guia+para+seminarios+de+estadistica+ii

Cátedra de Estadística II

Guía de Actividades para Seminarios y Autoevaluación

Prof. Mariana Alcalde

- Año 2012 -

Universidad Empresarial Siglo 21 Estadística II

Seminarios de Ejercitación y Autoevaluación Cra. Mariana Alcalde

2

INDICE DE CONTENIDOS 1 Seminario 1: Distribución de una variable; Distribución de muestreo------- 3 Seminario 1: Preguntas de Autoevaluación--------------------------------------

5

2 Seminario 2: Intervalos de confianza para la media y la proporción--------- 8 Seminario 2: Preguntas de Autoevaluación-------------------------------------- 9 Seminario 2: Ejercicios Complementarios---------------------------------------

12

3 Seminario 3: Pruebas de Hipótesis con la media (utilizando z y t)----------- 14 Seminario 3: Preguntas de Autoevaluación-------------------------------------- 15 Seminario 3: Ejercicios Complementarios---------------------------------------

18

4 Seminario 4: Potencia de una prueba y valor p --------------------------------- 19 Seminario 4: Preguntas de Autoevaluación-------------------------------------- 20 Seminario 4: Ejercicios Complementarios---------------------------------------

22

5 Seminario 5: Pruebas de diferencias de medias --------------------------------- 23 Seminario 5: Preguntas de Autoevaluación-------------------------------------- 25 Seminario 5: Ejercicios Complementarios---------------------------------------

28

6 Seminario 6: Pruebas de Hipótesis sobre proporción y varianza ------------- 30 Seminario 6: Preguntas de Autoevaluación--------------------------------------

31

7 Seminario 7: Pruebas para datos categóricos------------------------------------ 34 Seminario 7: Preguntas de Autoevaluación--------------------------------------

36

8 Seminario 8: Análisis de Varianza (Primera Parte)-----------------------------

39

9 Seminario 9: Análisis de Varianza (SegundaParte)-----------------------------

41

10 Seminario 10: Análisis de Regresión Lineal y Correlación-------------------

43



3

Seminario 1: Distribución normal de una variable; Distribución de muestreo. Ejercicio 1: El departamento de marketing de una empresa de teléfonos celulares conoce que los montos de las facturas mensuales de sus clientes no corporativos sigue una distribución normal con media de $80 y desviación estándar de $12. Para planificar mejor sus estrategias comerciales para los próximos meses desean conocer:

a) ¿Qué porcentaje de los clientes tienen un consumo entre $80 y $93? b) ¿Qué porcentaje de los clientes tienen un consumo entre $90 y $105? c) ¿Qué porcentaje de los clientes tienen un consumo inferior a $68? d) ¿Qué porcentaje de los clientes tienen un consumo entre $70 y $90? e) Si se realiza una campaña de telemarketing llamando a 100 clientes de manera

aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de que, en promedio, esos clientes tengan un consumo entre $80 y $93? Notar la diferencia con la pregunta a).

Ejercicio 2: Si una empresa de transporte realiza envíos de mercadería al exterior que se distribuyen de manera normal con media de 40kgs, y cuenta con un 7% de envíos que exceden los 70 kgs. Responda:

a) ¿Cuál es la desviación estándar del total de envíos? b) Si se tomara una muestra de 150 envíos, ¿Cuál es la probabilidad de que la media de

esos envíos supere los 50kgs.? Ejercicio 3: Las llamadas telefónicas de larga distancia se distribuyen normalmente con µ=8 minutos y σ= 2 minutos. Si se seleccionan muestras aleatorias de 25 llamadas,

a) Calcular el error estándar de la media muestral. b) ¿Qué porcentaje de las medias de muestra estaría entre 7.8 y 8.2 minutos? c) ¿Qué porcentaje de las medias de muestra estaría entre 7.5 y 8 minutos? d) Si se seleccionaran muestras de 100 llamadas ¿Qué porcentaje de las medias de

muestra estaría entre 7.8 y 8.2 minutos? e) Explique la diferencia entre los resultados de los puntos b) y d). f) ¿Qué es más probable que ocurra: un valor individual mayor de 11 minutos, una

media de muestra por arriba de 9 minutos en una muestra de 25 llamadas, o una media de muestra por arriba de 8.6 minutos en una muestra de 100 llamadas?

Ejercicio 4: Un encuestador político está conduciendo un análisis de resultados de muestra con el fin de hacer predicciones en la noche de elecciones. Suponiendo una elección en la que participan dos candidatos, si un candidato específico recibe al menos 55% de los votos de la muestra, entonces ese candidato se pronosticará como ganador de la elección. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 votantes ¿cuál es la probabilidad que un candidato sea pronosticado ganador cuando

a) El porcentaje real de sus votos es 50.1%? b) El porcentaje real de sus votos es 60%? c) El porcentaje real de sus votos 49% (y, de hecho, perderá la elección)?



4

d) Responda las preguntas anteriores considerando que se toma una muestra de 400 votantes. Analice las diferencias.

Ejercicio 5: Históricamente, el 10% de un gran envío de partes mecánicas están defectuosas. Si se seleccionan muestras aleatorias de 400 partes ¿Qué porcentaje de las muestras tendrá:

a) Entre 9% y 10% de partes defectuosas? b) Menos de 8% de partes defectuosas? c) Si se hubiera seleccionado un tamaño de muestra de únicamente 100 partes ¿cuáles

habrían sido las respuestas en a) y b)? d) ¿Qué es más probable que ocurra: un porcentaje defectuoso por arriba de 13% en

una muestra de 100 o un porcentaje defectuoso por arriba de 10.5% en una muestra de 400 partes?

e) Si conocemos que el envío incluía 5000 partes mecánicas, ¿Cuáles serían las respuestas para los puntos a) y b)?

Ejercicio 6: En una Facultad de nuestro medio se ha realizado un censo de los 3750 estudiantes, que demuestra que las edades de los alumnos sigue una distribución fuertemente sesgada hacia la derecha, con media de 22 años, y desviación estándar de 4 años. Las autoridades desean realizar una encuesta sobre las expectativas laborales de los estudiantes a 250 estudiantes (elegidos al azar).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la edad de los alumnos encuestados supere los 25 años?



5

Preguntas de Autoevaluación : Seminario 1

1. ¿Cuál es el valor del error estándar de la media calculado en el punto e) del ejercicio 1 (seminario 1)? a) 10 b) 12 c) 1.2 d) 10,83 e) 1,083

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor las diferencias entre los puntos

a) y e) del ejercicio 1? a) En el punto e) la desviación estándar utilizada es mayor dado que dividimos la

desviación poblacional por la raíz del tamaño de la muestra. b) En el punto e) la desviación estándar utilizada es menor dado que dividimos la

desviación muestral por la raíz del tamaño de la muestra. c) En el punto e) el área bajo la curva normal es menor dado que la desviación estándar

utilizada es menor. d) En el punto e) el área bajo la curva normal es mayor dado que la desviación estándar

utilizada es mayor. e) En el punto e) el área bajo la curva normal es mayor dado que la desviación estándar

utilizada es menor.

3. Con los datos proporcionados en el ejercicio 2. ¿Cuál es la probabilidad de que los envíos no superen los 70kgs y cuál la de que los envíos pesen exactamente 70kgs? a) P ( x ≥ 70) = 0,93 y P (x=70) = 0,07. b) P ( x ≥ 70) = 0,93 y P (x=70) = 0 c) P ( x ≤ 70) = 0,93 y P (x=70) = 0,07. d) P ( x ≤ 70) = 0,93 y P (x=70) = 0 e) P ( x ≤ 70) = 0,07 y P (x=70) = 0

4. ¿Qué utilidad tiene el Teorema Central del Límite en el ejercicio 2? a) Permite suponer que el peso de los envíos se distribuye de manera normal. b) Permite suponer que la distribución de muestreo será normal. c) Permite suponer que la distribución de la muestra será normal. d) No es necesario aplicar el TCL dado que la población se distribuye normal. e) No es aplicable el TCL dado que solo tomamos una muestra.



