= 1.20 m

y=?

P=?

Ejemplo 8

Calcular las propiedades geomtricas e hidrulicas de un canal de seccin trapezoidal sieste tiene un rea de 5 m2, una base de 1.5 m y k= 2.

Datos

A= 5 m2

b= 1.5 m

k=2

y=?

P=?

Solucin

A = by

Ay =

b

3y =

1.20

y = 2.5m

P = 2y + b

P = 2 2.5 +1.2

P = 6.20m

Solucin

A = b+ ky y

5 = 1.5 + 2 y y

5= 1.5+2y y

Ahora iteramos dando

valores al tirante (y) hasta

encontrar el que satisfaga

la ecuacin.

Para y=1.25m

2

2

y =1.25m

5 = 1.5 + 2 1.25 1.25

5 = 5

P = b +2 1+k y

P =1.5+ 2 1+ 2 1.25

P = 7.0902


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11

Ejemplo 9

Calcular las propiedades geomtricas e hidrulicas de una tubera circular si este tiene unaT=0.72 m y un dimetro de 1 m.

Datos

T=0.72 m

D= 1 m

ngulo=?

y=?

P=?

rea=?

Ejemplo 10

Calcula las propiedades geomtricas e hidrulicas de una tubera con dimetro de 0.50 m yun tirante de 0.35 m.

Solucin

T = 2 y D- y

T = 2 0.35 0.50- 0.35

T = 0.4582m

-1

-1

o

T = 2Cos 1-2

D

0.72 = 2Cos 1-2

1

= 232.2077

2

2

2

DA =

4

0.50A =

4

A = 0.1963m

1 Sen2Rh = 1- D

4 2

Sen2 113.581Rh = 1- 0.50

4 2 113.58

Rh = 0.1246m

Solucin

2

2

2

DA =

4

1A =

4

A = 0.7854m

DP =

360

1 232.2077P =

360

P = 2.0264m

Ahora con la frmula de T iteramos hasta encontrar el valor del tirante

que satisfaga la ecuacin.

T = 2 y D- y

0.72 = 2 y 1-y

Para y=0.847 m

0.72 = 2 0.847 1-0.8470.72 = 0.7199 0.72m


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12

-1

-1

o

T = 2Cos 1-2

D

0.4582 = 2Cos 1-2

0.50

= 292.775

DP =

360

0.50 292.775P =

360

P =1.2775m


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CAPTULO 2

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRULICA

2.1. Ecuacin de conservacin de la masa

Son llamadas ecuaciones fundamentales a todas las que por su relacin o configuracin ensu estructura es posible obtener otros datos para resolver un problema slo con despejar osustituir algn dato. Las ecuaciones fundamentales de la hidrulica como su nombre lodicen son las ms importantes ya que de ellas se desprenden otras ecuaciones y es posibledar solucin a problemas a los que explcitamente no contamos con ms informacin.

Antes de comenzar con el estudio de la hidrulica se debe de tener muy claro la ampliarelacin de las leyes de la mecnica de Newton con el estudio de esta ciencia pues desde elpunto de vista de la mecnica clsica el agua es considerada como una masa en movimientoinfluenciada por la fuerza de gravedad y con masa constante regida por la ley deconservacin de la masa.

Tambin conocida como Ecuacin de continuidad o Ecuacin de Castelli en honor a almonje benedictino y fsico Benedetto Castelli (Brescia, Italia1577- Roma, 9 de abril, 1643)quien fuera contemporneo de Galileo Galilei y quien estableci de manera emprica;

mediante la observacin y experimentacin lo que hoy conocemos como la Ecuacin decontinuidad.

Cuenta una ancdota que, en el ao 1598, Roma sufri una inundacin con eldesbordamiento del ro Tiber; como tales inundaciones se haban venido presentando concierta frecuencia, se consider conveniente aumentar el cauce del ro. Haba que determinarcon ese objeto cuanta era el agua que realmente haba escurrido (Enzo, Levi, El agua segnla ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, Mxico). El arquitectoGiovanni Fontanna (1546- 1614) intent medir el escurrimiento real, pero no poda hacerloen el mismo cause porque este haba sido insuficiente. Decidi entonces calcular el gasto

sumando los aportes en el tramo superior y en todos los afluentes. El resultado fue 500caas cuadradas medida de aproximadamente de poco ms de 2 metros. El ro contaba conaproximadamente un tercio de esa medida por lo que Fontanna decidi construir dos caucescon esas 500 caas. Sin embargo, toda el agua cupo en un puente de 150 caas a lo queFontanna concluy que el agua debi haberse comprimido.


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14

Esta conclusin no convenci al padre Benedetto Castelli no entiendo como el agua seacomo el algodn o la lana, materiales que pueden comprimirse o apretarse tambin diceCastelli Habiendo cabido toda la avenida debajo del puente sera suficiente un solo caucecon la misma capacidad de dicho puente, siempre que el agua escurriera con la mismavelocidad que alcanz debajo de l en ocasin de la inundacin (Enzo, Levi, El agua

segn la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, Mxico).

Esta ecuacin establece que la proporcin entre la cantidad de agua que escurre por un rocuando este tiene cierta altura de agua y la que escurre en el mismo ro cuando tiene otraaltura, est en razn compuesta de la velocidad con la velocidad y de la altura con la altura.A continuacin, la demostracin de la ecuacin de conservacin de la masa o ecuacin deCastelli.

2.1.1 Versin cintica

Sea, un caudal de seccin cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en undeterminado tiempo.

Figura 5. Sea un caudal de seccin cualquiera

Se toma una diferencial de superficiesd :

Figura 6. Profundidad ds de un caudal cualquiera

Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial dsse tiene:

*=

sv .d (13)

*= vector de velocidad asociado a una diferencial de superficie d s


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15

Se integra

s.* v d= (14)

s* = v d

Se acomodan trminos y denominando

= v s (15)

Entonces Q = vA (16)

Ecuacin de conservacin de la masa en su versin cintica

Dnde:

v.

=Velocidad puntual (m/s)

sd = Diferencial de superficie (m2)

Q= Caudal (m3/s)

A= rea hidrulica de la seccin (m2)

t= Tiempo (s)

v =Velocidad promedio (m/s)

2.1.2 Versin volumtrica

Sea un caudal de seccin cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en undeterminado tiempo

Figura 7. Sea un caudal cualquiera


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16

Se toma una diferencial de superficie ds:

Figura 8. Profundidad dsde un caudal cualquiera

Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial dsse tiene:

*=

sv .d (17)

Integrando

s.* v d= (18)

Acomodando trminos y denominando

= v s (19)

Entonces

Q = vA (20)

Si dV =t

(21)

Entoncesd

Q = At

(22)

Por lo tanto VQ =t

(23)

que es la Ecuacin de conservacin de la masa en su versin volumtrica

sd

Ecuacin de conservacin de lamasa en su versin cintica


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17

Dnde:

v.

=Velocidad puntual (m/s)

sd = Diferencial de superficie (m2)

V = volumen (m3)

Q= Caudal (m3/s)

A= rea hidrulica de la seccin (m2)

t= Tiempo (s)

d = Distancia (m)

v = Velocidad promedio (m/s)

2.2 Ecuacin de conservacin de la energa

Al igual que la masa la energa se conserva, en la ley de conservacin de la energa seestablece que la energa no se crea ni se destruye slo se transforma, esta ley tambinllamada ley de Lomonsov- Lavoisier descubiertas de manera independiente por MijalLomonsov en 1745 y Antoine Lavoisier en 1785 respectivamente es perfectamenteaplicable tanto a canales abiertos como cerrados.

El primero en realizar estudios con fluidos para demostrar este argumento fue DanielBernoulli en su obra Hidrodinmica (1738) y establece que un fluido ideal (sin viscosidadni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, la energa que posee elfluido permanece constante a lo largo de su recorrido en cambio en un conducto abiertocomo un canal y tomando en cuenta el rozamiento este presentar prdidas mnimas por elefecto de evaporacin por rozamiento al liberar energa en forma de calor sin embargo alfinal de su recorrido la sumatoria de la energa recorrida al final ms la energa perdidadeber ser la misma a la energa al principio del recorrido demostrando de esta forma la leyde conservacin de la energa. En la hidrulica se pueden encontrar muchos tipos deenerga, pero para uso de este tema se tomar en cuenta dos de ellas la energa cintica y lapotencial del agua.


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18

2.2.1 Ecuacin de Bernoulli

Se supone la rasante de un canal cualquiera con longitud d (de cota 1 a cota 2) con unapendiente respecto a un nivel horizontal, como se muestra en la figura 8 donde en la cota

1 desde la horizontal hasta la rasante del canal tenemos un punto1

z del otro lado de igual

forma se tiene un2z ,a continuacin se tiene un tirante 1y y un tirante 2y de igual manera,

con una energa cintica2

1v

2gdesde el punto ms alto del tirante hasta la lnea de energa, del

otro lado de la misma forma se tiene a2

2v

2g, se considera que desde el primer punto de

estudio el canal tiene una prdida 0 por lo que no se considera en la figura pero en una

distancia recorrida d ya es considerable esta se expresa conf

h , la ecuacin de la energa

establece que la misma cantidad de energa que se tiene a partir del punto 1 es la que setendr al finalizar el punto 2 equilibrndose esta en cualquiera de los datos de este punto.

