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UNIVERSIDAD DE ATACAMAFACULTAD DE INGENIERIA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
ALGEBRA I
GUIA 1: SUMATORIA
Primer ano Plan Comun de Ingenierıa Primer Semestre 2009
1. Encuentre el valor de las siguientes expresiones:
a)5∑
i=1
i b)8∑
i=1
2i c)20∑
i=12
i d)32∑
i=15
13i
e)14∑i=1
4 f)10∑i=1
(i3 − 50i) g)35∑i=8
12
h)42∑
i=23
(2i − 4)
i)3∑
n=1
2nn j)6∑
h=1
(−1)hh k)5∑
h=1
(−1)hh−2h
2. Usando el sımbolo de sumatoria escriba las siguientes sumas:
a) x1 + x2 + · · · + x49.
b) a35 + a36 + · · · + a122.
c) 72 + 82 + · · · + 2342.
d) 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 40.
e) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 55.
f ) −y1 + y2 − y3 + y4 − y5 + y6 − y7.
3. Sea ai = i2 − 31i. Encuentre el valor de:
a)10∑i=1
ai.
b)50∑
i=30
ai.
c)3∑
i=−2
ai.
d)50∑
i=30
(15ai − 70).
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4. Encuentre el termino generico de la sucesion de numeros reales siguientes: 1, 3, 5, 7, . . .y encuentre la suma de los terminos, de dicha sucesion, comprendidos entre 12 y 58.
5. Usando descomposicion de fracciones parciales y propiedad telescopica. Encuentre, elvalor de las siguientes sumatorias:
n∑k=1
1
(k + 1)(k + 2)
36∑k=21
1
(k + 1)(k + 2)
6. Sabiendo quen∑
i=1
xi = 2n2 + 3n, encuentre el valor de:
a)6∑
i=1
xi−53
.
b) x3.
7. Determine el valor de:15∑
h=5
h(h − 3).
8. Usando propiedades de sumatorias pruebe que:
a)n∑
j=1
(2nj + j − 3j2) = 0.
b)n∑
j=1
j(2n − 2j + 1) =n∑
j=1
j2.
9. Encuentre, en funcion de n y c, el valor de:2n+1∑j=n
c.
10. Encuentre el valor de las siguientes sumatorias:
a)n∑
k=1
(k! − (k − 1)!).
b)5∑
k=1
(k! − (k − 1)!).
11. Calcular el valor de la constante c, si se sabe que:10∑i=1
(i2 − 3i + 10c) = 250.
12. Sea ak = ak−1 + k con a0 = 0 y k = 1, 2, 3, . . . , n.
a) Encuentre una expresion para el termino generico aj.
b) Pruebe que:n∑
j=1
aj = n(n+1)(n+2)6
.
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c) Pruebe que: 2n∑
j=1
aj −n∑
j=1
j =n∑
j=1
j2.
13. Encuentre el valor de:100∑k=1
(k
k+1− k−1
k
).
14. Encuentre el valor de:99∑
k=1
[(k + 1) ln(k + 1) − k ln(k)].
15. Usando descomposicion en fracciones parciales, propiedad telescopica (o ambas), en-cuentre en funcion de n el valor de:
a)n∑
k=1
log(
k+1k
)b)
n∑k=1
k+1(k+2)!
c)n∑
k=1
(k2 + 1)k! d)n∑
k=1
k2+k−1(k+2)!
e)n∑
k=1
1k(k+1)(k+2)
f)n∑
k=1
1(k+1)(k+2)(k+3)
g)n∑
k=1
1k(k+1)(k+2)(k+3)
h)n∑
k=1
kk!
i)n∑
k=1
2k+1k2(k+1)2
j)n∑
k=1
5k−1 k)n∑
k=1
k7k−1 l)n∑
k=1
(−1
3
)k−1
m)n∑
k=1
4k−1 n)n∑
k=1
k4k−1 o)n∑
k=1
k(−1
3
)k−1p)
n∑k=1
k+2k(k+1)2k
q)n∑
k=1
k2k−1
(k+1)(k+2)r)
n∑k=1
7k+31(k+1)(k+4)2k+3 s)
n∑k=1
2k−1k(k+1)(k+2)
t)n∑
k=1
(114k+227)7k
(k+2)(k+5)
u)n∑
k=1
(114k+571)(k+2)(k+5)7k v)
n∑k=1
√k+1−
√k√
k2+kw)
n∑k=1
log(1 + 1k2+2k
) x)n∑
k=1
k4+k2+1k4+k
y)n∑
k=1
5k(4k+1)(2k+1)(2k+3)
16. Resuelva la ecuacion:
x2
5∑i=1
(i2 − 2i + 11) − 1
10
4∑i=1
(i + i2) = 2x3∑
i=1
(i2 − 2i)
17. Si se sabe que5∑
i=1
x2i = 30 y
5∑i=1
xi = 18. Determine el valor de:
5∑i=1
(xi − 2)2
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18. Encuentre el valor de las siguientes expresiones:
a)7∑
j=3
5∑r=1
3(2r + j) b)7∑
j=2
5∑i=1
(i + j) c)5∑
i=0
3∑j=2
[(−2)ij + j3]
d)3∑
i=1
7∑j=3
(i + 1)(j − 1) e)5∑
i=1
6∑j=2
(i − 2)(j + 2) f)5∑
i=0
3∑j=2
[(2i − 3j)
(i+2j
)]
19. Si se sabe que:6∑
i=1
xi = 18 y5∑
j=1
yj = 22
Calcular el valor de la constante “c”, de la ecuacion
6∑i=1
5∑j=1
(2xi − 3yj +1
10c) = 600
Desafıos
1. Si6∑
i=1
(ai − 3)2 =6∑
i=1
(ai + 2)2 y6∑
i=1
a2i = 10
6∑i=1
ai. Determine el valor de:
6∑i=1
ai(ai − 3)
2. Sean x1, x2, . . . , xn numeros reales. Si definimos X = 1n
n∑i=1
xi y X2 = 1n
n∑i=1
x2i ,
entonces pruebe que:
a)n∑
i=1
(xi − X) = 0.
b)n∑
i=1
(xi − X)2 = n(X2 − X2).
3. Encuentre el valor de:5∑
h=3
[h∑
i=2
(h − i
h(−1)i
)]
4. Encuentre, en funcion de “a” y “b”, el valor de:5∑
r=1
5∑m=1
(ar + bm).
5. Encuentre el valor de “p” que cumple con:p∑
j=1
(2j−p
2
)= 8.
6. Encuentre el valor de “n” que cumple con:n∑
j=1
(j2 − (2n−1)j
3
)= 4.
ALGEBRA I: GUIA 1 4