guia probabilidad

7/18/2019 Guia Probabilidad

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GGUUÍ Í AA PPAARRAA EELL EEXXAAMMEENN DDEE

AADDMMIISSIIÓÓNN AA LLAA MMAAEESSTTRRÍ Í AA DDEE AADDMMIINNIISSTTRRAACCIIÓÓNN

SEPI-UPI ICSA-IPN

PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD

ELABORADA PORDDRR.. EEDDUUAARRDDOO

GGUUTTIIÉÉRRRREEZZ GGOONNZZÁÁLLEEZZ

Octubre del 2005



ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

1

CONTENIDOC O N T E N I D O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 1 M o d e l o s d e t e r m i n í s t i c o s y p r o b a b i l í s t i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

E j e m p l o 1 . 1 S o b r e m o d e l o s d e t e r m i n í s t i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

E j e m p l o 1 . 2 S o b r e m o d e l o s p r o b a b i l í s t i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

E j e m p l o 1 . 3 S o b r e e x p e r i m e n t o s a l e a t o r i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

E j e m p l o 1 . 4 S o b r e e x p e r i m e n t o s d e t e r m i n í s t i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

E j e m p l o 1 . 5 S o b r e e s p a c i o s m u e s t r a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

E j e m p l o s 1 . 6 S o b r e e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 2 I n t e r p r e t a c i o n e s d e l a p r o b a b i l i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 2 . 1 C o r r i e n t e f r e c u e n t i s t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 2 . 2 C o r r i e n t e c l a s i c a ( a p r i o r i ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 2 . 3 C o r r i e n t e s u b j e t i v a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 2 . 4 C o r r i e n t e b a y e s i a n a ( a p o s t e r i o r i ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 3 C o n c e p t o s f u n d a m e n t a l e s s o b r e e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 3 . 1 R e l a c i o n e s f u n d a m e n t a l e s e n t r e e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 3 . 2 O p e r a c i o n e s f u n d a m e n t a l e s e n t r e e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 . - U n i ó n e n t r e e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

2 . - I n t e r s e c c i ó n e n t r e e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

3 . - D i f e r e n c i a e n t r e e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

4 . - E v e n t o c o m p l e m e n t a r i o o c o m p l e m e n t o d e u n e v e n t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 . 4 a x i o m a t i z a c i ó n d e l a p r o b a b i l i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

T É C N I C A S D E C O N T E O Y P R O B A B I L I D A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

2 . 1 . 1 A r r e g l o s c o n r e p e t i c i ó n ( R e e m p l a z o ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

2 . 1 . 2 A r r e g l o s s i n r e p e t i c i ó n : P e r m u t a c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 1 . 3 P e r m u t a c i o n e s c o n e l e m e n t o s i g u a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5



GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

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2 . 2 C o m b i n a c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 3 R e g l a d e l a s u m a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 4 A p l i c a c i ó n d e l a s t é c n i c a s d e c o n t e o a l a p r o b a b i l i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

3 . 1 P R O B A B I L I D A D C O N D I C I O N A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

3 . 2 R e g l a d e l a m u l t i p l i c a c i ó n d e p r o b a b i l i d a d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

3 . 2 . 2 E e m p l e o d e l o s d i a g r a m a s d e á r b o l e n l a p r o b a b i l i d a d c o n d i c i o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

3 . 3 E v e n t o s i n d e p e n d i e n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

3 . 4 t e o r e m a d e b a y e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

2 . - T r a c e e l d i a g r a m a d e á r b o l d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

V A R I A B L E S A L E A T O R I A S D I S C R E T A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

4 . 1 V a r i a b l e s a l e a t o r i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

4 . 2 V a r i a b l e s a l e a t o r i a s d i s c r e t a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

4 . 2 . 1 D i s t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

4 . 4 V a l o r e s p e r a d o d e u n a v a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

4 . 4 . 1 P r o p i e d a d e s d e l v a l o r e s p e r a d o d e u n a v a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

4 . 5 V a r i a n c i a d e u n a v a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

4 . 5 . 1 P r o p i e d a d e s d e l a v a r i a n c i a d e u n a v a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

E j e r c i c i o s d e v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d i s c r e t a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

M O D E L O S D I S C R E T O S D E P R O B A B I L I D A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

4 . 6 M o d e l o b i n o m i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

4 . 6 . 1 C á l c u l o d e p r o b a b i l i d a d e s d e l o s m o d e l o s b i n o m i a l e s y u s o d e t a b l a s b i n o m i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

U s o d e t a b l a s b i n o m i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

E j e r c i c i o s 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

4 . 7 M o d e l o g e o m é t r i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

E j e r c i c i o s 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

4 . 8 M o d e l o h i p e r g e o m é t r i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

E j e r c i c i o s 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0




3

4 . 9 M o d e l o d e p o i s s o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

U s o d e t a b l a s d e p o i s s o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

E j e r c i c i o s 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

E j e r c i c i o s d e m o d e l o s d i s c r e t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

V A R I A B L E S A L E A T O R I A S C O N T I N U A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

5 . 1 . 1 F u n c i ó n d e d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

5 . 1 . 2 F u n c i ó n a c u m u l a d a d e u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a c o n t i n u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

5 . 1 . 2 a P r o p i e d a d e s d e u n a f u n c i ó n d e d i s t r i b u c i ó n a c u m u l a d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

5 . 2 V a l o r e s p e r a d o y v a r i a n c i a d e u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a c o n t i n u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

5 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e l v a l o r e s p e r a d o d e u n a v a c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

5 . 2 . 2 V a r i a n c i a d e u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a c o n t i n u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

5 . 2 . 3 P r o p i e d a d e s d e l a v a r i a n c i a d e u n a v a c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

E j e r c i c i o s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s c o n t i n u a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

M O D E L O S

C O N T I N U O S D E P R O B A B I L I D A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

5 . 3 M o d e l o e x p o n e n c i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

E j e r c i c i o s 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

5 . 4 M o d e l o n o r m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

5 . 4 . 1 C á l c u l o d e p r o b a b i l i d a d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

5 . 4 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l e s t á n d a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

5 . 4 . 3 U s o d e t a b l a s d e l a f u n c i ó n a c u m u l a d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

5 . 4 . 4 U s o d e t a b l a s p o r c e n t u a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1

E j e r c i c i o s 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

E j e r c i c i o s m o d e l o s c o n t i n u o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

E x a m e n d e A d m i s i ó n 1 9 9 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

E x a m e n d e A d m i s i ó n 2 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

E x a m e n d e A d m i s i ó n M a r z o d e l 2 0 0 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2




4

1.1 MODELOS DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS

Uno de los objetivos del estudio de las Ciencias es desarrollar estructuras conceptuales que permitancomprender los fenómenos que ocurren en la naturaleza y poder predecir sus efectos que de ellos se

derivan. De la experiencia científica se deduce fácilmente que para poder estudiar un fenómeno esnecesaria su imitación o reproducción en una cantidad suficiente para que su investigación sea lo másprecisa posible. Esta necesidad es lo que da origen a los modelos.

Por modelo, entenderemos a la representación o reproducción de los fenómenos. Los modelospueden ser de diferentes tipos, para nuestros objetivos nos interesarán modelos de tipo matemático.

Definición 1.1 Modelo matemático

Un Modelo Matemático es una representación simbólica de un fenómeno cualquiera, realizadacon el fin de estudiarlo mejor. Por ejemplo: fenómenos físicos, económicos, sociales, etc.

Los modelos matemáticos los podemos clasificar en: determinísticos y probabilísticos.

Definición 1.2 Modelos determinísticos

Cuando se realiza el modelo matemático de un fenómeno y en él se pueden manejar los factoresque intervienen en su estudio con el propósito de predecir sus resultados, lo llamaremos “ModeloDeterminístico”.

EJEMPLO 1.1 Sobre modelos determinísticos El modelo de una compañía en donde dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tresmáquinas. Ahí el tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado por una cantidad

determinada de horas por día; igualmente, el tiempo de producción y la ganancia por capítulo de cadaproducto se pueden establecer de tal manera que combinando los productos podemos obtener unaganancia óptima.

En el modelo anterior se puede notar que en él nosotros estamos controlando losdiferentes parámetros que intervienen; por lo tanto, al establecer el modelo matemáticocorrespondiente y los valores para los factores podemos predecir su resultado.

Definición 1.3 Modelo probabilístico o estocástico

A los modelos matemáticos de los fenómenos en los cuales no se pueden controlar los factores queintervienen en su estudio, y además dichos factores ocurren de manera tal que no es posiblepredecir sus resultados, los llamaremos “Modelos Probabilísticos”.

EJEMPLO 1.2 Sobre modelos probabilísticos Si deseamos conocer el lugar de caída de un satélite que se salió de su órbita y se dirige a la tierra nopodemos predecir el lugar donde él caerá, puesto que no podemos controlar su movimiento; por lotanto, sólo es posible indicar una región en donde se cree caerá el satélite con un valor numérico querepresente la aseveración.




5

Definición 1.4 Experimento aleatorio o probabilístico

Al proceso por el cual se describen los resultados que no se conocen y no se pueden predecir, lollamaremos experimento aleatorio.

EJEMPLO 1.3 Sobre experimentos aleatorios Observación de la cantidad de artículos defectuosos en un lote de 50 artículos, en donde existen 9defectuosos. Se eligen los artículos sin reemplazo y se anotan los resultados hasta obtener el últimodefectuoso.

Definición 1.5 Experimento determinístico

Al proceso por el cual se describen los fenómenos de los que se pueden predecir sus resultados, lollamaremos experimento determinístico.

EJEMPLO 1.4 Sobre experimentos determinísticos

La mezcla de sustancias químicas para la obtención de algún compuesto.Al realizar un experimento generalmente se registran sus resultados para obtener las conclusiones

correspondientes al fenómeno en estudio, por lo que surge la necesidad de introducir un conceptoreferente al conjunto 1 de todos los resultados del experimento.

Definición 1.6 Espacio muestral

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico lo llamaremos “Espacio Muestral del experimento” y lo denotaremos por S . A los elementos de un espaciomuestral los llamaremos puntos muestrales.

EJEMPLO 1.5 Sobre espacios muestrales.

Se realiza el experimento sobre el lanzamiento de una moneda 3 veces y anotan sus resultadosposibles.

En el espacio muestral a representa águila y s cara

{ }aaaaasasasaaasssasssasssS ,,,,,,,= .

Definición 1.7 Evento

Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral S , se llama evento a un conjunto deresultados posibles de S . Fácilmente podemos notar que un evento, no es más que un subconjuntode un espacio muestral.

Definición 1.8 Evento simple

Al evento que consta de un sólo elemento le llamaremos evento simple.

1

E n t e n d e m o s p o r c o n j u n t o a u n a c o l e c c i ó n d e o b j e t o s b i e n d e f i n i d a p o r m e d i o d e a l g u n a o a l g u n a s p r o p i e d a d e s e n c o m ú n .

P o r o b j e t o c o m p r e n d e m o s n o s ó l o c o s a s f í s i c a s c o m o d i s c o s , c o m p u t a d o r a s , e t c . , s i n o t a m b i é n a b s t r a c t a s , c o m o s o n

n ú m e r o s , l e t r a s , e t c . A l o s o b j e t o s q u e f o r m a n e l c o n j u n t o , l o s l l a m a m o s e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o .




6

EJEMPLOS 1.6 Sobre eventos

Obtenga el evento indicado en los espacios muestrales de los ejemplos anteriores.

Se lanza una moneda 3 veces y se anotan sus resultados posibles. Sea el evento

E : “Aparece una sola águila”. Representando águila por a y sol por s, el evento será:

{ }asssasssa E ,,=

1.2 INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD La palabra probabilidad es empleada por el ser humano con demasiada frecuencia; por ejemplo enexpresiones tales como: “Es probable que hoy estudie estadística”, “El equipo mexicano de fútbol está jugando mal, y es muy probable que en su siguiente partido pierda”, “El cielo está bastante despejado;por lo tanto, no hay muchas posibilidades de que hoy llueva”, etc. Como se pudo notar en lasexpresiones anteriores, las palabras relacionadas con la probabilidad tienen la característica de basarseen sucesos que pueden ser verdaderos y que a causa de los hechos observados; resultados preliminares;

tiempo, etc. se puede hablar de la posibilidad de su ocurrencia.A pesar de los esfuerzos realizados por muchos matemáticos para asignar de forma única la

probabilidad a un suceso todo ha sido en vano puesto que desde los inicios de su estudio hasta nuestrosdías, no tenemos una forma única de asignación de probabilidades. Con lo que contamos son condiferentes corrientes de probabilidad, las cuales se aplican para asignar un valor numérico a laposibilidad de la ocurrencia de algún suceso probabilístico. De hecho, el verdadero significado de laprobabilidad sigue siendo conflictivo; por lo tanto, en lugar de comenzar el curso con una definiciónformal de probabilidad comentaremos sus 4 corrientes más comunes.

1.2.1 CORRIENTE FRECUENTISTA En la corriente frecuentista -tal vez una de las más empleadas-, se asigna un valor de probabilidad a unevento E , a partir de lo que se considera que ocurrirá. Su definición o interpretación de la probabilidadestá basada, como su titulo lo indica, en la frecuencia relativa 2 con la que se obtendría E , si elexperimento se repite una gran cantidad de veces, en condiciones similares (no idénticas, puesto queen este caso el proceso no sería aleatorio).

Por ejemplo, se lanza una moneda 3 veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen. Sea elevento E : “Obtención de dos soles en los tres lanzamientos”, la pregunta es ¿cuál es la probabilidad deque ocurra el evento E ?

Para responder a la pregunta desde el punto de vista frecuentista, se debe de realizar elexperimento una gran cantidad de veces. Supongamos que el experimento se repite 1000 veces en

condiciones similares y como resultado se obtienen 400 casos con dos soles, en tal situación, se diríaque la probabilidad de que ocurra E , será: 4.0

1000

400= . Si ahora el experimento se repite 100,000

veces, de las cuales 38,000 resultan con dos soles, diríamos que la probabilidad de que ocurra E es:

2

F r e c u e n c i a r e l a t i v a d e u n s u c e s o e s i g u a l a l c o c i e n t e d e l a c a n t i d a d d e v e c e s e n q u e o c u r r e e l s u c e s o e n t r e e l t o t a l d e

v e c e s q u e s e r e p i t e e l e x p e r i m e n t o .




7

38.0000,100

000,38= , de esta forma podríamos repetir nuestro experimento tantas veces como se quiera y

obtener una frecuencia relativa para la probabilidad del evento E , pero surge la pregunta ¿porqué diferentes resultados para un mismo evento?. La respuesta está en la interpretación de que entendemospor: “repetir el experimento una gran cantidad de veces”, ¿qué se entiende por una gran cantidad de

veces? y ¿cuá l sería dicha cantidad de repeticiones?. Estas condiciones son muy vagas para servir debase en una definición científica de probabilidad. Aunado a lo anterior en muchos de los fenómenos nopodemos realizar una gran repetición de estos, por ejemplo:

a).- Para calcular la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso.Evidentemente, no podemos realizar una gran cantidad de lanzamientos de cohetes, para quede esta manera se obtenga la probabilidad en forma frecuentista del éxito de un lanzamiento.

b).- Para calcular la probabilidad de que Juan Pérez se case este a ño. En este caso tampocopodemos realizar una gran cantidad de repeticiones del experimento para indicar el valornumérico que represente desde el punto de vista de la frecuencia relativa de que Juan Pérez secasará o no este a ño.

1.2.2 CORRIENTE CLASICA (A PRIORI)En la corriente clá sica se consideran espacios muestrales uniformes, es decir se asigna probabilidades aeventos, basá ndose en resultados equiprobables (igualmente verosímiles). Esto es, los clasistas asignan

la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral ( n1 , en donde n es la cantidad de elementos

del espacio muestral), posteriormente para obtener la probabilidad de la ocurrencia de un evento E , sesuma la cantidad de elementos de E , y se multiplica por la probabilidad de un elemento del espacio

muestral ( n1 ). Cabe notar que de lo anterior se deduce, que la probabilidad de los puntos muestrales

se establece a priori, es decir, antes de cualquier experimento.

Resolviendo el ejemplo anterior en la forma clá sica tendremos, lo siguiente:

Se lanza una moneda equilibrada 3 veces y se anotan los resultados posibles que aparecen, sea elevento E : “Obtención de dos soles en los tres lanzamientos”, la pregunta es ¿cuá l es la probabilidad deque ocurra el evento E ?

Para responder a la pregunta, desde el punto de vista clasista obtenemos el espacio muestral;representando á guila por a y sol por s, tendremos:

{ }aaaaasasasaaasssasssasssS ,,,,,,,= .

En estos casos, ssa representa que los primeros 2 lanzamientos resultaron soles y el tercerlanzamiento á guila. Considerando que cada punto del espacio muestral es equiprobable con

probabilidad de ocurrencia 81 , tendremos que la probabilidad del evento E (resulten dos soles en los

tres lanzamientos), se resuelve al conocer la cantidad de elementos del evento:

{ }asssasssa E ,,= ,

como E contiene 3 elementos tenemos que la probabilidad de que ocurra el evento E es:

Probabilidad de E = 375.08

13 =× .

Algunas de las dificultades por las que atraviesa esta interpretaci ó n de probabilidad son:




8

• En primer lugar al hablar de resultados equiprobables (tienen la misma probabilidad), estamosempleando el concepto que se está definiendo.

• En segundo lugar cuando los resultados no son equiprobables.

• En tercer lugar no se indica un método para realizar el cá lculo de las probabilidades.

1.2.3 CORRIENTE SUBJETIVA En la corriente subjetivista (esta interpretación de la probabilidad es muy empleada en el estudio de laTeorí a de decisiones), se asignan probabilidades a eventos basá ndose en el conocimiento o experienciaque cada persona tiene sobre el experimento; por lo tanto, la probabilidad asignada está sujeta alconocimiento que el científico tenga con respecto al fenómeno estudiado. Para un mismo experimentolas probabilidades asignadas por diferentes personas pueden ser distintas.

La interpretación subjetiva de la probabilidad tiene diferentes dificultades, una de ellas es ladependencia en el juicio de cada persona al asignarla, ademá s que tal juicio debe estar completamentefuera de contradicciones lo que es sumamente dif ícil por depender de la persona que la asigne.

Podemos mencionar que en la asignación de probabilidades subjetivas se emplea en muchoscasos el conocimiento frecuentista que se tenga del experimento.

1.2.4 CORRIENTE BAYESIANA (A POSTERIORI) En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a eventos, después del experimento. Es decir lasprobabilidades son del tipo dependiente, esto es basá ndose en el conocimiento de la ocurrencia deeventos que estén en dependencia con el evento estudiado. Por ejemplo, en el caso anterior cuando selanza una moneda equilibrada, 3 veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen, el evento E :“Obtención de dos soles en los tres lanzamientos”, la pregunta es ¿cuá l es la probabilidad de queocurra el evento E ?, si se sabe que el primer lanzamiento resultó un sol.

Como se puede comprender no se debe comenzar un estudio matemá tico de la teoría de lasprobabilidades si se quiere tener una forma universal de asignación de probabilidades para losdiferentes eventos. Por lo tanto, es necesario estructurar a la probabilidad sobre una base axiomática

que le d é el formalismo que el Á lgebra, la Geometr í a y las otras áreas de las matemáticas tienen,

esto se puede lograr haciendo uso de la teoría de conjuntos aplicada a los eventos, formando lo que sedenomina “Álgebra de Eventos”.

1.3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE EVENTOS

Notaci ó n de eventos. Al espacio muestral de un experimento lo denotamos por S , y a los eventos porletras mayúsculas, como son A, B, C , etc. A los resultados del experimento, que cumplen lascondiciones del evento, se les representa por letras minúsculas, como son a, b, etc. Si el resultado a delexperimento realizado pertenece al evento A, esto lo simbolizaremos a A∈ , en caso de que no

pertenezca, se simbolizará por a A ∉ . Los eventos también se representan por llaves, dentro de lascuales se escriben sus elementos (¡ sin repetirlos ¡), o las propiedades que dichos elementos cumplen.

Definici ó n 1.9. Eventos finitos.

Si al contar los elementos de un evento resulta una cantidad determinada, entonces dicho evento se llama finito.




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Por ejemplo:

1.- A: Es un número par, resultado del lanzamiento de un dado, esto es, { }64,,2= A .

2.- A: Al menos se observan 4 soles en 6 lanzamientos de una moneda, esto es, { }6,5,4= A .

Definici ó n 1.10 Evento vacío o no realizable.

El Evento que no contiene ningún elemento, esto es, no existe algún resultado del experimento quecumpla las condiciones del evento se llama evento vací o.

Por ejemplo.

A: “Lanzamiento de un par de dados y que la suma de sus lados sea mayor a 13”, esto es

{ } A = , el evento A no tiene ningún elemento. La má xima suma de las caras en el lanzamiento

de dos dados es 12. El evento vacío, se suele simbolizar por ∅ .

Definici ó n 1.11 Eventos infinitos

Si al contar los resultados posibles de un evento el proceso de conteo no termina con el tiempo,

entonces el evento se llama infinito.

Por ejemplo:

1.- E : “La cantidad de lanzamientos de una moneda hasta obtener la primer á guila ”.

{ }K5,4,3,2,1,= E .

2.- El evento cuyos elementos son todos los puntos del intervalo indicado en donde los extremos sondiferentes, )7,2(= E .

1.3.1 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS Definici ó n 1.13 Igualdad de eventos

Los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento son iguales, si cualquier resultado de A es también elemento de B, y viceversa Ab Bb Ba Aa B A ∈∈∀∈∈∀= entonces, a, y viceversentonces, si ,

Una relación muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos cuando todos loselementos de un evento dado está n contenidos en el otro evento.

Definici ó n 1.14 Subeventos

Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento, se dice que A es subevento de B si cualquier elemento que esté en A está en B. Lo anterior se simboliza,

A B⊂ . Es decir, A B⊂ ; si a A∈ , entonces a B∈ .

Definici ó n 1.15 eventos mutuamente excluyentes (ver conjuntos ajenos o disjuntos)

Los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, se llaman mutuamente

excluyentes si no tienen resultados comunes. Esto es: Para cualquier a A∈ , entonces a B ∉ ;

igualmente, para todo b B∈ , entonces b A ∉ .

Podemos generalizar que el evento vacío con cualquier otro evento es mutuamente excluyente.




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1.3.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS 1.- UNIÓN ENTRE EVENTOS

La unión de los eventos A y B, correspondiente a un mismo experimento, es otro evento formado porlos resultados que pertenecen al evento A o al evento B o a los dos. La unión la simbolizaremos por:

A B ∪ ( A unión B).

{ } A B x x A x B∪ = ∈ ∈ o la unión de los eventos A y B.

2.- INTERSECCIÓN ENTRE EVENTOS

La intersección entre los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos. La intersección, la simbolizaremos A B∩ ( A intersección B).

{ } A B x x A x B∩ = ∈ ∈ y la intersección entre los eventos A y B.

3.- DIFERENCIA ENTRE EVENTOS

La diferencia del evento A menos el evento B, correspondientes a un mismo experimento, es otro

evento formado por los elementos del evento A, que no pertenecen al evento B. La diferencia, lasimbolizaremos A B− ( A menos B).

{ } A B x x A x B− = ∈ ∉ y la diferencia del conjunto A, menos B.

4.- EVENTO COMPLEMENTARIO O COMPLEMENTO DE UN EVENTO

El complemento del evento A, es otro evento formado por los resultados del experimento quepertenecen al espacio muestral, pero que no pertenezcan al evento A. El complemento del evento A, lo

simbolizaremos, como A Ac

o ′ (complemento de A)

{ } A xS x x Ac

∉∈= y el evento complementario de A.

1.4 AXIOMATIZACIÓN DE LA PROBABILIDAD Definición 1.18 Probabilidad axiomá tica

D a d o u n e x p e r i m e n t o c o n e s p a c i o m u e s t r a l S , y u n a f a m i l i a d e e v e n t o s A , t a l q u e s u s e l e m e n t o s c u m p l e n

c o n l a s l e y e s d e l Á l g e b r a d e E v e n t o s , l l a m a r e m o s P r o b a b i l i d a d a x i o m á t i c a a l a f u n c i ó n n u m é r i c a P , c u y o

d o m i n i o e s A y r a n g o e l i n t e r v a l o [ ]1,0 , y e s t a l q u e l o s v a l o r e s )( E P p a r a c u a l q u i e r e v e n t o E e n A ,

c u m p l e n c o n l o s s i g u i e n t e s t r e s a x i o m a s l l a m a d o s a x i o m a s d e K o l m o g ó r o v , p a r a f a m i l i a s f i n i t a s :

A x i o m a 1 . P a r a c u a l q u i e r e v e n t o E , d e l a f a m i l i a A , 0)( ≥ E P .

A x i o m a 2 . P a r a e l e s p a c i o m u e s t r a l S , 1)( =S P.

A x i o m a 3 . P a r a c u a l q u i e r s u c e s i ó n f i n i t a ( o i n f i n i t a ) d e e v e n t o s m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s , d e A ,

n

E E E E ,,,,3 2 1

K , s e c u m p l e :

( ) ( ) ( ) ( )∑==

=+++=

n

k

k n k

n

k

E P E P E P E P E P

1

2 1

1

LU .




11

TEOREMA 1.1

Sea ∅ el evento vacío, entonces 0)( =∅ P

TEOREMA 1.2

Para cualquier evento E, ( ) )(1 E P E P

c

−=

TEOREMA 1.3

Para cualquier evento E, 1)(0 ≤≤ E P

TEOREMA 1.4

Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tales que B A ⊂ , entonces

)()( B P A P ≤

TEOREMA 1.5

Para dos eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestral, se cumple que:

)()()()( B A P B P A P B A P ∩−+=∪

EJEMPLO 1.131).- Sean los eventos a y b, correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que: ( ) 6.0=

c

A P ,

( ) 7.0=c

B P y 2.0)( =∩ B A P , calcule )( B A P ∪ .

Empleando el Teorema 1.2, tenemos

( ) 4.06.011)( =−=−=c

A P A P y ( ) 3.07.011)( =−=−=c

B P B P .

Finalmente, del Teorema 1.5 5.02.03.04.0)()()()( =−+=∩−+=∪ B A P B P A P B A P .

2).- Sean los eventos a y b, correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que:

( ) 2.0)( =∪c

B A P , ( ) 2.0=c

A P y 2.0)( =∩ B A P , calcule )( A P y )( B P .

Empleando el Teorema 1.2,

( ) 8.02.011)( =−=−=c

A P A P y ( ) 8.02.01)(1)( =−=∪−=∪c

B A P B A P .

Finalmente, del teorema 1.5

2.0

2.08.08.0)()()()(

)( despejando ),()()()(

=

+−=∩+−∪=

∩−+=∪

B A P A P B A P B P

B P B A P B P A P B A P

EJERCICIOS1).- ¿Cómo se le llama al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estocá stico?

2).- ¿Cómo se le llama al conjunto que representa a una parte de todos los resultados posibles (puedenser todos los resultados o ninguno) de un experimento estocá stico?