La energa cintica es la siguiente:

La ecuacin de la energa cintica

2

c

1E = mv

2 (24)

Simplificando2

c

mvE =

2

(25)

Se sabe que la frmula de la densidad es:

m =

V (26)

Despejando la masa en (26) se tiene

m = V (27)

Sustituyendo (27) en (25) queda

2

c

vE =V

2 (28)


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19

Si se sabe que la frmula del peso especfico es

= g (29)

Se despeja la densidad de la frmula anterior (28) y se obtiene

=

g (30)

Se sustituye la frmula (30) en la (28) y queda

2

c

vE = V

g 2 (31)

Si se considera una masa y un volumen unitario la frmula resulta

2

c

vE =

2g (32)

Que es la frmula de la energa cintica

Dnde:

= Peso especfico (N/m3)

= Densidad (kg/m3)

V = volumen (m3)

v =velocidad (m2/s)

Figura 9. Representacin de un canal con la lnea de energa

P.H.C.E1 E2


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20

1 2E = E (33)

2

11 1 1

vE = z + y +

2g (34)

22

2 2 2

vE = z + y +

2g (35)

Ec. de Bernorulli

2 2

1 21 1 2 2

v vz + y + = z + y +

2g 2g (36)

Ec. de la energa

1-2

2 21 21 1 2 2 f

v vz + y + = z + y + + h2g 2g

(37)

Ecuacin de la energa.

donde:

1z y

2z =es la vertical del canal desde la horizontal hasta el primer punto de esta (m)

1y y 2y = es el tirante en cada seccin del canal (m)

21v y

22v = es la velocidad de la energa cintica (m/s)

g= la fuerza de gravedad (m/ 2s )

fh =es la prdida de energa por efecto del calor

2.2.2. Ecuacin de la energaLa energa es definida en fsica como la disposicin de un cuerpo para realizar un trabajo,en hidrulica el agua tiene esa disposicin a partir de los diversos componentes de energa.La ecuacin de la energa est conformada por la ley de Lomonsov- Lavoisierdescubiertas de manera independiente por Mijal Lomonsov en 1745 y Antoine Lavoisieren 1785 y que cuenta con diferentes elementos que la constituyen como:


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21

E= Energa, capacidad de un cuerpo de realizar un trabajo

z = Es la carga de elevacin (m)

y = Es el tirante en cada seccin del canal (m)

2v

2g= Es la energa cintica del agua

fh =es la prdida de energa por efecto de la friccin

Esta ecuacin tiene sus restricciones en fluidos como los siguientes:

Slo es vlida para fluidos incomprensibles

Entre las dos secciones de inters no puede haber dispositivos mecnicos comobombas, motores de fluido o turbinas.

No puede haber prdida de energa por la friccin o turbulencia que generenvlvulas y accesorios en el sistema de flujo.

No puede existir transferencia de calor hacia el sistema o fuera de este.

NOTA: Es casi imposible que se puedan cumplir todas estas restricciones en campo.

(Mecanica de fluidos, Robert L Mott; Javier Enrquez Brito; Javier Leon Cardenas, 2006,Prentice-Hall: Pearson Educacion, Mxico, D.F.).

Las aplicaciones de las leyes de la energa se han dado desde la antigedad, se puedenobservar en el uso de molinos hidrulicos para diversos fines o en el diseo de canales paratransporte; entre otros ejemplos, hoy en da el uso ms importante de esta ley es lageneracin de energa hidroelctrica. El conocimiento de la ecuacin de la energa permiteaparte de aprovechar esa energa, tambin a controlarla, por ejemplo, en un canal con unapendiente fuerte, poder disear algn obstculo o mecanismo para disipar o reducir esaenerga para evitar cualquier problema.

2.2.3. Energa especfica y rgimen crtico

2.2.3.1. Energa especfica del flujo rectilneo

Partiendo desde la definicin de que la energa total de cualquier sistema est dada por laenerga potencial ms la energa cintica aplicado a cualquier masa en reposo con inerciacero o en movimiento rectilneo uniforme. En el caso del agua al ser un elemento msicodado que est conformado por una masa, esta contiene los dos elementos, la energa


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22

potencial y la cintica, los cuales se puede apreciar en su ecuacin para la energa total que

est

2

1

t t t f

vE = z + y + + h

2g, cuando la pendiente y el tirante en un canal son constantes

es factible usar esta ecuacin pero al angostarse un canal y cambiar su tirante la ecuacin

tambin cambia y se utilizara en este caso la ecuacin de la energa especfica para conocerel rgimen hidrulico del canal, de esta manera la ecuacin se aplicar a cambios bruscosde una seccin, estas pueden ser una ampliacin brusca, una reduccin brusca, unincremento brusco del fondo o un decremento brusco del fondo de la seccin de un canalcomo se ejemplifica en las siguientes figuras.

Figura 10. Ampliacin brusca de un canal

Figura 11. Reduccin brusca de un canal

Figura 12. Incremento brusco del fondo de un canal

Figura 13. Decremento brusco del fondo de un canal


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23

Al ocurrir un cambio en la seccin como en las anteriores ejemplificadas se debe responderqu ocurre con su tirante y cmo vara este. Por lo tanto, al cambiar el tirante cambia laecuacin de conservacin de la energa, esta ecuacin es la ecuacin de energa especfica.

Retomando la ecuacin de la energa que es igual a:1-2

2 2

1 21 1 2 2 f

v vz + y + = z + y + + h

2g 2g

s se desprecian las prdidas y el nivel de referencia, nos queda el tirante y la velocidad,entonces se establece que la energa especfica por definicin hidrulica es la suma deltirante de un canal ms la carga de su velocidad al cuadrado (energa cintica).

2

E t

vE = y +

2g

(38)

La ecuacin de la energa especfica es2

E

vE = y +

2g;( Ec. 38), si se quiere expresar esta

misma ecuacin para la condicin de energa especfica para gasto constante se expresa esta

misma ecuacin de la siguiente forma2

E 2

QE = y +

2gA ;(Ec. 38) sustituyendo como se

puede observar la velocidad al cuadrado por su igualdad que es gasto al cuadrado sobre elrea cuadrada.

Para el caso de pendientes grandes la energa especfica es:

2

E

vE = ycos +

2g (39)

Y para el caso de la ecuacin de la energa para pendientes grandes de igual forma se tiene:

1-2

2 2

1 21 1 2 2 f

v vz + y cos + = z + y cos + + h

2g 2g (40)


29/133

24

Figura 14. Diagrama del comportamiento de una partcula de agua en un canal conpendiente grande

En la energa del flujo rectilneo en un canal, si se toma al tiempo como criterio esconsiderado que el flujo es permanente siempre y cuando la velocidad promedio de unaseccin sea la misma, en el caso de que la velocidad cambie en determinada parte de laseccin el flujo se considera flujo no permanente.

Los casos ms comunes donde se presentan los flujos no permanentes es en los ros, dadosus secciones irregulares, en el otro caso los canales prismticos son considerados de flujopermanente.

Si se quitan el tiempo como criterio de clasificacin y se toma al espacio, se considera queun flujo es uniforme cuando la velocidad entre dos secciones es la misma, de lo contrario;si la velocidad entre estas dos secciones cambia se dice que el flujo es variado y a su vez nopermanente. Este fenmeno se puede observar por una variacin en la seccin de un canal opor la presencia de una estructura y se utiliza en los canales para acelerar o desacelerar la

velocidad que lleva el agua en un canal sobre todo en los canales de riego o en los sistemasde agua potable.

Otra clasificacin de los canales que se puede encontrar es de acuerdo con el efecto de suviscosidad o el nmero de Reynolds (

eR ) y su clasificacin puede ser por el flujo laminar o

turbulento, as como tambin por flujo de transicin estas tres clasificaciones estn regidasde la siguiente manera:

P.H.C.E1 E2

Partcula de agua

L.E.


30/133

25

he

vRR = (41)

Dnde:

eR = Nmero de Reynolds (adimensional)

v = velocidad (m2/s)

hR = Radio hidrulico (m)

= viscosidad cinemtica del agua (m/s2)

Para canales se establece la clasificacin de acuerdo a las siguientes relaciones

Se dice que es un flujo laminar cuando eR 500 , un flujo de transicin

e500 R 12500 y un flujo turbulento eR 12500 .

De estas clasificaciones en el agua el ms comn que se puede observar es el flujoturbulento ya que para tener un flujo laminar, la lmina del agua para esta clasificacinsera demasiado delgada; algo casi imposible de obtener.

