guia n°1 potencias
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Escuela Particular N°43 Patronato San Antonio Guía N°1 Profesor Germán Oyarzún Retamal Educación Matemática
¿Qué son las potencias?
Las potencias están formadas por una base y un exponente. El exponente nos
indicará cuántas veces debemos multiplicar la base por sí misma.
Tipos de potencias según su base
1) Potencias de base natural y exponente natural
En este caso multiplicaremos la base por sí misma las veces que nos indique el
exponente.
2) Potencias cuya base es una fracción y su exponente un número natural
El exponente nos indica cuantas veces debemos multiplicar por sí mismos tanto el
numerador como el denominador de la fracción.
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3) Potencias de base decimal y exponente natural
Multiplicaremos el decimal por sí mismo cuantas veces nos indique el exponente.
Otra manera de resolver una potencia de base decimal, es transformando el
decimal a fracción y luego multiplicando la fracción por sí misma las veces que nos
indique el exponente.
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4) Potencias de base entera y exponente natural
Para resolver estas potencias multiplicaremos el entero por sí mismo las veces
que nos indique el exponente.
En el caso de los enteros positivos, se resolverán de la misma manera en que lo
hacemos con los números naturales. Pero, ¿que pasará si el entero es negativo?
Como te habrás dado cuenta, cuando estemos frente a potencias cuya base
entera sea negativa, el resultado será positivo si el exponente es par y negativo si
el exponente es impar.
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5) Potencias de base 10
a) Con exponente natural
Como verás, es muy simple resolver potencias de base 10 y
exponente natural. El resultado siempre será un 1 acompañado
de cuantos ceros nos indique el exponente. Así si
tenemos , entonces el resultado será un 1 acompañado de
3 ceros, es decir, 1 000.
b) Con exponente entero
Para resolver potencias de
base 10 con exponente
entero positivo, el
procedimiento será el mismo
que utilizamos para resolver
potencias de base 10 y
exponente natural.
Pero, ¿cómo resolvemos
aquellas potencias de base
10 y exponente negativo?
Observando la figura,
podemos ver que una forma
de resolver potencias de
base 10 y exponente
negativo es transformar la
potencia en una fracción
donde el numerador siempre
es 1 y el denominador será
la misma potencia pero con
exponente positivo. Luego al
dividir la fracción obtenemos
el resultado de la potencia.
Una forma más fácil de
resolverlas es la siguiente:
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- El resultado siempre será un decimal sin enteros
- El exponente negativo nos indicará en que posición debemos ubicar el 1 en la
parte decimal. Así, el
-1, nos indicará que debemos ubicar el 1 en la primera posición, es decir, los
décimos; el -2, nos indica que debemos ubicarlo en la segunda posición, es decir,
los centésimos, y así sucesivamente
- Y por último, todos los espacios que queden vacíos a la izquierda del 1 en la
parte decimal debemos rellenarlos con ceros
Veamos el siguiente ejemplo:
Importante:
Todas las potencias con base distinta de 0 cuyo exponente sea 0, su resultado
será siempre 1.
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Propiedades de las potencias
1) Multiplicación de potencias de igual base
Al multiplicar potencias de igual base, mantendremos la base y sumaremos los
exponentes.
2) División de potencias de igual base
Cuando queremos dividir potencias de igual base, mantendremos la base y
restaremos los exponentes.
3) Potencia de una potencia
Para resolver la potencia de una potencia, debemos mantener la base y multiplicar
los exponentes.
4) Multiplicación de potencias de igual exponente
Para obtener el producto de potencias de igual exponente, debemos multiplicar las
bases y mantener el exponente.
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5) División de potencias de igual exponente
Para obtener el cuociente de potencias de igual exponente, debemos dividir las
bases y mantener el exponente.
Como te habrás dado cuenta, las propiedades de las potencias son aplicables a
bases naturales, fraccionarias, decimales y enteras.
Multiplicación y división de potencias
1) Multiplicación y división de una potencia de 10 por una potencia de 10
Para resolver una multiplicación o división de una potencia de 10 por otra potencia
de 10, primero debemos recurrir a las propiedades de las potencias que nos dicen
que al multiplicar dos potencias de igual base, debemos mantener la base y sumar
los exponentes y que al dividir, debemos mantener la base y restar los
exponentes.
Luego debemos resolver la potencia como aprendimos anteriormente: el resultado
será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el exponente.
2) Multiplicación y división de un número natural por una potencia de 10
El producto entre un número natural y una potencia de 10 será el número natural
acompañado de cuantos ceros nos indique la potencia de 10.
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En el caso de la división, primero debemos recordar que un número natural es un
decimal con período cero, por lo tanto, es lo mismo decir 45 que 45,0. Para
obtener el cuociente debemos mantener el número natural y correr la coma hacia
la izquierda las veces que nos indique el exponente de la potencia de 10. Si
quedan espacios vacíos como en el primer ejemplo, debemos rellenarlos con
ceros.
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3) Multiplicación y división de un número decimal por una potencia de 10
Al multiplicar un
decimal por una
potencia de 10,
debemos correr la
coma hacia la derecha
cuantas veces nos
indique el exponente
de la potencia de 10;
en el caso de las
divisiones, debemos
correr la coma hacia la
izquierda.
Cuando sea necesario
debemos agregar
ceros después de la
última cifra de la parte decimal, en el caso de las multiplicaciones; y anteponer
ceros a la primera cifra de la parte decimal o en la parte entera en el caso de las
divisiones.
Decimales: producto de un número natural y una potencia de 10
Los decimales podemos representarlos como la multiplicación entre un número
natural y una potencia de 10 con exponente entero negativo.
Veamos los siguientes ejemplos:
¿Qué resultados obtenemos?
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Como podrás darte cuenta, todo número decimal puede ser representado como el
producto de un número natural por una potencia de 10 con exponente negativo.
¿Cómo podemos representar el decimal 12,3?
¿Cómo lo hicimos?
Al decimal 12,3, le corrimos la coma un espacio a la derecha de manera que
quedara escrito como número natural 123,0 = 123 y luego nos preguntamos
cuántos espacios debíamos correr la coma a la izquierda para que volviéramos a
obtener el decimal 12,3. Como nos tenemos que correr 1 espacio, entonces el
exponente de la potencia de 10 será -1.
También podríamos representarlo de las siguientes formas: