UNIVERSIDAD DE ATACAMAFACULTAD DE INGENIERIA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

ALGEBRA I

GUIA 1: SUMATORIA

Primer ano Plan Comun de Ingenierıa Primer Semestre 2009

1. Encuentre el valor de las siguientes expresiones:

a)5∑

i=1

i b)8∑

i=1

2i c)20∑

i=12

i d)32∑

i=15

13i

e)14∑i=1

4 f)10∑i=1

(i3 − 50i) g)35∑i=8

12

h)42∑

i=23

(2i − 4)

i)3∑

n=1

2nn j)6∑

h=1

(−1)hh k)5∑

h=1

(−1)hh−2h

2. Usando el sımbolo de sumatoria escriba las siguientes sumas:

a) x1 + x2 + · · · + x49.

b) a35 + a36 + · · · + a122.

c) 72 + 82 + · · · + 2342.

d) 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 40.

e) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 55.

f ) −y1 + y2 − y3 + y4 − y5 + y6 − y7.

3. Sea ai = i2 − 31i. Encuentre el valor de:

a)10∑i=1

ai.

b)50∑

i=30

ai.

c)3∑

i=−2

ai.

d)50∑

i=30

(15ai − 70).

ALGEBRA I: GUIA 1 1

4. Encuentre el termino generico de la sucesion de numeros reales siguientes: 1, 3, 5, 7, . . .y encuentre la suma de los terminos, de dicha sucesion, comprendidos entre 12 y 58.

5. Usando descomposicion de fracciones parciales y propiedad telescopica. Encuentre, elvalor de las siguientes sumatorias:

n∑k=1

1

(k + 1)(k + 2)

36∑k=21

1

(k + 1)(k + 2)

6. Sabiendo quen∑

i=1

xi = 2n2 + 3n, encuentre el valor de:

a)6∑

i=1

xi−53

.

b) x3.

7. Determine el valor de:15∑

h=5

h(h − 3).

8. Usando propiedades de sumatorias pruebe que:

a)n∑

j=1

(2nj + j − 3j2) = 0.

b)n∑

j=1

j(2n − 2j + 1) =n∑

j=1

j2.

9. Encuentre, en funcion de n y c, el valor de:2n+1∑j=n

c.

10. Encuentre el valor de las siguientes sumatorias:

a)n∑

k=1

(k! − (k − 1)!).

b)5∑

k=1

(k! − (k − 1)!).

11. Calcular el valor de la constante c, si se sabe que:10∑i=1

(i2 − 3i + 10c) = 250.

12. Sea ak = ak−1 + k con a0 = 0 y k = 1, 2, 3, . . . , n.

a) Encuentre una expresion para el termino generico aj.

b) Pruebe que:n∑

j=1

aj = n(n+1)(n+2)6

.

ALGEBRA I: GUIA 1 2

c) Pruebe que: 2n∑

j=1

aj −n∑

j=1

j =n∑

j=1

j2.

13. Encuentre el valor de:100∑k=1

(k

k+1− k−1

k

).

14. Encuentre el valor de:99∑

k=1

[(k + 1) ln(k + 1) − k ln(k)].

15. Usando descomposicion en fracciones parciales, propiedad telescopica (o ambas), en-cuentre en funcion de n el valor de:

a)n∑

k=1

log(

k+1k

)b)

n∑k=1

k+1(k+2)!

c)n∑

k=1

(k2 + 1)k! d)n∑

k=1

k2+k−1(k+2)!

e)n∑

k=1

1k(k+1)(k+2)

f)n∑

k=1

1(k+1)(k+2)(k+3)

g)n∑

k=1

1k(k+1)(k+2)(k+3)

h)n∑

k=1

kk!

i)n∑

k=1

2k+1k2(k+1)2

j)n∑

k=1

5k−1 k)n∑

k=1

k7k−1 l)n∑

k=1

(−1

3

)k−1

m)n∑

k=1

4k−1 n)n∑

k=1

k4k−1 o)n∑

k=1

k(−1

3

)k−1p)

n∑k=1

k+2k(k+1)2k

q)n∑

k=1

k2k−1

(k+1)(k+2)r)

n∑k=1

7k+31(k+1)(k+4)2k+3 s)

n∑k=1

2k−1k(k+1)(k+2)

t)n∑

k=1

(114k+227)7k

(k+2)(k+5)

u)n∑

k=1

(114k+571)(k+2)(k+5)7k v)

n∑k=1

√k+1−

√k√

k2+kw)

n∑k=1

log(1 + 1k2+2k

) x)n∑

k=1

k4+k2+1k4+k

y)n∑

k=1

5k(4k+1)(2k+1)(2k+3)

16. Resuelva la ecuacion:

x2

5∑i=1

(i2 − 2i + 11) − 1

10

4∑i=1

(i + i2) = 2x3∑

i=1

(i2 − 2i)

17. Si se sabe que5∑

i=1

x2i = 30 y

5∑i=1

xi = 18. Determine el valor de:

5∑i=1

(xi − 2)2

ALGEBRA I: GUIA 1 3

18. Encuentre el valor de las siguientes expresiones:

a)7∑

j=3

5∑r=1

3(2r + j) b)7∑

j=2

5∑i=1

(i + j) c)5∑

i=0

3∑j=2

[(−2)ij + j3]

d)3∑

i=1

7∑j=3

(i + 1)(j − 1) e)5∑

i=1

6∑j=2

(i − 2)(j + 2) f)5∑

i=0

3∑j=2

[(2i − 3j)

(i+2j

)]

19. Si se sabe que:6∑

i=1

xi = 18 y5∑

j=1

yj = 22

Calcular el valor de la constante “c”, de la ecuacion

6∑i=1

5∑j=1

(2xi − 3yj +1

10c) = 600

Desafıos

1. Si6∑

i=1

(ai − 3)2 =6∑

i=1

(ai + 2)2 y6∑

i=1

a2i = 10

6∑i=1

ai. Determine el valor de:

6∑i=1

ai(ai − 3)

2. Sean x1, x2, . . . , xn numeros reales. Si definimos X = 1n

n∑i=1

xi y X2 = 1n

n∑i=1

x2i ,

entonces pruebe que:

a)n∑

i=1

(xi − X) = 0.

b)n∑

i=1

(xi − X)2 = n(X2 − X2).

3. Encuentre el valor de:5∑

h=3

[h∑

i=2

(h − i

h(−1)i

)]

4. Encuentre, en funcion de “a” y “b”, el valor de:5∑

r=1

5∑m=1

(ar + bm).

5. Encuentre el valor de “p” que cumple con:p∑

j=1

(2j−p

2

)= 8.

6. Encuentre el valor de “n” que cumple con:n∑

j=1

(j2 − (2n−1)j

3

)= 4.

ALGEBRA I: GUIA 1 4