2.2.3.2. Rgimen crtico curva Y vs E

Si se sabe que la ecuacin de la energa especfica es2

E

vE = y +

2g, entonces se puede dar

cuenta que esta representa a la ecuacin matemtica correspondiente a una parbola abiertahacia la derecha y si es una parbola esta debe tener un vrtice y este tiene una tangente, olo que es lo mismo esta tiene una pendiente, esto significa que la ecuacin es derivable,

entonces es posible decir que2

dE d v= y +

dy dy 2g,esta ecuacin se deriva respecto al tirante

porque si el flujo cambia entonces cambia el tirante como se ve en la grfica de la figura15. Se puede observar en la grfica que el vrtice representa el punto crtico de la parboladonde la energa es la mnima y respecto al tirante nos arroja un tirante crtico. Al observarde manera de arriba hacia abajo se puede observar como la grfica al reducir su tirantetambin reduce su energa hasta llegar al punto crtico en donde la energa es mnima y eltirante crtico (

cy ); considerando en todo momento un caudal constante ( Q ), al continuar

el descenso se puede ver como se contina reduciendo el tirante, pero por el contrario laenerga aumenta.


31/133

26

Es posible estar seguro que al tener un punto crtico de este slo existir un punto de

energa asociado a un slo tirante, pero si se desplaza un delta E ( E ), para los demspuntos se obtiene una sola energa asociada a dos tirantes y1 y y2 los cuales son alternospara la energa mnima (

minE ) y un caudal constante ( ).

Figura 15. Grfica de la curva y vs E

Otro elemento que es posible observar en la grfica es que a partir del punto crtico demanera ascendente a descendente se tiene dos diferentes velocidades una con ms fuerza yla otra ms dbil y estas a su vez estn asociadas a diferentes tirantes pero que pueden

contener una misma energa, los elementos que son encontrados arriba del punto crtico seconocen como rgimen subcrtico, los que se encuentran sobre el punto crtico comorgimen crtico y los que se encuentran debajo de este se conocen como rgimensupercrtico y son determinados de acuerdo a su tirante crtico.

La siguiente ecuacin conocida como el nmero de Froude fue acuada por el profesorberlins Moritz Weber y es un parmetro para determinar de qu rgimen es un canal, estadepende de la relacin de la velocidad del canal respecto a las fuerzas gravitacionales y eltirante del mismo. La naturaleza del movimiento de un canal depende de si el nmero deFroude es mayor, menor o igual a la unidad.

Se determinar su tipo de rgimen dependiendo las condiciones que esta cumpla.

Para rgimen subcrtico el nmero de Froude debe ser menor a la unidad Fr1

cteQ

y (m)

cy

Tirantes

alternos

2y

1y minE

Rgimen subcrtico 1

tangente

E (m)E


32/133

27

Nmero de Froude es igual a:

vFr =

gy

(42)

Dnde:

F r= Nmero de Froude (adimensional)

v = velocidad del canal (m2/s)

g=fuerza de la gravedad (m/s2)

y= tirante del canal (m)

2.2.3.3. Rgimen crtico

La energa especfica es definida de forma taxativa como la suma del nivel de agua ms lacarga de velocidad y esta ecuacin se obtiene de la ecuacin de la energa que al eliminarlas prdidas y la cota de referencia surge una ecuacin de segundo grado, que al graficarlosobre un plano cartesiano con el eje de la ordenada referido al tirante y al de las abscisas ala energa, se obtiene una parbola; y al colocarle una secante en el plano a 45 respecto alorigen, colocando el nivel de agua referido al eje, se obtiene una grfica como la de la

figura 16 en la cual se puede observar que las asntotas de la parbola se extienden hacia elinfinito y nunca tocan a la secante, esto matemticamente indica que se encuentra unaderivada ah y esto indica que hay una pendiente; de haberlo entonces tambin se tiene unatangente y el punto de tangencia ser justo en la derivada que corresponde al vrtice de laparbola, si esto se ubica en el plano se tendr una energa mnima asociado a un tirante elcual se llamar tirante crtico.

Si se desplaza un E se dar cuenta que se encuentran dos tirantes alternos asociados1y y

2y , esto significa que para una misma energa puede haber dos tirantes asociados.

Entonces para obtener la ecuacin del punto crtico primero se debe tomar la ecuacingraficada que es la ecuacin de la energa.

2vE = y +

2g (43)


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28

Figura 16. Grfica de la curva y vs E del rgimen crtico

Se sustituye la velocidad al cuadrado por su igualdad del gasto cuadrado con respecto delrea cuadrada de la siguiente forma:

2

2

QE = y +

2gA (38)

A esta ecuacin se le aplica una derivada respecto al tirante, porque el tirante es el quecambia en nuestra grfica

2

2

dE dy d Q= +

dy dy dy 2gA (44)

De la derivada queda, el tirante. Como la unidad, el gasto y la gravedad son constantesentonces que no se derivan.

2

2

dE Q d 1= 1+

dy 2g dy A (45)

A continuacin se auxilia de la grfica del rgimen crtico y se coloca un canal de seccinrectangular representando los diferentes niveles de tirante que contiene el canal, de estecanal se toma un rea que se sabe est asociada a un tirante y este a su vez est asociado auna energa total pero como se est derivando se toma una pequea diferencial de rea ascomo una diferencial de altura mismo asociado a la base del canal en este caso un canal

cy

E (m)E

tangentey(m)

Rgimen subcrtico 1

2y

1y

Tirantes

alternos

minE


34/133

29

rectangular de base B , entonces se puede decir que la diferencial de rea ( dA ) ser igual a

la base (B ) por la diferencial de altura ( dy ).

dA = Bdy (46)

En el caso de querer encontrar una ecuacin para una seccin de canal diferente a larectangular entonces se sustituye su correspondiente rea hidrulica en donde en esteejemplo se substituye el rea hidrulica del canal rectangular.

Figura 17. Grfica del rgimen crtico respecto a la seccin de un canal

La igualdad de la ecuacin 46 se sustituye en (45) y se deriva, queda de la siguiente forma

2 2 2 2

d 1 1 d 1=

dy B y B dy y (47)

Ahora se deriva2

d 1

dy yy se obtiene

d=

dy

2 dydy

11 d

dy 2y

2y 2

(48)

y (m)

TangentecteQ

minE

E E

cy

2y

1y

dA

T = B 2

dy

y

cy

1y

0


35/133

30

Al derivar la ecuacin anterior se tiene

d=

dy1(2y )

y4 (49)

Y al simplificar se tiene

3

-2

y (50)

El resultado obtenido en la ecuacin 50 se substituye en (47) y queda de la siguiente forma

2

2 3

dE Q 2=1+ -

dy 2gB y (51)

2

2 3dE 2Q= 1-dy 2gB y

(52)

Al simplificar la ecuacin desaparecen los nmeros dos, se sustituye la base y el tirantecuadrado por el rea cuadrada y queda de la siguiente forma

2

2

dE Q= 1-

dy gA y (53)

Si se substituye la igualdad del gasto sobre el rea al cuadrado queda la velocidad al

cuadrado en la ecuacin de la siguiente forma2

dE v= - +1

dy gy (54)

Escrita de otra forma

2dE v= 1-

dy gy (55)

S la ecuacin anterior es la derivada de la energa, entonces significa que la energa comotal no es cero, es mnima. Esto significa que la derivada de energa es

2 10

2 1

y - y 0s = = = 0

E - E 0 (56)


36/133

31

Al ser su derivada cero est marcando una funcin ilegal, entonces para usos matemticosse establece un lmite y se tiene

2 1

0 lim 0

EE E

ys (57)

Esto se da porque justo ah la funcin es crtica.

Entonces se tiene que en el lmite

2v0 = 1-

2g (58)

Al derivar la ecuacin anterior se obtiene el nmero de froude que establece:

< 1 subcrtico

=1 crtico

>1 supercrtico

Para rgimen subcrtico el nmero de Froude debe ser menor a la unidad Fr1

Al auxiliarse de la grfica se observa que si el tirante de un canal2y es mayor al tirante

crtico (cy ) entonces el flujo del canal es subcrtico. De la misma forma si el tirante 1y es

menor que el tirante crtico (cy ) entonces se est hablando de un flujo supercrtico, esto

para todo canal de seccin rectangular.

Para conocer la ecuacin del tirante crtico en canales rectangulares se parte de la ecuacin59 que es la ecuacin para el flujo en rgimen crtico

vFr =

gy (59)

De esta manera al ser el flujo crtico igual a 1 se hace esta igualacin en la ecuacin 59 dela siguiente forma

v= 1

gy (60)

vFr =gy

(59)


37/133

32

Ahora se despeja la velocidad

cv = gy (61)

Se tiene una velocidad al cuadrado al despejar la gravedad por el tirante crtico

2

c cv =gy (62)

Como interesa encontrar el tirante crtico entonces este se despeja de la ecuacin 62.