6

5. ¿Qué clase de problemas nos presenta el ejercicio 4? a) Se trata de un problema de cálculo de probabilidades para una proporción muestral. b) Se trata de un problema de cálculo de probabilidades para una media muestral. c) Se trata de un problema de cálculo de probabilidades para la proporción poblacional. d) Se trata de un problema de estimación de la proporción poblacional dada la proporción

muestral. e) Se trata de un problema de cálculo de probabilidades para un valor de una variable

categórica.

6. Cuando el ejercicio 5 plantea que “Historicamente, el 10% de un gran envío de partes mecánicas están defectuosas”, nos está dando el dato de: a) La proporción de la muestra de partes mecánicas bajo estudio que están

defectuosas. b) La proporción de la población de partes mecánicas bajo estudio que están

defectuosas. c) La media de partes defectuosas en una muestra bajo estudio. d) La media de partes defectuosas en la población bajo estudio. e) El error estándar de la cantidad de partes defectuosas en una población.

7. ¿Cuál de los siguientes análisis conceptuales es el más adecuado para los resultados obtenidos en el punto e) de ejercicio 5? a) Dado que se ha tomado una muestra de mayor tamaño, ha disminuido el error

estándar de las proporciones muestrales. b) Dado que se ha tomado una muestra de mayor tamaño, ha aumentado la

probabilidad de encontrar una proporción entre los valores señalados. c) Dado que conocemos el tamaño de la población y que la muestra representa más

del 5% de ese tamaño, aplicamos un factor de corrección para la proporción muestral.

d) Dado que conocemos el tamaño de la población y que la muestra representa más del 5% de ese tamaño, aplicamos un factor de corrección por población finita al error estándar de la proporción.

e) Dado que conocemos el tamaño de la población y que la muestra representa más del 5% de ese tamaño, aplicamos un factor de corrección por población finita al estadístico z.



7

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa en relación al ejercicio 6? a) La media de la población es de 22 años. b) La varianza de la población es de 16 años2. c) El error estándar de la media es de 0,25. d) El factor de corrección por población finita es 0,9662. e) El tamaño de la población estudiantil es de 3750 alumnos.

9. En el ejercicio 6, la aplicación del Teorema Central del Límite resulta útil dado

que: a) La población tiene una distribución normal y se utiliza el TCL para establecer

que la distribución de muestreo tendrá una distribución normal considerando el tamaño de la población (mayor a 30).

b) La población tiene una distribución no normal y se utiliza el TCL para establecer que la distribución de muestreo tendrá una distribución normal considerando el tamaño de la muestra (mayor a 30).

c) La población tiene una distribución no normal y se utiliza el TCL para establecer que la distribución de muestreo tendrá una distribución normal considerando el tamaño de la población (mayor a 30).

d) La población tiene una distribución no normal y se utiliza el TCL para establecer que la distribución de las edades de la población tendrá una distribución normal considerando el tamaño de la población (mayor a 30).

e) La población tiene una distribución no normal y se utiliza el TCL para establecer que de las edades de la muestra tendrá una distribución normal considerando el tamaño de la muestra (mayor a 30).



8

Seminario 2: Estimación de intervalos de confianza para la media y la proporción.

Ejercicio 1: Para una muestra de 25 bebés varones de 12 semanas de vida, se obtuvo un peso medio de 5,9 Kg. y una desviación estándar de 94 grs. Se pide:

a) Obtener un intervalo de confianza (al 95%) para el peso medio poblacional.

b) ¿Cuántos niños habría que tomar para estimar dicha media con una precisión de 15 grs?

Ejercicio 2: En una muestra de tabletas de aspirinas, de las cuales observamos su peso en gramos, obtenemos:

1,19 1,23 1,18 1,21 1,27 1,17 1,15 1,14 1,19 1,2

Suponiendo la normalidad para esta distribución de pesos, determinar un intervalo al 80% confianza para la media.

Ejercicio 3: Para 96 familias argentinas elegidas al azar se ha determinado que la TV permanece encendida en la casa una media de 217 minutos diarios, la desviación típica de la muestra fue de 40 minutos. Responda: a) para una confiabilidad del 95% ¿Qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para el total de las familias argentinas? b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario para reducir el ese error muestral a la mitad?

Ejercicio 4: En una ciudad del interior de la provincia se ha realizado una encuesta a 500 personas preguntando si consideran que el jefe de la comuna debe renunciar. Un 70% de los encuestados respondió afirmativamente. Establezca un intervalo de confianza del 90% para el porcentaje de la población de la ciudad que considera que el jefe de comuna debe renunciar.

Ejercicio 5: Queremos estimar con un error máximo del 3%, el porcentaje de audiencia de un programa de TV, y queremos un 95% de confianza para nuestros resultados. No disponemos de información previa sobre el posible valor de p. ¿Cuántos telespectadores deberán ser encuestados?



9


1. Si en el ejercicio 1 quisiéramos obtener un intervalo de estimación para la media del

peso de los bebés con una confianza del 99%, cuál de las siguientes afirmaciones sería correcta: a) Aumentaría el nivel de significación (α). b) Disminuiría la amplitud del intervalo de confianza. c) Disminuiría el error estándar de la media muestral. d) Aumentaría el error de muestreo. e) Aumentaría el error estándar de la media muestral.

2. Cuando el enunciado del ejercicio 1 hace referencia a “una precisión de 15 grs”, está

informando el valor de: a) El nivel de significación. b) El error de muestreo (permitido). c) El error estándar de la media muestral. d) La desviación estándar del peso de los bebés. e) El nivel de confianza de la estimación.

3. En el ejercicio 2, cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA:

a) La media muestral es de 1,193 grs. b) La desviación estándar muestral es de 0,038 grs. c) El error estándar de la media es 0,012 grs. d) El error de muestreo es 0,017 grs. e) Se utiliza para el cálculo del intervalo un valor t=1.383 .

4. En el ejercicio 2, qué ocurriría si la población de la cual se extrae la muestra no fuese normal: a) Aplicando el TCL estableceríamos que la distribución de muestreo es normal y

operaríamos de igual modo. b) Aplicando el TCL estableceríamos que la distribución de la variable peso es

normal y operaríamos de igual modo. c) No podríamos concluir que la distribución de muestreo es normal aplicando el

TCL dado que el tamaño de la muestra no es suficientemente grande. d) No podríamos utilizar la distribución normal para el cálculo del intervalo y

deberíamos aplicar la distribución t. e) Aplicando el TCL estableceríamos que la distribución de muestreo tiene una

distribución sesgada a la derecha.



10

5. En el ejercicio 3, ¿Cuál es el valor del error estándar de la media?

a) 8 minutos b) 9,8 minutos c) 4,082 minutos d) 0,42 minutos e) 0,82 minutos

6. En el ejercicio 3, ¿Es necesaria la aplicación del factor de corrección para

poblaciones finitas? a) Si, dado que nos informan que la muestra es de 96 familias. b) Si, dado que la muestra supera el 5% de la población. c) Si, dado que sabemos que la cantidad de familias en que viven en Argentina es

una cantidad finita. d) No, dado que la muestra no alcanza al 5% de la población. e) No, dado que no conocemos el tamaño real de la población bajo estudio.

7. En el ejercicio 4, cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,60; 0,70] b) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,61; 0,79] c) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,66; 0,74] d) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,67; 0,73] e) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,69; 0,71]

8. En el ejercicio 4, ¿cuál sería el valor z utilizado en el cálculo del extremo inferior del intervalo de confianza (del 95%) para la proporción? a) -1,645 b) 1,645 c) -2,575 d) - 1,96 e) 1,96

9. En el ejercicio 5, ¿Cómo se realiza el cálculo del tamaño de muestra para la proporción cuando no hay datos sobre la proporción poblacional? a) Se toma una proporción estimada por el investigador. b) Se toma por convención un valor de p=0,05 dado que así el efecto será nulo en

el cálculo. c) Se toma la proporción muestral. d) Se toma por convención un valor de p=0,05 dado que garantiza la mayor

varianza posible y un cálculo con criterio conservador.



11

e) Se toma por convención un valor de p=0,05 dado que garantiza la menor varianza posible y un cálculo con criterio conservador.