3).- ¿Cuá les son los tipos de corrientes de probabilidad má s comunes?




12

4).- Si un administrador asigna probabilidades a eventos dependiendo de su experiencia para realizaruna toma de decisión, él estaría empleando la corriente de probabilidad llamada.

5).- Cuando la probabilidad de ocurrencia de un evento se asigna antes que se realice el experimento sele llama probabilidad de tipo...

6).- ¿Cuá ndo dos eventos son mutuamente excluyentes?

7).- Enumera las operaciones fundamentales entre eventos.

8).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. ¿Cuá les incisos son correctos?a).-

A B A ⊂∩ yB B A ⊂∩ d).-

A B A ⊂∪ yB B A ⊂∪

b).- A B A ⊂− e).-

B B A ⊂−

c).-B A A −⊂ f).-

S A A

c

=∩

9).- Describa los tres axiomas de Kolmogórov, para un á lgebra finita.

10).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. ¿Cuá les incisos soncorrectos?

a).-) ( ) ( A P B A P =∩ d).-

) ( ) ( A P B A P ≥∩

b).-) ( ) ( A P B A P ≤∩ e).- 1)()( −= A P A P

c

c).- )(1)( c

A P A P −=

11).- ¿Sí el evento E está constituido de puros elementos negativos, entonces su probabilidad tendrá que ser negativa? Justifique respuesta.

12).- En el caso en que A B∪ = ∅ , sólo puede ocurrir si A y B son....

13).- A B∩ = ∅ sólo puede ocurrir si...

14).- ¿En qué se basa la definición frecuentista para calcular la probabilidad de un evento?

15).- ¿Cómo se considera el espacio muestral en la corriente clá sica de probabilidad?

16).- ¿Cómo es la asignación de probabilidades a los eventos en la corriente subjetiva?

17).- ¿Por qué a la corriente bayesiana se le conoce también con el nombre de a posteriori?

18).- ¿Cuá les son las dificultades por las que atraviesa la interpretación clá sica, para la asignación deprobabilidades a los diferentes eventos?

19).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. ¿Cuá l inciso es correcto?a).-

A B A ⊂∪ yB B A ⊂∪ c).-

B B A ⊂− b).-

A B A

⊂− d).- B A A

−⊂

20).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. ¿Cuá l inciso es correcto?a).-

) ( ) ( A P B A P =∩ c).-) ( ) ( A P B A P ≤∩

b).-) ( ) ( A P B A P

≥∩ d).- 1)()( −= A P A Pc

21).- ¿Qué corriente de probabilidad será conveniente emplear para la asignación de un valornumérico al suceso de que Miguel Pérez se case este a ño?

22).- ¿Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces en general

( ) )()( B P A P B A P −=∩ ?



TÉCNICAS DE CONTEO Y PROBABILIDAD Definición 2.1

Seank

A A ,,1

K k conjuntos diferentes yn n n

k 1 2

, , , K

las cantidades respectivas de elementos de

dichos conjuntos, entonces la cantidad de arreglos diferentes que contienen un elemento de cadaconjunto; escribiendo primero los elementos del conjunto 1, seguidos de los del conjunto 2 y as í sucesivamente hasta escribir los del conjunto k , la llamaremos regla generalizada de la

multiplicación está dada por:

k

nnn ××× L2 1

EJEMPLO 2.1Si se tienen 8 libros de Filosof ía, 4 de Historia y 7 de Matemá ticas, todos ellos diferentes, ¿cuá ntosarreglos de 3 libros, que contengan un libro de cada tema, se pueden formar con todos los librosanteriores?, si primero van los libros de Filosof ía, seguidos por los de Historia y finalmente los de

Matemá ticas.

Como se puede escoger de 8 maneras un libro de Filosof ía, de 4 maneras uno de Historia y de 7maneras el de Matemá ticas, la regla de la multiplicación, nos indica que el total de arreglos que constende tres libros diferentes (uno de cada tema), será 8 4 7 224× × = .

2.1.1 ARREGLOS CON REPETICIÓN (REEMPLAZO)

Diremos que los arreglos son con repetición o reemplazo, cuando después de elegido un elementopuede volverse a seleccionar (cada vez que se realice una nueva extracción). Es decir, si tenemos unconjunto A con n elementos diferentes y realizamos una extracción, esto se podrá hacer de n formasdiferentes. Si nos condicionamos a colocar el elemento elegido en el conjunto (reemplazarlo), alrealizar una segunda extracción la podremos realizar otra vez de n formas, y así sucesivamente k veces,

resultandok

n

k

nnn =×××4 43 4 421

L

veces

arreglos diferentes.

Definici ó n 2.2

Sea el conjunto { } A a a an

=1 2

, , ,K con n elementos diferentes, la cantidad de arreglos que

contengan k elementos elegidos con reemplazo del conjunto A estará dada por:k

n

EJEMPLO 2.2¿Cuá ntos números diferentes de placas se pueden formar con los números dígitos y las letras delalfabeto, si cada número de placa consta de 3 letras y 3 dígitos? Supóngase que se permite larepetici ó n.

Cada letra del arreglo se puede escoger de 26 maneras, ya que se permite la repetición. Igualmentecada dígito del arreglo se puede escoger de 10 maneras; por lo tanto, existen

26 26 26 10 10 10 26 103 3

× × × × × = × números de placas diferentes.




14

2.1.2 ARREGLOS SIN REPETICIÓN: PERMUTACIONES

Diremos que los arreglos son sin repetición o sin reemplazo, cuando después de elegido un elemento ya

no puede volver a ser seleccionado. Es decir, si tenemos un conjunto { } A a a an

=1 2

, , ,K con n

elementos diferentes y realizamos una primer extracción, esto se podrá hacer de n formas diferentes.

Sea el elemento elegido3

a , éste ya no se regresa al conjunto teniendo un conjunto

{ }1 5 4 2 1 2

,,,,,−=

n

aaaaa A K con 1 −n elementos diferentes, de tal forma que cuando se efectúe una

segunda extracción la podremos realizar sólo de 1 −n formas, y así sucesivamente hasta el k ésimo

conjunto el cual contendrá ( )( )1−− k n elementos diferentes para elegir uno y por la regla de la

multiplicación la cantidad de arreglos diferentes que se puedan formar con los k conjuntos estará dada

( ) ( ) ( )( )n n n n k

k

× − × − × × − −1 2 1L1 2444444 3444444

elementos

arreglos diferentes.

Definición 2.3

Sea el conjunto { } A a a an

=1 2

, , ,K con n elementos diferentes, la cantidad de arreglos ordenados

que contengan k elementos elegidos sin reemplazo del conjunto A estará dada por el númeroresultante de:

( ) ( ) ( )( )121 −−××−×−× k nnnn L

EJEMPLO 2.3¿Cuá ntos números diferentes de placas se pueden formar con los números dígitos y las letras delalfabeto, si cada número de placa consta de 3 letras y 3 dígitos? Supóngase que no se permite larepetición.

La primer letra se puede elegir de 26 maneras, la segunda de las 25 restantes y la tercer letra de las

24 sobrantes, en el caso de los números dígitos se escogerá n, el primero de 10 maneras, el segundode 9 y el tercero de 8, finalmente por la definición 3.4 y la regla de la multiplicación se tiene que lacantidad de arreglos es 11232000)8910()242526( =××××× .

Definición 2.5 Factorial de un número.

El factorial de un número N∈n se define como el producto sucesivo n××× L21 . y se

simboliza por ! n .

NOTA: 0 1! =

Definición 2.4

Llamaremos Permutación de k elementos escogidos de un total n (todos diferentes) a:

)!(

!

k n

n P

n

k

−= , 0 ≤ ≤k n .

La cual representa la cantidad total de arreglos ordenados de tama ño k , que se pueden formar conn elementos diferentes cuando no se permite la repetición




15

2.1.3 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS IGUALES

En los casos en que se quiere formar arreglos con todos los elementos de un conjunto entre los cualesexisten algunos que son iguales, tenemos lo siguiente.

De forma general cuando se tienen n1

elementos iguales, n2

elementos iguales, ………… y nm

elementos iguales, tales que: n n n nm 1 2 + + + =

L, resultará la cantidad total de ordenamientos

diferentes, considerando todos los n elementos por ordenamiento:

!!!

!

2 1

2 1

m

n

n n n

nnn

n P

m

L

K

= ; con n n n nm 1 2

+ + + =L (1)

EJEMPLOS 2.4

1.- Se tiene 4 computadoras “Acer” de aspecto semejante, 3 computadoras “Digital” también deaspecto semejante y 3 computadoras Compaq igualmente de aspecto semejante, ¿en cuá ntas maneras

diferentes se pueden ordenar en línea recta todas las computadoras?

Como se tiene en total 10 computadoras, de las cuales existen 4, 3 y 3 de aspecto semejante, de laexpresión 1, se tendrá :

10

4!3 34200

!

! != total de arreglos diferentes.

2.- ¿Cuá ntas permutaciones diferentes, se pueden formar con todas las letras de la palabra Guanajuato?

El problema es del caso en el que existen elementos iguales, se tienen 3 “a ”, 2 “u” y una letra “g”,“n”, “ j”, “t” y “o”. Empleando la expresión 1, tendremos que el total de arreglos es:

10

3 2!1 1 1 1 1302400

!

! ! ! ! ! != permutaciones diferentes

2.2 COMBINACIONES

Definici ó n 2.5

Dado un conjunto con n elementos diferentes, llamaremos combinación a cualquier subconjuntono ordenado de tama ño k . Denotaremos al número de combinaciones de tama ño k que se pueden

formar con los n elementos por: n

k

C , 0 ≤ ≤k n . En donde( )

! !

!

k n k

n

C

n

k

−= , 0 ≤ ≤k n (2)

N OTAS 1.- Una diferencia fundamental entre las permutaciones y las combinaciones consiste en que el orden

de los elementos de los grupos escogidos en estas últimas no importa, sólo se considera su cantidadde elementos en el grupo, mientras que en las permutaciones el orden entre sus elementos esfundamental.

Permutaciones ab ≠ ba.




16

Combinaciones { } { }a b b a, ,= .

2.- En muchas literaturas para la notación de combinatoria, también suele usarse alguna de las

siguientes:

n

k y

k n

C , esta última se emplea en las calculadoras, junto con la dek n

P para las

permutaciones.

EJEMPLO 2.5¿Cuá ntos grupos de 2 elementos se puede formar de un conjunto que contiene 5 elementos?.

Como en estos casos no importa el orden entre los elementos de los arreglos de la expresión (2),

tendremos que( )

10!25!2

!55

2

=−

=C , es el total de grupos diferentes que consten de dos elementos cada

uno. Por ejemplo, si el conjunto es { }a b c d e, , , , , , los grupos de 2 elementos son:

{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e, , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

2.3 REGLA DE LA SUMA

Definición 2.6

Sean A1

, A2

,…, Am

diferentes tipos de arreglos que pueden ocurrir de las siguientes

formas n1

, n2

,…,nm

respectivamente, entonces el total de arreglos de todos los m tipos ocurrirá n de:

n n nm 1 2

+ + +L

formas y se le llamará regla de la suma.

NOTA

La aplicación de la regla de la suma por lo general se realiza cuando aparecen en el enunciado delproblema las frases: “a lo más”, “al menos”, “por lo menos”, “menos que”, “menos que”, etc.

EJEMPLO 2.6 Se va a seleccionar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 20, de los cuales 3 son hermanos¿de cuá ntas maneras se puede formar el comité, si por lo menos dos de los hermanos estará n en elcomité?

Como en el problema se pide que al menos dos de los tres hermanos estén en el comité, se tieneque existen dos tipos de arreglos.

Un tipo de estos arreglos, será cuando se tengan dos hermanos en el comité, lo que podrá ocurrir de lasiguiente manera (notar que el orden en este problema no es importante, ya que sólo interesa que en elcomité existan 5 personas). Puesto que se requieren cinco personas en el comité y dos de ellas debende elegirse de los tres hermanos, tenemos por la regla de la multiplicación, que esto podrá ocurrir de:

C C 2

3

3

1 7

× maneras,

en donde C 2

3 representa la cantidad de maneras de escoger dos de los tres hermanos, mientras que C 3

1 7

representa la cantidad de maneras de escoger a las otras tres personas de los 17 restantes.




17

El segundo tipo de arreglos, es cuando en el comité se elijan los tres hermanos, lo cual puede ocurrirde:

C C 3

3

2

1 7

× maneras,

en donde C 3

3 representa la cantidad de maneras de escoger tres de los tres hermanos, mientras que C 2

1 7

representa la cantidad de maneras de escoger a las otras dos personas de los 17 restantes.

Finalmente, por la regla de la suma, tenemos que el total de maneras en que pueden ocurrir losdos tipos de arreglos es:

C C 2

3

3

1 7

× + C C 3

3

2

1 7

× = 3×680 + 1×136 = 2176.

EJEMPLOS 2.7

1.- Una prueba de falso y verdadero está formada de 14 preguntas de las cuales 8 son verdaderas y lasdemá s falsas ¿cuá ntos arreglos de 14 respuestas se pueden dar, si se contestan todas las preguntas?

Observemos que el problema se refiere a los casos en que existen elementos iguales (ya que si dos

o má s respuestas son verdaderas no se distingue entre ellas). Por lo tanto, de la f órmula (1),tendremos que la cantidad de arreglos posibles está dada por:

3003!6!8

!141 4

6 ,8

== P maneras de contestar el examen.

2.- En una f á brica se distribuyen 15 aparatos electrónicos en tres líneas diferentes, con 5 aparatos encada línea. Si dos de los aparatos resultaron defectuosos, ¿de cuá ntas maneras se pueden distribuir losaparatos en las cinco líneas, cuando

a).- los dos defectuosos quedan en la línea uno?

b).- los dos defectuosos quedan en una misma línea?

Soluci ó n: En este problema, el orden entre los aparatos no importa, sólo nos interesa que existan 5 encada línea.

a).- Se tiene que de los cinco aparatos de la línea uno, dos son defectuosos, por lo que podemos

escoger C 2

2 defectuosos y C 3

1 3 buenos para la línea uno, mientras que para la línea dos se escogerá n los

5 de los 10 buenos restantes. Finalmente los 5 de la línea 3 se escogerá n de los 5 buenos restantes, locual se puede representar de la siguiente forma:

C C

2

2

3

1 3 C

5

1 0 C

5

5 =C C

2

2

3

1 3 ×C

5

1 0 ×C

5

5 = 72072

b).- Ahora se pide que los dos aparatos defectuosos se localicen en una misma línea, la cual puede serla primera, la segunda o la tercera. Cada tipo de arreglo tendrá la misma cantidad de casos, por lo cuales necesario resolver sólo uno. Por ejemplo, en la primer línea (inciso a) y después multiplicarlo por la

cantidad de casos a ocurrir C 1

3

3= . Basá ndose en lo anterior, se tendrá 3×72072 = 216216, maneras

de distribuir los 15 aparatos.




18

2.4 APLICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO A LA PROBABILIDAD

Sólo se considerará n espacios muestrales finitos; por lo tanto, simbolizamos por 0)( ≠S η , a la

cantidad de elementos del espacio muestral y por )( E η la cantidad de elementos de algún evento E .

Al considerar que los elementos del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de uno

cualesquiera de ellos es )(

1

S η y, por la definición clá sica de probabilidad tendremos la probabilidad del

evento igual a:

)(

)()(

S

E E P

η

η = . con 0)( ≠S η y S E ⊂ .

En los ejemplos siguientes el procedimiento de solución consiste en lo siguiente:

• Primero. Definimos al experimento del que se habla en el problema.

• Segundo. Se encuentra el espacio muestral del experimento.

• Tercero. Se define y encuentra al evento correspondiente.

Finalmente se aplica la definición clá sica de probabilidad.

EJEMPLOS 2.8 1.- Una urna contiene 13 bolas numeradas del 1 al 13, de las cuales 3 son rojas, 4 blancas y 6 azules;

todas idénticas en forma y tama ño. Se selecciona al azar 2 bolas de la urna. Calcule la probabilidadde que exactamente una de ellas sea roja, si se extraen

a).- una tras otra sin reemplazo.

El experimento consiste en: “La extracción de dos de las 13 bolas, una tras otra sin reemplazo”.

Por lo tanto, el espacio muestral S tendrá 1561213)( =×=S η elementos.

Por otro lado, el evento E se define como: “Los resultados del experimento en los que una, y sólouna, de las dos bolas es roja ”.

Lo anterior puede ocurrir en dos casos: Primero cuando la primer bola extra ída es roja y lasegunda no lo es 3 0 1 0 3 =× opciones; y el segundo caso cuando la primera no es roja y la segunda s í lo es 3 0 3 1 0 =× opciones. Por lo tanto, 603030)( =+= E η , y la probabilidad será :

0.3846156

60

)(

)()( ===

S

E E P

η

η .

b).- Las dos a la vez.

El experimento consiste en: “La extracción de dos, de las 13 bolas a la vez”.

Por lo tanto, el espacio muestral S tendrá 78)( 1 3

2

== C S η elementos.

Por otro lado, el evento E se definirá como: “Los resultados del experimento en los que una, y

sólo una de las dos bolas es roja ”. Lo anterior ocurre de 30)( 1 0

1

3

1

=×= C C E η maneras, y la

probabilidad es:




19

0.384678

30

)(

)()( ===

S

E E P

η

η .

c).- Con reemplazo.

El experimento consiste en: “La extracción de dos de las 13 bolas una tras otra, con reemplazo”.

Por lo tanto, el espacio muestral S tendrá 1691313)( =×=S η elementos.

Por otro lado, el evento E se define así: “Los resultados del experimento en los que una, y sólouna, de las dos bolas es roja ”.

Lo anterior puede ocurrir, en dos casos: el primero ocurre cuando la primer bola extra ída es roja y la segunda no lo es, 3 0 1 0 3 =× opciones, y el segundo caso es cuando la primera no es roja y la

segunda sí es roja, 3 0 3 1 0 =× opciones. Por lo tanto, 603030)( =+= E η , y la probabilidad será :

0.3550 169

60

)(

)()( ===

S

E E P

η

η

2.- Si se sientan en línea recta 7 hombres y 4 mujeres, en forma aleatoria. Calcule la probabilidad deque:a).- todas las mujeres se sienten en los primeros 4 lugares?b).- todas las mujeres deben sentarse siempre en lugares contiguos?

Solución: Notemos que en este problema, sí importa el orden.

El experimento lo definiremos como: “La manera en que pueden sentarse 11 personas en línearecta ”.

Por lo tanto, el espacio muestral S tendrá !11)( =S η puntos muestrales.

a).- Vamos a definir al evento E : “Las mujeres deben sentarse primero”.

Debido a que las mujeres solas pueden sentar de 4×3×2×1 = 4! = 24 formas diferentes, mientras quelos hombres se pueden sentar de 7! = 5040 formas. Por la regla de la multiplicación, tenemos que eltotal de arreglos cuando las mujeres se sentará n primero es:

=)( E η 4!×7! = 24×5040 = 120960,

de donde, 0030.039,916,800

960,120

!11

!7!4

)(

)()( ==

×==

S

E E P

η

η

b).- En este caso el evento E : “Las mujeres deben sentarse siempre juntas”.

Se tendrá n diferentes tipos de arreglos, uno cuando estén las mujeres en primer lugar, otro en

segundo, en tercero, etc. hasta el octavo lugar, y todos van a tener la misma cantidad de maneras deacomodarlos; por lo tanto, empleando el resultado del inciso a, tendremos que el total de arregloscuando las mujeres van siempre juntas está dado por:

=)( E η 4!×7!×8 = 967680.

de donde: 0.024239,916,800

967,680

!11

!8!4

)(

)()( ==

×==

S

E E P

η

η




20

EJERCICIOS1).- ¿Cuá l es el nombre que se le da a los arreglos en donde el orden entre sus elementos no es de

importancia?

2).- ¿Qué diferencia existe entre arreglos con elementos iguales y arreglos con repetición?

3).- ¿Qué relación existe entre una permutación sin repetición y una combinación?

4).- ¿En qué consiste la principal diferencia entre una permutación y una combinación?

5).- El administrador de una red de 3 salas tiene en su poder 20 películas diferentes con clasificacionesA (6 películas), B (4 películas) y C (10 películas), para proyectar en los siguientes 10 días. Si porpolíticas de la administración en un periodo de 10 días se proyectan 2 películas diferentes en cadasala, y el administrador hace la programación al azar. ¿Cuá l es la probabilidad de que la asignaciónde las dos películas en la sala uno sean del tipo A, la asignación de las dos películas en la sala 2sean del tipo B y finalmente las dos películas en la sala 3 sean del tipo C?

6).- Considere todas las letras de la palabra “ Administración”. Calcule la cantidad de arreglosdiferentes que se pueden formar considerando todas las letras al mismo tiempo.

7).- Una persona, que no sabe leer absolutamente nada, acomoda en línea recta en un estante de unatienda de libros de viejos, en la calle Donceles, 6 libros de Filosof ía, 4 de Química y 8 libros deHistoria (todos ellos diferentes). ¿En cuá ntas formas se pueden acomodar los libros si los deFilosof ía deben de ir juntos?

8).- Se dispone de un grupo de doce problemas, para realizar de tarea.a).- ¿De cuá ntas maneras diferentes se puede asignar la tarea si consta de cinco problemas?b).- Si se tiene 2 problemas má s dif ícil que los demá s, ¿cuá ntas veces se incluirá n los 2 problemas

má s dif íciles en la tarea?

9).- Un experimento consiste en lanzar dos dados, utilice los teoremas combinatorios para determinar elnúmero de puntos muestrales y asigne probabilidades a los puntos muestrales y encuentre laprobabilidad de que la suma de los números que aparecen en los dados sea igual a 9.

10).- Para presentar un examen de Física, el profesor les da a sus alumnos de antemano 60 preguntasdiferentes; las cuales el día del examen colocará en una urna y el estudiante deberá elegiraleatoriamente 3 preguntas, sin reemplazo. Supóngase que el primer estudiante que va a elegir sólose preparo en 50 de las preguntas (las cuales puede contestar sin equivocación), mientras que de lasotras 10 no sabe absolutamente nada (si le toca una de ellas la dejar ía en blanco). El estudianteaprobará el examen si contesta bien al menos dos de las tres preguntas. Calcule la probabilidad deque en dichas condiciones el estudiante apruebe el examen.

11).- En un componente electrónico existen 20 placas de tres tipos diferentes (8 del tipo I, 5 del tipoII y 7 del tipo III). Se seleccionan al azar 5 placas para inspeccionarlas. Encuentre la probabilidad

de:a).- Que las 5 placas sean del mismo tipo.b).- Que dos sean del tipo I; una del tipo II y 2 del tipo III.

12).- Un productor tiene almacenados nueve motores diferentes; dos de los cuales fueronsuministrados por un proveedor en particular. Se deben de distribuir los motores en tres líneas deproducción, con tres motores en cada línea. Si la asignación de los motores es aleatoria, encuentrela probabilidad de que los dos motores del proveedor queden en una misma línea.




21

13).- En un centro comercial quedan 10 carros de control remoto para la venta, entre los cualesexisten 4 defectuosos. Si el señor Jaime López entra a la tienda para comprar dos de tales carrospara sus hijos, Juan y Carlos. Calcule la probabilidad de que al menos uno de los carros elegidossea defectuoso.

14).- En una tienda se tienen 40 refrigeradores de los cuales 35 son buenos y 5 defectuosos.

Encuentre la probabilidad de que en los siguientes 4 pedidos que se vendan, se encuentren dosdefectuosos.

15).- Un juego consiste en elegir 6 números sin repetición de 47 posibles (Melate). La persona quehalla elegido con anterioridad al sorteo los 6 números resultantes correctos, ganará el juego.Calcule la probabilidad de que 3 de los 6 números elegidos por una persona coincida con los 6números resultantes del sorteo.

16).- El alumno Armando Gonzá lez se ha preparado en 25 temas, de un total de 35, para un examen,en el cual se les entregará una ficha con 5 temas al azar de la lista de 35. Si el alumno deberá contestar correctamente al menos 3 temas de los 5 para pasar, calcule la probabilidad de queArmando Gonzá lez apruebe el examen.

17).- ¿Cuá l es la probabilidad de que el portero de un cine sé niegue dejar entrar a 2 menores de edad(ya que se exhibe una película sólo para adultos), al revisar las identificaciones de 4 personas deentre un grupo de 8, de los cuales tres no son mayores de edad?.

18).- Considere todas las letras de la palabra “ Estad í stica”. Calcule la cantidad de arreglos diferentesque se pueden formar considerando todas las letras al mismo tiempo (ignorando la acentuación).

19).- Un examen de Álgebra Lineal en la UPIICSA está formado por tres temas. El tema A contiene6 preguntas, el tema B, 4 preguntas y el tema C , 8 preguntas. Se debe contestar 5 preguntas. ¿Decuá ntas maneras diferentes puede elegir sus preguntas un estudiante, si a lo má s debe de elegir 2preguntas del tema C ?

20).- En un grupo de 30 personas se tiene 4 con apellido Gómez. Si se elige un equipo de 3 personasrepresentante del grupo. ¿De cuá ntas formas diferentes se puede realizar la elección de tal maneraque al menos una de las personas elegidas tenga el apellido Gómez?

21).- En una tienda se tiene 30 artículos de los cuales 20 son buenos y 10 defectuosos. Seseleccionan 8 artículos, ¿de cuá ntas maneras se llevará a cabo la elección de tal forma que a lo má s2 sean defectuosos?




22

3.1 PROBABILIDAD CONDICIONAL Definici ó n 3.1

Dados dos eventos A y B llamaremos probabilidad condicional del evento A dado que sucedió B

a:

)(

)()|(

B P

B A P B A P

∩= , con 0)( > B P

EJEMPLOS 3.1

1.- Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral S ), tales que 6.0)( = A P ,

4.0)( = B P y 1.0)( =∩ B A P . Calcule la )|( B A P .

De la f órmula 1, tenemos que: 25.04.0

1.0)|( == B A P .

2.- Supóngase que en un lote de 50 automóviles VW se repartirá n aleatoriamente 20 para el mercadointerno y 30 para el de exportación. Diez de los automóviles de exportación son de color blanco, ylos otros 20 de color azul. Mientras que la mitad de los automóviles del mercado interno son decolor blanco y la otra mitad azul. Si el gerente elige aleatoriamente un automóvil de color blanco¿cuá l es la probabilidad de que dicho automóvil sea de exportación?

Este tipo de problemas se resuelve f á cilmente empleando una tabla para representar los datos.

Blanco, B Azul, A Totales

Mercado interno, I 10 10 20

Mercado externo, E 10 20 30

Totales 20 30 50

Puesto que nos restringimos a la elección de un automóvil blanco la probabilidad de que elautomóvil elegido sea de exportación es de tipo condicional.

Representemos por I , los automóviles del mercado interno, por E los del externo, por B los decolor blanco, y finalmente por A los de color azul. Notamos que el espacio muestral en este casoconsta de 50 elementos. Por tanto:

La probabilidad de elegir un automóvil blanco es: 40.050

20

)(

)()( ===

S

B B P

η

η , mientras que la

probabilidad de elegir un automóvil blanco y de exportación es:

20.050

10

)(

)()( ==

∩=∩

S

B E B E P

η

η .