2

c

c

vy =

g (63)

Ahora se substituye la velocidad por su igualdad que es el caudal sobre el rea los dos alcuadrado por que la velocidad estaba al cuadrado y se tiene

2

2

c

Q

Ay =g

(64)

Acomodando trminos se obtiene

2

c 2

Qy =

gA (65)

Por definicin, el gasto unitario ( q ) es la cantidad de agua que pasa por unidad de ancho de

un canal, como lo expresa la siguiente ecuacin

Qq =

b (66)

Entonces se puede substituir la ecuacin (66) en la ecuacin (65)

2

2

c 2

Q

by =gA

(67)

Al recordar la igualdad de 2A es 2 2b y esta se puede substituir en la ecuacin 67.

2

2

c 2 2

Q

by =gb y

(68)


38/133

33

Al reducir trminos queda

2

c 2

qy =

gy (69)

Esto se puede escribir de la siguiente forma2

cc 2

c

qy =

gy (70)

Como se est buscando un tirante crtico se despeja lacy de la ecuacin 70.

2

3 c

c

qy =

g (71)

Por ltimo, se despeja el exponente del tirante para tener una raz cbica, de esta manera sededuce una ecuacin para determinar el tirante crtico de un canal de seccin rectangular.

2

3c

qy =

g (72)

De esta manera se puede establecer que el tirante crticocy slo depende del caudal que

pase por el canal.

De esto se puede agregar que el nmero de Froude es vlido para cualquier tipo de canal

pues este depende de la velocidad y el tirante de este, no as la ecuacin del tirante crticopues este se dedujo con las propiedades geomtricas de un canal de seccin rectangular encaso de buscar una ecuacin para el tirante crtico de una seccin diferente se deduce desdeel principio, pero con las propiedades geomtricas correspondientes para la seccindeseada.

2.2.3.4. Condicin para la energa especfica constante (curva q-y, Q-y)

Para hablar de la condicin de energa especfica es inevitable auxiliarse de un plano

cartesiano, as que se toma como referencia el de la figura 18, en el cual se puede observaren el eje de la ordenada el tirante ( y ) y al de la abscisa a el caudal ( Q,q ), as como la

energa constante (cteE ) para esta tema. Como se puede dar cuenta la funcin cambia por

completo al cambiar las variables.

y


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34

Figura 18. Grfica de la condicin para la energa especfica constante

Como se sabe la ecuacin (38) es la expresin de la energa donde el tirante y la energa

son variables y el caudal es constante.2

2

QE = y+

2gA (38)

Se despeja la variable de la energa cintica para el gasto y se iguala a la energa menos eltirante

2

2

Q= E - y

2gA (73)

Como se quiere conocer el caudal entonces se despeja

2 2Q = E - y 2gA (74)

Como la ecuacin anterior est asociada a un canal rectangular es vlido decir que al rea

cuadrada ( 2A ) es igual a su base ( B ) por su tirante ( y ) al cuadrado respectivamente. Todo

sobre raz cuadrada

2 2Q = E - y 2gB y (75)

Entonces se establecen las siguientes relaciones con ayuda de la ecuacin (74) y la grfica

Q ,q

Subcrtico

Supercrtico

cteE Crtico


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35

Relaciones E - y - Q

Si se tiene un tirante con valor a cero implica que el gasto ser igual a cero, esto se puededemostrar en la ecuacin ya que no arroja ningn valor incluso al observar la grfica sepuede notar que no tiene ningn valor.

S y = 0 Q = 0

De la misma manera s el tirante toma el valor de la energa o un valor mximo implica queel gasto tambin valdr cero. Esto se puede observar grficamente y por medio de laecuacin.

S E = y Q = 0

Por otro lado, s el tirante llega a ser el tirante del canal sobre dos entonces el gasto sermximo.

S yy =2

maxQ = Q

Esto significa que cuando se tenga la energa especfica constante se tendr el caudal

mximo en el tirante sobre dos y2

, en este caso los tirantes que estn por debajo del

tirante sobre dos o debajo del caudal mximo sern supercrtico y los que estn por encimade este sern tirantes subcrticos.

2.3. Ecuacin de impulso y cantidad de movimiento

El impulso se considera como el cambio de velocidad de una partcula respecto a unadistancia y un tiempo determinado, este se encuentra regido por la segunda ley de Newton

ya que este depende de la fuerza con la que es impulsada, as tambin depende de la masade la partcula. En cuestiones de hidrulica el impulso puede servir para conocer la fuerzacon que se impulsa un ro o un canal y a partir de este conocimiento disear el canal oincluso disear las pilas de un puente para que este no falle por socavacin producido poreste fenmeno.


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36

Para obtener la ecuacin del impulso primero se debe auxiliar de una ecuacin fundamentalde la fsica como la ecuacin de la fuerza y a partir de esta encontrar una ecuacin para lahidrulica que obedezca esta ley.

Se trabaja con la ecuacin de la fuerza.

F = ma (76)

Se sabe que la densidad del agua es

m =

V (77)

Por lo tanto m = V (78)

Por otro lado tienev

a =

t

(79)

Ahora se substituye (78) y (79) en (76) y se tiene

vF =V

t (80)

Ahora es bien sabido que la ecuacin del caudal es VQ =t

, si se despeja el volumen se

tiene V = Qt este se sustituye en la ecuacin (80) y se obtiene

vF =Qt

t (81)

Se eliminan las unidades de tiempo ( t ), y la ecuacin queda de la siguiente forma

F = Qv (82)

Se sabe que la densidad es igual al peso especfico sobre la aceleracin de la gravedad

=

g (83)

Esto se substituye en la ecuacin 82 y se tiene


42/133

37

F = Qv

g (84)

Esto es la ecuacin del impulso en una seccin arbitraria.

Ahora la ecuacin del impulso respecto a dos secciones de un canal

2 1 1-2F =Q v - v (85)

o escrito de otra manera

2 2 2 1 1 1F = Q v - Q v (86)

Ecuacin del impulso respecto a dos secciones

dnde:

F= La fuerza o el impulso (N)

=La densidad del agua ( 3kg/m )

Q =El caudal ( 3m /s )

v =La velocidad de la partcula en ese canal (m/s )

= peso especfico del agua ( 3

N/m )

g= gravedad ( 2m/s )


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44/133

39

Ejemplo 3

Calcular el caudal que puede transportar una tubera de 0.30 m de dimetro a una velocidadde 0.45 m/s.

Datos

D= 0.30 m

v=0.45 m/s

Q=?

Ejemplo 4

Calcular el caudal que puede transportar una tubera de 0.15 m de dimetro a una velocidadde 0.20 m/s.

Datos

D= 0.15 m

v= 0.20 m/s

Q=?

Ejemplo 5

Calcular el caudal que pasa en un canal que tiene un ancho de 2m, un tirante de 1m y laaceleracin del flujo es unitario; suponiendo que el canal es rectangular.

Datos

y= 1m

b= 2m

a=1 m/s2

S se supone que la aceleracin del flujo es unitaria entonces la velocidad tambin lo ser;porque para obtener una aceleracin de uno se debe multiplicar por el mismo nmero

mv = 1

s

y=1m

b=2m

Solucin

h2

h

A = 2 1

A = 2m

2

2

2

DA =

4

0.30A =

4

A = 0.0707m

2

2

2

DA =

4

0.15A =

4

A = 0.0177m

3

Q = vA

Q = 0.45 0.0707

mQ = 0.0318

s

3

Q = vA

Q = 0.20 0.0177

mQ = 0.00354

s


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40

3

Q = vA

Q =1 2

mQ = 2

s

Ejemplo 6

Calcule la energa del canal rectangular con una velocidad de 45 m/s y con las siguientescaractersticas.

Datos

y=3

b=5

v=45 m/s

Ejemplo 7

El canal de la figura es de seccin rectangular de ancho constante y tiene un gasto unitario(q) de 3m3/s/m determine h2si las prdidas y la pendiente son cero.

Datos

q=3 m3/s/m

h1=3 m

y=3

b=5 m

Solucin

2

2

vE = y +

2g

45E = 3+

2 9.81

E = 106.21m

z

h1=3m

1 2

h2S0=0

z = 0.26m

fh = 0


46/133

41

Solucin

2 2

1 21 1 2 2 f

2 2

1 2

2

22

331 c

v vz + y + = z + y + + h

2g 2g

v v

3 + = 0.26 + y +2 9.81 2 9.81

3qR = y = = = 0.972m

g 9.81

v = gy

v = 9.81 0.972

mv = 3.088

s

Ejemplo 8

En un canal rectangular se tienen mediciones en las secciones 1 y 2. Si los datos son losindicados, calcule el gasto.