10. En el ejercicio 5, ¿Si los investigadores estuviesen dispuestos a aceptar un error

máximo del 5%, qué cambios deberíamos ver en los resultados del ejercicio? a) Deberá incrementarse el tamaño de la muestra para que el error tenga ese valor. b) Podrá realizarse el estudio con un número menor de participantes y cumplir los

requerimientos del investigador. c) Disminuirá el nivel de confianza del estudio. d) Aumentará e nivel de confianza del estudio.



12

Ejercicios complementarios : Seminario 2

Ejercicio 1: Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de la pared de 20 botellas de vidrio de 2 litros. La media muestral resultó 4,05 mm y la desviación estándar de 0,08. Obtenga un intervalo de confianza al 90% para la media del espesor de la pared de las botellas.

Ejercicio 2: Los barcos que hacen visitas guiadas por el Sena disponen de 60 asientos por barco y una capacidad máxima de 4.200kg. por viaje. Los dueños de la empresa de barcos saben por experiencia que los pesos de los turistas tienen una media de 71 kg. y una dispersión, medida a través de la desviación típica, de 10kg. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 60 turistas elegidos aleatoriamente en uno de los viajes, tenga un peso medio superior al total de la carga límite permitida?, ¿Cuál sería el resultado si la varianza poblacional fuera desconocida? Nota: suponga que la desviación típica muestral es de 5kg.

Ejercicio 3: Una muestra de 40 canciones emitidas por una cadena de radio durante una semana conduce a que la duración media por canción es de 3,4 minutos con una desviación estándar de 1,2 minutos. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la duración media de las canciones emitidas por dicha emisora.

Ejercicio 4: Un antropólogo quiere estimar la estatura promedio de los hombres de cierta raza. Se pide: a) Si se supone que la desviación estándar de la población es de 8,2 cm. y se selecciona al azar a 100 hombres, encuentre la probabilidad de que la diferencia entre la media de la muestra y la media verdadera de la población no exceda los 2,5cm. b) Si se supone ahora que el antropólogo quiere que la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población sea menor a 2 cm. con una probabilidad de 0,95 ¿Cuántos hombres tendía que seleccionar para alcanzar su objetivo?

Ejercicio 5: En un centro comunitario local se está planificando un gran evento para recaudar fondos para campañas de salud preventiva. Se desea realizar una encuesta para conocer qué porcentaje de los vecinos están de acuerdo en realizar el evento el día de la primavera en contraposición a los que prefieren otra fecha. Los organizadores solicitan que se realice una estimación por intervalo con una confianza del 90%, y que el error de muestreo no sea mayor al 10%. ¿Cuántos vecinos deberán participar de la encuesta?

Ejercicio 6: Una agencia de encuesta selecciona 900 familias y calcula la proporción de éstas que utilizan cierto tipo de detergente. Si la proporción estimada es 0,35 ¿Cuál es el error estándar estimado?

Ejercicio 7: Una marca de lavadoras quiere saber la proporción de amas de casa que preferirían usar su marca. Toman al azar una muestra de 100 amas de casa y 20 dicen que la usarían. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha lavadora.



13

Ejercicio 8: Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio del líquido dispensado quede dentro de cierto rango. La cantidad de liquido vertido por la máquina sigue una distribución normal con desviación estándar 0, 15 decilitros. Deseamos que el valor estimado que se vaya a obtener comparado con el verdadero no sea superior a 0, 02 decilitros con una confianza del 95%.¿De qué tamaño debemos escoger la muestra?

Ejercicio 9: Se escogió al azar una muestra de 10 clientes de un banco y se les preguntó el número de veces que habían utilizado el banco para llevar a cabo alguna transacción comercial. Los resultados fueron los siguientes:

0 4 2 3 2 0 3 4 1 1

Estime el error estándar del número de transacciones promedio.

Ejercicio 10: Los siguientes números representan el tiempo (en minutos) que tardaron 15 operarios en familiarizarse con el manejo de una nueva máquina adquirida por la empresa: 3,4; 2,8; 4,4; 2,5; 3,3; 4; 4,8; 2,9; 5,6; 5,2; 3,7; 3; 3,6; 2,8; 4,8. Supongamos que los tiempos se distribuyen normalmente. A) Determina e interpreta un intervalo del 95% de confianza para el verdadero tiempo promedio. B) El instructor considera que el tiempo promedio requerido por los trabajadores es mayor que 5 minutos, ¿qué se puede decir de acuerdo con el intervalo hallado?



14

Seminario 3: Prueba de Hipótesis de la Media (con desviación conocida y desconocida)

Ejercicio 1: Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2,6 miligramos y una desviación estándar de 0, 9 miligramos. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular es de 2.4 miligramos? Con α = 0,05.

Ejercicio 2:Un contratista ha construido un gran número de casas aproximadamente del mismo tamaño y del mismo precio. El contratista afirma que el valor promedio de estas casas no excede de $35,000 dólares. Un corredor de bienes raíces selecciona aleatoriamente 5 de las casas construidas recientemente por el contratista y averigua los precios que resultan ser: $34,500, $37,000, $36,000, $35,000 y $35,500. ¿Contradicen estas cinco observaciones la afirmación del contratista acerca del valor promedio de sus casas?. Use α =0.05

Ejercicio 3: Se obtiene una muestra de 16 estudiantes con una y una varianza de S2 = 9 en un examen de estadística. Hay evidencia suficiente que apoye que la media poblacional de las calificaciones de estadística es mayor de 70 con α=0,05.

Ejercicio 4: Una encuesta revela que los 100 autos particulares que constituyen una muestra, se condujeron a un promedio de 12500 Km. durante un año, con una desviación de 2400 Km., en base a esta información probar la hipótesis donde en promedio los autos particulares se condujeron a 12000 Km. durante un año. Utilizar un nivel de significación del 5%.

Ejercicio 5: Una fábrica de llantas tiene dos turnos de operarios, turno de día y turno mixto. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 llantas producidas por el turno de día para ayudar al gerente a sacar conclusiones sobre la siguiente pregunta: ¿Es la duración promedio de las llantas producidas en el turno de día igual a 25 000 millas? El resultado de la muestra seleccionada es una media 25430 millas y una desviación estándar de 4000 millas.



15


1. ¿Cuál de los siguientes pares serán las hipótesis nula y alternativa, respectivamente, para el ejercicio 1? (nota: M= media muestral)

a) H0: M= 2,4 y H1: M≠2,4

b) H0: M= 2,4 y H1: M > 2,4

c) H0: µ= 2,4 y H1: µ≠2,4

d) H0: µ= 2,4 y H1: µ>2,4

e) H0: µ≤ 2,4 y H1: µ≠2,4

2. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa la zona crítica (de rechazo) para el ejercicio 1?

a) Rechazar H0 si t <-2,3646 o si t > 2,3646

b) Rechazar H0 si -2,3646 ≤ t ≤ 2,3646

c) Rechazar H0 si t <-1,8946 o si t> 1,8946

d) Rechazar H0 si -1.96 ≤ z ≤ 1.96

e) Rechazar H0 si -1.645 ≤ z ≤ 1.645

3. ¿Cuál de los siguientes pares serán las hipótesis nula y alternativa para el ejercicio 2? (nota: M= media muestral)

a) H0: M= 35600 y H1: M≠35600

b) H0: M ≤ 35000 y H1: M >35000

c) H0: µ= 35000 y H1: µ≠35000

d) H0: µ>35000 y H1: µ≤35000

e) H0: µ≤ 35000 y H1: µ>35000

4. En el ejercicio 2 del seminario 3, ¿Cuál es el estadístico de prueba (o estadístico calculado?:

a) z=1,39

b) t=1,56

c) z=1,56

d) t=1,39

e) t=3,12



16

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la conclusión a la que llegamos en el ejercicio 3?

a) Rechazamos la hipótesis nula dado que el estadístico de prueba obtenido es mayor a 1,7531.

b) No rechazamos la hipótesis nula dado que el estadístico de prueba obtenido es menor a 1,7531.

c) No rechazamos la hipótesis nula dado que el estadístico de prueba obtenido es menor a 1,645

d) Rechazamos la hipótesis nula dado que el estadístico de prueba obtenido es mayor a 1,645.

e) No rechazamos la hipótesis nula dado que el estadístico de prueba obtenido es menor a 1,96.