Luego 5.040.0

20.0

)(

)()|( ==

∩=

B P

B E P B E P .




23

3.2 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Al calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos A y B cuando conocemos la probabilidadde uno de ellos y la probabilidad del otro condicionado al primero se puede emplear la formula 1, pararealizar el cá lculo, por medio de una regla a la que llamaremos “ Regla de la multiplicación de

Probabilidades”.

)|()()( B A P B P B A P =∩ , (2)

también de forma equivalente a partir de )|( A B P , se obtiene:

)|()()( A B P A P B A P =∩ . (3)

A las f órmulas anteriores, se les conoce como “ Regla de la multiplicación de probabilidades”.

EJEMPLO 3.2

En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13 de las cuales 5 son rojas y 8 blancas todasidénticas en forma y tama ño. Se seleccionan al azar 2 bolas una tras otra sin reemplazo. Calcule laprobabilidad de que las dos bolas extra ídas sean blancas.

Primero simbolicemos por

A: “La primer bola extra ída es blanca ” B: “La segunda bola extra ída es blanca ”.

Como originalmente en la urna existen 13 bolas, de las cuales 8 son blancas, tenemos13

8)( = A P .

Cuando calculamos la probabilidad del evento B nos restringimos a la extracción de una bola

blanca quedando en la urna 12 bolas de las cuales 7 son blancas. Se tiene entonces que la probabilidad

de extraer una segunda bola blanca es12

7)|( = A B P .

Finalmente, con las probabilidades calculadas, y empleando la expresión 3, se obtiene:

3590.0156

56

12

7

13

8)|()()( ==×==∩ A B P A P B A P .

La regla de la multiplicación para tres eventos.

( )

)|()|()(

)|()()()(

C B A PC B PC P

C B A PC B PC B A PC B A P

∩=

=∩∩=∩∩=∩∩

En su forma general la regla de multiplicación de Probabilidades para n eventos estará dada porla expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1

||| −∩∩∩∩=∩∩∩n n n

A A A A P A A A P A A P A P A A A P KLK




24

3.2.2 EMPLEO DE LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL EN LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

El árbol lo comenzaremos trazando desde un punto que llamaremos vértice las diferentesramas, llamadas caminos o aristas; cada una de ellas llega a otro vértice y de igual forma desde esepunto pueden trazarse otras aristas y así sucesivamente hasta terminar con todos los caminos

posibles.

En la teoría de las probabilidades siempre debe cumplirse que la suma de todas las probabilidadesde los diferentes caminos de cualquier vértice sea igual a 1.

La probabilidad de una rama cualquiera se obtiene multiplicando las probabilidades de loscaminos descendentes, esto se hace a partir del vértice de la última arista y hasta llegar al vérticeinicial.

Es importante hacer notar que las probabilidades de los caminos ascendentes son probabilidades

condicionales; puesto que está n restringidas a que sucedan los eventos de las aristas por las que está dirigido el camino.

EJEMPLO 3.3 Una bolsa contiene 5 pelotas blancas y 3 negras, una segunda bolsa contiene 3 blancas y 6 negras,finalmente una tercer bolsa contiene 8 pelotas blancas y 3 negras, todas las pelotas son de igual forma ytama ño. Se saca una pelota aleatoriamente de la primer bolsa y se coloca sin verla en la segunda,posteriormente de ésta se saca una pelota y se coloca en la tercera. ¿Cuá l es la probabilidad de que unapelota que se saque bajo estas condiciones de la tercer bolsa sea negra? Resuelva por diagramas deá rbol, pero escriba en forma simbólica las probabilidades encontradas.

Primero vamos a hacer un diagrama que nos represente las diferentes acciones que puedenocurrir al sacar e introducir pelotas de una urna a otra. Posteriormente comenzamos con la asignaciónde probabilidades a las diferentes ramificaciones del diagrama de á rbol ya elaborado. Ver figurasiguiente.

Explicación:

Si sacamos una pelota blanca de la primer bolsa y secoloca en la segunda tendremos, en ésta, 4 1 3 =+ pelotasblancas y 6 negras.

En caso de que la pelota de la primer bolsa sea negraen la segunda bolsa tendremos 3 blancas y 7 1 6 =+ negras.

Finalmente, si de la segunda bolsa se extrae unapelota blanca al colocarla en la tercer bolsa tendremos

9 1 8 =+ blancas y 3 negras, en caso contrario será n4 1 3 =+ negras y 8 blancas.

Simbolizando pork

B al evento. “La pelota

extra ída de la bolsa k es blanca ”.

De igual forma pork

N al evento: “La pelota extra ída de la bolsa k es negra ”.

En el siguiente diagrama mostraremos las probabilidades correspondientes:

5b

3n

(3+1)b

6n

3b

(6+1)n

(8+1)b

3n

8b

(3+1)n

(8+1)b

3n

8b(3+1)n

1er. bolsa

2da. bolsa

3er. bolsa




25

12

9)|(

1 2 3

=∩ B B B P

10

4)|(

1 2

= B B P 12

3)|(

1 2 3

=∩ B B N P

128)|(

1 2 3

=∩ B N B P

8

5)(

1

= B P 10

6)|(

1 2

= B N P 12

4)|(

1 2 3

=∩ B N N P

8

3)(

1

= N P 12

9)|(

1 2 3

=∩ N B B P

10

3)|(

1 2

= N B P 12

3)|(

1 2 3

=∩ N B N P

107)|(

1 2

= N N P 128)|(

1 2 3

=∩ N N B P

12

4)|(

1 2 3

=∩ N N N P

Según el diagrama anterior resultan las siguientes probabilidades:

Para la bolsa 1:8

5)(

1

= B P y8

3)(

1

= N P .

Después de ocurrida la extracción de la bolsa 1, tenemos las probabilidades condicionales para la

bolsa 2:En el caso de la primera ramificación en la primera bolsa:

5

2

10

4)|(

1 2

== B B P o5

3

10

6)|(

1 2

== B N P .

Para el caso de la segunda ramificación en la primera bolsa:

10

3)|(

1 2

= N B P o10

7)|(

1 2

= N N P .

Finalmente después de ocurridas las extracciones de las bolsas 1 y 2, tenemos las probabilidadescondicionales para la bolsa 3:

En el caso de la primera ramificación en la segunda bolsa:

4

3

12

9)|(

1 2 3

==∩ B B B P o4

1

12

3)|(

1 2 3

==∩ B B N P .

En el caso de la segunda ramificación en la segunda bolsa:




26

3

2

12

8)|(

1 2 3

==∩ B N B P o3

1

12

4)|(

1 2 3

==∩ B N N P .

En el caso de la tercer ramificación en la segunda bolsa:

4

3

12

9)|(

1 2 3

==∩ N B B P o

4

1

12

3)|(

1 2 3

==∩ N B N P .

En el caso de la cuarta ramificación en la segunda bolsa:

3

2

12

8)|(

1 2 3

==∩ N N B P o3

1

12

4)|(

1 2 3

==∩ N N N P .

De los resultados anteriores f á cilmente se calculan las probabilidades de que la bola extra ída dela tercera urna sea negra. Para tal efecto tenemos 4 casos, tal y como se muestra a continuación:

16

1

8

5

10

4

12

3)()|()|(

1 1 2 2 1 3

=××=∩ B P B B P B B N P .

8

1

8

5

10

6

12

4)()|()|(

1 1 2 2 1 3

=××=∩ B P B N P N B N P .

320

9

8

3

10

3

12

3)()|()|(

1 1 2 2 1 3

=××=∩ N P N B P B N N P .

80

7

8

3

10

7

12

4)()|()|(

1 1 2 2 1 3

=××=∩ N P N N P N N N P .

Finalmente por el principio de la suma resultará 303125.0320

97

80

7

320

9

8

1

16

1)(

3

==+++= N P .

3.3 EVENTOS INDEPENDIENTES Definición 3.2

Dos eventos A y B son independientes, si y sólo si )()()( B P A P B A P =∩ . (5)

OBSERVACIÓN

Del ejemplo anterior podemos concluir que los ejercicios en donde se realicen elecciones, lascondiciones con o sin reemplazo influyen en los eventos para que sean independientes o dependientes.

Con reemplazo ⇒ independencia

Sin reemplazo⇒ dependencia

TEOREMA 3.1

Si S es un espacio muestral, A y B eventos independientes en S, entonces las parejas

siguientes, también son independientes c B y A ; B y A c ; c c B y A .




27

EJEMPLO 3.4 En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13 de las cuales 5 bolas son rojas y 8 blancas, todasidénticas en forma y tama ño. Se seleccionan al azar 2 bolas de la urna, una tras otra con reemplazo.Calcule la probabilidad de que las dos bolas extra ídas sean blancas.

Primero simbolicemos por

A: “La primer bola extra ída es blanca ”

B: “La segunda bola extra ída es blanca ”

Como originalmente en la urna existen 13 bolas, de las cuales 8 son blancas. Considerando queel experimento consiste en extraer dos bolas una tras otra con reemplazo, tenemos que el espacio

muestral S tiene 1691313)( =×=S η elementos.

Por otro lado, el evento B A

∩ : “Ambas bolas blancas”, tiene 6488)( =×=∩ B Aη elementos, y

por tanto, 169

64

)(

)(

)( =

∩

=∩ S

B A

B A P η

η

.

Vamos a calcular las probabilidades de A y de B y comprobaremos que estos eventos

son independientes.

Para el evento A tenemos 13 bolas de las cuales 8 son blancas; por lo tanto:13

8)( = A P .

Después de esto volvemos a colocar la bola en la urna quedando 8 blancas y 5 rojas, de tal forma

que al sacar otra vez una bola la probabilidad del evento B es:13

8)( = B P .

Fá cilmente se comprueba que los eventos son independientes puesto que:

169

64

13

8

13

8)()()( =×==∩ B P A P B A P .

3.4 TEOREMA DE BAYES Veamos ahora como se resolverían ciertos problemas en donde se conoce el espacio muestral y unapartición de éste. Ademá s de que se tiene conocimientos con respecto a las probabilidades de loseventos de la partición y se quiera calcular la probabilidad de algún otro evento del espacio muestral.Pero antes de continuar recordemos el concepto de partición de un espacio muestral.

Pues bien sea S un espacio muestral, se dice que los eventosn

E E E ,,,2 1

K forman una partición

de S , si cumplen con lo siguiente:

a ) 0)( ≠k

E P , para toda nk ,,2,1 K= .

b ) Un

k

k

E S

1 =

= .

c ) Para cualesquier par de eventos E i

y E j

, con ji ≠ , de la partición se cumple ∅=∩ j i

E E .




28

EJEMPLOS 3.5 1.- Sea el experimento “Lanzamiento de dos monedas”, y anotemos las combinaciones de resultados

posibles, { }aaassassS ,,,= (denotando sol por s y á guila con a).

Los siguientes eventos forman una partición de S .

:1

E “Resulte una sola á guila ”, { }assa E ,1

= .

:2

E “Resulten dos á guilas”, { }aa E =2

.

:3

E “ Ningún á guila ”, { }ss E =3

.

2.- Un espacio muestral S siempre tiene una partición formada con un evento E , tal que 1)(0 << E P , y

su complemento.

Este tipo de partición se emplea con mucha frecuencia en los problemas de probabilidad. Dichoseventos sí forman una partición de S ; puesto que cumplen con las tres condiciones de una partición.

Graficamente una partición del espacio muestral se observa de la siguiente forma:

Fig. 3.1 Muestra la partición de un espacio muestral .

TEOREMA 3.2 De la probabilidad total

Si S es un espacio muestral, A un evento en S yn

E E E ,,,2 1

K una partición de S, entonces

)()|()()|()()|()(2 2 1 1 n n

E P E A P E P E A P E P E A P A P +++= L .

EJEMPLO 3.6 Un preso que se fugo es buscado por la policía, la cual está segura que el prófugo sólo puede seguir uno

de 5 caminos posibles5 4 3 2 1

y,,, C C C C C , los cuales puede elegir con las probabilidades, 0.20,

0.30, 0.10, 0.25 y 0.15, respectivamente. Por las condiciones policíacas de cada una de las ciudades a

las que puede llegar las probabilidades, respectivamente, de que pueda ser atrapado, son; 0.20, 0.10,0.40, 0.30 y 0.40. Calcule la probabilidad de que sea capturado.

De las condiciones del problema podemos deducir las probabilidades:

20.0)(1

=C P , 30.0)(2

=C P , 10.0)(3

=C P , 25.0)(4

=C P y 15.0)(5

=C P

Como podemos notar tendremos tantas ciudades como caminos, por lo tanto numeraremos a lasciudades con respecto al camino elegido.

E 1

E 2

E

3

E 4

E

5

E

6

E 7

... E n

S




29

0 . 2 0

0 . 2 0

0 . 3 0

0 . 1 0

0 . 2 5

0 . 1 5

0 . 8 0

0 . 1 0

0 . 9 0

0 . 4 0

0 . 6 0

0 . 3 0

0 . 7 0

0 . 4 0

0 . 6 0

C

1

C

2

C

3

C

4

C

5

A

A

c

A

A

c

A

A

c A

A

c

A

A

c

Simbolizando por A el evento: “El fugitivo es atrapado”, tendremos que para ser atrapado en la

ciudad k , con 5,4,3,2,1=k primero debe huir por el camino k . Se tienen entonces las probabilidades

condicionales:

20.0)|(1

=C A P , 10.0)|(2

=C A P , 40.0)|(3

=C A P , 30.0)|(4

=C A P y 40.0)|(5

=C A P ,

finalmente por el Teorema de la probabilidad total resulta:

245.015.040.025.030.010.040.030.010.020.020.0

)()|()()|()()|()(5 5 2 2 1 1

=×+×+×+×+×=

=+++= C PC A PC PC A PC PC A P A P L

TEOREMA 3.3 Teorema de Bayes

Si S es un espacio muestral A un evento en S yn

E E E ,,,2 1

K una partición de S, entonces

para cualquier evento k de la partición tendremos que:

)()|()()|()()|(

)()|()|(

2 2 1 1 n n

k k

k

E P E A P E P E A P E P E A P

E P E A P A E P

+++=

L

.

EJEMPLOS 3.7 1.- Del ejemplo anterior, si el fugitivo fue atrapado, ¿cuá l es la probabilidad de que la detención seefectuará en la ciudad número 2?

Empleando la simbología anterior y el Teorema de Bayes tendremos:

0.122245.0

30.010.0

)()|()()|()()|(

)()|(

)(

)()|(

5 5 2 2 1 1

2 2 2

2

=×

=

+++=

∩=

C PC A PC PC A PC PC A P

C PC A P

A P

AC P AC P

L

2.- Trace el diagrama de á rbol del ejercicio anterior. Explicación del diagrama de árbol:

El vértice inicial tiene 5 caminos. En cada uno de ellos seanotan sus probabilidades de ser elegido (observe que la sumade los 5 es uno). En la parte de arriba en el otro vértice en cadacaso se trazan otros dos caminos, uno para el evento A, y el otropara su complemento; la suma de probabilidades por vérticesigue siendo uno.

De lo anterior se deduce que las segundas probabilidadesson condicionales; puesto que nos estamos restringiendo a laocurrencia de que haya elegido alguno de los caminos. Por lotanto, las probabilidades son:

20.0)|(1

=C A P , 10.0)|(2

=C A P , 40.0)|(3

=C A P ,

30.0)|(4

=C A P y 40.0)|(5

=C A P ;




30

y sus complementos respectivos:

80.0)|(1

=C A Pc , 90.0)|(

2

=C A Pc , 60.0)|(

3

=C A Pc , 70.0)|(

4

=C A Pc y 60.0)|(

5

=C A Pc .

Igualmente tenemos la primera ramificación con probabilidades:

20.0)(1

=C P , 30.0)(2

=C P , 10.0)(3

=C P , 25.0)(4

=C P y 15.0)(5

=C P .

Con estos datos y el diagrama de á rbol podemos calcular f á cilmente cualquiera de lasprobabilidades requeridas.

EJERCICIOS

1 ) . - ¿ C ó m o s e l l a m a e l t i p o d e c o r r i e n t e d e P r o b a b i l i d a d p a r a l o s c á l c u l o s d e é s t a e n l o s e v e n t o s d e p e n d i e n t e s ? .

2 ) . - S i A y B s o n e v e n t o s d e p e n d i e n t e s y A e s t á c o n d i c i o n a d o a B , s u p r o b a b i l i d a d s e r e p r e s e n t a r í a p o r

)|( B A P . ¿ C ó m o s e r e p r e s e n t a r í a l a p r o b a b i l i d a d d e l c o m p l e m e n t o d e l e v e n t o a n t e r i o r ? .

3 ) . - ¿ C o n b a s e e n q u é c o n c e p t o s e o b t i e n e l a r e g l a d e l a m u l t i p l i c a c i ó n d e p r o b a b i l i d a d e s ? .

4 ) . - S i m b o l i z a l a r e g l a d e l a m u l t i p l i c a c i ó n p a r a t r e s e v e n t o s .

5 ) . - E n u n d i a g r a m a d e á r b o l d e p r o b a b i l i d a d e s ¿ c ó m o s o n é s t a s e n s u s c a m i n o s a s c e n d e n t e s ? .

6 ) . - S i d o s e v e n t o s c u a l e s q u i e r a s o n m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s ¿ t a m b i é n s o n i n d e p e n d i e n t e s ? .

7 ) . - S i d o s e v e n t o s c u a l e s q u i e r a s o n i n d e p e n d i e n t e s ¿ t a m b i é n s o n m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s ? .

8 ) . - ¿ Q u é r e l a c i ó n e x i s t e e n t r e l a i n d e p e n d e n c i a d e e v e n t o s y l a e x t r a c c i ó n c o n r e e m p l a z o e n u n e x p e r i m e n t o

a l e a t o r i o ?

9 ) . - ¿ P o d r á n s e r d o s e v e n t o s A y B d i f e r e n t e s e i n d e p e n d i e n t e s y t e n e r e l m i s m o v a l o r d e p r o b a b i l i d a d ?

1 0 ) . - E n q u e t i p o s d e e v e n t o s s e p u e d e a p l i c a r e l T e o r e m a d e l a P r o b a b i l i d a d T o t a l .

1 1 ) . - E l t e o r e m a d e B a y e s n o e s m á s q u e u n a p r o b a b i l i d a d c o n d i c i o n a l e n d o n d e s e a p l i c a e l t e o r e m a . . .

1 2 ) . - ¿ S o n l a s p r o b a b i l i d a d e s

) |( B A P

y

) |(

c

B A P

c o m p l e m e n t a r i a s ? C o n s i d é r e s e

1 ) ( 0 << B P

.

E n t e n d i e n d o p o r p r o b a b i l i d a d e s c o m p l e m e n t a r i a s , a q u e l l a s c u y a s u m a s i e m p r e s e a u n o .

1 3 ) . - ¿ S i A y B s o n d o s e v e n t o s m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s , e n t o n c e s e n g e n e r a l

( ) )( A P B A P = ? .

1 4 ) . - ¿ L o s t e o r e m a s d e l a p r o b a b i l i d a d t o t a l y e l d e B a y e s , s e p u e d e n a p l i c a n c u a n d o t e n e m o s u n c o n j u n t o

f i n i t o d e e v e n t o s i n d e p e n d i e n t e s c u y a u n i ó n e s e l e s p a c i o m u e s t r a l ?

1 5 ) . - U n a c o m p a ñ í a d e g r a n p r e s t i g i o t i e n e 2 a d m i n i s t r a d o r e s , L u i s y M a u r i c i o . C u a n d o s e l l e v a n a c a b o l o s

r e p o r t e s f i n a n c i e r o s d e l a e m p r e s a , e l g e r e n t e d e j a l a m i s m a t a r e a a a m b o s a d m i n i s t r a d o r e s . S i l a

p r o b a b i l i d a d d e q u e L u i s s e e q u i v o q u e e s d e 0 . 0 3 y d e q u e M a u r i c i o l o h a g a e s d e l 0 . 0 5 , c a l c u l a l a

p r o b a b i l i d a d d e q u e a m b o s s e e q u i v o q u e n e n e l s i g u i e n t e p e r i o d o d e r e p o r t e s . S e s u p o n e i n d e p e n d e n c i a e n

l o s r e p o r t e s e r r ó n e o s d e a m b o s .

1 6 ) . - C u a n d o l o s a r t í c u l o s l l e g a n a l f i n a l d e u n a l í n e a d e p r o d u c c i ó n , u n s u p e r v i s o r e s c o g e l o s q u e d e b e n p a s a r

p o r u n a i n s p e c c i ó n c o m p l e t a ; 10% d e t o d o s l o s a r t í c u l o s p r o d u c i d o s s o n d e f e c t u o s o s ; 60% d e t o d o s l o s

a r t í c u l o s d e f e c t u o s o s y 20% d e t o d o s l o s a r t í c u l o s b u e n o s p a s a n p o r u n a i n s p e c c i ó n c o m p l e t a . ¿ C u á l e s l a

p r o b a b i l i d a d d e q u e u n a r t í c u l o s e a d e f e c t u o s o d a d o q u e p a s ó p o r u n a i n s p e c c i ó n c o m p l e t a ? .




31

1 7 ) . - E l a d m i n i s t r a d o r d e u n a r e d d e 3 s a l a s t i e n e e n s u p o d e r 2 0 p e l í c u l a s d i f e r e n t e s c o n c l a s i f i c a c i o n e s A ( 6

p e l í c u l a s ) , B ( 4 p e l í c u l a s ) y C ( 1 0 p e l í c u l a s ) , p a r a p r o y e c t a r e n l o s s i g u i e n t e s 1 0 d í a s . S i p o r p o l í t i c a s d e l a

a d m i n i s t r a c i ó n e n u n p e r i o d o d e 1 0 d í a s s e p r o y e c t a n 2 p e l í c u l a s d i f e r e n t e s p o r c a d a s a l a , y e l a d m i n i s t r a d o r

h a c e l a p r o g r a m a c i ó n a l a z a r . ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e l a a s i g n a c i ó n d e l a s 2 p e l í c u l a s e n l a s a l a u n o

s e a n t i p o A , l a s d o s p e l í c u l a s e n l a s a l a 2 s e a n d e l t i p o B d a d o q u e l a a s i g n a c i ó n d e l a s d o s p e l í c u l a s e n l a

s a l a 3 f u e d e l t i p o C ?

1 8 ) . - U n a m á q u i n a p r o d u c e a r t í c u l o s d e l o s q u e r e g u l a r m e n t e e l 5 % s a l e n c o n d e f e c t o s . E l p r o d u c t o r

a c o s t u m b r a r e v i s a r l a m á q u i n a c a d a h o r a , y p a r a e l l o t o m a e i n s p e c c i o n a u n a m u e s t r a d e t a m a ñ o 1 0 . S i l a

m u e s t r a n o c o n t i e n e a r t í c u l o s d e f e c t u o s o s , e n t o n c e s p e r m i t e q u e l a m a q u i n a t r a b a j e o t r a h o r a .

a).- ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e s t e s i s t e m a l o c o n d u z c a a q u e l a m á q u i n a s i g a f u n c i o n a n d o c u a n d o d e

h e c h o p r o d u c e u n 1 0 % d e a r t í c u l o s d e f e c t u o s o s ? .

b).- ¿ D e q u é t a m a ñ o d e b e s e r l a m u e s t r a i n s p e c c i o n a d a , p a r a a s e g u r a r q u e s i l a c a n t i d a d d e d e f e c t u o s o s e s

i g u a l a l 1 % l a p r o b a b i l i d a d d e q u e l a m á q u i n a n o s e d e t e n g a s e a m e n o r o i g u a l a 0 . 0 1 ? .

1 9 ) . - S u p o n g a q u e e x i s t e u n m é t o d o d e d i a g n ó s t i c o r á p i d o p a r a l a d i a b e t e s . C o n l a p a r t i c u l a r i d a d d e q u e s e

o b s e r v a n r e s u l t a d o s p o s i t i v o s e n e l 9 5 % d e l o s c a s o s d e p a c i e n t e s e n f e r m o s ; s i n e m b a r g o , c o n e s t e m é t o d o

a l g u n o s i n d i v i d u o s s a n o s t a m b i é n m u e s t r a n l e c t u r a s p o s i t i v a s , i n d i c a n d o q u e p o s e e n l a e n f e r m e d a d e n e l 1 %

d e l o s c a s o s .

a).- S i s e s e l e c c i o n a n d o s p a c i e n t e s , u n o e n f e r m o y u n o s a n o , ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e u n p a c i e n t e

e l e g i d o a l a z a r y q u e r e a c c i o n e p o s i t i v a m e n t e e s t é e n r e a l i d a d e n f e r m o d e d i a b e t e s ? .

c).-S i s e s e l e c c i o n a n d o s p a c i e n t e s , u n o e n f e r m o y u n o s a n o , ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e l a p r u e b a

f a l l e e n a m b o s c a s o s ; e s t o e s , q u e l a p r u e b a i n d i q u e e r r ó n e a m e n t e q u e e l e n f e r m o e s t á s a n o y e l s a n o

e n f e r m o ? .

2 0 ) . - U n l a b o r a t o r i s t a h a c r e a d o u n e s t u d i o c l í n i c o p a r a d e t e c t a r c á n c e r . E s t e e s t u d i o s e p r o b ó u n a g r a n

c a n t i d a d d e v e c e s , r e s u l t a n d o q u e e s a c e r t a d o e n u n 9 7 . 5 % d e l o s c a s o s c u a n d o l a p e r s o n a e s t á r e a l m e n t e

e n f e r m a d e c á n c e r . S i n e m b a r g o t a m b i é n s e e q u i v o c a e n u n 3 % d e l o s c a s o s c u a n d o l a p e r s o n a n o t i e n e

c á n c e r e l e s t u d i o i n d i c a q u e s i l o t i e n e . S e e x a m i n a a u n g r a n g r u p o d e p e r s o n a s d e l a s c u a l e s s ó l o e l 2 0 %

t i e n e r e a l m e n t e c á n c e r .

a ) . - C u á l e s l a c o n f i a b i l i d a d d e l e s t u d i o c l í n i c o p a r a u n a s o l a p e r s o n a ? . S u g . C a l c u l e l a p r o b a b i l i d a d d e

q u e e l e s t u d i o c l í n i c o m u e s t r e q u e u n a p e r s o n a e s t é e n f e r m a , c u a n d o e n r e a l i d a d t i e n e l a e n f e r m e d a d y

q u e m u e s t r e q u e e s t á s a n a c u a n d o e n r e a l i d a d n o t i e n e l a e n f e r m e d a d .

b ) . - S e g ú n l a c o n f i a b i l i d a d c a l c u l a d a e n e l i n c i s o a ) , c a l c u l e l a p r o b a b i l i d a d d e q u e a l r e a l i z a r l o s

s i g u i e n t e s 1 0 e s t u d i o s c l í n i c o s d e c á n c e r r e s u l t e n a l m e n o s 4 r e a l i z a d o s c o n l a c o n f i a b i l i d a d c a l c u l a d a

e n a ) .

c ) . - S e e l i g e n a l e a t o r i a m e n t e a 1 0 p e r s o n a s d e l g r u p o p a r a u n e s t u d i o c l í n i c o d e c á n c e r , ¿ c u á l e s l a

p r o b a b i l i d a d d e q u e e x a c t a m e n t e u n a d e e l l a s m u e s t r e u n r e s u l t a d o c o n c á n c e r ?