Datos

h1=3.80 m

z1= 5 m

1-2fh =0 m

Solucin

Para usar la frmula de la continuidad

es necesario saber la velocidad del canal

por esa razn despejamos la velocidad de

la frmula1 1 2 2

h v = h v y la sustituimos en

la energa cintica de la siguiente frmula

1-2

2 2

1 1 2 2 f

v vz + h + = z + h + + h

2g 2g, como se muestra a continuacin:

Si se considera la misma energa cintica

2 2

2

2

2

2

3.08 3.083+ = 0.26 + y +

19.62 19.62

3+ 0.48 = 0.26 + y + 0.48

3- 0.26 = y

y = 2.74m

B=12.5 m

b=12.5 m

Seccin

00

B=b=12.5 m

h2=1.25 m h1=3.8 m

1z = 5m h2=1.25

PERFIL


47/133

42

1 1 2 2h v = h v (1)

1 12

2

h vv =

h (2)

2 21 2

1 1 2 f

v vz + h + = h + + h

2g 2g (3)

2 2

1 22 1 f

v v- = h - z- h + h

2g 2g (4)

2 21 2 2 1 f v - v = 2g h -z-h +h (5)

2

2 1 1

1 2 1 f 2

v h

v - = 2g h - z - h + hh

(6)

2 2

2 1 11 2 1 f 2

2

v hv - = 2g h -z -h +h

h (7)

2

211 2 1 f 2

2

h1- v = 2g h -z - h + h

h

(8)

2 1 f21 2

12

2

2g h -z -h +hv =

h1-h

(9)

1-2

1

2

2 1 f

1 2

1

2

2g h -z -h + hv =

h1-

h

(10)

1 2

2 9.81 1.25- 5- 3.8+ 0v =3.8

1-1.25

(11)

1

mv = 4.24

s


48/133

43

Ahora que tenemos la velocidad podemos calcular el caudal con la frmula de lacontinuidad.

A=h1(b)

A=3.8(12.5)

A=47.50 m2

Q=vA

Q=4.24(47.50)

Q=201.4 m3/s

Ejemplo 9

S en un canal se tienen los siguientes datos a qu tipo de rgimen corresponden.

Datos

S0=0.020

h0=1.20 m

Solucin

A=1.2(6)

A=7.2 m2

Pm=2h0+b

Pm=2(1.2)+6

Pm=8.4 m

B=b=6 m

n=0.014

h

m

ARh =

P

7.2Rh =

8.4

Rh = 0.857m

2 1

3 20

2 13 2

3

ARh S

nq =

B

7.20.857 0.020

0.014q =

6

mq =10.9347

s

m

12 3

c

2

3c

c

qh =

g

10.9347h =9.81

h = 2.30m


49/133

44

h0=1.20 m< hc= 2.30 m Por ser h0


50/133

45

CAPTULO 3

ECUACIN DEL RESALTO HIDRULICO

3.1 Fuerza hidrosttica

En el captulo anterior se estableci las caractersticas del agua y la definicin de un canal,as como las diferentes clasificaciones de este, ya sea por su origen o por su geometra; seconoci tambin su clasificacin por cantidad de masa o por cantidad de agua por unidadde tiempo, entre otros tipos de clasificaciones, as como tambin las ecuacionesfundamentales; como la ecuacin de Castelli o la ecuacin de la energa, ecuaciones lascuales se desprenden de las ecuaciones bsicas del movimiento.

As tambin se observ la ecuacin de la energa especfica donde se coment que el aguaes una masa que se mueve; esta puede estar en reposo la cual contiene energa potencial yal usarse de una correcta manera puede producir energa elctrica como es el caso de lascentrales hidroelctricas, as como puede estar en reposo el agua puede estar en movimientotambin produciendo energa cintica, esta ecuacin nos permite clasificar el agua deacuerdo a su flujo.

En este captulo se estudiar el flujo rpidamente variado, este es ejemplificado

comnmente de la siguiente manera; considrese un canal cualquiera en un tramo corto x,el flujo es interrumpido bruscamente y cambia su energa, a este cambio brusco de energase le llama flujo rpidamente variado y se puede dar en un canal por medio del cambiorepentino de pendiente en una seccin del canal o en su defecto en el cambio repentino delas dimensiones de un canal comnmente la reduccin brusca de una seccin.

En el flujo rpidamente variado se puede dar un fenmeno llamado resalto hidrulico osalto de Bidone en honor al ingeniero Giorgio Bidone (Casalnoceto,19 de enero de1781 -Turn,25 de agosto de1839) quien fue el primero en estudiar este fenmeno en 1818, y escomnmente definido como el fenmeno localizado que se produce normalmente en

distancias cortas respecto a una longitud total en donde se producen cambios de regmeneshidrulicos de supercrticos a subcrticos.

Las aplicaciones de este fenmeno son muy diversas sobre todo en la industria, la cual serecurre al salto hidrulico para realizar mezclas de sustancias; en el campo de la ingenieracivil se provoca este fenmeno para reducir la carga de energa de un canal para que alliberarla esta salga con una carga de energa mucho menor que con la que entr esto con la
http://es.wikipedia.org/wiki/19_de_enerohttp://es.wikipedia.org/wiki/1781http://es.wikipedia.org/wiki/Tur%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/25_de_agostohttp://es.wikipedia.org/wiki/1839http://es.wikipedia.org/wiki/1839http://es.wikipedia.org/wiki/25_de_agostohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tur%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/1781http://es.wikipedia.org/wiki/19_de_enero


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46

Q

finalidad de que la energa del agua no destruya el concreto, lo mismo ocurre en una presaaqu la energa del agua es producida por la altura en que se encuentra solamente que aquse le conoce como cada hidrulica y se contrarresta con un concreto armado ms resistentey en ocasiones colocando rocas para romper la energa que lleva el agua y disminuir esta.

Figura 19. Representacin de un resalto hidrulico

En la figura 19 se puede observar una representacin de un resalto hidrulico donde sepuede apreciar que las flechas indican que aguas arriba la velocidad del agua est muyacelerada y al pasar por el resalto hidrulico se observa que las flechas indican que el aguase desplaza con menos energa.

Suponga un canal cerrado de seccin rectangular en estado de reposo como se observa en lafigura 20.

Figura 20. Sistema de fuerzas actuantes

Observando la figura se puede visualizar como sobre la compuerta actan dos fuerzas Fsobre esta y que estn en equilibrio, a esto se le llama fuerza hidrosttica. Las fuerzashidrostticas que actan en el canal de la figura son determinadas por:

F = mg (87)

FP =

A (88)


52/133

47

Despejando F de (88):

F=PA (89)

Sustituyendo (87) en (88):

mgP =

A (90)

S m =V

(91)

Entonces m = V (92)

Pero se sabe que: = g (93)

Despejando

= g (94)

Sustituyendo (92) en (90): VgP =A

(95)

Sustituyendo (94) en (95):

Vg

V AhgP = = = =h

A A A

Por lo tanto: P = h (96)

Sustituyendo (96) en (89) F = hA (97)

Dnde:

F= Fuerza actuante en el centro de gravedad de la seccin empujada.

h= Tirante de agua.A= Seccin empujada.


53/133

48

Q

Por lo tanto, la ecuacin 97 se puede escribir como:

GF = hZ (98)

Las fuerzas actuantes en la figura son:

11 1 1 GF = h Z (99)

22 2 2 G

F = - h Z (100)

3.2 Fuerza dinmica

Figura 21. Sistema de fuerzas actuantes en un canal con las compuertas abiertas

S en un instante t se abre la compuerta de la figura, el agua circula con una energacintica de 1 a 2, generando una fuerza F debido a la cantidad de movimiento, cuyaexpresin general se deduce a continuacin.

De la ecuacin (86) se puede reescribir

F=ma (101)

F = Va (102)

S va =t

(103)

Y: V = Qt (104)


54/133

49

Entonces:

vF = Qt

g t

Se eliminan las unidades de tiempo

F = Qv

g (105)

La fuerza total generada entre 1 y 2 es:

1-2 2 1

F = Q v - vg

(106)

2 11-2 2 2 1 1 F = Q v - Q v

g g (107)

El sistema de fuerzas resultante es considerado la hidrosttica y la cantidad de movimiento:

1 2

2 12 11 G 1 2 G 2 2 1

Z A - Z A = Q v - Q v

g g (108)

Dnde:

= Peso especfico del agua

GZ =Centro de gravedad de la seccin

A= rea o Superficie de empuje

g= Fuerza de gravedad

Q= Caudal

v = Velocidad promedio del flujo

Dividiendo entre a (107)

2 12 1G 1 G 2

Q v Q vZ A - Z A = -

g g (109)


55/133

50

S Qv =A

entonces:

1 2

2 2

2 1G 1 G 2

2 1

Q QZ A - Z A = -

gA gA, acomodando trminos

La ecuacin general del resalto hidrulico

1 2

2 2

1 2G 1 G 2

1 2

Q QZ A + = Z A +

gA gA (110)

La ecuacin del resalto hidrulico, expresa las fuerzas hidrostticas y las fuerzas decantidad de movimiento de la cota 1 y la cota 2.

3.2.1 Cantidad de movimiento

Se supone la ecuacin del resalto hidrulico (110) para un canal rectangular por dosrazones:

1.

Para provocar un resalto hidrulico estable.2. Por facilidad de clculo.

De la misma manera se supone tambin que es un flujo permanente y flujo uniformepor facilidad de clculo.