6. En el ejercicio 3 del seminario 3, ¿Cuál es el estadístico de prueba (o estadístico calculado?:

a) z= - 1,645

b) t= 2,67

c) z= 1, 645

d) t= - 2,67

e) t= - 0,88

7. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa la zona crítica (de rechazo) para el ejercicio 4? (nota: M es la media muestral)

a) Rechazar H0 si z < 11529,6 o si z > 12470,4

b) Rechazar H0 si µ< 11529,6 o si µ > 12470,4

c) Rechazar H0 si M < 11529,6 o si M > 12470,4

d) Rechazar H0 si M < 11952,96 o si z > 12047,04

e) Rechazar H0 si µ ≤ 11529,6 o si µ ≥ 12470,4

8. ¿Cuál es el valor del error estándar en el ejercicio 4?

a) 470,40

b) 240

c) 24

d) 47,04

e) 2400



17


a) H0: M= 25.000 y H1: M≠25.000

b) H0: M= 25.430 y H1: M≠25.430

c) H0: µ= 25.000 y H1: µ≠25.000

d) H0: µ= 25.430 y H1: µ≠25.430

e) H0: µ≤ 25.000 y H1: µ>25.000

10. En el ejercicio 5: ¿Cuál de los siguientes es el procedimiento más adecuado para encontrar los valores críticos de la prueba?

a. Deberán buscarse los valores de z, dado que conocemos el desvío estándar poblacional.

b. Deberán buscarse los valores de z, dado que conocemos el desvío estándar muestral.

c. Deberán buscarse los valores de z, dado que, si bien desconocemos el desvío estándar poblacional, la muestra es suficientemente grande y la distribución t puede aproximarse mediante la normal.

d. Deberá buscarse los valores de t, dado que desconocemos el desvío estándar poblacional y no podemos aproximarlo a la normal con los datos del problema.

e. Deberá buscarse los valores de t, dado que conocemos el desvío estándar poblacional.



18


Ejercicio 1: Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es 4,35 libras. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos (en libras):

4,41 4,37 4,33 4,35 4,30 4,39 4,36 4,38 4,40 4,39

Con un nivel de significación de 0,01, el aditivo ha aumentado el peso medio de los pollos?

Ejercicio 2: Una muestra de 16 mujeres de una gran ciudad dio para sus estaturas una media de 1,68m y una varianza de 0,12m2. Se trata de ver si esta muestra es consistente con la H0 de que la media en la ciudad es de 1,69m.

Ejercicio 3: En un establecimiento lechero, 18 vacas de raza Frisia, produjeron en promedio 70kg. en la tercer semana luego del parto, con un desvío de 6kg. ¿Se puede asegurar (α=0,05) que la producción aumentó con respecto a una media de 65kg?

Ejercicio 4: Suponga que un fabricante de llantas mide en miles de millas el período de vida de 10 llantas. Determina que la media es de 26,68 y que la varianza es de 12. Probar si es válido suponer que la media es mayor a 25. ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error perjudicial si el verdadero valor de la media es 24.

Ejercicio 5: Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?



19

Seminario 4: Potencia de una prueba y Cálculo del valor p

Ejercicio 1: Una institución Bancaria de la Región desea realizar un estudio para determinar cuál es el promedio (por fin de semana) de extracciones por cajero automático para considerar si incrementará el efectivo disponible en el futuro, que actualmente asciende a $150.000. Con este propósito tomará una muestra de 50 cajeros automáticos en un fin de semana determinado. Históricamente la desviación estándar de la extracción diaria fue de $ 20.000. La institución necesita realizar el procedimiento con una confianza del 99%. ¿Cuál es la potencia de esta prueba si los clientes verdaderamente retiraran $160.000 en promedio por fin de semana?

Ejercicio 2: Deseamos evaluar el desempeño promedio de los alumnos de una institución y en base a datos previos suponemos que se aproxima a los 7 puntos, con una desviación estándar de 0,50 puntos. Si hay evidencia de que el promedio de notas es superior se incorporarán contenidos más complejos y si es inferior se realizarán talleres especiales de técnicas de estudio. Se evaluará un grupo de 100 alumnos seleccionados de manera aleatoria. Considerando un nivel de significación del 5%, ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II si el promedio real de alumnos fuese 7,20?

Ejercicio 3: Durante una auditoria de la AFIP, se ha tomado una muestra de 400 facturas de compras correspondientes a un determinado proveedor de un supermercado mayorista. Los auditores consideran que un promedio de por lo menos $35.000 indica una sobrefacturación y consecuente evasión impositiva. ¿Cuál es la probabilidad de que los contadores auditores no cometan un error perjudicial si por otros medios el supermercado puede probar que el promedio de compras a este proveedor fue de $34.500? (utilizar α = 0,05 y σ=$2.000).

Ejercicio 4: En una muestra de 100 ingresantes a la carrera de Ingeniería se obtuvo un promedio de 120 pts. en el test de inteligencia administrado en el proceso de admisión. Se conoce que históricamente este test tiene un desvío estándar de 20pts. Los directivos quieren verificar que el promedio en ese examen es de 115. Calcular el valor p de esta prueba.

Ejercicio 5: Para la elaboración de un yogurt frutado las normas indican que deben incluirse 15 mg de extracto de pulpa de frutilla por cada litro de producto. Se ha tomado una muestra de 100 litros provenientes de diferentes partidas durante los últimos, días dado que se han recibido reclamos de los consumidores indicando que la cantidad de fruta es menor a la establecida en el envase. El gerente de la planta desea conocer con una significación del 0.01 cuál es el riesgo de enviar al mercado producción deficiente si en la verdadera cantidad de extracto fuese de 13mg por litro en promedio. Estudios anteriores estiman que la desviación estándar considerando botellas de diferentes partidas es de 2,6gr.

Ejercicio 6: Si en el estudio del ejercicio anterior se hubiese obtenido una media de 14gs. por litro. ¿Cuál sería el valor p de la prueba? ¿Qué decisión tomaría el gerente de la planta?



20


1. Teniendo en cuenta los datos del ejercicio 1, indique cuál es la probabilidad de cometer el error tipo 2 si el verdadero promedio de retiros diarios es $160.000. a) 0,8869 b) 0,3869 c) 0,1131 d) 0,4429 e) 0,0571

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la definición de potencia de una

prueba? a) Es la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula, cuando debería ser

rechazada. b) Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, cuando debería ser rechazada. c) Es la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula, cuando no debería ser

rechazada. d) Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, cuando no debería ser

rechazada. e) Es la probabilidad de cometer el error tipo II.

3. Teniendo en cuenta los datos del ejercicio 2, indique cuál es la probabilidad de

rechazar la hipótesis nula si el verdadero promedio de notas fuese de 7,2. a) 0 b) 0,4906 c) 0,5257 d) 0,0257 e) 0,4743


a) H0: M= 7 y H1: M≠ 7

b) H0: M= 7,2 y H1: M≠ 7,2

c) H0: µ= 7 y H1: µ≠ 7

d) H0: µ= 7,2 y H1: µ≠ 7,2

e) H0: µ ≤ 7 y H1: µ> 7



21

5. Considerando los datos del ejercicio 3, indique cuál es la potencia de la prueba.

a) 0,004 b) 0 c) 0,9996 d) 0,05 e) 0,4996

6. Si los auditores quisieran realizar la investigación con un nivel de confianza del

90%, indique cuál de las siguientes afirmaciones sería correcta. a) Disminuiría la probabilidad de cometer el error tipo I. b) Disminuiría la probabilidad de cometer el error tipo II. c) Aumentaría la probabilidad de cometer el error tipo I y II. d) Disminuiría la probabilidad de cometer el error tipo I y II. e) Disminuiría el error tipo II.