2 1 ) . - U n j u e g o c o n s i s t e e n i r d e u n e x t r e m o a o t r o p o r a l g u n o d e 4 c a m i n o s ,

1

C ,

2

C ,

3

C y

4

C , l a s

p r o b a b i l i d a d e s r e s p e c t i v a s d e e l e g i r a l g u n o d e e l l o s , p o r c u a l q u i e r a d e l o s c o n c u r s a n t e s s o n r e s p e c t i v a m e n t e ,

0 . 1 5 , 0 . 3 5 , 0 . 3 0 y 0 . 2 0 . C a d a c a m i n o t i e n e u n a t r a m p a , l a s p r o b a b i l i d a d e s d e c a e r e n l a t r a m p a s o n

r e s p e c t i v a m e n t e , 0 . 6 , 0 . 4 , 0 . 5 y 0 . 5 .

a ) . - C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l p r ó x i m o c o n c u r s a n t e c a i g a e n l a t r a m p a .

b ) . - S i l a p e r s o n a c a e e n l a t r a m p a , ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e h a y a e l e g i d o e l c a m i n o

2

C ?

c ) . - S i l a p e r s o n a c a e e n l a t r a m p a , ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e h a y a e l e g i d o e l c a m i n o

2

C o e l

3

C ? .

S u g . N o t e q u e l o s c a m i n o s s o n m u t u a m e n t e e x c l u y e n t e s .

2 2 ) . - S u p ó n g a s e q u e e n l a c i u d a d d e M é x i c o e x i s t e n s ó l o d o s e m p r e s a s t e l e v i s i v a s ,

1

E y

2

E ( T V A z t e c a y

T e l e v i s a ) . L a e m p r e s a 1 t i e n e e l 3 5 % d e l o s t e l e v i d e n t e s e n u n a h o r a d e t e r m i n a d a , m i e n t r a s q u e s u

c o m p e t i d o r , l a e m p r e s a 2 , t i e n e e l r e s t a n t e 6 5 % . P a r a a u m e n t a r s u n ú m e r o d e t e l e v i d e n t e s a d i c h a h o r a , l a

e m p r e s a 1 c o m i e n z a a m o s t r a r p e l í c u l a s d e e s t r e n o . D e s p u é s d e u n a s e m a n a d e e s t r e n o s , s e e n c u e n t r a q u e e l




32

9 0 % d e t e l e v i d e n t e s d e l a e m p r e s a 1 s i g u e e n s u p r o g r a m a c i ó n , m i e n t r a s q u e e l 2 5 % d e l o s t e l e v i d e n t e s d e l a

e m p r e s a 2 c a m b i a n d e p r o g r a m a c i ó n a l a e m p r e s a 1 .

a ) . - Q u é p o r c e n t a j e d e t e l e v i d e n t e s s e m a n t i e n e e n c a d a e m p r e s a t e l e v i s i v a d e s p u é s d e u n a s e m a n a ?

b ) . - Q u é p o r c e n t a j e d e t e l e v i d e n t e s s e m a n t i e n e e n c a d a e m p r e s a t e l e v i s i v a d e s p u é s d e d o s s e m a n a s ?

2 3 ) . - U n a e m p r e s a t i e n e d o s r e p a r t i d o r e s y q u i e r e t o m a r u n a d e c i s i ó n p a r a q u e d a r s e c o n u n o s ó l o d e e l l o s , y

d e c i d e q u e s e q u e d a r á c o n e l q u e t e n g a l a m a y o r p r o b a b i l i d a d d e a t e n d e r a t i e m p o e n 3 p e d i d o s . E l

r e p a r t i d o r 1 t i e n e u n a p r o b a b i l i d a d d e a t e n c i ó n p u n t u a l a l p r i m e r p e d i d o d e 0 . 9 5 . S i n o l l e g a a t i e m p o e n s u

p e d i d o l a p r o b a b i l i d a d d e q u e a l s i g u i e n t e l l e g u e a t i e m p o e s d e 0 . 7 5 . M i e n t r a s q u e e l r e p a r t i d o r 2 t i e n e u n a

p r o b a b i l i d a d d e l l e v a r a t i e m p o e l p r i m e r p e d i d o d e 0 . 9 0 , p e r o s i l l e g a t a r d e é s t e , l a p r o b a b i l i d a d d e q u e a l

s i g u i e n t e s i l l e g u e a t i e m p o e s d e 0 . 8 . E n e s t a s c o n d i c i o n e s a c u a l d e l o s d o s r e p a r t i d o r e s d e s p e d i r á l a

e m p r e s a .

2 4 ) . - S u p ó n g a s e q u e e n u n p e d i d o p o r p a r t e d e l a U P I I C S A d e 1 5 0 c o m p u t a d o r a s p a r a s u s D e p a r t a m e n t o s , s e

s u r t i r á a l e a t o r i a m e n t e 5 0 d e l a m a r c a A c e r , 7 0 C o m p a q y e l r e s t a n t e D i g i t a l . 3 0 d e l a s c o m p u t a d o r a s A c e r

s o n P e n t i u m I I y 2 0 P e n t i u m I I I . E n c u a n t o a l a s c o m p u t a d o r a s C o m p a q 2 0 s o n P e n t i u m I I y 5 0 P e n t i u m I I I .

M i e n t r a s q u e l a s D i g i t a l s o n t o d a s P e n t i u m I I I . S i e l j e f e d e C i e n c i a s B á s i c a s , e l i g e a l e a t o r i a m e n t e u n a

c o m p u t a d o r a P e n t i u m I I I ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e d i c h a c o m p u t a d o r a s e a d e l a m a r c a C o m p a q ?

2 5 ) . - L a s e n f e r m e d a d e s I y I I s o n c o m u n e s e n t r e l a g e n t e d e c i e r t a p o b l a c i ó n . S e s u p o n e q u e 3 0 % d e l a

p o b l a c i ó n c o n t r a e r á l a e n f e r m e d a d I a l g u n a v e z e n s u v i d a , 2 0 % c o n t r a e r á e v e n t u a l m e n t e l a e n f e r m e d a d I I y

e l 3% c o n t r a e r á a m b a s . C a l c u l e l a p r o b a b i l i d a d d e q u e u n a p e r s o n a e l e g i d a a l a z a r d e e s t a p o b l a c i ó n

c o n t r a i g a a m b a s e n f e r m e d a d e s , d a d o q u e h a c o n t r a í d o a l m e n o s u n a d e e l l a s .

2 6 ) . - S e a h a o b s e r v a d o q u e e n l a c i u d a d d e M é x i c o e l 7 0 % d e l o s t r a b a j a d o r e s h a c e n u s o d e l t r a n s p o r t e u r b a n o

p a r a l l e g a r a s u t r a b a j o y e l r e s t a n t e a u t o m ó v i l p r o p i o . D e l o s u s u a r i o s d e l t r a n s p o r t e u r b a n o 8 0 % h a c e n u s o

d e l m e t r o y e l 2 0 % r e s t a n t e s ó l o “ m i c r o b ú s ” o “ c o m b i ” . S i e l t r a b a j a d o r q u e s e e n t r e v i s t a h a c e u s o d e l

t r a n s p o r t e u r b a n o , c a l c u l e l a p r o b a b i l i d a d d e q u e s ó l o h a g a u s o d e “ m i c r o b ú s ” o “ c o m b i ” .

2 7 ) . - U n s i s t e m a p a r a d e t e c t a r h u m o u t i l i z a d o s d i s p o s i t i v o s , A y B , q u e t r a b a j a n i n d e p e n d i e n t e m e n t e . S i h a y

h u m o , l a p r o b a b i l i d a d d e q u e s e a d e t e c t a d o p o r e l d i s p o s i t i v o A , e s d e 0 . 8 y p o r e l d i s p o s i t i v o B , d e 0 . 7 5 . S i

h a y h u m o , e n c u e n t r e l a p r o b a b i l i d a d d e q u e s e a d e t e c t a d o p o r a m b o s d i s p o s i t i v o s .

2 8 ) . -

E n u n f r a c c i o n a m i e n t o r e s i d e n c i a l d e l a c i u d a d d e C u e r n a v a c a s e b o m b e a e l a g u a p o t a b l e , p a r a t a l e f e c t o

s e t i e n e n d o s b o m b a s , u n a t r a b a j a n d o y l a o t r a d e r e p u e s t o . S i l a p r o b a b i l i d a d d e q u e c u a l q u i e r a d e l a s d o s

b o m b a s f a l l e e s 0 . 1 0 y s u f u n c i o n a m i e n t o e s i n d e p e n d i e n t e . C a l c u l e l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e n u n d í a

d e t e r m i n a d o l o s h a b i t a n t e s d e l f r a c c i o n a m i e n t o s e q u e d e n s i n a g u a .

2 9 ) . - E n l a s e l e c c i o n e s p a s a d a s p a r a P r e s i d e n t e d e l a R e p ú b l i c a M e x i c a n a e l 4 4 % d e l o s v o t a n t e s e s t u v o a

f a v o r d e F o x . S e r e p o r t a q u e e l 6 0 % d e l o s v o t a n t e s e n f a v o r d e F o x f u e r o n m e n o r e s d e 2 2 a ñ o s , m i e n t r a s

q u e c o n r e s p e c t o a l o s o t r o s c a n d i d a t o s l o s v o t a n t e s a s u f a v o r m e n o r e s d e 2 2 a ñ o s s ó l o f u e e l 1 0 % . S e

e s c o g e u n a p e r s o n a d e 2 0 a ñ o s d e e d a d a l a z a r d e e s t a p o b l a c i ó n d e v o t a n t e s . E n c u e n t r e l a p r o b a b i l i d a d

c o n d i c i o n a l d e q u e e s t a p e r s o n a v o t ó a f a v o r d e F o x .

3 0 ) . - C i e r t o t i p o d e a c c i d e n t e s s o n c o m u n e s e n l o s o b r e r o s d e u n a f á b r i c a . S e s u p o n e q u e e l 1 0 % d e q u i e n e s

i n g r e s a n a t r a b a j a r e n e s t a f á b r i c a s u f r i r á s ó l o u n a c c i d e n t e d u r a n t e s u v i d a l a b o r a l ; e l 1 5 % s u f r i r á d o s

a c c i d e n t e s y e l 3 % s u f r i r á t r e s o m á s a c c i d e n t e s . C o n s i d e r e q u e l a o c u r r e n c i a d e a c c i d e n t e s e n t r e o b r e r o s s o n

i n d e p e n d i e n t e s .

a ) . - ¿ Q u é p r o b a b i l i d a d h a y d e q u e e n u n g r u p o d e t r e s o b r e r o s d e n u e v o i n g r e s o n o o c u r r a n a c c i d e n t e s

d u r a n t e s u v i d a l a b o r a l ?

b ) . - ¿ Q u é p r o b a b i l i d a d h a y d e q u e e n e s t e m i s m o g r u p o t o d o s l o s o b r e r o s t e n g a n d o s o m á s a c c i d e n t e s

a l g u n a v e z ? .

3 1 ) . - S u p o n g a q u e e x i s t e u n m é t o d o d e d i a g n ó s t i c o r á p i d o p a r a l a d i a b e t e s . C o n l a p a r t i c u l a r i d a d d e q u e s e

o b s e r v a n r e s u l t a d o s p o s i t i v o s e n e l 9 5 % d e l o s c a s o s d e p a c i e n t e s e n f e r m o s ; s i n e m b a r g o , c o n e s t e m é t o d o

a l g u n o s i n d i v i d u o s s a n o s t a m b i é n m u e s t r a n l e c t u r a s p o s i t i v a s , i n d i c a n d o q u e p o s e e n l a e n f e r m e d a d e n e l 3 %




33

d e l o s c a s o s . S u p ó n g a s e q u e p a r a p r o b a r e l d i a g n ó s t i c o s e e s t u d i a a u n a p e r s o n a d e u n a p o b l a c i ó n m u y

g r a n d e e n d o n d e e l 3 0 % t i e n e l a e n f e r m e d a d . ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e u n p a c i e n t e e l e g i d o a l a z a r y

q u e r e a c c i o n ó p o s i t i v a m e n t e e s t é e n r e a l i d a d e n f e r m o d e d i a b e t e s ? .

3 2 ) . - L a p r o b a b i l i d a d d e q u e e n u n d í a u n a a m a d e c a s a d e l a c i u d a d d e M é x i c o r e c i b a a l m e n o s u n a l l a m a d a

t e l e f ó n i c a e r r ó n e a e s d e 0 . 1 0 . C o n s i d e r e q u e l a s l l a m a d a s t e l e f ó n i c a s e r r ó n e a s p o r d í a s o n i n d e p e n d i e n t e s .

a ) . - ¿ C u á l e s p r o b a b i l i d a d d e q u e l a s e ñ o r a L a u r a q u e v i v e e n e l c e n t r o d e l a c i u d a d r e c i b a e l d í a d e h o y

u n a l l a m a d a t e l e f ó n i c a e r r ó n e a d a d o q u e a y e r r e c i b i ó 3 d e é s t a s l l a m a d a s ?

b ) . - ¿ C u á l e s p r o b a b i l i d a d d e q u e l a s e ñ o r a L a u r a q u e v i v e e n e l c e n t r o d e l a c i u d a d r e c i b a a l m e n o s u n a

l l a m a d a t e l e f ó n i c a e r r ó n e a d o s d í a s s e g u i d o s ?

3 3 ) . - U n a a g e n c i a d e p u b l i c i d a d s e d a c u e n t a d e q u e a p r o x i m a d a m e n t e u n o d e 5 0 c o m p r a d o r e s p o t e n c i a l e s d e

u n p r o d u c t o v e c i e r t o a n u n c i o e n u n a r e v i s t a y u n o d e 5 v e u n a n u n c i o c o r r e s p o n d i e n t e e n l a t e l e v i s i ó n ; u n o

d e c i e n v e l o s d o s a n u n c i o s ; u n o d e 3 c o m p r a r e a l m e n t e e l p r o d u c t o s i h a v i s t o e l a n u n c i o , y d e c a d a 1 0 q u e

n o h a n v i s t o e l a n u n c i o , l o c o m p r a 1 . ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e u n c o m p r a d o r p o t e n c i a l e s c o g i d o a l

a z a r c o m p r e e l p r o d u c t o ? .

3 4 ) . - U n d e t e c t o r d e m e n t i r a s m u e s t r a u n a l e c t u r a p o s i t i v a ( e s d e c i r , i n d i c a u n a m e n t i r a ) e n 1 0 % d e l o s c a s o s

c u a n d o l a p e r s o n a d i c e l a v e r d a d y e n 9 5 % d e l o s c a s o s c u a n d o l a p e r s o n a m i e n t e . S u p o n g a q u e s e s o s p e c h a

d e d o s p e r s o n a s d e h a b e r c o m e t i d o u n d e l i t o , q u e f u e e j e c u t a d o p o r u n a s o l a p e r s o n a , y d e h e c h o s ó l o u n a d e

e l l a s e s c u l p a b l e .

a ) . - ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l d e t e c t o r m u e s t r e u n a l e c t u r a p o s i t i v a p a r a l o s d o s s o s p e c h o s o s ? .

b ) . - ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e s t é c o m p l e t a m e n t e e q u i v o c a d o e l d e t e c t o r , e s d e c i r , q u e i n d i q u e u n a

l e c t u r a p o s i t i v a p a r a e l i n o c e n t e y u n a l e c t u r a n e g a t i v a p a r a e l c u l p a b l e ? .

c ) . - ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l d e t e c t o r m u e s t r e u n a l e c t u r a p o s i t i v a p a r a c u a l q u i e r a d e l o s d o s o

p a r a a m b o s s o s p e c h o s o s ? .

d ) . - S i e l j u e z d e l c a s o d e c i d e c o n s i d e r a r a l d e t e c t o r c o m o u n a p r u e b a v a l i d a , s ó l o e n e l c a s o e n q u e l a

c o n f i a b i l i d a d d e l d e t e c t o r s e a m a y o r a l 9 0 % . E n t a l e s c o n d i c i o n e s ¿ c o n s i d e r a r á e l j u e z a l d e t e c t o r d e

m e n t i r a s c o m o u n a p r u e b a v a l i d a ?

3 5 ) . - U n a g e n t e d e v e n t a s t i e n e q u e e s t a r v i a j a n d o c o n s t a n t e m e n t e a c u a t r o c i u d a d e s

1

C ,

2

C ,

3

C y

4

C , c o n

u n p o r c e n t a j e d e v i s i t a s d e 2 0 % , 4 0 % , 2 5 % y 1 5 % , r e s p e c t i v a m e n t e . L a p r o b a b i l i d a d d e q u e v e n d a s u s

p r o d u c t o s e n l a s c i u d a d e s , r e s p e c t i v a m e n t e e s d e l 4 0 % , 3 0 % , 5 0 % y 3 0 % . D e s p u é s d e r e g r e s a r d e u n a

c i u d a d e l a g e n t e h a v e n d i d o s u s p r o d u c t o s , ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e n e s t a o c a s i ó n v i a j o a l a c i u d a d

2 ?

3 6 ) . - D e l o s a r t í c u l o s p r o d u c i d o s d i a r i a m e n t e p o r c i e r t a f a b r i c a , e l 30% p r o v i e n e d e l a l í n e a I , 40% d e l a

l í n e a I I y 30% d e l a l í n e a I I I ; m i e n t r a s q u e e l p o r c e n t a j e d e a r t í c u l o s b u e n o s , d a d o q u e s o n p r o d u c i d o s p o r

l a l í n e a I , e s e l 80% ; d e l a l í n e a I I t a m b i é n e l 80% s o n b u e n o s y d e l a l í n e a I I I e l 90% s o n b u e n o s .

a ) . - S e e s c o g e u n a r t í c u l o a l a z a r d e l a p r o d u c c i ó n d i a r i a ; c a l c u l e l a p r o b a b i l i d a d d e q u e s e a b u e n o .

b ) . - S e e s c o g e u n a r t í c u l o a l a z a r d e l a p r o d u c c i ó n d i a r i a y r e s u l t a s e r b u e n o . C a l c u l e l a p r o b a b i l i d a d d e

q u e e l a r t í c u l o e s c o g i d o s e h a y a e l a b o r a d o e n l a l í n e a I I .

3 7 ) . - S e a f i r m a q u e u n a p r u e b a p a r a d i a g n o s t i c a r c i e r t a e n f e r m e d a d t i e n e u n a c o n f i a b i l i d a d d e 90% ; e s

d e c i r , l a p r u e b a d e t e c t a r á l a e n f e r m e d a d c o n u n a p r o b a b i l i d a d d e 0 . 9 , s i l a p e r s o n a t i e n e l a e n f e r m e d a d . L a

p r u e b a t a m b i é n i n d i c a r á q u e n o l a t i e n e c o n u n a p r o b a b i l i d a d d e 0 . 9 ( s i l a p e r s o n a e s t á s a n a ) . S o l a m e n t e

1% d e l a p o b l a c i ó n t i e n e l a e n f e r m e d a d e n c u e s t i ó n . S i s e e s c o g e u n a p e r s o n a a l a z a r d e l a p o b l a c i ó n y e l

d i a g n ó s t i c o i n d i c a q u e t i e n e l a e n f e r m e d a d ,

a ) . - ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d c o n d i c i o n a l d e q u e r e a l m e n t e t e n g a l a e n f e r m e d a d ?

b ) . - ¿ D i r í a q u e e s t a p r u e b a e s c o n f i a b l e ?




34

3 8 ) . - S e h a o b s e r v a d o q u e l o s h o m b r e s y l a s m u j e r e s r e a c c i o n a n d e u n a m a n e r a d i f e r e n t e e n c i e r t a s

c i r c u n s t a n c i a s ; 70% d e l a s m u j e r e s r e a c c i o n a n p o s i t i v a m e n t e e n d i c h a s c i r c u n s t a n c i a s , m i e n t r a s q u e e l

p o r c e n t a j e e n l o s h o m b r e s e s s o l a m e n t e d e l 40% . S e s o m e t i ó a p r u e b a u n g r u p o d e 2 0 p e r s o n a s , 1 5

m u j e r e s y 5 h o m b r e s , y s e l e s p i d i ó c o n t e s t a r u n c u e s t i o n a r i o p a r a d e s c u b r i r s u s r e a c c i o n e s . U n a r e s p u e s t a

e s c o g i d a a l a z a r d e l a s 2 0 r e s u l t ó n e g a t i v a . ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e h a y a s i d o c o n t e s t a d a p o r u n

h o m b r e ? .

3 9 ) . - E x i s t e n d o s m é t o d o s A y B p a r a e n s e ñ a r a l o s t r a b a j a d o r e s c i e r t a h a b i l i d a d i n d u s t r i a l . E l p o r c e n t a j e d e

f r a c a s o s e s 20% p a r a A y 10% p a r a B . S i n e m b a r g o , B c u e s t a m á s y p o r e s o s e u t i l i z a s o l a m e n t e e n e l

4 0 % d e l o s c a s o s ( s e u t i l i z a A e n e l o t r o 6 0 % ) . S e e n t r e n ó a u n t r a b a j a d o r s e g ú n u n o d e l o s d o s m é t o d o s

p e r o n o l o g r a p r e n d e r l o c o r r e c t a m e n t e . ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e h a y a r e c i b i d o e l e n t r e n a m i e n t o c o n

e l m é t o d o A ? .

4 0 ) . - S u p ó n g a s e q u e e n u n l o t e d e 5 0 a u t o m ó v i l e s V W s e r e p a r t i r á n a l e a t o r i a m e n t e 2 0 p a r a e l m e r c a d o

i n t e r n o y 3 0 p a r a e l d e e x p o r t a c i ó n . D i e z d e l o s a u t o m ó v i l e s d e e x p o r t a c i ó n s o n d e c o l o r b l a n c o , y l o s o t r o s

2 0 d e c o l o r a z u l , m i e n t r a s q u e l a m i t a d d e l o s a u t o m ó v i l e s d e l m e r c a d o i n t e r n o s o n d e c o l o r b l a n c o y l a o t r a

m i t a d a z u l .

B l a n c o , B A z u l , A T o t a l e s

M e r c a d o i n t e r n o , I 1 0 1 0 2 0

M e r c a d o e x t e r n o E 1 0 2 0 3 0

T o t a l e s 2 0 3 0

5 0

a ) . - S i e l g e r e n t e e l i g e a l e a t o r i a m e n t e u n a u t o m ó v i l d e c o l o r b l a n c o , ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e d i c h o

a u t o m ó v i l s e a d e e x p o r t a c i ó n ?

b ) . - S i e l g e r e n t e e l i g e a l e a t o r i a m e n t e u n a u t o m ó v i l d e e x p o r t a c i ó n , ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e d i c h o

a u t o m ó v i l s e a d e c o l o r a z u l ?




35

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 4.1 VARIABLES ALEATORIAS

Definición 4.1Dado un experimento con espacio muestral S , llamaremos variable aleatoria del experimento ala función numérica que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral.

En la Teoría de Probabilidades, generalmente a las variables aleatorias se les simboliza por lasletras mayúsculas, X , Y , Z , etc. y sus elementos por las letras minúsculas correspondientes.

Sea S el espacio muestral del experimento, y R⊂ X

R ; en donde R, representa al conjunto de los

números reales. Por lo tanto:

X

RS X a:

representa a la función cuyo dominio es S y rango X

R . Veamos su representación grá fica.

X

RS X a:

S X

R

Dominio Contradominio o rango

Fig. 4.1 Representación grá fica de una variable aleatoria.

Los elementos del rango de una variable aleatoria generalmente se representan por letrasminúsculas correspondientes a la variable aleatoria. De tal manera que:

xe X =)(

representa la asignación del número real x al punto muestral e, o lo que es lo mismo con el lenguaje de

funciones, xe X =)( representa a la función X evaluada en el elemento muestral e, cuya imagen es x.

4.2 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Definici ó n 4.2

Dado un experimento aleatorio y X una variable aleatoria de éste con rango X

R , llamaremos a X

“Variable aleatoria discreta”, vad, cuando el conjunto X

R resulta finito o infinito numerable.

N OTA

Las Variables Aleatorias Discretas tienen cabida cuando la variable del experimento es tal que serequiere de un conteo para determinar sus elementos.

e x




36

EJEMPLOS 4.2

1).- Al analizar una muestra de 10 artículos entre los cuales existen 3 defectuosos, podemos definir ala variable aleatoria X , como: “La cantidad de extracciones sin reemplazo necesarios para encontrara los tres artículos defectuosos de la muestra ”.

{ }98,7,6,5,4,3,= X

R , conjunto finito.

2).- Si el experimento consiste en lanzar una moneda, y la variable aleatoria X , se define como: “Lacantidad de lanzamientos hasta obtener una primer á guila ”. Tendremos que esta variable esdiscreta y su rango es:

{ }K4,3,2,1,= X

R , conjunto infinito numerable.

4.2.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Definici ó n 4.3

Dado un experimento y una variable aleatoria discreta X

en él, con rango igual a{ }n X

x x x R ,,,2 1

K= (puede ser infinito numerable). Definimos en todos los reales a la Función

de Probabilidad de la variable aleatoria discreta X , como:

∉

∈==

X k

X k k

k

R x

R x x X P x p

si ,0

si ),()(

Observamos que )(k

x p debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) 0)( ≥k

x p para toda k , las probabilidades siempre son mayores o iguales a cero.

b) 1)(1

=∑≥k

k

x p . La suma de todas las probabilidades siempre debe de valer uno.

Por medio de diagramas de Venn podemos ilustrar a La Función de Probabilidad . Ver Fig. 4.2.

X

RS X a:

[ ]1,0

[ ]1,0: a X

R p

Fig. 4.2 Representación grá fica de la función de probabilidad con elespacio muestral y la variable aleatoria correspondiente.

Con frecuencia a partir de la función de probabilidad se introduce una definición má s la Distribución de Probabilidad .

eS

xk




37

Definición 4.4

Sea X una variable aleatoria con rango { }n X

x x x R ,,,2 1

K= (puede ser infinito numerable), y

función de probabilidad )( x p ; llamaremos distribución de probabilidad, al conjunto de parejas

( ))(,k k

x p x , para toda X k

R x ∈ , tal que se cumple:

1)(

toda para ,0)(

=

∈≥

∑k

k

X k k

x p

R x x p

-2.

-1.

Otro concepto probabilístico de importancia es la función de distribución acumulada.

Definición 4.5


x x x R ,,,2 1

K= (puede ser infinito numerable), y

función de probabilidad )( x p llamaremos función de distribución acumulada (fda) de X , a la

función positiva y no decreciente definida en todos los reales y discontinua en cada punto

X k

R x ∈, tal que:

∑=

k

k

x p x F ) ( ) ( , para toda

X k

R x ∈ y x xk

≤ .

