RAZONAMIENTO CUANTITATIVO PERIODO ACADMICO 2013 1

Profesor: Luis Fernando Azcrate Mesa

SUCESIONES ARITMTICAS Y GEOMTRICAS

SUCESIN ARITMTICA

Una sucesin 1 2 3,, , ..., ,...n na a a a a es una sucesin aritmtica si existe un nmero real d tal que para todo entero positivo n se tiene que

1 nna a d .

El nmero 1n nd a a se llama diferencia comn de la sucesin.

Ejemplo 1:

Probemos que la sucesin 1,4,7,10,...,3 2,...na n es aritmtica.

Solucin: Si 3 2na n , entonces para todo entero positivo k tenemos que:

1 3 1 2 3 2

3 3 2 3 2

3

k ka a k k

k k

Por lo tanto la sucesin dada es aritmtica con diferencia comn 3d .

Ejemplo 2: Examinemos la sucesin 9,4, 1, 6, 11,...nb . En este caso la diferencia comn es 5d . Los trminos de una sucesin aritmtica decrecen si la diferencia comn es negativa. En este caso el trmino

n simo est dado por:

9 5 1na n

Abril 9 de 2013

TRMINO N-SIMO DE UNA SUCESIN ARITMTICA

La relacin 1n na a d define una sucesin aritmtica. Si conocemos 1a y d , podemos expresar todos los

dems elementos de la sucesin en trminos de 1a de la siguiente manera:

1 1a a

2 1a a d

3 2 1 1 2a a d a d d a d

4 3 1 12 3a a d a d d a d .

.

.

Luego, si d es la diferencia comn entre los trmino de una sucesin aritmtica, el trmino n-simo de la sucesin esta dado por la expresin

1 1na a n d .

FRMULA PARA LA SUMA nS DE LOS n PRIMEROS TRMINOS DE UNA SUCESIN

ARITMTICA TEOREMA

Si 1 2 3,, , ..., ,...n na a a a a es una sucesin aritmtica con diferencia comn d , entonces la n simasuma parcial

nS (esto es la suma de los n primeros trminos de la sucesin) est dada por

12

n n

nS a a

PRUEBA La n esima suma parcial de la sucesin se puede escribir como

1 2 3

1 1 1 1

...

2 ... 1

n nS a a a a

a a d a d a n d

Aplicando las propiedades asociativa y conmutativa para la suma de nmeros reales resulta que

1 1 1... 2 ... 1nS a a a d d n d

con 1a como sumando n veces dentro del primer parntesis. Luego,

1 1 2 3 ... 1nS na d n

1 1na a n d

La expresin dentro del corchete es la suma de los primeros 1n enteros positivos. Con la frmula para la

suma de los n primeros enteros positivos 1

2n

n nS

, propuesta por el matemtico alemn Carl Friedrich

Gauss, pero con 1n en lugar de n y n en lugar de 1n , tenemos

1

1 2 3 ... 12

n nn

Sustituyendo en la ltima expresin para nS y factorizando

2

n, obtenemos

1 11

2 12 2

n

n n nS na d a n d

Puesto que 1 1na a d n , la ltima expresin equivale a Ejercicios: 1. Muestre que cada una de las siguientes sucesiones es aritmtica y encuentre diferencia comn.

a. 6, 2,2,6,...na b. 53,48,43,38,...nb 2. Encuentra la suma de todos los enteros pares de 2 a 100. (Piense en la sucesin 2,4,6,...,2n ).

3. Se desean distribuir entre los diez mejores integrantes de un equipo $46000en bonos. El ltimo premiado

de la lista recibir $100 y la diferencia en dinero entre los integrantes sucesivamente clasificados debe ser constante. Encuentre el valor del bono para cada vendedor.

4. Un teatro tiene 50 filas de sillas. En la primera fila hay 30 sillas, 32 en la segunda, 34 en la tercera, y as sucesivamente. Calcule la cantidad total de sillas del teatro.

SUCESIN GEOMTRICA

Una sucesin 1 2 3,, , ..., ,...n na a a a a es una sucesin geomtrica si 1 0a y existe un nmero real 0r tal que para todo entero positivo n

1 nn ra a .