Figura 22. Canal de seccin cuadrada con empuje E

Donde E es el empuje hidrosttico para una seccin rectangular, entonces:

G

hZ =

2 (111)

Y A = Bh (112)

Eh = y

B


56/133

51

Sustituyendo (108) y (109) en (107):

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

h Q h QB h + = B h +

2 gA 2 gA (113)

2 2 2 21 1 2 2

1 2

1 2

h Q h QB + = B +2 gA 2 gA

(114)

Que se puede escribir como

2 22 2 2 2 2 21 21 1 1 2 2 2

1 2

1 1 2 2

h v B h h v B hB + = B +

2 gB h 2 gB h (115)

2 22 2

1 21 1 1 2 2 21 2

h v B h h v B hB + = B +

2 g 2 g (116)

Como se tiene una constante B se divide toda la ecuacin entre esta constante.

2 22 2

1 21 1 2 2h v h h v h

+ = +2 g 2 g

(117)

Se acomodan trminos

2 22 2

2 11 2 2 1h h v h v h

- = -2 2 g g

(118)

Se factorizan las ecuaciones

2 2

2 22 11 2 2 1

1 1h - h = v h - v h

2 g (119)

Se despeja y se iguala a cero

2 2

2 21 21 2 1 2

1 1h - h + h v - h v = 0

2 g (120)

Considerando el q (Gasto unitario)

Q vBhq = q = q = vh

B B


57/133

52

Se despeja la velocidad (v)

qv =

h (121)

Sustituyendo (122) en (121)

2 2

2 2 1 21 1 1 22 2

1 2

q q1 1h - h + h - h = 0

2 g h h

(122)

Reduciendo trminos

2 2

2 2 1 21 2

1 2

q q1 1h - h + - = 0

2 g h h

(123)

Se factoriza el trmino de q y se tiene:

2

2 2

1 2

1 2

1 q 1 1h - h + - = 0

2 g h h

(124)

Se multiplica por dos la ecuacin para eliminar el un medio.

2

2 2

1 2

1 2

2q 1 1h - h + - = 0

g h h

(125)

La ecuacin (125) se puede reescribir como:

2

1 21 2 1 2

1 2

h - h2qh - h h + h - = 0

g h h

(126)

Dividiendo entre 1 2h - h :

2

1 2

1 2

2q 1h + h - = 0

g h h

(127)

Multiplicando por2h :

22 22 1 2

1 2

h2qh + h h - = 0

g h h

(128)


58/133

53

Acomodando trminos

22

2 1 2

1

2q 1h + h h - = 0

g h

(129)

Otra manera de escribir esta ecuacin es:2

2

2 1 2

1

2qh + h h - = 0

gh (130)

Una forma de solucionar esta ecuacin es utilizando la frmula general para la resolucinde ecuaciones de segundo grado:

S 2Ax + Bx + C = 0

2-b b -4ac

x =2a

Para1h =tirante alterno 1

221 2

hh = -1+ 1+ 8fr

2

(131)

Para2h =tirante alterno 2

212 1

hh = -1+ 1+ 8fr

2

(132)

El salto hidrulico se puede clasificar por sus tirantes segn sea el tirante 2h (despus del

salto); menor, igual o mayor al tirante fijo aguas abajo'

2h segn sea en los siguientes

casos:

Caso 1. S'

2 2h h ; salto ahogado

La energa en la seccin 2 es menor que en la seccin '2 ; luego, el empuje esmayor hacia la izquierda y se ahoga la zona del salto. Este salto es el ms estable.


59/133

54

Figura 23. Salto hidrulico ahogado

Caso 2. S'

2 2h = h ; salto claro

Ambas secciones tienen la misma energa y existe un equilibrio total. Este salto es elms eficiente debido a que en el resalto hidrulico se busca provocar una grandisipacin de energa.

Figura 24. Salto hidrulico claro

1h 2h

'

2h

1h

2h '2h


60/133

55

Caso 3. S'

2 2h h ; salto corrido

La energa de la seccin 2 es mayor que la de la seccin 2. Sucede lo opuesto alprimer caso, el salto se corre y sigue un perfil ondulado perdiendo energa hasta

alcanzar el nivel correspondiente al tirante

'

2h . Este tipo de salto es poco eficiente ymuy inestable, por lo que debe evitarse siempre.

Figura 25. Salto hidrulico corrido (ondulado)

A continuacin, las principales frmulas empricas para el clculo del resalto hidrulico encanales rectangulares.

Smetana 2 1L = 6 h -h (133)

Safranez1 1

L = 5.9h fr (134)

Einwachter 1L = 8.3h fr -1 (135)

Wycicki 22 11

hL = h -h B -0.05

h

(136)

Chertusov 0.811 1L =10.3h fr -1 (137)

1h 2h

'

2h


61/133

56

3.3 Aplicaciones prcticas de la ecuacin del resalto hidrulico

En esta seccin pondremos en prctica con unos sencillos ejemplos las aplicacionesprcticas de la ecuacin del resalto hidrulico.

Ejemplo 1

Considere un canal rectangular cuyo ancho B= 6m, en dicho canal se presenta un resaltohidrulico y uno de sus tirantes es igual a 0.40 m; por el canal pasan 50 mil litros/seg.

Calcular el tirante conjugado, las prdidas de energas1-2E f

= h y las longitudes delresalto hidrulico.

Datos

Q= 50 mil litros/seg

1y = 0.40m

B= 6 m

Solucin

A=bh

A=6(0.4)=2.40 m2

Q=vA

Q 50 mv = = = 20.83

A 2.40 s

v 20.83

Fr = = =10.51gy 9.81 0.4

B=6 m

y= 0.40

y2=?

212 1

2

2

hh = -1+ 1+ 8Fr

20.4

h = -1+ 1+ 8 10.512

h2= 5.75 m

3

2 1

E 1-2

1 2

3

1-2

1-2

h - h = h =

4h h

5.75-0.4h =

4 5.75 0.4

h =16.64m


62/133

57

Longitudes del resalto hidrulico

Smetana= 2 1L = 6 h - h

L = 6(5.75-0.4) = 32.10m

Satranez= 1 1L = 5.9h FrL = 5.9(0.4)(10.51) = 24.80m

Einwachter=

1L = 8.3h (Fr -1)

L = 8.3(0.4) 10.51-1 = 31.57m

Wyciki=

22 1

1

hL = h - h B-0.05

h

5.75

L = 5.75-0.4 6 -0.05 = 28.25m0.4

Chertusov=

0.81

1 1

0.81

L =10.3h Fr -1

L =10.3 0.4 10.51-1 = 25.54m

Como conclusin del ejercicio se puede decir que es vlida cualquier frmula, sin embargoes preferible al usar todas estas frmulas sacar al final un promedio de todas las longitudespor seguridad y economa.

Ejemplo 2

Con base en la siguiente figura calcule H y z para que se presente un salto hidrulico claroal pie del cimacio indicado en la figura.

L=B=b=22 m

h1=0.8 m

h2=4.2 m

CD=2.10H

z

h1

h2

P.H.C.


63/133

58

Solucin

121 2

2 1

122 2

11

122 2

11

2

221

1

2

221

1

2

2

1

1

2

1

1

hh = 1+8Fr -1

2

h1+8Fr -1

h

2

h+1= 1+8Fr

h

2

h+1 =1+8Fr

h

2

h+1 -1= 8Fr

h

2

h+1 -1

h

2= Fr

8

4.2+1 -1

0.8

2Fr =

8

Fr = 4.05

1 1

1

21

1 1

3

3

2D

2

3

D

2

3

2

11

2

11

2

vFr =

gy

v = Fr gy

v = 4.05 9.81 0.8

mv = 11.35

s

A = bh

A = 22 0.8

A =17.6m

Q = A v

Q = 17.6 11.35

mQ =199.76

s

Q = C LH

QH =

C L

199.76H =

2.10 22

H = 2.65m

vz + H = h +

2gv

z = h + - H2g

11.35z = 0.80 + - 2.65

2 9.81

z = 4.71m


64/133

59

Ejemplo 3

Con los datos proporcionados en la siguiente figura, calcule la cota A.

Datos

Cota B=100 m.s.n.m.

CD=2.00

z=6 m

hB=2.50 m

hB=hc

Solucin

12 3

c

23

c

3

c

3

3

qh =

g

qh =

g

q = gh

q = 9.81 2.5

mq =12.38

s

m

Ejemplo 4

En un canal rectangular, de ancho constante en toda la longitud de la estructura, determinequ tipo de salto se presenta aguas abajo del cimacio

Datos

H

z

Cota A

P.H.C.

Cota B

S0=0

hB

S0>Sc

3

2D

2

3

D

2

3

q = C H

qH =

C

12.38H =

2

H = 3.37m

Cota A= Cota B+z+H

Cota A= 100+6+3.37

Cota A=109.37 m.s.n.m.