7. Considerando los datos del ejercicio 4, indique cuál es el valor p de la prueba:

a) 0,9876 b) 0,4876 c) 0,4938 d) 0,0124 e) 0,0062

8. Considerando los datos del ejercicio 4, indique a qué conclusión arribaría si se desea

tomar una decisión con un nivel de confianza del 95%. a) No se rechaza la hipótesis nula, dado que el valor p es inferior a 0,05. b) No se rechaza la hipótesis nula, dado que el valor p es inferior a 0,025 c) Se rechaza la hipótesis nula, dado que el valor p es inferior a 0,05. d) Se rechaza la hipótesis nula, dado que el valor p es inferior a 0,025. e) Se rechaza la hipótesis nula, dado que el valor p es positivo.


f) H0: M≥15 y H1: M< 7

g) H0: M=15 y H1: M≠ 15

h) H0: µ< 15 y H1: µ≥ 15

i) H0: µ= 15 y H1: µ≠ 15

j) H0: µ ≥ 15 y H1: µ< 15



22


Ejercicio 1: Se está desarrollando un programa de revalúo de las propiedades inmuebles en una zona agrícola de la provincia de Misiones. Si el promedio de las superficies por propietario es como máximo 15 has. esta zona quedará categorizada como de “pequeños productores” y recibirá un descuento en la alícuota impositiva. Dada la dificultad para la medición de todas las propiedades se han seleccionado por sorteo 40 campos en la zona. El ministro de finanzas desea saber cuál es la probabilidad de cometer un error perjudicial en esta categorización si en realidad esta zona tuviera un promedio por campo de 20 has. (utilizar α = 0,05). Para mayor práctica: Realizar los ejercicios de la sección 11.8 (valor p) y 11.9 (pruebas de hipótesis) del texto de Berenson & Levine, Estadística Básica en Administración.



23

Seminario 5: Pruebas de diferencia de 2 medias

Si el ejercicio no especifica un nivel de significación diferente, utilizar 5%

Ejercicio 1: En el marco de una investigación se someterá a dos grupos de pacientes a dos dietas distintas. Antes de realizar la intervención, se intenta determinar si la media del peso al inicio del tratamiento era igual para ambos grupos. Participaron en el estudio 35 pacientes que realizaron la dieta A y 40 pacientes que realizaron la dieta B. El primer grupo tuvo un peso promedio de 90,69kg. y el segundo de 89, 47. Las varianzas obtenidas fueron 32,14 (dieta A) y 54,43 (dieta B). Los investigadores conocer por su experiencia que el peso de los pacientes tiene desviaciones iguales en ambos grupos. ¿Puede sostenerse la hipótesis del investigador?

Ejercicio 2: ¿Qué respuesta daría a la pregunta del caso anterior si los investigadores no conocieran por la experiencia que las desviaciones poblacionales son iguales?

Ejercicio 3: Mediante dos procesos se fabrican alambres galvanizados lisos para alambrados rurales. Los técnicos de la fábrica desean determinar si los dos procesos poseen diferentes efectos en la resistencia de la media de ruptura del alambre. Se someten varias muestras a los dos procesos dando los siguientes resultados: Proceso 1 = 9 4 10 7 9 10 Proceso 2 = 14 9 13 12 13 8 10

Suponiendo conocidas las varianzas y considerando a = 0,05, probar la hipótesis de que las medias de resistencia a la ruptura son iguales.

Ejercicio 4: Diez estudiantes elegidos al azar obtuvieron las calificaciones siguientes en los exámenes finales de Física y Economía:

Se desea probar si existe un mayor rendimiento en economía que en física en este grupo de alumnos. Establezca las hipótesis, la regla de decisión y las conclusiones que obtiene a partir de los datos.

Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Física 66 72 50 81 62 73 55 90 77 85 Economía 75 70 65 88 59 85 60 97 82 90



24

Ejercicio 5: Un estudio sobre métodos de para el aprendizaje de la lecto-escritura ha tomado 10 pares de gemelos homocigotos de seis años y ha asignado un niño de cada par a una de las dos clases que siguen métodos diferentes. Los resultados obtenidos son los siguientes.

Método alternativo – niño 2

Método tradicional – niño 1

Par 1 14 13

Par 2 16 15

Par 3 14 14

Par 4 18 16

Par 5 14 15

Par 6 17 16

Par 7 15 14

Par 8 15 15

Par 9 16 17

Par 10 16 15

Indique si el programa de instrucción mediante el método alternativo es más efectivo, es decir, si permite que los niños puedan leer más palabras por minuto que aquellos que recibieron instrucción con el programa tradicional.



25

Seminario 5: Preguntas de Autoevaluación

1.Indique cuál es el valor de la varianza aunada utilizada en la prueba de hipótesis del ejercicio 1.

a) 43,28

b) 6,57

c) 6,66347

d) no se utiliza una varianza aunada en este caso.

e) 44,02

2. Indique cuál de los siguientes intervalos corresponde a la zona crítica de la prueba en el ejercicio 1:

a) Rechazo H0 Si Tev <-1,993 ó tev>1,993

b) Rechazo H0 Si Tev <-2,003 ó tev>2,003

c) Rechazo H0 Si Tev <-1,96 ó tev>1,96

d) Rechazo H0 Si Zev <-1,96 ó Zev>1,96

e) Rechazo H0 Si Zev <-1,645 ó Zev>1,1,645

3. ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba que se obtiene en el ejercicio 2?

a) 1,9935

b) 1,96

c) 0,8097

d) 0,7942

e) 1,645



26

4. ¿Cuáles son los elementos esenciales que deben considerarse para decidir el mejor modelo a aplicar en la prueba del ejercicio 2?

a) Que las muestras son independientes y las varianzas desconocidas.

b) Que las muestras son dependientes y las varianzas desconocidas.

c) Que las muestras son independientes, las varianzas desconocidas y no hay datos para suponerlas iguales.

d) Que las muestras son independientes, las varianzas desconocidas y hay datos para suponerlas iguales.

e) Que las muestras son dependientes, las varianzas desconocidas y no hay datos para suponerlas iguales.

5. ¿Cuál de las siguientes podría ser la hipótesis nula de la prueba de hipótesis del ejercicio 3?

a) H0: µ1≠µ2 b) H0: µ1-µ2≠0 c) H0: µ1-µ2=0 d) H0: µ1≤µ2 e) H0: µ1<µ2

6. Indique cuál de los siguientes intervalos corresponde a la zona crítica de la prueba en el ejercicio 1:

a) Rechazo si zev <-1,96 ó zev>1,96 b) Rechazo si zev <-1,96 c) Rechazo si zev >1,96 d) Rechazo si zev <-1,645 ó zev>1,645 e) Rechazo si tev <-1,9935 ó zev>1,9935

7. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe mejor a las muestras que se

seleccionaron en la investigación del ejercicio 4?

a) Se trata de dos muestras independientes dado que a una se le evalúa en física y a la otra en economía.

b) Se trata de dos muestras independientes dado que ambas se tomaron en el mismo establecimiento educativo.

c) Son muestras dependientes dado que ambas se tomaron en el mismo establecimiento educativo.

d) Son muestras dependientes dado que están compuestas exactamente por los mismos sujetos, que son evaluados repetidamente.



27

e) Son muestras dependientes dado que los resultados obtenidos en economía se relacionan con los resultados obtenidos en física.

8. Considerando los datos del ejercicio 4, indique cuál es el valor de la desviación estándar de las diferencias.

a) 30,6667

b) 6

c) 3,4262

d) 5,5377

e) 60 9. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe mejor a las muestras que se

seleccionaron en la investigación del ejercicio 5?

a) Se trata de dos muestras independientes dado que una está compuesta por niños en un sistema de aprendizaje y otra con un sistema diferente.

b) Se trata de dos muestras independientes dado que ambas se tomaron en el mismo establecimiento educativo.

c) Son muestras dependientes dado que ambas se tomaron en el mismo establecimiento educativo.

d) Son muestras dependientes dado que ambas están compuestas exactamente por los mismos sujetos, que son evaluados repetidamente.

e) Son muestras dependientes dado que están compuestas por sujetos apareados, que poseen las mismas características, exceptuando la variable bajo estudio.