A partir de la definición de )( x F , f á cilmente se deduce que:

a ) )( x F es una función no decreciente, es decir, para todos los reales x, y, si y x < , entonces

)()( y F x F ≤ .

b ) 0)(lím =−∞→

x F x

y 1)(lím =+∞→

x F x

. Se deducen f á cilmente de las propiedades a) y b) de las

funciones de probabilidad.

c ) La grá fica de )( x F es una función escalonada, en donde cada salto representa la probabilidad del

punto de discontinuidad a la derecha.

EJEMPLOS 4.3

Analicemos el ejemplo relativo al lanzamiento de tres monedas. En donde,

X : “Representa la cantidad de á guilas en el lanzamiento de las tres monedas”.

Está claro que { }3 2, 1, 0,= X

R . Por otro lado, las probabilidades para los valores de X son:

.8

1)3()3(

8

3

8

1

8

1

8

1)2()2(

8

3

8

1

8

1

8

1)1()1(

8

1

)3()0(

===

=++===

=++===

===

X P p

X P p

X P p

X P p

es decir,

=

=

=

valorotropara ,0

2,1 para ,8

3

3,0 para ,8

1

)( x

x

x p




38

Mientras que su función de Distribución Acumulada según la definición 4.5, será :

≤

<≤

<≤

<≤

<

=

x

x

x

x

x

x F

3 si,1

32 si,8

7

21 si,84

10 si,8

1

0 si ,0

)( .

Fá cilmente se comprueba que se cumplen las condiciones anteriores, respecto a la Función de

Probabilidad y La Función de Distribución Acumulada. Ver figura siguiente.

(a) (b)

Fig. 4.3 Representa las funciones de probabilidad (a) y fda (b),del lanzamiento de las tres monedas.

N OTAS

•••• En la grá fica de la función de probabilidad los segmentos verticales son simbólicos, puesto queen caso contrario no se trataría de una función. El valor de la función está representado por elcírculo negro, y en los demá s puntos vale cero.

•••• Los saltos de discontinuidad en la función de distribución acumulada, muestran los valores de laprobabilidad en dichos puntos de la variable aleatoria discreta.

4.4 VALOR ESPERADO DE UNA VAD

Definición 4.6


x x x R ,,,2 1

K= , puede ser infinito numerable, y

función de probabilidad )( x p , llamaremos valor esperado de X (o esperanza matemá tica de X ), a

la cantidad que denotaremos por )( X E o X

µ , y se calculará por:

∑≥

=

1

)()(k

k k

x p x X E

NOTAS

1 El valor esperado de una variable aleatoria discreta X es un pará metro de dicha variable, querepresenta el valor promedio que se espera suceda al repetir el experimento, en forma

)( x p1

0 . 2

0 . 6

1

2

3

)( x F

°°°° °°°°

°°°°

°°°°

1

0 . 2

0 . 6

1

2

3

X X0 0




39

independiente, una “ gran cantidad de veces”. De lo mencionado, se concluye que )( X E siempre

es un valor intermedio de los { }n X

x x x R ,,,2 1

K= , pero que no necesariamente debe coincidir con

alguno de estos valores.

2 Cuando la variable aleatoria discreta X , tiene un rango infinito numerable, el valor esperado es una

serie, ∑∞

=

=

1

)()(k

k k

x p x X E . Si la serie converge absolutamente, ∞<∑∞

=1

)(k

k k

x p x , entonces )( X E

se designa como valor promedio de X .

3 Cuando la variable aleatoria discreta X tiene un rango finito, el valor esperado ∑=

=

n

k

k k

x p x X E 1

)()( ,

se puede considerar como un valor medio ponderado de los valores de X

R ,n

x x x ,,,2 1

K , con

pesos respectivos )(,),(),(2 1 n

x p x p x p K . Por otro lado, debemos tener bien claro que )( X E y

promedio ponderado de un conjunto de datos, no son sinónimos. Puesto que; )( X E es un

pará metro asociado a una variable aleatoria discreta X , mientras que el Promedio Ponderado es el

resultado de una combinación aritmética entre ciertos datos.

4.4.1 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA VAD 1.- Valor esperado de una constante. Sea b X = constante, entonces bb E =)( .

2.- Si realizamos un cambio de variable lineal b a X Y += , en donde a y b son constantes el valor

esperado de la nueva variable estará dado por b X aE Y E += )()( .

4.5 VARIANCIA DE UNA VAD

Como es lógico suponer un sólo pará metro no es suficiente para describir el comportamiento de una

variable aleatoria discreta. Por lo que es necesario recurrir a otro pará metro que nos indique en ciertamedida la variabilidad de los valores de la variable en relación con su valor esperado.

Definición 4.7

Dado un experimento y una variable aleatoria discreta X en él con rango { }n X

x x x R , , ,

2 1

K = ,

puede ser infinito numerable, y función de probabilidad )( x p . Llamaremos variancia de X a la

cantidad que simbolizaremos con )( X V ó 2

X

σ , y calcularemos por medio de:

( )∑≥

−=

1

2

) ( ) ( ) (

k

k k

x p X E x X V .

Debido a que las unidades en que se mide la variable aleatoria y su variancia no coinciden (éstaúltima tiene las unidades cuadradas de la variable), se suele introducir otra definición en base a la ra ízcuadrada positiva de la variancia.

Definici ó n 4.8

En las condiciones anteriores llamaremos desviación estándar de la variable aleatoria discreta X ,

a la ra íz cuadrada positiva de la variancia:) ( X V

X

=σ .




40

O BSERVACIÓN

La variancia de la variable aleatoria discreta X es un pará metro positivo de dicha variable el cualrepresenta el valor esperado de los cuadrados de las desviaciones que tiene cada uno de los valores

X k

R x ∈ , con respecto al valor esperado de la variable aleatoria discreta X .

4.5.1 PROPIEDADES DE LA VARIANCIA DE UNA VAD1.- De la definición de valor esperado de una variable aleatoria se deduce que :

( ) [ ]2

1

2

)()()()( X E X E x p X E x X V k

k k

−=−=∑≥

.

2.- Para los cá lculos la varianza se obtiene como ( ) [ ]2

2 )()( X E X E X V −= .

3.- La variancia de una constante vale cero. Si c X = , entonces 0)( = X V .

4.- Si realizamos un cambio lineal de variable b a X Y += , en donde a y b son constantes la

variancia de la nueva variable estará dado por )()( 2

X V aY V = .

EJEMPLOS 4.4

1.- Sea ( ))(,k k

x p x la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X , según se

muestra explícitamente:

x X = 3 − 1 − 1 2

)( x p 0.4 0.3 0.2 0.1

Encuentre el valor esperado y la variancia de X .

a).- 1.11.0)2(2.0)1(3.0)1(4.0)3()()(1

−=++−+−==∑≥k

k k

x p x X E

( )

( ) ( ) ( ) ( )

3.290.961 882.0003.01.444

1.0)1.1(22.0)1.1(13.0)1.1(14.0)1.1(3

)()()(

2 2 2 2

1

2

=+++=

−−+−−+−−−+−−−=

−=∑≥k

k k

x p X E x X V -b).

La desviación está ndar es igual a =29.3 1.814

Con la propiedad (2) el cá lculo resulta má s f á cil.

( ) [ ]

29.321.15.421.14.02.03.06.3

)1.1(1.0)2(2.0)1(3.0)1(4.0)3()()( 2 2 2 2 2

2

2

=−=−+++=

=−−++−+−=−= X E X E X V

2.- Sea ( ))(,k k

y p y , la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Y , definida por

1 0 2 5 −= X Y , cuyos valores se encuentran en la tabla siguiente. Encuentre el valor esperado y lavariancia de Y .




41

yY = 15 40 90 140 165

x X = 1 2 4 6 7

)()( x p y p = , 1025 −= x y 0.15 0.20 0.35 0.25 0.05

De la tabla de distribución y las f órmulas para el valor esperado y la variancia podemos calcularéstas directamente. Pero de la relación 1 0 2 5 −= X Y , simplificaríamos los cá lculos ya que10)(25)1025()( −=−= X E X E Y E .

Por lo anterior es suficiente encontrar el valor esperado y la variancia de la variable aleatoriadiscreta X .

80.305.0)7(25.0)6(35.0)4(20.0)2(15.0)1()()(1

=++++==∑≥k

k k

x p x X E

Por tanto, 85108.3)25(10)(25)( =−=−= X E Y E .

De forma similar para la variancia, )()( 2

X V aY V = .

( ) [ ]

56.344.141844.1445.296.58.015.0

)8.3(05.0)7(25.0)6(35.0)4(2.0)2(15.0)1()()( 2 2 2 2 2 2

2

2

=−=−++++=

=−++++=−= X E X E X V

Finalmente la variancia de Y resulta: 222556.3)625()(25)( 2

=== X V Y V .

Mientras que su desviación está ndar será : 47.17)(25)( === X V Y V Y

σ .

EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

1).- Los valores de una variable aleatoria discreta se obtienen por medio de ...

2).- ¿Podrá n ser negativos los valores de una variable aleatoria?

3).- ¿Qué diferencia existe entre una función de probabilidad y una distribución de probabilidad de unavariable aleatoria discreta X ?

4).- Al sumar todas las probabilidades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta X , el resultado debe ser igual a....

5).- ¿Qué representa la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta?

6).- ¿Cómo es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta en los valores de

ésta última?7).- La variancia de una variable aleatoria se puede entender como el valor esperado del...

8).- ¿Qué representa el valor esperado de una variable aleatoria discreta X ? ¡ No se pide definir alvalor esperado!.

9).- ¿Podrá ser negativa la variancia de una variable aleatoria discreta?

10).- Al sumar todas las probabilidades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta X , el resultado es igual a:




42

a).- Depende de los valores de la variable X . c).- Menor a unob).- Uno. d).- Cualquier valor entre 0 y 1.

11).- En los siguientes incisos indica cuá l de ellos describe a la definición de una variable aleatoria.a).- Una representación de los eventos.b).- Una representación del espacio muestral.

c).- Una asignación de probabilidades para los elementos muestrales.d).- Una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral.

12).- Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compa ñías tienenauditores permanentes para verificar los asientos contables. Supóngase que los empleados de unacompa ñía efectúan asientos erróneos en el 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos alazar: Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte má s de un error.

13).- Un cliente potencial para una póliza de seguro por $20,000 (dólares) tiene una casa en un á reaque, de acuerdo con la experiencia, puede sufrir una pérdida total en un a ño con una probabilidadde 0.001 y una pérdida del 50% con una probabilidad de 0.01. ¿Qué prima tendría que cobrar lacompa ñía de seguros por una póliza anual, para salir a mano con todas las pólizas de $20,000 de

este tipo, ignorando todas las otras pérdidas parciales?.14).- Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que en un día se quejan por

el servicio de una tienda, cuya función de probabilidad está dada por:

3210con,0

3210con),1(1.0)(

≠

=+=

, , , x

, , , x x x f

Encuentre cuá ntos clientes se espera acudan a quejarse por el servicio en un día determinado.

15).- El gerente de un almacén, en una f á brica, ha construido la siguiente distribución deprobabilidad para la demanda diaria (número de veces utilizada) para una herramienta en particular.

x 0 1 2

)( x X P = 0.1 0.5 0.4

Le cuesta a la f á brica $90 pesos cada vez que se utiliza tal herramienta. Encuentre la media y lavariancia del costo diario para el uso de tal herramienta.

16).- La producción de artículos domésticos por día, en una cierta f á brica es de 12 aparatos, de loscuales hay dos defectuosos. Se elige una muestra de 3 aparatos y sea X la variable aleatoria queasigna La cantidad de aparatos defectuosos en la muestra. Determine la función de probabilidad de X .

17).- Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar a uno o dos clientes diariamente con una

probabilidad de 32y31 , respectivamente. Cada entrevista tendrá como resultado una “no

venta ” o “una venta ” de $50,000 (dólares) con probabilidades de 0.9 y 0.1, respectivamente.Obtenga la distribución de probabilidad para las ventas diarias. Encuentre la media y la desviaciónestá ndar de las ventas diarias.

18).- Una agencia de alquiler que arrienda equipo pesado por días, se da cuenta de que un equipocostoso es arrendado en promedio, solamente un día de cinco. Si el alquiler en un día esindependiente del alquiler en cualquier otro día, encuentre la distribución de probabilidad para X ,que representa: “El número de días entre dos alquileres”.




43

MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD 4.6 MODELO BINOMIAL

En el estudio de La Probabilidad y la Estad í stica el concepto de independencia juega un papel muyimportante. Por consiguiente, existen muchos fenómenos probabilísticos discretos en donde laspruebas de los experimentos se consideran independientes. Uno de tales Modelos discretos que tienemucho auge en los experimentos con pruebas independientes es el Modelo Binomial.

Definición 4.9

Un experimento aleatorio se llama Binomial, cuando cumple con las siguientes condiciones:1).- El experimento consta de n (número finito) pruebas independientes.2).- Cada prueba tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso.3).- La probabilidad de éxito en una prueba es p y la de fracaso pq −=1 , y se mantienen

constantes de prueba en prueba.

Definición 4.10

A cada una de las pruebas efectuadas en un experimento de Binomial les llamaremos Ensayos de

Bernoulli.

N OTAS

• Por éxito en un ensayo entenderemos el cumplimiento de la variable aleatoria. Es decir si lavariable X se define como: “Cantidad de artículos defectuosos”. Un éxito será cuando el artículosea defectuoso.

•

Un experimento de Bernoulli se termina cuando ocurre la n-ésima prueba.

Definición 4.11

A la variable aleatoria X definida en un experimento binomial que representa la cantidad de éxitosen n ensayos de Bernoulli le llamaremos “Variable aleatoria Binomial”.

Veamos algunos ejemplos en los que comprobaremos, si la variable aleatoria definida en elproblema trata o no de una variable de binomial .

EJEMPLOS 4.5

Un sistema de 3 radares para detectar carros a gran velocidad se instala en una carretera. Cada radarfunciona independientemente con probabilidad de detectar un carro que viaje a gran velocidad igual a0.99. Calcule la probabilidad de que un carro que viaja a gran velocidad, por dicha carretera, no seadetectado. Considerando a la variable aleatoria

X : “Cantidad de radares que detectan el carro que viaja a gran velocidad”.

Determine que este experimento es de tipo binomial.




44

Comprobación: Verifiquemos que se cumplen las propiedades de un experimento Binomial.

1.- El experimento consiste de tres ensayos cada uno de ellos determina si el radar detectao no al carro que viaja a gran velocidad. Por las condiciones del problema vemos quelos ensayos son independientes.

2.- Al pasar el carro a gran velocidad por un radar sólo puede ocurrir una de dos: que seao no detectado, esto es un é xito o un fracaso.

3.- El éxito, que sea detectado, de las condiciones del problema se conserva constante deradar en radar e igual a 0.99. Igualmente el fracaso es 0.01.

Teorema 4.1

S i X e s u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a b i n o m i a l y { }n R X

,,1,0 K= , c o n é x i t o p y f r a c a s o

pq −=1 , e n t o n c e s s e

c u m p l i r á :

k n k n

k

q pC k X P −== )( , nk ,,1,0 K= , 1

0

=∑=

−n

k

k n k n

k

q pC

np X E =)( , npq X V =)(

4.6.1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE LOS MODELOS BINOMIALES Y USO DETABLAS BINOMIALES

En forma general para calcular probabilidades de una variable aleatoria discreta X , con distribuciónbinomial, se emplea el Teorema 4.1, en donde:

k n k n

k

q pC k X P −== )( , nk ,,1,0 K= .

con n cantidad de ensayos, p éxito de un ensayo y q el fracaso. Pero si el valor de n está entre 1 y 30, ylos valores de p son: 0.05, 0.10, 0.15, ..., 0.95, podemos emplear tablas para la distribución acumuladade la binomial, tal y como se muestra a continuación.

USO DE TABLAS BINOMIALES

Las tablas binomiales está n dadas para la función de distribución acumulada, como se muestra acontinuación.

Función acumulada de la distribución Binomial, k n k

x

k

n

k

p pC x F −

=

−=∑ )1()(0

Valores de p

n x

0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 0 . 2 0 0 . 2 5 0 . 3 0 0 . 3 5 0 . 4 0 0 . 4 5 0 . 5 0 0 . 5 5 0 . 6 0 0 . 6 5 0 . 7 0 0 . 7 5 0 . 8 0 0 . 8 5 0 . 9 0 0 . 9 5

148 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 . 9 9 9 6 0 . 9 9 7 8 0 . 9 9 1 7 0 . 9 7 5 7 0 . 9 4 1 7 0 . 8 8 1 1 0 . 7 8 8 0 0 . 6 6 2 7

0 . 5 1 4 1

0 . 3 5 9 5 0 . 2 1 9 5 0 . 1 1 1 7 0 . 0 4 3 9 0 . 0 1 1 5 0 . 0 0 1 5 0 . 0 0 0 0

9 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 . 9 9 9 7 0 . 9 9 8 3 0 . 9 9 4 0 0 . 9 8 2 5 0 . 9 5 7 4 0 . 9 1 0 2 0 . 8 3 2 8

0 . 7 2 0 7

0 . 5 7 7 3 0 . 4 1 5 8 0 . 2 5 8 5 0 . 1 2 9 8 0 . 0 4 6 7 0 . 0 0 9 2 0 . 0 0 0 4

1 0

1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 . 9 9 9 8 0 . 9 9 8 9 0 . 9 9 6 1 0 . 9 8 8 6 0 . 9 7 1 3 0 . 9 3 6 8 0 . 8 7 5 7 0 . 7 7 9 5 0 . 6 4 4 8 0 . 4 7 8 7 0 . 3 0 1 8 0 . 1 4 6 5 0 . 0 4 4 1 0 . 0 0 4 2

1 1 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 . 9 9 9 9 0 . 9 9 9 4 0 . 9 9 7 8 0 . 9 9 3 5 0 . 9 8 3 0

0 . 9 6 0 2

0 . 9 1 6 1 0 . 8 3 9 2 0 . 7 1 8 9 0 . 5 5 1 9 0 . 3 5 2 1 0 . 1 5 8 4 0 . 0 3 0 1

Las probabilidades má s comunes para calcular son: )( k X P ≤ , )( k X P ≥ y) ( m X k P ≤≤ . Por

ejemplo, para 1 4 =n y 60.0= p , tendremos (ver valores en la tabla anterior):




45

a).- 7207.0)9()9( ==≤ F X P , 7207.0)9()9()10( ==≤=< F X P X P .

b).- 2793.07207.01)9(1)10( =−=−=≥ F X P ,

2793.07207.01)9(1)10()9( =−=−=≥=> F X P X P

c).- 4 0 6 1 .0 5 1 4 1 .0 9 2 0 2 .0 ) 8 ( ) 1 1 ( ) 1 1 8 (

=−=−=≤≤F F X P

.

NOTA

Para resolver problemas de modelos discretos se recomienda seguir tres pasos.

1).- Definir a la variable aleatoria en estudio.

2).- Identificar el modelo al que pertenece la variable definida.

3).- Aplicar las f órmulas correspondientes para el cá lculo de probabilidades, valor esperado yvariancia.

EJEMPLO 4.6Un sistema para detectar carros a gran velocidad consta de 3 radares que se instalan en una carretera.Cada radar funciona independientemente, con probabilidad de detectar a un carro que viaja a granvelocidad e igual a 0.99. Considerando a la variable aleatoria X : “El número de radares que detectanal carro que viaja a gran velocidad”. Determinea).- Distribución de probabilidad, para X .b).- Valor esperado y variancia de X .

• En este ejemplo el primer punto para la solución de problemas ya esta hecho, puesto que lavariable ya se definió.

X : “El número de radares que detectan al carro que viaja a gran velocidad”.

• El segundo punto también ya se realizó puesto que en el ejemplo anterior, resultó que X tiene una

distribución Binomial con { }3 2, 1, ,0= X

R .

• Finalmente el tercer y último punto para la aplicación de las formulas tendremos:

a).- Del Teorema 4.1 para 99.0= p y 01.0=q resultará :

000001.0)01.0()99.0()0( 3 0 3

0

=== C X P

0.000297)01.0()99.0()1( 2 1 3

1

=== C X P

0.029403 )01.0()99.0()2( 1 2 3

2

=== C X P

0.970299 )01.0()99.0()3( 0 3 3

3

=== C X P

b).- Del Teorema 4.1 se obtiene:

0297.0)01.0)(99.0(3)(

97.2)99.0(3)(

===

===

npq X V

np X E




46

EJERCICIOS 1

1).- La revisión aduanal se efectúa en el Aeropuerto aleatoriamente, de la siguiente manera: En lasalida se encuentra un semá foro, si al pasar la persona se activa la luz roja se realizará la revisión;en caso de activarse la verde, el viajero sale tranquilamente sin revisión. La luz roja aparece con

una frecuencia del 10% . Si se consideran 18 viajeros, ¿Cuá l es la probabilidad de que:a).- 3 o má s sean revisados?b).- menos de 5 sean revisados?c).- ¿Cuá ntos de los siguientes 100 viajeros se espera sean revisados?

2).- Si en general 15 de cada 100 hijos de padres alcohólicos nacen con deficiencias f ísicas o mentales,a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que en los próximos 10 nacimientos (por parte de padres

alcohólicos) resulten, por lo menos 2 casos de nacimientos de niños con deficiencias f ísicas omentales?

b).- De los siguientes 20 nacimientos (por parte de padres alcohólicos) ¿cuá ntos se espera que notengan deficiencias f ísicas o mentales?

3).- Una má quina produce generalmente el 5% de objetos defectuosos. Una muestra de 8 objetos seselecciona al azar, de la línea de producción. Si la muestra produce má s de dos objetosdefectuosos, se inspeccionará el 100% de la producción.

a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que ocurra la inspección?b).- ¿Cuá ntos objetos se espera que no estén defectuosos en una muestra de 50?

4).- De una población humana muy grande de la cual el 10% sufre diabetes se seleccionan 20 personasal azar.

a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que al menos 2 de estas personas sean diabéticas?b).- ¿Cuá l es la cantidad de personas (de las 20 que se seleccionaron), que se espera sean

diabéticas?

4.7 MODELO GEOMÉTRICO Definición 4.12

Un experimento aleatorio se llama geométrico, si cumple con:

1.- El experimento consta de ensayos independientes.

2.- Cada ensayo tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso.

3.- La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso pq −=1 , y se mantienen

constantes de ensayo en ensayo.

4.- El experimento termina cuando ocurre el primer éxito en un ensayo.

Definición 4.13A la variable aleatoria discreta X definida en un experimento geométrico que representa a lacantidad de pruebas necesarias hasta obtener el primer éxito, se le llama “Variable aleatoria

Geométrica”.




47

EJEMPLOS 4.7

1).- Sí el 35% de la población, del D.F., está a favor del candidato Cuauhtémoc Cá rdenas, para laselecciones del 2000, podemos definir a la variable aleatoria:

X : “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que est é enfavor del candidato”.

2).- Sí una má quina despachadora de refrescos arroja un poco má s de 200 ml. por vaso derramá ndoseel líquido en un 5%, de los vasos despachados. Podemos definir a la variable aleatoria:

X : “Cantidad de vasos despachados, hasta obtener el primero que se derramará”

Simbolizaremos por )();( k X P pk G == a la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el

ensayo k . La formula para calcular las probabilidades de un Modelo Geométrico estará dada por elsiguiente teorema.

Teorema 4.2

S i X e s u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a g e o m é t r i c a , c o n é x i t o p y f r a c a s o pq −=1 , e n t o n c e s

pqk X P pk G k 1 )();( −=== , K,3,2,1=k 1);(

1

1

1

==∑∑∞

=

−∞

=k

k

k

pq pk G

p X E

1)( =

2

1)(

p

p X V

−=

p a r a l o s c á l c u l o s

a).- k qk X P −=≤ 1)( , p a r a L,2,1=k

b).- k qk X Pk X P =>=+≥ )()1( , p a r a L,2,1=k

c).- k m

qqk X m P −=≤≤

−1

)(, p a r a

L,2,1, =k m

y

k m

≤.

NOTA

De la definición de variable aleatoria con distribución geométrica debemos de observar que el rango dela variable a diferencia de la binomial comienza en 1 y no termina, es infinito.

EJEMPLO 4.8

Sí el 25% de la población, del D.F. está a favor del candidato Cuauhtémoc Cárdenas para las eleccionesdel 2000.a).- Encuentre la probabilidad que la primera persona que esté a favor del candidato Cárdenas, se

encuentre después de la quinta persona entrevistada.b).-

¿Cuántas personas se espera entrevistar hasta encontrar la primera que esté a favor del candidatoCárdenas?

• Primer punto, definiremos a la variable.

X : “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera queesté a favor del candidato”.

• El segundo punto, clasificaremos el modelo. Cómo se vio en el ejemplo 5.5.2, resultó que X

cumple con una variable Geométrica con 25.0= p y 75.0=q .




48

• Finalmente el tercer y último punto para la aplicación de las formulas tendremos:

a).- Del Teorema 4.2 inciso b) resulta: 0.2373)75.0()5( 5 5

===> q X P .

b).- Del Teorema 4.2 resulta: 425.0

11)( ===

p X E .

EJERCICIOS 2

1).- Sea una máquina despachadora de refrescos que arroja un poco más de 20 ml por vasoderramándose el líquido en un 5% de los vasos despachados. Podemos definir a la variablealeatoria X : “Cantidad de vasos despachados hasta obtener el primero que se derramará”.Considere que la forma de despachar el líquido por la máquina es independiente de vaso en vaso.Calcule la probabilidad de que el primer vaso que se derrame se encuentre después del 15vo. vasodespachado.

2).- Un inspector de la SECOFI ha encontrado que en 6 de 10 tiendas que visita se presentanirregularidades. Si el inspector visita una serie de tiendas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a).- la primer tienda con irregularidades fuera encontrada después de revisar la cuarta? b).- ¿Cuántas tiendas se espera que tenga que visitar para encontrar la primera con

irregularidades?

3).- En un lote grande de artículos hay 3% de defectuosos. Si se selecciona al azar un artículo uno trasotro hasta encontrar un defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se deban inspeccionar más de 5artículos?

4).- Se estima que el 70% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta dedientes A. ¿Cuál es la probabilidad que al entrevistar a un grupo de consumidores

a).- sea necesario entrevistar exactamente 4 personas para encontrar el primer consumidor queprefiere la marca A?

b).- se tenga que entrevistar al menos 6 personas para encontrar el primer consumidor que prefierela marca A?

4.8 MODELO HIPERGEOMÉTRICOUn modelo probabilístico será de tipo Hipergeométrico cuando los experimentos que se realizan conrespecto a un evento E son tales que sus pruebas no son independientes. En estos modelos seconsideran lotes de artículos, los cuales están constituidos de elementos divididos en dos clases. Elexperimento consiste en elegir una muestra del lote sin reemplazo y calcular las probabilidades cuandosus elementos pertenezcan a una de las clases.

Definición 4.14

Un experimento aleatorio se llamaHipergeométrico

si cumple con las condiciones:1.- El experimento se realiza considerando un lote de tama ño N en el cual sus elementos está n

divididos en dos clases de tama ños m y m N − .

