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Universidad Cesar VallejoFacultad de Ciencias Empresariales Matemática Superior

Primera Unidad Didáctica

ECUACIONES

2014

1

MATEMÁTICA SUPERIOR

…para Ciencias Empresariales


El ingreso total de una cafetería con base en la venta de x cafés especiales está dado por r = 2x y sus costos totales diarios están dados por c = 0.5x + 300. ¿Cuántos cafés especiales se necesitan vender cada día para recuperar el capital invertido? En otras palabras ¿Cuándo ingreso es igual a los costos? especiales.1.1. ECUACIONES

1.1.1. DEFINICIONUna ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamados sus lados o miembros, y están separadas por el signo de igualdad.Ejemplo de ecuaciones:

a. x + 2 = 3b. x2 + 3 x + 2 = 0

Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.Ejemplo:La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10Ejemplo:• 5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

• X2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

• 2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, como: x=0 , y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

1.2. ECUACIONES LINEALES 1.2.1. DEFINICIÓN

Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma: ax + b = c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0También se le conoce como ecuación de primer grado o ecuación de grado uno, ya que la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera.Ejemplo:

• 5x – 6 = 3xPara resolver una ecuación de 1er grado se recomienda que las incógnitas estén en un mismo miembro y las cantidades numéricas o conocidas en el otro y así se podrá despejar más fácil.

2

2. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS


MATERIAL DE CLASE

a) 4 + x = 2 + 2

3xb)

3

6-x -

2

x = 8 - x c) 3 +

7

x =

4

3x - x

d) 3 + x = 3

5+x 2

e)

3

1 +

3

2x = 6 -

4

9xf) 11 - x =

4

3x -

6

5x

g) 1 + 6

2x = 7 -

5

3xh) 6) - (x

9

5 = 10 - x i)

9

2x + 10 = x +

3

x

j) 3

x - 12 = 1 +

2

3xk) 3 - x =

2

x +

5

xl)

4

6 - 5x = 7 - 4x

m) 4 - 5x = 3

2+xn)

8

7 =

20-3x

10-2xñ) 21 = x +

6

3x +

4

x

o) 6

5 -

2

5x =

6

13 -

4

xp) 94 =

5

x +

4

x +

3

xq) 16 +

5

x = 10 +

3

x

r) 3 - 3+x

10 =

3+x

7-xs) 3 - 2x =

5

x + 9 - 3x

t) 6 = 1+x

12_ 53x

u)

30

x - 2 -

5

2x = 5 +

4

x v) 1 - 1-x

x =

1+x

3 w)

6

18 + 2x- = 20)-(x 5 -

8

5x

3


ECUACION COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES

La mayoría de los empresarios, definen sus precios de venta a partir de los precios de sus competidores, sin

saber si ellos alcanzan a cubrir los costos de sus empresas. Por otra parte, no existen

decisiones empresariales que de alguna forma no influyan en los costos de una

empresa. Es por eso imperativo que las decisiones a tomarse tengan la suficiente

calidad, para garantizar el buen desenvolvimiento de las mismas. Veamos un ejemplo:

Ejemplo:“Muebles IKASA” vende en su sede del centro muebles de oficina, en donde se tienen los siguientes costos de un modelo nuevo que se está ofreciendo en esta sede:

COSTOS FIJOS Alquiler del local de ventas S/ 1,900 Sueldos y jornales vendedora S/ 800 Energía eléctrica S/ 400 Teléfono S/ 100 Impuestos S/ 473 Honorarios Contador S/ 827

TOTAL S/ 4,500COSTOS VARIABLES

Costo por unidad de cada juego de muebles S/ 1,500 (mat. Prima y mano de obra)

Por otro lado, el juego de muebles se está vendiendo a S/. 2 000. En este primer mes la gerencia se ha propuesto una utilidad de S/. 20 000. Por lo tanto, ¿cuántos juegos de muebles debe vender para obtener la utilidad propuesta?Solución:¿Cuál es nuestra incógnita?........................................................................Así, sea x:...............................................................................................Por lo tanto, si denotamos con “C” la inversión total para dicha cantidad de juegos de muebles, tendríamos que Esta inversión se denomina Costo Total y es igual a:

......................................................................................... +=TotalC

Por otro lado, teniendo en cuenta la venta de cada par de zapatos a:Venta: Cada juego de muebles se vende a S/. 2,000 por lo cual si se venden un total de ¨x¨ muebles, se obtendrá un ingreso que se denomina Ingreso Total igual a:

.........................................................................................=TotalI

Teniendo en cuenta ello, por los ¨x¨ juegos de mueble que produce y vende se obtendrá una Utilidad de:

.........................................................................................=TotalU

Por otro lado, la gerencia se ha propuesto obtener un ganancia total de S/. 20.000. Por lo tanto reemplazando:

00020................................................................... ==TotalU

Así el nro. de juegos de muebles a producir y comprar es:.....................