10. Cuál de las siguientes podría ser la hipótesis nula de la prueba de hipótesis del ejercicio 5?

a. H0: µ1≠µ2 b. H0: µ1-µ2≠0 c. H0: µ1-µ2=0 d. H0: µ1≥µ2 e. H0: µ1<µ2



28

Seminario 5: Ejercicios Complementarios

Ejercicio 1: En un ensayo de engorde de novillos se utilizaron dos raciones (A y B) en dos lotes de 10 animales cada uno. La variable respuesta fue ganancia de peso por animal por día. Por información previa se consideró que las variancias poblacionales eran iguales, con un valor de 0,0064. La ganancia de peso diarias y la suma de cuadrados.

Lote A =

Lote B =

Se desea conocer si puede sostenerse la H0: , para un nivel de significación del 5%.

Ejercicio 2: Los pesos en gramos de 10 machos y 10 hembras jóvenes de faisanes de cuello anillado atrapados en enero en el Jardín Botánico de la Universidad de Wisconsin, fueron:

MACHOS: 1293-1380-1614-1497-1340-1643-1466-1627-1383-1711

HEMBRAS:1061-1065-1092-1017-1021-1138-1143-1094-1270-1028

Verifique si puede afirmarse que el peso de los faisanes machos es por lo menos 350 gs. Superior al de las hembras.

Ejercicio 3: Se buscaron 8 pares de pollos idénticos en cuanto a peso, raza y sexo. A un lote se le suministró por 15 días el alimento tradicional y al otro lote una ración especial. La ganancia de peso es la que se detalla:

Par nro. 1 2 3 4 5 6 7 8 Común 1,75 1,43 1,72 1,58 1,62 1,72 1,75 1,8 Especial 1,8 1,52 1,8 1,59 1,71 1,78 1,75 1,81

Verificar si existen diferencias significativas entre ambas raciones con un a = 0,05

Ejercicio 4: Una compañía que posee dos empresas (A,B), una al norte del país y otra en la zona sur, desea analizar si la ubicación geográfica influye en la productividad de sus trabajadores. Para ello dispone de una muestra de la empresa A de 25 trabajadores, con una productividad media de 15 artículos/ hora y una desviación estándar de 2 artículos hora, y una muestra de la empresa B de 30 trabajadores, que tienen una productividad media de 18 artículos/h. y una desviación estándar de 1,5 art./h. Si la productividad es una variable



29

aleatoria distribuida normalmente y se asume que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales en ambas empresas ¿tiene efectos la ubicación geográfica en la productividad de las empresas? (α=0,05)

Ejercicio 5: Una firma comercializadora de electrodomésticos contrató a una empresa publicitaria y le encargó el desarrollo de una campaña publicitaria para sus productos. Teniendo en cuenta la incidencia que puede tener la publicidad sobre las ventas con el fin de evaluar el resultado de la campaña, el gerente de comercialización de la firma toma datos de las ventas (en miles de pesos) antes y después de realizar la campaña en 10 sucursales seleccionadas de su empresa. En la tabla siguiente se presentan los datos:

Sucursal Ventas antes de la campaña

Ventas después de la campaña

A 60 62 B 48 50 C 51 53 D 55 55 E 45 56 F 49 50 G 54 57 H 53 55

Establezca las hipótesis, la regla de decisión y la conclusión a la que se arriba para un nivel de significación del 5%.



30

Seminario 6: Pruebas de Hipótesis sobre la proporción y sobre la varianza (o desvío estándar).

Ejercicio 1: El gerente de una fábrica de llantas requiere conocer la proporción de llantas que presentan fallas antes de los 15.000 km. El objetivo de la dirección es que la calidad del producto sea lo suficientemente alta de manera que solo unas pocas llantas se revienten antes de los 15.000kms. Se han planteado que si más del 8% de las llantas se revientan antes el proceso de fabricación no estaría funcionando de acuerdo a sus estándares de calidad. Se ha realizado una prueba de durabilidad a 100 llantas y solo 5 se reventaron antes de los 15.000kms. Evalúe si de acuerdo a estos datos puede sostenerse la hipótesis de que los procedimientos de producción funcionan correctamente, considerando un nivel de significación de 0.05.

Ejercicio 2: Se quiere determinar la proporción de clientes de un supermercado que prefieren consumir la marca de gaseosa “AAA”. Una investigación previa de mercado informa que un 70% de los consumidores preferirían ese producto. Se decide tomar una muestra de 500 clientes seleccionados al azar, de los cuales 320 expresaron su elección de la gaseosa “AAA”. Indique con una confianza del 99% si aún puede sostenerse el resultado de la investigación realizada anteriormente.

Ejercicio 3: Un encuestador político está conduciendo un análisis de resultados de muestra con el fin de hacer predicciones en la noche de elecciones. Suponiendo una elección en la que participan dos candidatos, si un candidato específico recibe al menos 55% de los votos de la muestra, entonces ese candidato se pronosticará como ganador de la elección. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 votantes y 60 responden que votarán por el Candidato del Partido Azul, ¿Pueden los encuestadores indicar con una confianza del 95% que el Partido Azul será vencedor en los comicios?

Ejercicio 4: Tradicionalmente, la confección de prendas deportivas en una industria se ha realizado siguiendo un molde o patrón del que las máquinas solo pueden alejarse mínimamente. Los diseñadores quieren realizar un estudio para establecer si las partidas de equipos deportivos que se exportarán próximamente cumplen con el requisito de tener un desvío estándar máximo de 3mm (respecto al largo de manga) tal como se ha establecido en las licitaciones. Una muestra de 30 cajas arroja una media de 60 cm. y una desviación estándar de 4,5mm. ¿Puede inferirse que la empresa cumple con las premisas de la licitación con un nivel de confianza del 99%?

Ejercicio 5: Se ha realizado un estudio sobre el monto de gastos mensuales en educación en 20 familias de clase media en la ciudad de Córdoba, obteniéndose un promedio de $800 con una desviación estándar de $200. Los investigadores sostienen que, teniendo en cuenta la distribución del ingreso de los ciudadanos la desviación estándar real es por lo menos $300. ¿Existe evidencia suficiente para sostener la hipótesis de los investigadores para un α=0.01? Ejercicio 6: El director de calidad de una automotriz está muy preocupado por las fallas detectadas en las piezas utilizadas en una de las secciones. Los estándares indican que la



31

varianza ronda los 0,09 cm2. Si toma una muestra de 18 piezas y registra una varianza de 0,16 cm2: ¿puede decir con una significación de 0,01 que se está cumpliendo la norma? Seminario 6: Preguntas de Autoevaluación

1) ¿Cuál es el valor del error estándar de la proporción utilizado en los cálculos del ejercicio 1?

a. -0,03 b. 0,02713 c. 0,02179 d. 0,000475 e. 0,000736

2) ¿Cuál de las siguientes hipótesis corresponde a la hipótesis nula en el ej. 1? a. p > 0,08 b. p > 0,05 c. p ≤ 0,08 d. ps ≤ 0,05 e. ps ≤ 0,08

3) ¿Cuál es la proporción muestral obtenida en el estudio del ejercicio 2? a. 0,70 b. 0,005 c. -3 d. 0,64 e. 2,575

4) ¿En qué casos puede utilizarse la distribución normal como aproximación para la

distribución de muestreo de la proporción?

a. Cuando por lo menos n.p ≥ 5 b. Cuando por lo menos n. (1-p) ≥ 5 c. Cuando n.p ≥ 5 y n. (1-p) ≥ 5 d. Cuando n.p ≤ 5 y n. (1-p) ≤ 5 e. Cuando n.p ≥ 0,05 y n. (1-p) ≥ 0,05



32

5) ¿Cuál es la regla de decisión en el ejercicio 3?

a. Rechazar Ho si zev > -1,645 b. Rechazar Ho si zev > 1,645 ó zev < -1,645 c. Rechazar Ho si zev < -1,645 d. Rechazar Ho si zev < -1,96 e. Rechazar Ho si zev > 1,96 ó si zev< -1,96

6) Considerando lo relatado en el planteo del ejercicio 3, ¿Qué hubiese pasado si el día

de las elecciones el partido azul hubiese obtenido el 53% de los votos? a. Dado que se ha rechazado la Ho, se cometió un error tipo II. b. Dado que se ha rechazado la Ho, se cometió un error tipo I. c. Dado que no se ha rechazado la Ho, no se cometió ningún error. d. Dado que no se ha rechazado la Ho, se cometió un error tipo I. e. Dado que no se ha rechazado la Ho, se cometió un error tipo II.