Bh = 3m 20

3

v= 0m

2g

mq = 4

s

m

H = 5.50m

HhB


65/133

60

Solucin

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

2

q

hH = h +

2g

4

h5.50 = h +

2 9.81

4

h5.50 = h +

19.62

h = 1 m

41

5.50 =1+19.62

5.50 1.81

1

2

1

2

h = 0.50m

4

0.505.50 = 0.50+

19.62

5.50 3.76

h = 0.40m

4

0.405.50 = 0.40+

19.62

5.50 5.4968 5.50

1

1

1

1

1

1

21

212 1

2

2

2

q = vh

qv =h

4v =

0.40

mv =10

s

vFr =

gh

10Fr =

9.81 0.40

Fr = 5.05

hh = 1+8Fr -1

2

0.40h = 1+8 5.05 -1

2

h = 2.66m

Como h2< hB se presenta un salto hidrulicoahogado.


66/133

61

Ejemplo 5

En la figura se presenta un salto hidrulico claro. Si se cuenta con los siguientes datos:

Datos

CD= 2.12

H=4.80 m

h2= 7.50 m

0-1fh = 0

Calcular:

a) El desnivel z.

b) La longitud del tanque amortiguador L Tanque.

c) Las prdidas de energa ocasionadas por el salto hidrulico1-2f

h

Solucin a)

3

2D

3

2

3

2 2

22

2

2

q = C H

q = 2.12(4.80)

mq = 22.29

s

m

q = v h

qv =

h

22.29v =

7.50

mv = 2.97

s

H

z

h1

h2

S0=0

L TanqueP.H.C.

2

2

1

22 21 2

12 2

1

1

vFr =

gy

2.97Fr =

9.81 7.50

Fr = 0.35

hh = 1+8Fr -1

2

7.50h = 1+8 0.35 -1

2

h =1.53m

1 1

1

1

1

1

2

11

21

1

2

q = v hq

v =h

22.29v =

1.53

v =14.57

vz + H = h +

2g

vz = h + - H

2g

14.57z = 1.53 + - 4.80

2 9.81

z = 7.55m


67/133

62

b)

L Tanque= 2 16 h - h

L Tanque= 6(7.50-1.53)

L Tanque= 35.82 m

c)

1-2

1-2

1-2

1-2

1-2

1-2

2 2

1 21 1 2 2 f 1 2

2 2

1 21 2 f

2 2

f

f

f

f

v vz + h + = z + h + + h z = z = 0

2g 2g

v vh + = h + + h

2g 2g

14.57 2.97

1.53+ = 7.50 + + h2 9.81 2 9.81

12.35 = 7.95+ h

h =12.35- 7.95

h = 4.40m

Tambin se puede utilizar para el clculo de las prdidas de energa en un salto claro lasiguiente frmula:

1-2

1-2

1-2

3

2 1

f

1 2

3

f

f

h - h

h = 4h h

7.5-1.53h =

4 1.53 7.50

h = 4.63m

Ejemplo 6

Calcule'

2h si el salto hidrulico tiene un ahogamiento del 15%.

Datos

H0= 2.50 m a= 0.50 m

= 0.85

B=b= 5 m

H0a

h1h2 (fija)


68/133

63

Coeficiente Cc de la tabla obtenida por Yukorsky

a/H0 Cc< 0.10 0.6110.20 0.620

0.30 0.6250.40 0.6300.50 0.6450.60 0.6600.65 0.6750.75 0.705

Solucin

0

a 0.50

= = 0.20H 2.50 , por lo tanto Cc= 0.620

1

1

1

1

20 1

12

1

1

1

1

h = aCc

h = 0.50(0.620)

h = 0.31m

q = Cc a 2g H - h

q = 0.620 0.85 0.50 2 9.81 2.50 - 0.31

mq =1.73

s

m

qv =

h

1.73v =

0.31

mv = 5.58

s

1

1

121 2

2 1

1

2 22

2

'

2 2

'

2

'

2

vFr =gy

5.58Fr =

9.81 0.31

Fr = 3.2

hh = 1+ 8Fr -1

2

0.31h = 1+ 8 3.2 -12

h = 1.256m

h = 1.15h

h = 1.15 1.256

h = 1.44m


69/133

64

Ejemplo 7

En la figura se indica el perfil de un canal rectangular que descarga transversalmente a unro, siendo:

Datos

3

1

mq = 6

s

m

h = 0.50m

Calcule h2y1-2f

h si se presenta un salto hidrulico claro. Dimensione el tanque

amortiguador.

1

1

1

1

11

1

1

1

212 1

2

2

2

qv =

h

6v =

0.50

mv =12

s

vFr =

gy

12Fr =

9.81(0.50)

Fr = 5.42

hh = -1+ 1+ 8Fr 2

0.50h = 1+ 8 5.42 -1

2

h = 3.59m

h1h2

1-2

1-2

1-2

3

2 1

f

1 2

3

f

f

h - hh =

4h h

3.59-0.50h =

4 0.50 3.59

h = 4.11m

Longitud del tanque amortiguador

Smetana

2 1L = 6(h -h )

L = 6(3.59-0.50)

L =18.54m

Safranez

1 1L = 5.9h Fr

L = 5.9(0.50)(5.42)

L =16m


70/133

65

Einwachter

1 1L = 8.3h Fr -1

L = 8.3(0.50) 5.42 -1

L =18.34m

Chertusov

0.81

1 1

0.81

L =10.3h Fr -1

L =10.3 0.50 5.42-1

L = 17.16m

Ejemplo 8

Dado el siguiente canal donde B=b=10 m y Q= 100 m3/s, se desea confinar el salto

hidrulico de manera que fuera del tanque amortiguador la velocidad en el canal nosobrepase la velocidad lmite Vmax=0.8 m/s, el escaln que se presenta mide h2/6.

Calcule el tirante h1considerando que el salto es claro (suponga2-0f

h = 0).

Datos

B= b= 10 m

Q= 100 m3/s

Vmax=0.8 m/s

2-0

2

f

hz =

6

h = 0

Solucin

2

2

Q = vA

QA =v

100A =

0.8

A =125m

h1

h2 h0 Q

2hz =6

2

2

2

A = hb

Ah =b

125h =

10

h = 12.5m

2

2

2

2

2

vFr =

gy

0.8Fr =

9.81(12.5)

Fr = 0.07

2

1

1

12.5h = -1+ 1+ 8 0.07

2

h = 0.12m


71/133

66

Ejemplo 9

Qu tipo de salto se presenta en el siguiente canal rectangular?

Datos

q= 30 m3/s/m

hA=1.6 m

z=16 m

h2= 13 m

h2= ?

Solucin

q = vh

qv =

h

30v =

1.6

mv =18.75

s

vFr =

gy

18.75Fr =

9.81(1.6)

Fr = 4.73

Ejemplo 10

En un canal rectangular se presenta un salto con ahogamiento del 12%, CD= 2.12.

Cota B= 100 m. Calcule la cota A.

hA=1.6 m

A

q=30 m3/s/m

z=16 m

h2=13 m

2

2

2

1.6h = -1+ 1+ 8 4.73

2

h = 9.93m

Como h2= 9.93 m < h2=13 m el resalto hidrulico es ahogado.


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67

Solucin

S H=hA=10 m

3

2D

3

2

3

2

2

2

2

22

2

2

2

q = C H

q = 2.12 10

mq = 67.04

s

m

qv =h

67.04v =

10

mv = 6.7

s

vFr =

gy

6.7Fr =9.81 10

Fr = 0.68

221 2

2

1

1

1

hh = -1+ 1+ 8Fr

2

10h = -1+ 1+8 0.68

2

h = 5.84m

CotaA = CotaB+ h

CotaA = 100+5.84

CotaA =105.84


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68

CAPTULO 4

ECUACIONES SEMIEMPRICAS FUNDAMENTALES DE LA HIDRULICA DECANALES PARA FLUJO UNIFORME

4.1 Ecuacin de Chzy

Para que un flujo sea considerado flujo uniforme este debe cumplir con ciertas condicioneslas cuales segn la hiptesis del flujo uniforme son las siguientes.

Sus pendientes deben ser iguales0 a eS = S = S

Dnde:

0S = pendiente del canal

aS = pendiente del agua

eS = pendiente de la energa

Lo que significa que la pendiente del canal, de la lnea del nivel del agua y de la lnea deenerga debe ser la misma en cada una de ellas. La pendiente

0S se puede determinar con la

siguiente expresin y a partir de all determinar las dems pendientes requeridas.

0

hS =

L (138)

Figura 26. Condicin de pendiente para el flujo uniforme en un canal

L


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69

Adems de la condicin anterior hay ciertos requisitos que se deben cumplir para que elflujo sea llamado uniforme como los siguientes.

Prismtico. El canal deber mantener siempre una misma geometra pues al cambiaresta entonces cambiar su velocidad o gasto y el flujo dejar de ser uniforme.

1 2 3 ny = y = y = . ..y . Para que el flujo sea uniforme el canal deber mantener entodo momento y a lo largo del canal un mismo tirante.

1 2 3 nQ = Q = Q = ...Q . Deber mantener un mismo gasto en toda la seccin.

1 2 3 nv = v = v = ...v . Para que un flujo sea uniforme este deber mantener una

misma velocidad en todo el canal.

Permanente.