2.- Se toma una muestra de tama ño n, sin reemplazo del lote.

3.- Se calculan las probabilidades de que k elementos de una de las clases estén en la muestra de

tama ño n.




49

Definición 4.15

A la variable aleatoria discreta X definida en un experimento Hipergeométrico que representa a lacantidad de elementos que se encuentran en la muestra perteneciente a la clase de éxitos se le

llama “Variable aleatoria Hipergeométrica”.

Teorema 4.3S i X e s u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a H i p e r g e o m é t r i c a c o n m é x i t o s e n u n a p o b l a c i ó n d e t a m a ñ o N d e l a

c u a l s e e l i g e u n a m u e s t r a s i n r e e m p l a z o d e t a m a ñ o n , e n t o n c e s

N

n

m N

k n

m

k

C

C C k X P

−

−== )( , { } { }mnk N mn ,mín0,máx ≤≤−+

{ }

{ }

1

,

0 ,

=

∑

−+=

−

−m n m í n

N m n m á x k

N

n

m N

k n

m

k

C

C C

= N

mn X E )(

11)(

−

−

−

= N

n N

N

m

N

mn X V

EJEMPLO 4.9

En un lote de 10 componentes electrónicos de TV en buen estado, se agregan 3 defectuosos, todos en

apariencia y tama ño iguales. Una persona compra 4 de tales componentes para reparar televisores.

Calcule la probabilidad de que la persona tenga que regresar a reclamar al vendedor, por haberobtenido componentes defectuosos.

• Primer punto, definición de la variable.

Sea X : “Cantidad de componentes defectuosos en la selección”

• El segundo punto, clasificación del modelo. Por las condiciones del problema se deduce que laselección se realizo sin reemplazo. Ademá s el tama ño del lote es finito e igual a 13 y sólo tenemos

dos clases de componentes, buenos y defectuosos. De lo anterior se deduce que X es una variable

Hipergeométrica, con: 1 3

= N , 4

=n , 3

=m .

• Tercer y último punto aplicación de formulas.

De las condiciones del problema tenemos que la persona reclamará , sí al menos un componente

resulta defectuoso. Por lo tanto, la probabilidad que necesitamos calcular es:

7063.02937.011)0(1)1(1 3

4

1 0

4

3

0

=−≈−==−=≥C

C C X P X P .

Este resultado nos indica, que probablemente el comprador regresará a reclamar.

NOTA Los modelos Hipergeométricos debido a su naturaleza son mucho muy empleados en los problemas de

Teoría del Control Estadístico, en donde juega un rol muy importante al analizar los componentes de

los lotes, para determinar si se puede aceptar o rechazar un lote dividido en dos clases, buenos ydefectuosos.




50

EJERCICIOS 3

1).- Para llevar a cabo un reporte de control de calidad sobre la fabricación de videos; de un lote de 25de estos se elige una muestra aleatoria de 5 y se prueban, en caso de que no se encuentren

defectuosos entre estos 5 el reporte se escribe satisfactorio. ¿Cuá l es la probabilidad de que el

reporte sea satisfactorio, si en el lote se han introducido 4 videos defectuosos?

2).- En el aeropuerto Benito Juá rez de la ciudad de México debido a la gran afluencia de pasajeros,sólo se revisa el 10% de estos a la salida. Si de un grupo de 20 turistas, 12 tienen compras muy por

arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 20 personas,

¿cuá l es la probabilidad de que las dos personas revisadas tengan que pagar los impuestoscorrespondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto?

3).- Se van a escoger al azar sin reemplazo 8 objetos de un lote con 15 buenos y 6 defectuosos.

a).- Calcule la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 defectuosos entre los 8 objetos

seleccionados.b).- Cuá ntos de los 8 objetos se espera que no estén defectuosos.

4.9 MODELO DE POISSONEl último de los modelos probabilísticos discreto que estudiaremos es el llamado: “Modelo dePoisson3 ”. Este modelo estudia los experimentos cuyos resultados tienen lugar en intervalos

continuos 4 ; de tiempo, á reas, volúmenes, etc. Antes de seguir, cabe mencionar que el modelo de

Poisson es discreto puesto que en sus experimentos sólo nos interesará la cantidad de resultados quepueden ocurrir en un intervalo (de los antes mencionados), más no la continuidad del intervalo.

El modelo de Poisson tiene muchas aplicaciones. Se emplea generalmente en donde, se desea

optimizar los tiempos, tanto de espera como de servicio, a este tipo de problemas se les estudia en el

á rea de Investigación de operaciones en los temas: Lí neas de Espera o Teorí a de Colas.

NOTA Para ejemplificar la definición de experimento de Poisson al hablar de intervalo, nos referiremos al

tiempo, pero tomaremos en cuenta que en lugar de tiempo se podría tratar de un á rea, un volumen, etc.

Definición 4.16

A la variable aleatoria X definida en un experimento de Poisson, que representa la cantidad de

resultados, que ocurren en el intervalo de tiempo ),(0

t t , se le llama Variable aleatoria de

Poisson.

En estas condiciones es obvio que X es discreta con valores: 0, 1, 2, 3,....

Los intervalos dependen del experimento, y estos pueden ser:

•

Un minuto, un día, una semana, un a ño, etc.

• Un metro cuadrado, una hectá rea, etc.

3

E n h o n o r a l m a t e m á t i c o f r a n c e s S i m é o n D e n i s P o i s s o n . N a c i d o e n P i t h i v i e r s 1 7 8 1 y m u e r t o e n P a r i s e n 1 8 4 0 . F u e u n o

d e l o s c r e a d o r e s d e l a f í s i c a m a t e m á t i c a y a u t o r d e u n a s e r i e d e t r a b a j o s s o b r e : l a m e c á n i c a c e l e s t e , e l a s t i c i d a d , c a p i l a r i d a d ,

c á l c u l o d e p r o b a b i l i d a d e s y m a g n e t i s m o .

4

D e b i d o a l o s i n t e r v a l o s c o n t i n u o s e n l o s q u e o c u r r e n l o s M o d e l o s d e P o i s s o n , é s t o s t i e n e n u n a e s t r e c h a r e l a c i ó n c o n l o s

M o d e l o s C o n t i n u o s d e t i p o E x p o n e n c i a l .




51

• Un metro cúbico, etc.

EJEMPLOS 4.10

1).- La cantidad de llamadas telef ónicas a un conmutador en un intervalo de 5 minutos.

2).- La cantidad de accidentes automovilísticos mensuales en un crucero determinado.

3).- La cantidad de carros que llegan a un estacionamiento en una hora determinada.

4).- El número de partículas que pasan a través de un contador en un milisegundo.

5).- La cantidad de errores de mecanograf ía por pá gina en un libro determinado.

6).- Cantidad de á rboles infectados por ciertos gusanos en un á rea determinada.

7).- Llegadas de clientes a una tienda durante un intervalo de tiempo determinado.

Simbolicemos por )();( k X Pt k P ==λ - “La probabilidad de que en el experimento de Poisson

ocurran k resultados en un intervalo ),(0

t t ”.

Definici ó n 4.17

Llamaremos Distribución de Probabilidad de Poisson, a las parejas ( ));(, t k Pk λ , para k igual a

0, 1, 2, 3, ....

En el siguiente teorema daremos la formula para calcular probabilidades de Modelos de Poisson,

pero debido a lo complejo de su demostración no la llevaremos a cabo.

Teorema 5.16

S i X e s u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a d e P o i s s o n e n e l i n t e r v a l o

),(0

t t , y { }K,2,1,0= X

R , e n t o n c e s

( r e p r e s e n t a n d o p o r t l a l o n g i t u d d e l i n t e r v a l o ),(0

t t )

t

k

ek

t k X Pt k P λ λ

λ −

===

!

)()();( K,2,1,0=k 1);(

0

=∑∞

=k

t k P λ t X E λ µ == )(

t X V λ σ == )(2

El parámetro λ está dado por:

t

X E )(=λ - Representa la razón esperada de resultados en el intervalo de estudio.

En caso de que t sea igual a una unidad del intervalo (1 hora, 1 día , 1 metro, etc.), λ y )( X E tienen el mismo valor numérico. En tal caso, podemos escribir la formula para el calculo de

probabilidades como:!

),(k

ek P

k

λ λ λ

−

= .




52

USO DE TABLAS DE POISSON

Las tablas de Poisson están dadas para la función de distribución acumulada, como se muestra acontinuación.

Función acumulada de la Distribución de Poisson, ∑ =

−

=

x

k

k t

k

t et x P

0 !

)(

);(

λ

λ

λ

.

V a l o r e s d e t λ µ =

x

4 . 0 0 4 . 1 0 4 . 2 0 4 . 3 0 4 . 4 0 4 . 5 0 4 . 6 0 4 . 7 0 4 . 8 0 5 . 0 0 5 . 2 0 5 . 3 0 5 . 4 0 5 . 5 0 5 . 6 0 5 . 7 0 5 . 8 0 5 . 9 0

0

0 . 0 1 8 3 0 . 0 1 6 6 0 . 0 1 5 0 0 . 0 1 3 6 0 . 0 1 2 3 0 . 0 1 1 1 0 . 0 1 0 1 0 . 0 0 9 1 0 . 0 0 8 2 0 . 0 0 6 7 0 . 0 0 5 5 0 . 0 0 5 0

0 . 0 0 4 5

0 . 0 0 4 1 0 . 0 0 3 7 0 . 0 0 3 3 0 . 0 0 3 0 0 . 0 0 2 7

1

0 . 0 9 1 6 0 . 0 8 4 5 0 . 0 7 8 0 0 . 0 7 1 9 0 . 0 6 6 3 0 . 0 6 1 1 0 . 0 5 6 3 0 . 0 5 1 8 0 . 0 4 7 7 0 . 0 4 0 4 0 . 0 3 4 2 0 . 0 3 1 4

0 . 0 2 8 9

0 . 0 2 6 6 0 . 0 2 4 4 0 . 0 2 2 4 0 . 0 2 0 6 0 . 0 1 8 9

2

0 . 2 3 8 1 0 . 2 2 3 8 0 . 2 1 0 2 0 . 1 9 7 4 0 . 1 8 5 1 0 . 1 7 3 6 0 . 1 6 2 6 0 . 1 5 2 3 0 . 1 4 2 5 0 . 1 2 4 7 0 . 1 0 8 8 0 . 1 0 1 6

0 . 0 9 4 8

0 . 0 8 8 4 0 . 0 8 2 4 0 . 0 7 6 8 0 . 0 7 1 5 0 . 0 6 6 6

3

0 . 4 3 3 5 0 . 4 1 4 2 0 . 3 9 5 4 0 . 3 7 7 2 0 . 3 5 9 4 0 . 3 4 2 3 0 . 3 2 5 7 0 . 3 0 9 7 0 . 2 9 4 2 0 . 2 6 5 0 0 . 2 3 8 1 0 . 2 2 5 4

0 . 2 1 3 3

0 . 2 0 1 7 0 . 1 9 0 6 0 . 1 8 0 0 0 . 1 7 0 0 0 . 1 6 0 4

4

0 . 6 2 8 8 0 . 6 0 9 3 0 . 5 8 9 8 0 . 5 7 0 4 0 . 5 5 1 2 0 . 5 3 2 1 0 . 5 1 3 2 0 . 4 9 4 6 0 . 4 7 6 3 0 . 4 4 0 5 0 . 4 0 6 1 0 . 3 8 9 5

0 . 3 7 3 3

0 . 3 5 7 5 0 . 3 4 2 2 0 . 3 2 7 2 0 . 3 1 2 7 0 . 2 9 8 7

Las probabilidades más comunes para calcular son: )( k X P ≤ , )( k X P ≥ y) ( m X k P ≤≤ . Por

ejemplo, para 40.5= µ , tendremos (ver valores en la tabla anterior):

a).- 2133.0)40.5;3()3( ==≤ P X P , 2133.0)40.5;3()4( ==< P X P .

b).- 9052.00948.01)40.5;2(1)3( =−=−=≥ P X P ,

9052.00948.01)40.5;2(1)3()2( =−=−=≥=> P X P X P

c).- 3 4 4 4 .0 0 2 8 9 .0 3 7 3 3 .0 ) 4 0 .5 ; 1 ( ) 4 0 .5 ; 4 ( ) 4 2 ( =−=−=≤≤ P P X P

.

EJEMPLO 4.11

En una tienda los clientes llegan al mostrador conforme una distribución de Poisson con un promediode 10 por hora. En una hora dada, ¿cuá l es la probabilidad de que lleguen al menos 5 clientes?

Identificación de datos:

Definamos a la variable aleatoria X : “Cantidad de clientes que llegan a la tienda ”.

Un promedio de 10 clientes por hora,hora

clientes10=λ .

En un intervalo de una hora dada, es decir: h o r a 1 =t .

Por lo tanto, clientes 10hora)1(hora

clientes10 =×

== t λ µ , con lo cual:

[ ]

9707.00293.01

!4

)10(

!3

)10(

!2

)10(

!1

)10(

!0

)10(1

)4()3()2()1()0(1)4(1)5(4 1 0 3 1 0 2 1 0 1 1 0 0 1 0

=−=

=

++++−=

==+=+=+=+=−=≤−=≥

−−−−−eeeee

X P X P X P X P X P X P X P

.

La probabilidad es bastante grande, puesto que considerando un valor esperado de 10 clientesserá muy probable que 5 o má s clientes lleguen en el transcurso de una hora.




53

La probabilidad anterior se pudo haber calculado por tablas, con clientes 10== t λ µ ,

9707.00293.01)10;4(1)4(1)5( =−=−=≤−=≥ P X P X P .

EJERCICIOS 4

1).- Una secretaria comete en promedio dos errores al escribir una pá gina. Si los errores cometidos son

independientes y siguen un proceso de Poisson ¿Cuá l es la probabilidad de que cometa 1 o má serrores en la siguiente pá gina que escriba?

2).- Desde el a ño 1996 el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido, en promedio, arazón de 5.7 cierres por a ño. Suponga que el número de cierres por a ño tiene una distribución dePoisson. Encuentre la probabilidad de que, ninguna empresa cierre durante un periodo de 4 meses.

3).- Supóngase que una cajera de un Banco atiende (en promedio), a razón de 4.5 clientes por cada 10minutos, y ademá s que la cantidad de personas atendidas por la cajera sigue un proceso de Poisson.Calcule la probabilidad, de que dicha cajera atienda a sólo 2 clientes en el transcurso de lossiguientes 10 minutos.

EJERCICIOS DE MODELOS DISCRETOS

1).- ¿Qué representa )( k X P = , para una variable X con distribución binomial?

2).- ¿Qué representa )( k X P = , para una variable X con distribución geométrica?

3).- ¿Qué representa )( k X P = , para una variable X con distribución Hipergeométrica?

4).- ¿Qué representa )( k X P = , para una variable X con distribución de Poisson?

5).- ¿Cuá ndo se termina un experimento de Bernoulli?

6).- ¿Qué diferencias fundamentales existen entre los modelos binomial y geométrico?

7).- ¿Qué semejanzas existen entre los modelos binomial y geométrico?

8).- ¿En qué modelo siempre son iguales el valor esperado y su variancia?

9).- ¿En que modelo discreto la dependencia entre sus pruebas es una de sus características?

10).- ¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución geométrica? 11).- ¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución de Poisson? 1).- Según las estadísticas de la ciudad de México, en la colonia Doctores se cometen en promedio 10

asaltos a automovilistas al día. Si los asaltos son independientes y se apegan a un proceso dePoisson.

a).- Calcule la probabilidad de que en un día determinado se cometan má s de 10 asaltos aautomovilistas.

b).- Calcule la probabilidad de que en el transcurso de las 6 y 12 horas del d ía de ma ñana, no secometan asaltos a automovilistas. Comente el resultado obtenido.

2).- Si el costo de pasaje por persona en una Combi es de $2.5 y cada vehículo transporta en promedio12 pasajeros por cada 30 minutos. Suponga que la cantidad de personas transportadas por la combisigue una distribución de Poisson.




54

a).- Encuentre el ingreso esperado por día de trabajo de un chofer (1 día de trabajo equivale a 10horas), si en gasolina invierte 200 pesos diarios.

b).- La probabilidad de que en un intervalo determinado, de 30 minutos, transporte a lo má s lamitad del promedio dado anteriormente?

3).- La administración de la empresa PARTEC, S.A. quiere conocer las probabilidades que pueden

suceder para llevar a efecto un control de calidad, para lo cual el administrador supone que tiene unlote de 20 artículos de los cuales 3 son defectuosos y quiere conocer la probabilidad de que al elegiruna muestra de 4 artículos, se encuentre al menos un defectuoso.

4).- La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquierperiodo de un segundo es igual a 0.1. Supóngase que los clientes llegan de manera aleatoria y porlo tanto, las llegadas en cada intervalo de un segundo son independientes.

a).- Encuentre la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el tercer intervalo de unsegundo.

b).- Encuentre la probabilidad de que la primera llegada ocurra después del tercer intervalo de unsegundo.

5).- Las estaciones de radio en México, durante su periodo de mayor audiencia (cuando se ofrecenpremios por llamar a la estación), es tal que la probabilidad de que una persona pueda comunicarse(la línea esté desocupada es de 0.05). Suponga que las llamadas son independientes.

a).- Calcule la probabilidad de que la tercera llamada que entra sea la décima que se realizó.b).- ¿Cuá l es el número de llamadas que deben de hacerse para que entre la primera llamada?

6).- Las estaciones de radio en México, durante su periodo de mayor audiencia (cuando se ofrecenpremios por llamar a la estación), es tal que la probabilidad de que una persona pueda comunicarse(la línea esté desocupada es de 0.05). Suponga que las llamadas son independientes. Si un radioescucha habla cada día para tratar de ganar los premios que se reparten diariamente. Calcule laprobabilidad de que en dos de los siguientes 5 días gane premio, si éste se obtiene con ser elprimero que hable. Considere independientes la obtención de los premios por día.

7).- Según un estudio se obtuvo que el 65% de los empleados de una Universidad que tiene pocos a ñosde laborar desean afiliarse a un sindicato. Si toma una muestra aleatoria de 15 empleados y se lespregunta si desean o no el sindicato, calcule la probabilidad de que:

a).- La mayor parte deseen el sindicato.b).- Sólo 5 deseen el sindicato.

8).- Se sabe que el 30% de los accionistas dedican 10 o menos minutos a la lectura del balance de suempresa. Se eligen al azar 8 accionistas de la empresa, calcule la probabilidad de que 5 o menosdediquen 10 o menos minutos a la lectura del balance de la empresa.

9).- En una tienda se encontró que la venta de cierto articulo sigue un proceso de Poisson con un

promedio de 5 ventas al día, ¿cuá l es la probabilidad de que en un día dado el articulo?a).- Sea pedido má s de 6 veces.b).- Si los pedidos de día en día, se suponen independientes, calcule la probabilidad, de que tengan

que pasar má s de 4 días de pedidos, para que resulte el primer día con má s de seis pedidos.

10).- En la ciudad de México se efectuaron encuestas a un gran número de amas de casa para saber sipor la noche el agua de su casa se sal ía de las cisternas, encontrá ndose que aproximadamente el 5%contesto afirmativamente. Considere la estimación anterior vá lida, calcule la probabilidad de que alinspeccionar a 20 casas, por la noche, al menos en una de ellas se esté tirando el agua.




55

11).- El conmutador del IPN puede manejar un má ximo de 3 llamadas por minuto. Si se sabe que enpromedio recibe 40 llamadas por hora.

a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que en un intervalo de un minuto determinado se sature elconmutador?.

b).- ¿Cuá ntos intervalos de un minuto se espera tengan que ocurrir para que se encuentre el

primero en que se sature el conmutador?12).- Para llevar a cabo un reporte de control de calidad sobre la fabricación de videos, se analizan

por lotes independientes de 15 aparatos cada uno. Si de cada uno de estos lotes se elige unamuestra aleatoria de 3 de ellos y se prueban. Considere que el productor a introducido en cada lote2 defectuosos. La embarcación de videos se comprará , si después de analizar un lote no se hanencontrado defectuosos. Calcule la probabilidad de que en estas condiciones se tenga que comprarla embarcación.

13).- Una institución bancaria selecciona a 20 clientes de los cuales 5 forman parte de su carteravencida. Si selecciona una muestra aleatoria de 6 de ellos, calcule la probabilidad de que seandeudores con plazo vencido Má s de tres.

14).- En la industria de la cerveza se lleva a cabo un control de calidad con respecto a la cantidad dellenado de los botes de la misma. Se sabe que la probabilidad de que el llenado esté fuera de lasespecificaciones es de 0.01, la línea de producción se detiene para ajustarla, si al analizaraleatoriamente una muestra de 25 botes, má s de uno tiene un contenido de cerveza fuera de lasespecificaciones. Calcule la probabilidad de que la línea de producción tenga que ser detenida alrealizar el siguiente muestreo.

15).- Un contador público titulado (CPT) ha encontrado que 9 de 10 auditorias de compa ñíascontienen errores importantes. Si el CPT revisa la contabilidad de una serie de compa ñías ¿cuá l esla probabilidad de que:

a).- la primer contabilidad con errores sustanciales sea la tercera revisada?b).- la primer contabilidad con errores importantes fuera encontrada después de revisar la tercera?

16).- En el aeropuerto Benito Juá rez de la ciudad de México, debido a la gran afluencia depasajeros, sólo se revisa el 10% de estos a la salida. Si de un grupo de 30 turistas, 10 tiene comprasmuy por arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 30personas, ¿cuá l es la probabilidad de que las tres personas revisadas tengan que pagar los impuestoscorrespondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto?

17).- Desde el a ño 1996 el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido, en promedio, arazón de 5.7 cierres por a ño. Suponga que el número de cierres por a ño tiene una distribución dePoisson. Encuentre la probabilidad de que, ninguna empresa cierre durante un periodo de 4 meses.

18).- Supóngase que una cajera de Bancomer atiende (en promedio), a razón de 3 clientes por cada10 minutos, y ademá s que la cantidad de personas atendidas por la cajera sigue un proceso dePoisson. Calcule la probabilidad, de que una cajera atienda a sólo 2 clientes en el transcurso de lossiguientes 10 minutos.

19).- Los clientes a cierto restaurante de la zona Rosa, llegan en carro de acuerdo con un proceso dePoisson con media de 10 carros/hora. El estacionamiento tiene 8 lugares techados, si éste abre a las10:30 horas, ¿cuá l es la probabilidad de que un cliente que llegue en su carro a las 11:00 horasalcance un lugar techado del estacionamiento?. Suponga que un cliente que llega al restaurantetarde má s de 45 minutos en salir.




56

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASEn la parte 4 se repasaron las variables aleatorias que requieren del conteo de sus elementos, dandoorigen a las variables aleatorias discretas, esto es, variables con dominios finitos o infinitos numerables.M

á s sin embargo en la pr

á ctica resultan una infinidad de experimentos en los cuales sus resultados se

obtienen por mediciones y sus valores pueden ser cualquiera de los puntos de un intervalo.

EJEMPLOS 5.1

a ) Al lanzar una moneda puede interesarnos predecir el á rea en la que ella caería.

En este caso podemos apreciar que la cantidad de resultados posibles no es contable, puesto que unresultado puede ser cualquier región de un á rea determinada y del Cá lculo sabemos que un á reatiene una cantidad no numerable de puntos.

b ) La humedad en cierta región podemos medirla y asignarle a cada medición de humedad, un puntoúnico en un intervalo.

c )

La estatura de los estudiantes de la Universidad.Al medir a los estudiantes podemos asignarles a cada una de sus estaturas un valor dentro de un

intervalo.

d ) El tiempo de espera en una fila de una oficina, negocio, etc.

Al medir el tiempo de espera de las personas al establecimiento se le puede asignar un puntocualesquiera de un intervalo.

Definición 5.1

Una variable aleatoria X de un experimento aleatorio dado con rango X

R

, la llamaremos:

“Variable Aleatoria Continua”, abreviada por vac, cuando el conjunto X

R

resulta ser un

intervalo del conjunto de los números reales R.

Como vimos en los ejemplos anteriores generalmente este tipo de variables tiene cabida cuandola variable del experimento es tal que se requiere de una medición para determinar sus elementos.

Para la asignación de probabilidades de las variables aleatorias continuas a diferencia de lasvariables aleatorias discretas, resulta un poco má s complejo el problema, puesto que en éstas últimas

podemos contar las probabilidades )(k

x X P = y posteriormente sumarlas, mientras que en las variables

aleatorias continuas no se puede hacer. Por otro lado, en las variables aleatorias continuas X lacantidad de elementos no es contable. Por lo tanto, )( x X P = pierde significado, incluso como

veremos en unos momentos, a diferencia de las variables aleatorias discretas, la probabilidad en unpunto de una variable aleatoria continua “siempre será igual a cero”.

El primer problema a resolver en las variables aleatorias continuas consiste en la asignación deprobabilidades. Continuando el uso de la teoría de funciones, tendremos que introducir una funciónque nos permita realizar el cá lculo de probabilidades de las variables aleatorias continuas.




57

5.1.1 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Definición 5.2

A la función sumable )( x f en todos los reales; que cumple, con las condiciones siguientes le

llamaremos “Función de Densidad de Probabilidad”, abreviado por fdp, de la variable aleatoria

continua X .a).- 0)( ≥ x f , para toda R∈ x .

b).- 1)( =∫ ∞

∞−

dx x f

c).- Para cualesquier reales a y b, tales que b a ≤ ; tenemos ∫ =≤≤

b

a

dx x f b X a P )()( .

Antes de continuar debemos notar que )( x f no representa alguna probabilidad. Las Probabilidades en

un intervalo ),( ba está n representadas por el á rea bajo la curva de la función )( x f , en dicho intervalo.Ver la figura 5.1.

∫ =≤≤

b

a

d x x f b X a P ) ( ) (

) ( x f

Fig. 5.1 Muestra el á rea bajo la curva de )( x f , en el intervalo ),( ba .

5.1.2 FUNCIÓN ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Definición 5.3

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad )( x f , llamaremos función de

distribución acumulada (fda) de la variable aleatoria continua X , a la función )( x F definida en

todos los reales, tal que:

∫ ∞−

=≤=

x

dt t f x X P x F )()()( , para toda R∈ x

5.1.2A PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADAa ) )( x F , es una función no decreciente; es decir, para todos los reales x e y, si y x < , entonces

)()( y F x F ≤ .

b ) 0)(lím =−∞→

x F x

. Se deduce f á cilmente de la definición de una función de distribución acumulada.

a b X




58

c ) 1)(lím =+∞→

x F x

. Se deduce inmediatamente del inciso b) de la definición de una función de densidad

de probabilidad.

d ) La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua es continua.

e ) La función de densidad de una variable aleatoria continua X se obtiene de la acumulada

dx

xdF x f

)()( = .

f ) Con la función de distribución acumulada se pueden calcular probabilidades

)()()()()()(

)(1)(1)(1)(

)()()(

a F b F dx x f dx x f dx x f b X a P

a F dx x f a X P X a P

b F dx x f b X P

a b b

a

a

b

−=−==≤≤

−=−=≤−=≤

==≤

∫ ∫ ∫

∫

∫

∞−∞−

∞−

∞−

5.2 VALOR ESPERADO Y VARIANCIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Los pará metros el valor esperado y la variancia de una variable aleatoria discreta los estudiamos en laparte 4. Para las variables aleatorias continuas la interpretación de éstos se conserva, sólo cambiará suf órmula para hacer cá lculos, puesto que la sumatoria se cambia por una integral.