4


ACTIVIDAD

Problemas de aplicación de ecuaciones lineales

1. Una ejecutiva de la compañía Electronic S.A. tiene un salario mensual más un bono por fiestas patrias del 12.5% de su salario mensual. Si gana un total de 97 300 dólares al año, ¿cuál es su salario mensual?

2. Halle el nivel de ganancia de una fábrica que tiene un costo fijo de S/. 750, un costo de S/. 80 y un precio de venta de S/.95, cuando vende (a) 40 artículos y (b) 60 artículos.

3. Una firma que tiene unos costos fijos de S/. 15 000 y un costo de S/. 200 por unidad. Por otro lado, se ha propuesto una ganancia de S/. 50 por cada unidad. Halle el ingreso de vender (a) l5 unidades y (b) 20 unidades ¿Cuántos unidades debe vender si desea obtener un ingreso de S/. 80 000?

5


4. Una fábrica recibe $25 por cada unidad de su producción vendida. Tiene un costo de $ 15 por artículo y un costo fijo de $ l 200. ¿Cuál es el nivel de ingresos, si vende (a) 200 artículos, (b) 300 artículos y (c) 100 artículos?

5. Una Multinacional está tratando de captar a los mejores agentes de ventas para su empresa, para ello se entera que su competencia está pagando al año $12,600 más una comisión del 2% sobre sus ventas anuales. Mientras que ésta paga solo un comisión del 8% sobre sus ventas anuales. ¿Para qué nivel de ventas anuales la multinacional es superior en $5500 a su competencia? , ¿Qué le permitirá hallar ello?

6. Esteban piensa abrir una lavandería, calcula que por alquiler del local pagaría S/. 500 y pago por energía eléctrica será S/. de 200 al mes. Según lo calculado, el costo por prenda en detergente, agua y energía es de S/. 0.15. Si el servicio se ofrece a S/. 0.40, ¿cuántas prendas debe lavar si desea una utilidad de $5,000 semanales?

6


7. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que fabrica al precio de $50 cada artículo. Le cuesta $35 producir cada artículo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $15,000 al mes con el fin de operar la planta. ¿Cuántas unidades debe producir y vender para obtener utilidades de $11,500? (Redondeé a la unidad más cercana).

8. Un electricista cobra $55 por una visita domiciliaria más $30 por hora de trabaja adicional. Exprese el costo C de llamar a un electricista a su casa en función del número de horas x que dure la visita

7


1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

2.3.1. DEFINICION

Llamadas también ecuaciones CUADRÁTICAS, son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general:

02 =++ cxbxa

Rcbaya ⊂≠∀ ,,0

donde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos (1).El coeficiente “a” se llama coeficiente cuadrático o de segundo grado.El coeficiente “b” se llama coeficiente lineal o de primer grado yEl coeficiente “c” se llama término lineal.Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuación de segundo grado se llama completa y si b ó c o ambos, son ceros, la ecuación de segundo grado se llama incompleta.Así dado: a , b y c ≠ 0 entonces : ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación de segundo grado completa.Toda ecuación de segundo grado presenta dos raíces o soluciones, llamémoslas, x1 y x2.

Estas raíces se pueden obtener mediante dos métodos:METODOS DE SOLUCION:METODO DE LA FORMULA GENERAL:De la ecuación 02 =++ cxbxa se deduce la formulación clásica que despeja la variable:

a

acbbx

2

42 −±−=

Se define la cantidad subradical: b2 – 4ac como el discriminante (invariante Característico) de la ecuación cuadrática y se le denota por :”Δ”, luego:

acb 42−=∆

Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, ∀a≠0 dependen de la discriminante Δ así:

8

a

acbbx

2

42

1

−+−=

a

acbbx

2

42

2

−−−=

DOS RAÍCES


Primer caso:Si Δ > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y desiguales.Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones:a) si Δ es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son racionales.b) si Δ no es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son irracionales conjugadas.Segundo caso:Si Δ = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíces dobles) donde:

a

bxx

221 −==

Tercer caso:Si Δ < 0 entonces las raíces x1 y x2 son complejos y conjugados.

METODO DE FACTORIZACION:Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 siempre y cuando se pueda.Los pasos de este método son los siguientes: Se trasladan todos los términos a un sólo miembro dejando el otro miembro igual a cero. Se factoriza este miembro por el método del aspa simple. Para obtener las raíces de la ecuación, se iguala cada factor a cero.Discusión de las raíces de una ecuación de segundo grado.