Irrotacional. Esto es cuando las partculas del fluido tienden a deslizarse sin rotarentre ellas. Este caso se da cuando el flujo es laminar sin embargo se supone que elflujo es irrotacional por facilidad del clculo.

Las lneas de flujo son paralelas (no divergentes) (no convergentes).

Otro de los factores a considerar en un canal es la friccin que este tendr, un canal puedeser rugoso o liso de acuerdo al tipo de acabado que tenga; se dice que es rugoso cuando esun canal de tierra en el que pueden presentarse partculas vegetales y que por lo tanto puedehaber un alto ndice de filtracin en el suelo y arrastre de partculas. Por otro lado, loscanales de concreto o mampostera segn su acabado pueden ser lisos o rugosos sinembargo para efectos prcticos estos se consideran como un canal liso por su bajoporcentaje de infiltracin y arrastre de partculas.

Antoine de Chzy (1 de septiembre de 1718, Chlons-en-Champagne- 4 de octubre de1798, Pars) fue un ingeniero que en 1768 siendo escogido como colaborador de Jean-Rodolphe Perronet dedujo la frmula de Chzy que permite calcular la velocidad media deuna corriente en flujo uniforme conociendo la pendiente y el radio hidrulico.

Se sabe que la frmula de Chzy para la velocidad en flujo uniforme es:

0v S Rh (139)

Se sabe que la frmula para la determinacin del radio hidrulico es AhRh =Pm

esta

frmula se substituye en Rh y se tiene.

0

Ahv S

Pm (140)
http://es.wikipedia.org/wiki/Ch%C3%A2lons-en-Champagnehttp://es.wikipedia.org/wiki/4_de_octubrehttp://es.wikipedia.org/wiki/4_de_octubrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Rodolphe_Perronethttp://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Rodolphe_Perronethttp://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Rodolphe_Perronethttp://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Rodolphe_Perronethttp://es.wikipedia.org/wiki/4_de_octubrehttp://es.wikipedia.org/wiki/4_de_octubrehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ch%C3%A2lons-en-Champagne


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70

Se agrega el coeficiente de Chzy (C) para el clculo de velocidad en canales abiertos comocoeficiente de resistencia.

0v = C S Rh (141)

Para el clculo del coeficiente de Chzy (C) como coeficiente de resistencia hay variasversiones, se toma la frmula de Ganguillet y Kutter (1877) en el sistema mtrico por ser lams exacta para el estudio de este tema.

0

0

1 0.0015523 + +

n SC =

0.001551+n 23+

S

Rh

(142)

Donde:

Rh = Radio hidrulico

0S = Pendiente del canal

C= coeficiente de resistencia de Chzy

n= Factor de rugosidad.

El factor de rugosidad (n) depende del material con que este hecho el canal ya sea tierra,

concreto, mampostera, etc.

4.2 Ecuacin de Robert Manning

La ecuacin de Manning- Strickler fue acuada por el ingeniero Robert Manning (1816-1897) y el ingeniero Albert Strickler (1887-1963) de manera independiente, es unaecuacin emprica que se utiliza para estimar la velocidad media de un lquido que fluyesobre un conducto.

Q = vA (16)

2

30

AQ = Rh S

n (143)

2

30

1v = Rh S

n (144)


76/133

71

Donde:

v= Velocidad media de la seccin transversal

n= Rugosidad de Manning (Esfuerzo cortante)

Rh= Radio hidrulico

0S = Pendiente de la seccin

Considrese la figura 24 como un canal trapezoidal en la que1 2

m = m , para este tema es

posible no partir de la ecuacin de continuidad ( Q = vA ).

Figura 27. Canal con seccin trapezoidal y diferencial de superficie ds

Sea un canal natural, un trapezoidal o de cualquier otra forma; sin importar el material del

que est construido para fines matemticos se partir de la idea de que se estudia un canaltrapezoidal. A este canal se le toma una diferencial de superficie y a esta muestra se le da elnombre de diferencial de superficie ds.

Figura 28. Diferencial de superficie del canal de estudio

A esta superficie no importa que tan pequea sea, est asociada a un vector al que se le dar

el nombre de vector v

y esta superficie vectorial matemticamente es igual a:

x= v ds

(145)

ds

ds


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72

Y este a su vez se expresa:

x, y,z i j zd

= v + v + vdx

(146)

que es la partcula que se encuentra en el canal.

De esta forma la velocidad es la tasa de cambio de sus vectores asociados i, j y z como semuestra a continuacin.

ji zx,y,z

dvdv dv= + +

dx dy dz (147)

Que es lo que realmente ocurre en el canal, esta partcula se desplaza en tres direcciones.Como se muestra ms claramente en la figura 26.

Figura 29. Representacin de los vectores de una partcula de agua en un canal

Figura 30. Acercamiento de la partcula de vectores en el canal

Para el estudio de este se toma el vector en la direccin en x (vector iv ). Para que esta

teora sea vlida se debe considerar un flujo uniforme, esta propiedad se define como lacantidad de masa; que se refiere a la cantidad de masa que pasa en ese diferencial que sedefine como el vector por la diferencial ds. Pero si se quiere saber cunta masa pasa en esaseccin se suman todos los vectores de superficie que es el rea de toda la seccin que es la


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73

masa total, la cual se llamar caudal (Q) y est determinada por la integral de la velocidad

xv por la diferencial de superficie ds.

xv ds (148)

Que es igual a la ecuacin de la continuidad

xQ v A (149)

Pero para flujo uniforme como no hay una ecuacin de la continuidad que tome en cuentauna velocidad en una pendiente que da de la siguiente forma.

Ecuacin de la conservacin de masa para Chzy es

0Q = C Rh S A (150)

Donde:

Q= Caudal (m3/s)

C= Coeficiente de resistencia de Chzy

Rh= Radio hidrulico


A= rea de la seccin (m2)

En la versin de Manning se tiene

2

30

1Q = Rh S A

n (151)

Q= Caudal (m3/s)

n= Coeficiente de Resistencia de Manning

Rh= Radio hidrulico



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74

A= rea de la seccin (m2)

Que son las ecuaciones de conservacin de masa aplicada a flujo uniforme.

En los canales a superficie libre naturales y artificiales se da el caso de que su rugosidadentendida esta como la n de manning;

2

30

AQ = Rh S

n (152)

2

30ARh S

n =Q

(153)

puede ser distinta en una seccin determinada. Por ejemplo, en un ro:

Figura 31. Canal natural con diferentes caractersticas del fondo

En un canal de riego de seccin trapezoidal:

Figura 32. Canal artificial con diferentes coeficientes de resistencia

Tierra

Piedras

(Bolcos)

Pasto

Mampostera Mampostera

Concreto


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75

En otro caso

Figura 33. Canal de seccin compuesta con dos coeficientes de resistencia

Por esa razn, Horton y Hans Albert Einstein, propusieron una n equivalente ( en ) para

los diferentes tipos de rugosidad que pueda contener el canal.

La ecuacin Horton- Einstein

2

1.5 3

i i

e

Pnn =

P

(154)

21.5 1.5 1.5 1.5 3

1 1 2 2 3 3 n ne

P n + P n + P n +...+ P nn =

P

(155)

Donde:

n; son los diferentes factores de resistencia en el canal.

P es el permetro mojado.

Mampostera

(Gavin)

Mampostera

(Gavin)

Concreto


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76

4.3 Aplicaciones prcticas de las ecuaciones de la hidrulica de canales para flujouniforme

En esta seccin se resolvern ejercicios relacionados con los temas vistos en este captulo.

Ejemplo 1

En un canal de seccin rectangular se presentan las siguientes condiciones, determine:

a) Tipo de rgimen.

b) La pendiente del canal para que el rgimen sea crtico con el mismo gasto.

Datos

h0= 0.30 mQ=90 m3/s

Solucin a)

3

Qq =

B

90q =

10

m

q = 9 s

Solucin b)

S0=Sc

Pc=b+ 2hc

Pc=10+ 2(2.02)

Pc= 14.04 m

Ac=bhc

Ac=10(2.02)

Ac=20.2 m2

B=10 m

n=0.012

12 3

c

12 3

c

c

qh =

g

9h =

9.81

h = 2.02m

h0=0.30 m< hc=2.02 m por lo tanto el rgimen del

canal es supercrtico.

c

c

c

c

c

ARh =

P

20.2Rh =

14.04

Rh =1.4387m

c c

c

c

c

c

q = v h

qv =

h

9v =

2.02

mv = 4.455

s

2 13 2

c c c

1

c 2c2

3c

2

cc 2

3c

2

c 2

3

c

1v = Rh S

n

v= S

1Rh

n

vS =

1Rh

n

4.455S =

11.4387

0.012

S = 0.00176


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77

Ejemplo 2

Un canal con rgimen uniforme y seccin con mxima eficiencia tiene los siguientes datos:

Datos

k=1.50

n=0.014

Determine si su rgimen es subcrtico o supercrtico.

Solucin

Verific

hidraulica de canales fundamentos y ejercicios

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