Definición 5.4

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad, )( x f , llamaremos valor esperado

de X (o esperanza matemá tica de X ), al valor que denotaremos por )( X E o X

µ , y se calcula por:

∫ ∞

∞−

= dx x xf X E )()(

5.2.1 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA VAC

Las propiedades son las mismas que en las variables aleatorias discretas. Sea X una variable aleatoriacontinua con función de densidad )( x f , entonces se tienen las siguientes propiedades.

a. Si )( X hY = , entonces ( ) ∫ ∞

∞−

== dx x f xh X h E Y E )()()()( .

b. Si baX X hY +== )( , entonces b X aE Y E += )()( .

c. Si c X = , entonces c X E =)( . Es decir el valor esperado de una constante, es la misma

constante.

d. En particular; si a X Y = , entonces )()( X aE Y E = .




59

5.2.2 VARIANCIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Definición 5.5

Dado un experimento y una variable aleatoria continua X en él, con función de densidad )( x f ,

llamaremos variancia de X al valor que denotaremos por )( X V o 2

X

σ , y se calcula:

( )∫ ∞

∞−

−= dx x f X E x X V )()()(2

.

se llama desviación estándar de la variable aleatoria continua X , a la ra íz positiva de la variancia:

)( X V X

=σ

5.2.3 PROPIEDADES DE LA VARIANCIA DE UNA VAC

Las propiedades son las mismas que en las variables aleatorias discretas. Sea X una variable aleatoriacontinua con función de densidad )( x f , entonces se tienen las siguientes propiedades.

a. ( ) [ ]2 2

)()()()( X E X E dx x f X E x X V −=−= ∫

∞

∞−

b. ( ) [ ]2

2 )()( X E X E X V −=

c. Si baX X hY +== )( , entonces )()( 2

X V aY V = . En particular; si c X = , entonces 0)( = X V ,

puesto que no existe variabilidad entre los elementos de una variable aleatoria continua

constante. En particular; si a X Y = , entonces )()( 2

X V aY V = .

EJEMPLOS 5.2

1.- Una gasolinera tiene dos bombas, que pueden bombear cada una hasta 10,000 galones de gasolina

por mes. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresadaen diez miles de galones) con una función de densidad de probabilidad dada por

<≤−

<<

=

lugarotroen,0

21,2

10,

)( x x

x x

x f

a ) Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8,000 y 12,000 galones en un mes.b ) Si se sabe que la gasolinera ha bombeado má s de 10,000 galones en un mes en particular,

encuentre la probabilidad de que haya bombeado má s de 15,000 galones durante el mes.

a).-

36.018.018.0

2)2(

2)2()()2.180.0(

2 .1

1

2

1

8 .0

2

2

.

1

1

1

8 .0

2

.

1

8 .0

=+=

=−−=−+==≤≤

=

=

=

=

∫ ∫ ∫ x

x

x

x

x xdx x xdx x f X P




60

b).-

( ) [ ]

25.050.0

125.0

2

)2(

2

)2(

)2(

)2(

)1(

)5.1(

)1(

)1()5.1(1|5.1

2

1

2

2

5 .1

2

2

1

2

5 .1

==

−−

−−

=

−

−

=>

>=

>

>∩>=>>

=

=

=

=

∫

∫ x

x

x

x

x

x

dx x

dx x

X P

X P

X P

X X P X X P

2.- Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad

≤

>=

−

0 si,0

0 si,)(

x

xe x f

x

, y la variable aleatoria continua 103)( +== X xhY . Calcule: )(Y E y

)(Y V .

Primero se calculará 110)1()()(0

0

=+=+−===∞→

=

−

∞

−

∞

∞−

∫ ∫ x

x

x x xedx xedx x xf X E .

De las propiedades del valor esperado, 1310)1(310)(3)( =+=+= X E Y E .

Para la variancia primero calculamos )( 2

X E ,

220)22()()(0

2

0

2 2 2

=+=++−===∞→

=

−

∞

−

∞

∞−

∫ ∫ x

x

x x x xedxe xdx x f x X E .

De las propiedades de la varianza, tenemos 314)()()( 2 2

=−=−= X E X E X V .

Finalmente, 273)(3)(3 2

=== X V Y V .

3).- El costo de reparación anual X para cierta má quina tiene una función de densidad de probabilidad,dada por

<<−

=lugarotroen,0

10,)1(3)(

2 x x x f

con las mediciones dadas en diez miles de pesos. ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarseanualmente para los costos de reparación, para que el costo real solamente exceda a la cantidadpresupuestada un 10% de las veces?

Sea 0

x la cantidad buscada, tendremos:

10.0)1()1(0)1()1(3)(10.0 3

0

3

0

1

3

1

2

0

0

0

=−=−+−=−−=−=>==

=∫ x x xdx x x X P x

x x

x

Despejando0

x en la última igualdad de la expresión anterior, tenemos

0.5358410.013

0

=−= x diez miles de pesos, esto es 4.358,5$0

= x .




61

EJERCICIOS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS1).- Generalmente los valores de una variable aleatoria continua se obtienen por medio de ...

2).- ¿Podrá n ser negativos los valores de una variable aleatoria continua?

3).- ¿Podrá n ser negativos los valores de una función de densidad?

4).- ¿Podrá decrecer la función acumulada?

5).- ¿Si la probabilidad de un evento de una variable aleatoria continua vale cero, esto implica que elevento es el vacío?

6).- La variancia de una variable aleatoria se puede entender como el valor esperado del...

7).- ¿Podrá ser negativo el valor esperado de una variable aleatoria continua?

8).- Si conoces la función acumulada de una variable aleatoria continua ¿cómo puedes encontrar sufunción de densidad?

9).- ¿Es cierto que en las variables aleatorias continuas tanto la función acumulada como la de densidad

no deben tener puntos de discontinuidad?10).- La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en

diez miles de galones) con una función de densidad de probabilidad dada por:

<<=

lugarotroen,0

30,3

1

)( x

x f

a).- Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8,000 y 12,000 galones en unmes.

b).- Si se sabe que la gasolinera ha bombeado má s de 20,000 galones en un mes en particular,encuentre la probabilidad de que haya bombeado má s de 25,000 galones durante el mes.

11).- El costo de reparación anual X para cierta má quina tiene una función de densidad deprobabilidad, dada por:

<<−

=lugarotroen,0

10),1(2)(

x x x f

con las mediciones dadas en diez miles de pesos. ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarseanualmente en los costos de reparación, para que el costo real solamente exceda a la cantidadpresupuestada un 10% de las veces?

12).- El costo de reparación anual X para cierta má quina tiene una función de densidad de

probabilidad, dada por:

<<−=

l u g a r o t r o e n, 0

1 0 , ) 1 ( 3

) (

2

x x

x f

con las mediciones dadas en diez miles de pesos. ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarseanualmente para los costos de reparación, para que el costo real solamente exceda a la cantidadpresupuestada un 25% de las veces?




62

13).- Por medio de observaciones una persona a notado que su tiempo de espera a la llegada de suMicrobús (en minutos), tiene un comportamiento aproximadamente igual a la función acumulada:

>−

≤=

−0,1

0,0)(

3

xe

x x F

x

Encuentre la probabilidad de que el primer día que la persona tenga que esperar má s de 5 minutos suMicrobús sea el tercer día de la semana. Considere que la espera del microbús son independientes.

14).- La vida útil de cierto tipo de lavadora automá tica tiene una distribución con función de densidadigual a:

≥

<=

− 0,2.0

0,0)(

2 .0 xe

x x f

x

¿Cuá l tiene que ser el tiempo de garantía en a ños que otorgue la empresa, si sólo quiere reparar un20% de las lavadoras que venda?

15).- La elaboración de cierto proyecto está planeado a terminarse según una variable aleatoria X , la

cual tendrá la siguiente función de densidad. Para el primer a ño se espera un resultado optimista determinación dado por x y en caso de surgir contratiempos se tiene un comportamiento determinación pesimista, dado por x −2 . Es decir, la función de densidad correspondiente, está dadapor:

[ ]

∉

≤≤−

<≤

=

2,0,0

21,2

10,

)(

x

x x

x x

x f

Calcule la probabilidad de que el proyecto sea terminado en la segunda mitad del tiempo optimista.

16).- La administración de una empresa quiere calcular los costos de reparación anual de cierta

má quina. Para esto lleva a cabo un estudio en el cual obtiene que los costos de reparación anual secomportan de forma proporcional a una variable aleatoria X , dada por:

<<+

=

lugarotroen,0

20,4

1

)( x x

x f

con las mediciones dadas en miles de pesos.a). Encuentra la función de distribución acumulada correspondiente.b). Calcula el valor esperado de X .c). Calcula la probabilidad de que el costo sea menor a 1000 pesos (como está n en miles sería la

probabilidad de que X sea menor que 1).




63

MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD5.3 MODELO EXPONENCIAL

En una gran parte de los modelos continuos relacionados con el tiempo podemos notar que sudistribuci

ón es de tal forma que en los tiempos cercanos a cero tiene una mayor acumulaci

ón y que

conforme pasa el tiempo ésta decrece rá pidamente de forma similar a una función exponencialnegativa. Por ejemplo, en los modelos relacionados con las líneas de espera es común que en losprimeros instantes el cliente tenga una mayor probabilidad de ser atendido que después de un tiempotranscurrido. Se dice que un modelo probabilístico continuo que describe apropiadamente talesfenómenos es de tipo exponencial cuando la variable aleatoria continua X está distribuida en el

intervalo [ )∞,0 de tal forma que su función de densidad de probabilidad es una función de tipo

exponencial negativa.

Definición 5.6

Sea X una variable aleatoria continua del experimento realizado, diremos que tiene una

distribución exponencial con parámetro positivo β en el intervalo [ )∞, 0 , cuando su función dedensidad de probabilidad (fdp) es:

≥

=

−

lugar otroen,0

0,1

)( xe

x f

x

β

β

Los modelos exponenciales tienen una gran aplicación en las Líneas de espera o Teoría deColas, porque las distribuciones de tiempos son propicias para:

a).- Espera y llegada de clientes a un centro de servicios.

b).- Espera para ser atendidos en un banco.

c).- Espera para ser atendidos los pacientes en una clínica.

d).- En algunos otros casos en los que se estudian las duraciones de vida de componenteselectrónicos; resulta que generalmente tienen una distribución tipo exponencial.

e).- Duración de equipos industriales para poder establecer tiempos de garantías.

Los modelos exponenciales se emplean cuando la probabilidad de que la variable aleatoria en

estudio que ocurre en una unidad de tiempo sea igual a que suceda en cualquier otra . Lo anteriorsignifica que las variables aleatorias exponenciales son invariantes en el tiempo.

Teorema 5.1

S i X e s u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a c o n t i n u a d i s t r i b u i d a e x p o n e n c i a l m e n t e e n [ )∞,0 y ,

) ( x f s u f u n c i ó n

d e d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d , e n t o n c e s

a) β µ ==) ( X E

, b).- 2 2 )( β σ == X V c).-

≥−

<

= −

0,1

0,0)(

xe

x

x F x

β

C álculos

. β

a

ea X P

−

=> )( β

a

ea X P

−

−=< 1)( β β

b a

eeb X a P

−−

−=<< )( , con0 >> a b




64

EJEMPLOS 5.3

1.- El tiempo de espera de los clientes en un restaurante para ser atendido es una variable aleatoriacontinua X con distribución exponencial y media

5 = µ minutos.

a).- Calcula la probabilidad, de que la siguiente persona que entre al restaurante sea atendida despuésde 6 minutos.

b).- Si se sabe que Pablo fue atendido después de 4 minutos, calcula la probabilidad, de que haya sidoatendido después de 6 minutos.

c).- Calcula la probabilidad de que Pablo sea atendido después de 2 minutos. Compara el resultado,con el obtenido en el inciso b).

Como X está distribuida exponencialmente con pará metro5 = β tendremos.

a ) Por el teorema anterior 5

6

)6(−

=> e X P .

b ) Por el Teorema anterior y la probabilidad condicional, tenemos:

[ ] 5

2

5

4

5

6

) 4 (

) 6 (

) 4 (

) 4 ( ) 6 (

) 4 |6 (

−

−

−

==>>=

>>∩>=>> e

e

e

X P

X P

X P

X X P

X X P

c ) Por el Teorema anterior: 5

2

)2(−

=> e X P , esta probabilidad coincide con la del inciso b.

OBSERVACIÓN

El resultado del inciso b) se puede generalizar, y nos muestra (al igual que se hizo con el modelogeométrico) que la distribución exponencial no tiene memoria. Es decir: Para cualesquier a y b, se

cumple: )()|( b X Pa X ba X P >=>+> . Esto último quiere decir que si comparamos las

probabilidades de duración de un componente usado, el cual tiene una distribución exponencial. La

probabilidad de que opere por lo menos t unidades de tiempo adicionales debe ser igual a laprobabilidad cuando un componente nuevo de tal tipo opere al menos la misma t unidad de tiempo queel viejo.

2.- Una lavadora MABE tiene una vida media de 10 a ños. Si la vida útil de ese tipo de motor puedeconsiderarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. ¿Cuá l debe ser eltiempo de garantía que deben tener dichas lavadoras si se desea que no má s del 20 % de éstas fallenantes de que expire su garantía?.

Primeramente vamos a definir a la variable aleatoria con distribución exponencial X

X : “Tiempo de vida de las lavadoras Mabe”.Sea T el tiempo de garantía de las lavadoras. Por otro lado, para que una lavadora sea reparada

durante su tiempo de garantía, es necesario que 20.0)( =< T X P . Si ademá s tomamos en cuenta que

10= β , tendremos:

De donde, 1 0 1)(20.0

T

eT X P−

−=<= , la probabilidad de que la lavadora dure menos que el

tiempo de garantía.




65

Despejando la exponencial, resulta: 80.01 0 =−

T

e .

Por medio del logaritmo natural: )80.0ln(10

=− T

.

Finalmente: 23.2)80.0ln(10 =−=T

a ños.EJERCICIOS 1

1).- Se ha hecho un estudio sobre el tiempo de espera de los usuarios a cierto banco del D.F.,obteniéndose que el tiempo promedio que tardan en atender a un usuario entre las 9 y las 12 horasde un día normal es de 10 minutos, y que el tiempo de espera en ser atendido se distribuyeexponencialmente. Calcula la probabilidad de que si vas a dicho banco en un día normal a las 10:20horas seas atendidoa).- En menos de 5 minutos.b).- En má s de 10 minutos.

2).- El periodo de vida en a ños de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial conun promedio de falla de 2= µ a ños. ¿Cuá l es la probabilidad de que un interruptor falle después

del 2do. a ño?

3).- Un motor eléctrico tiene una vida media de 6 a ños. Si la vida útil de ese tipo de motor puedeconsiderarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. ¿Cuá l debe ser eltiempo de garantía que debe tener el motor si se desea que a lo má s el 15 % de los motores fallenantes de que expire su garantía?.

4).- Por medio de una repetición de experimentos se obtuvo que la variable aleatoria continua X sedescribe en forma muy propicia por un modelo de tipo exponencial, y para determinar su pará metrocorrespondiente se ha empleado su función de distribución acumulada, resultando que la

probabilidad 26.0)35( =< X P . Encuentre en tales circunstancias al pará metro β .

5.4 MODELO NORMALLa distribución normal fue encontrada por Carl Friedrich Gauss 5 , en algunos trabajos se le conocecomo: “Ley de probabilidad de Gauss”, según ésta una magnitud sufre la influencia de numerosascausas de variación, todas ellas muy pequeñas e independientes entre sí, los resultados se acumulanalrededor de la media, distribuyéndola simétricamente a su alrededor con una frecuencia que disminuyerá pidamente al alejarse del centro.

Definición 5.7

Sea X una variable aleatoria continua,se dice que X tiene una distribución normal o de Gauss, con

pará metros µ y σ (positivo) en todos los reales cuando su función de densidad de probabilidad es :

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

π σ

−−

=

x

e x f en ),( ∞−∞∈ x .

5

C a r l F r i e d r i c h G a u s s m a t e m á t i c o , a s t r ó n o m o y f í s i c o a l e m á n . N a c i ó e n B r u n s w i c k e n 1 7 7 7 y m u r i ó e n G o t i n g a e n 1 8 5 5 .




66

Como se mencionó arriba los modelos con distribución normal se caracterizan por la forma de

la gráfica de su función de densidad. La grá fica de la distribución Normal tiene forma de campana,como la mostrada en la siguiente figura:

µ =)( X E

2 )( σ = X V

Fig. 5.2 Grá fica de la fdp, de una variable aleatoria continua X ,

con distribución normal, media µ y variancia 2 σ .

En la grá fica anterior, se puede apreciar que la recta µ = x es el eje de simetría de la función;

mientras que en los valores σ µ −= x

y σ µ += x

se tienen los puntos de inflexión de la grá fica de lafunción ¡compruebe esto último por medio del Cá lculo!

El modelo normal tiene gran aplicación en diferentes á reas y es una de las distribuciones conmayor auge en el estudio de las probabilidades y la estadística, la dimensión de su importancia radicaen un Teorema titulado: “Teorema del Lí mite Central ”.

Teorema 5.2

S i X e s u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a c o n t i n u a d i s t r i b u i d a n o r m a l m e n t e e n

),( ∞−∞ y

)( x f s u f u n c i ó n d e

d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d , e n t o n c e s

a ) µ =)( X E .

b ) 2

)( σ = X V .

5.4.1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Como se mencionó anteriormente la distribución de Gauss tiene una gran importancia en el estudio delas probabilidades y la estadística, por consiguiente es de gran importancia tener un aná lisis detalladosobre su comportamiento para el cá lculo de probabilidades. Pero de los cursos de Cá lculo, se sabe quela integral de la función:

2

2

2

) (

2

1)( σ

µ

π σ

−−

=

x

e x f

no se puede resolver en base a funciones elementales. Por lo tanto, cuando la integral es definida sólopodemos aproximar sus valores por medio de alguno de los métodos numéricos, entre algunos otros

tenemos: M étodo del trapecio, Simpson 31 y Cuadratura de Gauss.

De lo anterior, podemos notar que el cá lculo de probabilidades resultaría bastante engorroso paraeste tipo de distribuciones, pero debido a su importancia se tienen tablas y programas para calcular

las probabilidades. Desde luego, como es de suponerse se requiere de algún método, con el que no se

tenga que resolver integrales para diferentes valores de µ y σ .

Segmento de

longitud σ

Segmento de

longitud σ

- 0 . 1

0 . 1

0 . 3

0 . 5

0 . 7

0 . 9

1 . 1

- 1 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4




67

El problema anterior se resuelve con el cambio de variable aleatoria:

σ

µ −= X

Z

al cual se le llama: “ La estandarización de la variable X a unidades en Z ”.

La f órmula en Z es una regla de transformación puesto que en la estandarización µ − X ,

representa un desplazamiento del eje de las ordenadas ver Figura 5.3; mientras que la división entre ladesviación está ndar influye en la amplitud de la función, ver figura 5.4.

1;1 == σ µ

1 ; 2 == σ µ

Fig. 5.3 Muestra la grá ficas de la distribución normal con la mismadesviación está ndar, pero diferente valor esperado.

Se puede apreciar que las dos grá ficas son iguales, sólo cambia la posición del eje de lasordenadas. En las grá ficas de abajo cambiará su amplitud, a mayor variancia menor amplitud.

7 5 .0 ; 1 == σ µ o bien )75.0,1( N

5.1;1 == σ µ o bien )5.1,1( N

Fig. 5.4 Muestra la grá ficas de la distribución normal con el mismovalor esperado, pero diferente desviación está ndar.

Cuando se realiza la estandarización resulta que 0)( =Z E y 1)( =Z V .

y su grá fica se representa en la Figura 5.5.

X

X

- 0 . 0 5

0 . 0 5

0 . 1 5

0 . 2 5

0 . 3 5

0 . 4 5

- 2 . 0 - 1 . 5 - 1 . 0 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 3 . 5 4 . 0 4 . 5 5 . 0

- 0 . 0 5

0 . 0 5

0 . 1 5

0 . 2 5

0 . 3 5

0 . 4 5

0 . 5 5

- 3 . 0 - 2 . 5 - 2 . 0 - 1 . 5 - 1 . 0 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 3 . 5 4 . 0 4 . 5 5 . 0




68

Fig. 7.5 Grá fica de la distribución normal está ndar.

La integral para la función acumulada de la variable aleatoria Z, es decir la distribución normalen su forma está ndar se calcula y representará por:

)(2

1)(

0

2

0

0

2

zdze z F

z

z

Φ== ∫ ∞−

−

π

Para el cá lculo de probabilidades se emplean las propiedades siguientes de la distribución y latabla de la normal está ndar.

5.4.2 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

a) Propiedad de simetrí a. La función )( z f es simétrica con respecto al eje de las ordenadas. Es

decir, )()(0 0

Z Z PZ Z P >=−< .

b) Propiedad del complemento. En los casos de )(0

Z Z P > se puede emplear la simetría, inciso a, o

el complemento. Es decir, )(1)(0 0

Z Z PZ Z P ≤−=> .

c) 6827.0)11( =<<− Z P y 9545.0)22( =<<− Z P .

d) La suma de probabilidades fuera del intervalo )4,4(− , no puede ser mayor a 0.0001, es decir, casi

vale cero.

5.4.3 USO DE TABLAS DE LA FUNCIÓN ACUMULADA

Como se ha mencionado el uso de tablas o de algún programa para el cá lculo de probabilidades esfundamental en la solución de los ejercicios. Por lo tanto, para homogeneizar el uso de tablas queemplearemos en los cá lculos.

Función acumulada de la Distribución Normal Estándar

z ) ( z −Φ )( zΦ )( z D z ) ( z −Φ )( zΦ )( z D z ) ( z −Φ )( zΦ )( z D z ) ( z −Φ )( zΦ )( z D

0.040

. 4 8 4 0 0 . 5 1 6 0 0 . 0 3 1 9 0.44 0 . 3 3 0 0 0 . 6 7 0 0 0 . 3 4 0 1 0.84 0 . 2 0 0 5 0 . 7 9 9 5 0 . 5 9 9 1 1.24 0 . 1 0 7 5 0 . 8 9 2 5 0 . 7 8 5 0

0.05 0 . 4 8 0 1 0 . 5 1 9 9 0 . 0 3 9 9 0.45 0 . 3 2 6 4 0 . 6 7 3 6 0 . 3 4 7 3 0.85 0 . 1 9 7 7 0 . 8 0 2 3 0 . 6 0 4 7 1.25 0 . 1 0 5 6

0 . 8 9 4 4

0 . 7 8 8 7

0.06 0 . 4 7 6 1 0 . 5 2 3 9 0 . 0 4 7 8 0.46 0 . 3 2 2 8 0 . 6 7 7 2 0 . 3 5 4 5 0.860 . 1 9 4 9

0 . 8 0 5 1 0 . 6 1 0 2 1.26 0 . 1 0 3 8 0 . 8 9 6 2 0 . 7 9 2 3

- Z Z

∫ −

−

=

z

z

x

d x e z D

2

2

2

1

) (

π

Z

∫ ∞−

−

=Φ

z

x

d x e z

2

2

2

1

) (

π

Z- 0 . 0 5

0 . 0 5

0 . 1 5

0 . 2 5

0 . 3 5

0 . 4 5

- 3 . 0 - 2 . 5 - 2 . 0 - 1 . 5 - 1 . 0 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0




69

Como se puede observar en estas tablas la función acumulada se representa por medio de la

función )( zΦ . Para el cá lculo de probabilidades en intervalos simétricos se tiene otra función:

)()(2

1)(

0 0

2

0

0

0

2

z zdze z D

z

z

z

−Φ−Φ== ∫ −

−

π

Por lo tanto el cá lculo de probabilidades en base a estas funciones y las propiedades anteriores, sepodrá efectuar de la siguiente forma:

1).- )()(0 0

Z Z Z P Φ=< .

2).- )()()(0 0 0

Z Z Z PZ Z P −Φ=−<=> .

3).- )()(0 0 0

Z DZ Z Z P =<<− .

4).- )()()( abbZ a P Φ−Φ=<< .

En los siguientes ejemplos emplearemos ambas funciones )( zΦ y )( z D .

EJEMPLOS 5.4

Sea Z una variable aleatoria continua con distribución normal está ndar, calcula las probabilidadesindicadas:

1).- 8944.0)25.1()25.1( =Φ=<Z P . 2).- 1949.0)86.0()86.0( =−Φ=−<Z P

8 6 .0 −

3).-

8485.0

)03.1()03.1()03.1(

o ,8485.01515.01

)03.1(1

)03.1(1)03.1(

=

=Φ=<=−>

=−=

=−Φ−=

=−≤−=−>

Z PZ P

Z PZ P

0 3 .1 −

4).-

9970.0

)97.2()97.297.2(

=

==<<− DZ P

9 7 .2 − 2.97

0.9970

1.25

0.89440.1949

0.8485

ZZ

Z

Z




70

5).- 4313.0)57.0()57.057.0( ==<<− DZ P .

6).- 6411.02514.08925.0)67.0()24.1()24.167.0( =−=−Φ−Φ=<<− Z P .

7).- 4749.05239.09988.0)06.0()04.3()04.306.0( =−=Φ−Φ=<< Z P .

8).- 0)5.4()5.4( ≈−Φ=−<Z P .

9).- 1)5()5( ≈Φ=<Z P .

10).- 4761.05239.01)06.0()1.5()1.506.0( =−≈Φ−Φ=<< Z P

Sea X una variable aleatoria continua con distribución normal, calcula las probabilidades

indicadas:11).- Si 4)( = X E y 9)( = X V ; calcule la probabilidad )7( ≥ X P .

Para esto, primero realizamos la estandarización de la variable X , y después empleamos las tablasde la distribución normal está ndar.

( ) ( )

1587.0

)1(

11

3

47

9

4)7(

=

=−Φ=

=−≤=≥=

=

−≥

−=≥

Z PZ P

X P X P

12).- Si 3)( = X E y 5 .2 =σ ; calcule )51( <<− X P .

Para esto, primero realizamos la estandarización, y después empleamos las tablas de la distribuciónnormal está ndar.

( )

7333.00548.07881.0

)6.1()8.0(8.06.15.2

35

5.2

3

5.2

31)51(

=−=

−Φ−Φ=<<−=

−

<−

<−−

=<<− Z P X

P X P

13).- El peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA se distribuye normalmente con un valorpromedio de 70.5 kg y una variancia de 5.3. Si los estudiantes que pesen má s de 85 kg. será nconvocados para formar parte del equipo de Fut-bol americano que representará a la escuela,determine el porcentaje de alumnos que podrá n ser convocados.

Sea la variable aleatoria X : “peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA”.