7) ¿Cuál de las siguientes hipótesis corresponde a la hipótesis nula en el ej. 4?

a. σ > 3 b. S ≤ 3 c. S ≥ 3 d. σ ≤ 3 e. σ2 ≤ 3 f.

8) ¿A qué conclusión se llega en el ejercicio 4? a. No se rechaza Ho dado que el estadístico chi-cuadrado es mayor al valor crítico

49,588 b. Se rechaza Ho dado que el estadístico chi-cuadrado es mayor al valor crítico

49,588 c. Se rechaza Ho dado que el estadístico chi-cuadrado es mayor al valor crítico

39,087 d. No se rechaza Ho dado que el estadístico chi-cuadrado es menor al valor crítico

49,588 e. No se rechaza Ho dado que el estadístico chi-cuadrado es menor al valor crítico f. 39,087

9) ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba en el ejercicio 5?

a. 8,44 b. 6,844 c. 38,582 d. 30,144 e. 39,997



33

10) ¿Cuál de los siguientes intervalos corresponde a la zona crítica la prueba de hipótesis planteada en el ejercicio 6? a. Chi-cuadrado < 5,597 b. Chi-cuadrado > 36,718 c. Chi-cuadrado < 5,597 y chi-cuadrado > 36,718 d. zev < 5,597 y zev > 36,718 e. zev < 30,22

Seminario 6: Ejercicios Complementarios: Hacer ejercicios del libro

Pruebas de varianza: Sección 12.5; Pruebas de Proporción: Sección 15.2



34

Seminario 7: Pruebas para variables categóricas

Ejercicio 1: Se ha consultado por la preferencia de 200 turistas extranjeros respecto a los destinos que prefieren visitar, obteniéndose los siguientes resultados:

Ciudad de Buenos Aires

Patagonia Sierras de Córdoba

Cataratas del Iguazú

Otros Total

Preferencias 115 46 13 15 11 200

Por otra parte, los registros de la Secretaría de Turismo de la Nación para el año pasado fueron los siguientes: Ciudad de Buenos Aires 50%, Patagonia 20%, Sierras de Córdoba 10%, Cataratas del Iguazú 10%, Otros destinos 10%. ¿Podríamos informarle a la Secretaría de turismo en base a los datos relevados que las preferencias siguen el patrón del año anterior? (Utilizar α=0,01)

Ejercicio 2: Se desea establecer si la preferencia de un destino turístico es independiente de los países de origen de los turistas encuestados. ¿Puede afirmarse lo anterior con una confianza del 95%?

Ciudad de Buenos Aires

Patagonia Sierras de Córdoba

Cataratas del Iguazú

Otros Total

Europa 34 23 2 5 3 67

EEUU 56 16 5 5 5 87

Latinoamérica 15 5 6 4 1 31

Otros 10 2 0 1 2 15

Total 115 46 13 15 11 200

Ejercicio 3: La secretaría de agricultura ha relevado durante la década anterior que en una región del interior del país la superficie cultivada se distribuía según el cuadro siguiente. En el año 2009, se tomado una muestra aleatoria de 10.000 hs. y se ha observado la siguiente proporción según los cultivos. Determine si estos datos permiten inferir que la



35

distribución de cultivos se ha modificado en la región durante la última década. Utilizar un nivel de significación del 5%

% 1995 Superficie cultivada 2009

Soja 40% 5000 has.

Trigo 55% 4000 has.

Otros 5% 1000 has.

100% 10.000 has.

Ejercicio 4: Una institución universitaria dicta 4 carreras de grado y ha realizado su planificación anual considerando que las 4 carreras tendrán una proporción de alumnos equivalente. La oficina de alumnos, sin embargo, ha tomado una muestra aleatoria de 50 interesados y registró que 12 alumnos seguirán abogacía, 20 administración, 10 contador público, y 8 administración de Recursos Humanos. A partir de los datos de esta encuesta, ¿puede afirmarse con una confiabilidad del 90% que es correcta la planificación realizada originalmente?

Ejercicio 5: En la siguiente tabla se disponen los resultados de una encuesta de opinión realizada a 400 personas (200 hombres y 200 mujeres) en la ciudad de Córdoba respecto a sus preferencias de género literario. Los jefes de marketing de la casa editorial que diseñó la investigación desean conocer si existe relación entre las variables “sexo del lector” y “género literario preferido”. Realice los planteos y cálculos necesarios para responder a la inquietud de los directivos con una confianza del 95%.

Narrativa Latinoamericana

Narrativa Internacional

No-ficción Total

Hombre 50 100 50 200

Mujer 100 50 50 200

Total 150 150 100 400



36

Seminario 7: Preguntas de Autoevaluación

1. El planteo del ejercicio 1 amerita la aplicación de un procedimiento de:

a. Prueba de diferencia de medias para muestras dependientes b. Prueba de diferencia de medias para muestra independientes c. Prueba de hipótesis para una proporción poblacional d. Prueba de Independencia de dos variables categóricas e. Prueba de hipótesis sobre la bondad de ajuste.

2. El valor del estadístico de prueba calculado en el ejercicio 1 es: a. 11,345 b. 0,115 c. 10,9 d. -0,75 e. 2,08

3. El planteo del ejercicio 2 amerita la aplicación de un procedimiento de:

a. Prueba de diferencia de medias para muestras dependientes b. Prueba de diferencia de medias para muestra independientes c. Prueba de hipótesis para una proporción poblacional d. Prueba de Independencia de dos variables categóricas e. Prueba de hipótesis sobre la bondad de ajuste.

4. La zona crítica de la prueba planteada en el ejercicio 2 es:

a. Chi-cuadrado > 21,58 b. Chi-cuadrado > 21,026 c. Chi-cuadrado > 7,815 d. Chi-cuadrado < 21,026 e. Chi-cuadrado < 5,226

5. La hipótesis nula en el ejercicio 3 será:

a. Las variables en estudio son independientes b. Las variables en estudio son dependientes c. La frecuencia observada es igual a la frecuencia real d. p1=0,4; p2=0,55; p3=0,05



37

e. p1=p2=p3 6. La frecuencia esperada de hectáreas sembradas con trigo en la muestra seleccionada

es de: a. 4000 has. b. 5500 has c. 5000 has. d. 409,09 has e. 1159,09 has

7. La regla de decisión en el ejercicio 3 será:

a. Rechazar Ho si chi-cuadrado calculado > 5,991

b. Rechazar Ho si chi-cuadrado calculado > 7,815

c. Rechazar Ho si chi-cuadrado calculado > 3,841

d. Rechazar Ho si chi-cuadrado calculado < 5,991

e. Rechazar Ho si chi-cuadrado calculado < 0,103

8. En el ejercicio 4, la cantidad de alumnos con interés en recursos humanos que se espera encontrar entre los entrevistados aleatoriamente será:

a. 8

b. 12

c. 13

d. 12,5

e. 1,62

9. La hipótesis alternativa en la prueba correspondiente al ejercicio 5 podría ser:

a. Las variables son independientes.

b. Las variables siguen la distribución teórica esperada.

c. Las proporciones de ambas variables son diferentes a las esperadas.

d. Las proporciones de las diferentes categorías son diferentes entre sí.

e. Existe una relación entre las variables estudiadas.



38

10. Los grados de libertad correspondientes al estadístico de prueba del ejercicio 5 serán:

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

Seminario 7: Ejercicios Complementarios

Para ampliar la práctica de este tema, realizar los ejercicios propuestos en el texto de Mendenhall, Cap. 14.



39

Seminario 8: ANOVA

Ejercicio 1: En el marco de una auditoría se han tomado muestras de ordenes de compras correspondientes a los cuatro trimestres del último año con el objetivo de conocer si existe alguna estacionalidad en los pedidos de compra promedio en esa industria (con una confianza del 95%). Los resultados fueron los siguientes (EN MILES):

TRIM. 1 TRIM. 2 TRIM. 3 TRIM. 4

10 12 9 13

15 12 11 12

19 13 15 14

16 17 14 16

17 18 13 18

18 19 12 15

20 19 10 16

Ejercicio 2: Se ha enviado a cada uno de los ingresantes a una empresa de servicios a asistir a un curso de capacitación al momento de su ingreso. Algunos empleados realizaron un curso de una semana, otros asistieron a un curso de dos semanas y otro grupo participó durante tres semanas. La gerencia de RR.HH. desea conocer si existe diferencia en el rendimiento de los empleados durante su primer año de servicio en relación a la capacitación de ingreso. Informe sus conclusiones con una confianza del 99%, a partir de los datos de las calificaciones de los supervisores para cada empleado.

Curso 1 semanas Curso de 2 semanas Curso de 3 semanas

6 7 8

7 8 10

7 9 9

8 8

8



40

Ejercicio 3: En un estudio de calidad se han aplicado tres procedimientos diferentes para la conservación de un producto, con el objetivo de verificar si la duración promedio (en días) de la mercadería difiere según el método utilizado (para α=0,05). Los resultados son los siguientes: Grupo A: tamaño de muestra 5; Grupo B: Tamaño de muestra 6; Grupo C: tamaño de muestra 4. La Suma de cuadrados totales es 55, la suma de cuadrados entre grupos es 35. ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba para realizar un análisis de varianzas?

Ejercicio 4:

Cuadro 1 1. Basándose en el cuadro 1, indique cuál es el valor de la Suma de Cuadrados Entre

grupos y la Suma de Cuadrados Total.

2. Basándose en el cuadro 1, indique si existe evidencia para suponer que las medias de los grupos son iguales para un nivel de significación del 0,01. Escriba la regla de decisión utilizada.

Fuente GL Suma Cuadrados

Cuadrado Medio

F

Entre grupos 2 ¿? ¿? 4,07 Dentro Grupos

12 64,00 5,33

Total 14 ¿?



41

Seminario 9: ANOVA (2da. Parte)

1. La Prueba ANOVA (Análisis de Varianza) se emplea para:

a) Comparar las varianzas de dos o más grupos b) Comparar las varianzas de más de dos grupos c) Comparar las varianzas de tres o más grupos d) Comparar las medias de dos grupos. e) Comparar las medias de más de dos grupos.

2. La variación “dentro de grupos” (SSW) se considera:

a) La mitad de la Variación Total. b) La variación entre un grupo y el otro. c) Error experimental d) La suma de las diferencias al cuadrado entre la media de la muestra de cada

grupo y la media general o la gran media. e) La suma de las diferencias al cuadrado entre cada observación individual, y la

gran media o media general.

3. La variación “entre grupos” (SSA) se atribuye a: a) error experimental b) efectos del azar c) efectos del tratamiento d) la variabilidad de datos dentro de cada grupo e) el tamaño de la muestra.

4. La Suma de cuadrados entre grupos (SSA) se mide mediante:

a) la suma de las diferencias entre la media de la muestra de cada grupo, Xj, y la media general o gran media, ponderadas o pesadas por el tamaño de la muestra, nj, de cada grupo. b) la suma de las diferencias al cuadrado entre la media de la muestra de cada grupo, Xj, y la media general o gran media, ponderadas o pesadas por el tamaño dela muestra, nj, de cada grupo. c) la suma de las diferencias al cuadrado entre la media de la muestra de cada grupo, Xj, y cada observación del grupo, ponderadas o pesadas por el tamaño dela muestra, nj, de cada grupo. d) la suma de las diferencias entre la media de la muestra de cada grupo, Xj, y cada una de las observaciones del grupo, ponderadas o pesadas por el tamaño dela muestra, nj, de cada grupo. e) la suma de las diferencias al cuadrado entre la media de la muestra de cada grupo, Xj, y la media general o gran media, divididas por el tamaño de la muestra, nj, de cada grupo.



42

5. La prueba ANOVA se realiza utilizando como estadística de prueba: a) Un estadístico que se distribuye chi-cuadrado con n-1 grados de libertad.

(n=tamaño muestra) b) Un estadístico que se distribuye chi-cuadrado con c-1 grados de liberdad. (c=

cantidad de grupos) c) Un estadístico que se distribuye F con n-1 grados de libertad en el numerador y

n-c grados de libertad en denominador. d) Un estadístico que se distribuye F con c-1 grados de libertad en el numerador y

n-c grados de libertad en denominador. e) Un estadístico que se distribuye F con n-c grados de libertad en el numerador y

n-1 grados de libertad en denominador.

6. Si en una prueba ANOVA, la Suma de cuadrados medios “entre grupos” tiene 2 grados de libertad, y la Suma de cuadrados medios total tiene 19 grados de libertad. ¿Cuántos grados de libertad tiene la Suma de cuadrados medios “Dentro de grupos”?

a) 3 b) 17 c) 20 d) 21 e) 22

7. ¿Cuál de las siguientes puede ser la hipótesis nula en una prueba ANOVA? a) H0: µ= 100 b) H0: µ1= µ2 c) H0: σ2

1= σ22

d) H0: µ1= µ2= µ3 e) H0: No todas las µj son iguales (en las que j=1,2,3,…c)

8. La zona de rechazo en las pruebas ANOVA:

a) Siempre se ubican en el extremo inferior de la distribución b) Siempre se ubican en el extremo superior de la distribución. c) Siempre se ubican en ambos extremos. d) Se ubican en el extremo superior si la hipótesis nula afirma que alguna de las

medias es superior a las demás. e) Se ubican en el extremo inferior si la hipótesis nula afirma que alguna de las

medias es inferior a las demás.

Ejercicio 1: Aplique la Prueba de Tukey Kramer en aquellos casos del seminario 8 en los que resulta necesario para complementar las conclusiones de ANOVA y se dispone de datos para realizar los cálculos. Explique cuáles son las hipótesis nula y alternativa en ese procedimiento (Tukey Kramer).



43

Seminario 10: Regresión Lineal y Correlación

Ejercicio 1: La siguiente tabla representa el comportamiento de la variable Y para diferentes valores de la variable X:

X 1 1 2 3 3 4 4 5

Y 2 3 3 4 5 5 6 7

a) Grafique los pares ordenados (x; y) utilizando los ejes cartesianos. b) Determine la recta de regresión de y sobre x. c) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. d) Calcule e interprete el coeficiente de correlación entre las variables x e y.

Ejercicio 2: Dado el siguiente conjunto de pares ordenados, encuentre la expresión matemática que permite realizar predicciones futuras a partir de esos puntos. Indique, además, en qué medida ese los datos se ajustan a ese modelo.

(1; 15), (4; 11), (5; 10), (3; 12), (6; 9), (7; 8), (1; 14), (2; 13), (4; 12) Ejercicio 3: Los estudios sobre una especie animal realizados en un laboratorio de zoología de la Universidad indica los siguientes registros para el peso de los animales de acuerdo a los días transcurridos desde su nacimiento:

X= días de vida y= peso

1 0,8

2 1

3 1,2

5 1,3



44

Ejercicio 4: Una consultora privada ha estudiado el impacto que diferentes niveles de comisiones a los vendedores tiene en el monto total de ventas mensuales (en millones de $):

comisión 3,6 5,2 5,3 7,3 5 5,2 3 3,1 3,2 7,5 8,3 6,1 4,9 5,8 7,1

ventas 11,28 14,74 18,46 20,01 12,43 15,37 9,59 11,26 8,05 27,91 24,62 18,8 13,87 12,11 23,68

a) Obtenga la recta de regresión considerando la comisión como variable independiente y las ventas como variable dependiente.

b) Calcule e interprete el coeficiente de determinación.

c) Realice una predicción para el monto mensual de ventas si el porcentaje de comisión se fija en el 4%.

Ejercicio 5: A continuación se presentan los importes destinados a publicidad durante la década de los noventa y las ventas totales que se registraron en cada año.

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

$ Venta 50 100 150 200 200 300 400 500 650 700

$ Publicidad 10 15 18 20 25 35 50 55 60 65

a) Determine la recta de regresión, considerando a los gastos en publicidad como

variable independiente. b) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación entre las variables. Realice este

cálculo sin utilizar el cálculo del coeficiente de determinación.

guia+para+seminarios+de+estadistica+ii

Documents