Ejemplo

1. La empresa Nail S.A. que se dedica a la producción de zapatos, tiene un costo fijo mensual de S/. 300 y un costo variable por unidad producida de S/. 10. Además, se sabe que su ingreso está dado por: ( ) xx,xI 10010 2 +−= , donde x es el número de artículos que produce y vende la empresa mensualmente. ( ( ) ( ) ( )xCxIxU −= )

a) Determinar la utilidad mensual de la empresa en función de x.

b) Hallar la utilidad que obtendrá la empresa si produce y vende 200 artículos.

9


ACTIVIDAD

A. Resolver:

10


Problemas de aplicación: 1. El taller artesanal “La pastorcita S.A.” está especializado en la producción de cierto tipo de muebles

finos. Los costos de fabricación, C en soles, están relacionados con el número de muebles fabricados, x, a través de la siguiente expresión: ( ) 250000200010 2 ++= xxxC

El precio de venta de cada juguete es de 8,000 soles.

1. (x + 2)(x – 1) = 0 2. (2x + 1)(4 –3x) = 0

3. 10x2 – x – 3 = 0 4. 5x2 – 7x + 2 = 0

5. 2)1)(31()43(2 −=+−−− xxxx 6. 6x2 – 11x – 7 = 0

7. 3x2 + 8x – 6 = 0 8. -x2 – 11x = 0

9. (x + 3)2 = (x – 1)2 + 2810.

10

13

25

2 22 +=+−+ xxxx

11


a) Plantear la ecuación de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos.b) Plantear la ecuación de utilidades, entendidos como diferencia entre ingresos y costos de

fabricación.c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para tener 650,000 de utilidades?

2. La empresa “El Porvenir. S.A.” ha estimado que los ingresos y los gastos anuales (en soles) que genera la fabricación y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las funciones: ( ) xxxI 3600028 2 += y ( ) 7000001200044 2 ++= xxxC Determina, justificando las respuestas:

a) La ecuación que define las utilidades anuales. b) El número de unidades que hay que vender para que la utilidad sea 300,000.

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ACTIVIDADES FINALES

I. Coloca V si es verdadero o F si es falso, em lãs siguientes proposiciones, justifica tu respuesta

1. Una ecuación lineal tiene una sola raíz ( )

Porque, ....................................................................................................................................................................................................................................................................

2. La solución de la ecuación: 25 x = x, es el conjunto vacío ( )

Porque, ..................................................................................................................................................................................................................................................................

3. En la ecuación: 2 x + 4 = 2 ( x + 2 ), el conjunto solución son todos los reales. ( )

Porque, ...........................................................................................................................

4. En la ecuación x + 3 = x + 3, se cumple que { }0.. =SC . ( )

Porque, ...........................................................................................................................5.

El conjunto solución de: 25

362 =x es

5

6 ( )

Porque, ...........................................................................................................................6. Para el valor de 4=a la ecuación 042 =++ axx tiene única solución. ( )

Porque, ....................................................................................................................................................................................................................................................................

7. Para 1=m la ecuación 0522 =++ xmx no tiene soluciones reales. ( )

Porque, ....................................................................................................................................................................................................................................................................

8. La ecuación cuadrática puede tener soluciones imaginarias. ( )Porque, ...........................................................................................................................

ECUACIONES

Resolver las siguientes ecuaciones:

1.1x

3

1x

2

−=

+

13


2.

01x6

x6

1x3

2x3 =−

−−+

3. xxx −=+−−−

1)3

241(

3

4

2

3

4. 02

5

2x

3 =++

5. 0x2

5x2

3x

4x =+−−+

14


6.5

12

4

1

2

1

5

4

4

3 +++−=−−+ xxxx

7. Resolver la ecuación se reduce a 1er grado en “x”.

ax2 + 2x + a = 5x2 – 3ax + 4 ; (a ∈ R) a)–1 b)–16 c)–15/17 d)–1/17 e)–1/9

12. En la ecuación : x2 + 6x – m = 0 Hallar “m”, si una raíz es -2.

a) -2 b) -6 c) -8 d) -4 e) 4

13. Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a=0 ; una de las raíces es 2. Indicar el valor que adopta “a” .

a) -5 b) 5 c) -4/3 d) 4/7 e) -4/7

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14. Resolver para “x” : a(x-a) + 2bx = b.( b+2a+x )

a) a+2ab+b b) a+b c) 2b2a +

c) ab e) 22b2a ++

15. Hallar “x” : 2b)b3a2(x2a)b2a3(x −−=−−

a) a+b b) a-b c) ab d) 2b2a + e) ba

2b2a

++

16. Resolver para “x” :ab

2a2b

b

abx

a

bax −=−+−−+

a)1 b)ab c)a-b d)2(a-b) e)2(a+b)

17. El martes gané el doble de lo que gané el lunes, el miércoles el doble de lo que gané el martes, el jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes S/. 30 menos que el jueves y el sábado S/. 10 más que el viernes. Si en los 6 días he ganado S/. 911 ¿Cuánto gané el miércoles?