( ) %31.00031.0)74.2(74.23.5

5.7085

3.5

5.70)85( ==−Φ=>=

−>

−=> Z P

X P X P .

6 7 .0 − 1.24

0.6411

4 7

0.1587

X

Z




71

14).- Supóngase que X , representa la resistencia a la ruptura de una cuerda, con un promedio de 100 y

una desviación está ndar de 4. Cada alambre para cuerda produce una utilidad de $25, si 9 5 > X .En caso contrario la cuerda se tiene que utilizar con otro propósito diferente y se obtiene una utilidadde $10 por alambre. Encuentra la utilidad esperada por alambre.

Primero calcularemos las probabilidades:

8944.0)25.1(4

10095

4

100)95( =−>=

−

>−

=> Z P X

P X P , y

1056.08944.01)95(1)95( =−=>−=≤ X P X P .

El valor esperado estará dado por:

416.23$101056.0258944.0

10)95(25)95(esperada Ganancia

=×+×=

=×≤+×>= X P X P

5.4.4 USO DE TABLAS PORCENTUALES

Con frecuencia al resolver problemas se deben de hacer conclusiones con respecto a la variablealeatoria en estudio. Para tal efecto, es común tener que encontrar los valores de la variable con loscuales se obtienen las probabilidades establecidas (pueden estar dadas en porcentajes). En lo queconcierne a las variables aleatorias con distribución normal, se emplean otras tablas, llamadas: “TablasPorcentuales de la Distribución Normal”, y que tienen el siguiente aspecto.

TABLA PORCENTUAL DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

% ) ( Φ z

) ( D z % ) ( Φ z

) ( D z % ) ( Φ z

) ( D z % ) ( Φ z

) ( D z % ) ( Φ z ) ( D z % ) ( Φ z ) ( D z

0 . 6

- 2 . 5 1 2 0 . 0 0 8

5 . 6

- 1 . 5 8 9 0 . 0 7 0

1 0 . 6

- 1 . 2 4 8 0 . 1 3 3

1 5 . 6

- 1 . 0 1 1 0 . 1 9 7

2 0 . 6

- 0 . 8 2 0 0 . 2 6 1

2 5 . 6

- 0 . 6 5 6 0 . 3 2 7

0 . 7

- 2 . 4 5 7 0 . 0 0 9

5 . 7

- 1 . 5 8 0 0 . 0 7 1

1 0 . 7

- 1 . 2 4 3 0 . 1 3 5

1 5 . 7

- 1 . 0 0 7 0 . 1 9 8

2 0 . 7

- 0 . 8 1 7 0 . 2 6 2

2 5 . 7

- 0 . 6 5 3 0 . 3 2 8

0 . 8

- 2 . 4 0 9 0 . 0 1 0

5 . 8

- 1 . 5 7 2 0 . 0 7 3

1 0 . 8 - 1 . 2 3 7

0 . 1 3 6

1 5 . 8

- 1 . 0 0 3 0 . 1 9 9

2 0 . 8

- 0 . 8 1 3 0 . 2 6 4

2 5 . 8

- 0 . 6 5 0 0 . 3 2 9

0 . 9

- 2 . 3 6 6 0 . 0 1 1

5 . 9

- 1 . 5 6 3 0 . 0 7 4

1 0 . 9

- 1 . 2 3 2 0 . 1 3 7

1 5 . 9

- 0 . 9 9 9 0 . 2 0 1

2 0 . 9

- 0 . 8 1 0 0 . 2 6 5

2 5 . 9

- 0 . 6 4 6 0 . 3 3 1

EJEMPLOS 5.5

1).- Encontrar el valor de0

z , tal que 108.0)(0

=< zZ P .

- Z Z

∫ −

−

=

z

z

x

d x e z D

2

2

2

1

) (

π

Z

∫ ∞−

−

=Φ

z

x

d x e z

2

2

2

1

) (

π

0.108

0

z

Z




72

La probabilidad que se nos indica es igual al 10.8%; por lo tanto, buscando en las tablasporcentuales el 10.8%, tenemos:

237.1)(0

−=Φ= Z z ; esto es: 108.0)237.1( =−<Z P

2).- Encontrar el valor de0

z , tal que %5)(0

=≥ zZ P .

Como las tablas porcentuales nos muestran los valores para la función acumulada de menos infinitohasta el valor indicado, tenemos que emplear la propiedad del complemento; es decir

%5)(1)(0 0

=<−=≥ zZ P zZ P ; de donde, necesitamos %95)(0

=< zZ P .

645.1)(0

=Φ= Z z , esto es: 05.0)645.1( =≥Z P .

Este ejercicio también se puede resolver empleando la propiedad de simetría:

%5)()(0 0

=−≤=≥ zZ P zZ P , de donde 645.10

−=− z . Es decir 645.10

= z .

3).- Si 4)( = X E y 9)( = X V ; calcular el valor de0

x tal que %75)(0

=≤ x X P .

Para esto, primero realizamos la estandarización, y después empleamos las tablas Porcentuales dela distribución normal está ndar.

%75)(3

4

3

4)(

0

0

0

=≤=

−≤

−=≤ zZ P

x X P x X P , tenemos 674.0

0

= z ; por otro lado:

3

40

0

−=

x

z .

Despejando0

x , tenemos: 022.6)674.0(34340 0

=+=+= z x

%75)674.0()022.6( =≤=≤ Z P X P .

0.95 0.05

645.10

= z

75%

Z

674.00

= z




73

4).- La variable aleatoria X representa la vida promedio de cierto aparato electrónico, tiene una

distribución aproximadamente normal, con media 5.3= µ a ños y desviación está ndar 5 .1 =σ a ños.

Si el fabricante de dichos aparatos desea reparar en el periodo de garantía, solamente el 10% deestos. Determinar cuá l tendría que ser el periodo de garantía.

Como X

representa a la vida promedio de los aparatos, y el 10% a la probabilidad de que elaparato dure menos que el período establecido,0

x ; tendremos:

10.0)(5.1

5.3

5.1

5.3)(

0

0

0

=≤=

−≤

−=≤ zZ P

x X P x X P ,

en donde,5.1

5.30

0

−=

x

z .

Por tanto, despejando0

x , tenemos:0 0

5.15.3 z x += .

De las tablas porcentuales de la distribución normal está ndar, resulta 282.10

−= z .

Finalmente el periodo de garantía: 577.1)282.1(5.15.30

=−+= x a ños.

EJERCICIOS 2

1).- El diá metro de los pernos de una f á brica tiene una distribución normal con una media de 950milímetros y una desviación está ndar de 10 milímetros.

a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que un perno escogido al azar tenga un diá metro entre 947 y 958milímetros?

b).- ¿Cuá l es el valor apropiado de c tal que un perno escogido al azar tenga un diá metro menorque c con una probabilidad del 0.90?

2).- Se supone que los resultados de un examen tienen una distribución normal con una media de78 y una variancia de 36.

a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que una persona que presenta un examen obtenga una calificaciónmayor a 72?

b).- ¿Cuá l debe ser la mínima calificación aprobatoria si el examinador pretende que solamente el28% de los estudiantes apruebe?

3).- Los pesos de un número grande de perros de lana miniatura está n distribuidosaproximadamente en forma normal con una media de 8 kilogramos y una desviación está ndar de0.9 kilogramos. Encuentre la fracción de estos perros de lana con pesos,

a).- arriba de 9.5 kilogramos;b).- cuando mucho 8.6 kilogramos;

c).- entre 7.3 y 9.1 kilogramos inclusive.4).- Una f á brica produce pistones cuyos diá metros se encuentran distribuidos en forma normal con

un diá metro promedio de 5 cm y una desviación está ndar de 0.001 cm. Para que un pistón sea útil,su diá metro debe encontrarse entre 4.998 y 5.002 cm. Si el diá metro del pistón es menor de 4.998;éste se desecha, y si él es mayor de 5.002 se puede reprocesar. Si en la f á brica se producenmensualmente 20,000 pistones:a).- ¿Cuá ntos pistones será n útiles?b).- ¿Cuá ntos pistones será n desechados?




74

c).- ¿Cuá ntos pistones necesitan ser reprocesados?

5).- La administración de una empresa quiere calcular los costos de reparación anual de ciertamá quina. Para esto lleva a cabo un estudio en el cual obtiene que los costos de reparación anual secomportan de forma normal con media de $400,000 y desviación está ndar de $50,000a). Calcula la probabilidad de que los costos de reparación para este a ño estén entre $300,000 y

$500,000.b). Abajo de que costo anual se encuentra el presupuesto para la reparación anual de las má quinas

en el 10% de los casos.

6).- El peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA se distribuye normalmente con un valorpromedio de 73.5 kg y una variancia de 4.3. Si los estudiantes que pesen má s de 85 kg. será nconvocados para formar parte del equipo de Fut-bol americano que representará a la escuela,determine el porcentaje de alumnos que podrá n ser convocados.

EJERCICIOS MODELOS CONTINUOS1).- ¿Cómo son las variables aleatorias con distribución exponencial, con respecto del tiempo?.

2).- Si X es una variable con distribución normal, describe a su función de densidad de probabilidad.

3).- Sea Z una variable de un modelo normal está ndar, calcula (sin usar tablas ni calculadora) con 4dígitos exactos:

a).- )23.7( >Z P .

b).- )3( π −≤Z P .

c).- )88( <<− Z P .

d).- )79.120( << Z P .

4).- ¿Qué distribución continua es invariante en el tiempo, es decir no tiene memoria?.

5).- ¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución exponencial?.

6).- Los administradores de cierta industria han notado que su producto tiene un tiempo de duraciónque puede considerarse una variable aleatoria con distribución exponencial con una vida media de 5a ños.a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que al elegir un articulo de dicha producción dure má s de 10

a ños?.b).- ¿Si el tiempo de garantía asignado por los administradores es de 2 a ños, qué porcentaje de

sus productos tendrá que reparar la industria durante el periodo de garantía?.

7).- El periodo de vida en a ños de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con un

promedio de falla de 2= µ a ños. ¿Cuá l es la probabilidad de que un interruptor falle después del

3er. a ño?

8).- Las televisiones de cierta marca tienen una vida media de 12 a ños. Si la vida útil de ese tipo detelevisiones puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial.¿Cuá l debe ser el tiempo de garantía que otorgará el fabricante, si desea reparar, por garantía, a lomá s el 20 % de los televisores?.




75

9).- Suponga que el tiempo promedio que tardan en atenderlo en una oficina de la tesorería es de 10minutos, y que ese tiempo de espera en ser atendido se distribuye exponencialmente. Calcule laprobabilidad de que su tiempo de espera sea:

a).- Mayor de 10 minutos.b).- De 5 a 10 minutos.

10).- El tiempo entre llegadas a la oficina de Hacienda es exponencial con valor medio de 0.05 horas.La oficina abre a las 8:00 horas.

a).- Encuentra la función de densidad para la variable exponencial que describe el tiempo entrellegadas.

b).- Encuentre la probabilidad de que no llegue ningún cliente antes de las 8:10 horas.c).- Si son ahora las 8:50 horas y el último cliente entró en las oficinas a las 8:40 horas, ¿cuá l es la

probabilidad de que el siguiente cliente llegué antes de las 9:00 horas?

11).- Una empresa metalúrgica produce rodamientos con un diá metro que tiene una desviaciónnormal, con media 3.0005 pulgadas y desviación está ndar de 0.0010 pulgadas. Lasespecificaciones requieren que los diá metros estén en el intervalo 0 0 2 0 .0 0 0 0 .3 ± pulgadas. Si los

cojinetes cuyos diá metros quedan fuera de ese intervalo se rechazan, ¿qué fracción de la produccióntotal será rechazada?

12).- El liquido despachado por una má quina de refrescos está distribuido normalmente, con unamedia de 230 mililitros y una desviación está ndar de 10 mililitros. Calcule la probabilidad de queel siguiente vaso despachado tenga má s de 250 mililitros.

13).- Los tornillos producidos por una má quina tienen un diá metro con distribución normal, y cuyadesviación está ndar es de 0.01mm. Si los tornillos se distribuyen en cajas con 200 tornillos cadauna, ¿cuá l es la probabilidad de que en menos de 3 cajas de 8 seleccionadas al azar se encuentrenmenos de 10 tornillos defectuosos?. Considerando a los tornillos defectuosos, aquellos cuyo

diá metro se desvía de su media en má s de 0.025 mm. Ademá s se consideran a las cajasindependientes.

14).- Ciertos tipos de baterías para automóvil tienen un tiempo de vida normalmente distribuido conmedia 1,200 días y desviación está ndar igual a 100 días. ¿Por cuá nto tiempo se deben garantizarlas baterías si el fabricante quiere reemplazar sólo el 10 por ciento de las baterías vendidas?

15).- Se supone que los resultados de los exá menes de Introducción a la administración en launiversidad, tienen una distribución aproximadamente normal con 2.7= µ puntos y variancia de

1.8 puntos. ¿Cuá ntos de los 480 alumnos que van a presentar el examen de esta asignaturaobtendrá n una calificación menor a 6?

16).- El diá metro de un cable eléctrico está distribuido normalmente con promedio 0.8 y variancia0.0004. Un cable se considera defectuoso si el diá metro se diferencia de su promedio en má s de0.025. ¿Cuá l es la probabilidad de obtener un cable bueno?

17).- Se observo durante un largo periodo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y enlas reparaciones de cierta f á brica tiene aproximadamente una distribución normal con 400$= µ y




76

2 0 $ =σ . ¿De cuá nto tendría que ser el presupuesto para reparaciones semanales y mantenimiento,para que la cantidad presupuestada solamente sea rebasada con una probabilidad de 0.1?

18).- Cierto proceso de manufactura produce pernos que deben tener un diá metro entre 1.2 y 1.25pulgadas. Se sabe que el diá metro se distribuye normalmente con 21.1= µ y 0 2 .0 =σ . ¿Qué

porcentaje de los pernos está fuera de éstas especificaciones?

19).- Al probarse a compresión simple los cilindros de concreto, se obtuvieron los resultados: en

promedio resistieron 240 kg. por 2

cm , con una desviación está ndar de 30 kg. por 2

cm . Supongaque la resistencia a la compresión tiene una distribución normal. ¿Cuá l es la probabilidad de queotro cilindro tomado al azar,

a).- resista má s de 2 kg/cm330 .

b).- su resistencia esté en el intervalo de 210 a 2 cmkg/240 .?

20).- Para seleccionar a sus empleados un ejecutivo industrial usa una prueba que tiene una

puntuación promedio µ y una desviación está ndar, 1 0 =σ . Suponga que la distribución de las

puntuaciones es normal; y que una puntuación mínima de 65 le permita al solicitante seguir siendo

considerado. ¿Cuá l debe ser el valor de µ , si se quiere que aproximadamente el 2.5 % de los

solicitantes sigan siendo considerados en esta prueba?

21).- Una compa ñía paga a sus empleados un salario promedio de $5.25 pesos por hora con unadesviación está ndar de 50 centavos. Si los salarios tienen aproximadamente una distribuciónnormal.

a).- ¿Qué porcentaje de los trabajadores recibe salario entre 4.75 y 5.69 pesos por hora inclusive?b).- ¿Mayor de que cantidad es el 5 % de los salarios má s altos?




77

I P N - U P I I C S A Sección de estudios de Posgrado e Investigación

Examen de Selección, 31/07/1998

Nombre:_______________________________________________________________________

Notas: El examen es totalmente conceptual, por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas y formularios. La sección I, se calificará aciertos menos errores.

I.- En la parte de debajo de la tabla escribe la relación que existe entre las siguientes columnas

Nombre Definición Expresión matemática

a).- Variable aleatoriaGeométrica

1).- Representa el número de sucesosocurridos en un espacio y/o en unintervalo de tiempo definido. En estecaso la probabilidad de que ocurra un

solo resultado es proporcional a lamagnitud del intervalo y/o al tama ñode la región y no depende del númerode sucesos ocurridos fuera de ellos.

{ } { }mnk N mn

C

C C k X P

N

n

m N

k n

m

k

,min0,max

,)(

≤≤−+

==

−

−-A).

La función vale 0 en cualquier otrolugar.

b ) . - Variable aleatoriade Poisson

2).- Representa el número de éxitosocurridos en una secuencia finita de n ensayos independientes, cada uno conuna probabilidad de éxito p.

,)1()( 1 −−==

k p pk X P-B).

K,3,2,1=k


c ) . - Variable aleatoria

Binomial

3).- Representa el número de la

prueba en que se obtiene el primeréxito en una secuencia de k ensayosindependientes, cada uno con unaprobabilidad de éxito p.

,!)( k

e

k X P

k

µ µ −

==-C).

K,3,2,1,0=k


d ) . - Variable aleatoriaHipergeométrica

4).- Representa el número deindividuos, de una clase determinada,presentes en una muestra tomada, sinreemplazo, de una población finitadividida en dos clases.

k n k n

k

p pC k X P −−== )1()( -D).

nk ,,1,0 K=


5).- Ninguna de las anteriores. E).- Ninguna de las anteriores.

Espacio para las respuestas, como se relacionan las columnas anteriores:

a) --------- ----------

b) --------- ----------

c) --------- ----------

d) --------- ----------




78

II.- En la formulación de las siguientes preguntas es posible que exista un error, en tal caso

indicar cual serí a este, en caso de que no existir, contestar: La pregunta esta bien planteada.

Nota: ¡No se pide resolver el problema!

1.- Sean A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con: 5.0)( = A P , ) 6.0=c

B P y

1.0)( =∩ B A P . Calcular )( B A P ∪

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

2.- Sean A y B son dos eventos independientes, con: 5.0)( = A P , ) 6.0=c

B P y 1.0)( =∩ B A P .

Calcular )( B A P ∪

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

3.- Sean A, B y C eventos que forman una partición del espacio muestral S , con: 4.0)( = A P , y

6.0)( = B P . Calcular )(C P

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

4.- ¿Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces en general ( ) )( A P B A P = ?

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

5.- ¿Los teoremas de la probabilidad total y el de Bayes, se pueden aplican cuando tenemos unconjunto finito de eventos independientes, cuya unión es el espacio muestral?

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................III.- Contesta brevemente a las siguientes preguntas

1.- Indicar el nombre del teorema que explica la importancia de la distribución normal, por medio de lacual, bajo ciertas condiciones, podemos aproximar cualquier otra distribución.

Resp. ..................................................................................................................................................

2.- Indica las propiedades que debe de cumplir una función )( x f , de una variable aleatoria continua X ,

para que sea una función de densidad

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

3.- Explica de la forma má s breve posible, que significa el valor esperado y la variancia de una variablealeatoria, ya sea discreta o continua (no se pide indicar formula, para calcularlo).

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................




79


Examen de Selección

Nombre:_______________________________________________________________________


FECHA: 03.2000 _____________________________CALIFICACIÓN: _________________

Notas: El examen es totalmente conceptual, por lo tanto no es necesario y no se permite uso detablas y formularios. La sección I, se calificará sumando aciertos y restando errores.

I.- Lea cuidadosamente la siguiente tabla y escriba en la siguiente pá gina la relación que existe entrelas columnas;

Nombre Definición Expresión matemática

a).- Variable aleatoriaGeométrica

1).- Representa el número de sucesosocurridos en un espacio y/o en unintervalo de tiempo definido. En estecaso la probabilidad de que ocurra unsolo resultado es proporcional a lamagnitud del intervalo y/o al tama ñode la región y no depende del númerode sucesos ocurridos fuera de ellos.

{ } { }mnk N mn

C

C C k X P

N

n

m N

k n

m

k

,min0,max

,)(

≤≤−+

==

−

−-A).


b).- Variable aleatoriade Poisson

2).- Representa el número de éxitosocurridos en una secuencia finita de n ensayos independientes, cada uno conuna probabilidad de éxito p.

,)1()(

1 −

−==

k

p pk X P-B). K,3,2,1=k


c).- Variable aleatoriaBinomial

3).- Representa el número de laprueba en que se obtiene el primeréxito en una secuencia de k ensayosindependientes, cada uno con unaprobabilidad de éxito p.

,!

)( k

ek X P

k µ µ −

==-C).

K,3,2,1,0=k


d).- Variable aleatoriaHipergeométrica

4).- Representa el número deindividuos, de una clase determinada,presentes en una muestra tomada, sinreemplazo, de una población finitadividida en dos clases.

k n k n

k

p pC k X P −−== )1()( -D).

nk ,,1,0 K=


5 ) . - N i n g u n a d e l a s a n t e r i o r e s . E ) . - N i n g u n a d e l a s a n t e r i o r e s .




80

Espacio para las respuestas, como se relacionan las columnas anteriores, ejemplo: a) con 5 y B

Columna a) con ______ y ______

Columna b) con ______ y ______

Columna c) con ______ y ______

Columna d) con ______ y ______

II.- En la formulación de las siguientes preguntas existe un error, indique cuál es.

Nota: ¡No se pide resolver el problema!

6.- Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, con: 5.0)( = A P , ( ) 6.0=c

B P y 1.0)( =∩ B A P .

Calcule )( B A P ∪

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

7.- Sean A y B dos eventos independientes, con: 5.0)( = A P , ) 6.0=c

B P y 1.0)( =∩ B A P . Calcule

)( B A P ∪

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

8.- Sean A, B y C eventos que forman una partición del espacio muestral S , con: 4.0)( = A P ,

6.0)( = B P y 3.0)( =C P . Calcule )( C A P ∪

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

9.- ¿Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces en general ( ) )( A P B A P = ?

Resp. .................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................

10.- ¿Los teoremas de la probabilidad total y el de Bayes, se pueden aplican cuando tenemos unconjunto finito de eventos independientes cuya unión es el espacio muestral?

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................III.- Contesta brevemente a las siguientes preguntas

4.- Indica el nombre del teorema que explica la importancia de la distribución normal, por medio de lacual, bajo ciertas condiciones, podemos aproximar cualquier otra distribución.

Resp. .................................................................................................................................................. 5.- Indica las propiedades que debe de cumplir una función )( x f , de una variable aleatoria continua X ,

para que sea una función de densidad

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

6.- Define a la variable aleatoria, de un experimento dado, con espacio muestral S .




81

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

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............................................................................................................................................................

7.- Explica de la forma má s breve posible, que significa el valor esperado y la variancia de una

variable aleatoria, ya sea discreta o continua (no se pide indicar f órmula, para calcularlo).Resp. ..................................................................................................................................................

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IV.- Contesta brevemente a las siguientes preguntas

1.- En términos generales, el cá lculo de probabilidades es equivalente a

a).- Predecir el futuro.

b).- Encontrar valores numéricos que nos permitan cuantificar la incertidumbre.

c).- Establecer relaciones causa – efecto para fenómenos naturales o experimentales.

d).- Ninguna de las anteriores.

2.- Menciona los axiomas de Kolmogorov, de la definición axiomá tica de probabilidad.Resp. .............................................................................................................................

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3.- Entre las diferentes corrientes del estudio de las probabilidades, tenemos a: La frecuentista, clá sica,subjetivista, la bayesiana. Menciona brevemente en qué consiste cada una de ellas, remarcando lassimilitudes y las diferencias entre éstas.Resp. .............................................................................................................................

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Nombre:_______________________________________________________________________


Examen de Probabilidad. Admisión para la maestrí a en administración 10.03.2005

Nota: Para obtener todos los créditos escriba el desarrollo de cada respuesta. Se permite el uso decalculadora y tablas estadísticas.

TEMA Técnicas de conteo y probabilidad

1).- La administración de la empresa PARTEC, S.A. estableció la siguiente regla de control de

calidad sobre sus líneas de producción para determinar cuando debe llevar a cabo una inspección dela línea. De cada lote de tama ño 100 toma una muestra aleatoria de 20 artículos y decide parar lalínea de producción, si encuentra al menos un artículo defectuoso. Supóngase que en un lote seencuentran 10 artículos defectuosos, ¿cuá l es la probabilidad de que se tenga que parar la línea deproducción?.

TEMA Probabilidad condicional, eventos independientes y árboles.

2).- Una compa ñía de gran prestigio tiene 2 administradores, Luis y Horacio. Cuando se llevan a cabolos reportes financieros de la empresa, el gerente deja la misma tarea a ambos administradores. Sila probabilidad de que Luis se equivoque es de 0.1 y de que Horacio lo haga es de 0.05, calcula laprobabilidad de que ambos hagan mal su trabajo en el siguiente periodo de reportes. Se supone

independencia en los reportes erróneos de ambos.3).- En las elecciones pasadas para Presidente de la República Mexicana el 44% de los votantes estuvo

a favor de Fox. Se reporta que el 60% de los votantes en favor de Fox fueron menores de 22 a ños,mientras que con respecto a los otros candidatos los votantes a su favor menores de 22 a ños sólofue el 10%. Se escoge una persona de 20 a ños (menor a 22 a ños) de edad al azar de esta poblaciónde votantes. Encuentre la probabilidad condicional de que esta persona votó a favor de Fox.

4).- Según estudios hechos en el 2004 en la ciudad de México para conocer el ranking de televidentesen una hora determinada, se tiene que la empresa 1 (TV Azteca) tiene el 40%, la empresa 2(Televisa) el 45% y la empresa 3 (otras empresas) el restante 15% de televidentes. Para aumentarsu porcentaje de televidentes a dicha hora, la empresa 1 comienza a mostrar pel ículas de estreno.

Después de una semana de estrenos, se encuentra que el 90% de televidentes de la empresa 1 sigueen su programación, el 6% se cambia a la empresa 3 y el 4% a la empresa 2. Mientras que el 40%de los televidentes de la empresa 2 se cambia de programación a la empresa 1 y el 5% a la empresa3 (el 55% sigue en la empresa 2). Finalmente, el 30% de de televidentes de la empresa 3 se cambiaa la empresa 1, y el 4% a la empresa 2 (el 66% sigue en la empresa 3).

a).- ¿Qué porcentaje de televidentes tiene la empresa televisiva 1 después de una semana?




b).- Después de una semana, se entrevista aleatoriamente a una persona y dice que a dicha horaestá viendo la programación de la empresa 1, ¿cuá l es la probabilidad de que anteriormente lapersona entrevistada veía la programación de la empresa 2?

TEMA Variables aleatorias.

5).- Las ganancias semestrales X de un empresario tienen un comportamiento aleatorio con valores 3,5, 8 y 10 (millones). De forma subjetiva asigna probabilidades, diferentes de cero, a cadaganancia y calcula su ganancia esperada.

6).- La administración de una empresa quiere calcular los costos de reparación anual de ciertamá quina. Para esto lleva a cabo un estudio en el cual obtiene que los costos de reparación anual secomportan de forma normal con media de $400,000 y desviación está ndar de $50,000a). Calcula la probabilidad de que los costos de reparación para este a ño estén entre $300,000 y

$500,000.b). Abajo de que costo anual se encuentra el presupuesto para la reparación anual de las má quinas

en el 10% de los casos.

7).- Una encuesta entre los habitantes del D.F. muestra que el 38% está a favor de López Obrador paralas elecciones de presidente de la República Mexicana del a ño 2006. Calcula la probabilidad deque 6 personas de 20 entrevistadas estén a favor de López Obrador para las eleccionespresidenciales del 2006.

guia probabilidad

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