El nmero 1n

n

ar

a

se llama razn comn de la sucesin.

12

n n

nS a a

Ejemplo:

Consideremos la sucesin 2, 10,50, 250,1250,...na . Mostremos que es una sucesin geomtrica Solucin:

Observe que si 2a y 5r (Note que 10 50 250

...2 10 50

), entonces los trminos de la sucesin

se pueden generar con el trmino n simo 1

2 5n

na

.

TRMINO N-SIMO DE UNA SUCESIN GEOMTRICA

La frmula 1n na a r proporciona u mtodo recursivo para obtener los trminos de una sucesin

geomtrica. Iniciamos con cualquier nmero real 1 0a y lo multiplicamos por el nmero r sucesivamente,

obteniendo

1 1a a

2 1a a r

23 2 1 1a a r a r r a r

2 34 3 1 1a a r a r r a r .

.

.

FRMULA PARA LA SUMA nS DE LOS n PRIMEROS TRMINOS DE UNA SUCESIN GEOMTRICA

TEOREMA

Si 1 2 3,, , ..., ,...n na a a a a es una sucesin geomtrica con razn comn r , entonces la n sima suma parcial

nS (esto es la suma de los n primeros trminos de la sucesin) est dada por

1

1

n

n

rS a

r

1

1

n

na a r

PRUEBA La n esima suma parcial de la sucesin se puede escribir, por definicin, como

2 2 11 1 1 1 1...n n

nS a a r a r a r a r (1)

Para hallar una frmula para nS , multipliquemos ambos lados de la expresin anterior por r , obteniendo

3 3 2

1 1 1 1 1...n n

nrS a r a r a r a r a r (2)

Si restamos la ecuacin (2) de la ecuacin (1) todos los trminos del lado derecho (con excepcin de dos) se cancelan obtenindose

1 1

1

(1 ) (1 )

n

n n

n

n

S rS a a r

S r a r

De donde despejando nS se obtiene

Ejercicios:

1. Una sucesin geomtrica tiene como primer trmino 1 3a y como razn

1

2r . Encuentre los

cinco primeros trminos de la sucesin as como su dcimo trmino.

2. Un hombre desea ahorrar guardando $1000 pesos el primer da, $2000 pesos el segundo da, $4000 el tercero y as sucesivamente.

a. Si contina duplicando la cantidad guardada todos los das Cunto debe guardar el decimoquinto

da? b. Suponiendo que tiene dinero suficiente, Cul sera la cantidad ahorrada al trmino de 30 das?

1

1

1

n

n

rS a

r

TALLER

1. Escriba los primeros seis trminos de cada sucesin definida recurrentemente:

a. 2;2;1 11 naaa nn b. 1;2

1;2 11 naaa nn

2. Halle el trmino general que define cada sucesin:

a. 1 2 3 4

, , , ,...2 3 4 5

na

b. 1 1 1 1

, , , ,...2 4 6 8

nb

c. 1,3, 5,7, 9,...nc

3. Halle los primeros cinco trminos de cada una de las siguientes sucesiones:

a. nna

2 b. n

n

nb3

2 c. d.

!

3

ne

n

n

5. Halle el trmino general de las siguientes sucesiones:

a.

7,11,15,19,...na b. 1, 1,1, 1,1, 1,1, 1nb c. 1 7 13

, 2, , 5, ,...2 2 2

nc

d. 1 1 1 1

1 ,1 ,1 ,1 ,...2 3 4 5

nd

7. Un conjunto de lpices est ordenado por hileras. La primera hilera tiene 12 lpices, la segunda 11 lpices, la tercera 10 lpices y as sucesivamente van disminuyendo. Si la capa superior tiene 4 lpices, Cuntas hileras hay y cuntos lpices hay en total? Sugerencia: Recuerde como calcular la suma de los n primeros trminos de una sucesin aritmtica. 8. Muestre que cada una de las siguientes sucesiones es geomtrica y encuentre la razn comn.

a. 5 5 5

5, , , ,...4 16 64

na

b. 1 3 9

, , ,...7 7 7

nb

nd

n

n

11