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18. Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada material?

19. Compré el cuádruple del número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas mas tendría el triple de número de caballos que el de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré?

20. (x + 2)(x – 1) = 0

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21. 10x2–x–3=0 23. 5x2–7x+2=0

24. 6x2–11x–7=0 25. x2+8x–6=0

26. -x2 – 11x = 0 27. 2x2 – 2

1x = 0

28. (x + 3)2 = (x – 1)2 + 28

29. Alberto tiene 3 años más que Juan y el cuadrado de la edad de Alberto aumentado en el cuadrado de la edad de Juan equivale a 317 años. Hallar ambas edades.

18


30. Hallar el mayor de cinco números enteros consecutivos; sabiendo que la diferencia de la suma de los tres menores con la suma de los dos mayores es 28.

32. Resolver : 2x2 – 3x – 1 = 0 . Señalar una raíz.

a) 2153 −

b) 4173 +

c) 2173 +

d) 4153 −

e) 2317 −

33. Resolver: 5x2 + 2 = 8x . Señalar la menor raíz.

a) 264 +

b) 264 −

c) 64 + d) 564 −

e) 464 −

34. Resolver : x2 = 7x + 2 . Señalar la mayor raíz.

a) 577 − b) 2577 −

c) 4577 −

d) 2577 +

e) 547 +

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35.Calcular ‘‘k’’ si el discriminante de la ecuación:

2x2 + 7x + k = 1 , es igual a 17. a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 6

36.Determinar el valor negativo de ‘‘p’’ en la ecuación: X2 - px + p = 0 si su discriminante es 12.

a) -2 b) -6 c) 4 d) -12 e) 3

37. Una firma tiene un costo de $4000 para personal, planta y equipo y un costo de $300 para cada unidad adicional producida. ¿Cuál es el costo total C de fabricar (a) 25 unidades y (b) 40 unidades?

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38. En el mes de diciembre la panadería “Don Mario” tiene un aumento del 12.5% en sus ingresos por la venta de los panetones “Don Mario”. Si en el mes de diciembre obtuvo un ingreso total de s/. 40 750 ¿Cuál sería el ingreso si no vendiera los panetones “Don Mario” en el mes de diciembre?

39. Utilidad. La editorial “Novaro Peruvian” produce y vende Comics. El precio de venta de cada Comic es de S/. 10,50, sus costos fijos son de S/.4500 mensuales y el costo para el material y la mano de obra es de S/. 3 por cada unidad producida. ¿Cuántos comics debe producir y vender la editorial para obtener una ganancia de S/. 9 000?

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40. Utilidad. Lucas incursiona en el ensamblado y venta de bicicletas. Para ello determina que el costo variable de cada bicicleta $180; mientras que el costo fijo de fabricación mensual es de $4200. Si Lucas decidió vender cada bicicleta a $300 ¿cuántas bicicletas debe vender para obtener una utilidad de $2400?

41. Venta. Un vendedor de autos usados compró dos automóviles por $ 2900. Vendió uno con una ganancia del 10% y el otro con una pérdida de 5%, y aún obtuvo una ganancia de $185 en la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil.

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42. Salario. Un empresario está estableciendo un pequeño negocio. Sus costos fijos son de $ 720 semanales, y planea emplear 48 horas de mano de obra semanales. Él desea asegurar que su ganancia sea igual al costo de mano de obra, y que su producto se venda a solo el 40% sobre el costo total. ¿Qué salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artículos por semana ¿a qué precio debe venderlos?

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43. La pyme “INKAR PERÚ S.A.C” importa manzanas chilenas por cajas a un costo unitario de $15. Si los costos fijos correspondientes a alquiler mensual en el mercado mayorista son de $300 y por otro lado gastos de transporte y personal suman $800 por mes.

Por otro lado, esta empresa vende cada caja de manzanas en el mercado mayorista a $20, determine el número de cajas que debe comprar y vender al mes de tal manera que obtenga utilidad igual a $15 000.

44. La ganancia mensual de una empresa que fabrica y vende jabones está dada por la siguiente formula X2 - 50X – 6 000, siendo x la cantidad mensual de cajas de jabón vendidas. ¿Cuántas cajas de jabón debe vender para que la ganancia mensual sea mayor que S/. 30 000?

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45. La ganancia mensual de una empresa que fabrica y vende lámparas está dada por la siguiente formula X2 - 50X – 20 000, siendo x la cantidad mensual de lámparas vendidas. ¿Qué cantidad de lámparas debe vender para que la ganancia mensual sea mayor que S/. 10 000?

46. El costo de producción de “x” artículos está dado por: C= X2+30X – 100 400. Si cada artículo es vendido a S/. 80, ¿Cuántos artículos deben ser vendidos para obtener por lo menos una ganancia de S/. 25 400?

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